Triangle

TRIANGLE RECTANGLE 1

Session du brevet 1996

Antilles 96 Soit ABC un triangle isoc`ele de base [BC], [AH] la hauteur issue du sommet A. On a BC = 8 cm et AH = 7 cm. 1) Construire le triangle ABC en justifiant la construction. 2) Calculer tan \ ABC. 3) En d´eduire la valeur de l’angle \ ABC arrondie au degr´e pr`es.

Besancon 96 C

On veut mesurer la hauteur d’une cath´edrale. Grˆace `a un instrument de mesure plac´e en O, `a 1, 5 m du sol et `a 85 m de la cath´edrale, on mesure l’angle et on trouve 59˚. 1, 5 m

O

B A

85 m

1) D´eterminer la longueur CB au dixi`eme de m`etre le plus proche. 2) En d´eduire la hauteur de la cath´edrale que l’on arrondira au m`etre le plus proche.

Caen 96 B A

ra

On acc`ede au garage situ´e au sous-sol d’une maison par une rampe [AC]. On sait que AC = l0, 25 m ; BC = 2, 25 m.

mp e

1) Calculer la distance AB entre le portail et l’entr´ee. 2) Calculer `a un degr´e pr`es par exc`es la mesure de l’angle \ BAC.

garage C

Dijon 96 B

ABC et CDE sont deux triangles ´equilat´eraux de cˆ ot´e 3 cm. A, C et E sont align´es.

D

1) Faire une figure exacte, en respectant les longueurs donn´ees, et la compl´eter au fur et `a mesure. 2) Prouvez que les points A, B, D, E sont sur un mˆeme cercle ; indiquez le centre et le rayon de ce cercle. 3) Prouvez que ABE est un triangle rectangle.

A

E

C

4) Calculez les mesures des cˆ ot´es et des angles du triangle ABE. 5) Prouvez que BCD est un triangle ´equilat´eral.

Grenoble 96 A La vue de face d’un hangar est repr´esent´ee par le sch´ema cicontre. BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en A, H est la projection orthogonale de A sur la droite (CD). Les points A, E, F sont align´es ainsi que C, D, F . On donne (l’unit´e ´etant le m`etre) AB = BC = 6 ; EB = 10.

E

B

1) Calculer AE. 2) Sachant que AF = 18, calculer la hauteur AH du hangar. C

H

D. Le FUR

D

F

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15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE Lyon 96 1) Construire un triangle IJK tel que JK = 8 cm ; IJ = 4, 8 cm ; KI = 6, 4 cm. 2) D´emontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle. [ Donner la valeur arrondie au degr´e le plus proche. 3) Calculer la mesure en degr´es de l’angle IJK.

Lyon 96 Dans cet exercice, on ne demande pas de refaire fa figure. Dans un rep`ere orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, on a trac´e le cercle de centre O et de rayon 2. Le cercle coupe les axes de coordonn´ees en A, B, C et D.

A J

1) Donner sans justifier les coordonn´ees des points A, B, C et D.

B O

D

I

2) En utilisant ses diagonales par exemple, prouver que ABCD est un carr´e. 3) On consid`ere les points E(0; 4) et F (4; 0). D´eterminer une ´equation de la droite (EF ). 4) D´emontrer que les droites (AD) et (EF ) sont parall`eles.

C

Nantes 96 D \ = 90˚; CBA \ = 90˚; BAC \ = 50˚; AD = 5 cm ; Sur la figure ci-contre, on a CAD AC = 7 cm.

F

1) Calculer BC, puis en donner la valeur arrondie au mm pr`es. \ en donnant sa valeur arrondie `a un degr´e 2) Calculer la mesure de l’angle ADC pr`es.

A E

B

3) Les droites (EF ) et (CD) sont parall`eles et AE = 2, 5 cm. Calculer AF . On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm pr`es. C

Orleans 96 Dans cet exercice, l’unit´e de mesure choisie est le centim`etre. On consid`ere un rectangle ABCD tel que AB = 8 et BC = 5. Sur le segment [CD] est plac´e le point M tel que CM = 6. 1) Construire la figure sur votre copie. \ \ 2) D´eterminer tan M BC et en d´eduire la mesure de l’angle M BC arrondie au degr´e pr`es. 3) On note N le point d’intersection des droites (BM ) et (AD). Placer ce point sur la figure. En pr´ecisant les ´enonc´es utilis´es : a) Calculer la valeur exacte de BM . b) Calculer la valeur exacte de DN .

Rouen 96 ABCD est un rectangle tel que AB = 8 cm et BC = 5 cm. Ses diagonales se coupent en K. 1) Soit M le milieu du cˆ ot´e [CD] et H le milieu du segment [AM ]. D´emontrer que les droites (HK) et (CM ) sont parall`eles. 2) Calculer la longueur HK. \ , on donnera le r´esultat arrondi au degr´e. 3) Calculer la mesure de l’angle DAM 4) D´emontrer que l’aire du triangle AM C est ´egale `a 10 cm2 . En d´eduire l’aire du triangle AHK. D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE 2

Session du brevet 1997

Aix 97 On consid`ere le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5, BC = 9, l’unit´e ´etant le cm. 1) Construire le triangle ABC en vraie grandeur. 2) Calculer la valeur exacte de AC. \a 3) Calcule la mesure de l’angle ABC ` un degr´e pr`es par d´efaut. 4) Le cercle de centre B et de rayon AB coupe le segment [BC] en M . La parall`ele `a la droite (AC) qui passe par M coupe le segment [AB] en N . Compl´eter la figure. Calculer la valeur exacte de BN .

Amiens 97 D Une ´echelle de 6 m`etres est appuy´ee contre un mur vertical de 7 m`etres de haut. Par mesure de s´ecurit´e, on estime que l’angle que fait l’´echelle avec le sol doit ˆetre de 75˚ (voir sch´ema ci-contre).

7m

C

1) Calculer la distance AB entre le pied de l’´echelle et le mur. (On donnera le r´esultat arrondi au centim`etre.)

´echelle

2) A quelle distance CD du sommet du mur se trouve le haut de l’´echelle ? (On donnera le r´esultat arrondi au centim`etre.) 75 A

B

Besancon 97 On compl´etera la figure au fur et ` a mesure. \ = 120˚. 1) Construire un triangle ABC isoc`ele en B tel que AB = 5 cm et ABC 2) On appelle H le pied de la hauteur issue de B dans ce triangle. \ ? Justifier votre r´eponse. a) Quelle est la mesure de l’angle HBC b) Calculer la distance BH. On pourra consulter l’extrait de la table trigonom´etrique ci-dessous. Mesure de l’angle en degr´es 30˚ 60˚

Cosinus 0,866025 0,5

Sinus 0,5 0,66025

Tangente 0,577350 1,732051

3) Le cercle de centre B et de rayon 5 cm coupe la droite (AB) en D. a) Montrer que les droites (BH) et (DC) sont parall`eles. b) Calculer la distance DC.

Bordeaux 97 On consid`ere un cercle de diam`etre [AB]. Soit C un point de ce cercle et D le sym´etrique de A par rapport au point C. La parall`ele `a la droite (BC) passant par le point D coupe la droite (AB) en E. 1) R´ealiser une figure. 2) Quelle est la nature du triangle ABC ? 3) D´emontrer que B est le milieu du segment [AE]. 4) Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle ADE ? 5) Exprimer l’aire A′ du disque de diam`etre [AE] en fonction de l’aire A du disque de diam`etre [AB].

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE Centres Etrangers 97 A

2

On donne le croquis ci-contre qu’on ne demande pas de reproduire. L’unit´e est le centim`etre. Le triangle BHC est rectangle en H. AH = 2, HC = 5, 2, BC = 6, 5. Les dimensions ne sont pas respect´ees sur le croquis.

H

B

1) Calculer BH.

5,2 5 6,

\ En d´eduire la mesure de l’angle HBC \ (on donnera la 2) Calculer sin HBC. valeur arrondie au degr´e pr`es). \ (on donnera la valeur arrondie au degr´e 3) Calculer la mesure de l’angle ABH pr`es). C

Dijon 97 C

E

D L’unit´e de longueur est le centim`etre. Le rectangle ci-apr`es repr´esente une table de billard. Deux boules de billard N et B sont plac´ees telles que CD = 90 ; N C = 25 ; BD = 35. (Les angles et sont droits.) Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le \ = DEB. \ trajet BEN , E ´etant entre C et D, et tel que CEN On pose ED = x.

N B

1)

a) Donner un encadrement de x. b) Exprimer CE en fonction de x.

\ en fonction de x. 2) Dans le triangle BED, exprimer tan DEB \ en fonction de x. 3) Dans le triangle N EC, exprimer tan CEN 4)

a) En ´egalant les deux quotients trouv´es aux questions 2 et 3, on trouve l’´equation :35(90 − x) = 25x. On ne demande pas de le justifier. R´esoudre cette ´equation. \ et DEB \ arrondie au degr´e. b) En d´eduire la valeur commune des angles CEN

Grenoble 97 B L’unit´e de longueur est le centim`etre ; l’unit´e d’aire est le centim`etre carr´e. On consid`ere la figure ci-contre : le triangle ABC est rectangle en A ; AB = 3, 6 ; BC = 6. C

A

1) Calculer la mesure de l’angle \ ACB (on donnera l’arrondi au degr´e). 2) Calculer AC. 3) Calculer l’aire du triangle ABC. 4) Soit H le projet´e orthogonal du point A sur la droite (BC). Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction de AH. 5) En d´eduire AH.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE Guadeloupe 97 P AR est un triangle rectangle en A et tel que AP = 3, 6 cm ; AR = 4, 8 cm ; H est le projet´e orthogonal de A sur la droite (RP ). 1) Faire la figure. 2) Calculer la longueur du cˆ ot´e [P R]. 3) Calculer l’aire du triangle P AR. En d´eduire AH. [ [ 4) Calculer sin AP R. En d´eduire l’arrondi au degr´e pr`es de la valeur de l’angle AP R.

Poitiers 97 ABCD d´esigne un rectangle tel que AB = 7, 2 cm et BC = 5, 4 cm. 1) Dessiner en grandeur r´eelle ce rectangle et sa diagonale [AC]. \ 2) Calculer la mesure arrondie au degr´e de l’angle ACD. \ et \ 3) D´emontrer que les angles ACD CAB sont ´egaux. 4) La m´ediatrice du segment [AC] coupe la droite (AB) en E. Placer le point E et montrer que le triangle ACE est isoc`ele. \ 5) En d´eduire une valeur approch´ee de la mesure de l’angle DCE.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE 3

Session du brevet 1998

Aix 1998

Cˆ able

Un cˆ able de 20 m de long est tendu entre le sommet d’un poteau vertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40˚ avec le sol (voir sch´ema).

Poteau

1) Calculer la hauteur du poteau. 1 (les 200 donn´ees de la situation doivent ˆetre plac´ees sur la figure).

2) Repr´esenter la situation par une figure `a l’´echelle 40 Sol

Amiens 98 Pour tout l’exercice, l’unit´e de longueur est le centim`etre. Construire un triangle ABC tel que AB = 4, 5 ; BC = 6 et AC = 7, 5. 1) D´emontrer que ABC est un triangle rectangle. \ est 53˚. 2) Montrer, par un calcul, que l’arrondi au degr´e de la mesure de BAC 3) Construire le cercle de centre A et qui passe par C ; il coupe la demi-droite [AB) en un point D. Quelle est la nature du triangle ADC ? Justifier.

Creteil 1998 E T

R 1)

\ Dans un triangle ERN , on donne EN = 9 cm, RN = 10, 6 cm et EN R= 60˚. La hauteur issue de E coupe le cˆ ot´e [RN ] en A. La parall`ele `a la droite (EN ) passant par A coupe le cˆ ot´e [RE] en T . Le sch´ema n’est pas `a l’´echelle.

N A a) Prouver que AN = 4, 5 cm. b) Calculer EA (on arrondira au dixi`eme de centim`etre).

2)

a) Calculer AR. b) Calculer T A (on arrondira au dixi`eme de centim`etre). [ (on arrondira au degr´e). c) Calculer l’angle ERA

Lille 1998 ABC est un triangle tel que AB = 4, 2 cm ; AC = 5, 6 cm et BC = 7 cm. 1) D´emontrer que ABC est un triangle rectangle. 2) Calculer son aire. 3) On sait que si R est le rayon du cercle circonscrit `a un triangle dont les cˆ ot´es ont pour longueurs a, b, c donn´ees abc . en cm, l’aire de ce triangle est ´egale ` a 4R a) En utilisant cette formule, calculer le rayon du cercle circonscrit `a ABC. b) Pouvait-on pr´evoir ce r´esultat ? Justifier la r´eponse.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE Lille 1998 La zone ´eclair´ee par une lampe situ´ee ` a 3, 50 m du sol est assimilable `a un cˆ one de r´evolution dont la section au sol est un disque de centre H et de diam`etre BC.

A A

B

C B

Sol

C H

\ = 80˚. 1) On donne BAC Calculer HC ` a 0,01 pr´es. En d´eduire une valeur approch´ee du diam`etre de la zone ´eclair´ee au sol. 2) On consid`ere le cˆ one dont la base est le disque de diam`etre BC et de sommet A. Calculer son volume ` a 1 m3 pr`es.

Limoges 1998 A

B

m 5d

Un fabricant d’enseignes lumineuses doit r´ealiser la lettre z (en tubes de verre soud´es) pour la fixer sur le haut d’une vitrine. Voici le sch´ema donnant la forme et certaines dimensions de l’enseigne ; de plus les droites (AD) et (BC) se coupent en O.

O

C

dm

m 9d

12

D 15 dm 1) Sachant que les droites (AB) et (CD) sont parall`eles, calculer les longueurs AB et OB (donner les r´esultats sous forme fractionnaire). 2) D´emontrer que le tube [BC] est perpendiculaire `a la droite (AD). \ En d´eduire la valeur arrondie de l’angle OCD \ `a un degr´e pr´es. 3) Calculer sin OCD.

Nantes 1998 E On consid`ere un cercle de centre O et de rayon 2, 4 cm. Soit [AB] un diam`etre de ce cercle. Soit E un point de ce cercle tel que AE = 3, 1 cm.On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie et sur la figure ci-contre, les dimensions ne sont pas respect´ees. A

O

B

1) Quelle est la nature du triangle AEB ? Justifier. \ 2) Calculer la mesure, arrondie au degr´e pr`es de l’angle EAB. 3) Soit H le projet´e orthogonal du point E sur la droite (AB). Calculer la valeur arrondie au millim`etre de EH.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE 4

Session du brevet 1999

Asie 1999 C

ABC est un triangle rectangle en A. On a AB = 4, 8 cm, AC = 3, 6 cm, CE = 2, 4 cm, CF = 4 cm. 1) Calculer la longueur BC.

E

2) D´emontrer que les droites (EF ) et (AB) sont parall`eles.

F

A

B

\ en donner l’arrondi au degr´e 3) Calculer la mesure de l’angle ABC, pr`es.

Clermont 1999 L H

M

N

Le triangle LM N est rectangle en M et [M H] est sa hauteur issue de M . On donne M L = 2, 4 cm et LN = 6, 4 cm. \ 1) Calculer la valeur exacte du cosinus de l’angle M LN . On donnera le r´esultat sous forme d’une fraction simplifi´ee. \ 2) Sans calculer la valeur de l’angle M LN , calculer la longueur LH. Le r´esultat sera ´ecrit sous forme d’un nombre d´ecimal.

Grenoble 1999 L’unit´e est le centim`etre. 1) Construire un triangle RST tel que RS = 4, 5, ST = 6, RT = 7, 5. On laissera les traits de construction. 2) Montrer que le triangle RST est rectangle. 3)

a) Tracer le cercle (C) de centre R et de rayon 4, 5. Le cercle (C) coupe le segment [RT ] en K. b) Tracer la droite (d) passant par le point K et parall`ele `a la droite (RS). Cette droite (d) coupe le segment [T S] en un point L. Placer ce point sur la figure. c) Calculer KL.

[ 4) Calculer l’angle ST R (on donnera l’arrondi au degr´e).

Polyn´ esie 1999 (C) est un cercle de 2, 5 cm de rayon. Le segment [AB] est un diam`etre de ce cercle. D est un point de ce cercle tel que AD = 3 cm. 1) Construire la figure. 2) D´emontrer que le triangle ABD est rectangle. 3) Calculer la longueur DB.

Polyn´ esie 1999 A \ = 60˚. La figure n’est ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 4 cm et BAC pas r´ealis´ee en vraie grandeur. 1) D´emontrer que AC = 8 cm.

B D

D. Le FUR

2) F est le point de la demi-droite [AC) tel que AF = 11. D est le point de la demi-droite [AB) tel que AD = 5, 5. D´emontrer que les droites (BC) et (DF ) sont parall`eles.

C F

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TRIANGLE RECTANGLE Rennes 1999

Mur

Sol

C

3, 05 m

A

B

1) Paul veut installer chez lui un panier de basket. Il doit le fixer `a 3, 05 m du sol. L’´echelle dont il se sert mesure 3, 20 m de long. A quelle distance du pied du mur doit-il placer l’´echelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier ? (Donner une valeur approch´ee au cm pr`es.) 2) Calculer l’angle form´e par l’´echelle et le sol. (Donner une valeur approch´ee au degr´e pr`es.)

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE 5

Session du brevet 2000

Limoges 2000 1) Construire un cercle (C) de centre O, de rayon 3cm. 2) Placer sur (C) deux points E et F tels que le triangle OEF soit ´equilat´eral. 3) Tracer la tangente au cerle (C) passant par E ; elle coupe (OF ] en A. 4) Montrer que OEA est rectangle. 5) Calculer les mesures des angles du triangle AEF . 6) D´emontrer que F est le milieu de [OA]. \ 7) Donner les valeurs exactes de sin \ OAE et cos OAE.

Nancy-Metz 2000 1) Construire un cercle de centre O et de rayon 3cm. \ = 65˚. Placer sur ce cercle trois points A, B, C de telle fa¸con que BC = 4cm et BCA Construire le point F diam´etralement oppos´e au point B sur ce cercle. 2) D´emontrer que le triangle BF C est un triangle rectangle. \ 3) Calculer le sinus de l’angle BF C et en d´eduire la mesure de cet angle arrondie `a un degr´e pr`es. 4) D´eterminer, au degr´e pr`es, les mesures des angles du triangle BOC.

Nantes 2000 A

M

La figure ci-contre repr´esente un champ rectangulaire ABCD travers´e par une route de largeur uniforme (partie hachur´ee). On donne : AB = 100m ; BC = 40m ; AM = 24m. Les droites (AC) et (M N ) sont parall`eles. Calculer :

B

1) la valeur arrondie au d´ecim`etre pr`es de la longueur AC ;

N D

2) la longueur M B ;

C

3) la longueur BN .

Nice 2000 La figure ci-dessous est donn´ee a ` titre d’exemple pour pr´eciser la disposition des points. Ce n’est pas une figure en vraie grandeur. On donne : L – les points K, O, L sont align´es ; O est entre K et L ; OK = 2cm ; OL = 3, 6cm ; N – les points J, O, N sont align´es ; O est entre J et N ; 3, 6cm OJ = 3cm ; ON = 5, 4cm ; – le triangle OKJ est rectangle en K. 5, 4cm O \ (on donnera l’arrondi au degr´e pr`es). 1) Calculer l’angle OJK 3cm 2) D´emontrer que les droites (JK) et (LN ) sont parall`eles. 2cm J 3) D´eduire de la question 2., sans effectuer de calculs, que les K

D. Le FUR

\ et ON \ angles OJK L sont ´egaux.

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TRIANGLE RECTANGLE Rennes 2000 Dans le triangle ABC (croquis ci-contre), on donne : [AH] hauteur issue de A ; \ = 51˚. AH = 5cm ; AB = 8cm ; ACH On ne demande pas de refaire la figure.

A

1)

a) D´eterminer la valeur arrondie au dixi`eme de degr´e, de \ l’angle HBA. b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

2) Calculer la valeur arrondie au millim`etre pr`es de la longueur du segment [HB]. C

H

B

3) Calculer la valeur arrondie au millim`etre pr`es de la longueur du segment [CH]. 4) D´eterminer une valeur approch´ee de l’aire du triangle ABC.

Am´ erique du nord 2000

B

A

H

Des amateurs de skateboard construisent un tremplin de 2m de haut pour pratiquer leur sport. Voici un croquis rapide de leur tremplin. On donne : AH = 5m ; BH = 2m. 1 1) Faire la figure `a l’´echelle . 100 2) Calculer l’arrondi au centim`etre de la longueur AB de la planche. 3) Calculer l’arrondi au degr´e de l’angle que fait la planche avec le sol.

Centres ´ etrangers I1 2000 A

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. On donne les longueurs suivantes : BH = 5, 8cm ; HC = 4, 5cm ; AC = 7, 5cm ; AH = 6cm.

B

H C 1) En utilisant uniquement une r`egle gradu´ee et un compas, construire une figure en vraie grandeur (laisser les traits de construction apparents). 2) D´emontrer que le triangle ACH est rectangle en H. 3) Calculer l’aire du triangle ABC. 4) Soit M le milieu de [AC] et D le sym´etrique de H par rapport `a M . Placer M et D sur la figure r´ealis´ee au 1. . D´emontrer que le quadrilat`ere ADCH est un rectangle.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE Asie 2000 On consid`ere la figure ci-contre. On donne : AB = 6cm ; AC = 7, 5cm ; BC = 4, 5cm. Sur le sch´ema, les dimensions ne sont pas respect´ees. E est le point de [AB) tel que AE = 10cm. La parall`ele `a (AC) passant par B coupe (CE) en D.

C

D

A

B

1) D´emontrer que le triangle ABC est rectangle en B. 2) Calculer la valeur arrondie au degr´e de la mesure \ de l’angle BCE.

E

3) D´eterminer la mesure du segment [BD].

Centres Etrangers I3 2000 L’unit´e de longueur est le centim`etre. On consid`ere un triangle rectangle DEF tel que EF = 10, DF = 8 et DE = 6. Soit A le point du segment [DE] tel que DA = 3, 6 et B le point du segment [DF ] tel que DB = 4, 8. 1) Construire la figure. 2) Prouver que les droites (AB) et (EF ) sont parall`eles. 3) Calculer AB. \ 4) Calculer la mesure, arrondie au degr´e pr`es, de l’angle DAB.

Centres Etrangers I4 2000 B

A

La figure ci-dessous, donn´ee a ` titre indicatif, n’est pas en vraie grandeur. ABC est un triangle rectangle en B. H est le pied de la hauteur issue de B. On donne : \ = 60˚. AB = 8cm ; BH = 4cm ; BCA

H C 1) Calculer, en centim`etres, la mesure du segment [AH], arrondie au mm.

2) Calculer, en centim`etres, la mesure du segment [HC], approch´ee `a 0, 1 pr`es par d´efaut. AJ 1 3) Soit J le point du segment [AC] tel que = . La parall`ele `a la droite (BC) passant par J coupe le segment AC 4 [AB] en K. Expliquer pourquoi AK = 2cm.

Amiens septembre 1999 Soit un segment [IJ] de longueur 8cm. Sur le cercle (C) de diam`etre [IJ], on consid`ere un point K tel que IK = 3, 5cm. 1) Faire la figure. 2) D´emontrer que le triangle IJK est rectangle. 3) Calculer JK (on donnera le r´esultat arrondi au mm). [ 4) Calculer `a un degr´e pr`es la mesure de l’angle KJI.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE Besan¸con septembre 1999 A Soit ABC un triangle tel que : AB = 8cm ; BC = 10cm ; \ ABC = 60˚. La hauteur issue du sommet A coupe le cˆ ot´e [BC] en D. On rappelle : √ √ 1 3 cos 60 = ; sin 60 = ; tan 60 = 3. 2 2

E

C

D 1) Prouver que BD = 4cm.

B

2) En d´eduire la valeur exacte de la distance CD. √ 3) Montrer que AD = 4 3cm. \ (On pourra calculer d’abord la tangente de cet angle.) 4) Calculer la mesure, arrondie au degr´e, de l’angle ACD. 5) Calculer la valeur exacte de la distance AC. 6) Soit E le point du segment [AB] tel que BE = 3, 2cm. Montrer que les droites (ED) et (AC) sont parall`eles. 4√ Montrer que ED = 21. 5

Grenoble septembre 1999 La figure ci-apr`es sch´ematise une partie de terrain de football. Le point G est le milieu du segment [AB], le point P est appel´e point de penalty. le triangle AP G est rectangle en G. Un joueur est situ´e au point J de la surface de r´eparation IJKL. Voici quelques donn´ees : – largeur de la cage : AB = 7, 32m ; – distance du point de penalty ` a la ligne de but : P G = 9m ; – dimensions de la surface de r´eparation : KJ = 16, 5m ; HK = 40, 32m. 1) Calculer la distance AP (on donnera une valeur arrondie au dixi`eme). 2)

a) Le point G est aussi le milieu du segment [HK]. Montrer que BK = 16, 5m, puis calculer une mesure de \ l’angle BJK. [ (on donnera une valeur arrondie au degr´e). b) Calculer AK, puis une mesure de l’angle AJK [ du joueur. c) En d´eduire une mesure de l’angle de tir AJB I

J

P 16, 5m

H

D. Le FUR

A

G 7, 32m 40, 32m

B

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K

15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE Lille septembre 1999 On appelle (C) le cercle de centre O et de diam`etre [AB] tel que : AB = 8cm. \ = 40˚. M est un point du cercle tel que : BAM 1) Faire la figure en vraie grandeur sur la copie. 2) Quelle est la nature du triangle BAM ? Justifier. 3) Calculer la longueur BM arrondie ` a 0, 1cm pr`es.

Paris septembre 1999 L

H

M

D. Le FUR

N

Il est inutile de refaire cette figure sur la copie. Le triangle LM N est rectangle en M et [M H] est sa hauteur issue de M . On donne M L = 2, 4cm et LN = 6, 4cm. \ 1) Calculer la valeur exacte du cosinus de l’angle M LN . On donnera le r´esultat sous forme d’une fraction irr´eductible. \ 2) Sans calculer la valeur de l’angle M LN, calculer LH. Le r´esultat sera ´ecrit sous forme d’un nombre d´ecimal.

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15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE 6

Session du brevet 2001

Antilles 2001 B

\ est un Sur la figure suivante (les unit´es ne sont pas respect´ees), on a : ABC angle droit ; AD = 10 cm ; CD = 8 cm ; AB = 3, 6 cm ; et BC = 4, 8 cm.

C

1) R´ealiser une figure en grandeur r´eelle. \ En d´eduire une valeur arrondie au 2) Calcule la tangente de l’angle BAC. \ degr´e de BAC.

A

3) Calculer la longueur AC et montrer que le triangle ACD est rectangle. D

4) Montrer que le triangle ABC est une r´eduction du triangle ACD dont on pr´ecisera le coefficient de r´eduction.

Centres Etrangers I 2001 Construire un cercle de centre O et de diam`etre [AB] avec AB = 6 cm. Placer sur ce cercle un point C tel que BC = 3, 6 cm. 1) Quelle est la nature du triangle ACB ? Justifier. D´emontrer que la longueur AC est ´egale ` a 4, 8 cm. \ En d´eduire la mesure de l’angle COB. \ (On arrondira les 2) D´eterminer par le calcule la mesure de l’angle CAB. deux mesures ` a l’unit´e.) 3) Soit E le milieu du segment [OB]. Tracer la parall`ele `a la droite (BC) passant par E ; elle coupe le segment [AC] en F . Calculer les longueurs exactes des segments [AF ] et [F E].

Groupement 1 2001 M

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm et BC = 7, 5 cm. \ au degr´e pr`es. 1) Calculer l’angle ACB

N

A

C

B

2) Le point M est sur la droite (AB), `a l’ext´erieur du segment [AB] tel que AM = 2 cm. La parall`ele `a la droite (BC) passant par M coupe la droite (AC) en N . Calculer la longueur M N .

Groupement I 2001 Les constructions des questions 1 et 2 sont ` a faire sur la figure ci-contre. 1) Sur la figure, on a trac´e le segment [AB] tel que \= AB = 7 cm. Placer un point C tel que BAC \ 70˚ et ABC = 60˚. 2) Construire le cercle circonscrit au triangle ABC, et appeler O son centre. On laissera les traits de construction. [ en justifiant 3) Donner la mesure de l’angle AOC la r´eponse.

D. Le FUR

A

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B

15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE Reunion 2001 Le triangle ci-contre repr´esente un triangle EST , isoc`ele en E. [T H] est la hauteur issue de T . Il n’est pas demand´e de reproduire la figure. On sait que : – ES = ET = 12 cm (les dimensions ne sont pas respect´ees sur la figure) ; – l’aire du triangle EST est de 42 cm2 .

T

1) Prouver que T H = 7 cm. 2) Calcule l’angle T[ ES (on donnera sa valeur arrondie au degr´e pr`es). E

[. 3) En d´eduire une valeur approch´ee de l’angle EST

S

H

Afrique II 2001 A

Dans le triangle ABC de hauteur [AH] repr´esent´e ci-contre, on donne : \ = 30˚. AC = 4cm, BH = 1, 5cm et ACB 4

1) Calculer la valeur exacte de AH. 2) En d´eduire la valeur arrondie `a un degr´e pr`es de la mesure de l’angle \ ABC.

30 B

H

C

Am´ erique du nord 2001 On consid`ere la figure ci-contre . On donne : M N = 8cm ; M L = 4, 8cm et LN = 6, 4cm. On ne demande pas de refaire la figure sur la copie.

L

1) D´emontrer que le triangle LM N est rectangle. 2) Calculer la valeur arrondie au degr´e de la me\ sure de l’angle LN M. 3) Soit K le pied dela hauteur issue de L ; montrer que LK = 3, 84cm.

R

M

K

S

4) Soit S le point de [M N ] tel que N S = 2cm, la perpendiculaire `a (LN ) passant par S coupe [LN ] en R ; calculer RS.

N

Groupe est septembre 2000 C

A

O

B

Sur un cercle de centre O et de diam`etre [AB] tel que AB = 10cm, \ mesure 50˚. Sur le dessin on a plac´e un point C tel que l’angle ABC ci-contre, les dimensions ne sont pas respect´ees. 1) Montrer que le triangle ABC est rectangle. 2) Calculer les longueurs AC et BC. On donnera les valeurs arrondies au millim`etre.

D. Le FUR

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15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE Groupe nord septembre 2000 F

A

On consid`ere la figure ci-contre (les dimensions ne sont pas respect´ees). On sait que : \ = EF = 4cm ; F G = 3cm ; EG = 5cm ; AE = 7cm ; DAB 30˚. Les points A, E et G sont align´es ; les points D, E et F sont align´es ; (AB) est la hauteur issue de A dans le triangle AED.

E G

30

B D

1) D´emontrer que EF G est un triangle rectangle.

2) En d´eduire que (F G) est parall`ele ` a (AB). 3) Calculer BE et AB.

30˚

4) Calculer DB. On donnera la valeur exacte en s’aidant du tableau ci-dessous.

60˚

5) Calculer l’aire du triangle AED ` a 0, 01cm2 pr`es.

cos √ 3 2 1 2

sin 1 √2 3 2

tan √ 3 3 √ 3

Vanuatu septembre 2000 Voici le dessin d’un cerf-volant ABCD, dont les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires et se coupent \ mesure 65˚ et que le en O. On sait que l’angle ABO segment [AO] mesure 42cm. La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur et elle n’est pas a ` reproduire.

B E

A

H

1) Calculer la longueur du segment [OB]. Arrondir le r´esultat au millim`etre pour l’utiliser dans la question suivante.

C

O

2) Pour renforcer ce cerf-volant, on souhaite placer une baguette [EF ] entre A et O, comme indiqu´e sur la figure. Sachant que EH = 15cm, calculer AH. Arrondir le r´esultat au millim`etre.

F D

Polyn´ esie septembre 2000 A

30o D

1)

C

B

Un bateau est amarr´e par sa proue∗ A `a une bou´ee B, situ´ee au niveau de la mer. Les mesures des longueurs sont exprim´ees en m`etres. Le dessin ci-dessous n’est pas a ` l’´echelle. (∗ ) La proue d´esigne l’avant du bateau.

\ mesure 30˚. a) Le triangle ABC est rectangle en C, l’angle ABC On a AB = 6 ; montrer que AC = 3. b) Construire le triangle ABC, ` a l’´echelle 1/100. c) Calculer la longueur BC ; on donnera le r´esultat arrondi au d´ecim`etre.

2) On veut calculer DB. a) Sachant que AD = 4, calculer DC, dont on donnera une valeur arrondie au d´ecim`etre. b) En d´eduire DB, arrondi au m`etre.

D. Le FUR

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15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE 7

Session du brevet 2002

Est (Grenoble) 2002 A

On consid`ere la figure ci-contre o` u les longueurs sont donn´ees en cm : – Les droites (CF ) et (BG) se coupent en E ; – Les points A, G et F sont align´es ; – Les droites (BC) et (AF ) sont parall`eles ; – EC = 7 ; EG = 8 ; EB = 6 ; \ = 90˚; \ – EBC ABG = 20˚ . Pour chacune des questions suivantes, donner la valeur exacte puis arrondie `a 0, 1 pr`es.

C

E

B

G

1) Calculer la longueur BC. 2) Calculer la longueur EF . 3) Calculer la longueur AG.

F

Nord 2002 E

La figure ci-contre est donn´ee `a titre indicatif pour pr´eciser la position des points A, B,C, D et E. Les longueurs repr´esent´ees ne sont pas exactes. On donne : CE = 5 ; CD = 12 ; CA = 18 ; CB = 7, 5 ; AB = 19, 5.

D

C

1) Montrer que les droites (ED) et (AB) sont parall`eles. 2) Montrer que ED = 13. 3) Montrer que le triangle CED est un triangle rectangle. A

\ puis en d´eduire la valeur arrondie au 4) Calculer tan DEC \ degr´e de la mesure de l’angle DEC.

B

Afrique 1 2002 \ = 40˚. Un triangle ABD rectangle en B est tel que AB = 9cm et l’angle BAD 1) Tracer ce triangle. 2) Calculer la longueur BD en justifiant la d´emarche utilis´ee ; on en donnera une valeur arrondie au millim`etre. 3) Construire le cercle (C) circonscrit au triangle ABD (aucune justification n’est attendue pour cette construction) ; on pr´ecisera la position du centre I de ce cercle. \ Elle coupe le cercle (C) en S ; placer le point S sur la figure. 4) Tracer la bissectrice de l’angle BAD. d en justifiant la d´emarche utilis´ee. 5) D´eterminer la mesure exacte de l’angle SIB

Afrique II 2002 On consid`ere le cercle (C) de centre O, point de la demi-droite [Ay). La demi-droite [Ax) est tangente `a (C) en T . On donne AT = 9cm.

y

(C)

1) Calculer une valeur approch´ee au millim`etre pr`es du rayon du cercle (C).

O A

29

T

D. Le FUR

2) A quelle distance de A faut-il placer un point B [ mesure 30˚. sur [AT ] pour que l’angle OBT (Donner une valeur approch´ee arrondie au millim`etre.)

◦

x

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15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE Am´ erique du nord 2002 A

N

Sur le dessin ci-contre, les dimensions ne sont pas respect´ees. On consid`ere un triangle RN T rectangle en R tel que : N R = 9cm ; AR = 6cm ; N T = 10, 2cm ; BT = 1, 6cm.

R

1) Calculer la valeur de RT . B

2) En consid´erant que RT = 4, 8cm , d´emontrer que les droites (AB) et (N T ) sont parall`eles.

T

\ 3) Calculer la mesure exacte de l’angle RN T ; en donner la valeur arrondie au degr´e pr`es.

Centres ´ etrangers (Grenoble) 2002 L’unit´e de longueur est le centim`etre. 1)

a) Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 et AC = 9. Sur le segment [AC], placer le point I tel que CI = 5. b) Calculer la valeur exacte de la longueur BC, puis sa valeur arrondie au millim`etre pr`es.

2) La droite qui passe par I et qui est parall`ele `a la droite (AB) coupe la droite (BC) en E. En pr´ecisant la m´ethode utilis´ee, calculer la valeur exacte de la longueur EI. \ puis en d´eduire la valeur arrondie au degr´e pr`es de la 3) Calculer la valeur exacte de la tangente de l’angle ACB, \ mesure de l’angle ACB.

Inde 2002 1) Tracer un demi-cercle (C) de centre O, de diam`etre [AB] tel que AB = 6cm. Placer M sur (C) tel que BM = 3, 6cm. 2) Justifier la nature du triangle AM B puis calculer AM . \ \ 3) Calculer sin M BA puis en d´eduire la mesure de M BA arrondie au degr´e. 4) P est le point de [AB] tel que P A = 4, 5cm. La parall`ele `a (M B) passant par P coupe [AM ] en R. Calculer AR et RP . 5) K est le point de [BM ] tel que BK = 0, 9cm. Montrer que les droites (P K) et (AM ) sont parall`eles.

Ouest septembre 2001 A

B

C L’unit´e de longueur est le centim`etre. On donne : BD = 7 ; AD = 12 ; \ = 50˚. BCD \ (on don1) Calculer la mesure de l’angle ADB nera le r´esultat arrondie au degr´e). 2) Calculer la longueur CD (on donnera le r´esultat arrondie au dixi`eme).

D

D. Le FUR

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15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE Polyn´ esie septembre 2001 C Dans cet exercice, l’unit´e de longueur est le centim`etre. ABC est un triangle rectangle en C. D est un point du segment [AB]. E est un point du segment [AC]. On donne : AC = 6 ; BC = 4, 5 ; AD = 4 ; (DE) // (BC).

E

A

B D 1) Reproduire la figure en grandeur r´eelle sur votre copie. 2) Prouver que AB = 7, 5. 3) Calculer AE. 4)

b a) Calculer le cosinus de l’angle A. b b) En d´eduire la mesure, arrondie au degr´e, de l’angle A.

D. Le FUR

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15 septembre 2003

TRIANGLE RECTANGLE 8

Session du brevet 2003

Nord 2003 L’unit´e de longueur est le centim`etre. RST est un triangle tel que RS = 6, 4 ; ST = 8 et RT = 4, 8. 1) Construire la figure en vraie grandeur. 2) D´emontrer que le triangle RST est rectangle en R. [. 3) Calculer la valeur arrondie au degr´e pr`es de la mesure de l’angle RST 4) M est le point du segment [SR] tel que SM = 4 et N est le point du segment [ST ] tel que SN = 5. a) D´emontrer que les droites (M N ) et (RT ) sont parall`eles. b) Calculer la distance M N .

Am´ erique du nord 2003 On consid`ere la figure ci-dessous (dimensions non respect´ees sur le dessin) : A

AI = 8cm BC = 12cm [ = 90˚ AIB I milieu de [BC].

B

I C 1) Refaire la figure en vraie grandeur. 2)

a) Calculer AB. [ b) Calculer sin ABI.

3) O est le point de [BC] tel que BO = 5cm. (C) est le cercle de centre O passant par B. Il recoupe [AB] en E et [BC] en F . a) Compl´eter la figure du 1. en tra¸cant le cercle (C) et en pla¸cant les points O, E et F . b) Quelle est la nature du triangle BEF ? Justifier.

Etrangers Bordeaux 2003 1) Construire un triangle ABC rectangle en B et tel que AB = 5cm et \ BAC = 60˚. 2) Calculer AC. 3)

a) Tracer la m´ediatrice de [AC] : elle coupe [AC] en I et [BC] en J. d b) Calculer l’angle IJB.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE Etrangers Lyon 2003 Dans un parc d’activit´es, une ´epreuve consiste ` a parcourir une certaine distance entre deux arbres, avec une tyrolienne (sorte de poulie qui permet de glisser le long d’un cˆ able). La situation est sch´ematis´ee dans un plan vertical par le triangle ABC ci-apr`es, o` u A et B d´esignent les points de fixation du cˆ able sur les arbres, le segment [AB] repr´esentant le cˆ able. On sait que le cˆ able mesure 75m de long, qu’il fait un angle de 5˚ avec l’horizontale repr´esent´ee par le segment [BC] sur le sch´ema. 1) Calculer la valeur arrondie au centim`etre de la A distance BC entre les deux arbres. 75m 5◦

C

2) En utilisant une relation trigonom´etrique, calculer la troncature au centim`etre de la diff´erence de hauteur entre les deux plateformes, repr´esent´ee par [AC] sur le sch´ema.

B

Guyane 2003 Dans cet exercice, les questions sont toutes ind´ependantes les unes des autres. On consid`ere la figure ci-contre.

D

\ = 50◦ , AD = 5cm, AC = 7cm. On donne BAC Les droites (EF ) et (DC) sont parall`eles et AE = 2, 5cm.

F

1) Reproduire la figure pr´ec´edente e vraie grandeur. A

2) Calculer la longueuer AB, arrondie au mm. E

3) Calculer la longueur DC, arrondie au mm. C

\ En d´eduire la mesure de l’angle ADC, \ arrondie au 4) Calculer tan ADC. degr´e. 5) Calculer la longueur AF , arrondie au mm.

B

Nord septembre 2002 1) Construire un triangle ABC tel que AB = 4, 2cm, AC = 5, 6cm et BC = 7cm. \ est un angle droit. 2) Montrer que BAC 3) A l’aide de sa tangente, calculer au degr´e pr`es la mesure de \ BAC. 4) Placer sur le segment [AC] le point M tel que BM = 5, 5cm. Calculer au mm pr`es la longueuer du segment [AM ].

Ouest septembre 2002 N A

M

O S

1)

I

L’unit´e de longueur est le centim`etre. Le dessin ci-contre repr´esente la coupe d’une maison. Le triangle M AI est isoc`ele, de sommet principal M . La droite perpendiculaire `a la droite (AI) passant par M coupe (AI) en S. On sait que : M S = 2, 5 et AI = 11.

a) Calculer AS. Justifier. \ b) Calculer la valeur arrondie ` a 0, 1 degr´e pr`es de la mesure de l’angle AM S.

2) Dans le toˆıt, il y a une fuite en N qui fait une tˆ ache en O, sur le plafond. La droite (N O) est perpendiculaire `a la droite (AI). AO = 4, 5. \ = 24˚. Pour effectuer les calculs, on prendra : OAN Calculer AN . On donnera la valeur arrondie `a 0, 1 pr`es.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE Martinique septembre 2002 E

O

I

U

Le quadrilat`ere EU RO est un losange de centre I. [ vaut 25˚et la diagonale [ER] mesure 10cm. L’angle IEU 1) Prouver que le triangle EIU est rectangle en I. 2) Calculer la valeur arrondie au centi`eme de cm de la longueur IU .

R

Nouvelle-Cal´ edonie d´ ecembre 2002 1) Tracer le triangle REC tel que : RE = 7, 5cm ; RC = 10cm et EC = 12, 5cm. 2) Montrer que le triangle REC est rectangle en R. 3) Calculer, valeurs arrondies au degr´e pr`es, les angles de ce triangle.

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE 9

Session du brevet 2004

Aix 2004 D

B

C A E Dans le triangle CDE : A est un point du segment [CE] ; B est un point du segment [CD]. Sur le sch´ema ci-dessus, les longueurs repr´esent´ees ne sont pas exactes. On donne AC = 8 cm ; CE = 20 cm ; BC = 6 cm ; CD = 15 cm et DE = 25 cm. 1) Montrer que les droites (AB) et (DE) sont parall`eles. 2) Le triangle CDE est-il rectangle ? Justifier. 3) Calculer AB. [ 4) Calculer la valeur arrondie au degr´e de l’angle CDE.

Bordeaux 2004 1) Construire le triangle EF G tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et F G = 13 cm. 2) Prouver que le triangle EF G est rectangle en E. \ 3) Calculer la mesure de l’angle EF G. Le r´esultat sera arrondi au degr´e pr`es. 4) Placer le point B sur le segment [ET ] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parall`ele au cˆ ot´e [F G]. Elle coupe le cˆ ot´e [EG] en M . 5) Calculer la valeur exacte de BM , puis en donner l’arrondi au mm pr`es.

Antilles 2004 ABC est un triangle tel que AB = 12 cm ; AC = 5 cm et BC = 13 cm. 1) Construire la figure en vraie grandeur. 2) D´emontrer que le triangle ABC est rectangle en A. 3) Calculer la tangente de l’angle \ ACB et d´eterminer la valeur de cet angle au degr´e pr`es. 4) M est le point de [AC] tel que AM = 3 cm et N le point de [AB] tel que AN = 7, 2 cm. a) D´emontrer que les droites (M N ) et (BC) sont parall`eles. b) Calculer la distance M N .

Groupe Nord 2004 1) Tracer sur la copie un segment [EF ] de longueur 7 cm et de milieu O. \ Tracer le cercle de diam`etre [EF ] puis placer un point G sur le cercle tel que F EG = 26˚. 2) D´emontrer que le triangle EF G est rectangle en G. 3) Calculer une valeur approch´ee de la longueur F G, arrondie au millim`etre. \ (justifier votre r´eponse). 4) D´eterminer la mesure de l’angle GOF

D. Le FUR

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TRIANGLE RECTANGLE Versailles 2004 Les segments [CA] et [U I] se coupent en M . On a : M O = 21, M A = 27, M U = 28, M I = 36, AI = 45 (l’unit´e de longueur ´etant le millim`etre).

U

1) Prouver que les droites (OU ) et (AI) sont parall`eles.

O

M

2) Calculer la longueur OU . 3) Prouver que le triangle AM I est un triangle rectangle. 4) D´eterminer, `a un degr´e pr`es, la mesure de l’angle \ AIM . \ \ 5) Montrer que les angles M AI et M OU ont la mˆeme mesure.

A

I

2004

D. Le FUR

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