Transformasi Laplace.docx

TRANSFORMASI LAPLACE

DISUSUN OLEH: KELOPOK 3 ABDULLAH ARHAB ANSAR JULIANTI METY T.L A.EKA YUSUF ILHAM NICOLAS

(32217091) (32217093) (32217096) (32217098) (32217099)

2D TEKNIK TELEKOMUNIKASI MATA KULIAH: PENGOLAHAN SINYAL

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Transformasi laplace merupakan salah satu metode pengembangan teknologi yang sangat popular dan sangat penting dengan adanya metode transformasi laplace inilah sehingga teknologi-teknologi bias berkembang sampai sekarang, selain itu Transformasi Laplace juga salah satu metode transformasi terpisahkan yang sangat berguna dalam memecahkan biasa linier dif- ferential persamaan. Ia menemukan aplikasi yang sangat luas dalam var- ious bidang fisika, teknik elektro, kontrol insinyur- neering, optik, matematika dan pemrosesan sinyal. Itu Transformasi Laplace dapat diartikan sebagai suatu transformasi tion dari domain waktu di mana input dan output yang fungsi waktu ke domain frekuensi di mana input dan output adalah fungsi dari frekuensi sudut kompleks. Agar setiap fungsi f waktu (t) menjadi Laplace.

1.2 Tujuan Pembuatan Makalah

a. Untuk mengetahui arti transformasi laplace b.

Untuk mengetahui tujuan dan unsure-unsur transformasi laplace

c. Untuk mengetahui fungsi-fungsi transformasi laplace d. Untuk mengetahui efektivitas proses transformasi laplace dalam kehidupan sehari-hari

1.3 Manfaat Dengan adanya makalah ini mahasiswa/mahasiswi diharapkan dapat lebih mengetahui apa definisi lebih dalam mengenai transformasi laplace itu sendiri, bagian bagian dari transformasi laplace, dan hal hal yang menyangkut mengenai transformasi laplace yang mungkin tidak didapatkan di dalam pembelajaran.

BAB II ISI (PEMBAHASAN) TRANSFORMASI LAPLACE DAN PENGGUNAN Transformasi Laplace merupakan klas dari transformasi integral yang dimanfaatkan : 

Untuk merubah bentuk persamaan diferensial biasa menjadi bentuk persamaan aljabar.



Untuk merubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa.

2.1 Definisi Misal fungsi f(t) terdefinisi untuk t≥0. Maka transformasi Laplace (satu sisi atau unilateral) dari f(t) didefinisikan sebagai: ∞

𝐿(𝑓(𝑡) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1.1) 0

Integral (1.1) merupakan fungsi dalam parameter s, maka notasi lain yang biasa digunakan adalah F(s) = L (f(t)). Sedangkan fungsi asal f(t) dapat diperoleh dari Transformasi invers f(t) = 𝐿−1 (F(s)).

Agar transformasi Laplace F(s) ada maka integral tak wajar (1.1) haruslah konvergen dan ini dapat dicetak dengan mencari limit : ∞

∞

∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = lim ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1.2) 𝑏→∞

0

0

Bila kita coba untuk beberapa nilai bilangan bulat n, secara induktif didapatkan transformasi Laplace untuk f(t) = 𝑡 𝑛 yaitu : 𝐹(𝑠) =

𝑛! 𝑆 𝑛+1

(𝑠 > 0) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1.3)

Maka didapatkan transformasi invers,𝐿−1 (

1

𝑡 𝑛−1

) = (𝑛−1)! 𝑆𝑛

Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑎𝑡 . Jawab: Dengan menggunakan definisi (1.1) didapatkan, 𝑏

𝐹(𝑆) = lim ∫ 𝑒 (−𝑠+𝑎) 𝑑𝑡 = 𝑏→∞ 0

1 𝑏 1 (𝑠 > 𝑎) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1.4) lim 𝑒 (−𝑠+𝑎)𝑡 | = −𝑠 + 𝑎 𝑏→∞ 0 𝑠−𝑎

Dari bentuk (1.4) didapatkan transformasi invers, 1 𝐿−1 ( ) = 𝑒 𝑎𝑡 𝑠−𝑎 Beberapa sifat : Sifat keberadaan transformasi, sifat ketunggalan dan sifat linear dari transfomasi Laplace namun sebelumnya, perhatikan beberapa definisi berikut. Fungsi f(t) disebut kontinu bagian demi bagian pada interval [a,b] bila : 

Interval [a,b] dapat dibagi menjadi sub-sub interval yang berhingga banyaknya yang menyebabkan f(t) kontinu pada sub-sub interval tersebut.



Limit dari f(t) pada setiap ujung sub interval bernilai hingga.

Fungsi f(t) disebut terbatas eksponensialpada interval [a,b] bila terdapat bilangan real M dan r sehingga berlaku |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒 𝑟𝑡 untuk setiap 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏].

Sifat Keberadaan Transformasi Laplace : Transformasi Laplace dari f(t) dengan t≥0 ada bila f(t) kontinu bagian demi bagian dan terbatas eksponensial untuk t≥0.

Sifat Ketunggalan Transformasi Laplace : Transformasi lalace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila 𝐹1 (𝑠) dan 𝐹2 (𝑠) merupakan transformasi Laplace dari f(t) maka 𝐹1 (𝑠) = 𝐹2 (𝑠). Sifat Linear Transformasi Laplace : Dengan menggumakan definisi (1.1), didapat bahwa Transformasi Laplace mempunyai sifat linear,

∞

𝐿(𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 (𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡))𝑑𝑡 0 ∞ −𝑠𝑡

= 𝑎∫ 𝑒

∞

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑏 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 ⋯ ⋯ ⋯ (1.5)

0

0

= 𝑎𝐹(𝑠) + 𝑏𝐺(𝑠) Invers dari transformasi Laplace juga mempunyai sifat linear,karena : 𝐿−1 (𝑐𝐹(𝑠) + 𝑑 𝐺(𝑠)) = 𝐿−1 (𝐿(𝑐𝑓(𝑡) + 𝑑𝑔(𝑡)) = 𝑐𝑓(𝑡) + 𝑑𝑔(𝑡) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (1.6) = 𝑐𝐿−1 (𝐹(𝑠)) + 𝑑𝐿−1 (𝐺(𝑠)) Contoh : Tentukan transfomasi Laplace dari f(t) = (t + 2)² Jawab : Dengan menggunakan sifat (1.5) dan rumus umum untuktransformasi Laplace dari fungsi polinom (1.3) didapatkan transformasi Laplace dari fungsi f(t) = (t + 2)2= t2 + 4 t + 4 , yaitu : 2

4

4

F(s) = 𝑆 3 + 𝑆 2 + 𝑠 =

2+4𝑠+4𝑆 2 𝑆3

2. Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi Tingkat – n Misal f(t) dan turunannya f ‘ (t) kontinu dan terbatas eksponensial, maka f(t) dan f ‘ (t) mempunyai transformasi Laplace. Dengan menggunakan integral parsial dan sifat terbatas eksponensial dari f(t) maka diperoleh : ∞

∞

∞

L(f ‘ (t)) = ∫0 𝑒 𝑓 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡) ∫0 + 𝑠 ∫0 𝑒 𝑓(𝑡)dt .............................................(1.7) Dengan menggunakn notasi (1.7) didapatkan transformasi Laplace dari turunan orde 2 dan orde 3 dari fungsi f(t) yaitu: L(f ‘ “(t)) = 𝑠 2 F(s) – sf (0) – f ‘ (0)

Dan L(f ‘ “(t)) = 𝑠 3 F(s) – 𝑠 2 f (0) – sf ‘ (0) – f (0) Secara induktif dapat diperoleh transformasi Laplace dari turunan orde n fungsi f (t), L(𝑓 (𝑛) (t)) = 𝑠 𝑛 F(s) – 𝑠 𝑛−1 f(0) – 𝑠 𝑛−2 f ‘ (0) - ... – 𝑓 (𝑛−1) (0) .................................(1.8) Metode penurunan fungsi (1.8) akan lebih mudah diterapkan untuk menentukan transformasi Laplace dari fungsi yang apabila diturunkan sampai tingkat-n akan kembali ke bentuk semula.

3. Transformasi Laplace dari Integral Fungsi Pada metode penurunan fungsi (1.8) diperlihatkan bahwa transformasi Laplace dari turunan fungsi didapatkan dengan mengalikan hasil transformasi fungsi dengan s. Karena integral merupakan anti turunan maka dapat diturunkan transformasi Laplace dari integral fungsi yang merupakan pembagian dari hasil transformasi fungsi oleh s. Misal F(s) = L (f(t)) ada. Maka : 𝑡 L{∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 } = 1⁄𝑠 𝐹(𝑠).................................................................................(1.15)

Dengan s > 0. Sedang dengan menggunakan transformasi invers didapatkan : 𝐹(𝑆) ) 𝑠

𝐿−1 (

𝑡

= ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥......................................................................................(1.16) 4

Contoh : Tentukan invers dari : G(s) = 𝑆 2 +2𝑠 Jawab : Menggunakan sifat (1.11), G(s) dapat dituliskan sebagai : G(s) = 4

F(s) = 𝑠−2. Invers dari F(s) adalah f(t) = 4𝑒 2𝑡 . Oleh karena itu, invers dari G(s) adalah 𝑡

g(t) = ∫0 4𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 2(𝑒 2𝑡 − 1)

𝐹(𝑠) 𝑠

dengan

Berikut diberikan tabel pasangan transformasi Laplace untuk beberapa fungsi yang bisa diselesaikan menggunakan metode yang diberikan sebelumnya. Tabel 1.1 Transformasi Laplace

4. Pergeseran Terhadap Sumbu S Misal fungsi f(t) mempunyai transformasi Laplace, F(s) = L (f(t)). Maka grafik hasil transformasi Laplace dari g(t) = 𝑒 𝑎𝑡 f(t), dengan menggeser grafik hasil transformasi dari f(t) atau grafik F(s) sepanjang a satuan kea rah kanan (bila a>0) atau kearah kiri (bila a<0). Maka didapatkan transformasi Laplace :

Contoh 1. Tentukan transformasi Laplace dari : g(t) = 𝑒 2𝑡 sin 3t

Penyelesaiaian : Misal f(t) = sin 3t. Maka g(t) = 𝑒 2𝑡 f(t) 3

Transformasi laplace dari f(t) yaitu F(s) =𝑆 2 + 9.Oleh karena itu, G(s) = F(s – 2) =

3 (𝑠−2)2 +9

Contoh 2. Tentukan invers Dari G(s) =

𝑠 𝑠2 +2𝑠+2

Penyelesaian : 𝑠

G(S) = 𝑠2 +2𝑠+2 + = Misal F1 (s) =

𝑠 𝑠2 +1

𝑠+1 1 − (𝑠+1)2 +1 (𝑠+1)2 +1

dan F2(s) =

−1 , 𝑠2 +1

maka keduanya mempunyai invers berturut – turut f1(t) = cost t

dan f2 (t) = -sint, sehingga G(s) = F1 (s+1) + F2(s+1). Oleh karena itu invers dari G(s) adalah g(t) = 𝑒 −𝑡 (cost – sint)

5. Pergeseran terhadap sumbu t ;𝑡 < 𝑎 Misal F(s) = L(f(t)) ada dan didefinisikan fungsi tangga g (t) = {𝑓(𝑡 − 𝑎) dengan a≥ 0. Untuk ;𝑡 > 𝑎 mencari transformasi laplace dari fungsi tangga g(t) yang terdefinisi untuk t>0 dapat diselesaikan dengan memperkenalakan fungsi tangga satuan. Fungsi tangga satuan atau fungsi Heaviside didefinisikan sebagai berikut

Dengan a > 0 Graffik fungsi tangga satuan (1,19) ditunjukan pada gambar 1.2 berikut

Sehingga diperoleh transformasi laplace untuk g(t) = f(t – a) u (t-a) L(g(t)) = L(f(t – a)u(t – a)) = 𝑒 −𝑎𝑠 F(s) …………………1.20 Sedangkan transformasi invers 𝐿−1(𝑒 −𝑎𝑠 F(s)) = f(t – a)u(t – a) = g(t) …………………..1.21 1 𝑆

Misal f(t – a) = 1 maka f(t) = 1 dan F(s) = , maka didapatkan transformasi Laplace dari fungsi tangga satuan L[u(t − a)] =

𝑒 −𝑎𝑠 ……………………………1.22 𝑠

Dan Transformasi Invers :

𝑒 −𝑎𝑠 )= 𝑠

𝐿−1 (

u(t – a) ……………………………1.23

Contoh : Tentukan transformasi Laplace dari fungsi g(t) = t u(t – 2) Penyelesaian : Bila kita padankan dengan pasangan transformasi Laplace, g(t) = f(t – a)u(t – a) ↔G(s) = 𝑒 −𝑎𝑠 F(s), maka 1

2

dimisalkan f ( t- 2) = t. Oleh karena itu, f(t) = t + 2 dan F(s) = 𝑠2 + 𝑠 .Jadi Transformasi Laplace dari 1

2

fungsi g(t) adalah G(s) = 𝑒 −2𝑎𝑠 F(s) = 𝑒 −2𝑎𝑠 𝑠2 + 𝑠

6. Transformasi Laplace dari Fungsi Tangga Misal diberikan fungsi f(t) = 2 u(t) + (3t – 2) u (t – 1) – 5t u (t – 2). Maka nilai fungsi f(t) untuk beberapa interval : • Interval t< 0, Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 1) = u (t – 2) = 0, sehingga f(t) = 0 • Interval 0< t<1 Pada interval ini, nilai u (t) = 1 dan u (t-1) = u (t-2) = 0, sehingga f(t) = 2 • Interval 1 2 Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 2) = 1, sehingga f(t) =2 + (3t – 2)- 5t = 2t

Grafik fungsi f(t) ditunjukan pada gambar 1.3. Sehingga bila fungsi f(t) dinyatakan dalam fungsi tangga maka f(t) :

Bila dikaitkan dengan transformasi laplace, maka hanya akan di perhatikan nilai fungsi f(t) untuk t ≥ 0, sehingga fungsi f(t) :

Misal dihadapkan permasalahan untuk mendapatkan trnsformasi Laplace terhadap dua fungsi yang sama yaitu fungsi : F(t) = 2 u(t) + (3t – 2) u ( t – 1 ) – 5t

U (t-2) dan fungsi

Langkah – langkah untuk menentukan transformasi laplace dari fungsi tangga g(t) : (i) Ubahlah g(t) ke dalam bentuk suku – suku dengan factor fungsi tangga satuan u (t – a) dengan cara berikut : a) Nilai a pada u(t – a) diambil dari batas masing – masing sub interval fungsi g(t). b) Nilai suatu suku dari g(t) akan merupakan perkalian antara u(t – a) dan nilai fungsi bersesuaian dengan a yang diambil tanda positif dan tanda negative ditentukan dari perbandingan antara t dan a. Untuk a < t diambil tanda positif ( + ) dan untuk t < a diambil tanda negative (-) (ii) Transformasikan masing –masing suku yang didapatkan dari (i) menggunakan metode 1.20. Contoh: 0 Dik : g(t) = { 1 𝑡

;𝑡 < 0 ;0 < 𝑡 < 2 ;𝑡 > 2

1. Nyatakan g(t) ke dalam susku – suku dari u(t – a) 2. Tentukan transformasi Laplace dari g(t) Penyelesaian : 1. Batas sub interval dari g(t) adalah 0 dan 2, sehingga g(t) dapat dinyatakan dalam suku- suku dengan factor u(t) dan (t – 2) jadi : G(t) = u(t) – u(t – 2) + t.u (t – 2) = 1 + u ( t – 2) + (t -2) u (t – 2) 2. Dengan menerapakan bentuk 1.15 didapatkan transformasi Laplace dari g(t) yaitu:

Contoh masalah nilai awal yang berkaitan dengan pemakaian fungsi tangga satuan diberikan contoh berikut :

1. Tentukan transformasi laplace r(t) 2. Tentukan solusi masalah nilai awal tersebut. Penyelesaian : 1. Batas sub interval dari fungsi r(t) adalah 0 dan 1, maka bentuk fungsi tangga satuan yang akan menjadi factor di dalam tiap suku dari fungsi r(t) adalah u(t) dan u(t -!), jadi

r (t) = 2t – 2 t.u (t – 1) = 2t – 2 (t-1)u (t – 1) – 2u (t – 1) diperoleh hasil transformasinya : 2

L[r(t)] = 𝑠2 − [

2+2𝑠 −𝑠 ]𝑒 𝑠2

2. Dengan memisahkan L ( y(t)) = Y (s) dan dengan mengambil transformasi pada kedua ruas didapatkan :

Maka berturut – turut invers dari F(s) dan G(s) adalah

Dan

Oleh karena itu solusi masalah nilai awal adalah : Y(t) = f(t) – g(t)

BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan dari uraian tersebut dapat kita simpulkan bahwa transformasi laplece itu juga sangat penting, sehingga kita harus mempelajarinya untuk kita terapkan dalam kehidupan sehari-hari fungsi untuk mengembangkan teknologi transformasi yang sudah ada menjadi teknologi yang lebih canggih lagi. 3.2 Saran Berdasarkan pada uraian tersebut, maka penulis menyampaikan saran-saran yang berkaitan dengan proses penerapan transformasi laplace dalam kehidupan sehari-hari sebagai berikut: 1. transformator hendaknya memiliki kemampuan dalam proses penerapan transformasi, dalam penerapan nantinya tidak terjadi kesalahan.

sehingga

2. transformator hendaknya sering-sering melakukan percobaan 3. Dalam proses praktek hendaknya terjalin kerjasama dengan orang lain, dengan tujuan klo sewaktuwaiktu ada kesalahan atau kekeliruan ada yang mengngoreksi atau mengingatkan sehingga dalam proses praktek bisa membawakan hasil yang maksimal.