Tres Momentos.pdf

246 15.

9.2

VIGAS

ESTÁTICAMENl t

TEOREMA

INDETERMINADAS

L a s dos vigas cantilever AB y DC están dispuestas como en la ñgura K . Tienen la misma El. ¿ Q u é clase de carga será la ejercida por la viga superior sobre la inferior si se aplica una carga vertical P en B ?

D E LOS T R E S MOMENTOS

247

cargas aplicadas están representados por las áreas de las superficies rayadas en la misma figura. Designamos estas áreas por y /!„+,, respectivamente, y sus centros de gravedad por C„ y C„+„ cuyas posiciones están definidas por a„, b.

Teorema de los tres momentos

E n el caso de viga continua uniforme sobre varios apoyos (9.8a) uno de los apoyos es considerado generalmente como rótula fija o inamovible y los otros tres son tratados como rodillos. E n tal disposición, cada apoyo intermedio representa estrictamente una restricción superabundante y por consiguiente la viga continua es varias veces hiperestática, o estáticamente indeterminada, tantas como soportes intermedios haya. Así ia viga de la figura 9.8a es cinco veces estáticamente indeterminada. E n este caso, podríamos elegir las cinco reacciones indeterminadas / ? , , / í j , . . ., /?- como superabundantes y entonces igualar a cero el juego de desplazamientos 8,, Sj- • • ^r, áe sus puntos de aplicación. Estas cinco ecuaciones, conjuntamente con las tres ecuaciones de la estática para la viga isostática, serían suficientes para determinar las ocho componentes de reacción desconocidas. Pero esto es laborioso e introduce un sistema de ocho ecuaciones. E n su lugar es mucho más sencillo considerar cortada la viga en cada apoyo intermedio e introducir los momentos flectores M¡, M^, .. ., M „ actuantes sobre los apoyos superabundantes. De esta manera el sistema primario consiste en seis vigas simplemente apoyadas, cada una con sus propias cargas externamente aplicadas, conjuntamente con dos momentos hiperestáticos en sus dos extremos. Tratando estas vigas simplemente apoyadas de dos en dos, la complejidad del problema queda reducida considerablemente. Elijamos en la figura 9.8b dos tramos adyacentes cualesquiera con los apoyos n— 1, « y « + 1. Designemos por /„ y /„+, estas dos longitudes de vano y jx)r Af„ ,, M„ y A/„+, los tres momentos flectores hiperestáticos en estos tres apoyos. E l que estos momentos flectores sean positivos o negativos dependerá de las condiciones de carga externa. Supondremos que son positivos como en la figura. Luego, si el cálculo nos da un valor negativo para alguno de ellos, esto nos indicará automáticamente un momento flector negativo. Las cargas representadas en la figura 9.8b producen alguna flexión de la viga en los tramos /„ y í„+, e indicaremos la rotación de las tangentes en los extremos del apoyo por para el tramo de la izquierda y por^y",, para el tramo de la derecha. Se consideran positivos estos ángulos de rotación cuando su sentido es el mismo que el de los momentos en los extremos M„. Por consiguiente, como condición de continuidad de la pendiente de la línea elástica no interrumpida sobre el apoyo n tenemos e\-=^H"„

1

Figura 9.8

y a^+i y ¿„+i, como indica la figura. Considerando ahora el vano /„ y aplicando la superposición, hallamos

"

35/

(b)

QEI

Considerando el tramo de la derecha /„+i, tenemos ^EI

QEI

Sustituyendo (b) y (c) en la ecuación (a) tenemos

l^rEI

(c)

\ (9.1)

(a)

Esta es la clave de la solución del problema. Para expresar (i'„ y H"„ en función de las cargas aplicadas y de los momentos de los extremos para cada tramo separadamente, utilizamos el método del área de momentos del artículo 8 2. l os diagramas de momento flector de las

Esta es la llamada ecuación de los tres momentos, la cual puede ser escrita una vez para cada apoyo intermedio de 1^ viga continua. Por este sistema de ecuaciones se pueden hallar los momentos flectores en los apoyos intermedios E n toda la discusión que precede se ha supuesto que los dos extremos finales

248

VIGAS ESTÁTICAMENTE

TEOREMA

INDETERMINADAS

de la viga continua están simplemente apoyados. Si uno de estos extremos estuviera empotrado, el n ú m e r o de condiciones hiperestáticas excedería del número de apoyos. E n tal caso, se podría añadir una ecuación que expresase la condición de que no puede haber rotación en ese apoyo. Por ejemplo, supongamos que el extremo de la izquierda en la viga está empotrado. Refiriéndonos a la figura 9.8b y tomando n = \, tenemos

D E L O S T R E S MOMENTOS

y SU centro de gravedad está en el punto medio del vano, por lo que a = h 117 i mi siderando ahora los dos primeros tramos de la izquierda y observando que M, (t. lu e c u a c i ó n (9.1) se transforma en O-t-2A/,(2/) + A Í , / =

4

—

(

4

c

)

p por unidad de longitud

llllllllllllllllllLllL^ ,

-

3EI

^ 6EÍ

^m

^"^^

,

en que 0„ es el ángulo de rotación de la tangente en el apoyo de la izquierda Igualando a cero, obtenemos , ,^ Mi ^» = - T -

3Aib¡ -77-

.

^^-^^

Una vez hallados los momentos flectores en todos los apoyos de una viga continua no hay diñcultad para hallar las reacciones. Tomando nuevamente dos tramos adyacentes, como representa la figura 9.8b, sea R'„ la reacción simple en n debida a las cargas del tramo /„ y R"„ la reacción en n debida a las cargas del tramo /„+,. Además habrá reacciones producidas por los momentos de extremo A/„_,, M„ y M„+,. Tomando los sentidos de estos momentos como indica la figura 8.9b, la reacción total adicional en el soporte n será

(a)

Y

a

i (b) 0,6 p /

0.5

0,4 p /

íí -0,4 p / -OJSp/

Mn-l

- Mn ^ -Mn+ In

C)

M In+Í

Figura 9.9

proviniendo la primera parte del tramo /„ y la segunda del tramo /„4i Añadiendo las reacciones /?'„ y R"„ debidas a las cargas aplicadas, obtenemos para reacción total en cualquier apoyo intermedio fi» = « ' „ + R\

^ - T ^ " +

+

(9.3)

Por las condiciones de simetría es evidente que M, = M¿ y la ecuación (e) da M, ^ = —p/"/10 = M , . Ahora se puede dibujar el diagrama completo del momento flector (fig. 9.9b). \ Por la e c u a c i ó n (9.3) la reacción en el soporte / será „

-Pl

.P'

.P'

-

"P'

^ ' ~ y + y ^ lo ^-fo" Conocidas las reacciones y los momentos flectores en todos los apoyos, se pueden construir los diagramas de esfuerzo cortante y de momento flector de la viga continua. E n los siguientes ejemplos explicamos la aplicación de las ecuaciones (9.1), (9.2) y (9.3) a varios casos específicos. E J E M P L O 1. Construir los diagramas de esfuerzo cortante y de momento flector para la viga continua de tres tramos bajo carga uniforme de intensidad p representada en la figura 9.9a. L o s tres tramos son iguales y la viga es de sección transversal constante.

\

/

Por simetría deducimos que = R, y que R, = R,. Luego, puesto que R„ + R, + R, + + R3= ipl. Re = R' = 4p//10. Conocidas las reacciones, se construye el diagrama de esfuerzo cortante representado en la figura 9.9c. E J E M P L O 2. Construir los diagramas de momento flector y de esfuerzo cortante de la viga continua de tres tramos cargada como representa la figura 9.10a. R E S O L U C I Ó N . Para una viga simplemente apoyada c o n una carga concentrada P en el punto medio, el diagrama de momento flector es un triángulo con la ordenada m á x i ma P¡/4. E l área de este triángulo es

R E S O L U C I Ó N . E n una viga simplemente apoyada bajo carga uniforme, el diagrama de momento flector es una parábola con ordenada m á x i m a igual a pl'iS. E l área del segmento parabólico es y su centro de gravedad está en la mitad del tramo, por lo que a ~ b = ¡11.

250

VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

TEOREMA DE LOS T R E S MOMENTOS

Escribiendo la e c u a c i ó n (9,1) primero para los dos primeros tramos de la izquierda y luego para los dos tramos de la derecha, tenemos

E l diagrama de momento flector correspondiente está representado en la figura 9.11b. Por estática, las reacciones deben ser R, = 43/'/14, R, = —IIPIIA, R, = +23PI14 y el diagrama de esfuerzo cortante es la figura 9.11c.

2S1

0 + 2Mii2D + M,l = 0, O

2

1

-3-

3

-3L

Mil + 2Mi(2D + 0 =

0 -

PROBLEMAS

(f) 8

Este sistema de ecuaciones se fácilmente para los momentos M I y M , y hallamos

1.

Hallar los momentos flectores A i , y A i , en los apoyos 1 y 2 de la viga continua de tres tramos cargada como se indica en la figura A . R. A i , = '-22/'//405; A i , = —32P//405.

2.

U n a viga continua de tres tramos con extremos en m é n s u l a tiene aplicada una carga uniformemente repartida como en la figura B. Hallar la relación a// necesaria para que los momentos flectores sean iguales en los tres apoyos. R. ají = 1 / V ^ = 0,408.

resuelve flectores

p por u n i d a d de longitud

E l diagrama de momento flector correspondiente a toda la viga en conjunto está representado en la ñgura 9.10b. E l m á x i m o momento flector se produce debajo de la carga F y su valor es

l l i j J I I I I M M l l l l l l l j l l T

-Jl

A.

—

- — 2 — .

Figura B

Figura A

Pl

Pl

Pl

Figura 9.10 Utilizando la ecuación (9.3), se hallan las reacciones / ? , y /?j en los apoyos intermedios como sigue:

2

1

3.

Para la viga de la figura B hallar la relación ají necesaria para que sean iguales las reacciones en los tres apoyos. R olí = 0,44.

4.

E n una viga continua de dos tramos y m é n s u l a a la derecha, el extremo libre está cargado como representa la figura C . Calcular las reacciones en los tres puntos de apoyo, R. R, = 750 kg, hacia arriba; R, = 2500 kg, hacia abajo; R,<= 750 kg, hacia arriba.

(a)

2 . 0 0 0 kg

\

\

(b)

11111:+; 1 1 1

\

\

E J E M P L O 3. Construir los diagramas de momento flector y de fuerza cortante de la viga continua representada en la figura 9.11a, que sobresale del apoyo de la derecha y tiene aplicada una carga P en el extremo libre.

3/» 14 1 1 M

-8

Con la viga en conjunto como cuerpo libre, hallamos / ? , = -f/'/40 y = -l-I6/'/40, Ahora se puede construir el diagrama de esfuerzo cortante (fig. 9.10c).

t4

R E S O L U C I Ó N . Escribiendo la e c u a c i ó n (9.1) para los tramos adyacentes 01 y 12, tenemos

Figura 9.11 MJ

-f 2 M , ( 2 0 -f- M , / = O

(g)

Puesto que el extremo izquierdo de la viga está empotrado y no hay cargas externas normales sobre el primer tramo, la ecuación (9.2) da M , = '—MU. T a m b i é n A i , = —Pili. ya que la viga sobresale libremente del ú l t i m o apoyo de la derecha. Sustituyendo estos valores en la e c u a c i ó n (g) hallamos A i , = -fP//7. Por tanto. A i . = —P//14 y A i , = —Pljl

£ 1 n 11 rrrnz MO k g / m

_2

«' = « + í + S + ^ + ^ = + i ^ m

3,60

m

1.000 k g

Figura C

II

I I I

-3,60

m

V

J

Figura D

5.

U n a viga continua de dos tramos empotrada en el extremo de la izquierda está cargada como en la figura D . Calcular los momentos flectores en los tres apoyos. R. Aí„ = 4-63,6 m-kg; A i , = —127,2 m-kg; A i , = 0.

6.

E l tramo de la derecha de una viga continua tiene aplicada una carga uniforme de intensidad p en la mitad de su longitud como representa la figura E . Hallar los momentos flectores en los dos apoyos intermedios./?. A i , = 7p/V960; A/j = —28^^/960.

252 7.

Construir los diagramas de momento flector y de esfuerzo cortante de la viga continua representada en la figura F . R. M, = M,= +4080 m-kg; R, = R, = 10 680 kg; R, = R' = —3480 kg.

8.

Calcular los momentos flectores y las reacciones en cada apoyo de la viga continua representada en la figura G . R. M, = —1.54 m - T m ; M, = —3,74 m - T m ; M , = —1.65 m - T m ; R, = 4 2,69 T m ; +6,22 T m ; / í , = + 3 , 7 5 T m ; 7?, = —0,275 T m .

9.

Calcular el momento flector M„ y la reacción R„ en el extremo empotrado de la viga continua representada en la figura H . R. = —5280 m-kg; R„ = 3080 kg. 4.0CX3 kg

600 kg/m

4

-6 m -

-4 m

II1111

i Q

10 m -

6 m -»

1.0CX) k g / m

^-Wi

TTTTTT -8 m •

*4

(0

L a derivada de esta expresión con respecto a P es

m*

Figura H

Figura G

9.3

el cual es el ángulo de torsión de un extremo del eje con respecto al otro. Si interpretamos el par de momentos de torsión estáticamente equilibrados en los extremos del eje como una «fuerza generalizada» y el ángulo de torsión entre estos dos extremos como el «desplazamiento correspondiente», deducimos nuevamente que el «desplazamiento» viene dado por la primera derivada de la energía de deformación con respecto a la «fuerza». Finalmente, para una viga cantilever deformada por una carga transversal P en el extremo libre, figura 8.21a, página 226, la energía de deformación de flexión es

8.000 kg

O

»-4 mn

253

TEOREMA D E CASTIGLIANO

VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Teorema de Castigliano

E n los capítulos anteriores hemos desarrollado expresiones generales para la energía de deformación almacenada en una barra elástica sometida a tracción, torsión o flexión. Este concepto de energía de deformación elástica puede ser muy útil en el estudio de los diversos puntos de una estructura bajo carga. Consideremos, por ejemplo, una barra prismática bajo tracción simple como la representada en la figura 2.14a, página 42. E n este caso la energía de deformación es, por la ecuación (2.4). U =

(a) 2AE

Derivando esta expresión con respecto a la carga aplicada P. tenemos dU ^ dP -

J E " *

Así la derivada de la energía de deformación con respecto a la carga aplicada P da el desplazamiento de su punto de aplicación en la dirección de la carga E n el caso de eje de giro de sección transversal circular sometido a torsión como el representado en la figura 4.12, página 86, la energía de deformación es, por la ecuación (4.13'), U =

2G/„

(b)

L a derivada de esta expresión con respecto al momento de torsión aplicado M , se convierte en dU MJ 67„ = 4> dT

que será el desplazamiento o flecha del extremo de la viga en la dirección de la carga aplicada. Cada uno de los casos anteriores es simplemente un ejemplo de un teorema general relativo a la energía de deformación conocido por teorema de Castigliano. Vamos a proceder a la deducción general de este , . ^ teorema. E n la figura 9.12 sea AB un cuerpo o estructura elástica perfectamente apoyada en el espacio y sometida a las fuerzas aplicadas Pj, P j , P„ . . . Si el material sigue la ley de Hooke y las deformaciones son pequeñas, los desplazamientos de los puntos de carga serán ordinariamente funciones de las cargas, es decir, se cumplirá el principio de superposición.* En tales casos, la energía de deformación del sistema cargado será igual al trabajo realizado por las fuerzas Figura 9.12 aplicadas, e independiente del orden en que sean aplicadas. Si, por ejemplo, las fuerzas son aplicadas simultánea y gradualmente en la misma proporción, el trabajo efectuado será (7 = 1 {PA + P2S2 + P.58 +

• •)

l

(9.4)

donde ?>„ 82, 8 3 , . . . son los desplazamientos de los puntos 1, 2, 3, . . . en las direcciones de las correspondientes fuerzas Pj, P j , P3, . . . Hay que tener muy en cuenta que 8, 82. 83, . . . no pueden ser los desplazamientos totales de los puntos 1, 2, 3, . . . sino, en cada uno de los casos, sólo la componente del desplazamiento total en la dirección de la fuerza correspondiente. Como hemos supuesto que los desplazamientos 8,, 82. . . son funciones lineales de las fuerzas Para casos excepcionales, véase Theory of Strucíures, de Timoshenko y Young, pág. 222,