Tug.1.docx

TUGASAN 1 : (a) Mencari kaedah penyelesaian untuk mencari bilakah gaji Ali dan Ahmad akan sama : 1.Formula : Bulan

Syarikat A Syarikat B

Januari

900

a = permulaan gaji setiap syarikat 750 d = kenaikan gaji setiap bulan Februari

950

810

Mac

1000

870

April

1050

930

Mei

1100

990

Jun

1150

1050

Julai

1200

1110

Ogos

1250

1170

September

1300

1230

Oktober

1350

1290

aA + (n-1)dA

November

1400

1350

900 + (12-1)(50)

Disember

1450

1410

Januari (2015)

1500

1470

Februari

1550

1530

Mac

1600

1590

April

1650

1650

Mei

1700

1710

n = bulan ke berapa a Ali + (n-1)d Ali 900 + (n-1)(50) -10n n

= a ahmad + (n-1)d Ahmad = 750 + (n-1)(60) = -160 =

16

2.Cuba Jaya & Pembuktian (Trial and proving method) : Andaikan pada bulan ke-12, n=12 gaji syarikat adalah tidak sama :

1450

= aB + (n-1)dB = 750 + (12-1)(60) ≠

1410

Jika pada bulan ke 16, n=16 , gaji syarikat adalah sama : aA + (n-1)dA

900 + (16-1)(50)

1650

= aB + (n-1)dB

= 750 + (16-1)(60)

= 1650

2

3. Penyenaraian ( listing method) Syarikat A (RM)

: 900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 1250, 1300, 1350, 1400, 1450, 1500,1550, 1600, 1650, 1700, 1750

Syarikat B (RM)

: 750, 810, 870, 930, 990, 1050, 1110, 1170, 1230, 1290, 1350, 1410, 1470,1530, 1590, 1650, 1710, 1770 Pada bulan ke-16 Ali bekerja dia akan mendapat gaji yang sama bekerja di Syarikat A dan B.

4. Kaedah ICT ( Graf Bar ) Gaji bulanan 1800 1600 1400 1200 1000 800

Syarikat A

600

Syarikat B

400 200 0

Bulan

Rajah 1: Penyelesaian visual melalui graf menunjukkan selepas bulan ke-16, gaji Ahmad akan menjadi lebih tinggi berbanding gaji Ali.

3

(b) Skala gaji manakah lebih baik ? Berikan justifikasi. Gaji bulanan 2500 2000

1500 Syarikat A

1000

Syarikat B 500 0

Bulan

Rajah 2: Graf lanjutan gaji pada bulan yang berikutnya. Bulan ( Tahun 2015) April Mei Jun Julai Ogos September Oktober November Disember

Syarikat A 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 Rajah 3 : Jadual senarai gaji

Syarikat B 1650 1710 1770 1830 1890 1950 2010 2070 2130

Jika kita melihat dari sudut permulaan gaji yang tinggi sememangnya memberikan kelebihan kepada Ali, RM900 yang bekerja di syarikat A. Ahmad pula mempunyai gaji permulaan yang agak rendah iaitu RM750. Akan tetapi jika mementingkan penggunaan dan simpanan wang dalam jangka masa yang panjang, daripada graf bar berkenaan selepas bulan ke-16 pola gaji Ahmad penunjukkan peningkatan yang baik berbanding daripada Ali yang hanya pola kenaikan gajinya sekata sahaja.

4

Kita dapat lihat pada setiap bulan gaji Ahmad akan meningkat RM10, RM20 dan seterusnya jika dibandingkan dengan gaji Ali yang hanya meningkat sekata sahaja. Kenaikan bulanan RM60 lebih baik daripada kenaikan bulanan RM 50 walaupun mempunyai gaji permulaan yang tinggi

5

TUGASAN 2: Mengaplikasikan penggunaan janjang geometri, a = permulaan gaji di setiap syarikat r = perbandingan nisbah gaji antara bulan, T3/T2 n = gaji untuk bulan yang ke berapa i.

Formula : 23 20



r Aidil = Gaji bulan kedua/ Gaji permulaan =



r Azrin = Gaji bulan kedua/ Gaji permulaan = 10

11

a Aidil r Aidil (n-1) > a Azrin r Azrin (n-1) 23

11

20

10

(300) ( )( n-1) > (500) ( )(n-1) 23

23

11

11

20

20

10

10

(300) ( )-1 ( )n > (500) ( )-1 ( )n [(

23 20

11

/ 10 ) ]n > [ ( 23

(22)n > 23

5000 11

23

) (6000) ]

115 66

𝑛 log 22 > log

115 66

𝑛 > 12.4917 𝑛 ≈ 13 (bulan yang ke 13 )

6

ii.

Penyenaraian :

Penggunaan formula asas janjang geometri diaplikasikan : Tn = ar ( n-1 ), dimana : Tn

= sebutan bulan bekerja

a

= permulaan gaji pekerja

r

= nisbah gaji bulan selepas dan sebelum, Tn / Tn-1 23 20



r Aidil = Gaji bulan kedua/ Gaji permulaan =



r Azrin = Gaji bulan kedua/ Gaji permulaan =



untuk mencari gaji seterusnya hanya perlu mengaplikasi formula dan menyenaraikan

11 10

gaji Azrin dan Aidil. Contoh untuk mencari gaji Azrin bagi bulan keempat : T4 = ar ( n-1 ) 23

= (500) (20)(4-1) = RM 665.50 

dan pengiraan gaji yang seterusnya hanya memerlukan aplikasi formula dan senaraikan: Bulan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Gaji Azrin / Syarikat C (RM) 500.00 550.00 605.00 665.50 732.05 805.26 885.78 974.36 1071.79 1178.97 1296.87 1426.56 1569.21 1726.14

Gaji Aidil / Syarikat D ( RM ) 300.00 345.00 396.75 456.26 524.70 603.41 693.92 798.00 917.71 1055.36 1213.67 1395.72 1605.08 1845.84

Rajah 4 : Cara penyenaraian menggunakan formula

7

b) Deskripsi : Permulaan gaji di Syarikat C tempat Azrin bekerja menawarkan gaji permulaan yang tinggi manakalah Syarikat D memberikan permulaan gaji yang agak rendah kepada Aidil. Secara kasarnya mungkin ada yang berpendapat bahawa Syarikat C lebih menguntungkan akan tetapi sebenarnya bekerja di Syarikat D mendatangkan kenaikan gaji yang banyak sebenarnya. Jika kita lihat kepada pola kenaikan gaji di tempat Aidil bekerja iaitu di Syarikat D, skala kenaikan gaji setiap bulan bercorak lebih tinggi dan perkembangan gaji yang baik. Bulan ke-13 menampakkan perbezaan perbezaan yang ketara bahawa gaji Aidil lebih besar berbanding Azrin. Pengiraan dilanjutkan dan mendapati pendapatan Aidil terus melebihi pendapatan Azrin. Hal ini menunjukkan bahawa kenaikan 15% daripada gajinya lebih baik daripada gaji Aidil walaupun permulaan gajinya tinggi akan tetapi kenaikan gaji yang rendah iaitu 10% sahaja. Untuk jangka masa pendek gaji Azrin adalah baik daripada Aidil akan tetapi untuk kegunaan dalam jangka masa panjang gaji Aidil mendapat kelebihan kerana kenaikan yang lebih tinggi.

8

TUGASAN3 : (a) Kira bilangan kelopak untuk menjanakan 6 sebutan berikutnya. SEBUTAN T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

BILANGAN KELOPAK 1 1 2 3 5 8 13 21 34

Rajah 5 : Pengiraan manual kelopak bunga berdasarkan soalan Penyelesaian : Apabila melakukan pengiraan, saya mendapati penggunaan janjang geometrik diaplikasikan untuk mencari kelopak bunga yang seterusnya dengan menggunakan formula, Tn = ar

( n-1 )

.

Sebelum itu, asas untuk mencari kelopak bunga seterusnya memerlukan kita melakukan pencarian nisbah : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 i

pencarian nisbah untuk : 𝑇2 1/1 = 1 𝑇3 2/1 = 2 𝑇4 3/2 = 1.5 𝑇5 5/3 = 1.6667 𝑇6 8/5 = 1.6 𝑇7 13/8 = 1.625 𝑇8 21/13 = 1.6154 𝑇9 34/21 = 1.6190

9

ii

pencarian 6 sebutan berikutnya : T10 / 34 T10 T11/ 55 T11 T12/ 89 T12 T12/ 144. T13 T14/ 233 T14 T15 / 377 T15 𝑇

= 1.618 = 55 kelopak bunga = 1.618 = 89 kelopak bunga = 1.618 = 144 kelopak bunga = 1.618 = 233 kelopak bunga = 1.618 = 377 kelopak bunga = 1.618 = 610 kelopak bunga

𝑇

(b) Nilai 𝑇8 dan 𝑇9 kepada satu nombor perpuluhan dan bentuk satu konjektur. 7

8

𝑇8 𝑇7

21

= 13 = 1.6

𝑇9 𝑇8

=

34 21

= 1.6 Konjektur : Satu hipotesis awal yang dapat dibuat adalah apabila bilangan kelopak bunga sebutan selepas dibahagikan dengan sebutan kelopak bunga yang sebelum akan mendapat 1.6. Apabila kita teliti turutan nombor ini, sebenarnya ianya membentuk Nombor Fibonacci. Jujukan yang terhasil juga menunjukkan dengan jelasnya merupakan Turutan Fibonaaci. Jika kita melanjutkan pengiraan, selepas sebutan kelopak ketiga belas, hasil nisbah yang terhasil adalah sama 1.618 dan berturutan menjadi sama. Nisbah ini merujuk kepada Nisbah Emas ataupun The Golden Ratio. Nisbah 1.618 juga terhasil nombor-nombor Fibonacci akan tetapi harus mengira kepada 4 angka beerti atau lebih untuk mendapat sebutan jumlah kelopak bunga yang dikira adalah tepat.

10

(c) Menentukan nilai bagi lim

𝑇𝑛

𝑛→∞ 𝑇 𝑛−1

𝑇𝑛 𝑛→∞ 𝑇 𝑛−1

lim

betul kepada 4 angka beerti.

𝑎𝑟 ( 𝑛−1 )

=𝑎𝑟( 𝑛−2 ) =

(𝑟 𝑛 ).(𝑟)−1 (𝑟)𝑛 .(𝑟)−2 1.618−1

= 1.618−2 = 1.618 ( 4 angka beerti )

(d) Contoh-contoh nisbah emas dalam alam dan kehidupan :

i.

Banyak contoh nisbah emas yang kita tidak sedar pun ada pada diri kita seperti :

Gambar 1 : Gigi manusia Deskripsi : Doktor gigi menggunakan ukuran nisbah emas ini untuk mengukur jarak kecil antara antara gigi dalam pembuatan gigi palsu. Kegunaan nisbah emas ini dapat dilihat kerana nilainya tetap pada setiap gigi manusia. Relevannya, hal ini sebenarnya memberikan ruang yang cukup untuk pertumbuhan.

11

ii.

Nisbah emas pada struktur pembinaan :

Gambar 2 : Binaan Greek yang kekal sehingga kini Deskripsi : Dengan pembahagian simetri melalu nisbah emas. Setiap ketinggian dan luas kawasan yang dikaji menjadikan binaan itu begitu kukuh. iii.

Nisbah emas pada haiwan :

Gambar 3 : Koloni Lebah

Rajah 6 : Perkembangan biologi filum lebah Deskripsi : Penggunaan nisbah emas dapat dilihat melalui koloni lebah madu yang terdiri daripada satu ratu, beberapa ekor lebah jantan dan banyak pekerja. Lebah betina mempunyai dua orang tua, ratu, dan seekor lebah jantan. Kitaran hidup lebah jantan adalah selaras dengan jujukan Fibonacci iaitu mempunyai 1 ibu bapa, 2 datuk dan 3 moyang.

12