Tri Go No Me Tri A

Sen a = cateto oposto hipotenusa Cos a = cateto adjacente hipotenusa

Cateto oposto

1. Razões trigonométricas hi po

te n

us

a a

Cateto adjacente

tan a = cateto oposto cateto adjacente

Determinar as razões trigonométricas

Sen a = 9 =0,6 15 cos a = 12 =0,8 15 tan a = 9 =0,75 12

9 cm

Exemplo 1:

15cm

a

a = 36,87

12 cm

2. Determinação da amplitude de um ângulo Exemplo 1:

sen a = cateto oposto = 3 = 0,5 hipotenusa 6

cm

3 cm

6

a

a = sen-1 (0,5) = 30º

2. Determinação da amplitude de um ângulo

tan a = cateto oposto = 12 = 2,4 cateto adjacente 5

12 cm

Exemplo 2:

a

a = tan-1 (2,4) = 67,38º

5 cm

2. Determinação da amplitude de um ângulo Exemplo 3:

cos a = cateto adjacente = 6 = 0,6 hipotenusa 10 10 cm

a

a = cos-1 (2,4) = 53,13º

6 cm

3. Determinação de distâncias inacessíveis A Descolagem do Avião Determinar a distância (d) percorrida na horizontal, e a altura (a) atingida pelo avião 5 segundos após a descolagem. Resolução: Analisando o esquema acima (triângulo rectângulo) indica: O que é dado: ângulo = 20o hipotenusa= 400 m

O que queres saber: 1. A distancia percorrida na horizontal (d) 2. A altura atingida (a) Matemática 9º ano

1. A distancia percorrida da horizontal (d) Cálculo do cateto adjacente (d)

Co-seno o comprimento do cateto adjacente ao ângulo 20 cos 20o = comprimento da hipotenusa

d 0,94 = ⇔ 400 ⇔ d = 0,94 × 400 ⇔ ⇔ d = 376m

2. A altura atingida (a) Cálculo do cateto oposto (a) Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa? seno o comprimento do cateto oposto ao ângulo 20 sen20o = comprimento da hipotenusa

a 0,34 = ⇔ 400 ⇔ a = 0,34 × 400 ⇔ ⇔ a = 136m

Resolve o seguinte triângulo rectângulo A

4 cm

B

Determinar os ângulos desconhecidos:

ˆ = 90º ABC 4 senx = ⇔ senx = 0,571 7 ˆ =180º -35º -90º = 55º CAB

7 cm

x

X = 35º

C Determinar o lado desconhecido:

AB = 4cm AC = 7cm

BC cos 35º = ⇔ BC = cos 35º × 7 ⇔ 7 ⇔ BC ; 0,819 × 7 ⇔ BC ; 5, 733cm

C

5. Relação entre as razões trigonométricas do mesmo ângulo c

b

B

a

Dado o triângulo [ABC], sabemos por definição que:

α

b senα = c A

a cosα = c

tgα =

b a

Vamos calcular o seguinte quociente:

senα = cos α

b c b = = × = c a a Conclusão:

senα = tgα cos α

RELAÇÃO ENTRE O SENO E O CO-SENO DO MESMO ÂNGULO

C

Vamos calcular

( senα ) 2 + ( cos α ) 2

Escrita simplificada

= sen α + cos α 2

2

2

æö ÷ =ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø

c2 = 2 c =1

b

2

æö ÷ ÷ + ç ç ÷ ÷ ç è ø

b2 a2 = 2+ 2 c c b2 + a2 = c2

c

Pelo Teorema de Pitágoras:

b2 + a2 = c2

B

a

b senα = c Portanto:

α

A

cosα =

sen 2α + cos 2 α = 1 Fórmula fundamental da trigonometria

a c

Exercício Seja sen α = 0,6 e α um ângulo agudo, determina tg α .

Resolução: Determinação do co-seno

sen 2α + cos 2 α = 1

0,6 2 + cos 2 α = 1 cos 2 α = 1 − 0,6 2

cos 2 α = 0,64 cos α = ± 0,64 cos α = ±0,8 Como cos α é positivo, vem

cos α = 0,8

Determinação da tangente Sabemos que:

senα = 0,6

cos α = 0,8

Então:

senα 0,6 = 0,75 = tgα = cos α 0,8 Resposta: tg α =0,75