Tri Go 1

‫اﻟﺤﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‬ ‫‪ -I‬ﺗﺬآﻴﺮ‬ ‫وﺣﺪات ﻗﻴﺎس اﻟﺰواﻳﺎ ﻟﻘﻴﺎس اﻟﺰواﻳﺎ هﻨﺎك ﺛﻼث وﺣﺪات هﻲ اﻟﺪرﺟﺔ و اﻟﻐﺮاد و اﻟﺮادﻳﺎن‪.‬‬ ‫اﻟﺮادﻳﺎن هﻮ ﻗﻴﺎس زاوﻳﺔ ﻣﺮآﺰﻳﺔ‪ ،‬ﻓﻲ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ ، R‬ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺳﺎ داﺋﺮﻳﺔ ﻃﻮﻟﻬﺎ ‪. R‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺮادﻳﺎن‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪rd‬‬ ‫‪ : gr ) π rd = 200 gr = 180‬ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻠﻐﺮاد(‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫إذا آﺎن ‪ x‬ﻗﻴﺎس زاوﻳﺔ ﺑﺎﻟﺮادﻳﺎن و ‪ y‬ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ و ‪ z‬ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ ﺑﺎﻟﻐﺮاد ﻓﺎن‬ ‫‪π 180 200‬‬ ‫ﻗﻴﺎس ﻗﻮس هﻨﺪﺳﻴﺔ ﻗﻴﺎس ﻗﻮس هﻨﺪﺳﻴﺔ هﻮ ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﺼﺮﻩ‪.‬‬ ‫ﻃﻮل ﻗﻮس هﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎن ‪ α‬ﻗﻴﺎس ﻗﻮس هﻨﺪﺳﻴﺔ ﺑﺎﻟﺮادﻳﺎن‪ ،‬ﻓﻲ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ ، R‬ﻓﺎن ﻃﻮل هﺬﻩ اﻟﻘﻮس هﻮ ‪. α R‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻃﻮل ﻗﻮس هﻨﺪﺳﻴﺔ‪ ،‬ﻓﻲ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ 1‬هﻮ ﻗﻴﺎس هﺬﻩ اﻟﻘﻮس‪.‬‬ ‫‪ -II‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ – اﻷﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ – اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة و ‪ I‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﺪاﺋﺮة ‪.‬‬ ‫ﻟﻮ أردﻧﺎ أن ﻧﻨﻄﻠﻖ ﻣﻦ ‪ I‬ﻟﻨﺪور ﺣﻮل ) ‪ ، (C‬ﻟﻮﺟﺪﻧﺎ أﻧﻔﺴﻨﺎ أﻣﺎم ﻣﻨﺤﻴﻴﻦ ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﺪاﺋﺮة ) ‪ (C‬هﻮ اﺧﺘﻴﺎر أﺣﺪ اﻟﻤﻨﺤﻴﻴﻦ ﻣﻨﺤﻰ ﻣﻮﺟﺒﺎ ) أو ﻣﺒﺎﺷﺮا(‬ ‫و اﻵﺧﺮ ﻣﻨﺤﻰ ﺳﺎﻟﺒﺎ ) أو ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ(‪.‬‬ ‫ﻋﺎدة ﻧﺄﺧﺬ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻌﺎآﺲ ﻟﺤﺮآﺔ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﺗﺴﻤﻰ أﺻﻞ اﻟﺪاﺋﺮة ) ‪. (C‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺟﻤﻴﻊ دواﺋﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﻮﺟﻴﻬﺎ ﻣﻮﺣﺪا ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻮﺟﻪ‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ هﻲ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‪ 1‬ﻣﺰودة ﺑﻨﻘﻄﺔ أﺻﻞ و ﻣﻮﺟﻬﺔ ﺗﻮﺟﻴﻬﺎ ﻣﻮﺟﺒﺎ‪.‬‬ ‫‪ -3‬اﻷﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪ (C‬أﺻﻠﻬﺎ ‪ .I‬و ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ) ‪(C‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﻃﺮﻓﺎﻩ ‪ I‬و ‪ M‬ﺑﺎﻟﺬهﺎب ﻣﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫‪( IOM = α‬‬ ‫) ‪; 0 ≤ α ≺ 2π‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪1‬‬ ‫إذا أردﻧﺎ اﻟﺬهﺎب ﻣﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﺳﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻟﻠﻤﺮة اﻷوﻟﻰ‬ ‫ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪ α‬وإذا ﺗﺎﺑﻌﻨﺎ اﻟﺘﺤﺮك ﻓﺈﻧﻨﺎ ﺳﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻟﻠﻤﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ‬ ‫)ﻷن ﻣﺤﻴﻂ اﻟﺪاﺋﺮة هﻮ ‪ ( 2π‬و ﻓﻲ اﻟﻤﺮة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﺳﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ‬ ‫‪α + 2π‬‬ ‫) ∈ ‪ ( k‬ﺳﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ‬ ‫‪ ........... α + 2 ( 2π ) = α + 4π‬وﻓﻲ اﻟﻤﺮة ‪k + 1‬‬ ‫‪. α + 2k π‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪2‬‬ ‫إذا أردﻧﺎ اﻟﺬهﺎب ﻣﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻠﻰ‬

‫) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﺳﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻟﻠﻤﺮة اﻷوﻟﻰ ﻋﻨﺪ‬

‫ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪ 2π − α‬وإذا ﺗﺎﺑﻌﻨﺎ اﻟﺘﺤﺮك ﻓﺈﻧﻨﺎ ﺳﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻟﻠﻤﺮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ‬ ‫) * ∈ ' ‪ ( k‬ﺳﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪. −α + 2k ' π‬‬ ‫‪ ........ 4π − α‬وﻓﻲ اﻟﻤﺮة ' ‪k‬‬ ‫ﻟﻜﻲ ﻧﻤﻴﺰ ﺑﻴﻦ هﺎﺗﻴﻦ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﻟﻠﺘﻨﻘﻞ ﻣﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ ، M‬ﻧﻘﻮل إﻧﻨﺎ ﻗﻄﻌﻨﺎ ﻣﺴﺎرا ﻃﻮﻟﻪ )أو ﻗﻴﺎﺳﻪ (‬ ‫‪α + 2k π‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ‪ ,‬وﻣﺴﺎرا ﻃﻮﻟﻪ ) ‪ -( −α + 2k ' π‬أي ‪ α − 2(− k ')π‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ‪.‬‬ ‫∈ ‪.λ‬‬ ‫و ﻓﻲ آﻠﺘﺎ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﻓﺎن ﻗﻴﺎس اﻟﻤﺴﺎر ﻟﻠﺬهﺎب ﻣﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬هﻮ ‪α + 2λπ‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪ (C‬أﺻﻠﻬﺎ ‪.I‬‬ ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪1‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫و ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﻃﺮﻓﺎﻩ ‪ I‬و ‪ M‬ﺑﺎﻟﺬهﺎب ﻣﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ‪.‬‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ أﻓﺼﻮﻻ ﻣﻨﺤﻨﻴﺎ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪.M‬‬ ‫آﻞ ﻋﺪد ﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ α + 2k π‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ k‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ أﺻﻠﻬﺎ ‪ . I‬ﺣﺪد اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻂ‬ ‫‪ B; A';A; J'; J; I';I‬اﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ آﻤﺎﻳﻠﻲ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪34π‬‬ ‫أﻓﺼﻮل ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ . M‬أﻧﺸﺊ ‪M‬‬ ‫) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ أﺻﻠﻬﺎ ‪ . I‬ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫‪3‬‬ ‫ب‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺎت و ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﺑﺤﻴﺚ ‪x − y = 2λπ‬‬ ‫ إذا آﺎن ‪ x‬و ‪ y‬أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ ﻣﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻓﺎﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮ ‪ λ‬ﻣﻦ‬‫و ﻧﻜﺘﺐ ] ‪ x ≡ y [ 2π‬و ﻧﻘﺮأ ‪ x‬ﻳﺴﺎوي ‪ y‬ﺑﺘﺮدﻳﺪ ‪. 2π‬‬ ‫ إذا آﺎن ‪ x‬أﻓﺼﻮل ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻓﺎن ﺟﻤﻴﻊ اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ‬‫‪ x + 2k π‬ﺣﻴﺚ ∈ ‪. k‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ أﻓﺼﻮل ﻣﻨﺤﻨﻲ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ ]−π ; π‬ﻳﺴﻤﻰ اﻷﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪.M‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬

‫إذا رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻸﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪α‬‬ ‫و رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻄﻮل اﻟﻘﻮس ‪  IM ‬ﺑﺎﻟﻌﺪد اﻟﻤﻮﺟﺐ ‪ l‬ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫* ‪ α = l‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ M‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﺼﻒ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ IJI '‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫* ‪ α = −l‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ M‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﺼﻒ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ IJ ' I '‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪−227π‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد اﻷﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ إﺣﺪى أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻣﺜﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ C ; B ; A‬اﻟﺘﻲ أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻲ‬ ‫‪−108π‬‬ ‫‪37π‬‬ ‫;‬ ‫‪; 7π‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π kπ‬‬ ‫‪ − +‬ﺣﻴﺚ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ أﻧﺸﺊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M k‬اﻟﺘﻲ أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪α‬‬

‫‪ -4‬اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻧﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻷﺻﻞ‬

‫اﻟﺰوج )) ‪ ([O ; x [ ;[O ; y‬ﻳﺤﺪد زاوﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪(Ox ;Oy‬‬ ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪2‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫∈‪. k‬‬

‫ب‪ -‬ﻗﻴﺎﺳﺎت زاوﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ وﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (Ox ;Oy‬زاوﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ،‬و ) ‪(C‬‬ ‫ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ A ، O‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (C‬و ﻧﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ [ ‪ [O ; x‬و [ ‪[O ; y‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬و ‪ β‬أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ ﻣﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ﻟﻠﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪.‬‬

‫داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫)‬

‫آﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ β − α + 2k π‬ﺣﻴﺚ‬

‫(‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬

‫∈ ‪ k‬ﻳﺴﻤﻰ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‬

‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪. Ox ;Oy‬‬

‫ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻘﻴﺎﺳﺎت اﻟﺰاوﻳﺔ ) ‪ (Ox ;Oy‬ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪(Ox ;Oy‬‬ ‫و ﻧﻜﺘﺐ أﻳﻀﺎ ] ‪(Ox ;Oy ) ≡ β − α [ 2π‬‬

‫ﻧﻜﺘﺐ‬

‫∈‪k‬‬

‫‪(Ox ;Oy ) = β − α + 2k π‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ و ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﻜﻞ زاوﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻗﻴﺎس وﺣﻴﺪ ﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ ]−π ; π‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻬﺬﻩ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎن‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ θ‬ﻗﻴﺎس ﻟﻠـﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ )‬

‫(‬

‫‪ Ox ;Oy‬ﻓﺎن ‪ θ + 2k π‬ﺣﻴﺚ‬

‫∈ ‪ k‬ﻗﻴﺎس‬

‫ﻟﻠﺰاوﻳﺔ ‪. Ox ;Oy‬‬ ‫إذا آﺎن‬

‫‪ α‬و ‪ β‬ﻗﻴﺎﺳﻴﻦ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ )‬ ‫أي ) ‪α − β = 2k π‬‬

‫‪/‬‬

‫(‬

‫‪ Ox ;Oy‬ﻓﺎن ‪2π‬‬

‫‪α −β ≡0‬‬

‫∈ ‪(k‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬ ‫* إذا آﺎﻧﺖ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ أﺻﻠﻬﺎ ‪ I‬و ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ O‬ﻓﺎن اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬هﻲ‬

‫ﻗﻴﺎﺳﺎت اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ) ‪(OI ;OM‬‬

‫* اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ) ‪ (Ox ;Oy‬هﻲ ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ )‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪3‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫(‬

‫‪. xOy‬‬

‫ﺑﻌﺾ اﻟﺰواﻳﺎ اﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ‬

‫] ‪[ 2π‬‬ ‫] ‪[ 2π‬‬

‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‬

‫)‬

‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫‪-‬‬

‫‪(Ox ;Oy ) ≡ π2‬‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫‪-‬‬

‫‪(Ox ;Ox ) ≡ 0‬‬ ‫‪(Ox ;Oy ) ≡ π‬‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫‪(Oy ;Ox ) ≡ π‬‬

‫‪.‬‬

‫(‬

‫‪ Ox ;Oy‬زاوﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬

‫‪(Ox ;Oy ) ≡ − π2‬‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬

‫)‬

‫‪.‬‬

‫(‬

‫‪ Ox ;Oy‬زاوﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ‪.‬‬

‫‪601π‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻘﻴﺎﺳﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻗﻴﺎﺳﺎت ﻧﻔﺲ اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ -2‬ﻣﺎ هﻮ اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﺰاوﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ أﺣﺪ اﻟﻘﻴﺎﺳﺎت‬ ‫‪25π‬‬ ‫‪52π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫;‬ ‫‪; −36π ; 47π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−234π‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ -3‬أﻧﺸﺊ زاوﻳﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ‪ Ox ;Oy‬ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬ ‫‪5‬‬

‫)‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫(‬

‫أﻧﺸﺊ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع ﺣﻴﺚ‬

‫ج‪ -‬ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل وﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬و‬

‫;‬

‫‪−143π‬‬ ‫‪6‬‬

‫;‬

‫‪25π‬‬ ‫‪6‬‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫‪( AB ; AC ) ≡ − π3‬‬

‫[ ‪ [O ; z‬ﺛﻼﺛﺔ أﻧﺼﺎف ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ اﻷﺻﻞ ﻓﺎن‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫) ‪(Ox ;Oy ) + (Oy ;Oz ) ≡ (Ox ;Oz‬‬

‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫* اذا آﺎن‬

‫[ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻧﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﺎن ] ‪(Ox ;Oy ) ≡ − (Oy ;Ox ) [ 2π‬‬ ‫* اذا آﺎﻧﺖ [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬و [ ‪ [O ; z‬ﺛﻼﺛﺔ أﻧﺼﺎف ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺗﺤﻘﻖ ] ‪(Ox ;Oy ) ≡ (Ox ;Oz ) [ 2π‬‬ ‫ﻓﺎن [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻧﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‪.‬‬ ‫و هﺬا ﻳﻌﻨﻲ أﻧﻪ اذا آﺎن [ ‪ [Ox‬ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ‪ α‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻓﺎﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ‬ ‫[ ‪ [O ; y‬ﺑﺤﻴﺚ‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪. Ox ;Oy ≡ α‬‬

‫د‪ -‬زاوﻳﺔ زوج ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻮﺟﻪ ‪.‬‬ ‫و [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻧﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻬﻴﻦ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪.v‬‬

‫زاوﻳﺔ زوج اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ) ‪ (u ;v‬هﻲ اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ) ‪ (Ox ;Oy‬و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) (‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻗﻴﺎﺳﺎت اﻟﺰاوﻳﺔ ) ‪ (u ;v‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻗﻴﺎﺳﺎت اﻟﺰاوﻳﺔ ) ‪(u ;v ) ≡ (Ox ;Oy ) [ 2π ] . (Ox ;Oy‬‬ ‫‪. u ;v‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪4‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ O‬و أﺻﻠﻬﺎ ‪ . I‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻋﻠﻰ ) ‪ (C‬اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﺄﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬

‫‪ −17π ‬‬ ‫‪ 23π ‬‬ ‫‪ 3π ‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫) ‪A (π‬‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 ‬‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫أﻋﻂ ﻗﻴﺎﺳﺎ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺰاوﻳﺎ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺛﻢ ﺣﺪد اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻜﻞ ﻣﻨﻬﻦ‬

‫) ‪(OE ;OF ) ; (OA ;OE ) ; (OB ;OA ) ; (OA ;OA‬‬

‫‪ -5‬اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ O‬و أﺻﻠﻬﺎ ‪ . I‬وﻟﺘﻜﻦ ‪ J‬ﻣﻦ‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬

‫اﻟﻤﻌﻠﻢ )‬

‫(‬

‫) ‪(C‬‬

‫ﺑﺤﻴﺚ )‬

‫(‬

‫‪ OI ;OJ‬زاوﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ‬

‫‪ O ;OI ;OJ‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪. (C‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ' ‪ J‬ﻣﻦ‬

‫) ‪(C‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫ﺑﺤﻴﺚ ' ‪ OI ;OJ‬زاوﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺳﺎﻟﺒﺔ ‪.‬‬

‫(‬

‫اﻟﻤﻌﻠﻢ ' ‪ O ;OI ;OJ‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪. (C‬‬ ‫‪ -III‬اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪ -1‬اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ و‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ O ;OI ;OJ‬اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﻬﺎ‪ .‬ﻟﺘﻜﻦ ‪M‬‬

‫) ‪(OI‬‬

‫و ‪ x‬أﻓﺼﻮﻻ ﻣﻨﺤﻨﻴﺎ ﻟﻬﺎ ‪ .‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ C‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ M‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬

‫) ‪(OJ‬‬

‫)‬

‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ) ‪(C‬‬

‫و ‪ S‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪M‬‬

‫(‬

‫*‪ -‬اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ OC‬أﻓﺼﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O ;OI ;OJ‬ﻳﺴﻤﻰ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎم اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪x‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ ‪cos x = OC‬‬

‫*‪ -‬اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ OS‬أرﺗﻮب اﻟﻨﻘﻄﺔ‬

‫‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ )‬

‫(‬

‫‪ O ;OI ;OJ‬ﻳﺴﻤﻰ ﺟﻴﺐ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. x‬‬

‫ﻧﻜﺘﺐ ‪sin x = OS‬‬

‫*‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ ∆ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ ‪ . I‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ T‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬

‫)‬

‫‪ (OM‬و ∆ أي ‪+ k π‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫≠ ‪x‬‬

‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ IT‬هﻮ ﻇﻞ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ . x‬ﻧﻜﺘﺐ ‪tan x = IT‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪5‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫∈‪k‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ و اﺻﻄﻼﺣﺎت‬ M ( cos x ;sin x ) ‫ ﻓﺎن‬M ‫ أﻓﺼﻮل ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻟﻨﻘﻄﺔ‬x ‫ إذا آﺎن‬cos ‫ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ‬

‫ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ ﺟﻴﺐ اﻟﺘﻤﺎم ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬

sin ‫ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ‬

‫ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﺠﻴﺐ ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬

π  −  + k π / k ∈  ‫ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﻈﻞ ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬ 2 

tan ‫ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ‬

∀x ∈

cos x + sin x = 1

→ x → cos x → x → sin x → x → tan x

‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

-

‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

-

‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

-

‫ ﺧﺎﺻﻴﺎت‬-2 -*

−1 ≤ cos x ≤ 1 −1 ≤ sin x ≤ 1 sin x π  tan x = ∀x ∈ −  + k π / k ∈  cos x 2  ‫ أﻓﺎﺻﻴﻞ ﻣﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻨﻔﺲ‬، k ∈ ‫ ﺣﻴﺚ‬x + 2k π ‫ ﻧﻌﻠﻢ أن ﺟﻤﻴﻊ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻜﺘﺐ‬-* M ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ∀x ∈ cos ( x + 2k π ) = cos x ; sin ( x + 2k π ) = sin x 2

∀x ∈

2

tan x = IT ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬M ( x + k π ) ‫ ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ‬-

π  tan ( x + k π ) = tan x − +kπ /k ∈  2  π  tan ( x + π ) = tan x ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬ ∀x ∈ −  + k π / k ∈  2  ‫ ﺑﺘﻮﻇﻴﻒ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬-* ‫ زوﺟﻴﺔ و‬cos ‫∀ ﻧﻌﺒﺮﻋﻦ هﺬا ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ‬x ∈ cos ( − x ) = cos x ; sin ( − x ) = − sin x ¾ ∀x ∈

‫أن اﻟﺪاﻟﺔ‬ .‫ ﻓﺮدﻳﺔ‬sin .‫ ﻓﺮدﻳﺔ‬tan ‫∀ ﻧﻌﺒﺮﻋﻦ هﺬا ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ‬x ∈ ∀x ∈ ∀x ∈

∀x ∈ ∀x ∈

x

0

sinx

0

cosx

1

tanx

0

π  tan ( − x ) = − tan x − +kπ /k ∈  2  sin (π − x ) = sin x ; cos (π − x ) = − cos x sin (π + x ) = − sin x

π

π

π

6 1 2

4 2 2 2 2

3 3 2 1 2

2

1

3

http://arabmaths.site.voila.fr

¾ ¾

π  π  sin  − x  = cos x ; cos  − x  = sin x ¾ 2  2  π  π  sin  + x  = cos x ; cos  + x  = − sin x ¾ 2  2  ‫ ﻧﺴﺐ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ اﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‬- 3

π

3 2 3 3

; cos (π + x ) = − cos x

¾

1 0 ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﻌﺮف‬

6

2π 3 3 2 1 2

3π 4 2 2 2 2

- 3

-1

5π 6 1 2 3 2 3 3 -

π 0 -1 0

Moustaouli Mohamed

‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬ ‫‪53π‬‬ ‫‪−7π‬‬ ‫‪;sin‬‬ ‫‪;sin‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪ 1‬أﺣﺴﺐ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪11π‬‬ ‫‪1 + cos + cos‬‬ ‫‪+ .... + cos‬‬ ‫أ‪ -‬ﺣﺪد‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 7π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 27π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪+ x  + cos ‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﺴﻂ ) ‪− x  + sin ( 3π + x ) − cos ( 7π − x‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪34π‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−37π‬‬ ‫‪;cos‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ و ‪ R‬ﺷﻌﺎع اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﻴﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ و ‪ r‬ﺷﻌﺎع اﻟﺪاﺋﺮ ة اﻟﻤﺤﺎﻃﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪AB = c‬‬ ‫‪AC = b‬‬ ‫و ‪ S‬و ‪ p‬ﻣﺴﺎﺣﺔ و ﻣﺤﻴﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‪ .‬ﻧﻀﻊ ‪BC = a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 2R‬‬ ‫‪sin A sin B sin C‬‬ ‫‪abc‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪4R‬‬ ‫‪pr‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S = ab sin C = ac sin B = cb sin A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪PP‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − a   − b  − c ‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬

‫= ‪) S‬ﺻﻴﻐﺔ هﻴﺮون(‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت و اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪ -I‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪ -1‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪cos x = a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ = ‪ ∆ : x‬ﻳﻘﻄﻊ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ' ‪ M‬أﻓﺼﻮﻟﻴﻬﻤﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻤﺎ‬

‫‪π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪3‬‬

‫و‬

‫‪π‬‬

‫‪3‬‬

‫‪.-‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪+ 2k π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ' ‪ M‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫ﺑﺤﻴﺚ‬

‫∈ ‪ k‬هﻲ اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬و ‪+ 2k π‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺑﺤﻴﺚ‬

‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫∈ ‪⇔ x = + 2k π ∨ x = − + 2k π / k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪  π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S =  + 2k π / k ∈  ∪  − + 2k π / k ∈ ‬‬ ‫إذن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ 2‬ﺣﻞ = ‪x ∈ [ −2π ; 2π ] cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﺘﺒﻊ ﻧﻔﺲ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫∈ ‪cos x = ⇔ x = + 2k π ∨ x = − + 2k π / k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪cos x‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪7‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫∈ ‪ k‬هﻲ‬

‫وﺣﻴﺚ أﻧﻨﺎ ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [ −2π ; 2π‬ﻓﺎن ‪+ 2k π ≤ 2π‬‬ ‫‪+ 2k π ≤ 2π‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫≤ ‪ −2π‬أو‬

‫‪−2π ≤ −‬‬

‫‪π‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫}‪≤ k ≤ ⇔ k ∈ {−1;0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x =−‬‬ ‫= ‪∨ x‬‬ ‫وﻣﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫}‪−2π ≤ − + 2k π ≤ 2π ⇔ − ≤ k ≤ ⇔ k ∈ {1;0‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪∨ x = −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ −5π −π π 5π ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫;‬ ‫إذن ‪; ; ‬‬ ‫‪3 3 3 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ﺧﻼﺻﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ cos x = a‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ إذا آﺎن ‪a ≺ −1 ∨ a 1‬‬ ‫‪k∈ /‬‬ ‫∈ ‪x = 2k π ⇔ x‬‬ ‫‪cos x = 1‬‬ ‫‪k∈ /‬‬ ‫∈ ‪x = π + 2k π ⇔ x‬‬ ‫‪cos x = −1‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ −1 ≺ a ≺ 1‬ﻓﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮ ‪ α‬ﻣﻦ [ ‪ ]0; π‬ﺣﻴﺚ ‪cos α = a‬‬ ‫‪+ 2k π ≤ 2π ⇔ −‬‬

‫≤ ‪−2π‬‬

‫هﻲ‬ ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ cos x = a‬ﻓﻲ‬ ‫} ∈ ‪S = {α + 2k π / k ∈ } ∪ {−α + 2k π / k‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫‪3π ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos  2x −‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫] ‪x ∈ ]−π ;3π‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪cos  x +  = cos ( 2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 cos x + 3cos x + 1 = 0‬‬

‫∈‪x‬‬ ‫[ ‪x ∈ [π ; 2π‬‬

‫‪ -2‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪sin x = a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫= ‪sin x‬‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ ∆ : y‬ﻳﻘﻄﻊ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ' ‪ M‬أﻓﺼﻮﻟﻴﻬﻤﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π 2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻤﺎ‬ ‫= ‪.π−‬‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﺑﺤﻴﺚ ∈ ‪ k‬هﻲ‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪ + 2k π‬ﺑﺤﻴﺚ ∈ ‪ k‬هﻲ اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬و ‪+ 2k π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ' ‪ M‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫= ‪sin x‬‬ ‫= ‪⇔ x = + 2k π ∨ x‬‬ ‫∈ ‪+ 2k π / k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪  2π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ 2k π / k ∈ ‬‬ ‫‪S =  + 2k π / k ∈  ∪ ‬‬ ‫إذن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪x ∈ [ −2π ;3π ] sin x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ 2‬ﺣﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﺘﺒﻊ ﻧﻔﺲ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻨﺤﺼﻞ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫= ‪sin x = ⇔ x = + 2k π ∨ x‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ∈ ‪+ 2k π / k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪8‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫وﺣﻴﺚ أﻧﻨﺎ ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [ −2π ;3π‬ﻓﺎن ‪+ 2k π ≤ 3π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪+ 2k π ≤ 3π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫≤ ‪ −2π‬أو‬

‫≤ ‪−2π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫}‪≤ k ≤ ⇔ k ∈ {−1;0,1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪7π‬‬ ‫= ‪∨ x = ∨ x‬‬ ‫وﻣﻨﻪ‬ ‫‪x =−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫≤ ‪−2π‬‬ ‫}‪+ 2k π ≤ 3π ⇔ − ≤ k ≤ ⇔ k ∈ {−1;1;0‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−4π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪8π‬‬ ‫وﻣﻨﻪ‬ ‫= ‪∨ x‬‬ ‫= ‪∨ x‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ −5π −4π π 2π 7π 8π ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫;‬ ‫; ;‬ ‫;‬ ‫إذن ‪; ‬‬ ‫‪3 3 3 3 3 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ﺧﻼﺻﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ sin x = a‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ إذا آﺎن ‪a ≺ −1 ∨ a 1‬‬ ‫‪+ 2k π ≤ 3π ⇔ −‬‬

‫‪sin x = 1‬‬

‫∈ ‪+ 2k π ⇔ x‬‬

‫‪sin x = −1‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫∈ ‪+ 2k π ⇔ x‬‬

‫= ‪x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫≤ ‪−2π‬‬

‫‪k∈ /‬‬

‫‪x =−‬‬

‫‪k∈ /‬‬

‫‪ π π‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ −1 ≺ a ≺ 1‬ﻓﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮ ‪ α‬ﻣﻦ ‪  − ; ‬ﺣﻴﺚ ‪sin α = a‬‬ ‫‪ 2 2‬‬ ‫هﻲ‬ ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ sin x = a‬ﻓﻲ‬ ‫} ∈ ‪S = {α + 2k π / k ∈ } ∪ {π − α + 2k π / k‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬

‫)‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪sin  2x +  = cos ( 3x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin  2x −  = −‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪3 − 2 sin x − 6 = 0‬‬

‫‪ -3‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪tan x = a‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪tan x = −1‬‬

‫(‬

‫∈‪x‬‬ ‫] ‪x ∈ ]−π ;3π‬‬

‫‪x ∈ ]−π ; 2π ] 4sin 2 x − 2‬‬

‫∈‪x‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ∆ اﻟﻤﻤﺎس اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪ (C‬ﻓﻲ أﺻﻠﻬﺎ ‪ ، I‬ﻧﺄﺧﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ T‬ﻣﻦ ∆ ﺣﻴﺚ ‪IT = −1‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)‬

‫‪π‬‬

‫‪ (OT‬ﻳﻘﻄﻊ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ' ‪ M‬ﻧﻌﻠﻢ أن ‪tan(− ) = −1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪9‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ −‬أﻓﺼﻮل ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪M‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪tan(x + k π ) = tan x‬‬

‫‪ −π‬‬ ‫‪‬‬ ‫∈ ‪ ∀x‬ﻓﺎن ‪+ k π / k ∈ ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− +kπ /k ∈ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫‪ π π‬‬ ‫∈ ‪/k‬‬ ‫‪ tan x = a ⇔ x = α + k π‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ tan x = a‬ﻓﻲ ‪ − 2 ; 2 ‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬ ‫‪x ∈ [ 0;3π ] tan 2x = 3‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tan  2x −  = − tan x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -II‬اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺣﻞ ≥ ‪cos x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪π‬‬

‫∈‪x‬‬

‫] ‪x ∈ ]−π ; π‬‬

‫‪∨ x =−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪⇔x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫] ‪x ∈ ]−π ; π‬‬

‫= ‪cos x‬‬

‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ π‬‬ ‫‪π ‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M  ‬و ‪ M '  − ‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻂ ) ‪ (C‬اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻘﻮس‬ ‫‪ −π π ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫;‬ ‫وهﺬﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ هﻲ‬ ‫‪  M ' IM ‬ﻓﻲ ] ‪]−π ; π‬‬ ‫‪ 3 3 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[ ‪x ∈ [ 0;3π‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ 2‬ﺣﻞ ≥ ‪cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪7π‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫[‪x ∈ [ 0;3‬‬ ‫= ‪cos x = ⇔ x = ∨ x‬‬ ‫= ‪∨ x‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪7π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫أﻓﺼﻮل ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ' ‪M‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻂ ) ‪ (C‬اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻘﻮس‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ ﻣﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪، M‬‬

‫‪' IM ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  M‬ﻓﻲ ] ‪]−π ; π‬‬

‫‪ π   5π 7π ‬‬ ‫وهﺬﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ هﻲ ‪S = 0;  ∪  ; ‬‬ ‫‪ 3  3 3 ‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x ∈ [ 0; 2π ] tan x ≺ 1‬‬ ‫‪، x ∈ ]0; 4π ] sin x‬‬ ‫‪، x ∈ ]−π ; π ] sin x‬‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت ﺗﺆول ﻓﻲ ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت أﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪π 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ∈ [ 0; π ] tan 3x‬‬ ‫≤ ‪3 ، x ∈ [ −π ; π ] sin  x − ‬‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 + tan x‬‬ ‫] ‪x ∈ ]−π ; π‬‬ ‫‪≥ 0 ، x ∈ ]−π ; π ] 4 cos 2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 ≤ 0‬‬ ‫‪sin 2x‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪10‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬