Tugas 1-m. Andreansyah - Trisna.docx

TUGAS 1 MEKANIKA KLASIK POSISI, KECEPATAN, PERCEPATAN, DAN SISTIM KOORDINAT M. ANDREANSYAH DAN TRISNA MAULANA

Posisi, kecepatan, dan percepatan Posisi suatu benda pada suatu waktu t tertentu kita tulis sebagai ~r(t). Jika saat t = t1 benda berada pada posisi ~r1 ≡ ~r(t1) dan saat t = t2 > t1 benda berada pada ~r2 ≡ ~r(t2), maka perpindahan yang dialami oleh benda adalah ∆~r = ~r2 −~r1.

(1)

Jika kita menyatakan posisi benda dalam koordinat Kartesian, ~r = x ˆi + y ˆj + z k,ˆ

(2)

maka perpindahan benda dapat juga dinyatakan sebagai ∆~r = ∆x ˆi + ∆y ˆj + ∆z kˆ

(3)

Dengan mengetahui perpindahan (∆~r) benda untuk selang waktu ∆t tertentu, kita dapat menentukan kecepatan rata-rata benda

(4) dengan besaran-besaran ,

,

,

(5)

secara berurutan adalah komponen-komponen kecepatan rata-rata yang sejajar dengan sumbu x, y, dan z. Pada bagian ini, kita menggunakan notasi kurung h...i untuk besaran rata-rata, yang sebelumnya kita tuliskan dengan notasi overbar (misalnya v¯ dan a¯). Jika kita mengukur kecepatan benda untuk selang waktu yang cukup kecil, ∆t → 0, maka kita dapat memperoleh kecepatan sesaat benda, (6) dengan , secara berurutan adalah komponen kecepatan sesaat pada arah sumbu x, y, dan z.

(7)

Percepatan rata-rata ditentukan dengan mengukur perubahan kecepatan benda pada selang waktu ∆t tertentu,

(8) dengan besaran-besaran ,

,

,

(9)

secara berurutan adalah komponen-komponen percepatan rata-rata yang sejajar dengan sumbu x, y, dan z. Kecepatan sesaat diperoleh dengan mengambil selang waktu yang cukup singkat ∆t → 0, (10) dengan .

(11)

Posisi, kecepatan, dan percepatan gerak melingkar Anggaplah suatu partikel yang mula-mula berada di titik P lalu bergerak melingkar mengikuti lintasan berwarna ungu pada gambar 2. Posisi partikel tersebut akan berubah terhadap waktu. Jika jari-jari lintasan partikel selalu tetap, maka besaran yang berubah dari posisi partikel adalah tersebut adalah θ, sedangkan r nilainya tetap. Karena vektor-vektor satuan bergantung pada θ (lihat persamaan 35), maka selama partikel bergerak arah vektor-vektor satuan rˆ dan θˆ selalu berubah, atau merupakan fungsi dari waktu t. Sesuai persamaan (33), posisi partikel adalah ~r(t) = rrˆ(t).

(36)

y

⃗r O

P x

Gambar 2: Partikel bergerak melingkar mengikuti lintasan berbentuk lingkaran. Kecepatan partikel adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, sehingga diperoleh

(37)

dengan disebut kecepatan sudut. Karena arah θˆ tegaklurus rˆ, dan rˆ searah dengan jarijari lingkaran, maka arah θˆsejajar dengan garis singgung lingkaran ungu. Dengan demikian, kecepatan ~v merupakan kecepatan tangensial partikel. Jika nilai kecepatan sudut ω konstan, maka nilai dari laju tangensial juga konstan. Untuk menentukan percepatan, kita turukan kembali kecepatan ~v(t) terhadap t, diperoleh (38)

dengan disebut percepatan sudut. Suku pertama dari percepatan tersebut (yaitu rα) disebut sebagai percepatan tangensial, karena arahnya searah dengan θˆ, dan nilainya bergantung pada percepatan sudut. Jika partikel bergerak dengan kecepatan sudut konstan, maka diperoleh (ingat persamaan 37). Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, yang arahnya menuju pusat lintasan partikel. Nilai percepatan sentripetal bergantung hanya pada ω (dan tentu saja r), sehingga partikel yang bergerak melingkar selalu memiliki percepatan jenis ini. Sehingga, kita dapat katakan percepatan sentripetal sebagai percepatan yang menyebabkan suatu benda bergerak melingkar.

Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R 2 ) atau ruang ( R 3 ) . Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara lain sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650), sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidang (R2), letak titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Sedangkan pada ruang (R3) letak suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola.

Sistem koordinat polar Pada kuliah sebelumnya, kita selalu menggunakan sistem koordinat Kartesian untuk menggambarkan lintasan partikel yang bergerak. Koordinat Kartesian mudah digunakan saat menggambarkan gerak linear partikel, namun sedikit merepotkan saat digunakan untuk meninjau gerak melingkar1. Posisi suatu titik (misal P) dalam koordinat polar dinyatakan oleh notasi (r,θ), dengan r menyatakan jarak partikel dari suatu titik acuan (titik asal/origin, misal disebut O) dan θ menyatakan sudut antara suatu sumbu acuan yang melalui O dan garis yang 1 Walaupun tentu saja, kejadian fisis yang terjadi tidak bergantung sistem koordinat. Benda yang yang bergerak melingkar tetap akan bergerak melingkar, baik dilihat melalui sistem koordinat polar maupun Kartesian 2ini bukan istilah standar

menghubungkan O dengan P. Vektor satuan untuk koordinat polar kita simbolkan dengan {r,ˆ θˆ}. Gambaran untuk r,θ,rˆ, dan θˆ diberikan oleh gambar berikut (gambar kiri). Vektor posisi titik P dinyatakan dengan simbol ~r dan digambarkan dengan panah warna biru. Panjang vektor tersebut adalah r. Sudut θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor r terhadap sumbu-x positif. Hal yang menarik dari koordinat polar adalah arah vektor-vektor satuan rˆ dan θˆ selalu berubah mengikuti posisi titik P. Arah vektor rˆ sama dengan vektor ~r, sedangkan arah θˆ tegaklurus rˆ dan searah dengan arah ’bukaan’2 sudut θ. Posisi dari titik P, dapat dinyatakan sebagai ~rP = ~r = rr.ˆ (33) y

r^

P

x

Gambar 1: Kiri: besaran-besaran dalam koordinat polar. Kanan: uraian vektor-vektor satuan koordinat polar ke komponen-komponennya (warna hijau). Hubungan antara koordinat polar dan Kartesian dapat diperoleh dengan menerapkan trigonometri untuk sudut θ. Hasilnya, xP = rcosθ

dan

yP = rsinθ.

(34)

Vektor-vektor satuan rˆ dan θˆ juga dapat diuraikan dalam vektor-vektor satuan koordinat Kartesian ˆi dan ˆj sebagai berikut (perhatikan gambar kanan dan ingat |rˆ| = 1), rˆ = cosθ ˆi + sinθ ˆj

dan

θˆ= −sinθ ˆi + cosθ ˆj.

(35)

Selanjutnya koordinat Kartesian 2 dimensi dapat diperluas menjadi Kartesian 3 dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu x, y dan z. Pada Gambar berikut menyatakan titik P dapat dinyatakan dalam x, y dan z. OP adalah jarak titik P ke pusat O.

Koordinat Cartesius 3 dimensi (x, y, z) pada Gambar 7 di atas dapat diubah menjadi Koordinat Tabung dan koordinat bola. Hubungan diantara ketiganya, jika P(x,y,z) adalah letak titik dalam koordinat Cartesius, maka P ( r ,  , z ) adalah letak dalam koordinat tabung dan P (  ,  ,  ) adalah titik dalam koordinat

bola (Spherical Coordinate). Hubungan ketiga koordinat dapat digambarkan sebagai berikut:

Z

Z

Z

P(  , ,  )

P(r , , z )

P ( x, y , z )

 X Y



X

Y Y Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dihubungkan oleh persamaan:

x  r cos  y  r cos  x2  y2  r 2 tan  

y x

zz



X