Tri Go 1

‫اﻟﺤﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‬ ‫‪ -I‬ﺗﺬآﻴﺮ‬ ‫وﺡﺪات ﻗﻴﺎس اﻟﺰوایﺎ ﻟﻘﻴﺎس اﻟﺰوایﺎ هﻨﺎك ﺙﻼث وﺡﺪات هﻲ اﻟﺪرﺟﺔ و اﻟﻐﺮاد و اﻟﺮادیﺎن‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ اﻟﺮادیﺎن‬

‫اﻟﺮادیﺎن هﻮ ﻗﻴﺎس زاویﺔ ﻡﺮآﺰیﺔ‪ ،‬ﻓﻲ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ ، R‬ﺗﺤﺼﺮ ﻗﻮﺱﺎ داﺋﺮیﺔ ﻃﻮﻟﻬﺎ ‪. R‬‬

‫ﻥﺮﻡﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪rd‬‬ ‫‪ : gr ) π rd = 200 gr = 180‬یﺮﻡﺰ ﻟﻠﻐﺮاد(‬

‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‬ ‫ﻥﺘﻴﺠﺔ‬

‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫إذا آﺎن ‪ x‬ﻗﻴﺎس زاویﺔ ﺑﺎﻟﺮادیﺎن و ‪ y‬ﻗﻴﺎﺱﻬﺎ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ و ‪ z‬ﻗﻴﺎﺱﻬﺎ ﺑﺎﻟﻐﺮاد ﻓﺎن‬ ‫‪180 200‬‬

‫=‬

‫‪x‬‬

‫‪π‬‬

‫ﻗﻴﺎس ﻗﻮس هﻨﺪﺱﻴﺔ ﻗﻴﺎس ﻗﻮس هﻨﺪﺱﻴﺔ هﻮ ﻗﻴﺎس اﻟﺰاویﺔ اﻟﻤﺮآﺰیﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﺼﺮﻩ‪.‬‬ ‫ﻃﻮل ﻗﻮس هﻨﺪﺱﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎن ‪ α‬ﻗﻴﺎس ﻗﻮس هﻨﺪﺱﻴﺔ ﺑﺎﻟﺮادیﺎن‪ ،‬ﻓﻲ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ ، R‬ﻓﺎن ﻃﻮل هﺬﻩ اﻟﻘﻮس هﻮ ‪. α R‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ ﻃﻮل ﻗﻮس هﻨﺪﺱﻴﺔ‪ ،‬ﻓﻲ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ 1‬هﻮ ﻗﻴﺎس هﺬﻩ اﻟﻘﻮس‪.‬‬ ‫‪ -II‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ – اﻷﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ – اﻟﺰوایﺎ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫‪ -1‬ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻡﺴﺘﻮى‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة و ‪ I‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ هﺬﻩ اﻟﺪاﺋﺮة ‪.‬‬ ‫ﻟﻮ أردﻥﺎ أن ﻥﻨﻄﻠﻖ ﻡﻦ ‪ I‬ﻟﻨﺪور ﺡﻮل ) ‪ ، (C‬ﻟﻮﺟﺪﻥﺎ أﻥﻔﺴﻨﺎ أﻡﺎم ﻡﻨﺤﻴﻴﻦ ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﺪاﺋﺮة ) ‪ (C‬هﻮ اﺧﺘﻴﺎر أﺡﺪ اﻟﻤﻨﺤﻴﻴﻦ ﻡﻨﺤﻰ ﻡﻮﺟﺒﺎ ) أو ﻡﺒﺎﺷﺮا( و اﻵﺧﺮ ﻡﻨﺤﻰ ﺱﺎﻟﺒﺎ ) أو ﻏﻴﺮ ﻡﺒﺎﺷﺮ(‪.‬‬ ‫ﻋﺎدة ﻥﺄﺧﺬ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻌﺎآﺲ ﻟﺤﺮآﺔ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﺗﺴﻤﻰ أﺹﻞ اﻟﺪاﺋﺮة ) ‪. (C‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻡﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺟﻤﻴﻊ دواﺋﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﻮﺟﻴﻬﺎ ﻡﻮﺡﺪا ﻓﺈﻥﻨﺎ ﻥﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻡﻮﺟﻪ‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬

‫اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ هﻲ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‪ 1‬ﻡﺰودة ﺑﻨﻘﻄﺔ أﺹﻞ و ﻡﻮﺟﻬﺔ ﺗﻮﺟﻴﻬﺎ ﻡﻮﺟﺒﺎ‪.‬‬

‫‪ -3‬اﻷﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮیﻒ‬

‫ﻥﻌﺘﺒﺮ داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪ (C‬أﺹﻠﻬﺎ ‪ .I‬و ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ) ‪(C‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﻃﺮﻓﺎﻩ ‪ I‬و ‪ M‬ﺑﺎﻟﺬهﺎب ﻡﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫) ‪; 0 ≤ α ≺ 2π‬‬

‫‪( IOM = α‬‬

‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫إذا أردﻥﺎ اﻟﺬهﺎب ﻡﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ ﻓﺈﻥﻨﺎ ﺱﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻟﻠﻤﺮة اﻷوﻟﻰ ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ‬ ‫ﻡﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪ α‬وإذا ﺗﺎﺑﻌﻨﺎ اﻟﺘﺤﺮك ﻓﺈﻥﻨﺎ ﺱﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻟﻠﻤﺮة اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻡﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪α + 2π‬‬

‫)ﻷن ﻡﺤﻴﻂ اﻟﺪاﺋﺮة هﻮ ‪ ( 2π‬و ﻓﻲ اﻟﻤﺮة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫ﻓﺈﻥﻨﺎ ﺱﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻡﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪ ........... α + 2 ( 2π ) = α + 4π‬وﻓﻲ اﻟﻤﺮة ‪k + 1‬‬

‫) ∈ ‪(k‬‬

‫ﺱﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻡﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪. α + 2k π‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪2‬‬ ‫إذا أردﻥﺎ اﻟﺬهﺎب ﻡﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻓﺈﻥﻨﺎ ﺱﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻟﻠﻤﺮة اﻷوﻟﻰ ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻡﺴﺎر‬ ‫ﻃﻮﻟﻪ ‪ 2π − α‬وإذا ﺗﺎﺑﻌﻨﺎ اﻟﺘﺤﺮك ﻓﺈﻥﻨﺎ ﺱﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻟﻠﻤﺮة اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻡﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪ ........ 4π − α‬وﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﺮة ' ‪k‬‬

‫)‬

‫*‬

‫∈ ' ‪ ( k‬ﺱﻨﺼﻞ إﻟﻰ ‪ M‬ﻋﻨﺪ ﻗﻄﻊ ﻡﺴﺎر ﻃﻮﻟﻪ ‪. −α + 2k ' π‬‬

‫ﻟﻜﻲ ﻥﻤﻴﺰ ﺑﻴﻦ هﺎﺗﻴﻦ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﻟﻠﺘﻨﻘﻞ ﻡﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ ، M‬ﻥﻘﻮل إﻥﻨﺎ ﻗﻄﻌﻨﺎ ﻡﺴﺎرا ﻃﻮﻟﻪ )أو ﻗﻴﺎﺱﻪ ( ‪α + 2k π‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ‪ ,‬وﻡﺴﺎرا ﻃﻮﻟﻪ ) ‪ -( −α + 2k ' π‬أي ‪ α − 2(−k ')π‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ ‪.‬‬ ‫و ﻓﻲ آﻠﺘﺎ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ ﻓﺎن ﻗﻴﺎس اﻟﻤﺴﺎر ﻟﻠﺬهﺎب ﻡﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬هﻮ ‪α + 2λπ‬‬

‫∈ ‪.λ‬‬

‫ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪ (C‬أﺹﻠﻬﺎ ‪.I‬‬ ‫و ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬ﻃﻮل اﻟﻘﻮس اﻟﺬي ﻃﺮﻓﺎﻩ ‪ I‬و ‪ M‬ﺑﺎﻟﺬهﺎب ﻡﻦ ‪ I‬إﻟﻰ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﻮﺟﺐ‪.‬‬ ‫آﻞ ﻋﺪد یﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ α + 2k π‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ k‬ﻋﻨﺼﺮ ﻡﻦ‬

‫یﺴﻤﻰ أﻓﺼﻮﻻ ﻡﻨﺤﻨﻴﺎ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪.M‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ‬ ‫) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ أﺹﻠﻬﺎ ‪ . I‬ﺡﺪد اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻂ ‪ B; A';A; J'; J; I';I‬اﻟﻤﻤﺜﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ آﻤﺎیﻠﻲ‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ‬ ‫‪34π‬‬ ‫) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ أﺹﻠﻬﺎ ‪ . I‬ﻥﻌﺘﺒﺮ‬ ‫‪3‬‬

‫أﻓﺼﻮل ﻡﻨﺤﻨﻲ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ . M‬أﻥﺸﺊ ‪M‬‬

‫ب‪ -‬ﺧﺎﺹﻴﺎت و ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪ -‬إذا آﺎن ‪ x‬و ‪ y‬أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ ﻡﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻓﺎﻥﻪ یﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮ ‪ λ‬ﻡﻦ‬ ‫‪2‬‬

‫ﺑﺤﻴﺚ ‪x − y = 2λπ‬‬

‫و ﻥﻜﺘﺐ ] ‪ x ≡ y [ 2π‬و ﻥﻘﺮأ ‪ x‬یﺴﺎوي ‪ y‬ﺑﺘﺮدیﺪ ‪. 2π‬‬ ‫ إذا آﺎن ‪ x‬أﻓﺼﻮل ﻡﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻓﺎن ﺟﻤﻴﻊ اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ‬‫‪ x + 2k π‬ﺡﻴﺚ‬

‫∈ ‪.k‬‬

‫ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫یﻮﺟﺪ أﻓﺼﻮل ﻡﻨﺤﻨﻲ وﺡﻴﺪ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬یﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ ]−π ; π‬یﺴﻤﻰ اﻷﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪.M‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‬ ‫إذا رﻡﺰﻥﺎ ﻟﻸﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺑﺎﻟﺮﻡﺰ ‪ α‬و رﻡﺰﻥﺎ ﻟﻄﻮل اﻟﻘﻮس ‪  IM ‬ﺑﺎﻟﻌﺪد‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ ‪ l‬ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫* ‪ α = l‬إذا آﺎﻥﺖ ‪ M‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻥﺼﻒ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ IJI '‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫* ‪ α = −l‬إذا آﺎﻥﺖ ‪ M‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻥﺼﻒ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ IJ ' I '‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪−227π‬‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ ﺡﺪد اﻷﻓﺼﻮل اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ إﺡﺪى أﻓﺎﺹﻴﻠﻬﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫‪6‬‬

‫=‪α‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ ﻡﺜﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ C ; B ; A‬اﻟﺘﻲ أﻓﺎﺹﻴﻠﻬﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻲ‬ ‫‪; 7π‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ‬

‫‪37π‬‬ ‫‪3‬‬

‫;‬

‫‪−108π‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪kπ‬‬ ‫أﻥﺸﺊ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M k‬اﻟﺘﻲ أﻓﺎﺹﻴﻠﻬﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫‪3‬‬

‫‪π‬‬

‫‪ − +‬ﺡﻴﺚ‬ ‫‪4‬‬

‫∈‪.k‬‬

‫‪ -4‬اﻟﺰاویﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻥﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﻬﻤﺎ ﻥﻔﺲ اﻷﺹﻞ‬

‫اﻟﺰوج )) ‪ ([O ; x [ ;[O ; y‬یﺤﺪد زاویﺔ ﻡﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ و یﺮﻡﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻡﺰ ) ‪(Ox ;Oy‬‬

‫‪3‬‬

‫ب‪ -‬ﻗﻴﺎﺱﺎت زاویﺔ ﻡﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ وﺧﺎﺹﻴﺔ‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ Ox ;Oy‬زاویﺔ ﻡﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ،‬و ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ A ، O‬و ‪ B‬ﻥﻘﻄﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ (C‬و ﻥﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ α‬و ‪ β‬أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ ﻡﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ﻟﻠﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪.‬‬

‫)‬

‫آﻞ ﻋﺪد ﺡﻘﻴﻘﻲ یﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪ β − α + 2k π‬ﺡﻴﺚ‬

‫ﻥﺮﻡﺰ ﻟﻘﻴﺎﺱﺎت اﻟﺰاویﺔ ) ‪ (Ox ;Oy‬ﺑﺎﻟﺮﻡﺰ ) ‪(Ox ;Oy‬‬ ‫و ﻥﻜﺘﺐ أیﻀﺎ ] ‪[ 2π‬‬

‫(‬

‫∈ ‪ k‬یﺴﻤﻰ ﻗﻴﺎﺱﺎ ﻟﻠﺰاویﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪. Ox ;Oy‬‬ ‫ﻥﻜﺘﺐ‬

‫∈‪k‬‬

‫‪(Ox ;Oy ) = β − α + 2k π‬‬

‫‪(Ox ;Oy ) ≡ β − α‬‬

‫ﺧﺎﺹﻴﺔ و ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫ﻟﻜﻞ زاویﺔ ﻡﻮﺟﻬﺔ ﻟﻨﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﻗﻴﺎس وﺡﻴﺪ یﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ ]−π ; π‬یﺴﻤﻰ اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻬﺬﻩ‬ ‫اﻟﺰاویﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‬

‫)‬

‫(‬

‫إذا آﺎن ‪ θ‬ﻗﻴﺎس ﻟﻠـﺰاویﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪ Ox ;Oy‬ﻓﺎن ‪ θ + 2k π‬ﺡﻴﺚ‬ ‫إذا آﺎن‬

‫‪ α‬و ‪ β‬ﻗﻴﺎﺱﻴﻦ ﻟﻠﺰاویﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ )‬ ‫أي ) ‪α − β = 2k π‬‬

‫‪/‬‬

‫(‬

‫‪ Ox ;Oy‬ﻓﺎن ‪2π‬‬

‫(‬

‫)‬

‫∈ ‪ k‬ﻗﻴﺎس ﻟﻠﺰاویﺔ ‪. Ox ;Oy‬‬

‫‪α −β ≡0‬‬

‫∈ ‪(k‬‬

‫ﻡﻼﺡﻈﺎت‬ ‫* إذا آﺎﻥﺖ ‪ M‬ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ أﺹﻠﻬﺎ ‪ I‬و ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ O‬ﻓﺎن اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬هﻲ‬

‫ﻗﻴﺎﺱﺎت اﻟﺰاویﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ) ‪(OI ;OM‬‬ ‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫* اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﺰاویﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪ Ox ;Oy‬هﻲ ﻗﻴﺎس اﻟﺰاویﺔ اﻟﻬﻨﺪﺱﻴﺔ ‪. xOy‬‬

‫‪4‬‬

‫ﺑﻌﺾ اﻟﺰوایﺎ اﻟﺨﺎﺹﺔ‬

‫‪(Ox ;Ox ) ≡ 0‬‬

‫اﻟﺰاویﺔ اﻟﻤﻨﻌﺪﻡﺔ‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫اﻟﺰاویﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫اﻟﺰاویﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ‪[ 2π ] -‬‬ ‫اﻟﺰاویﺔ‬

‫)‬

‫‪(Ox ;Oy ) ≡ π‬‬

‫‪(Ox ;Oy ) ≡ π2‬‬

‫‪(Oy ;Ox ) ≡ π‬‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫‪.‬‬

‫(‬

‫‪ Ox ;Oy‬زاویﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻡﻮﺟﺒﺔ‬

‫‪π‬‬

‫ ] ‪[ 2π‬‬‫اﻟﺰاویﺔ‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪. (Ox ;Oy ) ≡ −‬‬

‫(‬

‫‪ Ox ;Oy‬زاویﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺱﺎﻟﺒﺔ‪.‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ ‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻘﻴﺎﺱﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻗﻴﺎﺱﺎت ﻥﻔﺲ اﻟﺰاویﺔ‬

‫‪601π‬‬ ‫‪6‬‬

‫;‬

‫‪−143π‬‬ ‫‪6‬‬

‫;‬

‫‪25π‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ -2‬ﻡﺎ هﻮ اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﺰاویﺔ ﻡﻮﺟﻬﺔ ﻗﻴﺎﺱﻬﺎ أﺡﺪ اﻟﻘﻴﺎﺱﺎت‬ ‫‪; 47π‬‬

‫‪; −36π‬‬

‫‪52π‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ -3‬أﻥﺸﺊ زاویﺔ ﻡﻮﺟﻬﺔ )‬ ‫أﻥﺸﺊ ‪ABC‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ‬

‫;‬

‫‪25π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−‬‬

‫(‬

‫‪−234π‬‬ ‫‪ Ox ;Oy‬ﻗﻴﺎﺱﻬﺎ‬ ‫‪5‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻷﺽﻼع ﺡﻴﺚ ] ‪[ 2π‬‬

‫‪( AB ; AC ) ≡ − π3‬‬

‫ج‪ -‬ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل وﻥﺘﺎﺋﺠﻬﺎ‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل‬ ‫إذا آﺎﻥﺖ [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬و [ ‪ [O ; z‬ﺙﻼﺙﺔ أﻥﺼﺎف ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﻬﺎ ﻥﻔﺲ اﻷﺹﻞ ﻓﺎن‬

‫] ‪[ 2π‬‬

‫) ‪(Ox ;Oy ) + (Oy ;Oz ) ≡ (Ox ;Oz‬‬

‫ﻥﺘﺎﺋﺞ * اذا آﺎن [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻥﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﺎن ] ‪[ 2π‬‬

‫) ‪(Ox ;Oy ) ≡ − (Oy ;Ox‬‬

‫* اذا آﺎﻥﺖ [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬و [ ‪ [O ; z‬ﺙﻼﺙﺔ أﻥﺼﺎف ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﺗﺤﻘﻖ ] ‪[ 2π‬‬

‫) ‪(Ox ;Oy ) ≡ (Ox ;Oz‬‬

‫ﻓﺎن [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻥﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﻡﻨﻄﺒﻘﺎن‪.‬‬ ‫و هﺬا یﻌﻨﻲ أﻥﻪ اذا آﺎن [ ‪ [Ox‬ﻥﺼﻒ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ و ‪ α‬ﻋﺪدا ﺡﻘﻴﻘﻴﺎ ﻓﺎﻥﻪ یﻮﺟﺪ ﻥﺼﻒ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ وﺡﻴﺪ‬

‫[ ‪ [O ; y‬ﺑﺤﻴﺚ ] ‪[ 2π‬‬

‫‪. (Ox ;Oy ) ≡ α‬‬ ‫‪5‬‬

‫د‪ -‬زاویﺔ زوج ﻡﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻡﻨﻌﺪﻡﺘﻴﻦ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻡﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻡﻨﻌﺪﻡﺘﻴﻦ ﻡﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻮﺟﻪ ‪ .‬و [ ‪ [O ; x‬و [ ‪ [O ; y‬ﻥﺼﻔﻲ ﻡﺴﺘﻘﻴﻢ ﻡﻮﺟﻬﻴﻦ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪.v‬‬

‫)‬

‫(‬

‫زاویﺔ زوج اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ) ‪ (u ;v‬هﻲ اﻟﺰاویﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ‪ Ox ;Oy‬و یﺮﻡﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻡﺰ ) ‪. (u ;v‬‬

‫ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﻗﻴﺎﺱﺎت اﻟﺰاویﺔ ) ‪(u ;v‬‬

‫هﻲ ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﻗﻴﺎﺱﺎت اﻟﺰاویﺔ ) ‪[ 2π ] . (Ox ;Oy‬‬

‫) ‪(u ;v ) ≡ (Ox ;Oy‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ O‬و أﺹﻠﻬﺎ ‪ . I‬ﻥﻌﺘﺒﺮ ﻋﻠﻰ ) ‪ (C‬اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﺄﻓﺎﺹﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬

‫‪ 3π ‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬

‫) ‪A (π‬‬

‫‪ 23π ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 ‬‬

‫‪ −17π ‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 ‬‬

‫أﻋﻂ ﻗﻴﺎﺱﺎ ﻟﻜﻞ ﻡﻦ اﻟﺰاویﺎ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ،‬ﺙﻢ ﺡﺪد اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻜﻞ ﻡﻨﻬﻦ‬

‫) ‪(OE ;OF ) ; (OA ;OE ) ; (OB ;OA ) ; (OA ;OA‬‬ ‫‪ -5‬اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻡﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫)‬

‫(‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ O‬و أﺹﻠﻬﺎ ‪ . I‬وﻟﺘﻜﻦ ‪ J‬ﻡﻦ ) ‪ (C‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ OI ;OJ‬زاویﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻡﻮﺟﺒﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ;OI ;OJ‬یﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻡﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪. (C‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ' ‪ J‬ﻡﻦ ) ‪ (C‬ﺑﺤﻴﺚ ' ‪ OI ;OJ‬زاویﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺱﺎﻟﺒﺔ ‪.‬‬

‫اﻟﻤﻌﻠﻢ )' ‪ (O ;OI ;OJ‬یﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻡﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪. (C‬‬ ‫‪ -III‬اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬

‫‪6‬‬

‫‪ -1‬اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺗﻌﺎریﻒ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ و )‬

‫(‬

‫‪ O ;OI ;OJ‬اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻡﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﻬﺎ‪ .‬ﻟﺘﻜﻦ ‪M‬‬

‫ﻥﻘﻄﺔ ﻡﻦ ) ‪(C‬‬

‫و ‪ x‬أﻓﺼﻮﻻ ﻡﻨﺤﻨﻴﺎ ﻟﻬﺎ ‪ .‬ﻥﻌﺘﺒﺮ ‪ C‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ (OI‬و ‪ S‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪M‬‬

‫ﻋﻠﻰ ) ‪(OJ‬‬ ‫*‪ -‬اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ OC‬أﻓﺼﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ;OI ;OJ‬یﺴﻤﻰ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎم اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. x‬‬ ‫ﻥﻜﺘﺐ ‪cos x = OC‬‬

‫*‪ -‬اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ OS‬أرﺗﻮب اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ;OI ;OJ‬یﺴﻤﻰ ﺟﻴﺐ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪. x‬‬ ‫ﻥﻜﺘﺐ ‪sin x = OS‬‬

‫*‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ ∆ اﻟﻤﻤﺎس ﻟـ ) ‪ (C‬ﻋﻨﺪ ‪I‬‬

‫‪ .‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ T‬ﻥﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ )‬

‫‪ (OM‬و ∆ أي ‪+ k π‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫≠ ‪x‬‬

‫∈‪k‬‬

‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ IT‬هﻮ ﻇﻞ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ . x‬ﻥﻜﺘﺐ ‪tan x = IT‬‬

‫ﻡﻼﺡﻈﺔ و اﺹﻄﻼﺡﺎت‬ ‫‪-‬‬

‫إذا آﺎن ‪ x‬أﻓﺼﻮل ﻡﻨﺤﻨﻲ ﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻓﺎن ) ‪M ( cos x ;sin x‬‬

‫ اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ اﻟﺪاﻟﺔ‬‫‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ‬

‫→‬ ‫‪x → cos x‬‬ ‫→‬ ‫‪x → sin x‬‬ ‫→‬ ‫‪x → tan x‬‬

‫ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ ﺟﻴﺐ اﻟﺘﻤﺎم ﺡﻴﺰ ﺗﻌﺮیﻔﻬﺎ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﺠﻴﺐ ﺡﻴﺰ ﺗﻌﺮیﻔﻬﺎ‬

‫یﺮﻡﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪cos‬‬

‫یﺮﻡﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪sin‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﻈﻞ ﺡﻴﺰ ﺗﻌﺮیﻔﻬﺎ ‪−  + k π / k ∈ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫یﺮﻡﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪tan‬‬

‫‪ -2‬ﺧﺎﺹﻴﺎت‬ ‫*‪-‬‬

‫‪−1 ≤ cos x ≤ 1 −1 ≤ sin x ≤ 1‬‬

‫‪sin x‬‬ ‫‪cos x‬‬

‫= ‪tan x‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− +kπ /k ∈ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪cos 2 x + sin 2 x = 1‬‬ ‫∈ ‪∀x‬‬

‫*‪ -‬ﻥﻌﻠﻢ أن ﺟﻤﻴﻊ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻜﺘﺐ ‪ x + 2k π‬ﺡﻴﺚ‬ ‫‪; sin ( x + 2k π ) = sin x‬‬

‫‪cos ( x + 2k π ) = cos x‬‬

‫∈ ‪ ، k‬أﻓﺎﺹﻴﻞ ﻡﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪M‬‬ ‫∈ ‪∀x‬‬

‫‪ -‬ﻡﻬﻤﺎ آﺎﻥﺖ ) ‪ M ( x + k π‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪tan x = IT‬‬

‫‪tan ( x + k π ) = tan x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− +kπ /k ∈ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺡﺎﻟﺔ ﺧﺎﺹﺔ ‪tan ( x + π ) = tan x‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− +kπ /k ∈ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫*‪ -‬ﺑﺘﻮﻇﻴﻒ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻥﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪7‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

cos ( − x ) = cos x

‫ زوﺟﻴﺔ و أن‬cos ‫∀ ﻥﻌﺒﺮﻋﻦ هﺬا ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ‬x ∈

; sin ( − x ) = − sin x ¾

‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ .‫ ﻓﺮدیﺔ‬sin π .‫ ﻓﺮدیﺔ‬tan ‫∀ ﻥﻌﺒﺮﻋﻦ هﺬا ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ‬x ∈ −  + k π / k ∈  2

∀x ∈ ∀x ∈

∀x ∈

¾

sin (π − x ) = sin x

; cos (π − x ) = − cos x ¾

sin (π + x ) = − sin x

; cos (π + x ) = − cos x ¾

π  sin  − x  = cos x 2  π  sin  + x  = cos x 2 

∀x ∈

tan ( − x ) = − tan x



π  ; cos  − x  = sin x ¾ 2  π  ; cos  + x  = − sin x ¾ 2 

‫ ﻥﺴﺐ ﻡﺜﻠﺜﻴﺔ اﻋﺘﻴﺎدیﺔ‬- 3

π

π

π

π

6

4

3

2

0

1 2

2 2

3 2

1

cosx

1

3 2

2 2

1 2

0

tanx

0

3 3

1

x

0

sinx

3π 4

5π 6

3 2

2 2

1 2

0

-

‫ﻏﻴﺮ‬

3

2π 3

‫ﻡﻌﺮف‬

1 2

- 3

-

π

2 2

-

3 2

-1

-1

-

3 3

0

‫ﺗﻤﺎریﻦ‬ cos

34π 3

;cos 1 + cos

−37π 4

π 6

+ cos

;sin

53π 6

;sin

2π 11π ‫ ﺡﺪد‬-‫أ‬ + .... + cos 6 6

 7π   27π  sin  + x  + cos  − x  + sin ( 3π + x ) − cos ( 7π − x )  2   2 

8

−7π ‫ أﺡﺴﺐ‬1‫ﺗﻤﺮیﻦ‬ 2

‫ ﺑﺴﻂ‬-‫ب‬

2‫ﺗﻤﺮیﻦ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت و اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪ -I‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪ -1‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪cos x = a‬‬

‫ﻡﺜﺎل‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺡﻞ‬

‫= ‪cos x‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪2‬‬

‫‪π‬‬

‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻤﺎ‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪+ 2k π‬‬

‫‪3‬‬

‫‪π‬‬

‫= ‪ ∆ : x‬یﻘﻄﻊ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻓﻲ ﻥﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ' ‪ M‬أﻓﺼﻮﻟﻴﻬﻤﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﻴﻦ‬

‫و‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪.‬‬‫∈ ‪ k‬هﻲ اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬و ‪+ 2k π‬‬

‫ﺑﺤﻴﺚ‬

‫‪3‬‬

‫∈‪x‬‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ' ‪ M‬ﻓﺈﻥﻨﺎ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫∈ ‪/k‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪⇔ x = + 2k π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪cos x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪  π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S =  + 2k π / k ∈  ∪  − + 2k π / k ∈ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  3‬‬ ‫‪‬‬

‫إذن‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻡﺜﺎل ‪ 2‬ﺡﻞ‬ ‫‪2‬‬

‫‪+ 2k π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪∨ x =−‬‬

‫‪π‬‬

‫ﺑﺤﻴﺚ‬

‫∈ ‪ k‬هﻲ اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ‬

‫] ‪x ∈ [ −2π ; 2π‬‬

‫= ‪cos x‬‬

‫ﻥﺘﺒﻊ ﻥﻔﺲ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪+ 2k π‬‬

‫∈ ‪/k‬‬

‫‪π‬‬

‫‪∨ x =−‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪⇔ x = + 2k π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪cos x‬‬

‫وﺡﻴﺚ أﻥﻨﺎ ﻥﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [ −2π ; 2π‬ﻓﺎن ‪+ 2k π ≤ 2π‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫}‪≤ k ≤ ⇔ k ∈ {−1;0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻟﺪیﻨﺎ‬ ‫وﻡﻨﻪ‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪∨ x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪∨ x =−‬‬

‫‪3‬‬

‫‪+ 2k π ≤ 2π ⇔ −‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫≤ ‪−2π‬‬

‫‪x =−‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫}‪≤ k ≤ ⇔ k ∈ {1;0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻟﺪیﻨﺎ‬ ‫وﻡﻨﻪ‬

‫‪5π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪π‬‬

‫≤ ‪ −2π‬أو ‪+ 2k π ≤ 2π‬‬

‫‪5π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+ 2k π ≤ 2π ⇔ −‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−2π ≤ −‬‬

‫= ‪x‬‬

‫‪ −5π −π π 5π ‬‬ ‫;‬ ‫إذن ‪; ; ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫‪3 3 3 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ﺧﻼﺹﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ cos x = a‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺡﻼ إذا آﺎن ‪1‬‬ ‫‪cos x = 1‬‬

‫∈ ‪x = 2k π ⇔ x‬‬

‫‪a ≺ −1 ∨ a‬‬

‫‪k∈ /‬‬

‫‪9‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−2π ≤ −‬‬

‫∈ ‪x = π + 2k π ⇔ x‬‬

‫‪cos x = −1‬‬

‫‪k∈ /‬‬

‫إذا آﺎن ‪ −1 ≺ a ≺ 1‬ﻓﺎن یﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮ ‪ α‬ﻡﻦ [ ‪ ]0; π‬ﺡﻴﺚ ‪cos α = a‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺡﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ cos x = a‬ﻓﻲ‬

‫} ∈ ‪} ∪ {−α + 2k π / k‬‬

‫هﻲ‬

‫∈ ‪S = {α + 2k π / k‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ ﺡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪cos  x +  = cos ( 2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 cos x + 3cos x + 1 = 0‬‬

‫‪3π ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ∈ ]−π ;3π ] cos  2x −‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫∈‪x‬‬ ‫[ ‪x ∈ [π ; 2π‬‬

‫‪ -2‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪sin x = a‬‬

‫ﻡﺜﺎل‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺡﻞ‬

‫= ‪sin x‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪2‬‬

‫∈‪x‬‬

‫= ‪ ∆ : y‬یﻘﻄﻊ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻓﻲ ﻥﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ' ‪ M‬أﻓﺼﻮﻟﻴﻬﻤﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬

‫‪2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻤﺎ و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪+ 2k π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2π‬‬ ‫∈ ‪ k‬هﻲ اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬و ‪+ 2k π‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺑﺤﻴﺚ‬

‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪π‬‬

‫‪.π−‬‬ ‫ﺑﺤﻴﺚ‬

‫∈ ‪ k‬هﻲ‬

‫اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ' ‪ M‬ﻓﺈﻥﻨﺎ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫∈ ‪/k‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪  2π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ 2k π / k ∈ ‬‬ ‫‪S =  + 2k π / k ∈  ∪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  3‬‬ ‫‪‬‬

‫إذن‬ ‫ﻡﺜﺎل ‪2‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪+ 2k π‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪∨ x‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪⇔ x = + 2k π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪sin x‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﺡﻞ‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪sin x‬‬

‫] ‪x ∈ [ −2π ;3π‬‬

‫ﻥﺘﺒﻊ ﻥﻔﺲ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻨﺤﺼﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬

‫∈ ‪/k‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪+ 2k π‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪∨ x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪⇔ x = + 2k π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪sin x‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫وﺡﻴﺚ أﻥﻨﺎ ﻥﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [ −2π ;3π‬ﻓﺎن ‪ −2π ≤ + 2k π ≤ 3π‬أو ‪+ 2k π ≤ 3π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﻟﺪیﻨﺎ‬

‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫}‪≤ k ≤ ⇔ k ∈ {−1;0,1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪π‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7π‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪∨ x‬‬

‫ﻟﺪیﻨﺎ‬

‫‪2π‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫}‪+ 2k π ≤ 3π ⇔ − ≤ k ≤ ⇔ k ∈ {−1;1;0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫= ‪∨ x‬‬

‫‪5π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪+ 2k π ≤ 3π ⇔ −‬‬

‫‪π‬‬

‫≤ ‪−2π‬‬

‫‪x =−‬‬

‫‪10‬‬

‫≤ ‪−2π‬‬

‫≤ ‪−2π‬‬

‫‪2π‬‬ ‫‪8π‬‬ ‫= ‪∨ x‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪−4π‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪∨ x‬‬

‫= ‪x‬‬

‫‪ −5π −4π π 2π 7π 8π ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫;‬ ‫; ;‬ ‫;‬ ‫إذن ‪; ‬‬ ‫‪3 3 3 3 3 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ﺧﻼﺹﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ sin x = a‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﺡﻼ إذا آﺎن ‪1‬‬

‫‪sin x = 1‬‬

‫∈ ‪+ 2k π ⇔ x‬‬

‫‪sin x = −1‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫∈ ‪+ 2k π ⇔ x‬‬

‫= ‪x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪a ≺ −1 ∨ a‬‬

‫‪k∈ /‬‬

‫‪x =−‬‬

‫‪k∈ /‬‬

‫‪ π π‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ −1 ≺ a ≺ 1‬ﻓﺎن یﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮ ‪ α‬ﻡﻦ ‪  − ; ‬ﺡﻴﺚ ‪sin α = a‬‬ ‫‪ 2 2‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺡﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ sin x = a‬ﻓﻲ‬

‫} ∈ ‪} ∪ {π − α + 2k π / k‬‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ ﺡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪sin  2x +  = cos ( 3x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫هﻲ‬

‫∈ ‪S = {α + 2k π / k‬‬

‫∈‪x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ∈ ]−π ;3π ] sin  2x −  = −‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫)‬

‫‪3 − 2 sin x − 6 = 0‬‬

‫(‬

‫‪x ∈ ]−π ; 2π ] 4sin 2 x − 2‬‬

‫‪ -3‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪tan x = a‬‬ ‫ﺡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪tan x = −1‬‬

‫∈‪x‬‬

‫ﻥﻌﺘﺒﺮ ∆ اﻟﻤﻤﺎس اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪ (C‬ﻓﻲ أﺹﻠﻬﺎ ‪ ، I‬ﻥﺄﺧﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ T‬ﻡﻦ ∆ ﺡﻴﺚ ‪IT = −1‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‬ ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫‪π‬‬

‫‪ (OT‬یﻘﻄﻊ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ M‬و ' ‪ M‬ﻥﻌﻠﻢ أن ‪tan(− ) = −1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ −‬أﻓﺼﻮل ﻡﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪M‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− +kπ /k ∈ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪tan(x + k π ) = tan x‬‬

‫‪ −π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫∈ ‪ ∀x‬ﻓﺎن ‪+ k π / k ∈ ‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‬ ‫‪ π π‬‬ ‫‪ tan x = a ⇔ x = α + k π‬ﺡﻴﺚ ‪ α‬ﺡﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ tan x = a‬ﻓﻲ ‪ − 2 ; 2 ‬‬

‫∈ ‪/k‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ ﺡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬ ‫] ‪x ∈ [ 0;3π‬‬

‫‪tan 2x = 3‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tan  2x −  = − tan x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫∈‪x‬‬

‫‪ -II‬اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺎت اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻡﺜﺎل‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺡﻞ‬ ‫‪2‬‬

‫] ‪x ∈ ]−π ; π‬‬

‫≥ ‪cos x‬‬

‫ﻥﻌﻠﻢ أن‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪∨ x =−‬‬

‫‪π‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪⇔x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪cos x‬‬

‫] ‪x ∈ ]−π ; π‬‬

‫‪π‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M  ‬و ‪ M '  − ‬ﻥﻘﻄﺘﻴﻦ ﻡﻦ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺡﻠﻮل اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ هﻲ ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻂ ) ‪ (C‬اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻘﻮس‬ ‫‪' IM ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ −π π ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫;‬ ‫وهﺬﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ هﻲ‬ ‫‪ 3 3 ‬‬

‫‪  M‬ﻓﻲ ] ‪]−π ; π‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻡﺜﺎل ‪ 2‬ﺡﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫ﻥﻌﻠﻢ أن‬ ‫‪3‬‬

‫≥ ‪cos x‬‬

‫= ‪∨ x‬‬

‫[ ‪x ∈ [ 0;3π‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪7π‬‬ ‫= ‪⇔x = ∨x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪cos x‬‬

‫‪5π‬‬ ‫‪7π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ ﻡﻨﺤﻨﻴﻴﻦ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ ، M‬ﻥﻌﺘﺒﺮ‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫[‪x ∈ [ 0;3‬‬

‫أﻓﺼﻮل ﻡﻨﺤﻨﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ' ‪M‬‬

‫ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺡﻠﻮل اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺔ هﻲ ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻓﺎﺹﻴﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ ﻟﻠﻨﻘﻂ ) ‪ (C‬اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻘﻮس‬ ‫‪' IM ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  M‬ﻓﻲ ] ‪]−π ; π‬‬

‫‪ π   5π 7π ‬‬ ‫وهﺬﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ هﻲ ‪S = 0;  ∪  ; ‬‬ ‫‪ 3  3 3 ‬‬ ‫‪12‬‬

‫ﺗﻤﺮیﻦ‬ x ∈ ]−π ; π ] sin x

−1 2

x ∈ ]0; 4π ] sin x

−1 2

x ∈ [ 0; 2π ]

‫ﺡﻞ‬

tan x ≺ 1

‫ﻡﺘﺮاﺟﺤﺎت ﺗﺆول ﻓﻲ ﺡﻠﻬﺎ اﻟﻰ ﻡﺘﺮاﺟﺤﺎت أﺱﺎﺱﻴﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ‬ ‫ﺡﻞ‬ π 1  x ∈ [ −π ; π ] sin  x −  ≤ 3 2  x ∈ [ 0; π ]

tan 3x

x ∈ ]−π ; π ] x ∈ ]−π ; π ]

13

3

(

)

4 cos 2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 ≤ 0

1 + tan x ≥0 sin 2x