Triangulo-tetraedro -3

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TRIANGULOS Y TETRAEDROS –3 Sabemos que en todo triangulo se han considerado varios elementos básicoa , casi desde su conocimiento : ANGULOS - 3 que sumados valen DOS rectos , es decir 180 º . Los triángulos , se pueden clasificar en ; Acutángulos ,Obtusángulos , Rectángulos , etc en función de esos angulos . LADOS ó aristas : 3 . ninguno de ellos puede ser mayor que la suma de los otros dos . Equiláteros ( 3 lados iguales ) , Isósceles ( dos iguales ) , Escálenos ( los tres diferentes ) . VÉRTICES – 3 ( que no pueden estar alineados ) . BISECTRICES de cada par de lados . Se unen en un punto INCENTRO , punto centro de la circunferencia inscrita ( que pasa por los tres vértices ) . MEDIANAS – 3 ( segmento que une el vértice con el centro del lado opuesto ) . Se unen en un punto BARICENTRO . MEDIATRICES - 3 . Rectas perpendiculares por cada punto medio de arista a esta . ORTOCENTRO – Punto de encuentro de las tres alturas , por cada vértice . Y en los conocimientos generales de cada estudiante de Enseñanzas primarias y medias , no mucho más . Posteriormente la Geometría analítica y otras , nos enseñaban unos teoremas básicos , sobre Senos , Cósenos , Tangentes etc . El maravilloso teorema de Pitágoras , relacionaban los catetos , sus cuadrados y las Hipotenusas , de los Triángulos Rectángulos . Y posteriormente la geometría proyectiva , algunas propiedades más . No mucho más , aparecía incluido en la parcela cultural geométrica de una persona media e incluso esto ( con razón quizás ) se consideraba un lujo innecesario , en el bagaje cultural de una persona cultivada . Desde que los conceptos de PUNTOS de CONTROL ( PCs) de figuras geométricas aparecieron , las cosas variaron un poco . Beziers y sus Líneas “ vivas “ , para el diseño ( primero de automóviles y después , para casi todo ) , aparecieron otras curiosas propiedades de estas figuras . Comenzaremos con las representadas en la lámina adjunta : Pocos estudiantes diferenciaban el triangulo , formado por tres segmentos y el AREA definida por ellos . Simplemente eran formulas diferentes .

2 Los Puntos de ambas figuras NO coinciden . Para el alámbrico ( lineal ) eran A B y C ( los mismos vértices ) . Para el Arrea ó superficie A1 , B1 y C1 , más dos nuevos E1 y F1 . Todos ellos en un RECTÁNGULO , que incluía ( Circuncidaba ) A la figura base . Esto comenzaba a decirnos que las líneas no eran exactamente iguales a sus áreas encerradas . Cuestión nueva , que hacía reconsiderar las figuras de CIRCULO Y AREA , geométricamente hablando , ( a más de uno le costó un desagradable suspenso olvidarlo ) .

Para las Geometrías obsoletas , no tenía demasiada importancia ( al parecer ) . Para las nuevas ERA FUNDAMENTAL , ya que cualquier deformación , se aplicaba muy diferente a las dos figuras , ya que estas actuaban sobre ESOS PUNTOS DE CONTROL . Además el rectángulo de puntos de control tenía el doble del área del triangulo base . En el DISEÑO actual , estos puntos son fundamentales y el no controlarlo , podía dar lugar a DESAJUSTES entre figuras deformadas de áreas y alámbricas , con los consiguiente problemas , PORQUE ADEMÁS las áreas NO CONTIENEN RECTAS , solo bordes ó aristas . En la siguiente lámina , podemos ver estas “ irregularidades “ , para la Geometría clásica y tradicional y perfectamente LOGICAS para las nuevas . En estos momentos , como anteriormente hemos indicado , el Diseño de objetos , hace acudir a los Puntos de control de sus integrantes geométricos . Esto hace necesaria la consideración de lestos objetos integrados por superficies , por líneas ó por figuras más complejas . El ajuste de estas final , depende de sus PCs . Si no son consideradas estas geometrías , este ajuste puede desajustarse y los resultados al producirse cambios ó mutaciones , no cerrar las mismas figuras y producirse desintegración de ellas , teniendo que ser corregidas ó modificadas a posteriori .

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Estas consideraciones , anteriormente expuestas , son mucho más apreciables si estas figuras integrantes no son planas ó son de bordes ó aristas curvados . Para comprobar esta apreciación importante , bastará observar el tema en el CIRCULO y CIRCUNFERENCIA . Estas figuras simples y básicas , pueden observarse en las dos láminas siguientes , que también se acompañan ( aunque estas figuras no se correspondan con las dos básica de esta fase del estudio ) .

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Vemos que el concepto de “Triángulos “ manejados tradicionalmente hasta el momento , pueden alterarse ahora , con esta aportación , tipificada en el trabajo con ordenador ó informático . Otra novedosa aplicación es la que podríamos denominar AREAS ó SUPERFICIES RUGOSAS ó NEGATIVAS . Desde un punto de vista tradicional , este tema NO TENDRÍA SENTIDO , pero vamos a comprobar , que desde el punto de vista actual , puede tener importancia . Para ello observemos la siguiente lámina .

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En ella pueden observarse y comprobarse unas “ anomalías . En la primera fig . , hemos construido un pentágono regular y su estrellado correspondiente tradicionales ( con recinto simple ) . En la segunda con una polilínea continuada , que hace “ bucles “ , es decir se autointerfiere . Hemos calculado su area y vemos sorprendidos que son diferentes . Mayor la de la polilínea cerrada estrellada , aunque aparentemente debieran ser iguales . En esta segunda fig , observamos un pentágono de “ pliegue “ , que justificaría esta anomalía . Estos pliegues generan áreas de distinto signo , superpuestas . Si operamos con ellas , generaríamos diferencias . La ley de signos matemática , se mantendría . Por tanto la diferencia de la dos , con la uno , generaría un área negativa , que en caso de sumarse a otra positivo , no se añadiría , sino que se restarían . En esta simple figura , puede verse claramente . En figuras más complejas ,se denotaría más . Llegando incluso a transformar las operaciones Booleanas entre ellas . En casos de figuras 3D ( volúmenes ) , esto llegaría incluso a impedirlas . Serían sólidos con “ arrugas “ volumétricas y el programa puede bloquearse ,o impedirse . Naturalmente , todo esto , esta fuera de lo tradicional y clásico ó al menos así lo parece .

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Por consiguiente , podemos cerrar contornos , con una simple polilínea de borde ó perimetral ó con poli líneas auto cortantes . Las áreas cerradas NO SON LA MISMA . Igualmente con temas de volumen , como veremos posteriormente . Empezamos a ver , por tanto , que ciertas apreciaciones tradicionales de áreas , perímetros y volúmenes , encerrados por figuras geométricas , también tradicionales , pueden ofrecer alternativas . Rugosidades , dobleces .. etc , pueden alterar estas cuestiones , dadas por inmutables y fijas . Hemos presentado dos interesantes propiedades de las figuras , poco conocidas hasta el momento . Vamos a por una tercera NO MENOS INTERESANTE .

7 Los puntos de Control de las figuras , no solo dependen de su forma . DEPENDEN TAMBIEN DE SU GENERACIÓN Y ANTECEDENTES FORMAles , SI PROVIENEN DE OTROS PRIMITIVOS . El triangulo de la lámina anterior , ha sido generado de dos maneras diferentes : El de la izquierda según tres lados independientes . El de la dercha , por una POLILINEA . Vemos que sus PCs no son los mismos ( elementos azulados siempre ) . En la lámina siguiente hemos generado un triangulo , por sección de un área cuadrangular . El triangulo así generado , mantiene los PCs del cuadrado .

Quiere esto decir que de alguna manera , esas formas derivadas , mantienen el PCs de origen . Es decir podríamos decir , que cada forma original tiene unos Pcs ( DNA , formal si se quiere ) y todas las formas de ella derivada lo mantienen de alguna manera .Esta curiosa propiedad de las formas , puede observarse en la siguiente lamina , que presenta los PCs de una esfera primitiva y los de un casquete esférico obtenida de ella . PUEDE COMPROBARSE en la fig de la derecha , como sus PCs son los mismos . Si esta esfera , hubiese sido obtenida de otra manera , esta propiedad también se hubiera cumplido . Esta propiedad para el diseño de objetos , a partir de primitivas base , es de gran importancia .Las deformaciones aplicadas a PCs que no corresponden a la figura seleccionada , SIGUEN AFECTANDO A ESTAS DE ALGUNA MANERA , COMO SI TODAVÍA ESTUVIERAN EN LA FIGURA .

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Hemos presentado varias otras propiedades de las geometrías de las formas , que deberían analizarse en cualquier intento de diseño que uno se ocupe , teniendo esas primitivas de base . Volvamos ahora a nuestro primitivo triángulo , pobre pero honrado . Pero eso es otra historia , que trataremos en la parte 4 .

Manuel Hidalgo Herrera Geómetra y Arquitecto