Transp Chap6

Physique Générale I Chapitre 6 Travail - Energie - Puissance

2004-2005

Chapitre 6

1

Introduction Mécanique de Newton : déterministe Si on connait en t : - les forces agissant sur un objet - sa position et sa vitesse On peut prédire où il sera en (t+Δt). En pratique : résolution parfois fastidieuse Solution : lois de conservation Chapitre 6 : Travail - Energie - Puissance variation d’énergie = travail effectué Chapitre 7 : Quantité de mouvement - Moment cinétique conservés lorsqu’aucune force et moment résultant ne sont appliqués 2004-2005

Chapitre 6

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Le travail Intuition : Seule la composante de la force dans la direction du déplacement peut effectuer un travail

Le travail W :

W ≡ Fs s = F s cos θ

[J = N.m]

Produit Scalaire : opération entre deux vecteurs dont le résultat est un scalaire: A . B = A B cos θ.

W = F . s = s . F = F s cos θ 2004-2005

Chapitre 6

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Opérations sur les vecteurs Produit d’un vecteur par un scalaire → vecteur

B = α .A = α Ax xˆ + α Ay yˆ + α Az zˆ Produit vectoriel entre deux vecteurs → vecteur

xˆ

yˆ

zˆ

C = A × B = (A B sin θ ) uˆ = Ax

Ay

Az

Bx

By

Bz

Produit scalaire entre deux vecteurs → scalaire

α = A ⋅B = A B cos θ = AxBx + Ay By + AzBz

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Chapitre 6

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Le travail

W = F s cos θ = +F s ≥ 0

W = F s cos θ = −F s ≤ 0

La personne effectue un travail sur l’objet

La objet effectue un travail sur La personne

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W = F s cos θ =0 Chapitre 6

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Généralisation On a fait l’hypothèse implicite que F était constante En toute généralité: On peut considérer de courts intervalles où F est constante ΔWi = Fi cos θ i ΔSi

Travail effectué de A→B: W = ∑ i ΔWi = ∑ i Fi cos θ i ΔSi

Prenant la limite pour ΔSi → 0 W = lim

ΔSi →0

∑F i

i

cos θ i ΔSi

B

B

A

A

= ∫ F cos θ ds = ∫ F.ds 2004-2005

aire sous la courbe dans le graphe Fs-s Chapitre 6

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Energie cinétique Energie ≡ capacité à effectuer un travail Energie cinétique ≡ capacité à effectuer un travail de par son mouvement Principe fondamental : L’énergie cinétique finale d’un objet = l’énergie cinétique initiale + le travail de toute les forces agissant sur l’objet

K = K0 + W 2004-2005

Chapitre 6

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Expression de l’énergie cinétique - Considérons un objet en mouvement de - masse m - vitesse v0 - Pour l’accélérer de manière constante jusqu’à la vitesse v, il faut appliquer une force F sur une distance d : F =ma et v2 = v02 + 2 a d - Le travail effectué par cette force vaut : W = F . d = m a d = m (v2 - v02 ) d / 2d = mv2/2 - mv02/2 = K - K0

mv 2 K= 2 2004-2005

+ C  = 0 pour que K=0 quand v=0 Chapitre 6

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Expression de l’énergie cinétique - On exerce une force de 5N sur une distance de 1m. La masse de la voiture : m = 0.1 kg. - Le travail effectué : W = F . S = (5N) . (1m) = 5 J - L’énergie cinétique finale : K = K0 + W = 0 + 5 = 5 J - La vitesse finale : K = m.v2/2 = 5 J → v = (2K/m)1/2 = (10/0.1)1/2 = 10 m s-1 2004-2005

Chapitre 6

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L’énergie potentielle gravitationnelle • K mesure le travail que peut effectuer un objet en raison de son mouvement. • Un objet au repos peut aussi potentiellement effectuer un travail

w = mg

h hi

hf

Exemple : objet à une hauteur h Susceptible d’effectuer un travail que ne peut effectuer le même objet en h = 0. Pourquoi ? Au cours de sa chute l’objet acquiert ΔK = travail de w. ΔK = Wgrav = w . d = - mg (hf-hi) = mghi - mghf On pose: ΔU = Uf - Ui = - ΔK → U = mgh + C =0 pour que U =0 quand h=0 2004-2005

Chapitre 6

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L’énergie potentielle gravitationnelle h hf

• Déplaçant l’objet de hi→hf, w effectue un travail : w = mg

Wg = - mg (hf-hi) < 0

hi

• Au cours de ce processus, l’objet acquiert de l’énergie potentielle : ΔU ≡ Uf - Ui ≡ - Wg > 0 ΔU = mghf - mghi

→ U = mgh + C = 0 pour que U =0 quand h = 0 2004-2005

Chapitre 6

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Forces conservatives ≡ Force dont le travail ne dépend que des positions initiale et finale PAS du chemin suivi entre ces points. A→C: Wg = - mg (h - h0) A → B → C : Wg = 0 - mg (h - h0) C’est cette propriété qui a permis de remplacer le travail le long d’un chemin par une différence finie Autres forces conservatives : - force de Coulomb, - force de rappel d’un ressort, … 2004-2005

Chapitre 6

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Forces dissipatives C

Les forces de frottement ne sont pas conservatives. A

B

A→C: Wf1 = - µc N |AC| A → B → C : Wf2 = - µc N (|AB|+|BC|) ≠ Wf1

Les frottements s’opposent au mouvement Travail fourni toujours <0 De l’énergie est dissipée → forces dissipatives

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Chapitre 6

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Conservation de l’énergie - Principe fondamental :

K = K0 + W

- Le travail :

W = Wc + Wa

forces conservatives

- On en déduit :

autres forces

K = K0 +Wc + Wa -(U- U0) (K+ U) = (K0 + U0) + Wa

- On appelle énergie mécanique E = K+ U

E = E0 + Wa En absence de travail effectué par des forces extérieures (Wa=0), E est conservée (K+ U = K0 + U0) 2004-2005

Chapitre 6

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Conservation de l’énergie K + U = K 0 + U 0 + Wa        E E0 Résolution des problèmes : - Identifier l’ensemble des forces qui s’exercent sur l’objet. - Pour les forces conservatives : inclure un terme d’énergie potentielle (dans ce chapitre: uniquement l’attraction gravitationnelle). - Pour les forces non-conservatives : estimer le travail effectué par la force. - Estimer l’équation de conservation en deux points particuliers du mouvement. 2004-2005

Chapitre 6

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Exercice forces : w → ΔU N ⊥ s →Wa = 0

Vitesse en bas de la pente ? Ks + Us = K p + U p     0 mgd mv 2 0 2 2004-2005

Chapitre 6

⇒ v = 2gh

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Exercice

y

Fx = w sin θ = m g sin θ  ax

x L

d L= sin θ

d θ

Vitesse en bas de la pente ? v 2 = v 02 + 2. ax . L    0 2g sin θ d sin θ 2004-2005

Chapitre 6

→

v = 2gd

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Exercice

Vitesse en atteignant le sol ? K +U =   mv 2 0 2 2004-2005

K0 + U0   mv 02 mgh 2 Chapitre 6

⇒ v = v 02 + 2gh

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Barrage sur la Rance Marée basse

Marée haute

Quelle énergie disponible ? Wa = U - U 0 = −mgh

ρ Ad

d/2

Marée basse d = 8,5 m

23 km2

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kg = −1000 3 × 23.10 6 m2 × 8.5 m m m 8.5 × 9.81 2 × m 2 s = −8.1501012 J = 8.15 GJ Chapitre 6

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Force d’attraction gravitationnelle - Pour déterminer U nous avons supposé: Hypo : g = constante - En toute généralité :

Fg = −G g = −G

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m MT (RT + h)

2

MT (RT + h)

2

rˆ = −G

m MT r

2

rˆ

= constante si h  RT

Chapitre 6

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Force conservative - Fg est conservative : 2

W1→2 = ∫ Fg ⋅ dr

2

1

2

= ∫ −G 1

m MT r2

m MT =G r

1

dr r

2

m

Fg

MT

1

m MT m MT =G −G r2 r1       -U2 -U1 2004-2005

Chapitre 6

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Energie potentielle gravitationnelle - On définit l’énergie potentielle: ΔW = - ΔU = - (U-U0)

m MT U = −G + C r

= 0 pour que U = 0 lorsque r = ∞

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Chapitre 6

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Connection avec U = mgh

m MT U = −G (RT + h)

si x=

h 1 RT

1  (1− x + ...) (1+ x)

m MT = −G RT

0 U<0

1 h (1+ ) RT

m MT h  −G (1− + ...) RT RT m MT G MT = −G +m 2 h RT RT    g C =mgh+C

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Chapitre 6

m MT U = −G r

U>0 U = mgh

U<0 U>0 0 U<0 U<0

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Energie d’un satellite E=K+U - Energie potentielle : m MT U = −G r

- Energie cinétique : m MT

v2 G =m 2 r r m MT 2 ⇒ mv = G r 1 m MT 1 ⇒K = G =− U 2 r 2 2004-2005

- Energie mécanique : 1 E= K+U = U 2 1 m MT =− G 2 r Chapitre 6

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Travail nécessaire pour placer un satellite en orbite : r = 2RT Wa = E - E0 - Energie initiale : E0 = U 0 m MT = −G RT

-Travail nécessaire:

- Energie finale :

Wa = E − E0

E = K +U

3 m MT = G 4 RT

1 m MT =− G 2 2RT 2004-2005

Chapitre 6

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Travail pour placer un satellite en orbite : r = 2RT -Travail : 3 m MT Wa = G 4 RT

-Energie cinétique correspondante : 1 3 m MT 2 K 0 = mv 0 = G 2 4 RT 3 MT ⇒ v0 = G 2 RT 3 = g RT 2 2004-2005

Chapitre 6

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Vitesse de libération d’un satellite ≡ Vitesse initiale minimum permettant d’échapper à l’attraction terrestre. - On a : K + U0  +U = K 0  ≥ 0 0 mv 2 /2 −GmM /R T T 0 mv 02 mMT ⇒ ≥G 2 RT

- Vitesse de libération : v0 =

2GMT = 2gRT RT

= 2 × 9.81× 6.38 10 6  40 000 km/h 2004-2005

Chapitre 6

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Puissance ≡ Mesure le travail qui peut être effectué par unité de temps. - Puissance moyenne : Lorsqu’un travail ΔW est effectué sur un intervalle de temps Δt : ΔW P = Δt

J [W= ] s

- Puissance instantanée : puissance moyenne sur un intervalle de temps extrèmement court : ΔW dW P = lim = Δt →0 Δt dt 2004-2005

Chapitre 6

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Puissance dW P = dt or dW = F ⋅ ds = F cos θ ds = FS ds dès lors ds P = Fs dt

P = Fs .v 2004-2005

Chapitre 6

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Mouvement de rotation On a les relations : s = rθ aT = rα

v = rω ar = rω2

s θ r

Le travail :

W = s ⋅ F = θ ⋅ r ⋅ F = θ ⋅τ τ La puissance : dW dθ P = =τ ⋅ = ω ⋅τ dt dt  ω L’énergie cinétique : 1 1 2 2 1 2 2 K = mv = mr  ω = Iω 2 2 2 I 2004-2005

Chapitre 6

W = τ ⋅θ P = τ ⋅ω 1 K = I ⋅ω 2 2

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K + U = K0 + U0     0 0 mgh

Exercice

K seau + K treuil   mv 2 Iω 2 Iv 2 = 2 2 2 2r mv 2 Iv 2 ⇒ + 2 = mgh 2 2r ⇒ v2 =

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2mgh I m+ 2 r

⇒

v=

2mgh I m+ 2 r

Chapitre 6

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Exercice Une éolienne transforme en électricité 30% de l’énergie cinétique qui la traverse

v A = πR2

- Masse d’air traversant l’éolienne durant Δt : m = ρ ⋅ (A ⋅v Δt) - Energie cinétique associée: mv 2 1 K= = ρ ⋅ A ⋅v 3 Δt 2 2

- Puissance disponible :

Puissance convertie:

K 1 P = = ρ ⋅ A ⋅v 3 Δt 2

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1 P = 0.3 ρ ⋅ A ⋅v 3 2

Chapitre 6

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