Ts_l1technique Que Du Base

Sommaire 1 Nombres complexes 1.1 D´efinitions et op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Op´erations fondamentales sur les nombres complexes . . . . . . . 1.1.3 Module d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Repr´esentation g´eom´etrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . 1.3 Racines n-i`emes de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Polynˆomes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 R´esolution des ´equations du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Fondements axiomatiques de la th´eorie des nombres complexes (Hamilton, 1835) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test de 30 mn sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 10 14

2 Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´ eciproques 2.1 Fonctions circulaires : formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Formules ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Formules de lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Formules de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Formules relatives aux angles associ´es . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Quelques valeurs particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compl´ements pour le calcul des arccos, arcsin, arctan de r´eels . . . . . . . . 2.2.1 Comment calculer arccos x et arcsin x ? . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Comment calculer arctan x ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Comment calculer cos(arccos x), sin(arcsin x) et tan(arctan x) ? 2.2.4 Comment calculer arccos(cos x), arcsin(sin x) et arctan(tan x) ? 2.2.5 Comment calculer arccos(sin x) et arcsin(cos x) ? . . . . . . . . Exercices sur les fonctions circulaires et les fonctions circulaires r´eciproques Test de 30 mn sur les fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . .

15 15 15 15 15 16 16 16 17 17 19 19 19 20 20 21 22 25

1

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5 5 5 5 6 6 7 7 8

2

Sommaire

3 Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques 3.1 Fonctions exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Comparaison de la croissance des fonctions a x , xk et loga (x) . . . 3.5 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices sur les fonctions exponentielles, logarithmes et hyperboliques Test de 30 mn sur les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . .

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27 27 28 30 31 32 35 38

4 Limites de fonctions et fonctions continues 4.1 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Quelques D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propri´et´es des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Fonctions ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle 4.3 D´eriv´ees et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 utilisation des d´eriv´ees pour le calcul des limites . . . . . . Exercices sur les limites de fonctions et les fonctions continues . . . . . . Test de 45 mn sur les limites de fonctions et les fonctions continues . . .

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39 39 39 40 42 42 42 42 43 44 44 44 45 48

5 Fonctions d´ erivables et leurs d´ eriv´ ees 5.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 propri´et´es des fonctions d´erivables et des d´eriv´ees . . . . . 5.2 Calcul de d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Formule des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . 5.3.1 Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 D´eriv´ees successives. Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 d´eriv´ees d’ordre sup´erieur a` 1 . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Polynˆomes de Taylor par rapport a` 0 de fonctions usuelles Exercices sur les fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees . . . . . . . . . Test de 30 mn sur les fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees . . . . . . .

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49 49 49 49 50 51 51 51 52 52 52 53 55 60

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61 61 61 62 62

6 Primitives et int´ egrales 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . 6.2 D´efinitions et premi`eres propri´et´es 6.3 Liste des primitives usuelles . . . . 6.4 M´ethodes d’int´egration . . . . . . .

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3

Sommaire 6.4.1 Int´egration par parties. . . . . . . . . . . . 6.4.2 Changement de variable. . . . . . . . . . . . 6.4.3 Int´egration des fonctions trigonom´etriques. 6.4.4 Int´egration des fractions rationnelles. . . . . Exercices sur les primitives et int´egrales . . . . . . . . .

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7 Equations diff´ erentielles 7.1 Equations diff´erentielles lin´eaires a` coefficients constants . . . . . . . . . 7.1.1 Equations homog`enes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Equations homog`enes d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Equations inhomog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Equations diff´erentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Equation lin´eaire y 0 = a(x)y + b(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Exemples d’autres ´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . Exercices sur les ´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test de 30 mn sur les ´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . Correction du test de 30 mn sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . Correction du test de 30 mn sur les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . Correction du test de 45 mn sur les limites de fonctions et les fonctions continues Correction du test de 45 mn sur les fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees . . . Partiel (Automne 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Correction du partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 63 64 64 68 73 73 73 74 75 77 77 77 80 82 85 86 87 89 92 95 96

4

Sommaire

Chapitre 1

Nombres complexes 1.1 1.1.1

D´ efinitions et op´ erations L’ensemble des nombres complexes

Il n’existe pas de nombre r´eel x qui soit solution de l’´equation alg´ebrique x 2 +1 = 0. On a introduit l’ensemble des nombres complexes pour donner des solutions a` cette ´equation. En fait les nombres complexes sont les solutions de toutes les ´equations alg´ebriques de degr´e n ∈ N a` coefficients r´eels (et mˆeme a` coefficients complexes). Soit i, appel´e l’unit´e imaginaire, ayant la propri´et´e i 2 = −1. On peut consid´erer un nombre complexe comme ´etant de la forme a + ib , o` u a et b sont des r´eels. Si z = a + ib, alors a est appel´ee la partie r´eelle de z (Re(z)) et b est appel´ee la partie imaginaire de z (Im(z)). Deux nombres complexes a + ib et c + id (o` u a, b, c, d sont des r´eels) sont ´egaux si et seulement si a = c et b = d. On peut consid´erer l’ensemble des nombres r´eels comme le sous-ensemble des nombres complexes pour lequel b = 0. De plus si a = 0, le nombre complexe 0 + ib ou ib est appel´e imaginaire pur. Le nombre complexe conjugu´e d’un nombre complexe a + ib est a − ib. Le nombre complexe conjugu´e de z est not´e z. Proposition 1.1.1 Soient z, z1 et z2 des nombres complexes. On a : z1 + z2 = z1 + z2 , z1 z2 = z1 z2 , Re(z) =

1.1.2

z+z z−z et Im(z) = . 2 2i

Op´ erations fondamentales sur les nombres complexes

En effectuant des op´erations avec des nombres complexes on peut proc´eder de mˆeme qu’avec les nombres r´eels en rempla¸cant i 2 par −1. 1. Addition (a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = (a + c) + i(b + d). 5

6

Chapitre 1. Nombres complexes 2. Soustraction (a + ib) − (c + id) = a + ib − c − id = (a − c) + i(b − d). 3. Multiplication (a + ib)(c + id) = ac + ibc + iad + i2 bd = (ac − bd) + i(bc + ad). 4. Division

1.1.3

(a + ib)(c − id) ac + bd bc − ad a + ib = = 2 +i 2 . c + id (c + id)(c − id) c + d2 c + d2

Module d’un complexe

Le module (ou la valeur absolue) d’un nombre complexe a + ib est d´efini par : p |a + ib| = a2 + b2 .

Si z, z1 et z2 sont des nombres complexes, on a les propri´et´es suivantes : 1. |z| ≥ 0 et |z|2 = zz. 2. Si z ∈ R, |z| est la valeur absolue du r´eel z. 3. |z| = 0 si et seulement si z = 0. 4. |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. 1| 5. zz21 = |z |z2 | si z2 6= 0.

6. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. 7. |z1 + z2 | ≥ |z1 | − |z2 | ou |z1 + z2 | ≥ |z2 | − |z1 |. 8. Si z 6= 0,

1.2

1 z

=

z . |z|2

Repr´ esentation g´ eom´ etrique des nombres complexes

D´ efinition 1.2.1 Dans le plan euclidien rapport´e a ` un rep`ere orthonorm´e, on repr´esente le nombre complexe z = a + ib par le point M de coordonn´ees (a, b). On dit que z est l’affixe complexe du point M . ~ k (norme euclidienne du vecteur OM ~ ) et soit θ = (Ox, ~ OM ~ ) mod 2π (θ Soit ρ = kOM n’est pas d´efini si z = 0.) On a alors : Re(z) = ρ cos θ, Im(z) = ρ sin θ, θ = Arg(z), z = ρ(cos θ + i sin θ). θ est appel´e argument de z.

7

Chapitre 1. Nombres complexes Notation : On pose cos θ + i sin θ = eiθ . Proposition 1.2.2 Si z = a + ib = ρeiθ , on a : ρ=

p a b b a2 + b2 , cos θ = √ , sin θ = √ , tan θ = (si a 6= 0). a a2 + b2 a2 + b2

Th´ eor` eme 1.2.3 Soient z = ρeiθ , z1 = ρ1 eiθ1 , z2 = ρ2 eiθ2 . On a alors : 1. z1 z2 = ρ1 ρ2 ei(θ1 +θ2 ) . 2. z n = ρn einθ pour n ∈ Z. 3.

1 z

= ρ1 e−iθ si z 6= 0.

Corollaire 1.2.4 (Formule de Moivre) Pour tout n ∈ Z on a : (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ, autrement dit, (eiθ )n = einθ . En particulier, e2inπ = 1 et eiπ = −1.

1.3

Racines n-i` emes de l’unit´ e

D´ efinition 1.3.1 Soit n un entier strictement positif. L’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e est : Un = {z ∈ C tel que z n = 1}. Th´ eor` eme 1.3.2 L’ensemble Un a exactement n ´el´ements qui sont les affixes complexes des sommets du polygone a ` n cot´es, de centre O d’affixe 0, dont un des sommets est le point d’affixe 1. En d’autres termes, k

Un = {e2iπ n , 0 ≤ k ≤ n − 1}.

1.4

Polynˆ omes complexes

Soit P (X) = ak X k + ak−1 X k−1 + · · · a0 un polynˆome a` coefficients complexes. Une racine est une valeur complexe z tel que P (z) = 0. Donc il existe m > 0 et un polynˆome Q(X), tel que P (X) = (X − z)m Q(X) et Q(z) 6= 0. On appelle m la multiplicit´e de la racine z.

8

Chapitre 1. Nombres complexes

Th´ eor` eme 1.4.1 (d’Alembert - Gauss) Tout polynˆ ome a ` coefficients complexes peut ˆetre factoris´e P (X) = a(X − z1 )m1 · · · (X − zl )ml P o` u zi est une racine complexe de P a ` multiplicit´e m i . k = li=1 mi est donc le degr´e de P et a le coefficient de X k . Supposons maintenant que les coefficients a i de P sont r´eels. Si z est une racine de multiplicit´e m, alors z¯ est aussi une racine de multiplicit´e m. On obtient alors une factorisation r´eelle de P P (X) = a(X − x1 )m1 · · · (X − xl )ml (X 2 + b1 X + c1 )s1 · · · (X 2 + br X + cr )sr o` u xi est une racine r´eelle de P a` multiplicit´e m i et bi , ci des nombres r´eels avec b2i < 4ci . Les polynˆomes quadratiquesPX 2 + bi X +P ci ont donc deux racines non-r´eelles, qui sont l complexes conjugu´ees. k = i=1 mi + 2 rj=1 sj est le degr´e de P et a le coefficient de Xk.

1.5

R´ esolution des ´ equations du second degr´ e

Soit aX 2 + bX + c un polynˆome du second degr´e a` coefficients complexes. Alors, ce polynˆome admet toujours deux racines distinctes ou une racine double. Pour d´eterminer ces racines, on calcule le discriminant ∆ = b2 − 4ac ∈ C puis, on a les deux cas suivant : 1. Si ∆ = 0, alors l’´equation a une racine double r = −b/2a. 2. Si ∆ 6= 0, alors, on note δ une racine carr´ee de ∆ (c’est-`a-dire δ est un nombre complexe tel que δ 2 = ∆), et l’´equation a deux racines complexes distinctes r1 =

1.6

−b + δ 2a

et

r2 =

−b − δ . 2a

Fondements axiomatiques de la th´ eorie des nombres complexes (Hamilton, 1835)

D’un point de vue logique il est souhaitable de d´efinir un nombre complexe comme un couple ordonn´e (a, b) de nombres r´eels a et b v´erifiant certaines conditions op´erationnelles ´equivalant a` celles vues pr´ec´edemment. Ces d´efinitions sont les suivantes (toutes les lettres repr´esentent des nombres r´eels) : 1. Egalit´ e : (a, b) = (c, d) si et seulement si a = c et b = d. 2. Somme : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Chapitre 1. Nombres complexes

9

3. Produit : (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) et m(a, b) = (ma, mb). De ces d´efinitions on d´eduit : (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), et on peut lui associer a + ib o` u i est le symbole repr´esentant (0, 1) et ayant la propri´et´e 2 i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) (qui peut ˆetre consid´er´e comme ´equivalent au r´eel −1) et (1, 0) peut ˆetre consid´er´e comme ´equivalent au r´eel 1. Le couple (0, 0) correspond au nombre r´eel 0.

10

Chapitre 1. Nombres complexes

Exercices sur les nombres complexes Exercice 1.1 Soit f (z) =

z2 − 1 . Calculer f (1 − i) et f (1 + i). z(z + 3)

Exercice 1.2 Calculer la partie r´eelle et la partie imaginaire du nombre complexe z=

1 + im , 2m + i(m2 − 1)

m ∈ R.

Exercice 1.3 Calculer les racines carr´ees des nombres complexes suivants : a)

Z1 = 7 + 24i,

b)

Z2 = 9 + 40i

et

c)

Z3 = 1 + i.

Exercice 1.4 R´esoudre dans C les ´equations suivantes : √ b) z 2 = 3 − 4i. a) z 2 = −2 3 + 2i, Exercice 1.5 R´esoudre dans C les ´equations suivantes : a) c) e)

iz 2 + (1 − 5i)z + 6i − 2 = 0, z 2 − (3 + 4i)z + 7i − 1 = 0,

b) d)

2

z − 2z = 0.

2z 2 + (5 + i)z + 2 + 2i = 0, z 2 − (3 + 2i)z + 5 + 5i = 0

et

Exercice 1.6 Soit a = eiθ , θ ∈ R. Calculer la partie r´eelle et la partie imaginaire du 1+a . nombre complexe z = 1−a √ 1+i 3 Exercice 1.7 Calculer le module et l’argument de z = √ . 3+i 3 Exercice 1.8 Soit z = √ . Calculer z 4 . 3+i Exercice 1.9 Soit z ∈ C\{1, −1}. Montrer que

si |z| = 1.

1+z est imaginaire pur si et seulement 1−z

Exercice 1.10 R´esoudre de deux fa¸cons diff´erentes l’´equation √ √ 2 2 2 z = +i . 2 2 π π En d´eduire les valeurs de cos et de sin . 8 8

11

Chapitre 1. Nombres complexes Exercice 1.11 Pour lequel des entiers n suivants 1986, 1987, 1988, 1989 le nombre (1 + i)n est-il imaginaire pur ?

Exercice 1.12 R´esoudre (z − i)n = (z + i)n , n ∈ N. Quel est le nombre de solutions ? Exercice 1.13 Calculer

en fonction de n ∈ N.



1+i √ 1+i 3

n

Exercice 1.14 Soit ϕ un r´eel tel que 0 ≤ ϕ ≤ π. On pose p = e iϕ et on consid`ere l’´equation z 2 − 2pz + 1 = 0. (1.1) a) Soient z1 et z2 les solutions de (1.1). Quel est le lien entre |z 1 | et |z2 | et quel est le lien entre Arg(z1 ) et Arg(z2 ) ? b) Pour quelles valeurs de ϕ les solutions z 1 et z2 sont-elles r´eelles ? c) Pour quelles valeurs de ϕ les solutions z 1 et z2 sont-elles imaginaires pures? Exercice 1.15 R´esoudre dans C les ´equations suivantes : √ a) z 5 − z = 0, b) (1 + i 3)z 4 − 1 + i = 0, c)

27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0

et

d)

z 6 − (3 + 2i)z 3 + 2 + 2i = 0.

Exercice 1.16 Sachant qu’elle admet une racine r´eelle, r´esoudre dans C l’´equation suivante : x3 + (1 − 3i)x2 − (6 − i)x + 10i = 0. Exercice 1.17 a) D´eterminer les racines cubiques de 1. √ −1 + i 3 . Montrer que 1 + j + j 2 = 0. b) On note j = 2 c) Exprimer toutes les racines cubiques de 1 en fonction de j. Exercice 1.18 D´eterminer les quatre nombres complexes a, b, c, d diff´erents de 1 qui sont solutions dans C de l’´equation z 5 = 1. Montrer, pour tout nombre complexe z, l’´egalit´e : z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = (z − a)(z − b)(z − c)(z − d).

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Chapitre 1. Nombres complexes

Exercice 1.19 a) D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que |(1 − i)z − 3i| = 3. b) D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que |1 − z| ≤ 1/2. c) D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que Re(1 − z) ≤ 1/2. d) D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que Re(iz) ≤ 1/2. e) D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que |1 − 1/z| 2 = 2. f) D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que z 7 et 1/z 2 soient conjugu´es. z − 3 = 2. g) D´eterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z + 3 z − 3 < 2. h) D´eterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z + 3 z − 3 = 1. i) D´eterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z − 5 z − 3 √ = 2. j) D´eterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z − 5 z − 3 √ ≤ 2. k) D´eterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z − 5

 1 , t ∈ R est Exercice 1.20 Montrer que, dans le plan complexe, l’ensemble 1 + it contenu dans le cercle de centre (1/2, 0) et de rayon 1/2. Est-ce le cercle tout entier ? 

Exercice 1.21 Soit θ ∈ R, 0 ≤ θ ≤ π. a) D´eterminer l’ensemble des nombres complexes z solutions de l’´equation z 6 − 2z 3 cos θ + 1 = 0.

(1.2)

b) D´eterminer θ pour que les points du plan dont les affixes sont les solutions de l’´equation (1.2) soient les sommets d’un hexagone r´egulier. Exercice 1.22 Soient a, b, c, d quatre nombres complexes li´es par les relations a + c = b + d et a + ib = c + id. On appelle A, B, C, D les points d’affixe a, b, c, d respectivement. Montrer que le quadrilat`ere ABCD est un carr´e.

Chapitre 1. Nombres complexes

13

Exercice 1.23 Soient u et v deux nombres complexes. Etablir la relation (Identit´e du parall´elogramme) |u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ) et donner une interpr´etation g´eom´etrique du r´esultat.

14

Chapitre 1. Nombres complexes

Test de 30 mn sur les nombres complexes

Exercice 1 Trouver les racines dans C de x 2 + 2x + 2. Exercice 2 D´eterminer les racines cubiques de 1 + i. Exercice 3 D´eterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que : |iz − 5| < 4.

Chapitre 2

Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´ eciproques 2.1

Fonctions circulaires : formulaire

2.1.1

Formules ´ el´ ementaires

cos2 x + sin2 x = 1, tan x =

2.1.2

sin x 1 1 , 1 + tan2 x = , cos2 x = . cos x cos2 x 1 + tan2 x

Formules d’addition cos(a + b) cos(a − b) sin(a + b) sin(a − b)

cos a cos b − sin a sin b cos a cos b + sin a sin b sin a cos b + cos a sin b sin a cos b − cos a sin b tan a + tan b tan(a + b) = 1 − tan a tan b tan a − tan b . tan(a − b) = 1 + tan a tan b

2.1.3

= = = =

Formules de duplication cos 2a = cos2 a − sin2 a = 1 − 2 sin2 a = 2 cos2 a − 1 sin 2a = 2 sin a cos a 2 tan a tan 2a = . 1 − tan2 a

Cons´equences : 1) Lin´earisation de cos 2 a et de sin2 a : 1 + cos 2a = 2 cos2 a, 1 − cos 2a = 2 sin2 a, cos2 a = 15

1 − cos 2a 1 + cos 2a , sin2 a = . 2 2

16

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

2) Expression de cos x, sin x et tan x en fonction de t = tan cos x =

2.1.4

1 − t2 2t 2t , sin x = , tan x = . 2 2 1+t 1+t 1 − t2

Formules de lin´ earisation cos a cos b = sin a cos b = sin a sin b = cos a sin b =

2.1.5

x : 2

1 (cos(a + b) + cos(a − b)) 2 1 (sin(a + b) + sin(a − b)) 2 1 (cos(a − b) − cos(a + b)) 2 1 (sin(a + b) − sin(a − b)) 2

Formules de factorisation p+q p−q cos 2 2 p+q p−q sin p + sin q = 2 sin cos 2 2 p+q p−q cos p − cos q = −2 sin sin 2 2 p+q p−q cos sin p − sin q = 2 sin 2 2 cos p + cos q = 2 cos

2.1.6

Formules relatives aux angles associ´ es

1. Angles oppos´es : cos(−x) = cos x, sin(−x) = − sin x, tan(−x) = − tan x. 2. Angles suppl´ementaires : cos(π − x) = − cos x, sin(π − x) = sin x, tan(π − x) = − tan x. 3. Angles compl´ementaires : cos

 π  π  1 − x = sin x, sin − x = cos x, tan −x = . 2 2 2 tan x

π

4. Angles “de diff´erence π” : cos(x + π) = − cos x, sin(x + π) = − sin x, tan(x + π) = tan x.

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

2.1.7

17

Quelques valeurs particuli` eres cos(0) = 1, √ cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = 2/2, cos(π/3) = 1/2, cos(π) = −1,

sin(0) = 0, sin(π/6) = 1/2, √ sin(π/4) = √2/2, sin(π/3) = 3/2, sin(π) = 0,

tan(0) = 0 √ tan(π/6) = 3/3 tan(π/4) = 1√ tan(π/3) = 3 tan(π) = 0.

D’autres valeurs se d´eduisent de ce tableau en utilisant les formules des angles associ´es.

2.2

Fonctions circulaires r´ eciproques

D´ efinition 2.2.1 On appelle fonctions circulaires r´eciproques les quatre fonctions suivantes : 1. Fonction “Arc sinus”, fonction r´eciproque de la fonction “sinus” sur l’intervalle [− π2 , π2 ]. arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ] x 7−→ arcsin x

Elle est impaire, continue, d´erivable sur ] − 1, 1[ et strictement croissante, de d´eriv´ee 1 . (arcsin)0 (x) = √ 1 − x2

2. Fonction “Arc cosinus”, fonction r´eciproque de la fonction “cosinus” sur l’intervalle [0, π]. arccos : [−1, 1] → [0, π] x 7−→ arccos x Elle est continue, d´erivable sur ] − 1, 1[ et strictement d´ecroissante, de d´eriv´ee 1 (arccos)0 (x) = − √ . 1 − x2 3. Fonction “Arc tangente”, fonction r´eciproque de la fonction “tangente” sur l’intervalle ] − π2 , π2 [. arctan : ] − ∞, ∞[ → ] − π2 , π2 [ x 7−→ arctan x Elle est impaire, continue, d´erivable et strictement croissante, de d´eriv´ee (arctan)0 (x) =

1 . 1 + x2

4. Fonction “Arc cotangente”, fonction r´eciproque de la fonction “cotangente” sur l’intervalle ]0, π[. arccotan : ] − ∞, ∞[ → ]0, π[ x − 7 → arccotan x

18

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques Elle est continue, d´erivable et strictement d´ecroissante, de d´eriv´ee (arccotan)0 (x) = −

1 . 1 + x2

Voici le graphe des fonctions r´eciproques circulaires ainsi que les limites aux bornes des intervalles de d´efinition. x 7→ arccos(x)

x 7→ arcsin(x)

π

π/2

π/2 –1

–1

0

x 7→ arctan(x) π/2

0

−π/2

1

0

−π/2

x 7→ arccotan(x) π

π/2

0

1

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

19

Compl´ ements pour le calcul des arccos, arcsin, arctan de r´ eels 2.2.1

Comment calculer arccos x et arcsin x ?

Tout d’abord rappelons que arccos x et arcsin x ne sont d´efinies que si x ∈ [−1, 1]. De plus, si x ∈ [−1, 1] est fix´e, arccos x et arcsin x sont uniques. Si x ∈ [−1, 1] est donn´e, comment calculer arccos x ? On a l’´equivalence suivante : arccos x = θ ⇐⇒ θ ∈ [0, π] et cos θ = x. 1 1 Exemple : on veut d´eterminer arccos . On ´ecrit alors arccos = θ avec θ ∈ [0, π] et 2 2 π 1 ; en effet cos θ = . Ainsi (`a l’aide du cercle trigonom´etrique) on trouve que θ = 2 3 π π 1 ∈ [0, π] et bien sur cos = . 3 3 2 Si x ∈ [−1, 1] est donn´e, comment calculer arcsin x ? On a l’´equivalence suivante : h π πi et sin θ = x. arcsin x = θ ⇐⇒ θ ∈ − , 2 2

h π πi 1 1 Exemple : on veut d´eterminer arcsin . On ´ecrit alors arcsin = θ avec θ ∈ − , 2 2 2 2 1 π et sin θ = . Ainsi (`a l’aide du cercle trigonom´etrique) on trouve que θ = ; en effet 2 6 π 1 π h π πi et bien sur sin = . ∈ − , 6 2 2 6 2

2.2.2

Comment calculer arctan x ?

Tout d’abord rappelons que arctan x est d´efinie pour tout x ∈ R. De plus, si x ∈ R est fix´e, arctan x est unique. On a l’´equivalence suivante : i π πh et tan θ = x. arctan x = θ ⇐⇒ θ ∈ − , 2 2 i π πh Exemple : on veut d´eterminer arctan 1. On ´ecrit alors arctan 1 = θ avec θ ∈ − , 2 2 π et tan θ = 1. Ainsi (`a l’aide du cercle trigonom´etrique) on trouve que θ = ; en effet 4 π i π πh π ∈ − , et bien sur tan = 1. 4 2 2 4

20

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

2.2.3

Comment calculer cos(arccos x), sin(arcsin x) et tan(arctan x) ?

Tout d’abord rappelons que cos(arccos x) et sin(arcsin x) n’ont de sens que si x ∈ [−1, 1]. Par contre tan(arctan x) a un sens pour tout x ∈ R. On a les ´egalit´es suivantes : cos(arccos x) = x sin(arcsin x) = x tan(arctan x) = x

2.2.4

pour tout x ∈ [−1, 1]

pour tout x ∈ [−1, 1] pour tout x ∈ R

Comment calculer arccos(cos x), arcsin(sin x) et arctan(tan x) ?

Tout d’abord remarquons que arccos(cos x) et arcsin(sin x) ont un sens pour tout x ∈ R et arctan(tan x) a un sens pour tout x ∈ R\{ π2 + kπ, k ∈ Z}. Attention, en g´en´eral, arccos(cos x) 6= x, arcsin(sin x) 6= x et arctan(tan x) 6= x. On a l’´equivalence suivante : si x ∈ R est fix´e , alors arccos(cos x) = α ⇐⇒ α ∈ [0, π] et cos x = cos α. Ainsi arccos(cos x) = x ⇐⇒ x ∈ [0, π]. Exemple : on veut d´eterminer arccos(cos(9π/4)). On ´ecrit alors arccos(cos(9π/4)) = α avec α ∈ [0, π] et cos α = cos(9π/4). Comme cos(9π/4) = cos(π/4), on obtient alors π α= . 4 On a l’´equivalence suivante : si x ∈ R est fix´e , alors h π πi arcsin(sin x) = α ⇐⇒ α ∈ − , et sin x = sin α. 2 2 h π πi Ainsi arcsin(sin x) = x ⇐⇒ x ∈ − , . 2 2 Exemple : on veut d´eterminer arcsin(sin(9π/4)). On ´ecrit alors arcsin(sin(9π/4)) = α avec α ∈ [−π/2, π/2] et sin α = sin(9π/4). Comme sin(9π/4) = sin(π/4), on obtient π alors α = . 4 On a aussi l’´equivalence suivante : si x ∈ R\{ π2 + kπ, k ∈ Z} est fix´e , alors i π πh arctan(tan x) = α ⇐⇒ α ∈ − , et tan x = tan α. 2 2 i π πh Ainsi arctan(tan x) = x ⇐⇒ x ∈ − , . 2 2 Exemple : on veut d´eterminer arctan(tan(9π/4)). On ´ecrit alors arctan(tan(9π/4)) = α avec α ∈] − π/2, π/2[ et tan α = tan(9π/4). Comme tan(9π/4) = tan(π/4), on obtient π alors α = . 4

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

2.2.5

21

Comment calculer arccos(sin x) et arcsin(cos x) ?

Tout d’abord remarquons que arccos(sin x) et arcsin(cos x) sont d´efinis pour tout x ∈ R. On a les ´equivalences suivantes : arccos(sin x) = α ⇐⇒ α ∈ [0, π] et cos α = sin x

Exemple :

h π πi et sin α = cos x. arcsin(cos x) = α ⇐⇒ α ∈ − , 2 2

 π π 1. On veut d´eterminer arccos sin . On ´ecrit alors arccos sin = α avec α ∈ 3 3 π π [0, π] et sin = cos α. On trouve ainsi α = . 3 6    2π 2π  2. On veut d´eterminer arcsin cos . On ´ecrit alors arcsin cos = α avec 3 3 h π πi 2π 2π 1 π et cos α∈ − , = sin α. Comme cos = − , on trouve ainsi α = − . 2 2 3 3 2 6 

22

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

Exercices sur les fonctions circulaires et les fonctions circulaires r´ eciproques Fonctions circulaires Exercice 2.1 A partir de la formule de Moivre, retrouver les formules d’addition des fonctions circulaires suivantes : cos(a + b) cos(a − b) sin(a + b) sin(a − b)

= = = =

cos a cos b − sin a sin b cos a cos b + sin a sin b sin a cos b + cos a sin b sin a cos b − cos a sin b.

En d´eduire les formules d’addition pour la fonction tan, a ` savoir : tan(a + b) =

tan a + tan b tan a − tan b et tan(a − b) = . 1 − tan a tan b 1 + tan a tan b

Exercice 2.2 A l’aide des formules de duplication, v´erifier que, pour t = tan cos x =

1 − t2 , 1 + t2

sin x =

2t 1 + t2

et

tan x =

x , on a : 2

2t . 1 − t2

Exercice 2.3 Exprimer cos(4x) et sin(4x) en fonction de cos x et sin x. Exercice 2.4 R´esoudre l’´equation : cos 4x = sin 7x. Exercice 2.5 R´esoudre l’´equation : cos 2 x = 1/4. Exercice 2.6 a)

(∗)

R´esoudre les ´equations suivantes :

sin 2x = cos2 x,

b)

cos 2x+2 sin x cos x = 0

et

c)

cos 2 x−sin2 x = cos 5x.

Exercice 2.7 Exprimer en fonction de tan x seulement : a)

sin4 x + cos4 x , sin4 x − cos4 x

b)

sin3 x − cos3 x , sin x + cos x

c)(∗)

cos2 x − sin x cos x.

Exercice 2.8 Soient a, b deux r´eels. Montrer qu’il existe deux constantes A et α telles que : a cos x + b sin x = A cos(x − α) quelque soit x ∈ R. En d´eduire la r´esolution de l’´equation :  √ π 3 cos x + sin x = 2 cos x − . 6

23

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

Fonctions circulaires r´ eciproques Exercice 2.9 Pr´eciser le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : a) c)

1 f (x) = arctan , x √ h(x) = arccos x

b) et

arcsin x , px k(x) = 1 − x2 arcsin x.

g(x) =

d)

Exercice 2.10 Sachant que arcsin(sin x) = x pour x ∈ [− π2 , π2 ], et en utilisant la formule de la d´eriv´ee de la compos´ee de deux fonctions, d´emontrer que pour x ∈] − 1, 1[ : 1 . (arcsin)0 (x) = √ 1 − x2 De fa¸con analogue, d´emontrer que pour x ∈] − 1, 1[ : 1 (arccos)0 (x) = − √ 1 − x2 et que pour x ∈ R :

(arctan)0 (x) =

1 . 1 + x2

Exercice 2.11 Calculer a)

arcsin(1/2),

b)

d)

arctan(tan(9π/4)),

√ arctan(−1/ 3), e)

c)

arcsin(sin(−9π/4))

arcsin(sin(2π/3)), et

f)

tan(arctan 3).

Exercice 2.12 Les ´equations suivantes ont elles des solutions ? Si elles existent, les d´eterminer. 2π , 3

a)

arcsin x =

d)

arctan x + arctan(2x) =

b)

arctan x = π 4

et

e)

2π , 3

c)

arcsin x + arctan

arccos x + arctan

1 π = , 3 4

1 = π. 2

Exercice 2.13 Trouver une expression simple pour arccos(cos x) quand x ∈ [π; 2π]. Mˆeme question avec arcsin(sin x) et x ∈ [−3π/2; −π/2]. Exercice 2.14 Soit f : R → R l’application d´efinie pour x ∈ R par f (x) = arcsin(sin x). Etudier les propri´et´es de f et tracer son graphe.

24

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

Exercice 2.15 Soit f : R → R l’application d´efinie pour x ∈ R par f (x) = arcsin(sin 3x). Etudier les propri´et´es de f et tracer son graphe. Exercice 2.16

(∗)

Soit f : R → R l’application d´efinie pour x ∈ R par :

f (x) = arccos(cos x) +

1 1 arccos(cos(2x)) + arccos(cos(3x)). 2 6

Etudier les propri´et´es de f et tracer son graphe. Exercice 2.17

(∗)

√ √ Soit f : R\{− 2, 2} → R l’application d´efinie par :

f (x) = arctan(x − 1) + arctan(x + 1) − arctan

2x . 2 − x2

Etudier les propri´et´es de f et tracer son graphe. Exercice 2.18 Trouver le domaine de d´efinition, puis ´etudier les variations des fonctions suivantes : a) c)

2x 2x , b) g(x) = arctan , 1 + x2 1 − x2 2x x h(x) = arcsin − 2 arctan x et d) k(x) = arccos . 2 1+x 2−x f (x) = arcsin

Exercice 2.19 D´emontrer que : a) b) c)

pour tout x ∈ [−1, 1], arcsin x + arccos x = 1 π = , x 2 1 π si x < 0, arctan x + arctan = − . x 2 si x > 0, arctan x + arctan

π , 2

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

Test de 30 mn sur les fonctions circulaires r´ eciproques

Exercice 1 Calculer :  −1  . 1. arccos 2   2π  2. arcsin cos . 3   19π  . 3. arctan tan 4 Exercice 2 Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : 1. f : x 7−→ tan(x2 ). 2. g : x 7−→ arccos(2x2 − 1). 3. h : x 7−→ arcsin(cos 3x).

25

26

Chapitre 2. Fonctions circulaires et fonctions circulaires r´eciproques

Chapitre 3

Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques 3.1

Fonctions exponentielles et logarithmes

D´ efinition 3.1.1 Il n’existe qu’une seule fonction f d´efinie sur R, d´erivable, a ` d´eriv´ee continue, telle que f 0 (x) = f (x) pour tout x et f (0) = 1. Cette fonction est not´ee x 7−→ ex (”exponentielle” de x) et v´erifie : ex+y = ex ey , pour tout x et tout y ∈ R. En outre cette fonction est strictement croissante et a pour image l’intervalle ]0, +∞[. D´ efinition 3.1.2 La fonction r´eciproque de la fonction exponentielle est la fonction ”logarithme” (ou logarithme n´ep´erien) ; elle est not´ee x 7−→ ln x ; elle est d´efinie, continue, d´erivable et strictement croissante sur l’intervalle ]0, +∞[. Sa d´eriv´ee en x vaut (ln)0 (x) = x1 . Enfin elle v´erifie : ln(xy) = ln(x) + ln(y), pour tout x et tout y ∈]0, +∞[. Proposition 3.1.3 Les fonctions logarithme et exponentielle v´erifient : 1. 2. 3.

lim ex = +∞ et lim ex = 0.

x→+∞

x→−∞

lim ln x = +∞ et lim ln x = −∞.

x→+∞

x→0+

ln x ex = 0 et lim = +∞. x→+∞ x x→+∞ x lim

ex − 1 ln(1 + x) = 1 et lim = 1. x→0 x→0 x x

4. lim

Les ´egalit´es de 4. sont simplement les affirmations que les d´eriv´ees des fonctions x 7−→ ln(1 + x) et x 7−→ ex en 0 sont ´egales a` 1. 27

28

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

Rappel de propri´ et´ es alg´ ebriques fondamentales du logarithme et de l’exponentielle ln

a b

= ln(a) − ln(b) pour tout a, b > 0 et ln(a q ) = q ln(a) pour tout a > 0 et q ∈ Q. e−a =

1 pour tout a r´eel et (ea )q = eqa pour tout a r´eel et q ∈ Q. ea

Graphes des fonctions exponentielle et logarithme les fonctions x 7→ exp(x) et x 7→ ln(x)

exp(x)

exp(2)

ln(x)

e 2 1 0

3.2

1

2 e

exp(2)

Fonctions exponentielles

Proposition 3.2.1 Soit a > 0. On pose, pour x ∈ R, ax = ex ln(a) . La fonction x 7−→ ax est d´efinie sur R, continue et d´erivable et v´erifie :

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

29

1. ln(ax ) = x ln(a) pour tout x ∈ R. 2. ax ay = ax+y pout tout x, y ∈ R. 3. (ab)x = ax bx pour a, b > 0 et pour tout x ∈ R. 4. (ax )y = axy pout tout x, y ∈ R. 5. (ab)x = ax bx pour a, b > 0 et pour tout x ∈ R. 6. (ax )0 = ax ln(a) pour tout x ∈ R. 7. x 7−→ ax est strictement croissante (resp. d´ecroissante) si a > 1 (resp. si a < 1).
x 8. lim 1 + x1 = e. x→+∞

Preuve : x 7−→ ax est la fonction compos´ee des deux fonctions x 7−→ x ln(a) et y 7−→ e y . Cette remarque donne la continuit´e, la d´erivabilit´e, les ´egalit´es 5. et 6. Les autres ´egalit´es d´ecoulent de la propri´et´e ln e x = x et se d´emontrent en prenant les logarithmes de chaque membre. Pour l’´egalit´e 7. on utilise le 4. de la Proposition 1.2.

Graphes des fonctions exponentielles x 7→ ax avec a > 0 a>1 a<1

1

a=1

D´ efinition 3.2.2 Pour tout x > 0 et tout k ∈ R, la fonction puissance k-i`eme est la fonction x 7−→ xk = ek ln(x) . Elle est continue, d´erivable sur ]0, +∞[, de d´eriv´ee kx k−1 en x. Enfin elle est strictement croissante (resp. d´ecroissante) si k > 0 (resp. si k < 0).

30

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

Graphes des fonctions puissances x 7→ xk pour x > 0

k<0

k>1

k=1

0
1

0

3.3

1

Fonctions logarithmiques

Proposition 3.3.1 Soit a > 0, a 6= 1. On pose, pour x ∈]0, +∞[, loga (x) =

ln x . ln a

En fait la fonction x 7−→ log a (x) est la fonction r´eciproque de x 7−→ a x . La fonction x 7−→ loga (x) est d´efinie sur ]0, +∞[, continue et d´erivable et v´erifie : 1. log e (x) = ln(x) pour tout x > 0. 2. log a (a) = 1. 3. log a (xy) = log a (x) + loga (y) pout tout x, y > 0. 4. log a (xq ) = q log a (x) pout tout q ∈ Q et pour tout x > 0. 5. log a (b) log b (a) = 1 pour a, b > 0. 6. (log a )0 (x) =

1 pour x > 0. x ln a

7. x 7−→ log a (x) est strictement croissante (resp. d´ecroissante) si a > 1 (resp. si 0 < a < 1).

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques 8.

31

lim loga (x) = +∞ si a > 1 et lim loga (x) = −∞ si 0 < a < 1.

x→+∞

x→+∞

9. lim log a (x) = −∞ si a > 1 et lim loga (x) = +∞ si 0 < a < 1. x→0+

x→0+

Graphes des fonctions logarithmiques x 7→ log a (x) avec 0 < a, a 6= 1

a>1

1 a

0 1

0
3.4

Comparaison de la croissance des fonctions ax , xk et loga (x)

Pour a rel="nofollow"> 1 et k > 0 : ax = +∞ et x→+∞ xk lim

xk = +∞. x→+∞ log a x lim

En particulier : ln x = 0. x lim x ln x = 0. lim

x→+∞ x→0

ex x→+∞ xk xk lim x→+∞ (log a x)n lim

= +∞ pour tout k > 0. = +∞ pour tout k, n > 0.

32

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

3.5

Fonctions hyperboliques

D´ efinition 3.5.1 Les quatre fonctions hyperboliques sont d´efinies comme suit : 1. ”cosinus hyperbolique” : ch x = 2. ”sinus hyperbolique” : sh x =

ex + e−x . 2

ex − e−x . 2

3. ”tangente hyperbolique” : th x =

sh x ex − e−x = x . ch x e + e−x

4. ”cotangente hyperbolique” : coth x =

ex + e−x 1 = x . th x e − e−x

Proposition 3.5.2 A l’instar des fonctions circulaires ordinaires, les fonctions hyperboliques sont d´efinies sur R (sauf coth qui est d´efinie sur R\{0}), continues et d´erivables, et satisfont les propri´et´es suivantes : 1. La fonction x 7−→ ch x est paire et strictement croissante dans [0, +∞[. 2. La fonction x 7−→ sh x est impaire et strictement croissante sur R. 3. La fonction x 7−→ th x est impaire et strictement croissante sur R. 4. La fonction x 7−→ coth x est impaire et strictement d´ecroissante sur ]0, +∞[. On a le formulaire suivant (cf. Travaux Dirig´es) :

Relations fondamentales 1. ch(x) + sh(x) = ex et ch(x) − sh(x) = e−x , ce qui donne : 2. ch2 x − sh2 x = 1. 3. (ch(x) + sh(x))n = ch(nx) + sh(nx) pour tout entier positif n 4. 1 − th2 x =

1 . ch2 x

Formules d’addition 1. sh(x + y) = sh(x) ch(y) + sh(y) ch(x). 2. sh(x − y) = sh(x) ch(y) − sh(y) ch(x). 3. ch(x + y) = ch(x) ch(y) + sh(y) sh(x). 4. ch(x − y) = ch(x) ch(y) − sh(y) sh(x).

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

5. th(x + y) =

th(x) + th(y) . 1 + th(x) th(y)

6. th(x − y) =

th(x) − th(y) . 1 − th(x) th(y)

Formules de duplication 1. th(2x) =

2 th(x) . 1 + th2 (x)

2. sh2 (x) =

ch(2x) − 1 ch(2x) + 1 ch(2x) − 1 , ch2 (x) = , th2 (x) = . 2 2 ch(2x) + 1

3. ch(2x) =

2 th(x) 1 + th2 (x) , sh(2x) = . 2 1 − th (x) 1 − th2 (x)

D´ eriv´ ees 1. (ch)0 (x) = sh(x), (sh)0 (x) = ch(x). 2. (th)0 (x) = 1 − th2 (x), (coth)0 (x) = 1 − coth2 (x).

Limites aux bornes des intervalles de d´ efinitions 1. 2. 3.

lim sh(x) = lim ch(x) = +∞,

x→+∞

x→+∞

lim th(x) = 1,

x→+∞

lim th(x) = −1.

x→−∞

lim coth(x) = 1,

x→+∞

lim sh(x) = −∞,

x→−∞

lim coth(x) = −1.

x→−∞

4. lim coth(x) = +∞, lim coth(x) = −∞. x→0+

x→0−

5. Pour tout x ∈ R, ch(x) ≥ 1.

lim ch(x) = +∞.

x→−∞

33

34

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

Graphes des fonctions hyperboliques x 7→ ch(x)

x 7→ th(x)

x 7→ sh(x)

x 7→ coth(x) 1

1 0 0 –1

–1

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

35

Exercices sur les fonctions exponentielles, logarithmes et hyperboliques Fonctions exponentielles et logarithmes Exercice 3.1 Rechercher dans R les solutions de l’´equation   1 x+3 ln = (ln x + ln 3). 2 2 Exercice 3.2 R´esoudre dans R2 le syst`eme : 

x + y = 55 ln x + ln y = ln 700

Exercice 3.3 D´eterminer la limite, pour x → +∞, de : a)

ln x − x,

b)

ln2 x −

√

x,

c)

ln(x + 1) . ln x

Exercice 3.4 D´eterminer la limite, pour x → 0 avec x > 0, de la fonction f (x) =

√ x ln3 x.

Exercice 3.5 Calculer a)

lim (ex − x) ,

ex , x→+∞ ln x

b)

x→+∞

lim

et

c)

lim x2 e1/x .

x→0

Exercice 3.6 Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : a)

f (x) = x ln x,

b)

c)

f (x) = ln | tan(x/2)|

f (x) = ln | ln x|, et

d)

  p f (x) = ln x + x2 + 1 .

Exercice 3.7 Soient x et y deux r´eels distincts. Montrer que l’on a : e (∗)

x+y 2

<

ex + e y . 2

Interpr´eter cette in´egalit´e sur le graphe de la fonction x → e x .

Exercice 3.8 Etudier les variations et tracer le graphe de la fonction f (x) = x − ln x.

36

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

Exercice 3.9 Etudier les fonctions : f (x) = ln x −

x−1 x

et

g(x) = x − 1 − ln x.

En d´eduire que, si x > 1, on a : x−1 < ln x < x − 1. x Exercice 3.10 Etudier les fonctions : f (x) = ln(1 + x) − x,

g(x) = ln(1 + x) − x +

x2 2

et

h(x) = x − 1 − ln x.

En d´eduire que, si x > 0, on a : x−

x2 < ln(1 + x) < x. 2

Exercice 3.11 Etudier le sens de variation de la fonction f : R → R d´efinie par f (x) = ex − 1 − x. En d´eduire que l’on a : 1 + x < ex pour tout x r´eel.

Fonctions hyperboliques Exercice 3.12 Montrer que pour tout entier positif n et pour tout r´eel x : (ch(x) + sh(x))n = ch(nx) + sh(nx). Exercice 3.13 V´erifier les formules d’addition des fonctions hyperboliques suivantes a) sh(a + b) = sh(a) ch(b) + sh(b) ch(a),

b) sh(a − b) = sh(a) ch(b) − sh(b) ch(a),

c) ch(a + b) = ch(a) ch(b) + sh(b) sh(a), d) ch(a − b) = ch(a) ch(b) − sh(b) sh(a), th(a) + th(b) th(a) − th(b) e) th(a + b) = et f) th(a − b) = . 1 + th(a) th(b) 1 − th(a) th(b) Exercice 3.14 Montrer que l’on a, pour x et y r´eels : a)

sh x + sh y = 2 sh

x−y x+y ch , 2 2

b)

ch x − ch y = 2 sh

x+y x−y sh . 2 2



Exercice 3.15 Calculer ch 12 ln(3) et sh 12 ln(3) . A l’aide de la formule d’addition ch(a+b) = ch(a) ch(b)+sh(b) sh(a) et de la question pr´ec´edente, d´eterminer les solutions r´eelles de l’´equation : √ 2 ch x + sh x = 3 ch(5x).

37

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques Exercice 3.16 R´esoudre les ´equations : a)

2 ch x + 3 sh x = 1,

b)

ch x + 2 sh x = 1,

et

c)

3 ch x + 2 sh x = 4.

Exercice 3.17 R´esoudre le syst`eme :  ch x + ch y = 3 sh x + sh y = 2 Exercice 3.18 Calculer : a)

lim ln(ch x) − x,

x→+∞

lim e1−th x

b)

x→+∞

et

c)

lim (1 + th x)1/ sh x .

x→0

Exercice 3.19 Trouver les limites, quand x → 0, des fonctions suivantes : a)

f (x) =

sh x , x

b)

g(x) =

1 − ch x x2

et

c)

h(x) =

th x . x

Exercice 3.20 Etudier les variations et tracer le graphe des fonctions suivantes : a) Exercice 3.21

(∗)

1 f (x) = th , x

b)

h(x) = th x −

1 . ch x

Calculer les d´eriv´ees successives de la fonction

x 7−→ f (x) = ex ch(a) sh(x sh(a)) o` u a est un r´eel fix´e.

38

Chapitre 3. Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques

Test de 30 mn sur les fonctions hyperboliques

Exercice 1 Etudier la fonction tangente hyperbolique th (Tableau de variation et graphe). Exercice 2 Sachant que ch(− ln 4) =

17 8

et

sh(− ln 4) = −

15 , 8

a ` l’aide de la formule donnant sh(a + b) en fonction de sh(a), sh(b), ch(a) et ch(b), r´esoudre l’equation suivante : 17 sh(2x) − 15 ch(2x) = 8 sh(9x − 1). Exercice 3 R´esoudre l’equation : ch(x) = 4 sh(x).

Chapitre 4

Limites de fonctions et fonctions continues 4.1 4.1.1

Limite d’une fonction en un point Quelques D´ efinitions

Si f est une fonction r´eelle d’une variable r´eelle, on note D f ⊂ R son ensemble (ou domaine) de d´efinition. Quand on parlera de limite d’une fonction f en un point x 0 ∈ R, on supposera toujours (et le plus souvent sans le rappeler) que D f contient un intervalle de la forme ]x 0 , a[ avec x0 < a, ou un intervalle de la forme ]b , x 0 [ avec b < x0 , ou les deux. De mˆeme, quand on parlera de limite de f en +∞ (resp. en −∞), on supposera que Df contient un intervalle de la forme ]a , +∞[ (resp. un intervalle de la forme ] − ∞ , b[). D´ efinition 4.1.1 Une fonction f admet une limite finie ´egale a ` ` ∈ R en un point x0 ∈ R si : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x ∈ D f v´erifiant 0 <| x − x0 |< η, on a | f (x) − ` |< ε. Remarques 1. En d’autres termes, f (x) est aussi proche qu’on veut de la limite ` a` condition que x soit suffisamment pr`es de x0 . 2. Lorsqu’une fonction f admet une limite ` en un point x 0 , cette limite est unique −→ `. et est not´ee ` = lim f (x). On ´ecrit aussi f (x) x→x x→x0

0

3. Si, dans l’´enonc´e de la d´efinition 1.1, la condition 0 <| x − x 0 |< η est remplac´ee par 0 < x − x0 < η (resp. par −η < x − x0 < 0), on dit que ` est une limite a ` droite (resp. une limite a ` gauche) de f en x 0 . 39

40

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues   1 Par exemple, la fonction d´efinie par f (x) = th admet, en 0, une limite a` x droite ´egale a` +1 et une limite a` gauche ´egale a` -1.

D´ efinition 4.1.2 Une fonction f admet une limite ´egale a ` ` ∈ R en +∞ (resp. en −∞) si : pour tout ε > 0, il existe B > 0 (resp. B < 0) tel que, pour tout x ∈ D f v´erifiant x > B (resp. x < B), on a |f (x) − `| < ε. On ´ecrit alors

` = lim f (x) (resp. ` = lim f (x)) x→+∞

ou encore

x→−∞

f (x) x→+∞ −→ ` (resp. f (x) x→−∞ −→ `).

De mˆeme, les deux d´efinitions qui suivent pr´ecisent l’existence d’une limite infinie. D´ efinition 4.1.3 Une fonction f tend vers +∞ (resp. vers −∞) en un point x 0 ∈ R si : pour tout A > 0 (resp. pour tout A < 0), il existe η > 0 tel que, pour tout x ∈ D f v´erifiant 0 < |x − x0 | < η, on a f (x) > A (resp. f (x) < A). On note cela ou encore

lim f (x) = +∞ (resp. lim f (x) = −∞)

x→x0

x→x0

−→ − ∞). . f (x) x→x −→ + ∞ (resp. f (x) x→x 0

0

D´ efinition 4.1.4 Une fonction f tend vers +∞ (resp. vers −∞) en +∞ si : pour tout A > 0 (resp. pour tout A < 0), il existe B > 0 tel que, pour tout x ∈ D f v´erifiant x > B, on a f (x) > A (resp. f (x) < A). Une fonction f tend vers +∞ (resp. vers −∞) en −∞ si : pour tout A > 0 (resp. pour tout A < 0), il existe B < 0 tel que, pour tout x ∈ D f v´erifiant x < B, on a f (x) > A (resp. f (x) < A). Notations analogues aux pr´ec´edentes.

4.1.2

Propri´ et´ es des limites

Proposition 4.1.5 Si f (x) = c (= constante) pour tout x ∈]a , b[ (a < b), alors la fonction f admet un limite a ` droite en a et une limite a ` gauche en b , toutes les deux ´egales a ` c. Dans les trois propositions suivantes, x 0 d´esigne indiff´eremment un r´eel donn´e, ou +∞, ou −∞. Proposition 4.1.6 (prolongement des in´egalit´es a` la limite) Si f (x) ≤ g(x) pour tout x, alors lim f (x) ≤ lim g(x). x→x0

x→x0

41

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues

Proposition 4.1.7 (r`egle du sandwich) Si h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) pour tout x et si les fonctions h et g admettent une mˆeme limite en x0 , alors la fonction f a une limite en x 0 et on a lim h(x) = lim f (x) = lim g(x).

x→x0

x→x0

x→x0

Proposition 4.1.8 (op´erations sur les limites) Soient f et g deux fonctions admettant chacune une limite en x 0 et soit a ∈ R. Alors : 1. lim | f (x) | = | lim f (x) | . x→x0

x→x0

2. lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x). x→x0

x→x0

x→x0

3. lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x). x→x0

x→x0

x→x0

4. lim (a f (x)) = a lim f (x). x→x0

x→x0

5. lim (f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x). x→x0

x→x0

x→x0

lim f (x)

6. lim

x→x0

f (x) x→x0 = . g(x) lim g(x) x→x0

Remarques 1. Dans la proposition 1.4, les op´erations usuelles sur les r´eels sont ´etendues de la mani`ere suivante : • (+∞) + (+∞) = (+∞) + ` = +∞

(` r´eel quelconque)

• (−∞) + (−∞) = (−∞) + ` = −∞

(` r´eel quelconque)

• (+∞) (+∞) = (−∞) (−∞) = ` (+∞) = +∞

(` r´eel > 0)

• (+∞) (−∞) = ` (−∞) = −∞ •

(` r´eel > 0)

` ` = =0 +∞ −∞

(` r´eel quelconque)

2. Par contre, la proposition 1.4 ne permet pas de conclure directement si le calcul conduit a` l’une des expressions +∞ − ∞ , 0 (+∞) , 0 (−∞) ,

±∞ 0 , ±∞ 0

on a alors une forme ind´ etermin´ ee. 3. Dans le cas o` u lim f (x) = ` 6= 0 et lim g(x) = 0, on a x→x0

lim

x→x0

x→x0

f (x) = +∞ ou −∞ si g(x) garde un signe constant. g(x)

42

4.1.3

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues

Fonctions ´ equivalentes

D´ efinition 4.1.9 On dit que deux fonctions f et g sont ´equivalentes quand x tend vers x0 (r´eel fix´e, ou +∞ , ou −∞ ) si

lim

x→x0

f (x) = 1. g(x)

Notation : f (x) x→x ∼ g(x). 0

Proposition 4.1.10 Si f (x) x→x ∼ g(x) et si g(x) x→x ∼ h(x), alors f (x) x→x ∼ h(x). 0

0

0

Exemple : sh(x) x→0 ∼ sin(x).

4.2 4.2.1

Fonctions continues D´ efinitions

D´ efinition 4.2.1 Soit f une fonction r´eelle d’une variable r´eelle. On dit que la fonction f est continue en un point x 0 ∈ Df de son ensemble de d´efinition si elle admet une limite en x0 et si lim f (x) = f (x0 ). x→x0

Cette propri´et´e peut s’exprimer de la mani`ere suivante : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x ∈ D f v´erifiant x0 − η < x < x0 + η, on a f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε. D´ efinition 4.2.2 Soit f une fonction r´eelle d’une variable r´eelle et soit E ⊂ D f une partie de son ensemble de d´efinition (qui peut ˆetre D f tout entier). On dit que la fonction f est continue sur le sous-ensemble E si elle est continue en tout point de E. Exemple simple : une fonction constante est continue sur son domaine de d´efinition.

4.2.2

Propri´ et´ es des fonctions continues

Proposition 4.2.3 (op´erations sur les fonctions continues) Soient f et g deux fonctions continues en un point x 0 ∈ Df ∩Dg et soit a ∈ R. Alors : 1. Les fonctions | f | , f + g , f − g , a f , f g sont continues en x 0 . f 2. La fonction est continue en x0 si g(x0 ) 6= 0. g Proposition 4.2.4 (composition de fonctions continues) On consid`ere deux fonctions f et g et un r´eel x 0 ∈ Dg appartenant au domaine de d´efinition de g. On suppose que la fonction g est continue en x 0 , que g(x0 ) appartient a ` l’ensemble de d´efinition de f et que la fonction f est continue au point g(x 0 ). Alors la fonction compos´ee f ◦ g est continue en x 0 .

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues

43

Proposition 4.2.5 Soient deux fonctions f et g telles que - la fonction g admet une limite finie ` en x 0 - la fonction f est d´efinie et continue au point `. Alors la fonction compos´ee f ◦ g admet une limite finie en x 0 et on a lim (f ◦ g)(x) = f ( lim g(x)) = f (`)

x→x0

x→x0

D´ efinition 4.2.6 On appelle segment un intervalle de la forme [a , b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b}, o` u les r´eels a et b v´erifient a ≤ b. Proposition 4.2.7 (th´eor`eme des valeurs interm´ediaires) Soit f une fonction continue sur un segment [a , b] ⊂ D f . Alors pour tout r´eel y compris entre f (a) et f (b), il existe (au moins) un ´el´ement x ∈ [a , b] du segment [a , b] tel que y = f (x). Corollaire 4.2.8 (Image d’un intervalle par une fonction continue) Soit f une fonction continue sur un intervalle I ⊂ D f . Alors l’image f (I) = {f (x) ; x ∈ I} de l’intervalle I par la fonction f est un intervalle. Proposition 4.2.9 (Image d’un segment par une fonction continue) Soit f une fonction continue sur un segment [a , b] ⊂ D f . Alors l’image f ([a , b]) du segment [a , b] par la fonction f est un segment [c , d]. Le r´eel c (resp. le r´eel d ) est le minimum (resp. le maximum) de la fonction f sur le segment [a , b].

4.2.3

Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle

Consid´erons une fonction f que l’on suppose continue et strictement monotone sur un intervalle I ⊂ Df . Alors la fonction f d´efinit une bijection de l’intervalle I sur son image J = f (I) qui est un intervalle (d’apr`es le corollaire 2.1). On note f −1 la fonction r´eciproque de f : elle est d´efinie sur l’intervalle J et f −1 (J) = I. Proposition 4.2.10 Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I ⊂ Df . Alors la fonction r´eciproque f −1 est continue et strictement monotone sur l’intervalle J = f (I) = {f (x) ; x ∈ I}. Remarque Si la fonction f est strictement croissante (resp. strictement d´ecroissante) sur l’intervalle I, alors la r´eciproque f −1 est strictement croissante (resp. strictement d´ecroissante) sur l’intervalle J = f (I).

44

4.3 4.3.1

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues

D´ eriv´ ees et limites d´ efinitions

D´ efinition 4.3.1 On dit qu’une fonction r´eelle f d’une variable r´eelle est d´erivable en f (x) − f (x0 ) a une limite finie au un point x0 ∈ Df si la fonction x ∈ Df \ {x0 } 7−→ x − x0 point x0 . f (x) − f (x0 ) La limite f 0 (x0 ) = lim est la d´eriv´ee de la fonction f en x 0 . x→x0 x − x0 Remarque point x0 .

Si une fonction f est d´erivable en un point x 0 , alors elle est continue au

D´ efinition 4.3.2 On dit qu’une fonction r´eelle f d’une variable r´eelle est d´erivable sur un sous-ensemble E ⊂ Df de son domaine de d´efinition si elle est d´erivable en tout point de E. La fonction d´eriv´ee (ou plus simplement la d´eriv´ee) f 0 : x 7−→ f 0 (x) de f est alors d´efinie en tout point de E. Une fonction d´erivable (sans plus de pr´ecision) est une fonction d´erivable sur son ensemble de d´efinition.

4.3.2

utilisation des d´ eriv´ ees pour le calcul des limites

Les deux propositions suivantes permettent, dans certains cas, de calculer des limites en exploitant les d´eriv´ees de certaines fonctions. Proposition 4.3.3 Soient f et g deux fonctions d´erivables en un mˆeme point x0 ∈ Df ∩ Dg . On suppose que f (x0 ) = g(x0 ) = 0 et que g 0 (x0 ) 6= 0. f admet une limite finie au point x0 et on a Alors la fonction g f (x) f 0 (x0 ) lim = 0 x→x0 g(x) g (x0 ) Proposition 4.3.4 (r`egle de de l’Hospital) On consid`ere deux fonctions f et g qui sont d´erivables sur (a, b), a ∈ R ∪ {−∞} et b ∈ R ∪ {∞}, tel que g 0 (x) 6= 0 pour x ∈ (a, b). Soit lim f (x) = lim g(x) = 0 ou lim g(x) = ∞ ou − ∞ . x→a+

Alors, si la fonction

x→a+

x→a+

f0 admet une limite a ` droite en a, on a g0 lim

x→a+

f (x) f 0 (x) = lim . g(x) x→a+ g 0 (x)

On obtient le mˆeme type de r´esultat pour la limite a ` gauche en b.

45

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues

Exercices sur les limites de fonctions et les fonctions continues Exercice 4.1 Calculer les limites 2x + 5 x2 − 4 x3 − 1 lim , b) lim , c) lim 2 , x→+∞ 3x − 2 x→2 x − 2 x→1 x − 1   1 1 1 − et e) lim √ lim . x→0 x→1 1 − x 1 − x2 1+x−1

a) d)

Exercice 4.2 Calculer les limites a) c) e)

lim (

x→+∞

p x2 + 2x + 5 − x),

√ √ lim ( x + 5 − x − 3), q √ √ lim ( x + x − x).

x→+∞

p x2 + 2x + 5 − x), x→−∞ √ sh( x + 5) √ et lim x→+∞ ch( x − 3)

b)

lim (

d)

x→+∞

Exercice 4.3 Calculer lim x sin(1/x). x→0

(∗)

La fonction f (x) = sin(1/x) admet-elle une limite en 0 ?

sin x Exercice 4.4 Calculer la limite de f (x) = √ quand x → 0. Mˆeme question pour : x f (x) =

sin 2x sin 3x

et

f (x) =

x2 sin(1/x) . sin x

Exercice 4.5 Calculer les limites a) c)

cos(πx) , x→1/2 1 − 2x sin(3x) et lim x→0 sin(2x) lim

b) d)

lim (2x2 + x − 1) tan(πx),

x→1/2

ln(cos(3x)) . x→0 ln(cos(2x)) lim

Exercice 4.6 Montrer que a)

sin(x) ∼ sh(x), x→0

b)

ln(1 + x) ∼ ex − 1. x→0

Exercice 4.7 Calculer les limites a) c)

cos x , b) x − π/2 ch(x) − 1 et d) lim x→0 x2 lim

x→π/2

tan(x) , x tan(x) − sh(x) lim . x→0 x3

lim

x→0

46

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues

Exercice 4.8 Montrer que

√ x3 + 4x2 ∼ |x|. x + 2 x→0 √ x3 + 4x2 Trouver un ´equivalent simple de quand x tend vers +∞. x+2

Exercice 4.9 Soit n un entier sup´erieur ou ´egal a ` 2. Montrer que l’´equation xn + x − 1 = 0 a au moins une solution dans le segment [0, 1]. h Exercice 4.10 Montrer qu’il existe x ∈ 3π/4, π] tel que tan(x) +

x = 0. 3

Exercice 4.11 Montrer que tout polynˆ ome a ` coefficients r´eels et de degr´e impair admet au moins un z´ero dans R. Donner un contre-exemple d’un polynˆ ome a ` coefficients r´eels et de degr´e pair qui n’a pas de z´ero dans R. Exercice 4.12 Pour tout r´eel a, on note E(a) sa partie enti`ere : E(a) est le plus grand entier relatif inf´erieur ou ´egal a ` a et il est caract´eris´e par les in´egalit´es : E(a) ≤ a < E(a) + 1. On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par f (x) = x E(1/x) f (0) = 1.

pour x 6= 0,

Montrer que la fonction f est continue au point 0. Exercice 4.13 La fonction f : [0, 2] → R d´efinie par : f (x) = x2 si 0 ≤ x ≤ 1

et

f (x) = 2x − 1 si 1 < x ≤ 2

est-elle continue sur l’intervalle [0, 2] ? Exercice 4.14 La fonction f : R → R d´efinie par : √ x2 f (x) = x + si x 6= 0 et x est-elle continue sur R ?

f (0) = 1

47

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues Exercice 4.15 La fonction f : [−2, 2] → R d´efinie par : f (x) = x2 sin(π/x) si x 6= 0

et

f (0) = 0

est-elle continue sur l’intervalle [−2, 2] ? Exercice 4.16 Soit f une fonction d´efinie et continue sur le segment [0, 1] et telle que 0 ≤ f (x) ≤ 1

pour tout x ∈ [0, 1].

Montrer qu’il existe au moins un point x 0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = x0 . Indication : consid´erer la fonction g(x) = f (x) − x.

48

Chapitre 4. Limites de fonctions et fonctions continues

Test de 45 mn sur les limites de fonctions et les fonctions continues

p ch(x) + 1 − sh(x) + 1. r e−3 x Calculer lim f (x) puis montrer que f (x) x→+∞ ∼ . x→+∞ 2 Exercice 1 Pour x > 0, on pose f (x) =

Exercice 2 Calculer lim

x→0



2 + 5 sin(x) 2 + sin(x)

Exercice 3 Calculer la limite lim

x→0

p

1/x

.

ch(x) − cos(x) et en d´eduire que les fonctions f (x) = x2

ch(x) − cos(x) et g(x) = sh(x) sin(x) sont ´equivalentes quand x tend vers 0. Exercice 4 En utilisant la continuit´e de la fonction x 7−→ x 3 + 2 x2 − 3 x + 1, montrer que l’´equation x3 + 2 x2 − 3 x + 1 = 0 admet au moins une racine strictement n´egative (on ne cherchera pas a` calculer cette racine).

Chapitre 5

Fonctions d´ erivables et leurs d´ eriv´ ees 5.1 5.1.1

D´ efinitions et propri´ et´ es d´ efinitions

On rappelle ci-dessous les d´efinitions d´ej`a donn´ees : D´ efinition 5.1.1 On dit qu’une fonction r´eelle f d’une variable r´eelle est d´erivable en f (x) − f (x0 ) un point x0 ∈ Df si la fonction x ∈ Df \ {x0 } 7−→ a une limite finie au x − x0 point x0 . f (x) − f (x0 ) est la d´eriv´ee de la fonction f en x 0 . La limite f 0 (x0 ) = lim x→x0 x − x0 D´ efinition 5.1.2 On dit qu’une fonction r´eelle f d’une variable r´eelle est d´erivable sur un sous-ensemble E ⊂ Df de son domaine de d´efinition si elle est d´erivable en tout point de E. La fonction d´eriv´ee (ou plus simplement la d´eriv´ee) f 0 : x 7−→ f 0 (x) de f est alors d´efinie en tout point de E. Une fonction d´erivable (sans plus de pr´ecision) est une fonction d´erivable sur son ensemble de d´efinition.

5.1.2

propri´ et´ es des fonctions d´ erivables et des d´ eriv´ ees

Proposition 5.1.3 Si une fonction f est d´erivable en un point x 0 ∈ Df , alors elle est continue au point x0 . Proposition 5.1.4 Si une fonction f est d´erivable en un point x 0 , alors la droite d’´equation y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) est tangente au graphe de la fonction f au point d’abscisse x0 . 49

50

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

5.2

Calcul de d´ eriv´ ees

Proposition 5.2.1 Si une fonction est constante sur un intervalle ]a , b[, alors elle est d´erivable sur cet intervalle et sa d´eriv´ee est nulle en tout point x ∈]a , b[. Proposition 5.2.2 (op´erations sur les fonctions d´erivables) Soient f et g deux fonctions d´erivables en un mˆeme point x 0 ∈ Df ∩Dg , et soit a ∈ R. Alors : 1. La fonction f + g est d´erivable en x 0 et (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ). 2. La fonction f + g est d´erivable en x 0 et (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ). 3. La fonction a f est d´erivable en x 0 et (a f )0 (x0 ) = a f 0 (x0 ). 4. La fonction f g est d´erivable en x 0 et on a (formule de Leibnitz) (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ). 5. Si g(x0 ) 6= 0, la fonction

f est d´erivable en x0 et on a g

 0 g(x0 ) f 0 (x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 ) f . (x0 ) = g (g(x0 ))2 Proposition 5.2.3 (composition de fonctions d´erivables) On consid`ere deux fonctions f et g et un r´eel x 0 ∈ Dg appartenant au domaine de d´efinition de g. On suppose que g est d´erivable au point x 0 , que g(x0 ) appartient a ` l’ensemble de d´efinition de f et que la fonction f est d´erivable au point g(x 0 ). Alors la fonction compos´ee f ◦ g est d´erivable en x 0 et on a (f ◦ g)0 (x0 ) = g 0 (x0 ) f 0 (g(x0 )). Proposition 5.2.4 Soit f : I −→ J une bijection d´erivable d’un intervalle I sur un intervalle J et soit f −1 : J −→ I la bijection r´eciproque. Si x0 ∈ I est tel que f 0 (x0 ) 6= 0, alors la fonction f −1 est d´erivable au point y0 = f (x0 ) et on a 1 . (f −1 )0 (y0 ) = 0 f (x0 ) En particulier, Proposition 5.2.5 Soit f : I −→ J une bijection d´erivable d’un intervalle I sur un intervalle J, telle que sa d´eriv´ee ne s’annule en aucun point de I . Alors la bijection r´eciproque f −1 : J −→ I est d´erivable en tout point de J et on a, pour tout x ∈ J, 1 (f −1 )0 (x) = 0 −1 . f (f (x))

51

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

5.3 5.3.1

Formule des accroissements finis et applications Formule des accroissements finis

Proposition 5.3.1 Soit f une fonction r´eelle d´efinie sur un segment [a , b] (a < b), d´erivable sur l’intervalle ]a , b[ et continue aux points a et b. Alors il existe un point c ∈ ]a , b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a) f 0 (c). Le cas particulier suivant est connu sous le nom de “th´eor`eme de Rolle” Proposition 5.3.2 Soit f une fonction r´eelle d´efinie sur un segment [a , b] (a < b), d´erivable sur l’intervalle ]a , b[ , continue aux points a et b, et v´erifiant f (a) = f (b). Alors il existe un point c ∈ ]a , b[ tel que f 0 (c) = 0.

5.3.2

Applications

Proposition 5.3.3 (r´eciproque de la proposition 5.2.1) Soit f une fonction r´eelle d´efinie et d´erivable sur un intervalle I. Si f 0 (x) = 0 pour tout x ∈ I, alors la fonction f est constante dans l’intervalle I. Proposition 5.3.4 (sens de variation des fonctions) Soit f une fonction r´eelle d´efinie et d´erivable sur un intervalle I. 1. Si f 0 (x) ≥ 0 pour tout x ∈ I (resp. f 0 (x) > 0 pour tout x ∈ I), alors la fonction f est croissante dans l’intervalle I (resp. strictement croissante dans l’intervalle I). 2. Si f 0 (x) ≤ 0 pour tout x ∈ I (resp. f 0 (x) < 0 pour tout x ∈ I), alors la fonction f est d´ecroissante dans l’intervalle I (resp. strictement d´ecroissante dans l’intervalle I). Proposition 5.3.5 (variante de la formule des accroissements finis) Soit f une fonction r´eelle d´efinie et d´erivable sur un intervalle I et soit x 0 ∈ I. Alors, pour tout x ∈ I il existe un r´eel c compris entre x 0 et x, tel que f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) f 0 (c). Remarque Il peut exister plusieurs valeurs de c v´erifiant les conditions ci-dessus. Un r´eel c compris entre x0 et x peut ˆetre ´ecrit sous la forme c = x 0 + θ (x − x0 ) avec 0 < θ < 1. Proposition 5.3.6 Soit f une fonction r´eelle d´efinie et continue dans un intervalle I et soit x0 ∈ I. On suppose que f est d´erivable sur I \ {x 0 } et que f 0 (x) a une limite finie quand x tend vers x0 . Alors la fonction f est d´erivable en x 0 et on a f 0 (x0 ) = lim f 0 (x). x→x0

52

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

5.4 5.4.1

D´ eriv´ ees successives. Formule de Taylor d´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur ` a1

Soit f une fonction r´eelle d´efinie et d´erivable sur un intervalle I. Si la fonction d´eriv´ee f 0 est elle-mˆeme d´erivable sur l’intervalle I, sa d´eriv´ee (f 0 )0 est not´ee f 00 = f (2) et est appel´ee la d´eriv´ee seconde de la fonction f . Si, en outre, la fonction f 00 est d´erivable sur l’intervalle I, sa d´eriv´ee (f 00 )0 est not´ee f 000 = f (3) et est appel´ee la d´eriv´ee troisi`eme de la fonction f . Plus g´en´eralement, les d´eriv´ees successives de la fonction f si elles existent sont not´ees f (4) = (f 000 )0 , f (5) = (f (4) )0 , · · · , f (n) = (f (n−1) )0 , · · · La fonction f (n) : I −→ R est appel´ee la d´eriv´ee d’ordre n ou d´eriv´ee n-i`eme de la fonction f . Si les d´eriv´ees successives de la fonction f existent jusqu’`a l’ordre n, on dit que f est n-fois d´erivable sur l’intervalle I. Si la fonction f admet des d´eriv´ees successives de tous ordres, on dit qu’elle est ind´efiniment d´erivable sur l’intervalle I. Proposition 5.4.1 La propri´et´e des fonctions d’ˆetre n-fois d´erivables (resp. ind´efiniment d´erivables) est conserv´ee pour la somme, la diff´erence, le produit et le quotient. De mˆeme, la compos´ee de deux fonctions n-fois d´erivables (resp. ind´efiniment d´erivables) est n-fois d´erivable (resp. ind´efiniment d´erivable).

5.4.2

formule de Taylor

Proposition 5.4.2 Soit f une fonction r´eelle d´efinie et (n + 1)-fois d´erivable sur un intervalle I et soit x0 ∈ I. Alors, pour tout x ∈ I il existe un r´eel c compris entre x0 et x, tel que (x − x0 )n+1 (n+1) f (c) f (x) = Sn (x) + (n + 1)! o` u Sn = Sn (f ) est la fonction polynˆ omiale obtenue a ` partir de f par Sn (x) = f (x0 ) +

(x − x0 ) 0 (x − x0 )2 00 (x − x0 )n (n) f (x0 ) + f (x0 ) + · · · + f (x0 ). 1! 2! n!

Remarques 1. L’expression Sn (f ) est appel´ee le polynˆome de Taylor de f d’ordre n (par rapport a` x0 ). (x − x0 )n+1 (n+1) Rn (x) = f (x) − Sn (x) = f (c) , (n + 1)! qui mesure “l’erreur” commise dans l’approximation de f (x) par S n (x) est appel´e reste de Lagrange d’ordre n. 2. La formule des accroissements finis donn´ee dans la proposition 5.3.5 correspond au cas particulier n = 0 (avec S0 (x) = f (x0 )).

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

5.4.3

53

Polynˆ omes de Taylor par rapport ` a 0 de fonctions usuelles

Il est recommand´e de connaˆıtre par cœur les polynˆome de Taylor S n = Sn (f ) donn´es ci-dessous (au moins les six premiers) pour des fonctions usuelles. Les fonctions paires (impaires) ont des polynˆomes de Taylor pairs (impairs). Donc S 2n+1 (f ) = S2n (f ) pour les fonctions paires et S2n (f ) = S2n−1 (f ) pour les fonctions impaires.

Sn (ex ) = 1 + x +

S2n (cos(x)) = 1 −

S2n−1 (sin(x)) = x −

xn x2 +··· + 2! n!

x2 x4 x2n + + · · · + (−1)n 2! 4! (2n)! x2n−1 x3 x5 + + · · · + (−1)n−1 3! 5! (2n − 1)!

Sn ((1 + x)α ) = 1 + α x + ··· + Sn (

α (α − 1) 2 α (α − 1) (α − 2) 3 x + x + ··· 2! 3! α (α − 1) · · · (α − n + 1) n x n!

1 ) = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn 1+x

Sn (ln(1 + x)) = x −

1 1 1 2 1 x + x3 − x4 + · · · + (−1)n−1 xn 2 3 4 n

1 2 1.3 4 1.3.5 6 1.3.5 · · · (2 n − 1) 2 n 1 ) = 1+ x + x + x +··· x S2n ( √ 2 2 2.4 2.4.6 2.4.6 · · · (2 n) 1−x S2n (ch(x)) = 1 +

S2n−1 (sh(x)) = x +

x2 x4 x2n + + ··· + 2! 4! (2n)! x2n−1 x3 x5 + + ··· + 3! 5! (2n − 1)!

54

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

Sn (arctan(x)) = x −

1 3 1 (−1)n−1 2 n−1 x + x5 + · · · + x 3 5 2n − 1

Sn (arcsin(x)) = x +

1.3 x5 1.3.5 x7 1 x3 + + + ··· 2 3 2.4 5 2.4.6 7 ··· +

Sn (arccos(x)) =

1.3.5 · · · (2 n − 1) x2 n+1 2.4.6 · · · (2 n) 2n + 1

1 x3 1.3 x5 1.3.5 x7 π −x− − − − ··· 2 2 3 2.4 5 2.4.6 7 ··· −

1.3.5 · · · (2 n − 1) x2 n+1 2.4.6 · · · (2 n) 2n + 1

On obtient ainsi une interpretation de eix = cos(x) + i sin(x).

55

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

Exercices sur les fonctions d´ erivables et leurs d´ eriv´ ees Exercice 5.1 Calculer la fonction d´eriv´ee des fonctions suivantes : √ a) f1 : [1, +∞[−→ R d´efinie pour x ≥ 1 par f1 (x) = (x2 + 1) x3 − 1, (x − 1)3 , b) f2 : [0, +∞[−→ R d´efinie pour x > 0 par f2 (x) = √ x+1 p c) f3 : R −→ R d´efinie pour x ∈ R par f3 (x) = cos2 (x) + 1,

d) f4 : ] − π/2, π/2 [−→ R d´efinie pour −π/2 < x < π/2 par f 4 (x) = tan(x) + x,

e) f5 : R −→ R d´efinie pour x ∈ R par f5 (x) = ln(x +

1 tan3 (x) − 3

√ x2 + 1).

Exercice 5.2 Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : √ 1+x x √ √ (x > 0), a) f (x) = , b) f (x) = 2 1 + x x+ 1+x √ 3 c) f (x) = x sin x + cos x, d) f (x) = x (x > 0) et p e) f (x) = ln 1 − 2 sin2 x. Exercice 5.3 Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer le domaine de d´efinition et calculer la d´eriv´ee. p p exp(1/x) − 1 b) f (x) = 1 + x2 cos2 x, c) f (x) = √ , a) f (x) = ln x2 + 1, x2 + 1   sin x x/ sin x 1 + sin x , e) f (x) = et f) f (x) = (cos x)sin x . d) f (x) = ln 1 − sin x x Exercice 5.4 Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer le domaine de d´efinition et calculer la d´eriv´ee. p x a) f (x) = x arcsin x + 1 − x2 , + arctan x, b) f (x) = 1 + x2 r 1−x x+1 c) f (x) = arctan , d) f (x) = arcsin √ et e) f (x) = arctan ln x. 1+x 2 Exercice 5.5

(∗)

Trouver la d´eriv´ee de la fonction : f (x) = arctan

x2 − 2x − 1 x2 + 2x − 1

et expliquer le r´esultat obtenu. Mˆeme question pour la fonction : f (x) = arcsin(2x2 − 1).

56

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

Exercice 5.6 Sachant que la d´eriv´ee de la fonction tangente est tan0 (x) = 1 + tan2 (x), montrer que arctan0 (x) =

1 . 1 + x2

Exercice 5.7 Etudier les fonctions suivantes (tableau de variations et graphe) : a) g1 d´efinie par g1 (x) = x2 (x − 2)2 , b) g2 d´efinie par g2 (x) =

x3

1 , +1

s

1 − cos(x) , 1 + cos(x)   2x . d) g4 d´efinie par g4 (x) = arcsin 2 x +1 c) g3 d´efinie par g3 (x) =

i πh Exercice 5.8 Donner le tableau de variations sur l’intervalle 0, de la fonction x 7→ 2 sin(x) cos(x) − sin(x), puis celui de la fonction x 7→ . x π En d´eduire que, pour 0 < x < , on a : 2 sin(x) 2 < < 1. π x Exercice 5.9 Montrer que la fonction f (x) = |x 2 − 3| est continue sur R. Est-elle d´erivable sur R ? Etudier les variations et tracer le graphe de cette fonction. Exercice 5.10 Etudier les variations de la fonction : f (x) = x(a − x) o` u a ∈ R. En d´eduire que le produit de deux nombres de somme constante est maximum quand ces deux nombres sont ´egaux. Exercice 5.11 Etudier les variations de la fonction : f (x) = x +

a x

o` u a > 0. En d´eduire que la somme de deux nombres positifs de produit constant est minimum quand ces deux nombres sont ´egaux.

57

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees Exercice 5.12 Etudier les variations de la fonction f (x) = x2 (x − 1)3 et tracer son graphe.

x Etudier la fonction f (x) = √ et tracer son graphe. Montrer x+1 que l’on a, pour tout x > 0 : x2 < f (x) < x. x− 2 Exercice 5.13

(∗)

Exercice 5.14 Soit f : R −→ R la fonction d´efinie par   1 3 f (x) = x sin pour x 6= 0 et x

f (0) = 0.

Montrer que f est d´erivable sur R et calculer sa fonction d´eriv´ee. Etudier la continuit´e de la fonction f 0 en 0. Exercice 5.15 Soit f : R → R l’application d´efinie par : f (x) =

3 − x2 si x < 1 2

et

f (x) =

1 si x ≥ 1. x

Montrer qu’il existe c ∈]0; 2[ tel que : f (2) − f (0) = 2f 0 (c), puis d´eterminer toutes les valeurs possibles de c. Exercice 5.16 En utilisant la formule des accroissements finis, montrer que, pour tout x ≥ 0, on a a)

x ≤ ln(1 + x) ≤ x, x+1

b)

x2

x ≤ arctan(x) ≤ x. +1

Exercice 5.17 Soit f une fonction r´eelle d´efinie et continue sur le segment [0, 1] et telle que f (0) = f (1) = 0. On suppose, en outre, que la fonction f est d´erivable sur [0, 1[ et que f 0 (0) = 0. On consid`ere la fonction g : [0, 1] −→ R d´efinie par g(x) =

f (x) x

pour 0 < x ≤ 1

et

g(0) = 0.

Montrer que la fonction g v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme de Rolle et en d´eduire qu’il f (a) existe a ∈ ]0, 1[ tel que f 0 (a) = . Interpr´eter ce r´esultat graphiquement. a

58

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

Exercice 5.18 Soit f : [a; b] → R une fonction continue, strictement positive et d´erivable sur ]a; b[. Montrer qu’il existe c ∈]a; b[ tel que l’on ait : 0

f (a) = f (b)e

(c) (a−b) ff (c)

.

Exercice 5.19 (∗) Donner un exemple de fonction continue sur ]0; 1[ mais non sur [0; 1], d´erivable sur ]0; 1[, et pour laquelle le th´eor`eme des accroissements finis n’est pas v´erifi´e. Montrer que le th´eor`eme est cependant v´erifi´e sur tout intervalle [x; y] inclus dans ]0; 1[. Exercice 5.20 (∗) Peut-on appliquer la formule des accroissements finis a ` la fonction f : [0; 2π] → C d´efinie par : f (x) = eix = cos x + i sin x. Exercice 5.21 a) Calculer les d´eriv´ees successives jusqu’` a l’ordre 4 de la fonction x 7−→ est un r´eel fix´e.

1 o` uα x+α

b) Trouver les r´eels a et b tels que x2

1 a b = + −1 x+1 x−1

pour tout x 6= ±1. En d´eduire une expression de la d´eriv´ee quatri`eme de la fonction 1 . x 7−→ 2 x −1 Exercice 5.22 Montrer que, si a < b, on a : b−a b−a < arctan b − arctan a < . 1 + b2 1 + a2 En d´eduire que l’on a :

3 4 π 1 π + < arctan < + . 4 25 3 4 6

Exercice 5.23 Evaluer une borne sup´erieure de l’erreur commise en prenant 100 pour valeur approch´ee de la racine carr´ee de 10 001. Exercice 5.24 Montrer, en utilisant la formule de Taylor, que l’on a pour tout r´eel x : | sin x − x| ≤

|x|3 . 6

59

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

Exercice 5.25 En utilisant la formule de Taylor, montrer que, pour tout x ≥ 0, on a x−

x2 x2 x3 ≤ ln(1 + x) ≤ x − + . 2 2 3

Pour quelles valeurs de x ≥ 0 peut-on dire que x −

ln(1 + x) a ` 10−3 pr`es ?

x2 est une valeur approch´ee de 2

Exercice 5.26 Montrer que l’on a pour tout entier n ≥ 1 : 1 1 < ln(n + 1) − ln n < . n+1 n En d´eduire que la somme Sn = 1 +

1 1 + ··· + 2 n

tend vers +∞ quand n → +∞. Exercice 5.27 n≥1 :

(∗)

Soit a un r´eel tel que 0 < a < 1. Montrer que l’on a pour tout entier a a ≤ (n + 1)a − na ≤ 1−a . 1−a (n + 1) n

On pose : Sn =

1 11−a

+

1 21−a

+ ··· +

1 n1−a

.

Montrer qu’il existe deux nombres A et b tels que l’on a : Sn = 1. n→+∞ Anb lim

Exercice 5.28 Soit f : ]a; b[→ R une fonction d´erivable. Peut-on avoir simultan´ement : f (x) → +∞ quand x → a Exercice 5.29 a > 0 et b > 0 :

(∗)

et

|f 0 (x)| ≤ M o` u M est une constante fixe ?

Soit f : R → R une fonction d´erivable. Montrer que l’on a, pour tout f (x + bh) − f (x − ah) = (b + a)f 0 (x). h→0 h lim

Exercice 5.30 (∗) Soit P un polynˆ ome a ` coefficients r´eels. Utiliser le th´eor`eme de Rolle pour montrer que, si P 0 a n z´eros distincts, alors P a au plus n + 1 z´eros distincts. En d´eduire que l’´equation : x20000 + x + 1 = 0 ne peut avoir plus de deux racines r´eelles.

60

Chapitre 5. Fonctions d´erivables et leurs d´eriv´ees

Test de 30 mn sur les fonctions d´ erivables et leurs d´ eriv´ ees

Exercice 1

√ x (en particulier, donner avec 1. Etudier la fonction u d´efinie par u(x) = x+1 pr´ecision son domaine de d´efinition et son image). 2. En d´eduire que la fonction f d´efinie par f (x) = arccos(u(x)) est d´erivable sur l’intervalle ]0 , +∞[ et calculer sa d´eriv´ee.

Exercice 2 Soient a et b deux r´eels tels que a < b. Montrer que | sin(b) − sin(a) |≤ b − a et sh(b) − sh(a) ≥ b − a. Exercice 3 Etudier la fonction g d´efinie par   1 − cos(x) . g(x) = ln 1 + cos(x) Etablir un tableau de variations et indiquer l’allure du graphe de la fonction g.

Chapitre 6

Primitives et int´ egrales 6.1

Introduction

Dans les fiches ant´erieures nous avons appris a` d´eriver. A partir d’une liste de d´eriv´ees connues et de r`egles de d´erivation nous pouvons d´eriver toutes les fonctions construites a` partir des fonctions ´el´ementaires. On peut se poser la question inverse, a` partir d’une fonction f , peut-on trouver une fonction F dont f soit la d´eriv´ee ? La r´eponse est beaucoup plus compliqu´ee que les calculs de d´eriv´ees. On va voir dans cette fiche une liste de primitives connues, des r`egles de calcul. Et malgr´e cela il restera un grand nombre de fonctions simples dont nous ne pourrons pas calculer une primitive. Chaque r`egle de d´erivation donnera une r`egle d’int´egration, chaque d´eriv´ee connue donnera une primitive connue (`a une constante pr`es).

6.2

D´ efinitions et premi` eres propri´ et´ es

D´ efinition 6.2.1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I. On dit qu’une fonction 0 F d´efinie sur I est une primitive de f sur I si u F0 R F est d´erivable sur I et F = f (o` d´esigne la d´eriv´ee de F ). On note alors F = f (x)dx. Th´ eor` eme 6.2.2 Toute fonction f , continue sur un intervalle I, admet une primitive F sur I. Pour tout α r´eel F + α est une primitive de f sur I. Si G est une primitive de f sur I alors F − G = α o` u α est une constante.

Notation : Pour toute fonction g d´efinie sur un intervalle [a, b] on pose [g(x)] ba = g(b) − g(a). Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et F une primitive de f . On note alors Z b f (x)dx = F (b) − F (a) = [F (x)]ba . a

Cette quantit´e est l’int´egrale de f sur [a, b]. (On lit ”somme de a a` b de f (x)dx” ou ”int´egrale de a a` b de f (x)dx”). On a alors Z b Z b Z b b f (u)du. f (t)dt = f (x)dx = [F (x)]a = a

a

61

a

62

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

Proposition 6.2.3 Si F est une primitive de f et G une primitive de g sur un intervalle I, alors F +G est une primitive de f +g et αF une primitive de αf (o` u α est un nombre r´eel). Plus g´en´eralement, αF +βG est une primitive de αf +βg (α et β sont des nombres r´eels).

6.3

Liste des primitives usuelles

Par connaissance des d´eriv´es des fonctions usuelles on obtient la liste suivante. Fonction t 7→ exp(t)

Primitive t 7→ exp(t) + C

t 7→ tα , (α ≥ 0) t 7→ tα , (α < 0, α 6= −1) t 7→

1 t

t 7→ ln t

t 7→ cos(t)

t 7→ sin(t) + C

t 7→ sin(t)

t 7→ − cos(t) + C

t 7→ sh(t)

t 7→ ch(t) + C

t 7→ ch(t) t 7→

t 7→

1 α+1 t +C α+1 1 α+1 t 7→ t +C α+1 t 7→

t 7→ sh(t) + C

1 1+t2

√ 1 1−t2

Intervalle R R R+∗ ou R−∗ R+∗ R R R R

arctan t + C

R

arcsin t + C

] − 1, 1[

Les fonctions qui ont un air de famille avec leur d´eriv´ee ont souvent un air de famille avec leur primitive. Par exemple x 7→ sin(x) exp(3x) donne par d´erivation cos(x) exp(3x) + 3 sin(x) exp(3x) et on peut en chercher une primitive de la forme exp(3x)(A cos(x) + B sin(x)). On a aussi le mˆeme cas lorsque on cherche une primitive du produit d’un polynˆome et d’une exponentielle.

6.4

M´ ethodes d’int´ egration

Dans ce paragraphe nous donnons des m´ethodes d’int´egration issues de la lecture des propri´et´es ´el´ementaires de la d´erivation.

6.4.1

Int´ egration par parties.

Soit u et v deux fonctions d´erivables sur [a, b], on a alors (uv)0 = u0 v + uv 0

63

Chapitre 6. Primitives et int´egrales En lisant cette formule avec des yeux de primitives on lit Z b Z b 0 b u(x)v 0 (x)dx. u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]a − a

a

Cette formule sera utilis´ee lorsque la primitive de droite est plus facile a` calculer que celle de gauche. On y fera r´ef´erence sous le nom deRformule d’int´egration par parties. 5 Un premier exemple : On se propose de calculer 1 x ln x dx. Posons u0 (x) = x d’o` u 2 0 u(x) = x /2 et v(x) = ln x d’o` u v (x) = 1/x. La formule d’int´egration par parties donne : Z 5 h x2 i5 Z 5 i5 h x2 i5 h x2 x ln x dx = . ln x − ln x − (x2 /2)(1/x) dx = 2 2 4 1 1 1 1 1

R5 x2 ln x x2 Ainsi, 1 x ln x dx = (25/2) ln 5 − 6. La mˆeme formule montre que − est une 2 4 primitive de x ln x. Rx Un second exemple : On se propose de calculer 0 t exp(t)dt, c’est a` dire la primitive de la fonction t 7→ t exp(t), qui s’annule en 0. Posons u 0 (t) = exp(t) d’o` u u(t) = exp(t) et 0 v(t) = t d’o` u v (t) = 1. On obtient alors Z x Z x exp(t)dt = x exp(x) − exp(x) + 1. t exp(t)dt = [t exp(t)]x0 − 0

0

6.4.2

Changement de variable.

Soit ϕ une bijection strictement d´erivable a` d´eriv´ee continue sur [c, d]. Soit f une fonction continue sur [ϕ(c), ϕ(d)] alors on a Z ϕ(d) Z d 0 f (x)dx. f (ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(c)

c

Cette formule est la formule du changement de variable. R π/2 R π/2 Exemple : On veut calculer 0 sin2 x cos x dx = 0 sin2 t cos t dt. On voit ici que cos t est la d´eriv´ee de sin t et, sur [0, π/2], sin est une bijection strictement croissante a` d´eriv´ee continue. En prenant ϕ(t) = sin(t), f (x) = x 2 on a ϕ(0) = 0 et ϕ(π/2) = 1. La formule pr´ec´edente s’´ecrit Z π/2 Z 1 h x3 i1 (sin(t))2 sin0 (t) dt = x2 dx = = 1/3. 3 0 0 0

Remarque importante : La formule du changement de variable est utilis´ee aussi dans Rb le sens inverse. Pour calculer a f (x) dx, on va chercher une fonction ϕ convenable et lire la formule de la droite vers la gauche. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b], soit ϕ une bijection d´erivable strictement croissante de [c, d] sur [a, b] (de sorte que a = ϕ(c) et b = ϕ(d)). On a alors la formule Z d Z b f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt. f (x)dx = a

c

64

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

Rb √ √ Un exemple : On veut calculer 1 x x − 1dx. On est dans le cas o` u f (x) = P (x) ax + b. √ √ La technique consiste alors a` poser t = ax + b. On va poser t = x − 1, c’est a` dire x = t2 + 1. Par suite on peut poser ϕ(t) = t2 + 1. La fonction ϕ est donc une bi√ dx = 2t et jection strictement croissante et d´erivable de [0, b − 1] sur [1, b], ϕ0 (t) = dt p f (ϕ(t)) = f (t2 + 1) = (t2 + 1) (t2 + 1) − 1 = (t2 + 1)t. Par suite Z

b

1

√ x x − 1dx =

Z

√ b−1

(t2 + 1)t.2tdt = (2/5)

0

p

(b − 1)5 + (2/3)

p

(b − 1)3 .

√ Un exemple, le mˆeme, sans bornes : On veut√calculer une primitive de x 7→ x x − 1 sur un intervalle I ⊂ [1, ∞]. On va poser t = x − 1, c’est a` dire x = t2 + 1. Par suite on peut poser ϕ(t) = t2 + 1, la fonction ϕ est donc strictement croissante et d´erivable, R R R √ dx ϕ0 (t) = = 2t et on a alors x x − 1 = (t2 + 1)t et (t2 + 1)2tdt = 2 t4 dt + 2 t2 dt. dt √ Une primitive √ de (t2 + 1)t.2t est donc (2/5)t5 + (2/3)t3 , d’o` u, puisque t = x − 1, une primitive de x x − 1 est (2/5)(x − 1)5/2 + (2/3)(x − 1)3/2 .

6.4.3

Int´ egration des fonctions trigonom´ etriques.

Le calcul des primitives des fonctions trigonom´etriques n´ecessite une bonne connaissance des formules de trigonom´etrie. L’id´ee g´en´erale est de se ramener a` des fonctions du type P (sin(ax)) cos(ax) ou P (cos(ax)) sin(ax) o` u P est un polynˆome. Dans les cas d´esesp´er´es il reste la solution d’utiliser les formules tan(x/2) = t, sin(x) =

2t 1 − t2 2dt , cos(x) = , dx = 2 2 1+t 1+t 1 + t2

qui permettent d’obtenir des fractions rationnelles en t et d’utiliser ce qui suit.

6.4.4

Int´ egration des fractions rationnelles.

P (x) de deux polynˆomes P (x), Q(x) a` coQ(x) efficients r´eels. C’est donc une fonction d´efinie partoutZsur R sauf aux points o` u le P (x) dx, on se ramene aux d´enominateur Q(x) s’annule. Pour calculer la primitive Q(x) quatre cas simples de fractions rationelles dont on connait la primitive : Z 1 a) dx = ln(x); x Z 1 1 dx = − si n ≥ 2; b) n x (n − 1)xn−1 Z 1 dx = arctan(x); c) 1 + x2

Une fraction rationnelle est un quotient

65

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

d)

Z

1 x 2n − 3 dx = + (1 + x2 )n 2(n − 1)(1 + x2 )n−1 2(n − 1)

Z

1 dx si n ≥ 2. (1 + x2 )n−1

Pour cela, on emploit une technique differente (changement de variable ou division euclidienne) selon les degr´es des polynomes P (x) et Q(x). 1er cas : deg P < deg Q. Si le degr´e du num´erateur P (x) est strictement inf´erieur a` celui du d´enominateur Q(x), on verifie si on est dans l’un des quatre cas suivants, appel´es les ´el´ements simples, que l’on obtien a` partir des quatre cas pr´ecedents par changement de variable : Z Q0 (x) dx = ln Q(x). Exemples : a) Q(x) Z 1 1. dx = ln(x + 1) x+1 Z 2x dx = ln(x2 + 1) 2. 2 x +1 Z 1 1 Q0 (x) b) dx = − , si n ≥ 2. Exemples : n Q(x) n − 1 Q(x)n−1 Z 1 1 1 1. dx = − (x + 1)3 2 (x + 1)2 Z 1 3x2 dx = − 3 2. 3 (x + 1)2 x +1 Z Q0 (x) dx = arctan Q(x). Exemples : c) 1 + Q(x)2 Z Z 1 1 1. dx = arctan(x + 1) dx = 2 x + 2x + 2 1 + (x + 1)2 Z 2x dx = arctan(x2 ) 2. x4 + 1 Z Z Q0 (x) 1 2n − 3 Q0 (x) Q(x) d) dx = + dx, (1 + Q(x)2 )n 2(n − 1) (1 + Q(x)2 )n−1 2(n − 1) (1 + Q(x)2 )n−1 si n ≥ 2. Exemples : Z Z 1 1 3 1 x 1. dx = + dx 2 + 1)2 2 + 1)2 (x2 + 1)3 4 (x 4 (x   Z 3 1 x 1 1 x + + dx = 2 2 2 2 4(x + 1) 4 2x +1 2 x +1 3x x 3 + = + arctan(x) 2 2 2 4(x + 1) 8(x + 1) 8 Z Z 2x x2 2x 1 x2 1 2. dx = + dx = + arctan(x2 ) (x4 + 1)2 2(1 + x4 ) 2 x4 + 1 2(1 + x4 ) 2

66

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

P (x) Q(x) en somme d’´elements simples de la forme a), b), c) ou d), puis on calcule la primitive de chaque terme. Pour cela, on note d’abord que le polynˆome Q(x) n’est sˆ urement pas irr´eductible. En effet, seuls les polynˆomes de degr´e 1 ou 2 peuvent ˆetre irr´eductibles dans R, et si Q(x) a degr´e 1 ou 2 on est forcement dans l’un des cas simples a), b) ou c). Donc Q(x) se factorise en produit Q(x) = Q 1 (x)n1 · Q2 (x)n2 · . . . · Ql (x)nl de polynˆomes irr´eductibles Qi (x) de degr´e 1 ou 2, avec puissances n i ≥ 1. Alors on d´ecompose la P (x) en somme d’´elements simples, comme dans les deux exemples suivants. fraction Q(x) Exemples : Si on n’est pas dans l’un de ces quatre cas, alors on d´ecompose la fraction rationelle

1. f (x) =

x2 + 1 . (x − 1)3 (x + 2)2

La d´ecomposition de f en ´el´ements simples est f (x) =

B C D E A + + + + . x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 x + 2 (x + 2)2

Le calcul donne A = 1/2, B = 2/27, C = 2/9, D = −1/27, E = −5/27. Le calcul des primitives de chacun des termes est alors facile a` calculer, car on connait les primitives de (x + a)n pour tout entier n ∈ Z. 2. f (x) =

(x2

x+3 . + x + 2)(x + 1)2

Le trinˆome du second degr´e x2 + x + 2 n’a pas de racines r´eelles. Dans ce cas la technique consiste a` ´ecrire f sous la forme f (x) =

A Cx + D B + 2 + 2 x + 1 (x + 1) x +x+2

o` u A, B, C, D sont quatre constantes r´eelles. Le calcul donne A = 1, B = 1, C = Cx + D −1, D = −1. Le calcul des primitives des fractions de la forme 2 est x +x+2 important, il se fait en deux ´etapes. En faisant apparaˆıtre au num´erateur la d´eriv´ee du d´enominateur on ´ecrit (C/2)(2x + 1) − (C/2) + D Cx + D = . 2 x +x+2 x2 + x + 2 (C/2)(2x + 1) est (C/2) ln(x2 + x + 2) + K. Il reste donc a` x2 + x + 2 trouver une primitive de 1 . x2 + x + 2 Une primitive de

67

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

La m´ethode consiste a` se ramener par changement de variable a` K

Z

du (= u2 + 1

K arctan u). On ´ecrit x2 + x + 2 = (x + 1/2)2 + 7/4. Un premier changement de variable, t = x+1/2, x = t−1/2, ϕ(t) = t−1/2, bijection strictement croissante et d´erivable, Z dt . ϕ0 (t) = 1 donne t2 + 7/4 !     7 2t 2 7 4t2 2 √ +1 = Or t + 7/4 = + 1 d’o` u un second changement de 4 7 4 7 √ √ √ 2t 7u 7u 0 7 , ϕ(u) = , ϕ (u) = . On a alors a` trouver variable u = √ . Ainsi t = 2 2 2 7 √ Z 4 7 1 du 2 7 u +1 2 √ 7 arctan u. La primitive cherch´ee est donc On reconnait 2 √    1 4 7 2 x+ + K. arctan √ 7 2 2 7 1 + bx + c o` u ax2 +bx+c est sans racines r´eelles, est de la forme λ arctan(αx+β). On pourra donc chercher, a priori, une primitive de cette forme. En identifiant la d´eriv´ee de 1 on trouve les scalaires λ, α et β. En utilisant ce λ arctan(αx+β) avec ax2 + bx Z+ c    2 1 2 1 proc´ed´e, retrouvez le r´esultat : dx = √ arctan √ x+ +K. x2 + x + 2 2 7 7 Le calcul pr´ec´edent montre qu’une primitive de toute fonction de la forme

ax2

2` eme cas : deg P ≥ deg Q. Si le degr´e du num´erateur P (x) est sup´erieur ou ´egal a` celui du d´enominateur Q(x), on divise P (x) par Q(x) de telle sorte que le reste R(x) ait deg R < deg Q. Si S(x) est la solution de la division, alors P (x) = Q(x) · S(x) + R(x) et donc Z Z Z P (x) R(x) dx = S(x)dx + dx Q(x) Q(x) Z Z R(x) dx se traite comme au 1er cas. o` u S(x)dx se calcule directement, et Q(x)

68

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

Exercices sur les primitives et int´ egrales Int´ egration par parties Exercice 6.1 Calculer par parties les int´egrales ou primitives suivantes : a) d)

Z

Z0

1

xe−x dx, 2

x ln x dx

Z

b) et

e)

Z

x sin(2x) dx,

c)

Z

π/2

x2 cos(3x) dx

0

n

x ln x dx (avec n ∈ Z).

Exercice 6.2 Calculer Z

1

arctan(x) dx

puis

0

Z

1

x arctan2 (x) dx.

0

Exercice 6.3 Calculer par parties les int´egrales ou primitives suivantes : a) d) f) i)

Z 2 x ln x ln(1 + 2x) b) dx c) dx, 2 2 2 x 1 (1 + x ) Z π/2 Z cos(x) ln(1 + cos x) dx, e) exp(x) cos(x) dx, Z Z0 Z p 2 h) sin(ln x) dx x arctan x dx, g) ln(x + 1 + x ) dx, Z 1 (x2 + 5x + 6) cos(2x) dx.

Z

x dx, sin2 x

Z

−1

Exercice 6.4 Pour tout entier n ≥ 0, on pose : In =

Z

π/2

sinn (x) dx.

0

a) Calculer I0 et I1 . b) Montrer que l’on a, pour tout entier n ≥ 2 : In =

c)

(∗)

n−1 In−2 . n

En d´eduire les valeurs de I2n et I2n+1 pour tout entier n ≥ 0.

et

69

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

Changements de variables Exercice 6.5 Calculer les primitives suivantes en effectuant le changement de variable indiqu´e. dx √ (poser x = 1/t), x x2 − 2

Z

a)

Z

c)

Z

b)

0

x(5x2 − 3)7 dx (poser t = 5x2 − 3)

et

1

dx (poser x = − ln(t)), exp(x) + 1 Z 3 √ dx √ (poser t = x + 1). d) 2 x x+1

Exercice 6.6 Calculer les primitives ou int´egrales suivantes en utilisant le changement de variable indiqu´e : Z

a)

1

dx (poser x = tan u), (1 + x2 )2

0

b)

Z

π/2

0 π/2

dx (poser u = tan(x/2)), 3 + 2 cos x

dx dx √ (poser u = e−x ), d) (poser u = tan(x/2)), 2x cos x + sin x e −1 0 Z π/2 cos x dx (poser u = sin x). 6 − 5 sin x + sin2 x 0 Z

Z

c) e)

Exercice 6.7 Calculer les primitives ou int´egrales suivantes en utilisant un changement de variable : a)

Z

1

0

1+x √ dx, 1+ x

b)

Z

dx p x exp(x) − 1

et

c)

Z

1 0

exp(2x) p dx exp(x) + 1

Exercice 6.8 Calculer les primitives ou int´egrales suivantes en utilisant un changement de variable : a) d)

Z Z 1 p x dx √ dx, b) , c) x2 1 + x3 dx, ch(x) sh(x) 2x − x2 0 Z 1 Z ap Z arctan x dx 2 − x2 dx (avec a ∈ R) et f) a , e) . 2 1 + x x ln x 0 0

Z

Exercice 6.9 Calculer les primitives ou int´egrales suivantes en utilisant un changement de variable : Z 5√ Z 3 Z 4 x−1 dx x dx √ √ , b) dx, c) , a) x 4x + 2 1 2 x 1+x 1 Z π/2 Z 2 d) sin(x) cos (x) dx et e) (x + 2) sin(x2 + 4x − 6) dx. 0

70

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

Exercice 6.10 Calculer les primitives ou int´egrales suivantes en utilisant un changement de variable : Z Z 1 1 dx p , b) dx, a) x tan(ln x) (x + 2)(3 − x) −1 Z Z 1 Z 1 dx e3x arcsin2 (x) dx. dx, d) et e) c) 2x 1 + e ch x 0 0 Exercice 6.11 En utilisant le changement de variable x = tan u, calculer l’int´egrale : Z 1 2x arcsin dx 1 + x2 0 On rappelle la formule : sin(2u) =

2 tan u . 1 + tan2 u

Exercice 6.12 a) Montrer, en utilisant un changement de variable, que : Z 2r Z 1/√3 4u2 x − 1 dx = du. x+1 x (1 − u2 )(1 + u2 ) 0 1 b) Calculer

et en d´eduire la valeur de

Z

u2 du (1 − u2 )(1 + u2 ) Z

1

2

r

x − 1 dx . x+1 x

Primitives et Int´ egrales des fractions rationnelles Exercice 6.13 Calculer les primitives et int´egrales suivantes : Z 2 Z Z 2 x − 5x + 9 5x + 2 dx , a) dx, b) dx, c) x2 − 5x + 6 x3 − 5x2 + 4x x(x + 1)2 0 Z Z 1 Z 5x2 + 6x + 9 dx dx d) dx, e) , f) , 4 +1 4 + x2 + 1 (x − 3)2 (x + 1)2 x x −1 Z Z x3 − 1 2x − 3 dx et h) g) dx. (x2 − 3x + 2)3 4x3 − x Exercice 6.14 Calculer les primitives suivantes : Z Z Z 3 x dx dx x − 2x , c) , dx, b) a) x+1 4 − 9x2 (x + 1)3 Z Z x dx dx d) et e) . 2 2 x + 2x + 10 4x − 4x − 3

71

Chapitre 6. Primitives et int´egrales Exercice 6.15 Calculer les int´egrales et primitives suivantes : a) d)

dx , b) (x − 1)3 (x + 1) Z x2 + 2 dx, (x + 1)3 (x − 2)

Z

Z

x dx , (x2 + 1)(x − 1)

Z

c)

1 0

x dx , (x + 1)2 (x2 + 1)

Primitives et int´ egrales des fonctions circulaires Exercice 6.16 En utilisant la formule : cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x, calculer : a)

Z

2

sin x dx,

Z

b)

π/4

2

cos x dx

et

Z

c)

0

sin4 x dx.

Exercice 6.17 En utilisant la d´ecomposition du produit cos x cos 3x sin 5x en une somme de sin 9x, sin 7x, sin 3x et sin x, calculer l’int´egrale : Z

π/2

cos x cos 3x sin 5x dx.

0

Exercice 6.18 En utilisant le fait que cos 0 x = − sin x et sin0 x = cos x, calculer les primitives suivantes : a)

Z

tan x dx,

b)

Z

sin3 x dx cos2 x

et

c)

Z

cos3 x dx.

Exercice 6.19 En utilisant la formule pour la d´eriv´ee de tan x, calculer : Z Z 2 a) tan x dx, b) tan3 x dx. Exercice 6.20 Calculer les primitives suivantes : Z Z 3 a) cos x dx, b) sin2 (x/2) cos 3 (x/2) dx, Z Z c) sin 3x cos 5x dx et d) sin 9x sin x dx.

72

Chapitre 6. Primitives et int´egrales

Autres exercices... Exercice 6.21 Trouver la formule de r´ecurrence permettant de calculer l’int´egrale Z xn exp(−x) dx o` u n ∈ N. Exercice 6.22 Calculer

Exercice 6.23

(∗)

Z

  1 x arcsin dx. x 3

Calculer la d´eriv´ee de la fonction f : R → R d´efinie par : f (x) =

Exercice 6.24

(∗)

Z

x2 +1

2

e−t dt.

x

On consid`ere la fonction f d´efinie sur l’intervalle [−π/4; π/4] par : Z x√ cos 2t dt. f (x) = 0

a) Montrer que f est impaire. b) Tracer sommairement le graphe de f . c) Montrer que l’on a : f (x) ≤ x si 0 ≤ x ≤ π/4.

Chapitre 7

Equations diff´ erentielles Une ´equation diff´erentielle est une ´equation reliant les d´eriv´ees d’une fonction et la fonction elle-mˆeme. Par exemple y 00 (x) + sin(y(x)) = x2 . Une solution d’une telle ´equation est donc une fonction. Ici on se pose deux types de questions. Combien de fonctions sont-elles solutions et comment les d´eterminer. On distingue les cas suivants: on appelle l’ordre de l’´equation diff´erentielle le plus grand n, tel que la n-i`eme d´eriv´e apparaˆıt dans l’´equation. Une ´equation du type gn (x)y (n) (x) + gn−1 (x)y (n−1) (x) + g0 (x)y(x) = b(x) , o` u gj et b sont des fonctions donn´ees, est dite ´equation diff´erentielle lin´eaire. Si, de plus, b(x) = 0, elle est dite ´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene. Si les fonctions g j sont constantes l’´equation diff´erentielle est dite a ` coefficients constants.

7.1 7.1.1

Equations diff´ erentielles lin´ eaires ` a coefficients constants Equations homog` enes du premier ordre

Soit a ∈ C. Par d´efinition, une solution complexe de l’´equation diff´erentielle y 0 = ay est une fonction f : R → C, d´erivable et telle que f 0 (x) = af (x) pour tout x ∈ R. En posant f (x) = Re f (x) + i Im f (x) on peut d´efinir f 0 = (Re f )0 + i(Im f )0 . Par exemple, pour obtenir la deriv´ee de exp(ax), avec a ∈ C, on utilise exp(ax) = exp(Re ax) cos(Im ax)+i exp(Re ax) sin(Im ax)). Ainsi on obtient exp(ax) 0 = a exp(ax). Proposition 7.1.1 Les solutions complexes de l’´equation diff´erentielle y 0 = ay sont exactement les fonctions (d´efinies sur R) x 7−→ λ exp(ax) o` u λ ∈ C. 73

74

Chapitre 7. Equations diff´erentielles

Preuve : Pour λ quelconque fix´e, la fonction x 7−→ λ exp(ax) est ´evidemment solution. R´eciproquement, si f est une fonction d´erivable sur R solution de l’´equation y 0 = ay, on consid`ere la fonction h d´efinie sur R par h(x) = f (x) exp(−ax) qui est d´erivable comme produit de fonctions d´erivables. On a alors pour tout x ∈ R : h0 (x) = (f 0 (x) − af (x)) exp(−ax). Comme f v´erifie f 0 = af , la fonction h0 est donc identiquement nulle et donc h est constante. Si l’on note λ la valeur constante de la fonction h, on a alors λ = f (x) exp(−ax) pour tout x ∈ R. On obtient ainsi f (x) = λ exp(ax) pour tout x ∈ R, q.e.d..

7.1.2

Equations homog` enes d’ordre n

On consid`ere l’´equation diff´erentielle y (n) + an−1 y (n−1) + · · · a1 y 0 + a0 y = 0

(7.1)

o` u ai ∈ C. Une solution de cette ´equation diff´erentielle est une fonction f : R → C n fois d´erivable et telle que f (n) (x) + an−1 f (n−1) (x) + · · · a1 f 0 (x) + a0 f (x) = 0 pour tout x ∈ R. Proposition 7.1.2 Si f est g sont des solutions de (7.1) alors tout combinaison λf +µg, λ, µ ∈ C est aussi une solution de (7.1) (une telle combinaison est dite combinaison lin´eaire). On va trouver une solution qui contient n param`etres, qui peuvent prendre n’importe quelle valeur complexs. La m´ ethode de r´ esolution consiste d’abord a` ´etudier le polynˆome P (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · a0

(7.2)

qui peut toujours ˆetre factoris´e en n facteurs lin´eaires complexes. Ce polynˆome est appel´e polynˆ ome caract´eristique. Proposition 7.1.3 Les solutions complexes de l’´equation diff´erentielle (7.1) sont donn´ees en fonction des racines et ces multiplicit´es du polynˆ ome characteristique (7.2), plus pr´ecisement X f (x) = Qk (x) exp(kx) (7.3) k:P (k)=0

o` u Qk est un polynˆ ome de degr´e strictement plus petit que la multiplicit´e de la racine k. Si les coefficients sont r´eels, les solutions r´eelles sont de la mˆeme forme que (7.3) mais avec la contrainte Qk¯ (x) = Qk (x).

Chapitre 7. Equations diff´erentielles

75

Preuve: (partielle) On avait dit qu’une ´equation diff´erentielle a comme solution une d comme une application qui associe a` une fonction fonction. Il est donc naturel de voir dx d d´erivable sa d´eriv´ee. Alors dx + a est une application qui associe a` f la fonction f 0 + af d d + a)( dx + b) comme la composition de deux applications, etc.. et nous interpr´etons ( dx d Dans ce formalisme une solution de (7.1) et une solution de P ( dx )f = 0. Si f = Q(x) exp(kx) o`u k est une racine de multiplicit´e m(k), alors il exist un d polynˆome R de degree n − m(k) t.q. P (X) = R(X)(X − k) m(k) . Donc P ( dx )f = 0 si d d d )( dx − k)m(k) f = 0, ce qui est certainement le cas si ( dx − k)m(k) f = 0. On calcule R( dx d d ( dx − k)Q(x) exp(kx) = Q0 (x) exp(kx) et donc ( dx − k)m(k) f = 0 si le degr´e de Q est plus petit que m(k), q.e.d.. On note que l’expression de f contient n param`etres (complexes ou r´eels). On obtient la forme des solutions r´eelles dans le cas d’ordre 2. Proposition 7.1.4 (´ equation y 00 + by 0 + cy = 0, b, c ∈ R) Les solutions r´eelles de cette ´equation diff´erentielle sont donn´ees en fonction des racines du polynˆ ome P (X) = X 2 + bX + c. 1. Si les racines de P (X) sont deux r´eels distincts r 1 et r2 , les solutions sont les fonctions (d´efinies sur R) de la forme : x 7−→ λ exp(r1 x) + µ exp(r2 x) o` u λ, µ sont des r´eels. 2. Si P (X) = 0 a une racine r´eelle double r, les solutions sont les fonctions (d´efinies sur R) de la forme : x 7−→ (λx + µ) exp(rx) o` u λ, µ sont des r´eels. 3. Si les racines de P (X) sont complexes (n´ecessairement conjugu´ees) et de la forme r + is et r − is (avec r, s ∈ R) les solutions sont les fonctions (d´efinies sur R) de la forme : x 7−→ (λ cos(sx) + µ sin(sx)) exp(rx) o` u λ, µ sont des r´eels.

7.1.3

Equations inhomog` enes

On ´etudie maintenant l’´equation y (n) (x) + an−1 y (n−1) (x) + · · · + a0 y(x) = b(x)

(7.4)

o` u ai ∈ C et b est une fonction sur R a` valeur complexe. M´ ethode de r´ esolution La m´ethode de r´esolution comporte toujours les deux ´etapes suivantes : • Premi` ere ´ etape : D´eterminer la solution g´en´erale g 0 de l’´equation (7.4) avec b(x) = 0, qui est donc une ´equation diff´erentielle homog`ene et que nous avons r´esolue plus haut, la solution est donn´ee par la Proposition 7.1.3.

76

Chapitre 7. Equations diff´erentielles • Deuxi` eme ´ etape : D´eterminer une solution particuli`ere g de l’´equation (7.4).

La solution g´en´erale f de (7.4) est alors f = g + g 0 , ce qui s’´ecrit : Solution g´en´erale de (7.4) = Solution g´en´erale de (7.1) + Solution particuli`ere de (7.4). Recherche d’une solution particuli` ere Proposition 7.1.5 Si f1 est une solution particuli`ere de (7.4) avec b = b 1 et f2 est une solution particuli`ere de (7.4) avec b = b 2 , alors λf1 + µf2 est une solution particuli`ere de (7.4) avec b = λb1 + µb2 . Les cas a` connaˆıtre sont ceux o` u la fonction b est de la forme b(x) = x l exp(kx), k ∈ C. Pour trouver une solution on fait l’ansatz f (x) = xm(k) Q(x) exp(kx) o` u Q est un polynˆome de degr´e l. Ici m(k) = 0 si k n’est pas une racine de P . En mettant y = f dans (7.4) on obtient une ´equation alg´ebrique pour Q. Pour des fonctions b qui sont combinaisons lin´eaires de fonctions du type b(x) = xl exp(kx), on peut appliquer la derni`ere proposition. Pour des fonctions b plus g´en´erales, il existe d’autres m´ethodes que l’on ne verra pas ici. Dans le cas o` u les coefficients sont r´eels et b(x) est r´eel, on procede de la mani`ere suivante pour l’ordre 2: On d´esigne toujours par P un polynˆome et par d ◦ P son degr´e. 1er cas : y 00 + by 0 + cy = P . On cherche une solution particuli`ere sous la forme d’un polynˆome Q avec :  ◦ si c 6= 0  d P d◦ P + 1 si c = 0, b 6= 0 (y 00 + by 0 = P ) d◦ Q =  ◦ d P + 2 si c = 0 = b (y 00 = P ) 2` eme cas : y 00 + by 0 + cy = f o` u f (x) = exp(αx)P (x), α r´eel non nul. Il y a trois possibilit´es suivant que α est ou non une racine de l’´equation caract´eristique X 2 + bX + c = 0.

• Si α n’est pas racine de X 2 + bX + c = 0, on cherche une solution particuli`ere sous la forme : g(x) = exp(αx)Q(x) avec d◦ Q = d◦ P. • Si α est une racine simple de X 2 +bX +c = 0, on cherche une solution particuli`ere sous la forme : g(x) = exp(αx)xQ(x) avec d◦ Q = d◦ P. • Si α est une racine double de X 2 +bX +c = 0, on cherche une solution particuli`ere sous la forme : g(x) = exp(αx)x2 Q(x) avec d◦ Q = d◦ P.

77

Chapitre 7. Equations diff´erentielles

3` eme cas : y 00 + by 0 + cy = f o` u f (x) = exp(αx)P (x)(K1 cos(βx) + K2 sin(βx)), β r´eel non nul (n´eanmoins, le cas α = 0 est possible). • Si α + iβ n’est pas racine de X 2 + bX + c = 0, on cherche une solution particuli`ere sous la forme : g(x) = exp(αx)(Q1 (x) cos(βx) + Q2 (x) sin(βx)) avec d◦ Q1 = d◦ Q2 = d◦ P. • Si α + iβ est racine de X 2 + bX + c = 0, on cherche une solution particuli`ere sous la forme : g(x) = x exp(αx)(Q1 (x) cos(βx) + Q2 (x) sin(βx)) avec d◦ Q1 = d◦ Q2 = d◦ P.

7.2

Equations diff´ erentielles du premier ordre

Dans ce paragraphe, les ´equations diff´erentielles consid´er´ees font intervenir des relations entre y, y 0 et d’autres fonctions qui ne sont pas n´ecessairement d´efinies sur R tout entier. Dans ce cas la recherche d’une solution n´ecessite aussi d’expliciter l’intervalle sur lequel elle est d´efinie.

7.2.1

Exemple

y , avec x 6= 0. On cherche une fonction u d´efinie sur un intervalle x I ne contenant pas 0 et telle que u0 (x) = u(x)/x, pour tout x ∈ I. En d´erivant u(x)/x pour x ∈ I, on obtient (xu0 (x) − u(x))/x2 = 0. Donc Soit l’´equation y 0 =

u(x) = K (=constante) x pour x ∈ I. Ce calcul est valable sur tout intervalle ne contenant pas 0. Il fournit ainsi toutes les solutions de l’´equation y 0 = y/x sur l’intervalle ] − ∞, 0[ sous la forme u1 (x) = K1 x et toutes les solutions sur l’intervalle ]0, +∞[ sous la forme u 2 (x) = K2 x Mais on a aussi comme solutions les fonctions obtenues en “juxtaposant” deux des fonctions pr´ec´edentes avec des constantes K 1 et K2 quelconques. L’allure du graphe d’une telle fonction obtenu par juxtaposition est donn´ee dans la figure 7.1. La “constante d’int´egration” n’est pas forc´ement la mˆeme sur les deux intervalles d’int´egration.

7.2.2

Equation lin´ eaire y 0 = a(x)y + b(x)

On consid`ere ici deux fonctions a et b d´efinies et continues sur le mˆeme intervalle I et on cherche les fonctions f d´efinies sur I et solutions de l’´equation, c’est a` dire v´erifiant f 0 (x) = a(x)f (x) + b(x) ,

pour tout x ∈ I .

78

Chapitre 7. Equations diff´erentielles

y=K 2 x

0

y=K 1 x

Figure 7.1: fonction obtenue par juxtaposition Equation y 0 = a(x)y Proposition 7.2.1 Soit a une fonction continue sur un intervalle I. Soit A une primitive de a sur I. Alors les solutions de l’´equation diff´erentielle y 0 = a(x)y sont les fonctions f (x) = λ exp(A(x)), o` u λ ∈ R. Cette proposition g´en´eralise le r´esultat pr´esent´e dans la Proposition 7.1.1 correspondant au cas o` u a est constant. Exemple : Consid´erons l’´equation diff´erentielle y 0 = xy. Ici a(x) = x est d´efinie et 2 continue sur I = R, et A(x) = x2 est une primitive de a(x) = x. Donc les solutions de y 0 = xy sont les fonctions  2 x . fλ (x) = λ exp 2 Chaque solution est une solution paire. Les graphes des solutions sont repr´esent´es par la figure 7.2. Equation (E) : y 0 = a(x)y + b(x) La m´ethode de r´esolution est g´en´erale et se fait en deux ´etapes. Premi` ere ´ etape : on cherche une solution de (E 0 ) : y 0 = a(x)y, sous la forme g0 (x) = λ exp(A(x)), o` u A est une primitive de a sur l’intervalle I consid´er´e et λ ∈ R est une constante Deuxi` eme ´ etape : “variation de la constante” on cherche une solution particuli`ere de (E) sous la forme g(x) = h(x) exp(A(x)), x ∈ I. Les solutions de (E) sont alors donn´ees par f (x) = g0 (x) + g(x) , x ∈ I .

Chapitre 7. Equations diff´erentielles

79

Figure 7.2: solutions de l’´equation y 0 = xy 2y +1 sur l’intervalle I =]0, +∞[. x La fonction a(x) = 2/x est continue sur l’intervalle ]0, +∞[ et sur cet intervalle, elle a pour primitive 2 ln(x). Exemple : R´esoudre l’´equation diff´erentielle y 0 =

2y a donc pour solution x g0 (x) = λ exp(2 ln(x)) = λx2 , avec λ ∈ R .

1. Sur l’intervalle I, l’´equation y 0 =

2y + 1 sous la forme x g(x) = h(x)x2 o` u h est une fonction d´erivable inconnue. On a alors

2. On cherche ensuite une solution particuli`ere de y 0 =

g 0 (x) = h0 (x)x2 + 2h(x)x , 1 , pour x > 0 et donc x2 on peut prendre h(x) = −1/x, pour x > 0. La solution particuli`ere est alors 2y x2 = −x. La solution g´en´erale de y 0 = + 1 sur l’intervalle ]0, +∞[ est g(x) = − x x donc et donc h0 (x)x2 + 2h(x)x = 2h(x)x + 1 soit h0 (x) =

f (x) = λx2 − x, λ ∈ R.

80

Chapitre 7. Equations diff´erentielles

7.2.3

Exemples d’autres ´ equations diff´ erentielles

Nous allons examiner deux types de telles ´equations, appel´ees a` “variables s´epar´ees” et “homog`enes”. Equations a ` variables s´ epar´ ees Ceux sont les ´equations du type f (y)y 0 = g(x) , o` u f et g sont des fonctions continues sur des intervalles J et I. Le principe de calcul est explicit´e sur deux exemples ci-dessous. Exemple 1 : on a rencontr´e ci-dessus l’´equation y 0 = a(x)y avec a d´efinie et continue y0 sur un intervalle I. En la mettant sous la forme = a(x), on voit que c’est une ´equation y a` variables s´epar´ees avec f (y) = 1/y et g(x) = a(x). Supposons que u soit une solution d´efinie sur I et que u(x) soit non nul pour tout x ∈ I. On a alors u0 (x) = a(x) , u(x)

pour tout x ∈ I .

En notant A(x) une primitive de a(x) sur I, on a ln |u(x)| = A(x) + C ,

pour tout x ∈ I .

Comme u(x) ne s’annule pas sur I et est continue, u(x) garde un signe constant sur I et on a soit u(x) = exp(A(x) + C) = exp(C) exp(A(x)), x ∈ I. soit u(x) = − exp(A(x) + C) = − exp(C) exp(A(x)), x ∈ I. Ici exp C 6= 0. Mais comme la fonction nulle est aussi solution, on retrouve bien les solutions u(x) = λ exp(A(x)), λ constante r´eelle. Exemple 2 : soit l’´equation (1 + x)y 0 = 1 + y 2 . Pla¸cons-nous sur un intervalle I sur lequel 1 + x 6= 0 donc −1 6∈ I et consid´erons une solution y. Alors on a y 0 (x) 1 = , pour x ∈ I . 1 + y 2 (x) 1+x On a une ´equation a` variables s´epar´ees avec f (y) =

1 pour y ∈ R et g(x) = 1 + y2

1 pour x ∈ I. En int´egrant, on obtient, arctan(y(x)) = ln |1 + x| + C o` u C est 1+x une constante. Les solutions de l’´equation diff´erentielle sur l’intervalle I sont donc les fonctions y(x) = tan(ln |1 + x| + C).

81

Chapitre 7. Equations diff´erentielles Equations homog` enes

Une ´equation diff´erentielle du premier ordre est dite homog`ene si elle s’´ecrit sous la forme y y0 = f , x

o` u f est une fonction d´efinie sur un certain intervalle. y R´ esolution de (E) : y 0 = f . x La m´ethode consiste a` remplacer la fonction inconnue y par une nouvelle fonction t y(x) pour x 6= 0. On a alors y(x) = xt(x) et donc y 0 (x) = t(x)+xt0 (x). d´efinie par t(x) = x En reportant dans (E), on obtient t(x) + xt0 (x) = f (t) , soit

1 t0 (x) = , f (t(x)) − t(x) x

pour x 6= 0 .

On est ramen´e a` r´esoudre l’´equation a` variables s´epar´ees 1 t0 = . f (t) − t x

82

Chapitre 7. Equations diff´erentielles

Exercices sur les ´ equations diff´ erentielles Exercice 7.1 R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : a) d)

2y 0 − 3y = 0,

y 0 + 2y = 0,

b)

y 00 − 4y 0 + 3y = 0,

e)

c)

y 00 + y 0 + y = 0

y 00 + y 0 = 0, et

f)

y 00 − 6y 0 + 9y = 0.

Exercice 7.2 Trouver la solution de l’´equation diff´erentielle y 00 + y 0 − 12y = 0 qui v´erifie y(2) = 2 et y 0 (2) = 0. Mˆeme question avec l’´equation θ 00 + 9θ = 0 et les conditions θ(π/2) = 0 et θ 0 (π/2) = 3. Exercice 7.3 Int´egrer les ´equations diff´erentielles suivantes : a)

y 00 + y = cos2 x,

c)

y 00 + y 0 − 2y = cos x + ch x,

e)

b)

y 00 − 3y 0 + 2y = ex sin 3x

y 00 − 2y 0 + 5y = 10 cos x, et

d)

f)

y 00 − 2y 0 + y = ex (x2 + 1),

y 00 + 3y 0 + 2y = e−x (x2 + 1).

Exercice 7.4 R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : a) b) c)

y 00 + y 0 − 6y = sin(2x) + e2x 00

0

00

0

y + 3y + 2y = 2x ch(x) y − 3y + 2y = 2000

(janvier 96),

(janvier 95)

et

(janvier 98).

Exercice 7.5 R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes (choisir pour chacune d’elles un intervalle adapt´e au calcul) : a) c) e) g)

x3 y 0 + x2 y = x (juin 98), b) ex y 0 − ex y = 2x (juin 97), 1 (sept 96), d) xy 0 + 2y = x2 − 3, xy 0 + 2y = 1 + x2 1 (1 + x2 )y 0 + xy = 2x2 + 1, f) y 0 + y tan(x) = et cos(x) xy 0 − xy = ex .

Exercice 7.6 On consid`ere l’´equation diff´erentielle y 00 + 2my 0 + y = 0 o` u m est un param`etre r´eel.

(7.5)

83

Chapitre 7. Equations diff´erentielles a) Donner, en distinguant suivant les valeurs de m, la solution g´en´erale de (7.5). b) R´esoudre y 00 + 2y 0 + y = 3x5 + 3. Exercice 7.7 R´esoudre les ´equations suivantes : a)

(1 + x2 )y 0 + 3xy = 0,

b)

y 0 sin(x) = y.

Exercice 7.8 On se propose de montrer que si a : I → R est continue, alors les solutions de : y 0 = a(x)y d´efinies sur I sont exactement les fonctions f (x) = λ exp(A(x)) o` u λ ∈ R est une constante et A est une primitive de a sur I. a) On pose f (x) = λ exp(A(x)). Montrer que f est une solution de y 0 = a(x)y d´efinie sur I. b) Soit u(x) une solution d´efinie pour tout x ∈ I. Montrer que la fonction v(x) = u(x) exp(−A(x)) est d´erivable avec v 0 (x) = 0, pour tout x ∈ I. En d´eduire que u(x) = λ exp(A(x)). Exercice 7.9 R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : a)

y 0 = y + 1,

b)

xy 0 − 2y = x3

et

x2 y 0 = y.

c)

Exercice 7.10 Int´egrer les ´equations diff´erentielles suivantes : a) d)

2y = (x + 1)3 , x+1 sin 2x , y 0 + (cos x)y = 2 y0 −

b) e)

y x+1 = , 2x x 2 y 0 − y = x2 ex et x y0 −

c) f)

(cos x)y 0 + (sin x)y = 1, y0 + y =

1 . ex

Exercice 7.11 On consid`ere l’´equation diff´erentielle : y 0 − 2xy + 2xy 2 = 0.

(7.6)

On cherche les solutions de y de (7.6) qui ne s’annulent pas sous la forme : y(x) =

1 . u(x)

Quelle est l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la fonction u ? En d´eduire la forme des solutions de (7.6) qui ne s’annulent pas.

84

Chapitre 7. Equations diff´erentielles

Exercice 7.12 L’´equation diff´erentielle : xy 0 + y 2 = 0 est-elle lin´eaire ? Quelles sont ses solutions ? Mˆemes questions pour l’´equation diff´erentielle : y 0 = (1 − y)(2 − y). Exercice 7.13 R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : a) d)

(x2 − x)y 0 = y 2 + y, b) y 0 = exp(x + y), c) y 0 = y 2 , √ y 0 = n y, e) y 0 = ex y 2 et f) y 0 = x(y 2 − 1).

Exercice 7.14 R´esoudre l’´equation diff´erentielle : xy 00 + (1 − y 2 )y 0 = 0. Exercice 7.15 Montrer que l’´equation diff´erentielle : (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0 poss`ede pour solution particuli`ere un polynˆ ome. En d´eduire les solutions de cette ´equation diff´erentielle. Exercice 7.16 D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle : y 00 + 2y 0 − 5y = xe−x cos 2x. En d´eduire les solutions de cette ´equation diff´erentielle. Exercice 7.17 Int´egrer l’´equation diff´erentielle suivante : y 00 + 2y 0 + y = e−x ln |x|.

85

Test de 30 mn sur les ´ equations diff´ erentielles

Exercice 1 R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : 1. y 0 + 2yx = 0. 2. y 00 + 16y = 8(1 − cos(4x)).

86

Correction du test de 30 mn sur les nombres complexes

Exercice 1 On cherche x ∈ C tel que x2 +2x+2 = 0. Le discriminant de cette ´equation est ∆ = 22 − 4 × 2 = −4 = (2i)2 . Les solutions sont x1 =

−2 + 2i −2 − 2i = −1 + i et x2 = = −1 − i. 2 2

√ 3 = 1 + i. Comme |1 + i| = 2, on ´ecrit Exercice 2On cherche z ∈ C tel que z  √ √ iπ √ √2 √ iπ 2 3 1 + i = 2 2 + i 2 = 2e 4 . On r´esout donc l’´equation z = 2e 4 , laquelle est ´equivalente a `: √ π |z|3 = 2 et 3 arg z = + 2kπ, k ∈ Z. 4 On obtient : √ 1 π 2kπ |z| = ( 2) 3 = 21/6 et arg z = + , k ∈ {0, 1, 2}. 12 3 Les racines cubiques de 1 + i sont donc : π

21/6 ei 12 , 21/6 ei

3π 4

, 21/6 ei

17π 12

= 21/6 ei

−7π 12

.

Exercice 3 Soit M un point du plan d’affixe z tel que |iz − 5| < 4. On remarque que  5  = |i||z + 5i| = |z − (−5i)|. |iz − 5| = i z − i

L’ensemble des points M d’affixe z v´erifiant |iz − 5| < 4 est donc le disque unit´e ouvert (c’est a ` dire sans le bord) centr´e au point du plan d’affixe −5i et de rayon 4.

87

Correction du test de 30 mn sur les fonctions hyperboliques

Exercice 1 Etudions la fonction tangente hyperbolique th (Tableau de variation et ex − e−x graphe). Par d´efinition, th est d´efinie sur R par th(x) = x . Elle est continue et e + e−x d´erivable sur R. th0 (x) =

4 1 (ex + e−x )2 − (ex − e−x )2 = x = . x −x 2 −x 2 (e + e ) (e + e ) (ch x)2

Ainsi th0 (x) > 0 pour tout x ∈ R, la fonction th est donc strictement croissante sur R. e−x − ex D’autre part, th(−x) = −x = − th(x). La fonction th est donc impaire, sa courbe e + ex est sym´etrique par rapport a ` l’origine. Il suffit d’´etudier th sur l’intervalle [0, +∞[. Tableau de variation de la fonction th : x

0

+∞

th0 (x) 1

+

th(x)

%

0 1

0

ex (1 − e−2x ) 1 − e−2x ex − e−x = lim = lim =1 x→∞ ex (1 + e−2x ) x→∞ 1 + e−2x x→∞ ex + e−x

lim th(x) = lim

x→∞

(en effet, limx→∞ e−2x = 0). Allure du graphe de la fonction th, voir page 34. 15 ` l’aide de la formule donExercice 2 Sachant que ch(− ln 4) = 17 8 et sh(− ln 4) = − 8 , a nant sh(a + b) en fonction de sh(a), sh(b), ch(a) et ch(b), on souhaite r´esoudre l’equation suivante : 17 sh(2x) − 15 ch(2x) = 8 sh(9x − 1).

On veut r´esoudre l’´equation

17 15 sh(2x)− ch(2x) = sh(9x−1) ⇐⇒ ch(− ln 4) sh(2x)+sh(− ln 4) ch(2x) = sh(9x−1). 8 8 Sachant que sh(a + b) = ch(a) sh(b) + ch(b) sh(a), on est amen´e a ` r´esoudre : sh(2x − ln 4) = sh(9x − 1). La fonction sh ´etant strictement croissante sur R, elle est bijective sur R. Par cons´equent 1 − ln 4 . 7 1 − ln 4 L’unique solution de l’´equation 17 sh(2x) − 15 ch(2x) = 8 sh(9x − 1) est . 7 sh(2x − ln 4) = sh(9x − 1) ⇐⇒ 2x − ln 4 = 9x − 1 ⇐⇒ x =

88 Exercice 3 On veut r´esoudre l’equation : ch(x) = 4 sh(x), qui n’est autre que ex + e−x ex − e−x =4 ⇐⇒ ex + e−x = 4ex − 4e−x ⇐⇒ 5e−x − 3ex = 0. 2 2 Posons X = ex (X > 0). On est ramen´e a ` la r´esolution de l’´equation : r 5 5 2 − 3X = 0, X > 0 ⇐⇒ 5 − 3X = 0, X > 0 ⇐⇒ X = . X 3 q q  5 1 On r´esout ensuite ex = 53 . ce qui nous donne x = ln 3 = 2 (ln 5 − ln 3). L’unique 1 solution de l’´equation ch(x) = 4 sh(x) est donc (ln 5 − ln 3). 2

89

Correction du test de 45 mn sur les limites de fonctions et les fonctions continues

Exercice 1 Pour x > 0, on pose f (x) =

p p ch(x) + 1− sh(x) + 1. Calculons lim f (x). x→+∞

p p p p ch(x) + 1 − sh(x) + 1)( ch(x) + 1 + sh(x) + 1) p p f (x) = ch(x) + 1 + sh(x) + 1 (ch(x) + 1) − (sh(x) + 1) p = p ch(x) + 1 + sh(x) + 1 e−x p = p . ch(x) + 1 + sh(x) + 1 p p Comme lim ch(x) = +∞ = lim sh(x), il est clair que lim ch(x) + 1+ sh(x) + 1 = (

x→∞

x→∞

x→∞

∞. De plus, comme lim e−x = 0, finalement, lim f (x) = 0. x→∞ r x→∞ −3 x e Montrons que f (x) x→+∞ ∼ , autrement dit v´erifions que 2 f (x) = 1. lim q

x→∞

D’apr`es le calcul pr´ec´edent, f (x) = =

=

= = Ainsi

e−x p p ch(x) + 1 + sh(x) + 1 e−x q q x −x ex +e−x + 1 + e −e +1 2 2 q

e−x q ex ex −2x + 2e−x ) + −2x + 2e−x ) (1 + e 2 2 (1 − e

e−x p √ √ ex /2( 1 + e−2x + 2e−x + 1 − e−2x + 2e−x ) √ √ 2 e−3x √ √ . 1 + e−2x + 2e−x + 1 − e−2x + 2e−x

f (x) 2 √ lim q = lim √ = 1, −2x −x −3x x→∞ e 1+e + 2e + 1 − e−2x + 2e−x

x→∞

2

car lim e−2x = lim e−x = 0. x→∞

e−3x 2

x→∞

90

Exercice 2 On veut calculer lim

x→0



2 + 5 sin(x) 2 + sin(x)

1/x



2 + 5 sin(x) 2 + sin(x)

1/x

. Tout d’abord on ´ecrit :

  2 + 5 sin(x) 1 ln = exp x 2 + sin(x)   1 = exp (ln(2 + 5 sin(x)) − ln(2 + sin(x))) . x 

ln(2 + 5 sin(x)) − ln(2 + sin(x)) . Posons f (x) = ln(2 + 5 sin(x)) − x→0 x ln(2 + sin(x)). On remarque alors que D´eterminons lim

ln(2 + 5 sin(x)) − ln(2 + sin(x)) = f 0 (0) x→0 x lim

avec f 0 (x) =

cos(x) 5 1 5 cos(x) − . Ainsi f 0 (0) = − = 2. Nous obtenons donc : 2 + 5 sin(x) 2 + sin(x) 2 2 lim

x→0



2 + 5 sin(x) 2 + sin(x)

1/x

= e2 .

ch(x) − cos(x) . Pour cela posons f (x) = ch(x) − x2 2 cos(x) et g(x) = x . On remarque que f (0) = g(0) = 0. Calculons alors Exercice 3 Calculons la limite lim

x→0

f 0 (x) sh(x) + sin(x) = lim . 0 x→0 g (x) x→0 2x lim

On remarque que f 0 (0) = g 0 (0) = 0. Calculons alors f 00 (x) ch(x) + cos(x) = lim = 1. x→0 g 00 (x) x→0 2 lim

D’apr´es la r`egle de l’Hospital, f 00 (x) f 0 (x) f (x) = lim = lim = 1. x→0 g 00 (x) x→0 g 0 (x) x→0 g(x) lim

Nous allons en d´eduire que les fonctions f (x) = ch(x)−cos(x) et g(x) = sh(x) sin(x) sont ch(x) − cos(x) = 1, f (x) est ´equivalentes quand x tend vers 0. En effet, puisque lim x→0 x2 0 ´equivalent a ` x2 quand x tend vers 0. D’autre part, comme lim sh(x) x = sh (0) = ch(0) = 1 x→0

sin(x) x→0 x

et lim

= sin0 (0) = cos(0) = 1, sh(x) et sin(x) sont ´equivalents a ` x si x tend vers

0. Par cons´equent le produit sh(x) sin(x) est ´equivalent a ` x 2 quand x tend vers 0. Par transitivit´e des ´equivalents, f (x) est ´equivalent a ` g(x) quand x tend vers 0.

91 Exercice 4 La fonction f : x 7−→ x3 + 2x2 − 3x + 1 est continue sur R. De plus f (−1) = 5 > 0 et f (−5) = −125 + 50 + 15 + 1 = −49 < 0. Comme f est continue sur [−5, −1] et comme 0 ∈ [−49, 5], d’apr´es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, il existe au moins un r´eel α ∈] − 5, −1[ tel que f (α) = 0, autrement dit l’´equation x3 + 2x2 − 3x + 1 = 0 admet au moins une racine strictement n´egative. Autre r´edaction possible : Comme lim = −∞, il existe un r´eel strictement negatif A tel que si x ≤ A alors x→−∞

f (x) ≤ −400 (on peut remplacer −400 par n’importe quelle valeur strictement n´egative). En particulier on a donc f (A) < 0 avec A < 0. De plus f (0) = 1 > 0. Comme f est continue sur [A, 0] et comme 0 ∈ [f (A), 1], d’apr´es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, il existe au moins un r´eel α ∈]A, 0[ tel que f (α) = 0, autrement dit l’´equation x3 + 2x2 − 3x + 1 = 0 admet au moins une racine strictement n´egative.

92

Correction du test de 45 mn sur les fonctions d´ erivables et leurs d´ eriv´ ees

Exercice 1 1. Le domaine de d´efinition de u est Du = [0, +∞[ et le domaine de d´erivabilit´e de u est Du0 =]0, +∞[. De plus, √ 1 √ (x + 1) − x 1−x 2 x √ . u0 (x) = = 2 (x + 1) 2(x + 1)2 x Tableau de variation de u : x

0

1

u0 (x)

+

u(x)

%

0

+∞ −

1/2 0

&

0

On remarque que √ √ 1 x x
= lim √
= 0. lim = lim 1 x→∞ x + 1 x→∞ x→∞ x 1 + x 1 + x1 x

Par cons´equent l’image de u est l’intervalle [0, 21 ].

2. La fonction x 7−→ arccos x est d´erivable sur ] − 1, 1[ et la fonction u est d´erivable sur ]0, +∞[ et a ` valeurs dans [0, 21 ] (avec u(x) = 0 ssi x = 0). Par cons´equent la fonction compos´ee x 7−→ arccos u(x) est d´erivable sur ]0, +∞[. (arccos u(x))0 = =

x−1 −u0 (x) p = √ q 2 2 1 − u(x) 2(x + 1) x 1 −

x (x+1)2

(x − 1)(x + 1) (x − 1) p p . = 2 2 2(x + 1) (x + x + 1)x 2(x + 1) (x2 + x + 1)x

Exercice 2 D’apr´es l’in´egalit´e des accroissements finis, si f est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ avec |f 0 (x)| ≤ C pour tout x ∈]a, b[, alors |f (b) − f (a)| ≤ C(b − a). Prenons f (x) = sin(x). Comme f est continue et d´erivable sur R, en particulier f v´erifie les hypoth`eses de l’in´egalit´e des accroissements finis. De plus f 0 (x) = cos(x) et donc |f 0 (x)| ≤ 1 pour tout x ∈]a, b[. On obtient alors | sin b − sin a| ≤ b − a. D’apr´es l’´egalit´e des accroissements finis, si f est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c). Prenons f (x) = sh(x). Comme

93 f est continue et d´erivable sur R, en particulier f v´erifie les hypoth`eses de l’´egalit´e des accroissements finis. De plus f 0 (x) = ch(x). D’apr´es l’´egalit´e des accroissements finis, il existe c ∈]a, b[ tel que sh(b) − sh(a) = (b − a) ch(c) ≥ (b − a) (en effet ch(x) ≥ 1 pour tout x ∈ R). Exercice 3 Soit g(x) = ln tion paire. En effet



g(−x) = ln

 1 − cos x . On remarque tout d’abord que g est une fonc1 + cos x



1 − cos(−x) 1 + cos(−x)



= ln



1 − cos x 1 + cos x



= g(x),

car x 7−→ cos x est paire. De plus la fonction g est 2π p´eriodique. En effet, g(x + 2π) = ln



1 − cos(x + 2π) 1 + cos(x + 2π)



= ln



1 − cos x 1 + cos x



,

car x 7−→ cos x est 2π p´eriodique. Nous pouvons donc restreindre l’intervalle d’´etude de la fonction g a ` l’intervalle [0, π] (le fait que g soit 2π p´eriodique nous dit qu’il suffit d’´etudier g sur un intervalle quelconque de longueur 2π ; on choisit alors [−π, π] et la parit´e de g nous dit que l’´etude sur un intervalle centr´e en 0 peut ˆetre diminu´e de moiti´e en d´eduisant le reste de la courbe par sym´etrie par rapport a ` l’axe vertical). Comme cos x ∈ [−1, 1] si x ∈ [0, π], on a 0 ≤ 1 − cos x ≤ 2 et 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2. De plus 1 − cos x = 0 avec x ∈ [0, π] si et seulement si x = 0 et 1 + cos x = 0 avec x ∈ [0, π] si et seulement si x = π. Par cons´equent on va ´etudier g sur l’intervalle ]0, π[, g ´etant bien d´efini et d´erivable sur cet intervalle. g 0 (x) = =

sin x(1 + cos x) + sin x(1 − cos x) 1 + cos x (1 cos x)2 1 − cos x 2 sin x 2 sin x 2 = . = 2 1 − cos2 x sin x sin x

Ainsi g 0 (x) > 0 pour tout x ∈]0, π[. De plus lim g(x) = lim ln



1 − cos x 1 + cos x



= −∞,

lim g(x) = lim ln



1 − cos x 1 + cos x



= +∞.

x→0+

x→0+

et x→π −

x→0+

La courbe repr´esentative de g a donc deux asymptotes verticales d’´equations x = 0 et x = π.

94 Tableau de variation de la fonction g : x g 0 (x)

0 +∞

+

π/2 2

π +∞

+

+∞ g(x)

0 −∞

%

%

Allure du graphe de la fonction g :

−2π

−π

−π/2

0

π/2

π

2π

95

Partiel (Automne 2000)

Exercice 1 R´esoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’´equation suivante d’inconnue z : z 2 − (3 − i) z + 4 − 3i = 0. Exercice 2 On pose g(x) = (x − 1) arctan(x) pour x ∈ R. 1. Calculer la d´eriv´ee premi`ere g 0 (x) et la d´eriv´ee seconde g 00 (x). 2. Etudier les variations de la fonction g 0 ; en d´eduire que l’´equation g 0 (x) = 0 poss`ede une solution unique c et que l’on a 0 < c < 1. Exercice 3 On consid`ere la fonction f d´efinie par : f (x) = (x + 1) e1/(x−1) pour x > 1. Montrer que le graphe de f poss`ede une asymptote quand x tend vers +∞. Ecrire l’´equation de cette asymptote et d´eterminer la position du graphe par rapport a ` l’asymptote. Exercice 4 √ √ 1. Pour − 2 ≤ x ≤ 2, calculer cos(arcsin(x2 − 1)). 2. R´esoudre l’´equation arcsin(x) = arcsin(x2 − 1) +

π . 2

96

Correction du partiel

Exercice 1 R´esolvons dans l’ensemble C des nombres complexes, l’´equation d’inconnue z : z 2 − (3 − i) z + 4 − 3i = 0. Le discriminant de l’´equation du second degr´e est ∆ = (−3+i) 2 −4(4−3i) = −8+6i. On cherche les racines carr´ees de ∆ sous la forme a + ib o` u a et b sont r´eels. On a −8 + 6i = (a + ib)2 = a2 − b2 + 2iab c’est-` a-dire



a2 − b2 = −8 ab = 3

3 de la deuxi`eme ´equation et, en reportant dans la premi`ere, on trouve a 2 que a est une racine (positive) de l’´equation du second degr´e On tire b =

X 2 + 8X − 9 = 0. Le discriminant de cette ´equation est 8 2 + 4 × 9 = 64 + 36 = 100 = 102 . On en d´eduit que les racines sont 1 et −9 ce qui entraˆıne que a 2 = 1. Pour a = 1, on a b = 3 et pour a = −1, on a b = −3. Les racines carr´ees de ∆ = −8 + 6i sont donc 1 + 3i et −1 − 3i. Par cons´equent, les solutions de l’´equation z 2 − (3 − i) z + 4 − 3i = 0 :  3 − i + 1 + 3i   z1 = =2+i 2   z2 = 3 − i − 1 − 3i = 1 − 2i. 2 On pose g(x) = (x − 1) arctan(x) pour x ∈ R. 1. Calculons la d´eriv´ee premi`ere g 0 (x) et la d´eriv´ee seconde g 00 (x).

g 0 (x) = arctan(x) +

x−1 x2 + 1

;

g 00 (x) =

2(x + 1) . (x2 + 1)2

2. Etudions les variations de la fonction g 0 ; en d´eduire que l’´equation g 0 (x) = 0 poss`ede une solution unique c et que l’on a 0 < c < 1.

97 On a g 00 (x) < 0 si x < −1 et g 00 (x) > 0 si x > −1. De plus, lim g 0 (x) = −

x→−∞

π et 2

lim g 0 (x) =

x→+∞

π . 2

π π Donc, g 0 (x) d´ecroit de − a ` g 0 (−1) = − − 1 sur l’intervalle ] − ∞ , −1] et croit 2 4 π π π −1 a ` sur l’intervalle [−1 , +∞[. En particulier, on a g 0 (x) < − < de − 4 2 2 0 pour tout x < −1. Puisque la fonction g 0 est continue et strictement croissante

sur l’intervalle [−1 , +∞[, elle d´efinit une bijection de cet intervalle sur l’intervalle π π [− − 1 , [ qui contient 0. D’o` u l’existence et l’unicit´e d’un r´eel c tel que g 0 (c) = 0. 4 2 Pour terminer cette question, il suffit de montrer que la fonction g 0 s’annule en au moins un point de l’intervalle ]0 , 1[. Indiquons deux m´ethodes : Premi` ere m´ ethode : on applique le th´eor`eme de Rolle a ` la fonction g qui est d´erivable sur l’intervalle [0 , 1] et v´erifie : g(0) = g(1) = 0. Deuxi` eme m´ ethode : on applique le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires a ` la fonction π > 0. continue g 0 sur l’intervalle [0 , 1] puisque g 0 (0) = −1 < 0 et g 0 (1) = 4 3. Faisons a ` pr´esent le tableau de variations pour la fonction g. D’apr`es la question 2., on a g 0 (x) < 0 si x < c et g 0 (x) > 0 si x > c. De plus, π lim (x − 1) = −∞ et lim arctan(x) = − d’o` u lim g(x) = +∞. De mˆeme, x→−∞ x→−∞ x→−∞ 2 lim g(x) = +∞.

x→+∞

On a donc le tableau de variations de la fonction g :

x −∞

g 0 (x)

c −

0

+∞ +

+∞ g(x)

+∞ &

g(c)

%

Exercice 2 Consid`erons la fonction f d´efinie par : f (x) = (x + 1) e1/(x−1) pour x > 1. Montrons que le graphe de f poss`ede une asymptote quand x tend vers +∞. Ecrivons l’´equation de cette asymptote et d´eterminons la position du graphe par rapport a ` l’asymptote.

98  1  f (x)  1  1 exp en fonction de la variable X = = 1+ (0 < X < 1). x x x−1 x On trouve :  X  f (x) . = (1 + X) exp x 1−X On ´ecrit

Cherchons le d´eveloppement limit´e a ` l’ordre 2 en 0 de cette fonction de la variable X : on a X = X + X 2 + X 2 ε1 (X) avec lim ε1 (X) = 0 1−X X→0 d’o` u on d´eduit exp et

 X  3 2 =1+X + X + X 2 ε2 (X) avec 1−X 2

(1 + X) exp

lim ε2 (X) = 0

X→0

 X  5 2 = 1 + 2X + X + X 2 ε3 (X) avec 1−X 2

lim ε3 (X) = 0.

X→0

1 f (x) 2 5 1 , ce d´eveloppement s’´ecrit : = 1+ + + 2 ε4 (x) avec Pour X = 2 x x x 2x x 1 et donc lim ε4 (x) = 0. En multipliant par x, on obtient : ε4 (x) = ε3 x→+∞ x f (x) = x + 2 +

1 5 + ε4 (x) 2x x

5 d’o` u l’asymptote d’´equation y = x + 2. De plus, puisque > 0, le graphe de f reste 2 au-dessus de l’asymptote quand x tend vers +∞. Exercice 3 √ √ 1. Pour − 2 ≤ x ≤ 2, calculons cos(arcsin(x2 − 1)). √ √ Si − 2 ≤ x ≤ 2, on a 0 ≤ x2 ≤ 2 d’o` u −1 ≤ x2 − 1 ≤ 1 et arcsin(x2 − 1) est donc bien d´efini. h π πi . On a sin(t) = x2 − 1 d’o` u Posons t = arcsin(x2 − 1) ∈ − , 2 2 cos2 (t) = 1 − sin2 (t) = 1 − (x2 − 1)2 = x2 (2 − x2 ). h π πi Puisque t ∈ − , , on a cos(t) ≥ 0 et donc 2 2 p cos(arcsin(x2 − 1)) = cos(t) = |x| 2 − x2

99 2. R´esolvons l’´equation arcsin(x) = arcsin(x2 − 1) +

π . 2

Si x ∈ [−1 , 1] est solution de l’´equation, on a  π = cos(arcsin(x2 − 1)). x = sin(arcsin(x)) = sin arcsin(x2 − 1) + 2 √ D’apr`es le r´esultat de la question 1. on a donc x = |x| 2 − x2 . Par cons´equent, x est positif ou nul et v´erifie (en ´elevant au carr´e) x 2 = x2 (2 − x2 ) ce qui s’´ecrit aussi x2 (1 − x2 ) = 0. Donc x est ´egal a` 0 ou 1. On v´erifie facilement que l’´equation est satisfaite si on prend x = 0 ou x = 1. Les solutions de l’´equation sont x 1 = 0 et x2 = 1.

Universit´e Claude Bernard (Lyon 1) Campus de la Doua Correspondance entre les noms de bˆ atiments et les anciens num´eros (affich´es sur le plan) : 001 003 008 102 203 206 210 212 214 216 301 303 308 406 702 720 731 761 906

Conciergerie du 43, Bd du 11 Novembre 1918 D.M.L.I. Maison des Personnels Amphith´ea ˆtre JORDAN Bˆ atiment L´eon BRILLOUIN Bˆ atiment CRYO Bˆ atiment Paul DIRAC Bˆ atiment HAEFELY Bˆ atiment VAN DE GRAAF La Pagode Bˆ atiment Victor GRIGNARD Bˆ atiment Eug`ene CHEVREUL Bˆ atiment CPE L’herbier Amphith´ea ˆtre 1er cycle UFR STAPS Bˆ atiment Claude BERTHOLLET Le Quai 43 Bˆ atiment THEMIS

002 007 101 201 205 207 211 213 215 217 302 305 402 407 710 721 741 901 907

Pr´esidence Conciergerie du 43, Bd du 11 Novembre 1918 Bˆ atiment Doyen Jean BRACONNIER Bˆ atiment Gabriel LIPPMAN Bˆ atiment Alfred KASTLER Bˆ atiment ORION Bˆ atiment Paul DIRAC Bˆ atiment VIRGO Maison d’Hˆ otes Bˆ atiment Carbone 14 Amphith´ea ˆtre GRIGNARD Bˆ atiment Jules RAULIN GEODE La Serre Bˆ atiment NAUTIBUS Bˆ atiment OMEGA Bˆ atiment Gr´egoire MENDEL Biblioth`eque Universitaire Sciences Bˆ atiment ASTREE