Tri Go 2

(3‫اﻟﺤﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ )ج‬ ‫ ﺻﻴﻎ اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ‬-I cos ( x + y ) ‫ و‬cos ( x − y ) ‫ ﺕﺤﻮﻳﻞ‬-1 G G

( C ) ‫ ( ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ﻡﺮﺕﺒﻂ ﺏﺎﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬O; i ; j ) ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬y ‫ و‬x ‫ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ أﻓﺼﻮﻟﻴﻬﻤﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬M ' ‫ و‬M ‫ و ﻟﺘﻜﻦ‬.‫ ﻋﺪدﻳﻦ ﺡﻘﻴﻘﻴﻴﻦ‬y ‫ و‬x ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ M ' ( cos y;sin y ) ‫ و‬M ( cos x;sin x ) ‫وﻡﻨﻪ‬ JJJJG JJJJJG OM ⋅ OM ' = cos x.cos y + sin x.sin y ‫وﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ JJJJG JJJJJG JJJJJG JJJJG OM ⋅ OM ' = OM .OM 'cos ( x − y ) ‫ ﻓﺎن‬OM '; OM ≡ x − y [ 2π ] ‫و ﺡﻴﺚ أن‬

(

)

JJJJG JJJJJG OM ⋅ OM ' = cos ( x − y ) ‫ ﻓﺎن‬OM = OM ' = 1 ‫و ﺏﻤﺎ أن‬ cos ( x − y ) = cos x.cos y + sin x.sin y ‫إذن‬ cos ( x + y ) ‫ﺕﺤﻮﻳﻞ‬

cos ( x + y ) = cos ( x − (− y ) ) cos ( x + y ) = cos x.cos y + sin x.sin(− y ) cos ( x + y ) = cos x.cos y − sin x.sin y sin ( x + y ) ‫ و‬sin ( x − y ) ‫ ﺕﺤﻮﻳﻞ‬-2

π  sin ( x − y ) = cos  − ( x − y )  2   π   sin ( x − y ) = cos   − x  + y    2  π  π  sin ( x − y ) = cos  − x  cos y − sin  − x  sin y 2  2  sin ( x − y ) = sin x.cos y − cos x.sin y sin ( x + y ) ‫ﺕﺤﻮﻳﻞ‬

‫ﺧﻼﺻﺔ‬ cos ( x + y ) = cos x.cos y − sin x.sin y

cos ( x − y ) = cos x.cos y + sin x.sin y sin ( x + y ) = sin x.cos y + cos x.sin y sin ( x − y ) = sin x.cos y − cos x.sin y

tan ( x − y ) ‫ و‬tan ( x + y ) ‫ ﺕﺤﻮﻳﻞ‬-3

k ∈ ] ‫ ﺡﻴﺚ‬x + y ≠

π 2

+ kπ ‫ و‬y ≠

π 2

+ kπ ‫ و‬x ≠

π 2

+ kπ ‫ ﻋﺪدﻳﻦ ﺡﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﺏﺤﻴﺚ‬y ‫ و‬x ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

. tan x.tan y ≠ 1 ‫و‬ tan ( x + y ) =

sin ( x + y )

cos ( x + y )

sin x.cos y + cos x.sin y cos x.cos y − sin x.sin y sin x.cos y + cos x.sin y cos x.cos y tan ( x + y ) = cos x.cos y − sin x.sin y cos x.cos y tan x + tan y tan ( x + y ) = 1 − tan x.tan y tan ( x + y ) =

tan ( x − y ) ‫ﺕﺤﻮﻳﻞ‬

tan ( x − y ) = tan ( x + (− y ) ) tan x + tan − y 1 − tan x.tan − y tan x − tan y tan ( x − y ) = 1 + tan x.tan y tan ( x − y ) =

‫ﺧﻼﺻﺔ‬ tan ( x + y ) =

tan x + tan y 1 − tan x.tan y

tan ( x − y ) =

tan x − tan y 1 + tan x.tan y

‫ﺕﻤﺮﻳﻦ‬ (

π 4

+

π 3

=

7π ‫)ﻻﺡﻆ أن‬ 12

7π ‫أﺡﺴﺐ اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد‬ 12

‫ﺕﻤﺮﻳﻦ‬ π  cos  − x  ‫ ﺏﺪﻻﻟﺔ‬cos x + sin x ‫أآﺘﺐ‬ 4 

‫ ﻧﺘﺎﺋﺞ‬-II ‫ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬x = y ‫ ﻓﻲ ﺻﻴﻎ اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ اﻟﺴﺎﺏﻘﺔ ﺏﻮﺿﻊ‬-1

sin 2 x = 2sin x cos x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x cos 2 x = 2cos 2 x − 1 cos 2 x = 1 − 2sin 2 x 2 tan x tan 2 x = 1 − tan 2 x

‫ﺕﻤﺮﻳﻦ‬ π 8

‫أﺡﺴﺐ اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫ﺕﻤﺮﻳﻦ‬

sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x

‫ و‬cos3x = 4cos3 x − 3cos x ‫ﺏﻴﻦ أن‬

t = tan

x ‫ ﺏﺪﻻﻟﺔ‬x ‫ ﺕﺤﺪﻳﺪ اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد‬-2 2 cos x = cos 2

x x − sin 2 2 2

x − sin 2 2 cos x = x cos 2 + sin 2 2 cos 2

cos x =

2

1− t 1+ t2

x 2 ‫ أي‬cos x = x 1 + tan 2 2

sin x =

1 − tan 2

‫ وﻡﻨﻪ‬cos 2

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

x 2 x 2

x ‫ﻧﻘﺴﻢ اﻟﺒﺴﻂ و اﻟﻤﻘﺎم ﺏﺎﻟﻌﺪد‬ 2

2t x x x ‫ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﻌﻼﻗﺎت‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬ ‫اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫و‬ sin = 2sin .cos 2 2 1+ t2

‫ﺧﻼﺻﺔ‬ tan tan x =

2t ‫و‬ 1− t2

sin x =

2t 1+ t2

‫و‬

x = t ‫ﺏﻮﺿﻊ‬ 2

cos x =

1− t2 1+ t2

‫ ﺕﺤﻮﻳﻞ ﻡﺠﻤﻮع إﻟﻰ ﺟﺪاء‬- III ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ cos ( x + y ) + cos ( x − y ) = 2cos x cos y cos ( x + y ) − cos ( x − y ) = −2sin x sin y sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = 2sin x cos y sin ( x + y ) − sin ( x − y ) = 2cos x sin y

y=

x− y p+q ‫ و‬x= ‫أي أن‬ q 2

x − y = q ‫ و‬x + y = p ‫ﺏﻮﺿﻊ‬

‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ‬ p+q p−q cos 2 2 p+q p−q cos p − cos q = −2sin sin 2 2 p+q p−q sin p + sin q = 2sin cos 2 2 p+q p−q sin p − sin q = 2cos sin 2 2 cos ( p ) + cos ( q ) = 2cos

‫ﺕﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺟﺪ اء‬cos3x + cos 7 x ‫أآﺘﺐ‬ ‫ﺕﻤﺮﻳﻦ‬ ABC ‫ﻓﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺜﻠﺚ‬

l l l l + sin C l = 4cos A × cos B × cos C ‫ﺏﻴﻦ أن‬ A + sin B sin l 2 2 2

‫ﺕﻤﺮﻳﻦ‬ sin 2

5x 3x − cos 2 = − cos 4 x.cos x ‫ﺏﻴﻦ أن‬ 2 2

‫ ﺕﺤﻮﻳﻞ ﺟﺪاء اﻟﻰ ﻡﺠﻤﻮع‬-VI ‫ﻡﻤﺎ ﺱﺒﻖ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ 1 cos ( x + y ) + cos ( x − y )  2 1 sin x sin y = − cos ( x + y ) − cos ( x − y )  2 cos x cos y =

cos x sin y =

1 sin ( x + y ) − sin ( x − y )  2

‫ﺕﻤﺮﻳﻦ‬ sin 2 x.sin 3 x.sin 5 x

:‫أآﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻡﺠﻤﻮع اﻟﺠﺪاء‬

a cos x + b sin x + c = 0 ‫ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬-V a cos x + b sin x ‫ ﺕﺤﻮﻳﻞ‬-1 b ≠ 0 ‫ و‬a ≠ 0 ‫ ﺡﻴﺚ‬a cos x + b sin x ‫ﻟﻴﻜﻦ اﻟﺘﻌﺒﻴﺮ‬

]−π ;π ] ‫ ﻡﻦ‬α

‫ﻧﻌﻠﻢ أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ‬

a  cos α = a 2 + b2  ‫ﺡﻴﺚ‬  b  sin α =  a 2 + b2 a cos x + b sin x = r ( cos α cos x + sin α sin x ) ‫ وﻡﻨﻪ‬r = a 2 + b 2 ‫ﻧﻀﻊ‬ a cos x + b sin x = r cos ( x − α )

(E) :

a cos x + b sin x + c = 0 ‫ ﺡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬-2 b≠0 ‫و‬

r cos ( x − α ) = −c ‫وﻡﻨﻪ‬

a ≠ 0 ‫ﺡﻴﺚ‬

a cos x + b sin x + c = 0

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

a  = cos α  a 2 + b2  2 2 r = a +b ‫و‬ ‫ﺡﻴﺚ‬ b  sin α =  a 2 + b2

cos ( x − α ) =

−c ‫و ﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ r ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

−1 ≤

−c c ≤1⇔ ≤1 r r ⇔ c2 ≤ r 2 ⇔ c2 ≤ a 2 + b2 :‫و ﻡﻨﻪ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

x = − x0 + α + 2kπ ‫ أو‬x = x0 + α + 2kπ :‫ ( هﻲ‬E ) ‫ ﻓﺎن ﺡﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬c 2 ≤ a 2 + b 2 ‫ إذا آﺎن‬-* cos x0 =

−c a 2 + b2

‫ و‬k ∈ ] ‫ﺡﻴﺚ‬

.‫ ( ﻻ ﺕﻘﺒﻞ ﺡﻼ‬E ) ‫ ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬c 2 ; a 2 + b 2 ‫ إذا آﺎن‬-*

x ∈ \ cos x + 3 sin x = −1 r = 12 +

‫ﻡﺜﺎل ﺡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

( ) 3

2

= 2 ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

1  3 cos x + 3 sin x = 2  cos x + sin x  ‫وﻡﻨﻪ‬ 2 2 

π π   cos x + 3 sin x = 2 cos cos x + sin sin x  3 3   π  cos x + 3 sin x = 2cos  x −  3 

π  −1  cos x + 3 sin x = −1 ⇔ cos  x −  = ‫وﻡﻨﻪ‬ 3 2  ..................................................................... ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‬

k ∈ ] ‫ و‬x ≠ π + 2kπ ‫ ﺏﺤﻴﺚ‬tan

x = t ‫ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻀﻊ‬، \ ‫ ﻓﻲ‬a cos x + b sin x + c = 0 ‫ﻟﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ 2

‫وﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺏﻘﺔ ﺕﺼﺒﺢ‬  1− t2 2t + +c =0 b . a. 1+ t2 1+ t2   tan x = t t∈\  2

‫ﻧﺤﻞ اﻟﻤﺜﺎل ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺴﺎﺏﻘﺔ ﺕﺼﺒﺢ‬ 1 − t 2 2t + 3 = −1 ( E )  2 1+ t 1+ t2   t = tan x x ≠ π + 2kπ  2

(E) ⇔ 1− t2 + 2 (E) ⇔ t = −

3t = −1 − t 2

3 3 x 3 x −π = + kπ ‫ و ﻡﻨﻪ‬tan = − ‫و ﺏﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ 2 3 2 6

 −π  + 2kπ / k ∈ ]  ‫وﻡﻨﻪ‬ S =  3 

x=−

π 3

+ 2kπ ‫إذن‬

‫ ﺡﻞ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬-3 ‫ﺡﻞ اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

x ∈ [ −π ; 2π ] cos 2 x − 3 sin 2 x ; − 2 x ∈ [ −π ; π ] sin x + sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x ≥ 0 x ∈ [ 0;2π [

tan 2 x ≤ tan x