Trigonometri Sudut Rangkap

Trigonometri

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

1

Trigonometri

TRIGONOMETRI A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Dua Sudut. Untuk mempelajari rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut, kita ulang kembali tentang hubungan antara koordinat cartesius titik P(x, y) dengan koordinat kutub titik P(r.cos, r.sin) sebagai berikut : Y P(x , y) = P(r.cos, r.sin) r

y

 O

X x

Gambar 1 1. Rumus-rumus untuk cos (a + b) dan cos (a – b) cos (a + b) = cos a. cos b – sin a. sin b cos (a - b) = cos a. cos b + sin a. sin b

------- (1) ------- (2)

Bukti : Perhatikan gambar 2 di bawah ini : Y C(cos (a+b), sin(a+b)) B(cos a, sin a) O

b a -b

A(1, 0)

X

D(cos b, -sin b)

Gambar 2 Pada gambar 2 di atas jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehingga koordinat titik A adalah (1,0). Apabila AOB = a, BOC = b, AOD = -b, maka AOC = (a + b)

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

2

Trigonometri

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik P(x1, y1) dan titik Q(x2, y2) adalah PQ2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 dan rumus cos2 + sin2 = 1, maka AC 2  BD2

cos(a  b)  12  sin(a  b)  02  cos a  cosb2  sin a  sin b2 cos2 (a  b)  2. cos(a  b)  1  sin 2 (a  b)  cos2 a  2.cos a.cos b  cos2 b  sin 2 a  2.sin a.sin b  sin 2 b

cos (a  b)  sin (a  b)  2.cos(a  b)  1  cos a  sin b) cos b  sin b  2.cos a.cosb  2.sin a.sin b 2

2

2

2

2

2

1  2. cos(a  b)  1  1  1  2.cos a.cos b  2.sin a.sin b 2  2 cos(a  b)  2  2(cos a.cos sin a.sin b) 2. cos(a  b)  2(cos a.cos b  sin a.sin b

cos(a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b

----- rumus (1) terbukti

Karena cos(a – b) = cos [a + (-b)], maka cos (a – b) = cos [a + (-b)] cos (a – b) = cos a.cos (-b) – sin a. sin (-b) cos (a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b

---- rumus (2) terbukti

Contoh 1: Tentukan nilai dari cos 75o ! Penyelesaian : cos 75o = cos (45o + 30o) = cos 45o.cos 30o – sin 45o.sin 30o 1 1 1 1  2. 3  2. 2 2 2 2 1 1  6 2 4 4 1  ( 6  2) 4 Contoh 2: Diketahui cos A = nilai dari : a. cos (A + B)

4 7 dan cos B = . Jika sudut A dan B sudut lancip, tentukanlah 5 25

b. cos (A – B)

Penyelesaian :

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

3

Trigonometri

cos 2 A  sin 2 A  1

cos 2 B  sin 2 B  1

sin 2 A  1  cos 2 A

sin 2 B  1  cos 2 B

4 sin A  1    5 16 sin 2 A  1  25 9 sin 2 A  25 3 sin 2 A   5

2

 7  sin B  1     25  49 sin 2 B  1  625 576 sin 2 B  625 24 sin B   25

2

Karena maka

A

sudut

sin A 

2

2

lancip,

3 5

Karena maka

B

sudut

sin B 

lancip

24 25

a. cos (A + B) = cos A.cos B – sin A.sin B 4 7 3 24     5 25 5 25 28 72   125 125 44  125 b. cos(A – B) = cos A.cos B + sin A.sin B 4 7 3 24     5 25 5 25 28 72   125 125 100  125 4  5 2. Rumus-rumus untuk sin (a + b) dan sin (a – b) sin (a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b

------- (3)

sin (a - b) = sin a. cos b - cos a. sin b

------- (4)

Bukti : Kita ingat bahwa : sin  = cos(

1 1  - ) dan cos  = sin(  - ), sehingga : 2 2 Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

4

Trigonometri

1 sin (a + b) = cos[  - (a+b)] 2 1 = cos (  - a – b) 2 1 = cos [(  - a) – b] 2 1 1 = cos (  - a).cos b + sin(  - a).sin b 2 2 = sin a.cos b + cos a.sin b

sin (a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b

----- rumus (3) terbukti

Karena sin (a – b) = sin [a + (-b)], maka sin (a – b) = sin [a + (-b)] = sin a.cos (-b) + cos a.sin(-b) = sin a.cos b – cos a.sin b sin (a - b) = sin a. cos b - cos a. sin b

------ rumus (4) terbukti

Contoh 3: Tentukanlah nilai dari sin 15o ! Penyelesaian : sin 15o = sin (45o – 30o) = sin 45o.cos 30o – cos 45o.sin 30o 1 1 1 1  2. 3  2. 2 2 2 2 1 1  6 2 4 4 1  6 2 4





Contoh 4: 3 12 dan sin B = . Jika sudut A di kuadran I dan sudut B di 5 13 kuadran II, tentukanlah nilai dari : a. sin (A + B) b. Sin (A – B)

Diketahui sin A =

Penyelesaian :

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

5

Trigonometri

cos 2 A  sin 2 A  1

cos2 B  sin2 B  1

cos 2 A  1  sin 2 A

cos2 B  1  sin2 B

 3 cos A  1    5 9 cos 2 A  1  25 16 cos 2 A  25 4 cos A   5

2

 12  cos2 B  1     13  144 cos2 B  1  169 25 cos2 B  169 5 cos B   13

2

Karena maka

A

sudut

cos A 

dikuadran I ,

4 5

Karena B

2

sudut

maka cos B  

dikuadran II

5 13

a. sin (A + B) = sin A.cos B + cos A.sin B 3  5  4 12      5  13  5 13 15 48   65 65 33  65 b. sin(A – B) = sin A.cos B - cos A.sin B 3  5  4 12      5  13  5 13 15 48   65 65 63  65 3. Rumus-rumus untuk tan (a + b) dan tan (a - b). tan(a  b) 

tan a  tan b --------- (5) 1  tan a. tan b

tan(a  b) 

tan a  tan b ---------- (6) 1  tan a. tan b

Bukti : Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

6

Trigonometri

sin( a  b) cos(a  b) sin a. cos b  cos a. sin b tan(a  b)  cos a. cos b  sin a. sin b sin a. cos b cos a. sin b  tan(a  b)  cos a. cos b cos a. cos b cos a. cos b sin a.sin b  cos a. cos b cos a. cos b sin a sin b  tan(a  b)  cos a cos b sin a sin b 1 . cos a cos b tan a  tan b tan(a  b)  1  tan a. tan b

tan(a  b) 

Jadi tan(a  b)  Karena

tan a  tan b ----- rumus (5) terbukti. 1  tan a. tan b

tan(a  b)  tan[a  (b)], maka :

tan a  tan(b) 1  tan a. tan(b) tan a  tan b tan(a  b)  1  tan a.( tan b) tan a  tan b tan(a  b)  1  tan a. tan b tan(a  b) 

Jadi tan(a  b) 

tan a  tan b ------ rumus(6) terbukti 1  tan a. tan b

Contoh 5: Buktikan bahwa tan 15o = 2 -

3 !

Bukti : tan 15o = tan(45o – 30o) tan 45o  tan 30o  1  tan 45o. tan 30o 1 1 3 3  1 1  1. 3 3

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

7

Trigonometri

1 1 3 1 3 3 3   1 1 1 3 1 3 3 3 2 1 1 3 3 3  1 1 3 4 2 3  3  3 3 2 2 3 3 2 2 3 (terbukti) 1

Contoh 6: Diketahui tan A = a. tan (A + B) Penyelesaian: a. tan (A + B) =

1 1 dan tan B = , tentukanlah nilai dari : 2 3 b. tan (A - B) tan A  tan B 1  tan A. tan B

tan A  tan B 1  tan A. tan B 1 1  2 3  1 1 1  2 3 1  6 1 1 6 1  6 7 6 1  7

b. tan (A – B) =

1 1  2 3  1 1 1  2 3 5  6 1 1 6 5 6 5 6 1

B. Rumus-rumus untuk Sudut Rangkap. 1. sin 2a = sin (a + a) = sin a.cos a + cos a. sin a = 2.sin a.cos a Jadi sin 2a = 2.sin a.cos a

--------- (7)

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

8

Trigonometri

2. cos 2a = cos (a + a) = cos a.cos a – sin a.sin a = cos2a – sin2a Jadi cos 2a = cos2 a – sin2 a

-------- (8)

Dengan memperhatikan cos2 a = 1 – sin2 a, maka rumus (8) menjadi : cos 2a = cos2 a – sin2 a = (1 – sin2 a) – sin2 a = 1 – 2.sin2 a Jadi cos 2a = 1 – 2.sin2 a

-------- (9)

Demikian juga memperhatikan sin2 a = 1 – cos2 a, maka rumus (8) menjadi : cos 2a = cos2 a – sin2 a = cos2 a – (1 – cos2 a) = cos2 a – 1 + cos2 a = 2.cos2 a - 1 Jadi cos 2a = 2.cos2 a – 1

3. tan 2a = tan (a + a) =

tan 2 a 

2 tan 1  tan 2 a

--------- (10)

tan a  tan a 2 tan a  1  tan a. tan a 1  tan 2 a

------------- (11)

Contoh 7: 3 dengan sudut A di kuadran II. 5 Tentukanlah nilai dari sin 2A, cos 2A dan tan 2A !

Diketahui sin A =

Penyelesaian :

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

9

Trigonometri

cos2 A  sin2 A  1

sin 2 A  2.sin A. cos A

cos2 A  1  sin2 A

3  4 24 sin 2 A  2        5  5 25

2

 3 cos A  1    5 9 16 cos2 A  1   25 25 4 cos A   5 2

Karena

A

sudut

cos 2 A  cos 2 A  sin 2 A 2

dikuadran II ,

4 5 3 3 sin A  5  tan A  4 4 cos A  5

maka

2

7  4   3  16 9   cos 2 A         25 25 25  5 5

cos A  

 3 3 2    2 tan A 4 2 tan 2 A     2 2 9 1  tan A  3 1     1  16  4 24 tan 2 A   7

Contoh 8: Buktikan bahwa sin 3A = 3.sin A – 4.sin3 A ! Bukti : sin 3A = sin ( 2A + A) = sin 2A.cos A + cos 2A.sin A = (2sin A.cos A)cos A + (1- 2.sin2 A).sin A = 2.sin A.cos2 A + sin A – 2.sin3 A = 2.sin A(1 – sin2 A) + sin A – 2.sin3 A = 2.sin A – 2.sin3 A + sin A – 2.sin3 A = 3.sin A – 4.sin3 A ----- (terbukti) C. Rumus-rumus Perkain Sinus dan Cosinus. 1. 2cosa.cosb  cos(a  b)  cos(a  b) atau cosa.cosb 

1 cos(a  b)  cos(a  b) --(12) 2

1 2. 2sina.sinb  [cos(a  b)  cos(a  b)] atau sina.sinb   cos(a  b)  cos(a  b) --(13) 2

3. 2sin a.cosb  sin(a  b)  sin(a  b)

atau sin a.cosb 

1 sin(a  b)  sin(a  b) --(14) 2

4. 2 cosa.sinb  sin(a  b)  sin(a  b)

atau cosa.sinb 

1 sin(a  b)  sin(a  b) --(15) 2

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

10

Trigonometri

Bukti 1. cos (a+b) = cos a.cos b – sin a.sin b cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b _____________________________ + cos (a+b) + cos (a–b) = 2.cos a.cos b 1  cos a.cos b = [cos (a+b) + cos (a-b)] -------- rumus (12) terbukti 2 2. cos (a+b) = cos a.cos b – sin a.sin b cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b _____________________________ cos (a+b) - cos (a–b) = -2.sin a.sin b 1  sin a.sin b = - [cos (a+b) - cos (a-b)] -------- rumus (13) terbukti 2 3. sin (a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b sin (a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b _____________________________ + sin (a+b) + sin (a–b) = 2.sin a.cos b 1  sin a.cos b = [sin (a+b) + sin (a-b)] -------- rumus (14) terbukti 2 4. sin (a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b sin (a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b _____________________________ sin (a+b) - sin (a–b) = 2.cos a.sin b 1  cos a.sin b = [sin (a+b) - sin (a-b)] -------- rumus (15) terbukti 2 Contoh 9 : Nyatakan bentuk berikut ini ke dalam jumlah atau selisih cosinus dan sederhanakan jika mungkin . a. 2.cos 55o.cos 5o b. 2.sin 40o.sin 10o Penyelesaian : a. Gunakan rumus (12) yaitu : 2.cos a.cos b = cos(a+b) + cos(a-b) 2.cos 55o.cos 5o = cos(55o+5o) + cos(55o-5o) = cos 60o + cos 50o 1 = + cos 50o 2 b. Gunakan rumus (13) yaitu : 2.sin a.sin b = -[cos (a+b) – cos(a-b)] 2.sin 40o.sin 10o = -[cos (40o+10o) - cos (40o-10o)] = -[cos 50o - cos 30o] 1 = -[cos 50o 3] 2 1 = -cos 50o + 3 2

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

11

Trigonometri

Contoh 10: Nyatakan bentuk berikut ini ke dalam jumlah atau selisih sinus dan sederhanakanlah jika mungkin : a. 2.sin 80o.cos 10o b. sin 15o.cos 35o Penyelesaian : a. Gunakan rumus (14) yaitu : 2.sin a.cos b = sin (a+b) + sin (a-b) 2.sin 80o.cos 10o = sin (80o+10o) + sin (80o-10o) = sin 90o + sin 70o = 1 + sin 70o 1 b. Gunakan rumus (14) yaitu : sin a .cos b = [sin (a+b) + sin (a-b)] 2 1 Sin 15o.cos 35o = [sin (15o+35o) + sin (15o-35o)] 2 1 = [sin 50o + sin -20] 2 1 = [sin 50o - sin 20o] 2 1 1 = sin 50o - sin 20o 2 2 Contoh 11 : Buktikanlah bahwa 2.sin (x+45o).cos(x-45o) = 1 + sin 2x ! Penyelesaian : 2.sin (x+45o).cos(x-45o) = sin[(x+45o)+(x-45o)] + sin[(x+45o)-(x-45o)] = sin 2x + sin 90o = sin 2x + 1 = 1 + sin 2 x (terbukti) Contoh 12 : Buktikanlah bahwa 2.cos 35o.cos 15o – 2.sin 55o.cos 15o = 0 ! Penyelesaian : 2.cos 35o.cos 15o – 2.sin 55o.cos 15o = [cos (35o+15o) + cos (35o-15o)] – [sin (55o+15o) + sin (55o-15o)] = [cos 50o + cos 20o] – [ sin 70o + sin 40o] = sin 400 + sin 70o – sin 70o – sin 40o = 0 (terbukti) D. Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus. Perhatikanlah rumus-rumus berikut ini : cos (a+b) + cos (a-b) = 2.cos a.cos b -[cos (a+b) – cos (a-b)] = 2.sin a.sin b sin (a+b) + sin (a-b) = 2.sin a.cos b sin (a+b) – sin (a-b) = 2.cos a.sin b Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

12

Trigonometri

Jika a+b = p dan a-b = q, maka : 1 (p+q) 2 1 p – q = (a+b) – (a-b) = 2b atau b = (p-q) 2 Sehingga rumus-rumus di atas menjadi : 1 1 cos p  cos q  2. cos ( p  q ). cos ( p  q ) -------- (16) 2 2

p + q = (a+b) + (a-b) = 2a

atau

a=

1 1 cos p  cos q  2.sin ( p  q ).sin ( p  q ) 2 2

-------- (17)

1 1 sin p  sin q  2. sin ( p  q ). cos ( p  q ) 2 2

------- (18)

1 1 sin p  sin q  2. cos ( p  q ).sin ( p  q ) 2 2

-------- (19)

Contoh 13 : Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam perkalian dan kemudian sederhanakan jika mungkin : a. cos 22o + cos 8o c. sin 64o + sin 26o b. cos 50o – cos 10o d. sin 3xo – sin xo Penyelesaian : 1 1 (22o+8o).cos (22o-8o) 2 2 = 2.cos 15o.cos 7o 1 1 b. cos 50o – cos 10o = - sin (50o+10o).sin (50o-10o) 2 2 o o = -2.sin 30 .sin 20 1 = -2. .sin 20o 2 = - sin 20o 1 1 c. sin 64o + sin 26o = 2.sin (64o+26o).cos (64o-26o) 2 2 o o = 2.sin 45 .cos 19 1 = 2. 2 .sin 19o 2 = 2 sin 19o 1 1 d. sin 3xo – sin xo = 2.cos (3xo+xo).sin (3xo-xo) 2 2 = 2.cos 2xo.sin xo

a. cos 22o + cos 80o = 2.cos

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

13

Trigonometri

E. Grafik Fungsi Trigonometri. 1. Grafik fungsi y = sin xo Untuk menggambar grafik fungsi y = sin xo dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini : x sin x

0 0,00

30 0,50

45 0,71

60 0,87

90 1,00

120 0,87

135 0,71

150 0,50

180 0,00

210 -0,50

225 -0,71

240 -0,87

270 -1,00

300 -0,86

315 -0,71

330 -0,50

360 0,00

Grafik fungsi y = sin x 1,50 1,00

y = sin x

0,50 0,00

sin x 0

50

100

150

200

250

300

350

400

-0,50 -1,00 -1,50 x

2. Grafik fungsi y = cos xo Untuk menggambar grafik fungsi y = cos xo dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini :

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

14

Trigonometri

x cos x

0 1,00

30 0,87

45 0,71

60 0,50

90 120 135 150 0,00 -0,50 -0,71 -0,87

180 -1,00

210 -0,87

225 -0,71

240 -0,50

270 0,00

300 0,50

315 0,71

330 0,87

360 1,00

Grafik fungsi y = cos x 1,50 1,00

y = cos x

0,50 0,00

cos x 0

50

100

150

200

250

300

350

400

-0,50 -1,00 -1,50 x

3. Grafik fungsi y = tan xo Untuk menggambar grafik fungsi y = tan xo dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini :

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

15

Trigonometri

x tan x

0 0,00

30 0,58

45 1,00

60 1,73

90

120 135 150 -1,73 -1,00 -0,58

180 0,00

210 0,58

225 1,00

240 1,74

270

300 -1,72

315 -1,00

330 -0,57

360 0,00

Grafik fungsi y = tanx 2,00 1,50 1,00 y = tan x

0,50 0,00

-0,50

tan x 0

50

100

150

200

250

300

350

400

-1,00 -1,50 -2,00 x

F. Persamaan Trigonometri Sederhana.  Persamaan sinus: *) Dalam derajat - sin  = sin (180o – ) - sin  = sin (k.360o + ) atau *) Dalam radian - sin A = sin ( - A) - sin A = sin (2k + A) dengan k bilangan bulat Penyelesaian Persamaan sinus *) Dalam derajat - sin x = sin  x =  + k.360o atau x = (180o – ) + k.360o atau

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

16

Trigonometri

*) Dalam radian - sin  = sin A x = A + 2k atau x = ( - A) + 2k dengan k bilangan bulat. Contoh 14 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin 2x = sin 50o untuk 0o  x  360o ! Penyelesaian : Sin 2x = sin 50o 2x = 50o + k.360o atau 2x = (180 – 50)o + k.360o x = 25o + k.180o x = 65o + k.180o o K = 0  x = 25 x = 65o K = 1  x = 205o x = 245o o K = 3  x = 385 (tm) x = 425o (tm) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 25o, 65o, 205o, 245o} Ket : tm = tidak memenuhi •

Persamaan kosinus: *) Dalam derajat - cos  = cos (– ) - cos  = cos (k.360o + ) atau *) Dalam radian - cos A = cos ( - A) - cos A = cos (2k + A)

dengan k bilangan bulat Penyelesaian Persamaan kosinus *) Dalam derajat - cos x = cos  x =  + k.360o atau x = –  + k.360o atau *) Dalam radian - cos x = cos A x = A + 2k atau x = - A + 2k dengan k bilangan bulat.

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

17

Trigonometri

Contoh 15: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x = cos 40o untuk 0o  x  360o ! Penyelesaian : cos 2x = cos 40o 2x = 40o + k.360o atau 2x = – 40o + k.360o x = 20o + k.180o x = -20o + k.180o K = 0  x = 20o x = -20o ( tm ) o K = 1  x = 200 x = 160o K = 2  x = 380o (tm) x = 340o Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 20o, 160o, 200o, 340o} Ket : tm = tidak memenuhi •

Persamaan tangen: *) Dalam derajat - tan  = tan (k.180o + ) atau *) Dalam radian - tan A = tan (k + A) dengan k bilangan bulat Penyelesaian Persamaan tangen *) Dalam derajat - tan x = tan  x =  + k.180o atau *) Dalam radian - tan x = tan A x = A + k dengan k bilangan bulat. Contoh 16 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Tan 3x = 1 untuk 0o  x  180o ! Penyeleaian : tan 3x = 1 Tan 3x = tan 45o 3x = 45o + k.180o x = 15o + k.60o k = 0  x = 15o k = 2  x = 135o o k = 1  x = 75 k = 3  x = 195o ( tm) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 15o, 75o, 135o} Ket : tm = tidak memenuhi

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

18

Trigonometri

DAFTAR PUSTAKA 1. Matematika SMA Jilid 7, Depdikbud 1981 2. Matematika SMA Jilid 9, Depdikbud 1980 3. Matematika SMA 1, Wilson Simangunsong, Sukino, Drs. I Nyoman Susila, MSc, Erlangga, 1991 4. Matematika SMA 1, Sartono Wirodikromo, Dedi D Windyagiri, Erlangga, 1993 5. Matematika SMA 1, Suah Sembiring, Ganeca Exact Bandung , 1988 6. Ilmu Konamatra, Dr. WK Baart, Prof. Dr. Meulenbeld, Buku Teknik, Jakarta, 1952 7. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri C, Fatah Ashari, dkk, Epsilon Group Bandung, 1991. 8. Trigonometri, CJ. Alders, 9. Ensiklopedi Matematika, ST Negoro, B. Harahap, Ghalia Indonesia, 1982

Oleh : Padiya,S.Pd. E-mail : [email protected]

19