Trigonometri[1].docx

TRIGONOMETRI A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut 1. Perbandingan Trigonometri Perhatikan gambar di bawah ini untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut :

Terkadang kita susah untuk mengingat perbandingan sigitiga pada trigonometri tersebut dan terkadang bentuk segitiga pun berbeda-beda serta posisi sudut pun berubahubah yang mengakibatkan kita salah dalam mengerjakan soal. Berikut cara mengatasi hal-hal tersebut.

Modul Trigonometri

|1

Contoh Soal 1. Tentukan perbandingan trigonometri pada segitiga berikut ini. a.)

b.)

Jawab : a.

b. Sin α = Cos α = Tan α =

𝑦 𝑟 𝑥 𝑟 𝑦 𝑥

cotan α = sec α =

x y

𝑟 𝑥

coses α =

𝑟 𝑦

2. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk setiap

Modul Trigonometri

|2

3. Segitiga siku-siku berikut ini. Dengan nilai a = 4 dan c = 3 tentukan nilai sin, cos, dan tan? Jawab : Nilai b =√32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 Jadi : Sin =

𝑑𝑒 𝑚𝑖

4

=

Cos =

5

𝑠𝑎 𝑚𝑖

=

3 5

Tan =

𝑑𝑒 𝑠𝑎

=

4 3

4. Diketahui sin A=0,6 dan A sudut lancip. Tenrukan a. Cos A

b. Tan A

Jawab : San A = 0.6 =

6 10

 x = √102 − 62 = √100 − 36 =

√64 = 8 a. Cos A = b. Tan A =

𝑠𝑎 𝑚𝑖 𝑑𝑒 𝑠𝑎

= =

8 10 6 8

2. Sudut-Sudut Istimewa Perhatikan gambar segitiga dibawah ini adalah memuat sudut-sudut istimewa, yaitu sudut 30o, 45o, 60o, dan 90 o. Selain sudut-sudut tersebut, sudut istimewa yang lain adalah 0o, 180o, 270o,dan 360o.

Modul Trigonometri

|3

Untuk gambar di atas berlaku perbandingan trigonometri sebagai berikut: Sin 45o = Cos 45o =

1

1 √2 1

Tan 45o = Sin 60o =

1

√2

1

√3 2

= 2 √2 1

=

2

√2

=1 =

1 2

Sin 30o Cos 30o

1

=2 =

Tan 30o =

√3 2 1

√3

1

= 2 √3 1

= 3 √3

√3

1

Cos 60o = 2 Tab 60o =

√3 1

= √3

Nilai-nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut istimewa

Modul Trigonometri

|4

Contoh Soal Tentukan nilai dari sin 30o + Cos 45o = ...... Jawab Sin 30o + Cos 45o =

1

+ 2

1 2

√2

1

= 2 (1 + √2) 3. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Dalam berbagai kuadran berlaku nilai perbandingan trigonometri tertentu. Untuk lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini.

a. Sudut dalam kuadran I terletak antara 0o dan 90o, semuanya bernilai positif. b. Sudut dalam kuadran II terletak antara 90o dan 180o, hanya nilai sinus yang bernilai positif. c. Sudut dalm kuadran III terletak antara 180o dan 270o, hanya nilai tangent yang positif. d. Sudut dalam kuadran IV terletak antara 270o dan 360o, hanya nilai cosines yang bernilai positif. Modul Trigonometri

|5

Untuk

memudahkan

mengingat

kita

dapat

munggunakan kalimat sindikat tangannya kosong, maksudnya semua, sinus, tangent, dan cosines.

4. Rumus-rumus trigonometri untuk sudut-sudut yang berelasi. Kuadran I

Kuadran IV

Sin (90 - A)o = Cos Ao

Sin (360 – A)o = - Sin Ao

Cos (90 - A)o = Sin Ao

Cos (360 – A)o = Cos Ao

Tan (90 - A)o = Cot Ao

Tan (360 – A)o = - Tan Ao

Kudran II

Sudut Negatif

Sin (180 – A)o = Sin Ao

Sin (-A)o = -Sin Ao

Cos (180 – A)o = - Cos Ao

Cos (-A)o = Cos Ao

Tan (180 – A)o = - Tan Ao

Tan (-A)o = -Tan Ao

Kuadran III

Periode Trigonometri

Sin (180 + A)o = - Sin Ao

Sin (n.360 + A)o = Sin Ao

Cos (180 + A)o = -Cos Ao

Cos (n.360 + A)o = Cos Ao

Tan (180 + A)o = tan Ao

Tan (n.360 + A)o = Tan Ao n bilangan asli

Contoh Soal 1. Tentukan nilai dari: a. Sin 150o Modul Trigonometri

b. Cos 225o

tan 300o |6

2. Tentukan Nilai dari a. Sin 765o

b cos 1.950o

tan 660o

Jawab : 1. a. Sin 150o = sin (180 - 30)o = sin 30o =

1 2 1

b. cos 225o = cos (180 + 45)o = -cos 45o = − √2 2

c. tan 300o = tan (360 – 60)o = -tan 60o = −√3 1

2. a. Sin 765o = sin ( 2 x 360 + 45 )o = sin 45o = √2 2

b. cos 1.950o = cos ( 2 x 360 + 150 )o = cos (180 – 30)o 1

= -cos 30o = − √2 2

c. tan 660o = tan ( 3 x 180 + 120 )o =tan 120o = tan (180 – 60)o = -tan 60o = −√3 Latihan Soal 1. Tentukan perbandingan trigonometri dibawah ini: 𝑦

a. Diketahui segitiga XYZ dengan sin A = , tentukan nila 𝑧

cos A dan tan A 𝑏

2. Diketahui segitiga ABC dangan Tan α = , 𝑎

3. Diketahu nilai segitiga ABC dengan nilai Tan A =

10 36

dan A

sudut lancip. Tentukan nilai Sin A dan Cos A Modul Trigonometri

|7

4. Dijetahui Cos A = 0.28 dan A sudut lancip tentukan nilai dari Sin A dan Tan A 5. Dengan menggunakan nilai-nilai dari sudut tentukan nilai berikut a. sin 120o,750o,225odan 1500o b. cos 135o, 315o, 240o, dan 1500o c. tan 150o, 240o, 3015o dan 960o

B. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub 1. Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub Koordinat kartesius adalah suatu titik yang di gambar pada sumbu x dan sumbu y, terdiri dari absis (nilai x) dan ordinat (nilai y)dan di tulis (x,y). Koordinat kutub adalah koordinat yang digambar pada sumbu x dan sumbu y, terdiri atas nilai r (r = √𝑎2 + 𝑏 2 ) dan sudut θ, yaitu sudut yang di bentuk oleh garis OP dan OX, di tulis P (r, θ). Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini

Modul Trigonometri

|8

2. Konversi Koordinat Kutub dan Koordinat Kartesius Sebelum melakukan konversi dari koordinat kartesius ke koordinat kutub atau sebaliknya, kita harus mengetahui terlebih dahulu hubungan keduanya. Untuk itu perhatikan gambar berikut.

Dari gambar tersebut diperoleh persamaan sebagi berikut : a. r2 = x2 + y2 r = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥

b. sin θ = 𝑦 , maka y = r. sin θ 𝑥

c. cos θ = 𝑦 maka x = r. cos θ 𝑥

r sin θ

sin θ

d. tan θ = 𝑦 = 𝑟 cos θ , mala tan θ = cos θ e. r2 = x2 + y2

(r.cos θ)2 + (r.sin θ)2 = r2, maka r2.cos2 θ + r2.sin2 θ = r2 𝑟2

r2.( cos2 θ + .sin2 θ) = r2, maka cos2 θ + .sin2 θ = 𝑟 2 cos2 θ + sin2 θ = 1, maka cos2 θ + .sin2 θ= 1 Modul Trigonometri

|9

Setelah hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub, kita baru dapat melakukan konvensi diantara keduanya. Jika sudut θ = sudut A, diperoleh identitas trigonometri : sin 𝐴

Tan A = cos 𝐴 cos2 A + sin2 A = 1 cos2 A = 1- sin2 A cos2 A = 1 - sin2 A

Contoh Soal 1. tentukan koordinat kartesius berikut ini a. P (4,4) b. P (−2√3,-2) 2. Tentukan koordinat kartesius jika diketahui korrdinatnya P (6,120o) adalah 3. Buktikan sebagai berikut a. Sin2 A + 2.Sin A.Cos A + Cos2 A + (Sin A – Cos A)2 =2 b.

tan 𝐴 1+tan2 A

= sin A. cos A

Jawab 1. a. P(4,4) Modul Trigonometri

| 10

r = √42 + 42 = 4√2 4

tan θ = 4 = 1 θ = 45o Jadi koordinat kutubnya adalah P(4√2 , 45o) b. P(−2√3,-2) 2

r = √(−2√3) + (−2)2 = √12 + 4 = √16 = 4 −2

tan θ = 2√3 = θ = 45

1 √3

o

Karena P berada dikuadran III maka θ = 180o + 30o = 210o Jadi koordinat kutubnya adalah P (4, 210o) 2. P(6,120o) x = r.cos θ

y = r.sin θ

x = 6 x cos 120o

y = 6 x cos 120o

x = 6 x (-cos 120o)

y = 6 x (cos 120o)

1

1

x=6x2

y = 6 x 2 √3

x = -3

y = 3√3

3. a. Sin2 A + 2.Sin A.Cos A + Cos2 A + (Sin A – Cos A)2 = 2 Sin2 A + 2.Sin A.Cos A + Cos2 A + Sin2 A – 2 Sin A.Cos A + Cos2 A = 2 Modul Trigonometri

| 11

2 Sin2 A + 2 Cos2 A = 2 2 (Sin2 A + Cos2 A) = 2 2 (1) = 2 2 = 2 (terbukti) b.

tan 𝐴 1+tan2 A

= sin A. cos A

sin 𝐴 cos 𝐴 𝑐𝑜𝑠2 𝐴 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2 𝐴 𝑠𝑖𝑛2 𝐴

= sin A. cos A

sin 𝐴 cos 𝐴 𝑐𝑜𝑠2 𝐴 + 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 𝑐𝑜𝑠2 𝐴

= sin A. cos A

sin 𝐴 cos 𝐴 1 𝑐𝑜𝑠2 𝐴

sin 𝐴 cos 𝐴

= sin A. cos A x

𝑐𝑜𝑠2 𝐴 1

= sin A. cos A

sin A. cos A = sin A. cos A (terbukti)

Latihan Soal 1. Tentukan

Koordinat

kutub,

jika

diketahui

koordinat

kartesiusnya sebagai berikut : a. P(6,6)

c. P(8,−8√8)

b. P(-2√2, 2√2 )

d. -5√3 , −√3)

2. Tentukan koordinat kartesius jika diketahui koordinat kutubnya sebagai berikut : Modul Trigonometri

| 12

a. P(2,30o)

c. P(6,225o)

b. P(4,135o)

d. P(10,315o)

3. Buktikan bahwa : a. 3 sin2 A + 3 cos2 A = 3 b. Tan A.cos A = sin A c. (Sin A + Cos A)2 – 2.sin A.cos A = 1 d. 4.cos2 + 2 = 6 – 4.sin2 A

C. Aturan Sinus dan Cosinus serta Luas Daerah Segitiga 1. Aturan Sinus Pada setiap segitiga sembarang berlaku aturan sinus. Untuk segitiga seperti gambar dibawah ini berlaku aturan sinus sebagai berikut :

Modul Trigonometri

| 13

Contoh Soal 1.

Diketahui egitiga ABC dengan sudut A = 30o, sudut B = 45o, dan sisi b = 10. Tentukan a. Sudut C b. Panjang a c. Panjang b

2.

Diketahui segitiga ABC dengan sis a = 10cm, sisi c = 12 dan sudut C = 60o. tentukan a. Sudut A b. Sudut B c. Panjang b

Jawab : 1.

a.
a

a= a= c.

c Sin C

c= 2.

a.

b

= Sin A

a

= Sin 30 =

Sin B

10 Sin 45

10 x sin 30 sin 45 10 x

1 2

1 √2 2

=

= b

10 √2

a

sin A = Modul Trigonometri

2

√2 = 5√2 𝑐𝑚

= Sin 105 =

sin 45

=

10

c

Sin B

10 x sin 105

Sin A

=

c Sin C

= =

10 x 0,866 12

10 x 0.966 0.707

10 Sin 45

= 13.66 𝑐𝑚

10 x sin 60 12

= 0,722 𝑐𝑚 | 14

b. c.


b=

=

c Sin C

b

=

12 x sin 73,78 sin 60

sin 73,78

=

=

12 x 0.960 0.866

12 sin 60

= 13,30 𝑐𝑚

2. Aturan Cosinus Pada setiap segitiga sembarang berlaku aturan cosines. Untuk segitiga ABC (pada gambar aturan sinus diatas) aturan cosines sebagai berikut : a. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A b. b2 = 2 + c2 – 2.a.c.cos B c. c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C d. Cos A =

𝑏2 + 𝑐 2 −𝑎2

e. Cos B = f. Cos C =

2𝑏𝑐 𝑎2 + 𝑐 2 −𝑏2 2𝑎𝑐 𝑎 + 𝑏2 −𝑐 2 2𝑎𝑏

Contoh Soal 1. Tentukan panjang sis ketiga suatu segitiga jika diketahui a= 10 cm, b = 12 cm dan sudut C = 60o 2. Tentukan besar sudut pada segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya a = 2 cm, b = 2√3 dan c = 4cm

Modul Trigonometri

| 15

Jawab : 1. c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C c2 = 102 + 122 – 2 x 10 x 12 cos 60o c2 = 100 + 144 – 240 x 10.5 c2 = 244 – 120 = 124 c = √124 = 11.14 cm 2. Cos A =

𝑏2 + 𝑐 2 −𝑎2 2𝑏𝑐

(2√3)2 + 42 − 22 (2)(2√3)(4)

=

12 + 16 − 4 16√3

=

3 2√3

=

1 √3 2

Jadi, besa
𝑎2 + 𝑐 2 −𝑏2 2𝑎𝑐

=

22 + 4−(2√3)2 2(2√3)(2)

=

4+16−12 16

=

1 2

Jadi, besar
| 16

c. a = 10 cm, b =10√3, dan c = 20 cm 3. Tiga buah esin produksi A, B dan C ditempatkan pada suatu pabrik dengan ketentuan sebagi berikut jarak esin B dan C adalah 5m, sudut yang dibentuk oleh mesin ABC = 40o dan sudut BCA = 60o. tentukan jarak mesin A ke mesin B dan Jarak mesin A ke mesi C? 3. Luas Daerah Segitiga Untuk segitiga ABC seperti gambar dibawah ini berlaku rumus segitiga ABC sebagai berikut : 1

Luas = 2. a.b. sin C 1

Luas = 2. a.c. sin B 1

Luas = 2. b.c. sin A Contoh Soal Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 12 cm b = 10 cm dan
Luas = 2. a.b. sin C 1

= 2. 12 x 10 x sin 30o 1

1

= 2 120 x 2 = 30 cm2 Modul Trigonometri

| 17

Latihan Soal 1. Hitunglah luas daerah segitiga ABC jika di ketahui a. a = 6 cm, b= 8cm, dan Sudut C = 90o b. a = 30 cm, c = 30√2 cm, dan sudut B = 45o 2. Hitunglah luas daerah segitiga ABC siku-siku sam kaki dengan panjang sisi siku-sikunya 12 cm 3. Hitunglah luas daerah segita enam beraturan dengan panjang sisinya 5 cm

D. Rumus dan Persamaan Trigonometri 1. Rumus trigonometri Untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, yaitu sebagai berikut : a. Sin (A+B) = Sin A.Cos B + Cos A. Sin B b. Sin (A-B) = Sin A.Cos B - Cos A. Sin B c. Cos (A+B) = Cos A.Cos B - Sin A. Sin B d. Cos (A-B) = Cos A.Cos B + Sin A. Sin B e. Tan (A+B) = f. Tan (A-B) =

Modul Trigonometri

𝑇𝑎𝑛 𝐴+𝑇𝑎𝑛 𝐵 1−tan 𝐴 x 𝑇𝑎𝑛 𝐵 𝑇𝑎𝑛 𝐴−𝑇𝑎𝑛 𝐵 1+tan 𝐴 x 𝑇𝑎𝑛 𝐵

| 18

2. Penggunaan Rumus Jumlah dan selisish Dua Sudut Dalam penggunaan rumus diatas perhatikan contoh dibawah ini Contoh Soal Dengan menggunakan sudut-sudut istimewa, tentukan nilai dari a. Sin 15o

b. cos 75o

c. tan 105o

Jawab : a. Sin 15o = sin (45 – 30)o `

= sin 45o. cos 30o - cos 45o. sin 30o 1

1

= 2 √2 x 2 √3 − 1

= 4 √6 −

1 4

1 2

√2 =

1

√2 x 1 4

2

(√6 − √2)

b. Cos 75o = cos (45 + 30)o = cos 45o. cos 30o – sin 45o. sin 30o 1

1

= 2 √2 x 2 √3 − 1

= 4 √6 −

1 4

1 2

√2 𝑥 1

√2 =

4

1 2

(√6 − √2)

c. Tan 105o = tan (60 + 45)o 𝑇𝑎𝑛 60+𝑇𝑎𝑛 45

= 1−tan 60 x 𝑇𝑎𝑛 45 =

𝑇𝑎𝑛 𝐴+𝑇𝑎𝑛 𝐵 1−tan 𝐴 x 𝑇𝑎𝑛 𝐵 √3+ 1

= 1−√3 x 1 = = Modul Trigonometri

4+2√3 −2

√3+ 1 1−√3

x

1+ √3 1+√3

= −2 − √3 | 19

3. Persamaan sinus dan Cosinus a. Sin x = a Sin x = sin A X1 = A + n.360o X2 = (180-A) + n 360o b. Cos x = a Cos x = Cos A X1 = A + n.360o X2 = -A + n 360o

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian sin x =2 , untu 0o≤ x ≥ 360o Jawab 1

Sin x = 2 Sin x = 30o X1 = 30o + n.360o

X2 = (180-30)o + n.360o

X1 = 30 + 0. 360o

X2 = 150o + 0 x 360o

= 30o

= 150o

Jadi, himpunan penyelesaiannya = (130o , 150o)

Modul Trigonometri

| 20

Latihan Soal 1. Tentukan rumus Trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut berikut a. Sin (P+Q)o b. Cos (A+A)o c. Tan (2A+A)o 2. Dengan menggunakan sudut istimewa tentukan nilai dari a. Sin 15o b. Cos 45o c. Tan 75o 3. Jika tan 3o = p nyatakan soal berikut dalam bentuk q a. Tan 27o b. Tan 63o 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut untuk 0o≤ x ≥ 360o a.

1

sin x = 2 √3 1

b. Cos x = 2 c. 2.sin 2x – 1 = 0 d. 2.cos 2x – 1 = 0

Modul Trigonometri

| 21

Rumus untuk cos a ± cos b , sin a ± sin b Perhatikan rumus berikut. 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos ( a – b)\

iv

-2 sin a sin b = cos (a + b) – cos (a – b) 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin ( a – b) 2 cos a sin b = sin ( a + b) – sin ( a- b) Misalnya a + b= P dan a – b= Q maka dapat ditentukan hubungan a,b,P,dan Q sebagai berikut. 1

P + Q = 2a ↔ a = 2 ( P + Q) P - Q = 2b ↔ b =

v

Modul Trigonometri

| 22