Transp Chap4

Physique Générale I Chapitre 4 La Statique

2004-2005

Chapitre 4

1

Introduction • Σi Fi = F1 + F2 = 0 Pas une condition suffisante à l’absence de mouvement pour un corps étendu. • Point d’application de la force : Joue un rôle important.

• Moment d’une force : par rapport à un point ≡ Capacité qu’a cette force de produire un mouvement de rotation autour de ce point. 2004-2005

Chapitre 4

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Moment d’une force

τ=0

τ = τmax τ=0 τ=0 pour θ = 0˚, 180˚ τ = τmax pour θ = 90˚ τ proportionnel à sinθ 2004-2005

Chapitre 4

3

Moment d’une force

τ=0

τ=0

τ1

τ proportionnel à

2004-2005

Chapitre 4

τ2

<

<

τ3

r F 4

Amplitude de τ

τ = r F sin θ = r F⊥ = r⊥ F 2004-2005

Chapitre 4

5

Direction de τ

La direction de τ est la direction de l’axe autour duquel se fait la rotation (τ ⊥ r, τ ⊥ F) Le sens positif est celui produisant une rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre 2004-2005

Chapitre 4

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Produit vectoriel Le moment d’une force (par rapport à un point) est un vecteur :

τ=rxF • dont l’amplitude est →

τ = r F sin θ

• dont la direction est → ⊥ r et F • dont

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le sens

est → donné par la règle de la main droite

Chapitre 4

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Produit vectoriel

Propriété :

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rxF=-Fxr

Chapitre 4

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Couple de forces ≡ deux forces - de même amplitude - de même direction - de sens contraire - dont les lignes d’action sont différentes.

• La force résultante est nulle • Le moment de force résultant τ = l x F τ = x1 F - x2 F = (x1 - x2) F =-lF 2004-2005

Chapitre 4

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Conditions d’équilibre (Corps solide étendu) • Equilibre de translation : force résultante nulle

Σi Fi = 0 • Equilibre de rotation : moment de forces résultant (÷ pt qcq) nul

Σi τi = 0 Note : - choisir un repère droitier - définir correctement le point d’application des forces. 2004-2005

Chapitre 4

y

index

majeur pouce

z

x 10

Exemple y x

z

N = w1 + w2

Conditions d’équilibre ΣF=0 N = w1 + w2

(-x1)(-w1) +x2(-w2)=0 x1 w1 - x2 w2=0 x1/x2 = w2/w1 2004-2005

Στ =0

Chapitre 4

x1N+(x1+x2)(-w2)=0 x1(w1 + w2 )+(x1+x2)(-w2)=0 x1 w1 - x2 w2=0 x1/x2 = w2/w1 11

Le centre de masse Système composé de 2 masses ponctuelles : x2 x1 m1 xCM

m1x1 + m2 x2 m1x1 + m2 x2 ≡ = m1 + m2 M

si m1 = m2 → xCM si m1 = 0 → xCM 2004-2005

m2

x1 + x2 = 2 = x2 Chapitre 4

12

Le centre de masse Système composé de n masses ponctuelles : xCM

m1x1 + m2 x2 + ... + mn xn ≡ = m1 + m2 + ... + mn

∑

n i =1

mi xi

M

Dans les 3 directions de l'espace: xCM

∑ =

n i =1

mi xi

M

∑ i =1 mi y i n

y CM = zCM 2004-2005

∑ =

rCM

M n i =1

∑ =

n i =1

mi ri

M

mi zi

M Chapitre 4

13

Mouvement de translation M rCM = ∑ i =1 mi ri n

Prenant la différentielle par rapport au temps: drCM dri n n M = ∑ i =1 mi → M vCM = ∑ i =1 mi v i dt dt Prenant la différentielle par rapport au temps: dvCM dv i n n n M = ∑ i =1 mi → M aCM = ∑ i =1 mi a i = ∑ i =1Fi dt dt M aCM = ∑ i =1Fi = Fext n

Le CM d’un corps étendu se déplace comme un corps ponctuel de même masse sur lequel agirait une force externe totale Fext = Σi Fi. 2004-2005

Chapitre 4

14

Mouvement complexe : translation + rotation Le CM d’un corps étendu suit la trajectoire que suivrait un corps ponctuel de même masse, soumis à la même force nette Fext = Σi Fi.

Mouvement = général corps étendu 2004-2005

mouvement translation du centre de masse Chapitre 4

+

mouvement rotation autour du centre de masse 15

Le centre de gravité Point d’application de w Force résultante : w = ∑ i =1 w i n

wi

Moment de force résultant : τ =∑ i =1 ri × w i =∑ i =1 ri × (mi g) n

n

=∑ i =1 (mi ri ) × g =(∑ i =1 mi ri ) × g n

n

=(M rCM ) × g = rCM × Mg= rCM × w

CG w

= rCG × w

Centre de masse = centre de gravité (lorsque g homogène) 2004-2005

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Le centre de gravité Détermination expérimentale Un objet en suspension se positionne de manière que le CG se trouve par la verticale passant par le point P de suspension τ = r x w = r w sin θ

P

r

P

P’

θ w 2004-2005

Chapitre 4

17

Le centre de gravité Le centre de gravité d’un objet symétrique homogène se trouve au centre géométrique de l’objet.

Celui-ci peut être situé en dehors de l’objet. 2004-2005

Chapitre 4

18

Equilibre et stabilité

Force résultante : w = N1 + N2

Force résultante : w = N1 + N2

Moment de force résultant : τ CM =x1 × N1 + x 2 × N2 = 0

Moment de force résultant : τ CM =x1 × N1 + x 2 × N2 = 0 = +x1N1 + x2N2 = 0

= −x1N1 + x2N2 = 0

→ IMPOSSIBLE

x2 x1 N1 = w, N2 = w x1 + x2 x1 + x2 2004-2005

Chapitre 4

19

Equilibre et stabilité Un objet bascule lorsque la verticale passant par le CG coupe la base en dehors du polygone de sustentation défini par les supports

2004-2005

Chapitre 4

20

Equilibre et stabilité Cheval: Le CG est toujours dans le triangle défini par les pattes en contact avec le sol.

Course: Le CG est à l’avant des pieds → position instable. On lance les jambes en avant pour retrouver l’équilibre 2004-2005

Chapitre 4

21

Les leviers Equilibre: xR FR = xA FA

2004-2005

A.M. > 1 <

Avantage mécanique: A.M. = FR / FA

A.M. > 1 Chapitre 4

A.M. < 1 22