Tugas Akhir Modul 4.docx

TUGAS AKHIR MODUL 4

Nama No. Peserta Prodi PPG Tahap

: SAFIANA : 19200218010159 : (180) Matematika :1

1. Buatlah bangun datar segi empat dengan diagonal-diagonalnya saling tegak lurus. Tunjukkan bahwa luas suatu segi empat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya! Penyelesaian: Bangun datar segi empat yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus adalah persegi, belah ketupat dan layang.

N

D

y1 K

y x

A

x

x

x O y2

C

O

M

y

B

L

(i) belah ketupat

(ii) layang-layang D

C x O

A

B (iii)Persegi



Akan dibuktian luas persegi yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya Misal:AO = OC =BO = OD = x Diagonal AC = BD = 2.AO = 2x Luas belah ketupat = 𝐿. ∆𝐴𝑂𝐵 + 𝐿. ∆𝐵𝑂𝐶 + 𝐿. ∆𝐶𝑂𝐷 + 𝐷𝑂𝐴 1

1

1

1

= 2 . 𝑥. 𝑥 + 2 . 𝑥. 𝑥 + 2 . 𝑥. 𝑥 + 2 . 𝑥. 𝑥 1

= 2 . (𝑥 2 + 𝑥 2 + 𝑥 2 + 𝑥 2 ) 1

= 2 . (4. 𝑥 2 )

1

= 2 (2𝑥). (2𝑥) 1

= 2 . 𝐴𝐶. 𝐵𝐷 𝟏

Luas belah ketupat = 𝟐 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟏 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟐 

Akan dibuktian luas belah ketupat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya Misal: BO = OD = x AO = OC = y Diagonal AC = 2.AO = 2x Diagonal BD = 2.BO = 2y Luas belah ketupat = 𝐿. ∆𝐴𝑂𝐵 + 𝐿. ∆𝐵𝑂𝐶 + 𝐿. ∆𝐶𝑂𝐷 + 𝐷𝑂𝐴 1

1

1

1

= 2 . 𝑥. 𝑦 + 2 . 𝑥. 𝑦 + 2 . 𝑥. 𝑦 + 2 . 𝑥. 𝑦 1

= 2 . (𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑦) 1

= 2 . (4. 𝑥. 𝑦) 1

= 2 (2𝑥). (2𝑦) 1

= 2 . 𝐴𝐶. 𝐵𝐷 𝟏

Luas belah ketupat = 𝟐 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟏 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟐 

Akan dibuktian luas layang-layang yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya Misal: KO = OM = x NO = y1 OL = y2 Diagonal KM = 2.KO = 2x Diagonal BD = NO + OL = y1 +y2 Luas layang-layang = 𝐿. ∆𝐾𝑂𝑁 + 𝐿. ∆𝑁𝑂𝑀 + 𝐿. ∆𝐾𝑂𝐿 + 𝐿. ∆𝑀𝑂𝐿 1

1

1

1

= 2 . 𝑥. 𝑦1 + 2 . 𝑥. 𝑦1 + 2 . 𝑥. 𝑦2 + 2 . 𝑥. 𝑦2 1

= 2 . (𝑥. 𝑦1 + 𝑥. 𝑦1 + 𝑥. 𝑦2 + 𝑥. 𝑦2 ) 1

= 2 . (2. 𝑥. 𝑦1 )(2. 𝑥. 𝑦2 ) 1

= 2 . 2𝑥. (𝑦1 + 𝑦2 ) 1

= 2 . 𝐴𝐶. 𝐵𝐷 𝟏

Luas layang-layang = 𝟐 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟏 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟐 

Akan dibuktian luas segi empat sebarang yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya

Diperoleh diagonal diagonal 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐷 Luas segi empat 𝐴𝐵𝐶𝐷 dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas Δ 𝐴𝐵𝐷 dan Δ 𝐵𝐶𝐷 Misal 𝐵𝐷 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝛥𝐴𝐵𝐷 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝛥𝐵𝐶𝐷, karena 𝐴𝐶 tegak lurus 𝐵𝐷 dengan titik siku-siku di 𝑂 maka 𝐴𝑂 = 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝛥𝐴𝐵𝐷 𝐶𝑂 = 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝛥𝐵𝐶𝐷 sehingga 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝛥𝐴𝐵𝐷 + 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝛥𝐵𝐶𝐷 1 1 = ∙ 𝐵𝐷 ∙ 𝐴𝑂 + ∙ 𝐵𝐷 ∙ 𝐶𝑂 2 2 1 = 𝐵𝐷(𝐴𝑂 + 𝐶𝑂) 2 1 = (𝐵𝐷 ∙ 𝐴𝐶) 2

2. Lukiskan titik tembus PQ ke bidang ACF dengan P adalah titik tengah AD dan Q terletak pada BF (BQ:QF = 2:1)! Penyelesaian:

G

F

H

E

Q

S

C B D

R P

A

Langkah-langkah: 1) Buatlah kubus ABCD.EFGH 2) Tentukan titik P sebagai titik tengah AD 3) Bagi garis BF menjadi 3 bagian, kemudian tentukan titik Q sehingga BQ : BF = 2:1 4) Buatlah bidang ACF 5) Tarik garis dari P ke B yang memotong AC di R 6) Tarik garis dari R ke F 7) Hubungkan P dan Q sehingga memotong garis RF di S 8) Titik S adalah titik tembus PQ ke bidang ACF

3. Tulis dalam bentuk standar, dan identifikasilah unsur-unsur (contoh: pusat, fokus, nilai a, nilai b, atau yang lainnya) yang ada pada: 𝑦 2 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, dan lukiskan grafiknya. Penyelesaian: 𝑦 2 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0merupakan persamaan parabola horizontal dengan puncak M(a, b) 𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 1 2 1 (𝑦 − ) − − 𝑥 + 1 = 0 2 4 2 1 3 (𝑦 2 − ) − 𝑥 + = 0 2 4 2 1 3 (𝑦 2 − ) = (𝑥 − ) 2 4 Dari bentuk umum persamaan parabola horizontal (𝑦 2 − 𝑏)2 = 4𝑝(𝑥 − 𝑎) diperoleh: 2

3 1

Titik puncak = (a, b) = (4 , 2) 4𝑝 = 1 ↔ 𝑝 = 1

3

1

1

Titik fokus = (𝑝 + 𝑎, 𝑏) = (4 + 4 , 2) = (1, 2) Persamaan garis direktris : 𝑥 = −𝑝 + 𝑎 1

3

1

= −4+4 = 2 1

Sumbu simetris = 𝑦 = 𝑏 = 2 Panjang latus rectum = |4𝑝| = 1 Gambar grafik:

1 4

4. Gambarlah sebuah garis s. Pilih titik A dan B. Jika A’ pencerminan dari A, dan B’ pencerminan dari B, tunjukkan bahwa AB = A’B’! Penyelesaian: Melukis garis 𝑠 dan titik 𝐴, 𝐵, 𝐴′ , 𝐵′

Akan ditunjukkan 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′ Konstruk ruas garis 𝐴𝐵, ruas garis 𝐴′𝐵′, 𝑓 = 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐴′, 𝑔 = 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐵𝐵′, ruas garis 𝐴𝐵′, ruas garis 𝐵𝐴′

𝐷 = perpotongan 𝑓 dan 𝑠 𝐶 = perpotongan 𝐴𝐵′dan 𝐵𝐴′ 𝐸 = perpotongan 𝑔 dan 𝑠 Ilustrasi ditunjukkan gambar berikut

Perhatikan 𝜟𝑩𝑪𝑫 𝒅𝒂𝒏 𝜟𝑩’𝑪𝑫 Karena 𝐵′ pencerminan 𝐵 oleh 𝑠 maka 𝑓 ⊥ 𝑠 sehingga ∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐵′𝐷𝐶 𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 (berimpit) 𝐵𝐷 = 𝐵𝐷′ (B’ pencerminan B) berdasakan teorema sisi, sudut, sisi maka 𝛥𝐵𝐶𝐷 ≅ 𝛥𝐵’𝐶𝐷

Perhatikan 𝜟𝑨𝑪𝑬 𝒅𝒂𝒏 𝜟𝑨′𝑪𝑬 Karena 𝐴′ pencerminan 𝐴 oleh 𝑠 maka g⊥ 𝑠 sehingga ∠𝐴𝐸𝐶 = ∠𝐴′𝐸𝐶 𝐸𝐶 = 𝐸𝐶 (berimpit) 𝐴𝐸 = 𝐸𝐴′ (A’ pencerminan A) berdasakan teorema sisi, sudut, sisi maka 𝛥𝐴𝐶𝐸 ≅ 𝛥𝐴′𝐶𝐸 Perhatikan ∆𝑨𝑩𝑪 dan ∆𝑨′𝑩′𝑪 Karena 𝛥𝐵𝐶𝐷 ≅ 𝛥𝐵’𝐶𝐷 maka 𝐵𝐶 = 𝐵′𝐶 Karena 𝛥𝐴𝐶𝐸 ≅ 𝛥𝐴′𝐶𝐸 maka 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶 Karena 𝐵𝐴′ berpotongan dengan 𝐴𝐵′ di 𝐶 maka ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴′𝐶𝐵′ berdasakan teorema sisi, sudut, sisi maka ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶

Perhatikan ∆𝑨𝑨′𝑩′ dan ∆𝑨′𝑨𝑩 𝑨𝑨′ = 𝑨′𝑨 (berimpit) ∠𝐸𝐴′𝐶 = ∠𝐴𝐴′𝐵 (berimpit) ′ ′ ∠𝐸𝐴𝐶 = ∠𝐴 𝐴𝐵 (berimpit) ′ Karena 𝛥𝐴𝐶𝐸 ≅ 𝛥𝐴 𝐶𝐸 maka ∠𝐸𝐴′ 𝐶 = ∠𝐸𝐴𝐶 Akibatnya ∠𝑨𝑨′ 𝑩 = ∠𝑨′𝑨𝑩′ Karena ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶 maka ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐶𝐴′𝐵′ Jelas ∠𝐴′ 𝐴𝐵 = ∠𝐸𝐴𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐴𝐴′ 𝐵′ = ∠𝐸𝐴′ 𝐶 + ∠𝐶𝐴′ 𝐵 = ∠𝐸𝐴𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐴′ 𝐴𝐵 ′ ′ Diperoleh ∠𝐴𝐴 𝐵 = ∠𝐴′ 𝐴𝐵 Berdasarkan terorema sisi, sudut, sisi ∆𝐴𝐴′𝐵′ ≅ ∆𝐴′𝐴𝐵 Akibatnya 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′ Terbukti