Tugas 1

Tugas 1 Mata Kuliah : Nilai Awal Syarat Batas Nama: Astrid Wiratri Andriani (060492) Diah Yulita Anggraini (060475) Ika Hardika (060461) Semester / Kelas : VII / B

Adrien Marie Legendre Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) Riwayat Tidak banyak yang dapat diketahui dari masa kecil Legendre. Yang diketahui hanyalah bahwa dia lahir di Toulouse dan sewaktu kecil semua keluarganya pindah ke Paris. Lahir dari keluarga kaya sehingga dapat mengenyam pendidikan berkualitas dalam matematika dan fisika saat sekolah di College Mazarin di Paris. Umur 18 tahun, Legendre mempertahankan tesis dalam bidang matematika dan fisika, tapi lulus tidak spektakuler seperti lulusan lainnya, karena penekanan isinya lebih kepada rencana penelitian dan bukan sekedar menulis tesis. Dalam tesis ini, Legendre memaparkan pustakapustaka yang akan dia pelajari dan hasil-hasil yang mungkin diperoleh lewat pembuktian yang dilakukan. Tidak diperlukan dukungan berupa uang, sehingga selama tinggal di Paris, Legendre dapat berkonsentrasi penuh melakukan penelitian. Menang kontes Tahun 1775 – 1780, Legendre bersama Laplace menjadi pengajar di Ecole Militaire, setelah mendapat pengarahan dari d’Alembert. Tahun 1782, Legendre mengikuti kontes menghitung proyektil yang diselenggarakan Akademi Berlin. Soal dari kontes itu adalah:

Tentukan lintasan peluru atau bom yang dilontarkan oleh sebuah meriam, pertimbangkan hambatan udara; berikanlah rumus-rumus untuk menghitung jarak tembak dengan berbagai kecepatan dan berbagai sudut tembak. Makalah Recherches sur la trajectoire des projectiles dans les milieux resistants memenangkan hadiah sekaligus titik awal bagi Legendre untuk berkarir dalam bidang riset. Kemenangan ini menarik hati Lagrange yang saat itu menjadi direktur matematika di Acedemy Berlin, sehingga memohon kepada Laplace mengenai informasi tentang matematikawan muda pemenang kontes ini. Minat berikut Legendre adalah mempelajari karakteristik dari elips. Mengirimkan pembuktian kepada Maclaurin tentang ciri-ciri elips dengan cara membuat titik-titik pada aksis dua fokus elips secara proporsional. Mengenalkan apa yang sekarang disebut dengan fungsifungsi Legendre untuk menentukan, menggunakan deret berpangkat, karakteristik elips pada titik di luar elips. Legendre mengirim hasil-hasil penelitian ini ke Academie des Sciences di Paris pada awal tahun 1783 dan mendapat pujian dari Laplace. Rekomendasi Laplace, setelah meneliti karya itu, dikirim ke Academie pada bulan Maret 1783, sebelum akhirnya Legendre dipromosikan untuk mengisi jabatan kosong di Academie.

Aplikasi Persamaan Legendre Persamaan differensial Legendre merupakan persamaan differensial yang berbentuk

dengan l adalah konstanta. Persamaan differensial tersebut akan banyak dijumpai manakala menyelesaikan persamaan differensial parsial dalam sistem koordinat bola. Solusi persamaan differensial tersebut adalah dalam bentuk polinomial yang dikenal sebagai polinom Legendre.

Misalkan solusi untuk y berbentuk deret pangkat dalam x

turunan pertama dan keduanya adalah

Bila disusun dalam bentuk tabel agar lebih mudah dianalisa x0 2a2

x 0

x2 -2a2

x3 -6a3

x4 -12a4

xn -n(n -1)an

0

-2a1

-4a2

-6a3

-8a4

-2nan

l(l+1)a0

l(l+1)a1

l(l+1)a2

l(l+1)a3

l(l+1)a4

l(l -1) an

Bila koefisien dari masing-masing suku pangkat x tersebut dijumlahkan, masing-masing harus memberikan nilai sama dengan nol agar persamaan differensial tersebut terpenuhi. Artinya

yang memberikan nilai konstanta a:

Sedangkan dari koefisien xn diperoleh

Dapat diperoleh hubungan antara an+2 dengan an, yaitu

Artinya untuk n genap, koefisien an dapat dinyatakan dalam a0, sedangkan untuk suku yang ganjil dapat dinyatakan dalam a1. Dengan demikian solusi dari persamaan Legendre dapat dinyatakan dalam a0 dan a1:

Deret tersebut konvergen untuk x2 < 1 sedangkan bila x2 = 1 deret tersebut menjadi bersifat divergen Tinjau kasus untuk l = 0. Untuk kasus ini deret a1 dapat dituliskan menjadi: x+

2! 3 4! 5 6! 7 x + x + x + ... yang bersifat divergen. Sedangkan untuk deret a0 3! 5! 7!

dituliskan menjadi 1- 0 + 0 - 0 + ... yang artinya bersifat konvergen. Untuk l

= 1, deret a0 bersifat divergen (pada x2 = 1) sedangkan a1 bersifat konvergen. Secara umum dapat digeneralisasi bahwa untuk nilai l tertentu, salah satu deret bersifat konvergen sementara deret yang satunya lagi divergen pada x2 = 1. Dengan demikian untuk suatu harga l tertentu terdapat polinom untuk y, misalnya untuk l = 0 maka y = a0; untuk l = 1 maka y = a1x dan seterusnya. Masing-masing mempunyai konstanta a0 ATAU a1. Jika konstanta tersebut dipilih sedemikian agar diperoleh nilai y = 1 untuk x = 1, maka diperoleh suatu suku banyak yang dinamakan POLINOM LEGENDRE, yang dituliskan sebagai Pl(x). Misalkan untuk l = 0, maka y = a0. Agar y = 1, maka artinya a0 = 1. Dinyatakan P0(x) = 1. Untuk l = 1 telah diperoleh bahwa y = a1x. Agar y = 1 untuk x = 1, maka artinya a1 = 1 sehingga dinyatakan P1(x) = x. Untuk l = 2, diperoleh y = a0(1 - 3x2). Agar y = 1 dituliskan P2 ( x ) = −

untuk x = 1, maka artinya a0 = -1/2, sehingga

1 1 ( 1 − 3 x 2 ) = (3 x 2 − 1) 2 2

Dengan cara yang sama dapat diperoleh ungkapan untuk P3(x), P4(x) dan seterusnya. Berikut ini adalah polinom Legendre untuk beberapa nilai l:

Polinom Legendre Pl(x) tersebut sering disebut juga sebagai FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA. Terdapat juga FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA yang merupakan solusi untuk setiap l yang berupa deret tak hingga. Fungsi jenis kedua ini biasanya dilambangkan dengan Ql(x) namun penggunaannya tidak sesering fungsi jenis pertama. Plot fungsi Legendre jenis pertama untuk l = 2, 3, 4 dan 5.

Hubungan rekursif pada polinom Legendre:

Hubungan rekursif tersebut dapat digunakan untuk mencari polinom Legendre untuk l tertentu bila diketahui polinom dengan l yang lebih kecil. Misalnya, karena P0 (x) =1 dan P1(x) = x , maka 2 P2 ( x ) = 3 xP1 ( x ) − 1P0 ( x ) = 3 x 2 − 1 → P2 ( x ) =

1 ( 3 x 2 − 1) 2

Contoh penggunaan polinom Legendre dan fungsi pembangkit dalam persoalan elektrostatik: Potensial elektrostatik pada jarak d dari sebuah muatan titik adalah

V =

kq d

dapat dinyatakan r r d = R − r = R − 2 Rr cos θ + r = R 1 − 2 cos θ +   R R 2

2

2

Maka 2 kq kq  r  r   V = = 1 − 2( cos θ )  +    d R  R  R    

1 − 2

Kuntitas dalam kurung siku tersebut mempunyai bentuk yang sama dengan fungsi pembangkit Fdalam kurung siku tersebut mempunyai bentuk yang sama dengan fungsi pembangkit F, sehingga V =

kq kq = Φ d R  

dengan Φ = Φ cos θ ,

r  merupakan fungsi pembangkit polinom Legendre. R

Maka dapat dituliskan l

kq kq ∞  r  V = Φ= ∑  Pl ( cos θ ) R R l =0  R 

Jika terdapat banyak beberapa muatan qi pada posisi ri maka potensial oleh salah satu muatan qi adalah kq Vi = i R

∞ ril Pl ( cos θ i )  ri    Pl ( cos θ i ) = kq i ∑ ∑ R l +1 l =0  R  l =0 l

∞

dan potensial total akibat seluruh muatan adalah

V = ∑Vi = k ∑ i

i

ril Pl ( cos θ i ) qi ∑ R l +1 l =0 ∞

Fungsi Legendre Terasosiasi Persamaan differensial berikut sangat erat kaitannya dengan persamaan Legendre: Solusi persamaan tersebut adalah:

y = (1 − x 2 )

m

2

dm ( Pl ( x ) ) dx m

yang disebut sebagai fungsi Legendre terasosiasi dan dituliskan sebagai Pl m (x) jadi:

Pl m ( x ) = (1 − x 2 )

m

2

dm ( Pl ( x ) ) → fungsi Legendre Terisolasi dx m

Dapat juga dinyatakan menggunkan rumus Rodrigues: m dm l 1 2 Pl ( x ) = l (1 − x ) 2 m ( x 2 − 1) 2 l! dx m

Untuk harga m tertentu, fungsi Legendre terasosiasi juga merupakan kumpulan fungsi ortogonal pada selang (-1,1). Konstanta normalisasi fungsi Legendre terasosiasi adalah:

[∫ P ( x) ] d x= 2l2+( l1(+l m+ )m! )! 1

m

l

−1

2