Tugas 9 Irfan Luthfi.docx

TEORI PITA ENERGI A. MODEL ELEKTRON HAMPIR BEBAS Persamaan distribusi energi model elektron bebas adalah: (1)

Dimana kondisi batas pada kubus dengan sisi L adalah: (2) Fungsi gelombang elektron bebas (3) Teori elektron bebas memiliki kegagalan dalam menjelaskan perbedaan antara konduktor, semikonduktor dan isolator. Oleh karena itu, agar kita dapat memahami perbedaan tersebut, kita menggunakan teori yang mirip dengan teori elektron bebas tetapi sedikit dimodifikasi, yaitu model elektron hampir bebas.

Gambar 1 kurva a. Energi sebagai fungsi vektor gelombang k menurut model elektron bebas.

Gambar 2 kurva b. Kurva energi (E) sebagai fungsi vektor gelombang (k) dalam sebuah kristal monoatomik satu dimensi dengan konstanta kristal sebesar a. Celah energi Eg yang ditunjukkan terjadi pada k = ± /a. Celah energi lainnya

syarat terjadinya difraksi Bragg adalah ( k + G )2 = k2. Dalam satu dimensi, persamaan tersebut menjadi: (4)

dimana G = 2nπ/a adalah vektor kisi resiprok dan n adalah bilangan bulat. Celah energi pertama terjadi untuk nilai k = + π/a. Ingat bahwa daerah antara - π/a dengan + π/a disebut daerah Brillouin pertama. Celah energi-celah energi yang lainnya terjadi untuk nilai-nilai k yang merupakan kelipatan dari + π/a. Fungsi gelombang di titik k = + π/a merupakan fungsi gelombang hasil interferensi antara gelombang yang berjalan ke kanan dan ke kiri. Hal ini dapat terjadi jika syarat difraksi Bragg terpenuhi oleh fungsi gelombang k. Hasilnya, fungsi gelombang di titik k = + π/a merupakan gelombang berdiri. Fungsi gelombang berdiri tersebut terdiri atas dua macam, yaitu fungsi gelombang yang saling menguatkan dan fungsi gelombang yang saling melemahkan. Secara matematik, kedua fungsi gelombang berdiri tersebut dapat dibentuk dari fungsi gelombang yang berjalan ke kanan dan ke kiri, yaitu sebagai berikut: (5)

(6)

1. Asal Celah Energi Asal mula adanya celah energi yaitu kedua fungsi gelombang φ (+) dan φ (-) (seperti persamaan 5) menumpukkan elektron di dua tempat yang berbeda, dan karena itu, kedua kelompok elektron itu memiliki nilai energi potensial yang berbeda.

Kerapatan muatan pada kedua gelombang berdiri tersebut adalah:

Persamaan di atas akan menumpukkan elektron di atas ion-ion positif yang dipusatkan di titiktitik x = 0, + a, + 2a, + 3a, dst. Lihat gambar 3, kelompok elektron ini berada di daerah yang berenergi potensial rendah.

Persamaan di atas akan menumpukkan elektron-elektron tersebut di tengah-tengah antara ionion positif tersebut, sehingga elektron-elektron ini memiliki energi potensial yang tinggi.

Gambar 3 Fungsi gelombang di titik A tepat di bawah celah energi pada gambar 2 di atas adalah φ (+) sedangkan di titik B tepat di atas celah energi adalah φ (-). 2.

Besar Celah Energi

Fungsi gelombang pada batas zona Brillouin k = π/a adalah

dan

yang dinormalisasikan. Kita misalkan energi potensial sebuah elektron di titik x dalam kristal itu sebagai:

Maka kita dapat menentukan nilai energi celah, Eg (yaitu perbedaan energi antara kedua gelombang berdiri) sebagai berikut: 𝟏

𝐄𝐠 = ∫𝟎 𝐝𝐱 𝐔(𝐱)[|𝛗(+)|𝟐 − |𝛗(−)|𝟐 ]

(6)

= 𝟐 ∫ 𝐝𝐱 𝐔 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝛑𝐱/𝐚) (𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝛑𝐱/𝐚 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝛑𝐱/𝐚) = 𝐔

Jadi, nilai energi celah ini sama dengan komponen dari deret Fourier energi potensial.

B. TEOREMA BLOCH Fungsi Bloch membuktikan perlunya teorema bahwa solusi dari persamaan Schrodinger untuk potensial periodik harus dalam bentuk khusus. (7) uk (r) = periode kisi kristal uk (r) = uk (r + T)

Teorema Bloch: Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodik adalah hasil kali antara suatu gelombang bidang exp(ik. r) dengan suatu fungsi uk (r) dengan periode sifat kisi kristal. Fungsi Bloch berlaku ketikatidak berdegenerasi, yaitu ketika tidak ada fungsi gelombang lain dengan energi sama dan vektor gelombang sebagai

.

N = kisi kristal pada lingkaran Na Energi potensial dalam a, dimana U (x) = U (x + sa), dimana s adalah bilangan bulat. Maka solusi dari fungsi gelombang adalah: (8)

Dimana C adalah konstan, maka kejadian di sekitar lingkaran Na adalah: 𝛙(𝐱 + 𝐍𝐚) = 𝛙(𝐱) = 𝐂 𝐍 𝛙(𝐱)

karena ψ(x) harus bernilai tunggal. (9) Maka kita dapat melihat bahwa: (10) Dimana: uk (x) = uk (x + a) k = 2πs/Na

C. MODEL KRONIG-PENNEY Potensial periodik yang merupakan persamaan gelombang dapat diselesaikan dalam fungsi dasar seperti pada gambar 4. Persamaan gelombangnya adalah: (11) Dimana: U(x) = energi potensial

= nilai eigen energi Model ini menjelaskan tingkah laku elektron dalam sebuah energi potensial yang periodik, dengan menganggap energi potensial periodik itu merupakan deretan sumur energi potensial persegi seperti ditunjukkan dalam gambar 4 di bawah ini.

Gambar 4 Energi potensial periodik satu dimensi yang digunakan oleh Kronig dan Penney. Di dasar sumur, yaitu untuk 0 < x < a, elektron dianggap berada di sekitar sebuah inti atom (atau diantara dua inti atom), dan energi potensialnya dianggap nol, sehingga di daerah ini elektron bertingkah sebagai elektron bebas. Sebaliknya, di luar sumur, yaitu untuk –b < x < 0, energi potensial elektron dianggap sama dengan U0. Fungsi-fungsi gelombang elektron diperoleh dari persamaan Schrodinger untuk kedua daerah (yaitu daerah 0 < x < a, dan daerah –b < x < 0) sebagai berikut: Wilayah 0 < x < a saat U = 0, eigenfunction adalah kombinasi linear (12) Bidang gelombang berjalan ke kanan dan ke kiri, dengan energi: (13) Dalam daerah –b < x < 0 solusi penghalangnya berbentuk (14)

Dengan

(15)

Solusi dari persamaan (7) pada wilayah a < x < a + b harus dikaitkan dengan solusi persamaan (14) pada wilayah –b < x < 0 dengan teorema Bloch: (16)

Konstanta A, B,C, D dipilih sehingga

dan

kontinu pada x = 0 dan x = a.

Saat x = 0 A+B=C+D iK(A – B) = Q(C – D) Saat x = a Dengan menggunakan persamaan 16, didapat: (19) (20) Keempat persamaan linier yang homogen ini (Persamaan 17 sampai 20) akan memiliki solusi jika determinan dari koefisien-koefisien A, B, C, dan D adalah sama dengan nol. Atau jika (21) Hasilnya akan menjadi sederhana, ketika batasnya b = 0 dan U = ~ menjadi Q2ba/2 = P. Dalam batas ini Q > K dan Qb < 1. Kemudian 21a mereduksi menjadi:

DAFTAR PUSTAKA Puri dan Babbar. 1997. Solid State Physics.Chand dan Company Ltd: New Delhi M. A. Omar. 1975. Elementary Solid State Physics. Addison-Wesley Publ: London