Transp Chap2

Physique Générale I Chapitre 2 Le mouvement a deux dimensions 2004-2005

Chapitre 2

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Introduction Espace ≡ 3 dimensions • Prenant un point de référence O, O la position d’un point de l’espace est définie par un vecteur (m) possédant : - une grandeur (norme ou module) (m, |m|) -une direction et un sens

M m

• Certaines grandeurs sont - vectorielles : r, v, a, E, … - scalaires : t, T, K, U, … Caractériser le mouvement ≡ déterminer l’évolution du vecteur position 2004-2005

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Addition de deux vecteurs C = A+B

C = B-A = B+(-A)

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Repère cartésien Repère cartésien ≡ système composé de 3 vecteurs - de grandeur unitaire (symbole ^) - orthogonaux entre eux. • Exemple : repère droitier z

y x 2004-2005

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Composantes d’un vecteur Cas à deux dimensions

y

A = A a = Ax x + Ay y

A

Ay a

θ

o

Ax

composantes: Ax = A cosθ Ay = Asin θ

x

Ay Ax

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= tgθ

A = Ax2 + Ay2

Chapitre 2

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Opérations sur les vecteurs • Addition :

A + B = (Ax + Bx )x + (Ay + By )y

• Soustraction :

A − B = (Ax − Bx )x + (Ay − By )y

• Multiplication par un scalaire :

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α A = (α Ax )x + (α Ay )y

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Le mouvement à deux dimensions • Position (s), vitesse (v) et accélération (a) sont représentées par des vecteurs. • Les composantes de ces vecteurs dans une direction donnée satisfont entre-elles aux mêmes relations que dans le cas du mouvement rectiligne.

Problème du mouvement à deux dimensions ≡ Deux problèmes de mouvement rectilignes simultanés et couplés au travers de la variable temps

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Le vecteur vitesse

Vitesse moyenne : Δs (sx 2 − sx1 )x + (sy2 − sy1 )y v= = Δt Δt Δsx  Δsy  = x+ y Δt Δt = vx x + vy y

Vitesse instantanée : Δs v = lim Δt →0 Δt dsy  ds = x x + y dt dt = vx x + vy y

Vecteur vitesse : tangent à la trajectoire 2004-2005

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Le vecteur accélération

Accélération moyenne : Δv (vx 2 − vx1 )x + (vy2 − vy1 )y a= = Δt Δt Δvx  Δvy  = x+ y Δt Δt = a x + a y x

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y

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Accélération instantanée : Δv a = lim Δt →0 Δt dvy  dv = x x + y dt dt = ax x + ay y 9

Lois du mouvement Les composantes (ax,vx,sx) et (ay,vy,sy) : satisfont entre elles aux lois du MRUA Mouvement plan = composition de deux MRUA

Vitesse ou accélération constante : ≠ module du vecteur constant = module et direction constants = chacune des composantes constante 2004-2005

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Lois du mouvement à 2 dimensions a = ax x + ay y ax = cste v = vx x + vy y vx = vx 0 + ax Δt

dv ax = x dt ay = cste

ay =

dvy dt

dsy dsx vx = vy = dt dt vy = vy0 + ay Δt

s = sx x + sy y 1 Δsx = vx 0 Δt + ax (Δt)2 2 (vx2 − vx20 ) Δsx = 2ax 2004-2005

1 Δsy = vy0 Δt + ay (Δt)2 2 2 (vy2 − vy0 ) Δsy = 2ay

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Application : les projectiles y

Repère :

x horizontal y vertical

x

Equations du mouvement : Direction horizontale MRU

Direction verticale MRUA ay = −g

ax = 0 vx = vx 0 Δx = vx 0 Δt 2004-2005

vy = vy0 − gΔt 1 Δy = vy0 Δt − g (Δt)2 2 Chapitre 2

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Les projectiles Trajectoire parabolique y

x

La trajectoire, en fonction du temps d’un objet en chute libre dans un graphe x-y est une PARABOLE.

Δx Δx = vx 0 Δt → Δt = vx 0 vy0 1 g 2 Δy = vy0 Δt − g (Δt) = Δx − 2 (Δx)2 2 vx 0 2vx 0 " Δy = A Δx − B(Δx)2 " 2004-2005

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Les projectiles Trajectoire parabolique

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Tir Δx = d →Δt = ? vy0

v0 vx0

θ

h = d tgθ d

Δx = v0 cosθ Δt = d d → Δt = v0 cosθ

Position du projectile 1 Δy = yP − 0 = v0 sin θ Δt + (−g)(Δt)2 2 d 1 d = v0 sin θ + (−g)( )2 v0 cosθ 2 v0 cosθ g d yP = d tg θ − ( )2 2 v0 cosθ 2004-2005

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Tir Projectile: h = d tgθ

vy0 vx0

g d yP = d tg θ − ( )2 2 v0 cosθ h

d

Position de l’ours: 1 Δy = yS − h = (−g)(Δt)2 2 1 d = (−g)( )2 2 v0 cosθ g d yP = h− ( )2 2 v0 cosθ 2004-2005

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Tennis v0 h

Données : d h’

v0 = vx0 = 30 m/s h = 2,4 m h’ = 0,9 m d = 12 m

La balle passera-t-elle au dessus du filet ?

Δx = vx 0 Δt = d = 12 m

Δx 12 → Δt = = = 0, 4 s vx 0 30

0  1 Δy = vy0 Δt − g(Δt)2 2

1 → Δy = .9, 81.(0, 4)2 = −0, 78m 2

y f = 2, 4 − 0, 78 = 1, 62m > 0, 9m 2004-2005

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Tennis v0 h

Données : d h’

v0 = vx0 = 30 m/s h = 2,4 m h’ = 0,9 m d = 12 m

Où la balle atteindra-t-elle le sol ? 0  1 Δy = vy0 Δt − g(Δt)2 = −2, 4m → Δt = 2

2 × 2, 4 = 0, 7s g

Δx = vx 0 Δt = 30 × 0, 7 = 21m Service à l’horizontale :

temps de vol indépendant de v0 portée proportionnelle à v0 ⇒ adapter l’angle de service à la vitesse

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Portée et temps de vol y

vy0

v0 θ vx0 P

(lancé depuis le sol) vx 0 = v0 cosθ

vy0 = v0 sin θ

x

Portée [Δx]

Temps de vol [Δy = 0]

2v0 sin θ P = vx 0 Δt = v0 cosθ g

1 Δy = vy0 Δt − g(Δt)2 = 0 2 1 = (vy0 − gΔt) Δt = 0 2 2vy0 2v0 sin θ Δt = = g g 2004-2005

v02 = 2 sin θ cosθ g v02 P = sin(2θ ) g Chapitre 2

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Angle optimum Compromis entre portée et temps de vol P(θ)

2v0 sin θ Δt = g 2004-2005

v02 P = sin(2θ ) g Chapitre 2

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Angle optimum Compromis entre portée et temps de vol

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Portée et temps de vol (lancé d’une hauteur H)

H

Temps de vol [Δy = -H]

Portée [Δx]

1 Δy = vy0 Δt − g(Δt)2 = −H 2

P = vx 0 Δt v02 P= sin(2θ ) 2g v0 cosθ 2 2 + v0 sin θ + 2gH g

v0 sin θ + v02 sin 2 θ + 2gH Δt = g

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Portée optimale: plus pour θ = 45˚.

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