Trigo

TRİGONOMETRİ Yönlü Açı : Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön denir.

(OYS SORULARI ALTTA) Açı Ölçü Birimleri : Derece : Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir. 1 derece 60 dakikadır. 1 dakika 60 saniyedir. 1o = 60′ , 1′= 60′′ Radyan : Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır. Grad : Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.

D R G = = 180 π 200

Esas Ölçü : Derece cinsinden bir açının 360o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan cinsinden bir açının 2π ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır. Trigonometrik Fonksiyonlar : Açının sinüsü ve kosinüsü: Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının sinüsü denir. x0 = cosα , y0 = sinα Sonuç : 1. P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için; -1 ≤ cosα ≤ 1 veya cos : R → [-1,1] dir. Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde; -1 ≤ sinα ≤ 1 veya sin : R → [-1,1] dir. Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. 2. x0 = cosα ve y0 = sinα olduğuna göre; cos2α + sin2α= 1 dir. Açının tanjantı ve kotanjantı : Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tanα dir. Sonuç : T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla; ∀α ∈ T={α α∈ IR ve α≠π/2 +kπ, k∈ Z } için tan : T → R dir. Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (π/2 +kπ) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir. ∀α ∈ K={α α∈ IR ve α≠kπ, k∈ Z } için cot : K → R dir. Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (kπ) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.

BİRİM ÇEMBER : Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.

-1

Cos

1

-1

Sin

1

OAP üçgeninde ;

Cos

= |OA| = Cos ( +k2 ) ve Sin

= |AP| =|OB|= Sin ( +k2 )

x ekseni, Cosinüs ekseni y ekseni , Sinüs eksenidir. Analitik düzlemde trigonometrik fonksiyonların işaretleri

Peiyodik Fonksiyonlar : ƒ:A→B bir fonksiyon olsun. ∀x ∈A için ƒ(x+T) =ƒ(x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, ƒ fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ƒ’ nin bir periyodu denir. T gerçek sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir. Buradan hareketle; k ∈ Z olmak üzere ∀α∈ IR için; cos(α + k.2π) = cosα ve sin(α + k.2π) = sinα olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu k.2π ve esas periyodu 2π dir. Aynı şekilde; k ∈ Z olmak üzere α≠π/2 +kπ ve α ∈ IR için tan(α + k.π) = tanα k ∈ Z olmak üzere α≠kπ ve α ∈ IR için cot(α + k.π) = cotα olduğundan tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu k.π ve esas periyodu π dir. ***

f (x) = sinm(ax+ b) m tek ise T =

***

ve

2π a

f (x) = tanm(ax+ b)

f (x) = cosm(ax+ b) m çift ise T =

ve

π a

f (x) = cotm(ax+ b) , T =

π a

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar: ABC dik üçgeninde trigonometrik oranlar C

os =

= Sin

Tan =

Sin =

= Cos

= Cot

Cot =

= Tan

Sec = = Csc

Csc =

= Sec

30o , 45o , 60o nin trigonometrik oranları ABC eşkenar üçgeninde; IABI=2br. , [AH] yükseklik olmak üzere ; AHC üçgeninde; Cos60o =

= Sin30o

Sin60o =

= Cos30o

Tan60o =

= Cot30o

Cot60o =

=

=Tan30o

ABC ikizkenar dik üçgeninde ; Sin45o =Cos45o =

= Tan45o = Cot45o = 1

açı sin cos tan cot

0 0 1 0 tanımsız

30 1/2 √3 /2 1/√3 √3

45 √2 /2 √2 /2 1 1

60 √3 /2 1/2 √3 1/√3

90 1 0 tanımsız 0

180 0 -1 0 tanımsız

270 -1 0 tanımsız 0

360 0 1 0 tanımsız

TRİGONOMETRİK FORMÜLLER Trigonometrik bağıntılar 1) Cos2 +Sin2 = 1 2) Tan

=

3) Cot

=

4) Sec

=

5) Csc

=

6) Tan Cot

=1

7) 1 + Tan2 = Sec2 8) 1 + Cot2 = Csc2 Trigonometrik özdeşlikler Sin(

- ) = Cos

Sin(

+

) = Cos

Cos(

- ) = Sin

Cos(

+

) = -Sin

Tan(

- ) = Cot

Tan(

+

) = -Cot

Cot(

- ) = Tan

Cot(

+

) = -Tan

Sin(

- ) = -Cos

Sin(

+

) = -Cos

Cos(

- ) = -Sin

Cos(

+

) = Sin

Tan(

- ) = Cot

Tan(

+

) = -Cot

Cot(

- ) = Tan

Cot(

+

) = -Tan

Sin( -

) = Sin

Sin( +

Cos( -

) = -Cos

Tan( -

) = -Tan

Tan( +

) = Tan

Cot( -

) = -Cot

Cot( +

) = Cot

Cos( +

Sin( 2 -

) = Sin(- ) = -Sin

Cos( 2 -

) = Cos(- ) =Cos

Tan( 2 -

) = Tan(- ) = -Tan

Cot( 2 -

) = Cot(- ) = -Cot

) = -Sin ) = -Cos

Cos, Sinüs ve Tanjant teoremleri de : Cosinüs teoremi : a2 = b2 + c2 -2bcCosA Sinüs teoremi :

=

=

B+C b+c 2 = Tanjant teoremi : B−C b−c tan 2 tan

A(

)=

A(

) = u.r

A(

)=

dir.

.a.b.SinC (a+b+c=2u olmak üzere)

Trigonometrik fonksiyonlarin birbiri cinsinden ifadesi : Cos x, Tan x ve Cot x in, Sin x cinsinden ifadesi :

cosx = 1− sin2x

tanx =

sinx 1− sin2x

cotx =

Sin x, Tan x ve Cot x in, Cos x cinsinden ifadesi :

sinx = 1− cos2x

tanx =

1− cos2x cosx

cotx =

1− sin2x sinx cosx 1− cos2x

Sin x, Cos x ve Cot x in, Tan x cinsinden ifadesi :

sinx =

tanx 1+ tan2x

cosx =

1 1+ tan2x

cotx =

1 tanx

tanx =

1 cotx

Sin x, Cos x ve Tan x in, Cot x cinsinden ifadesi :

sinx =

1 1+ cot2x

cosx =

cotx 1+ cot2x

Toplam fark formülleri 1) Sin( + ) = Sin Cos 2) Cos( + ) = Cos Cos

± Sin Cos ± Sin Sin

3) Tan( + ) = Yarım açı formülleri 1) Sin2

= 2Sin Cos

2) Cos2

= Cos2

3) Tan2

=

Not :

- Sin2

= 2Cos2

- 1 = 1 - 2Sin2

Sin3 x = 3Sinx − 4 Sin 3 x Cos3 x = 4Cos 3 x − 3Cosx Dönüşüm formülleri 1) Sin

+ Sin

= 2Sin

.Cos

2) Sin

- Sin

= 2Sin

.Cos

3) Cos

+ Cos

= 2Cos

4) Cos

- Cos

= 2Sin

.Cos .Sin

Bir üçgenin açılarının, sinüslerinin toplamının dönüşüm formülü :

A B C SinA+ SinB+ SinC= 4Cos .Cos .Cos 2 2 2

Bir üçgenin açılarının, cosinüslerinin toplamının dönüşüm formülü :

A B C CosA+ CosB+ CosC= 4Sin .Sin .Sin + 1 2 2 2

Ters trigonometrik fonksiyonlar : Arcsin Fonksiyonu : Sin : R → [ −1,1] Arc sin = sin −1  π π Arc sin = [ −1,1] →  − ,  → ( 1.ve  2 2

4.

bö lg eler )

Arccos Fonksiyonu : Cos : R → [ −1,1]

y = cos x x = arccos y

Arc cos = cos −1

Arc cos = [ −1,1] → [ 0, π ] → ( 1.ve

2.

bö lg eler )

Arctan Fonksiyonu : Tan : R → R

y = tan x x = arctan y

Arctg = tg −1  π π Arctg = R →  − ,  → ( 1.ve  2 2

4.

bö lg eler )

Arccot Fonksiyonu : Cot : R → R

y = cot x x = arc cot y

Arc cot = cot −1

Arc cot = R → [ 0, π ] → ( 1.ve

2.

bö lg eler )

Trigonometrik denklemler: a ∈ [ −1,1] için Cosx = a denkleminin çözümü • Ç = { x x = α + k .2π ∨ x = −α + k .2π , k ∈ Z }

•

a ∈ [ −1,1]

için

Sinx = a

Ç = { x x = α + k .2π

∨

denkleminin

y = sin x x = arcsin y

çözümü

x = ( π − α ) + k .2π , k ∈ Z }

•

•

•

•

•

•

•

•

a∈R

için

a∈R

için

Tanx = a

denkleminin

çözümü

Cotx = a

denkleminin

çözümü

Ç = { x x = α + kπ , k ∈ Z }

Ç = { x x = α + kπ , k ∈ Z } Sinx = Sina

denkleminin

Ç = { x x = a + k .2π Cosx = Cosa

x = ( π − a ) + k .2π , k ∈ Z }

∨

denkleminin

Ç = { x x = a + k .2π Tanx = Tana

çözümü

ve

çözümü x = − a + k .2π , k ∈ Z }

∨

Cotx = Cota

denklemlerinin

çözümü

Ç = { x x = a + k .π , k ∈ Z } sin f ( x ) = sin g ( x )

denkleminin

f ( x ) = g ( x ) + k .2π

∨

cos f ( x ) = cos g ( x )

denkleminin

f ( x ) = g ( x ) + k .2π

∨

tan f ( x ) = tan g ( x )

veya

çözümü

f ( x ) = π − g ( x )  + k .2π , k ∈ Z çözümü

f ( x ) = − g ( x ) + k .2π , k ∈ Z

f ( x ) = g ( x ) + k .π , k ∈ Z

cot f ( x ) = cot g ( x )

denklemlerinin

çözümü

Kök formülleri : 1. Sinα = Sinβ ⇒ α =

β + k 2π ∨ α = ( π − β ) + k 2π 2. Cosα = Cosβ ⇒ α = β + k 2π ∨ α = − β + k 2π 3. Tanα = Tanβ ve Cotα = Cotβ ⇒ α = β + kπ 4.

π  Sinα = Cos β ⇒ Sinα = Sin  − β  2 

Sinα = − Sinβ ⇒ Sinα = Sin( − β ) 6. Tanα = −Tanβ ve Tanα = Tan( − β ) 7. Cosα = −Cosβ ve Cosα = Cos ( π − β ) = Cos ( π + β ) 5.

Trigonometrik Denklemleri :

a∈[-1,1] için cosx=a denkleminin çözümü : Denklemin [0,2π) aralığında bir kökü α ise, Ç={xx=α+2kπ veya x= -α +2kπ, k∈Z} olur. Örnek: Cosx=1/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2π) aralığında kosinüsü 1/2 olan gerçek sayılar π/3 ve -π/3 olduğu hatırlanırsa;

π + 2kπ 3 −π x2 = + 2kπ 3 x1 =

Ç={xx=π/3+2kπ veya x=-π/3+2kπ, k∈Z} olarak bulunur.

Örnek : Cosx=√2/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2π) aralığında kosinüsü √2/2 olan gerçek sayılar π/4 ve -π/4 olduğu hatırlanırsa; Ç={xx=π/3+2kπ veya x=-π/3+2kπ, k∈Z} olarak bulunur.

a∈[-1,1] için sinx=a denkleminin çözümü : Denklemin [0,2π) aralığında bir kökü α ise, Ç={xx=α+2kπ veya x= (π - α) +2kπ, k∈Z} olur. Örnek: sinx=√3/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2π) aralığında sinüsü √3/2 olan gerçek sayılar π/3 ve π-π/3 olduğu hatırlanırsa;

π + 2kπ 3 π −π x 2 = π − + 2kπ = + (2k + 1).π 3 3 x1 =

Ç={xx=π/3+2kπ veya x=-π/3+2kπ, k∈Z} olarak

bulunur. Örnek : sinx=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2π) aralığında sinüsü 0 olan gerçek sayılar 0 ve π olduğu hatırlanırsa; Ç={xx=kπ, k∈Z} olarak bulunur.

a∈R için tanx=a denkleminin çözümü : Denklemin [0,2π) aralığında bir kökü α ise, Ç={xx=α+kπ, k∈Z} olur. Örnek: tanx=√3 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2π) aralığında sinüsü √3/2 olan gerçek sayılar π/3 ve π/3 +π olduğu hatırlanırsa; Ç={xx=π/3+kπ, k∈Z} olarak bulunur.

a∈R için cotx=a denkleminin çözümü : Denklemin [0,2π) aralığında bir kökü α ise, Ç={xx=α+kπ, k∈Z} olur.

Örnek :

sin sin

3 x = cos x denkleminin [0,2π ) aralığında ki çözümkümesini bulun. 2

3 3 π 3 π 5x π π π x = cos x ⇒ sin x = sin( − x) ⇒ x = − x ⇒ = ⇒ x= ⇒ Ç ={ } 2 2 2 2 2 2 2 5 5

Örnek : cosx+√3sinx=0 denklemini çözün.

sin x 3 = 0 ⇒ 1 + 3 tan x = 0 ⇒ tan x = − cos x 2 π π Ç={x: − + 2kπ ∨ (π − ) + 2kπ , k ∈ Ζ } 6 6 1+ 3

olur. Buradan çözüm kümesi;

ÖRNEKLER ÖRNEK:ÖYS-1981 tgx =

A)

olduğuna göre , x+y nin 0 ile arasındaki değeri kaç radyandır ?

B)

C)

D)

E)

ÖRNEK:ÖYS-1981

Yukarıdaki üçgende IADI=IBDI=ICDI ve TgB= 2 dir. Buna göre CotC nin değeri nedir ?

A)

B)

C)

D) 2

E) 3

ÖRNEK:ÖYS-1981 I. sin 85o II. tg 175o III. cos 260o IV. cotg 275o Yukarıdaki trigonometrik değerlerin işaretleri sırasıyla ne olur ?

A) +,-,+,-

B) -,-,-,+

C) +,-,-,+

D) -,-,-,-

E) +,-,-,-

ÖRNEK:ÖYS-1982 Aşağıdakilerden hangisi sin40o a eşittir ?

A) sin220o

B) cos140o

C) sin50o

D) sin(-40o)

E) cos(-50o)

ÖRNEK:ÖYS-1982 tgx = 2 olduğuna göre, cos2x - cosx.sinx ifadesinin değeri nedir ?

A) 1

B)-

C)-

D) 0

E)

ÖRNEK:ÖYS-1983

Yukarıdaki şekilde m(A C) = 30o , m(B A) = 90o , IDBI=IDCI olduğuna göre tg(D C) nin değeri kaçtır ?

A)

B)

C)

D)

E)2

ÖRNEK:ÖYS-1984 Aşağıdakilerden hangisi sin(

- a) ya özdeş değildir ?

A)sin( + a)

C) cos(-a)

B)cos(2 -a)

D) cosa

E) sin(-a)

ÖRNEK:ÖYS-1983

0<x<

,

A)

B)

4

tan x = 3 olduğuna göre,

C)

D)

ifadesinin değeri kaçtır ?

E) 1

ÖRNEK:ÖYS-1985 a = sin5o b = sin85o c = sin105o olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur ?

A) a < b < c

B) a < c < b

C) b < a < c

D) b < c < a

E) c < b < a

ÖRNEK: cos2(x-y)+sin2(x+y) nin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?

A) 1+cos2xsin2y

B) 1+sin2xcos2y

C) 1+sin2xsin2y

D) 1+cos2xcos2y

E) 1-sin2xsin2y

ÖRNEK:ÖYS-1988

ABCD bir dikdörtgen, E noktası [CD] üzerinde, IABI=15birim, IADI=6birim, m(D E) = m(C B) = Yukarıdaki verilere göre tan

A)

B)

C)

D)

nın değerlerinden biri nedir ?

E)

ÖRNEK:ÖYS-1988 sin95o , cos190o , tan210o işaretleri aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir ? sin95o cos190o A) B) C) D) E)

+ + +

tan210o

+ + -

+ + +

ÖRNEK:ÖYS-1989 cos 36o =

A)

olduğuna göre, cos72o kaçtır ?

B)

C)

ÖRNEK:ÖYS-1991 =1

D)

E)

olduğuna göre, cos2x aşağıdakilerden hangisine eşittir ? A)

B)

C)

D)

E)

ÖRNEK:ÖYS-1992 =2 denklemini sağlayan dar açı x aşağıdakilerden hangisidir ?

A) 15

B) 25

C) 30

D) 35

E) 45

ÖRNEK:ÖYS-1994 cos x - sin x =

A)-

B) 1

olduğuna göre, cos2x in değeri aşağıdakilerden hangisidir ?

C)

D)

E)

ÖRNEK:ÖYS-1997

ABC bir üçgen, m(B C) = 120o , IABI=4cm , |BC| = IACI= x cm Yukarıdaki verilere göre, IACI = x kaç cm dir ?

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

,