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TRANSFORMADORES. ANÁLISIS APLICANDO MATLAB

Dr. Mariano David Zerquera Izquierdo Dr. Juan José Sánchez Jiménez

TRANSFORMADORES. ANÁLISIS APLICANDO MATLAB

Dr. Mariano David Zerquera Izquierdo Profesor Investigador Titular C, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías, Universidad de Guadalajara.

Dr. Juan José Sánchez Jiménez Profesor Investigador Titular C, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías, Universidad de Guadalajara

Primera Edición 2012 Editorial: Ampermex, S.C.

La presentación y disposición en conjunto de: Transformadores. Análisis Aplicando Matlab. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (Incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación o almacenamiento de la información ) , sin consentimiento por escrito de los autores. Obra con registro público de derecho de autores

No.03-2013-111309395300-01 México D.F. 20 Noviembre de 2013. (c) Dr. Mariano David Zerquera Izquierdo Dr. Juan José Sánchez Jiménez

Página

Indice Capítulo I : Circuitomagnéticodeltransformador.

4

1.1 Circuito magnético serie simple. 1.2. Densidad de flujo magnético 1.3 Regla de la mano derecha para determinar el sentido del flujo 1.4 Característica de B Vs H (Característica de magnetización) 1.5 Permeabilidad magnética. 1.6 Reluctancia. 1.7. Circuito magnético serie complejo. 1.8. Determinación de la corriente de excitación a partir del flujo en el circuito magnético serie complejo. 1.9. Determinación del flujo a partir de la corriente de excitación en el circuito magnético serie complejo. 1.10: Circuito magnético paralelo. 1.11 Circuito magnético paralelo con entrehierro 1.12: Inducción electromagnética. Ley de Faraday 1.13: Ley de Lenz 1.14 Fuerza electromotriz de autoinducción. 1.15 Circuito magnético con excitación senoidal. 1.15.1 Circuito ideal. Ecuación fundamental del transformador. 1.15.2 Circuito real.

4 8 9 9 18 20 21 24

CapítuloII : Principio transformadores

de

funcionamiento

de

los

2.1 Función del transformador 2.2 Historia e importancia del transformador 2.3 Principio del transformador. Transformador ideal en vacío. Ecuaciones fundamentales 2.4 Transformador ideal con carga. 2.5 Transformador real . Operación en vacío. 2.6 Transformador real . Operación con carga. 2.7 Valores nominales de los transformadores 2.8 Construcción del transformador. 2.9 Circuito equivalente del transformador

CapítuloIII: Regulación de voltaje del Transformador 3.1 Regulación de voltaje. Por ciento de regulación de voltaje. 3.2.Determinación de la regulación de voltaje a partir del circuito equivalente. 3.3.Efecto del factor de potencia de la carga sobre la regulación de voltaje.

Capítulo IV: Pérdidas y Eficiencia

27 31 46 47 58 62 76 77 99 114 115 116 118 128 133 141 150 153 154 169 170 172 175 187

CapítuloV: Transformaciones Trifásicas

188 191 193 197 203

Bancos de transformadores 5.1 Banco delta-delta 5.2 Banco estrella-estrella. 5.3 Banco estrella-delta. 5.4 Banco delta-estrella 5.5 Banco delta-abierta 5.6 Banco estrella-abierta 5.7 Conexión T 5.8 Transformadores trifásicos

204 205 210 214 215 226 234 240 244

4.1 Pérdidas del transformador. 4.2 Eficiencia del transformador. 4.3 Condición de máxima eficiencia. 4.4 Efecto del factor de potencia de la carga sobre la eficiencia.

251 258 260

5.9 Índice horario 5.10 Pérdidas y eficiencia en las transformaciones trifásicas

Capítulo VI: Pruebas a Transformadores 6.1 Prueba de corto circuito 6.2 Prueba de circuito abierto 6.3 Prueba de relación de transformación 6.4 Prueba de resistencia ohmica 6.5 Pruebas para determinar el estado del aislamiento 6.5.1 Pruebas de alto voltaje 6.5.2. Prueba de resistencia de aislamiento 6.5.3. Prueba de factor de potencia 6.5.4. Pruebas de aceite 6.5.4.1 Tipos de aceites de transformadores 6.5.4.2 Relación de las pruebas de aceite

Capítulo VII: transformadores

Operación

en

7.1 Necesidad de la operación en paralelo 7.2 Condiciones a cumplir para la operación en paralelo 7.2.1 Ecuaciones de la operación en paralelo

Bibliografía

paralelo

de

262 270 272 273 283 284 295 327 338 340 344 350 351 352 357 387

PREFACIO Esta obra ha sido el fruto de más de 40 años de trabajo docente, investigativo y en la industria relacionado con los transformadores. El orden que se le ha dado al presente texto así como su contenido, está basado en las exigencias por parte de los estudiantes los que con sus inquietudes han permitido conocer la mejor forma de impartir los temas que aquí se tratan. El texto ha sido dividido en 7 capítulos donde se incluyen los conceptos teóricos así como una serie de problemas, de modo que resulte de mejor comprensión de los temas tratados, por parte del lector. Para comprender con mayor claridad el comportamiento de los transformadores, fundamentalmente, en lo relativo a varios estados de operación, representado por las características de trabajo, se ha incluido en cada uno de los capítulos la solución de problemas con la ayuda del lenguaje MATLAB, mostrándose los códigos de los programas elaborados. Para la comprensión de los contenidos presentados no es necesario tener un conocimiento del lenguaje MATLAB, sin embargo si se dispone de esta base, resultaría para el lector un mejor aprovechamiento de los temas expuestos. La estructura del texto en capítulos es presentado seguidamente. En el capítulo I se presenta un estudio de los circuitos magnéticos serie y paralelo, como base para poder entender el principio de operación de los transformadores. Al final del capítulo se lleva a cabo el estudio correspondiente a circuitos excitados con corriente alterna, presentándose además de las ecuaciones el circuito equivalente correspondiente. En esta última parte se hace un estudio de la forma de onda de la corriente en vacio y su contenido de armónicos. En el capítulo II se lleva a cabo el estudio de los transformadores, comenzado con el principio de operación, y función del transformador. Para una mejor compresión del tema se comienza con la operación del transformador ideal, a partir de esto, se obtienen las ecuaciones básicas. Posteriormente se considera el transformador real. En el desarrollo del tema se hace uso tanto de los diagramas fasoriales como los circuitos equivalentes. El capítulo III trata sobre la regulación de voltaje de los transformadores, estudiándose el efecto del factor de potencia de la carga sobre la regulación. El capítulo IV es dedicado al estudio de las pérdidas que se presentan en los transformador, la eficiencia y el efecto que provoca sobre la eficiencia el factor de potencia de la carga. Se hace énfasis en la condición de máxima eficiencia como base para posteriores estudios sabre operación económica En el capítulo V se presentan el estudio de las transformaciones trifásicas tanto con bancos cerrados y abiertos así como con transformadores trifásicos. Se lleva a cabo un

estudio detenido, basado en los diagramas fasoriales y los índices horarios, para como realizar las conexiones trifásicas en forma adecuada. El capítulo VI es dedicado a las pruebas que se le realizan al transformador tanto para determinar sus parámetros como para verificar el estado del aislamiento. Con ello, se satisfacen las necesidades de las pruebas a llevar a cabo tanto en fábrica como en el mantenimiento. El capítulo VII trata sobre la operación en paralelo de los transformadores, comenzando con la necesidad y las condiciones para este tipo de operación. Se incluye las ecuaciones y circuitos equivalentes que se cumplen, presentándose el estudio generalizado para la operación de k transformadores operando en paralelo. Vaya pues a las manos de mis alumnos y otros usuarios este nuevo texto, esperando que sirva de ayuda, tanto en la labor docente como en su actividad práctica, agradeciéndole nos comuniquen cualquier falta detectada, lo cual será acatado sin apelaciones, pues sabemos que el lector nunca se equivoca.

CAPÍTULO I

I

Circuito magnético del transformador

Circuito magnético del transformador. Un transformador es una máquina eléctrica estática cuya función es convertir la energía eléctrica desde una fuente de un voltaje dado aplicado a un enrollado (enrollado primario) , a energía eléctrica a otro nivel de voltaje diferente en general, inducido en un enrollado (enrollado secundario)y aplicado a la carga. Para llevar a cabo esta transferencia de energía entre los enrollados primario y secundario, es necesario un enlace magnético entre los mismos, constituyendo ello un circuito magnético. Es por ello que para poder comprender a cabalidad el funcionamiento del transformador, es necesario primeramente hacer un estudio de los circuitos magnéticos, objetivo de este primer capítulo. Puesto que existe una gran similitud entre los circuitos eléctricos y magnéticos, se establecerá un símil entre los mismos, lo cual facilitará el estudio de este tema. Tal como en los circuitos eléctricos, en los magnéticos se presenta el circuito serie o paralelo y su combinación. Además existen dos tipos de vías de solución. La primera exige determinar la corriente de excitación del circuito a partir de un flujo magnético dado; la segunda, determinar el flujo magnético a partir de una corriente de excitación conocida. En el presente texto se hace uso del lenguaje Matlab por lo que se recomienda al lector estar familiarizado con el mismo, si desea interpretar los códigos de los programas que se incluyen. 1.1Circuito magnético serie simple. El circuito magnético más simple es el que está formado por una fuente de excitación. En la figura No. 1.1.1 se muestra un circuito magnético simple que presenta una longitud media l y un área transversal A, igual al que existe en un determinado tipo de transformador y en la figura No. 1.1.2 está representado el circuito eléctrico similar. Como es conocido de la teoría de circuitos eléctricos, al aplicar la ley de Ohm, la corriente se determina, según la figura No. 1.1.2, por: I

E (A) R

(1.1.1)

donde: E- Fuerza electromotriz (V) R- Resistencia del circuito (Ohm) I- Corriente (A) De igual manera en el circuito magnético de la figura No.1.1.1 se puede aplicar la ley de Ohm para este tipo de circuitos, donde se cumple: ∅=

 (Wb) 

(1.1.2)

donde: Ø- Flujo magnético (Wb)  - Fuerza magnetomotriz (A-v) Av   Wb 

 - Reluctancia del circuito magnético. 

La fuerza magnetomotriz se determina mediante:  =NI

(1.1.3)

donde: N- Número de vueltas del devanado de excitación I Corriente por el devanado de excitación (A) Se puede establecer un circuito equivalente para el estudio del circuito magnético mostrado en la figura No. 1.1.1, obteniéndose como resultado el circuito mostrado en la figura No. 1.1.3 De las ecuaciones (1.1.2) y (1.1.3) se obtiene:



NI 

(1.1.4)

De acuerdo con lo anterior puede establecerse las siguientes similitudes entre le circuito eléctrico y el magnético. En el circuito eléctrico, la causa que hace circular la corriente es la fuente de fuerza electromotriz (excitación del circuito), obteniéndose como efecto la circulación del flujo de corriente eléctrica y el circuito se opone con sus resistencia a la circulación de este flujo En el circuito magnético, la causa que hace circular el flujo magnético es la fuerza magnetomotriz (excitación del circuito), obteniéndose como efecto la circulación del flujo magnético y el circuito se opone con la reluctancia a la circulación de este flujo. En la tabla No.1.1 se muestran las similitudes entre ambos circuitos. En el epígrafe (1.6) se completa el análisis de las ecuaciones dadas en esta tabla. Circuito eléctrico Causa: Fuente de excitación: E

Circuito magnético Causa: Fuente de excitación 

Efecto: Flujo de corriente eléctrica Oposición : Resistencia eléctrica 𝝆𝒍 𝑅= 𝐴

Efecto: Flujo magnético Oposición: Resistencia magnética (Reluctancia) 𝑙 𝔑= µ𝐴

Ley de Ohm Kirchhoff: E=IR

Ley de Ohm Kirchhoff:   

Tabla No. 1.1: Similitud entre los circuitos magnéticos y eléctricos.

Figura 1.1.1 Circuito magnético serie simple

Figura 1.1.2: Circuito eléctrico serie simple.

Figura 1.1.3. Circuito magnético serie simple equivalente representado por su símil eléctrico. Para completar la analogía entre los circuitos eléctricos y magnéticos, de acuerdo con el circuito mostrado en la figura No. 1.1.2, se cumple al aplicar la ley de los voltajes de Kirchhoff: (la suma de las subidas de voltajes en un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de voltajes)

E  IR

(1.1.5)

Donde: E e IR representan las subidas y caídas de potencial eléctrico respectivamente. De igual forma para el circuito magnético se cumple:   NI  

Donde  y  respectivamente.

(1.1.6) representan las subida y caídas de potencial magnético

1.2. Densidad de flujo magnético Como se muestra en la figura No.1.1.1 si se excita el circuito magnético se obtiene un flujo magnético  . Se define la densidad de flujo magnético a la relación flujo entre área, o sea:

B

 (1.2.1) A

B- Densidad de flujo

Wb

(T) m2 A- Área transversal al flujo m 2

 

Las unidades de la densidad de flujo

Wb m2

se definen como Tesla y se designa por la

letra T Ejemplo 1.2.1Determine la densidad de flujo del circuito magnético serie simple de la figura No. 1.2.1 si el flujo presenta el valor   0.05 (Wb) y el área es de A  0.1 m2

Resolución. Al aplicar la ecuación (1.2.1) se obtiene:

B

 0.05   0.5 T A 0.1

Figura 1.2.1

1.3 Regla de la mano derecha para determinar el sentido del flujo Para determinar el sentido del flujo magnético se aplica la regla de la mano derecha. Para su aplicación como se muestra en la figura No 1.3.1, se colocan los dedos de la mano derecha en el sentido de la corriente por el enrollado y el dedo pulgar señala el sentido del flujo magnético. De acuerdo con esto, el flujo sale por el extremo izquierdo, lo que significa que este extremo se comporta como el polo norte de un imán y por tanto el flujo entra por el extremo derecho por lo que esta polaridad será sur. Si se invierte el sentido de la corriente por la bobina, el flujo también invertirá su sentido y por tanto su polaridad

Figura 1.3.1: Regla de la mano derecha. 1.4 Característica de B Vs H (Característica de magnetización) Como fue explicado anteriormente, cuando se tiene un circuito magnético excitado por una fuerza magnetomotriz, circula un flujo magnético. Se define la intensidad (H) del campo magnético o fuerza magnetizante, a la relación Ampere-vueltas por unidad de longitud. Si se construye una gráfica de la densidad de flujo en el circuito contra la intensidad de campo magnético, se obtiene una característica típica del material magnético como se muestra en la figura No. 1.4.1, denominada característica de magnetización del material magnético, en la que se cumple:

H=

N.I 

H – Intensidad del campo magnético N- Vueltas de la bobina de excitación

(1.4.1)

A v m

I- Corriente por la bobina de excitación (A)  - Longitud media del circuito magnético (m)

Figura 1.4.1: Característica de magnetización de un material magnético. Como puede comprobarse la de figura anterior, para valores bajos de la densidad de flujo, la característica es prácticamente lineal, en este caso hasta valores de densidad de flujo igual a 0.8 T. A partir de este valor, incrementos de H provocan incrementos no proporcionales de la densidad de flujo, lo cual es debido a que el material magnético comienza a saturarse. Esto obedece a que cuando se aplica una excitación al núcleo, los dominios magnéticos se orientan debido al campo exterior y el material provoca una contribución al mismo, pero estos dominios tienen una magnitud finita y cuando el valor de H se va incrementando se alcanza un estado en el cual el material no pude orientar más dominios y se llega al estado de saturación. Cuando se llega a la zona de saturación, incrementos de H provocan muy pequeños incrementos de B. La característica de B vs H es una propiedad de cada material. En la figura No. 1.4.2 se muestran características para diferentes tipos de materiales magnéticos. Puede observarse que la curva superior (acero laminado al silicio) presenta una mayor calidad magnética, ya que con un valor dado de la fuerza magnetizante H se obtiene un mayor valor de densidad de flujo. Ejemplo 1.4.1: Considere que el circuito magnético serie simple mostrado en la figura No. 1.1.1 presenta los siguientes datos:

A = 0.5 m2  = 0.8 m N=100 vueltas.

Calcule: a) El valor de la corriente por la bobina para obtener un flujo magnético igual a Ø = 0.7 𝑊𝑏si se emplea un núcleo de hierro al silicio al 1% b) El flujo si se hace pasar el valor de corriente obtenida en el inciso anterior, si se emplea un núcleo de hierro fundido.

Figura 1.4.2: Características de magnetización para diferentes materiales magnéticos. Resolución. a) Para el flujo requerido, el valor de la densidad de flujo está dado de acuerdo con la ecuación (1.2.1): 𝐵=

0.7 = 1.4 𝑇 0.5

A este valor de densidad de flujo le corresponde, de acuerdo con la figura No. 1.4.2 A_v y conociendo que el núcleo es de hierro al silicio al 1%, un valor H=1000 . m Los ampere vueltas necesarios se obtienen aplicando la ecuación (1.4.1): N.I = H = 1000 x 0.8 = 800 (A - v)

Del resultado anterior, se obtiene el siguiente valor de corriente: I = 800 / 100 = 8A

b) En estas condiciones los Ampere-vuelas presentan el valor: H=1000 A-v Al emplear este valor de H y utilizando la característica correspondiente al hierro en la figura No. 1.4.2 se obtiene el siguiente valor de densidad de flujo: B=0.3 T.

Con el valor de B hallado, se aplica la ecuación (1.2.1) y se obtiene:  =BA=(0.3)(0.5)=0.15

Wb.

Si se comparan los resultados anteriores se puede comprobar la superioridad al emplearse un núcleo de acero laminado, pues con una misma corriente de excitación 0.7 se obtiene un flujo magnético 0.15 = 4.67 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 Si el circuito magnético presenta varias excitaciones, también puede ser representado por su símil eléctrico para llevar a cabo con facilidad el estudio del mismo. En la figura No. 1.4.3 se muestra un circuito magnético toroidal con dos fuentes de excitación correspondiente a dos devanados con número de vueltas N1 y N2 por los que circulan las corrientes I1 e I2 respectivamente. En las figuras No. 1.4.4 y 1.4.5 se muestran los circuitos eléctricos y su magnético equivalente correspondientes. Puede observarse que al aplicar la regla de la mano derecha, en el circuito magnético las excitaciones deben ser sumadas pues para los sentidos de los enrollados y de las corrientes, estas provocan efectos magnéticos aditivos. Ejemplo 1.4.2 Determine el valor del flujo en el circuito de la figura No.1.4.3 si se conocen los siguientes datos: 𝑁1 = 1000 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠𝑁2 = 500𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠𝐼1 = 5 (𝐴)𝐼2 = 2 (𝐴) R=0.1911 m Se conoce que el núcleo presenta un área transversal igual a 𝐴 = 0.04 𝑚2 y que el material es acero fundido. Resolución. Puesto que las excitaciones son aditivas, la fuerza magnetomotriz total que magnetiza al núcleo está dada por: 𝔍 = 𝑁1 𝐼1 + 𝑁2 𝐼2 = (1000)(5) + (500)(2) = 6000 𝐴 − 𝑣 La longitud media del circuito se determina para el radio dado mediante: 𝑙𝑚 = 2П𝑅 = (6.28)(0.1911) = 1.2 𝑚 La intensidad H del campo magnético está dada por: 𝐻=

6000 𝐴−𝑣 = 5000 1.2 𝑚

Al entrar en la figura No. 1.4.2 con el valor de H hallado, y conociendo que el material magnético es acero fundido, se obtiene la densidad de flujo: B=1.6 T.

El flujo magnético se obtiene al aplicar la ecuación (1.2.1): Ø = (1.6)(0.04) = 0.064 𝑊𝑏 Si la corriente 𝐼2 fuera de sentido contrario o el devnado de 𝑁2 estuviera enrollado en sentido contrario, la fuerza magnetomotriz resultante que excita el circuito magnético estaría dada por la diferencia correspondiente a cada bobina.

Figura 1.4.3: Circuito magnético serie simple con dos excitaciones.

Figura 1.4.4: Circuito eléctrico serie simple con dos fuentes de voltajes.

Figura 1.4.5: Circuito magnético serie equivalente con dos excitaciones

Ejemplo 1.4.3: Confeccionar un programa en Matlab que permita determinar el comportamiento del circuito magnético correspondiente al inciso a del ejemplo 1.4.1. El programa debe permitir el trazado de las siguientes características: a) Densidad de flujo vs Intensidad del campo magnético. (Característica de B vs H) b) Flujo vs fuerza magnetomotriz(Característica de  vs  ) c) Flujo vs Corriente por el devanado de excitación (Característica de  vs I) Resolución Para determinar la característica de flujo en función de la corriente, se suponen varios valores de flujo y se determinan las corrientes correspondientes, mediante el procedimiento seguido en el inciso a) del problema 1.4.1. Esto proceso repetitivo se lleva a cabo mediante el programa en Matlab Magntico_Serie_Simple elaborado para este propósito, cuyo código se muestra seguidamente. Obsérvese que al programa se le introducen una serie de pares de valores de B y H obtenidos de la característica correspondiente al material de hierro al silicio de la figura 1.4.2. Con estos pares de valores se puede trazar la característica de B vs H según se indica en el primer ploteo( a partir de datos.). Con ello se obtiene el comportamiento gráfico mostrado en la figura No. 1.4.3-a. Posteriormente se introduce un vector de flujo con valores desde cero hasta 0.8 con incrementos de 0.05, a los cuales le corresponden las densidades de flujo Bp para cada punto. Con estos valores de Bp y mediante una función (interp1 )de interpolación cúbica , se determinan los valores de fuerza magnetizante Hp correspondientes. Estos valores de Hp permiten posteriormente determinar la fuerza magnetomotriz  , la corriente I y con ello obtener las gráficas de  vs  y vs corriente, mostradas en las figuras 1.4.3-b y 1.4.3-c respectivamente Es necesario destacar que la característica de magnetización es una propiedad del material magnético y no depende de las dimensiones del mismo, ya que se representa en valores unitarios ( B como flujo por unidad de área y H como Amper vueltas por unidad de longitud). Sin embargo las características de flujo en función de la fuerza magnetomotriz depende de las dimensiones de la estructura magnética y la característica flujo en función de la corriente depende además del número de vueltas de la bobina de excitación. A estas dos últimas se les denomina

características de excitación Es por ello que para un material dado hay una sola característica de magnetización e infinitas características de excitación. Código en Matlab % CIRCUITO MAGNETICO SIMPLE %ARCHVO Magnetico_Serie_Simple %EJEMPLO 1.4.3 %********************************************************************* B=[0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 ]; % Fuerza magnetomotriz H (A-v/m) H=[0 0.8 1.18 1.32 1.4 1.45 1.51 1.55 1.57 1.59 1.6 1.61 1.618]; % Densidad de flujo B (T) %********************************************************************* % PLOTEO DE B vs H A PARTIR DE LOS DATOS plot(X,Y,'o-') % Ploteo de B vs H gridon ylabel('Densidad de flujo (T)') xlabel('Intensidad del campo magnéatico (A-v/m)') title('Datos a partir de la curva de magnetización') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause flujo=0:0.05:0.8; % Flujo que se requiere (Wb) An=0.5; % Area del núcleo (m2) ln=0.8; % Longitud del nucleo (m) Nb=100; % Vueltass de la bobina Bp=flujo/An; % Densidad de flujo en cada punto. %********************************************************************* % PLOTEO DE FLUJO VS H Hp=interp1(H,B,Bp,'cubic'); % Valores de H para cada punto obtenido por interpolacion F=Hp*ln; grid on plot(F,flujo,'-o'); ylabel('Flujo (Wb)') xlabel('Fuerza magnetomotriz (A-v)') title('Flujo vs fuerza magnetomotriz') grid on set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause plot(Hp,flujo,'-o') ylabel('Flujo (Wb)') xlabel('Intensidad del campo magnéatico (A-v/m)') title('Flujo vs intensidad del campo magnético') grid on

set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause % ********************************************************************** % PLOTEO DE FLUJO VS CORRIENTE. I=F/Nb; plot(I,flujo,'-o') title('Flujo vs Corriente') xlabel('Corriente (A)') ylabel('Flujo (Wb)') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') gridon pause

Figura 1.4.3-a: Característica de B vs H correspondiente al ejemplo 1.4.3. (Característica de magnetización)

Figura 1.4.3-b: Característica de  vs F correspondiente al ejemplo (1.4.3). (Característica de excitación)

Figura 1.4.3-c: Característica de  vs I correspondiente al ejemplo (1.4.3). (Característica de excitación)

1.5 Permeabilidad magnética. La permeabilidad magnética manifiesta la medida de la facilidad de un material para conducir el flujo magnético, por lo que es el símil de la conductividad de los materiales eléctricos. Si se analiza el ejemplo 1.4.1 se puede comprobar que para una misma A v excitación de 1000 el acero al silicio conduce más flujo magnético que el hierro m fundido. Esto significa que el primero tiene una mayor permeabilidad magnética. La permeabilidad magnética se representa mediante la letra griega μ y está dada por la relación densidad de flujo a intensidad del campo magnético:

μ=

Wb B ( ) H A.m

(1.5.1)

Puesto que la característica de B vs H es no lineal, el valor de la permeabilidad μ es variable con el punto de operación del circuito magnético. Si se tiene como medio el vacío, la característica de B vs H es lineal puesto que en estas condiciones nunca se presenta saturación independientemente del valor de la excitación H. En estas condiciones la permeabilidad magnética se representa mediante μ 0 y tiene

-7 el valor de una constante universal de valor  o  (4 )(10 ) Los materiales no magnéticos como el aire, papel, aceite, cobre, aluminio, etc. presentan una permeabilidad magnética prácticamente igual a la del vacío, por lo que tomar este valor no introduce prácticamente ningún error.. En la figura No. 1.5.2 se muestra la característica de magnetización correspondiente a materiales no magnéticos, de donde se puede comprobar que la permeabilidad magnética es constante. Considerando el siguiente par de valores B = 1 mT y A-v se obtiene: H = 800 m

 o  0.001 / 800  (1.25)10  6 ≈ (4 )10  7  



Para comparar las propiedades magnéticas de los materiales magnéticos respecto a los no magnéticos se define la permeabilidad relativa mediante: μr =

μ μo

(1.5.2)

En realidad los materiales se pueden clasificar como: Ferromagnéticos Permeabilidad relativa es muy superior a 1 (hierro, acero, níquel cobalto y sus aleaciones);

Paramagnéticos: Permeabilidad magnética ligeramente superior a 1 (Aire, aluminio, magnesio). Diamagnéticos: Permeabilidad magnética ligeramente menor a 1 (Cobre, germanio, bronce, grafito, Silicio , oro) Por ejemplo μ r = 1.000023 para el aluminio μ r = 0.999999 para el cobre. Para efectos prácticos en ingeniería, se puede considerar que los materiales paramagnéticos y diamagnéticos presentan una permeabilidad relativa igual a la unidad, es decir una μ = μ 0 y se les puede denominar como materiales no magnéticos. De las ecuaciones (1.5.1) y (1.5.2) se obtiene:

B = μH = μ r μ o H

(1.5.3)

Para materiales no magnéticos la ecuación (1.5.3) se convierte en: 𝐵 = µ𝑜 𝐻

(1.5.4)

Ejemplo 1.5.1: Determine el valor de la permeabilidad del hierro al silicio de la característica mostrada en la figura No. 1.4.2 para dos puntos de operación donde las densidades de flujo presentan los valor B= 1.4 T. y B=1.6T Resolución Para el valor de B= 1.4 T le corresponde el de H = 1000 De la ecuación 1.5.1 se obtiene:

μ=

1.4 = 0.0014 1000

A-v m Wb A.m

La permeabilidad relativa del hierro en estas condiciones está dada, según la ecuación 1.5.2: μr =

0.0014 = 1141 _7 (4π)(10 )

Del resultado anterior puede comprobarse que el hierro al silicio es mil ciento cuarenta y una veces más conductor del flujo magnético que los materiales no magnéticos. Para un punto de operación con B=1.6 T, le corresponde un valor de H= 2500 A-v/m por lo que se cumple:

μ=

1.6 = 0.00064 2500

Wb A.m

μr =

0.00064 = 509 .296 _7 (4π)(10 )

En la figura No. 1.5.2, se muestra una curva típica de la permeabilidad magnética en función de la densidad de flujo, correspondiente a un material ferromagnético.

Figura 1.5.1. Característica de magnetización para materiales no magnéticos

Figura 1.5.2: Característica de permeabilidad vs densidad de flujo 1.6 Reluctancia. Como fue explicado anteriormente, la reluctancia es la oposición que ofrece el circuito magnético al paso del flujo. Se puede encontrar un símil entre la resistencia eléctrica y la reluctancia. Para ello se parte de la ecuación (1.1.4) y (1.21)



NI BA

(1.6.1)

Se sustituye la ecuación (1.5.1) en la (1.6.1) y se obtiene: 

NI HA

(1.6.2)

De las ecuaciones (1.6.2) y (1.4.1) queda: 

l A

(1.6.3)

Donde:  Av  - Reluctancia    Wb  La resistencia del circuito eléctrico se expresa en función de la longitud del conductor, su área y su conductividad, mediante:

R

l cA

(1.6.4)

Al comprar las ecuaciones (1.6.3) y (1.6.4) se puede comprobar la similitud entre la resistencia del circuito eléctrico y la reluctancia del magnético. 1.7.Circuito magnético serie complejo. Se considera que el circuito magnético serie es complejo cuando presenta dos o más zonas magnéticas diferentes, ya sea porque las dimensiones difieren o el material magnético de cada una de ellas es distinto, tal como se representa en la figura No. 1.7.1. Para dar mayor generalidad al estudio se ha considerado que existen dos enrollados de excitación y de acuerdo con el sentido de estos y las corrientes por los mismos, en este caso provocan fuerzas magnetomotrices que se suman. Cada una de las zonas presenta reluctancias: 1 

l1 1A1

(1.7.1)

2 

l2 2A 2

(1.7.2)

Donde:

l1, l 2 - Longitud del circuito magnético en las zonas (1)y (2) (m) A1, A 2 - Área del magnético en las zonas (1) y (2) ( m 2 ) 1,  2 - Permeabilidad magnética en las zonas (1) y (2) En las figuras No. 1.7.2 y No. 1.7.3 se muestran los circuitos equivalentes correspondientes.

Figura 1.7.1: Circuito magnético serie complejo.

Figura 1.7.2: Circuito eléctrico con dos resistencias en serie y dos fuentes

Figura 1.7.3: Circuito magnético equivalente con dos reluctancias en serie y dos fuentes

En general para un circuito eléctrico cuando existen varia fuentes y varias resistencias, como se conoce de la ley de los voltajes de Kirchhoff se cumple: Σsubidasdep otencialel éctrico = Σcaídasdepo tencialelé ctrico

(1.7.1)

De igual forma para el circuito magnético se cumple: subidasdep otencialma gnético  caídasdepo tencialmag nético

(1.7.2)

Así para el circuito de la figura No.1.7.2 se cumple, de acuerdo con la ecuación (1.7.1):

E1 + E 2 = IR1 + IR 2

(1.7.3)

Para el circuito magnético, de acuerdo con la figura No.1.7.3 y la ecuación (1.7.2) se tiene: 𝔍1 + 𝔍2 = 𝑁1 𝐼1 + 𝑁2 𝐼2 = Ø𝔑1 + Ø𝔑2

(1.7.4

Para el determinar el comportamiento del circuito magnético se puede emplear la ecuación (1.7.4) pero resulta más conveniente modificar ésta según se muestra seguidamente. Al sustituir la ecuación (1.2.1) y (1.6.2) en la (1.1.6) se tiene:   NI  BA

l B  l A 

De las ecuaciones (1.5.1) y (1.7.5) queda:

(1.7.5)

𝔍 = 𝑁𝐼 = 𝐻𝑙

(1.7.6)

De las ecuaciones (1.7.4) y (1.7.6), al generalizar para n zonas en serie y varias fuentes también en serie, se tiene: ∑𝑛𝑖=1 𝔍𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝐻𝑖 𝑙𝑖 = 𝑁1 𝐼1 + 𝑁2 𝐼2 + ⋯ (1.7.7) 1.8. Determinación de la corriente de excitación a partir del flujo en el circuito magnético serie complejo. Para determinar la fuente de excitación necesaria para obtener un determinado flujo en el circuito serie complejo se emplea el siguiente algoritmo. 

  

Mediante la ecuación (1.2.1) se determina las densidades de flujo en las zonas   (1) y (2) B1  B2  A1 A2 Con los valores de B hallados y a partir de la característica de magnetización, se determina las intensidades de campo H1 y H 2 correspondientes. Se determina la fuerza magnetomotriz de excitación mediante la sumatoria del miembro derecho de la ecuación (1.7.7). Se determina la corriente de excitación mediante el despeje de I de la ecuación (1.7.7).

Ejemplo 1.8.1 Un circuito magnético serie complejo de dos zonas como el mostrado en la figura No. 1.7.1, tiene los siguientes datos: l1  0.5m l 2  0.2m A1  0.175 m 2 A 2  0.2m 2 N1=500 vueltas. Se conoce que el núcleo es de acero al silicio al l%. y que solamente el devanado de N1 vueltas está excitado. Determine el valor de la corriente de excitación 𝐼1 para que el flujo magnético tenga el valor:   0.28 Wb . Resolución De acuerdo con la ecuación (1.2.1) las densidades de flujo en las zonas (1) y (2) presentan los valores:

B1 

0.28 0.28  1.6T B2   1.4T 0.175 0.2

Con los valores de densidades de flujo anteriores, se emplea la figura No (1.8.1) y al Av entrar con los valores de B hallados anteriormente se obtiene: H1  2500 m Av H 2  1000 m De la ecuación (1.7.7) el valor de la fuerza magnetomotriz de excitación necesaria está dada por:

2

∑ 𝐻𝑖 𝑙𝑖 = 𝐻1 𝑙1 + 𝐻2 𝑙2 = (2500)(0.5) + (1000)(0.2) = 1450 𝐴 − 𝑣 1

Puesto que el circuito magnético presenta una sola excitación se cumple: 𝑁1 𝐼1 = 1450 𝐴 − 𝑣 De acuerdo con el número de vueltas dado se obtiene:

1450 I1 = = 2.9(A) 500

Figura 1.8.1: Determinación de la fuerza magnetizante correspondiente al ejemplo 8.1. Un circuito magnético serie con un espacio de aire (entrehierro), tal como se muestra en la figura No 1.8.2, también lo convierte en complejo. Sin embargo en estas condiciones en la zona del aire conocida la densidad de flujo, la fuerza magnetizante se determina mediante el despeje de la ecuación (1.5.4). En esta figura se considera que la zonas magnética y del aire tienen las longitudes 𝑙1 y 𝑙2 y áreas 𝐴1 𝑦 𝐴2 respectivamente. Ejemplo 1.8.2 a) Determine la corriente de excitación correspondiente al circuito magnético serie con entrehierro con los datos mostrados en la figura No. (1.8.2), si se requiere un flujo de valor: Ø = (5.6)(10−4 ) 𝑊𝑏 . Se conocen los siguientes datos: N=1000 vueltas

𝑙1 = 200 𝑚𝑚 = 0.2 𝑚𝑙2 = 2 𝑚𝑚 = (2)(10−3 ) 𝑚

𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴 = 400 𝑚𝑚2 = (400)(10−6 ) 𝑚2

b) Cuál será el valor de la corriente de excitación para obtener el flujo Ø = (5.6)(10−4 ) 𝑊𝑏, si se elimina el entrehierro Se conoce que el material magnético es acero de fundido. Resolución a) Se designará la zona (1) la correspondiente al núcleo magnético; la (2), a la del aire. Al aplicar la ecuación (1.21) se obtienen los valores de densidades de flujo: 𝐵1 = 𝐵2 =

(5.6)(10−4 ) = 1.4 𝑇 (𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜) (400)(10−6 )

Obsérvese que en la ecuación anterior se ha empleado el factor 10−6 para convertir el área a 𝑚2 y obtener la densidad de flujo en Teslas. En la zona del circuito magnético y empleando la característica de B vs H correspondiente al núcleo de acero fundido , al entrar con el valor hallado de B1 se 𝐴−𝑣 obtiene el valor 𝐻1 = 2000 𝑚 , tal como se muestra en la figura No. 1.8.3. Para determinar el valor de la fuerza magnetizante en la zona del aire se emplea la ecuación (1.5.4) de la cual se obtiene: 𝐻2 =

𝐵2 1.4 𝐴−𝑣 = = 1.1141(106 ) −7 µ0 4П(10 ) 𝑚

De la ecuación (1.7.7) el valor de la fuerza magnetomotriz de excitación necesaria está dada por: 2

∑ 𝐻𝑖 𝑙𝑖 = 𝐻1 𝑙1 + 𝐻2 𝑙2 = (2000)(0.2) + (1.1141)(106 )(2)(10−3 ) 1 2

∑ 𝐻𝑖 𝑙1 = 400 + 2228.2 = 2628.2 𝐴 − 𝑣 1

Puesto que el circuito presenta una sola fuente de excitación queda: 𝑁𝐼 = 2628.2 𝐴 − 𝑣 Para el valor de vueltas dadas de los datos, el valor de corriente de excitación requerida presenta el valor: 𝐼=

2628.2 = 2.628 𝐴 1000

Debe observarse que la relación de las caídas magnéticas en la zonas del entrehierro y del circuito magnético es igual a: 2228.2/400=5.57 veces, a pesar de que la longitud del entrehierro es mucho menor, lo cual se debe a la alta reluctancia del aire. b)Si se elimina el entrehierro se cumple: 𝑁𝐼 = 𝐻1 𝑙1 = 400 𝐴 − 𝑣 y la corriente 400 requerida es igual a 𝐼 = 1000 = 0.4 𝐴. Obsérvese que colocar un entrehierro de solamente 2 mm en un circuito de 200 mm provoca una aumento de corriente igual a 2.682 = 6.705 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 0.4

Figura 1.8.2: Circuito magnético serie con entrehierro

B1

H1 Figura 1.8.3 Determinación de la fuerza magnetizante correspondiente al ejemplo 1.8.2

1.9. Determinación del flujo a partir de la corriente de excitación en el circuito magnético serie complejo. Para determinar el flujo en el circuito magnético completo a partir de una corriente de excitación conocida puede ser empleado un método gráfico, pero esto resulta muy trabajoso. Por ello una mejor vía es determinar la característica de flujo vs corriente mediante un programa correspondiente, como el que se muestra seguidamente. Ejemplo 1.9.1 Confeccionar un programa en Matlab que permita determinar el comportamiento del circuito magnético correspondiente al ejemplo 1.8.2. El programa debe permitir el trazado de las siguientes características: a) Flujo vs fuerza magnetomotriz (Característica de  vs  ) b) Flujo vs Corriente por el devanado de excitación (Característica de  vs I) c) A partir de la característica de flujo vs corriente, determinar el valor del flujo, si la corriente de excitación presenta el valor Iex=2 A Resolución El programa elaborado presenta el código que se muestra seguidamente. Del mismo debe observarse:    

Se introducen como vectores los valores de H y B correspondientes al material magnético dado (Acero fundido), obtenidos de la característica correspondiente de la figura No.1.83 Los datos del circuito magnético se introducen mediante la instrucción input, por lo que en la ventana de comandos, aparece lo mostrado en la tabla No.1.9.1. Se emplea la función max para determinar el valor máximo (Bmax) ,de la densidad de flujo introducida como dato. Con ello se genera el vector flujo desde cero hasta 1.3*flujomax con pasos igual a 1/20. En el ploteo correspondiente a flujo vs corriente, se trazan las coordenadas para la corriente de excitación dada como dato, según se observa en la figura No. 1.9.2 Para ello, se emplean las dos instrucciones line que se muestran en el código correspondiente.

En las figuras No. 9.1.1, y 9.1.2 se muestran las características pedidas.

>>Magnetico_Serie_Entrehierro Corriente de excitación Iex=2 area del nucleo m2 A1=400 Area del entrehierro m2 A2=400 Longitud del núcleo mm l1=200 Longitud del entrehiero mm l2=2 Numero de vueltas del devanado de excitación N=1000

Tabla No. 1.91. Datos a introducir en la ventana de comandos.

Código en Matlab % CIRCUITO MAGNETICO COMPLEJO CON ENTREHIERRO %ARCHIVO Magnetico_Serie_Entrehierro %EJEMPLO 1.9.1 %************************************************************ H=[0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3500 3750 4000]; % Fuerza magnetomotriz H (A-v/m) B=[0 0.4 0.8 1.0 1.15 1.25 1.32 1.38 1.41 1.44 1.46 1.48 1.5 1.53 1.54 1.55]; % Densidad de flujo B (T) %************************************************************ % DATOS Iex=input('Corriente de excitación Iex='); A1=input ('area del nucleo mm2 A1='); % Area del núcleo 400*1-6(m2) A2=input ('Area del entrehierro mm2 A2='); %Area del entrehierro400*1E-6 (m2) l1=input ('Longitud del núcleo mm l1='); % Longitud del núcleo 200*1e-3(m) l2=input('Longitud del entrehiero mm l2='); %Longitud del entrehierro 2*1e-3(m) N=input ('Numero de vueltas del devanado de excitación N='); % Vueltas de la bobina 1000 Vueltas clc A1=A1*1e-6; A2=A2*1e-6; l1=l1*1e-3; l2=l2*1e-3; Bmax=max(B); flujomax=(1.3*Bmax*A1); flujo=0:flujomax/20:flujomax; % Flujo que se requiere (Wb) %*********************************************************** % PLOTEO DE FLUJO VS FUERZA MAGNETOMOTRIZ TOTAL B1p=flujo/A1; % Densidad de flujo en el núcleo en cada punto (T) B2p=flujo/A2; % Densidad de flujo en el entrehierro en cada punto (T) H1p=interp1(B,H,B1p,'cubic'); % Valores de H para cada punto obtenido por interpolacion F1=H1p*l1; H2p=B2p/(4*pi*1e-7); F2=H2p*l2; F=F1+F2; grid on plot(F,flujo,'-o'); ylabel('Flujo (Wb)') xlabel('Fuerza magnetomotriz (A-v)') title('Flujo vs fuerza magnetomotriz') grid on set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause

% ************************************************************* % PLOTEO DE FLUJO VS CORRIENTE. I=F/N; plot(I,flujo,'-o') title('Flujo vs Corriente') xlabel('Corriente (A)') ylabel('Flujo (Wb)') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') grid on Flujo=interp1(I,flujo,Iex,'cubic'); line([IexIex],[0 Flujo],'Color','r','marker','o','linestyle','--','LineWidth',3) line([Iex 0],[FlujoFlujo],'Color','r','marker','o','linestyle','--','LineWidth',3) text(0.1*Iex,1.05*Flujo,['Flujo(Wb)=',sprintf('%2.8f',Flujo)]) text(Iex,0.1*Flujo,['Corriente (A)=',sprintf('%3.3f',Iex)])

Figura 1.9.1: Característica de flujo vs fuerza magnetizantecorresponiente al ejemplo 1.9.1

Figura 1.9.2. Característica de flujo vs corriente de excitación correspondiente al ejemplo 1.9.1 1.10: Circuito magnético paralelo. En muchos equipos eléctricos se presenta el circuito magnético paralelo, tal como se muestra en la figura No.1.10.1. En éste se presentan dos ramas paralelas señaladas como Rama1 y Rama2 y una rama central Rama3. Además el circuito está excitado por una bobina de vueltas N por la cual circula una corriente I. En la figura No.1.10.2 se muestra la representación magnético circuital y en la No.1.10.3 el circuito símil eléctrico. En la rama 1 de longitud 𝑙1 y área 𝐴1 existe una reluctancia 𝔑1. De igual forma se cumple en las ramas 2 y 3. Para el circuito eléctrico mostrado en la figura No. 1.10.3 se cumplen las siguientes ecuaciones. En el nodo a, se cumple: 𝐼3 = 𝐼1 + 𝐼2

(1.10.1)

Para el circuito formado por las ramas 3 y1 se cumple: 𝐸 = 𝐼3 𝑅3 + 𝐼1 𝑅1

(1.10.2)

Para el circuito formado por las ramas 3 y 2 se cumple: 𝐸 = 𝐼3 𝑅3 + 𝐼2 𝑅2

(1.10.3)

Al igualarse las ecuaciones (1.10.2) y (1.10.3) se obtiene: 𝐼1 𝑅1 = 𝐼2 𝑅2

(1.10.4)

𝐼1 𝑅2 = 𝐼2 𝑅1

(1.10.5)

La ecuación (1.10.5) indica según se conoce de la teoría de circuitos, que la corriente que llega al nodo a, se divide por las ramas 1 y 3 en forma inversa a las resistencias de éstas ramas. Por eso, si las ramas 1 y 2 son idénticas, las corrientes I1 e I2 son iguales. Para el circuito magnético mostrado en la figura No. 1.10.2 se cumplen las siguientes ecuaciones: En el nodo a se cumple: Ø3 = Ø1 + Ø2

(1.10.6)

Para el circuito formado por las ramas 3 y1 se cumple: 𝔍 = Ø3 𝔑3 + Ø1 𝔑1

(1.10.7)

Para el circuito formado por las ramas 3 y 2 se cumple: 𝔍 = Ø3 𝔑3 + Ø2 𝔑2

(1.10.8)

Al igualar las ecuaciones (1.10.7) y (1.10.8) se obtiene: Ø1 𝔑1 = Ø2 𝔑2 Ø1 𝔑2 = Ø2 𝔑2

(1.10.9) (1.10.10)

De igual forma que para el circuito eléctrico, en el circuito magnético el flujo que llega al nodo a, se divide por las ramas 1 y 3 en forma inversa a las reluctancias de éstas ramas. Por eso, si las ramas 1 y 2 son idénticas, los flujos Ø1 𝑦 Ø2 son iguales. Como se estudió en los circuitos magnéticos serie y tomando en consideración la ecuación (1.7.6), las ecuaciones (1.10.7) y (1.10.8) se puedes escribir mediante: 𝔍 = 𝐻3 𝑙3 + 𝐻1 𝑙1

(1.10.11)

𝔍 = 𝐻3 𝑙3 + 𝐻2 𝑙2

(1.10.12)

Obsérvese la similitud entre las ecuaciones correspondientes a los circuitos eléctricos y magnéticos obtenidas anteriormente.

Figura 1.10.1: Circuito magnético paralelo

Figura 1.10.2 Circuito magnético paralelo equivalente representado por su símil eléctrico

Figura 1.10.3. Circuito eléctrico paralelo.

Ejemplo 1.10.1 En el circuito magnético paralelo mostrado en la figura No. 1.10.1 se cumplen los siguientes datos: 𝐴3 = 600 𝑚𝑚2 = (600)(10−6 )𝑚2 𝐴1 = 𝐴2 = 300 𝑚𝑚2 = (300)(10−6 )𝑚2 𝑙3 = 200 𝑚𝑚 = (200)(10−3 ) 𝑚𝑚 𝑙1 = 𝑙2 = 500 𝑚𝑚 = (500 )(10−3 ) 𝑚 N=200 Vueltas Se conoce que el núcleo está construido de hierro al silicio 1%. Calcule si se quiere un flujo por la rama central igual a a) Los flujos Ø1 𝑦 Ø2 b) La corriente de excitación

Ø3 = (9.6)(10−4 ) 𝑊𝑏

Resolución a) Puesto que las ramas 1 y 2 son idénticas, se cumple: Ø3 (9.6)(10−4 ) Ø1 = Ø2 = = = (4.8)(10−4 ) 𝑊𝑏 2 2 b) Para determinar la corriente de excitación, es necesario calcular primeramente las densidades de flujo en cada una de las ramas Para la rama central se cumple al aplicar la ecuación (1.2.1): (9.6)(10−4 ) 𝐵3 = = 1.6 𝑇 (600)(10−6 ) Puesto que por las rama 1 y 2 circulan flujos iguales a la mitad del hallado para la rama 3 y además como las áreas en las ramas 1 y 2 también tienen valor mitad respecto a la correspondiente a la rama 3, se obtiene que las densidades de flujo cumplen: 𝐵1 = 𝐵2 = 𝐵3 = 1.6 𝑇 De la figura No. 1.4.2, al emplearse la característica correspondiente al hierro al silicio y utilizando los valores de densidades de flujo halladas, se obtiene: 𝐻1 = 𝐻2 = 𝐻3 = 2500

𝐴−𝑣 𝑚

La fuerza magnetomotriz de excitación requerida, se determina aplicando la ecuación (1.10.11) 𝔍 = 𝐻3 𝑙3 + 𝐻1 𝑙1 = (2500)(200)(10−3 ) + (2500)(500)(10−3 ) = 1750 𝐴 − 𝑣

Igual resultado se obtiene si se aplica la ecuación (1.10.12). Para el valor de vueltas dadas de los datos, el valor de corriente de excitación requerida presenta el valor: 𝐼=

1750 = 8.75 𝐴 200

Ejemplo 1.10.2 En el circuito magnético que se muestra en la figura No. 1.10.4 se cumplen los siguientes datos. l1=800 mm (Trayectoria aefb) l2=600 mm (Trayectoria ab) l3=800 mm (Trayectoria bcda) h=30mm (Ancho de la columna. Igual para las tres) b=90 mm (Profundidad del núcleo). N=2000 Vueltas. Determine el valor de la corriente I si se quiere que el flujo en la rama 1 valga: Ø1 = 0.0016 𝑊𝑏. Se conoce que el núcleo está construido de acero fundido. Resolución El área de la rama 1 se calcula mediante: 𝐴1 = (𝑏)(ℎ) = (90)(30)(10−6) = (27)(10−4 ) 𝑚2 De acuerdo con las condiciones de simetría de la figura dada se cumple: 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴3 = (27)(10−4 )𝑚2 Para la solución de este problema, primeramente se determina la densidad de flujo en la rama 1 y aplicando la ecuación (1.2.1), se obtiene: 𝐵1 =

Ø1 0.0016 = = 0.5925 𝑇 𝐴1 (27)(10−4 )

Con el valor hallado de B1, se entra a la característica correspondiente al acero fundido de la figura No. 1.4.2 y se obtiene: 𝐴−𝑣 𝐻1 = 358 𝑚 Si se sigue la malla aefba se observa que en la misma no hay ninguna fuente de excitación, por lo que 𝐻1 𝑙1 − 𝐻2 𝑙2 = 0 de donde se obtiene: 𝐻2 =

𝐻1 𝑙1 (358)(800) 𝐴−𝑣 = = 477 𝑙2 600 𝑚

Al entrar con el valor hallado de H2 y emplear la característica del acero fundido en la figura No. 1.4.2 se obtiene:

𝐵2=0.775 T Con el valor de densidad de flujo hallado anteriormente, se aplica la ecuación (1.2.1) y se obtiene: Ø2 = 𝐵2 𝐴2 =(0.775)(27)(10−4 )=0.0021Wb En el nodo a de la figura (1.10.4) se cumple: Ø3 = Ø1 + Ø2 = 0.0016 + 0.0021 = 0.0037 𝑊𝑏 A partir del flujo hallado se pude determinar la densidad de flujo en la rama 3: 𝐵3 =

Ø3 0.0037 = = 1.37 𝑇 𝐴3 (27)(10−4 )

Con el valor hallado de 𝐵3 se determina mediante la característica de la figura No. 1.4.2 𝐻3 = 1685.5

𝐴−𝑣 𝑚

A partir de la ecuación (1.10.12) se determina: 𝔍 = 𝑁𝐼 = 𝐻3 𝑙3 + 𝐻2 𝑙2 = (1685.5)(0.8)+(477)(0.6) = 1634.6 𝐴 − 𝑉 La corriente de excitación se determina al dividir el resultado anterior por el número de vueltas: I=

1634.6 2000

= 0.8173 A

Ejemplo 1.10.3. Repita el ejemplo (1.10.2) si se considera que el devanado de excitación se coloca en la columna central, según se muestra en la figura No.1.10.5 y se requiere que el flujo en la rama 3 presente el valor: Ø3 = 0.0037 𝑊𝑏 De acuerdo con la figura No. 1.10.5 se debe emplear la siguiente nomenclatura: l3=600 mm (Trayectoria ab) Resolución Debido a la simetría de la figura, se cumple: Ø1 = Ø2 =

Ø3 0.0037 = = 0.00185 𝑊𝑏 2 2

Las densidades de flujo en las ramas se determinan aplicando la ecuación (1.2.1), por lo que se cumple:

Figura 1.10.4: Circuito magnético correspondiente al ejemplo 1.10.2

𝐵1 =

Ø1 0.00185 = = 0.6852 𝑇 𝐴1 (27)(10−4 )

Además debido a la simetría de la figura también se tiene: 𝐵2 =

Ø2 0.00185 = = 0.6852 𝑇 𝐴2 (27)(10−4 )

En la rama 3 se cumple: 𝐵3 =

Ø3 0.0037 = = 1.37 𝑇 𝐴2 (27)(10−4 )

Al entrar con los valores de densidades de flujo halladas y emplear la característica del acero fundido en la figura No. 1.4.2 se obtiene: 𝐴−𝑣 𝐴−𝑣 𝐻3 = 1685 𝑚 𝑚 Aplicando la ley de Ampere en el lazo aefba se cumple: 𝐻1 = 𝐻2 = 414

𝑁𝐼 = 𝐻3 𝑙3+𝐻1 𝑙1 = (1685)(0.6) + (414)(0.8) = 1342.2 𝐴 − 𝑣 Al dividir el valor hallado anteriormente por el número de vueltas de la bobina de excitación se obtiene: 𝐼=

1342.2 = 0.6711 𝐴 2000

Puede comprobarse que este valor de corriente es inferior al obtenido en el ejemplo 1.10.2. Debe destacarse que este resultado se manifiesta cuando se realiza la prueba de vacío de los transformadores, lo cual se estudiará en próximos capítulos.

Figura 1.10.5: Circuito magnético correspondiente al ejemplo 1.10.3

Ejemplo 1.10.4. En un circuito magnético paralelo con dos excitaciones con N1= 50 Vueltas y N2=200 Vueltas, como el mostrado en la figura 1.10.6 se requiere un flujo en la columna central 𝜙3 = 0.013 𝑊𝑏. Determine: a) El valor de la corriente I2 y los flujos 𝜙1 𝑦 𝜙2 para los siguientes valores de corriente I1: 20 A , 5 A. b) El valor de las corriente I1 e I2 para que 𝜙1 = 0 c) Los valores de las corrientes I1 e I2 para que 𝜙2 = 0 Se conoce que el núcleo es construido de acero fundido y que las dimensiones están expresadas en mm. Resolución a) Para las dimensiones dadas en la figura se cumple: Longitud del circuito magnético en las zonas 1 y2: 𝑙1 = 𝑙2 = 3(500 + 50 + 50) = 1800 𝑚𝑚 = 1.8 𝑚 𝑙3 = 500 + 50 + 50 = 600 𝑚𝑚 = 0.6 𝑚 Las áreas en las tres zonas del circuito son iguales a : 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴2 = (100)(120) = 12000 𝑚𝑚2 = 0.012 𝑚2 Para la solución del problema se debe plantear el siguiente algoritmo.

1. Para el valor dado del flujo 𝜙3 en la columna 3, hallar la densidad de flujo 𝜙 correspondiente mediante: 𝐵3 = 𝐴3. Con el valor 𝐵3 obtenido, se determina de 3

la curva de magnetización el valor de 𝐻3 2. Recorriendo el circuito magnético por las columnas 1 y 3 se cumple: 𝑁1 𝐼1 = 𝐻1 𝑙1 + 𝐻3 𝑙3 De la ecuación anterior para la corriente 𝐼1 dada como dato se determina la 𝑁 𝐼 −𝐻 𝑙

fuerza magnetizante 𝐻1 mediante: 𝐻1 = 1 1𝑙 3 3.Con el valor obtenido de 1 𝐻1 se determina el valor correspondiente de la densidad de flujo 𝐵1 a partir de la característica de magnetización y posteriormente el flujo mediante: 𝜙1 = 𝐵1 𝐴1 3. Se determina el valor del flujo por la columna 2 mediante: 𝜙2 = 𝜙3 − 𝜙1 . Con el valor obtenido del flujo 𝜙2 se determina la densidad de flujo correspondiente 𝜙

mediante: 𝐵2 = 𝐴 2 Con el valor de densidad de flujo hallado, se determina la 2 fuerza magnetizante correspondiente 𝐻2 a partir de la característica de magnetización. 4. Se determina el valor de la corriente 𝐼2 por un procedimiento similar al del punto2, pero recorriendo el circuito magnético por las columnas 2 y 3, 𝐻 𝐼 +𝐻 𝑙 obteniéndose: 𝐼2 = 2 2 3 3 𝑁2

Para el valor 𝐼1 = 10 𝐴, al aplicar el algoritmo anterior se tiene: 𝐵3 =

0.013 = 1.083 𝑇 0.012

Al valor de densidad de flujo anterior,le corresponde un valor de H, según la figura 1.1.81 para el acero fundido: 𝐻3 = 873.5

𝐴−𝑣 𝑚

De acuerdo con el paso 2 del algoritmo se obtiene: 𝐻1 =

(50)(20) − (873.5)(0.6) 𝐴−𝑣 = 264.4 1.8 𝑚

Al valor de H1 hallado le corresponde, a partir de la característica de magnetización una densidad de flujo 𝐵1 = 0.37 𝑇 El valor del flujo en la columna 1 está dado por: 𝜙1 = (0.37)(0.12) = 0.044 𝑊𝑏. De acuerdo con el punto 3 del algoritmo se cumple: 𝜙2 = 0.013 − 0.0044 = 0.0086 𝑊𝑏 0.0086 La densidad de flujo en la columna 2 presenta el valor: 𝐵2 = 0.012 = 0.7167

Al valor anterior de densidad de flujo le corresponde: 𝐻2 = 504 Del punto 4 del algoritmo se cumple: I2 =

𝐴−𝑣 𝑚

(504)(1.8) + (873.5)(0.6) = 7.16 A 200

Si se repite obtienen los tabla, para negativo, lo 1.10.6.

el procedimiento anterior para el valor de corriente I1=5 A, se resultados mostrados en la tabla 1.10.1. Tal como se presenta en la este valor de corriente I1, el flujo por la rama 1 presenta valor que significa que su sentido es contrario al mostrado en la figura

b) Si el flujo 𝜙1 = 0, no existe caída magnética en la zona 1, por lo que se cumple: 𝑁1 𝐼1 = 𝐻1 𝑙1 + 𝐻3 𝑙3 = 0 + 𝐻3 𝑙3 𝐼1 =

𝐻3 𝑙3 (873.5)(0.6) = = 10.48 𝐴 𝑁1 50

Obsérvese que se ha empleado el mismo valor de H3 del inciso anterior, ya que en todo el ejemplo se ha considerado el mismo valor de flujo 𝜙3 . En estas condiciones por la zonas 2 y 3 existe el mismo valor de flujo, es decir: 𝜙2 = 𝜙3 = 0.013 𝑊𝑏 De acuerdo con lo anterior se cumple: 𝐵2 =

𝜙2 0.013 = = 1.083 𝑇 𝐴2 0.012

Al valor anterior de densidad de flujo le corresponde una fuerza magnetizante : 𝐻2 = 873.5

𝐴−𝑣 𝑚

La corriente por el devanado 2 está dada por: 𝐼2 =

𝐻2 𝑙2 + 𝐻3 𝑙3 (873.5)(1.8) + (873.5)(0.6) = = 10.482 𝐴 𝑁2 200

c) Puesto que el flujo 𝜙2 = 0, no existe caída magnética en la rama2, así se cumple: 𝑁2 𝐼2 = 𝐻2 𝑙2 + 𝐻3 𝑙3 = 0 + 𝐻3 𝑙3 𝐼2 =

𝐻3 𝑙3 (873.5)(0.6) = = 2.62 𝐴 𝑁2 200

Puesto que 𝜙2 = 0 se cumple: 𝜙1 = 𝜙3 = 0.013 𝑊𝑏 En estas condiciones se tiene: 𝐵1 =

𝜙1 0.013 = = 1.083 𝑇 𝐴1 0.012

Al valor anterior de densidad de flujo le corresponde una fuerza magnetizante: 𝐴−𝑣 𝑚 El valor de la corriente por el devanado 1 está dado por: 𝐻1 = 873.5

𝐼1 =

𝐻1 𝑙1 + 𝐻3 𝑙3 (873.5)(1.8) + (873.5)(0.6) = = 41.928 𝐴 𝑁1 50

En la tabla 10.4.1 se muestran los resultaos obtenidos en los diferentes incisos.

Figura 1.10.6: Circuito magnético paralelo con dos excitaciones

Inc. a a b c

I1 20 5 10.48 41.928

B3 1.083 1.083 1.083 1.083

H3 873.5 873.5 873.5 873.5

H1 264.4 -152.27 0 873.5

𝜙1 0.0044 -0.0026 0 0.013

𝜙2 0.0086 0.0156 0.013 0

𝜙3 0.013 0.013 0.013 0.013

B2 0.7167 1.2962 1.083 0

H2 504 14089 873.5 0

I2 7.16 15.3 10.482 2.62

Tabla 1.10.1: Comportamiento del circuito magnético correspondiente al ejemplo 1.10.4 Ejemplo 1.10.5. Confeccione un programa en Matlab que permita determinar el comportamiento del circuito magnético correspondiente al ejemplo 1.10.4. El programa debe permitir graficar las corrientes I1 vs I2, el flujo en la rama vs la corriente I1 y el flujo en la rama 2 vs la corriente I2. A continuación se muestra el código en Matlab del programa elaborado, al cual se le ha nombrado Magnetico_Paralelo_I. Puede observarse que inicialmente se han introducido vectores para los valores de B y H correspondientes a la característica de magnetización del material magnético acero fundido. Seguidamente se introducen los datos mediante la función input, tal como se muestra en la tabla 1.10.2.La corriente I1 se tomado como variable independiente con valores desde cero a un máximo, en pasos de Imax/20 . Se ha seguido el algoritmo presentado en el inciso (a) del ejemplo 1.10.4 a partir de que se requiere un flujo dado en la rama 3. Puede comprobarse que se ha empleado un método de interpolación cúbica en la manipulación de la característica de magnetización. También se ha considerado no trabajar el circuito magnético por encima de la rodilla de saturación, por lo que cualquier punto fuera de este límite no se toma en consideración. Además si por un error en los datos no se tiene ningún punto dentro de la zona no saturada, se le indica al usuario esta condición y se le manda corregir los datos. Para identificar esta condición se ha empleado la variable contador. Si esta variable presenta valor cero, significa que ningún punto está en la zona no saturada. En la figura 1.10.7 se muestra el comportamiento de la corriente I2 para los diferentes valores de la corriente I1. Como se observa se señalan los pares de valores correspondientes al inciso (a) del ejemplo 1.10.4, además presentados en la tabla 1.10.4. Puede comprobarse que a medid que la corriente I1 es mayor, la corriente I2 requerida es menor , lo cual obedece a que para mantener el flujo en la rama 3 𝜙3 = 0.013 𝑊𝑏 al valor constante dado , a media que la excitación por el devanado 1 aumenta, es menor la requerida en el devanado 2. Puede llegarse a que para grandes valores de I1 la corriente por el devanado 2 alcance valores negativos. Esto puede comprobarse de la figuras 1.10.10 en la que se ha empleado un límite para la corriente I1 igual a 190 A. Obsérvese que si I1=190 A, no se necesita corriente por el devanado para establecer el flujo requerido. También se comprueba que para valores mayores de la corriente I1, la corriente I2 debe ser negativa, es decir, debe tener sentido contrario al señalado en la figura 1.10.6 En la figura 1.10.8 se muestra el comportamiento del flujo en la rama 1, en función de la corriente I1. Puede observarse que si la corriente por el enrollado 1 presenta el valor I1=10.48 A se cumple que 𝜙1 = 0 Para valores menores de esta corriente, el flujo es negativo, lo que significa que tiene sentido contrario al mostrado en la figura 1.10.6.

En la figura 1.10.9 se muestra el comportamiento del flujo en la rama2 en función de la corriente I2. Como se señala, para I2=2.62 el flujo por esta rama presenta el valor 𝜙2 = 0. Para valore inferiores a esta corriente, el flujo se hace negativo, lo que también significa que su sentido es contrario al señalado en la figura 1.10.6

área del núcleo rama 1 mm2 A1=12000 área del núcleo rama 2 mm2 A2=12000 área del núcleo rama 3 mm2 A3=12000 Longitud del núcleo rama1 mm l1=1800 Longitud del núcleo rama2 mm l2=1800 Longitud del núcleo rama3 mm l3=600 Numero de vueltas del devanado de excitación No1 N1=50 Numero de vueltas del devanado de excitación No2 N2=200 Flujo deseado en la rama3 flujo3=0.013 Máximo valor de la corriente por el devando1 I1max=50

Tabla No. 1.10.2. Datos a introducir en la ventana de comandos. Código en Matlab

% CIRCUITO MAGNETICO PARALELO %ARCHVO Magnetico_Paralelo_I %Ejemplo 1.10.5 clearall %******************************************************************** H=[0 286 -286 571 -571 750 -750 1000 -1000 1250 -1250 1500 -1500 1750 1750 2000 -2000 2250 -2250 2500 -2500 2750 -2750 3000 3000 3500 -3500 3750 -3750 4000 -4000 5000 -5000]; % Fuerza magnetomotriz H (A-v/m) B=[0 0.4 -0.4 0.8 -0.8 1.0 -1.0 1.15 -1.15 1.25 -1.25 1.32 -1.32 1.38 -1.38 1.41 1.41 1.44 -1.44 1.46 -1.46 1.48 -1.48 1.5 -1.5 1.53 -1.53 1.54 -1.54 1.55 -1.55 1.6 -1.6]; %******************************************************************* % DATOS A1=input ('area del nucleo rama 1 (mm2 )A1='); A2=input ('area del nucleo rama 2 (mm2) A2='); A3=input ('area del nucleo rama 3 (mm2) A3='); l1=input ('Longitud del núcleo rama1 (mm )l1='); l2=input ('Longitud del núcleo rama2 (mm)l2='); l3=input ('Longitud del núcleo rama3 (mm) l3='); N1=input ('Numero de vueltas del devanado de excitación No1 N1='); N2=input ('Numero de vueltas del devanado de excitación No2 N2='); flujo3=input ('Flujo deseado en la rama3 flujo3='); I1max=input('Máximo valor de la corriente por el devando1 I1max='); I1=0:I1max/20:I1max; clc %********************************************************************

% CONVIRTIENDO LAS DIMENSIONES DE mm a m. A1=A1*1e-6; A2=A2*1e-6; A3=A3*1e-6; l1=l1*1e-3; l2=l2*1e-3; l3=l3*1e-3; %******************************************************************** B3p=flujo3/A3; H3p=interp1(B,H,B3p,'cubic'); H1p=(N1*I1-H3p*l3)/l1; B1p=interp1(H,B,H1p,'cubic'); flujo1=B1p*A1; flujo2=flujo3-flujo1; B2p=flujo2/A2; H2p=interp1(B,H,B2p,'cubic'); I2=(H2p*l2+H3p*l3)/N2; % ******************************************************************* % GRAFICOS Np=size(flujo1); % Para identificar el número de elementos del vector flujo Np=Np(:,2); Contador=0; for J=1:Np if B3p<=1.6 & B2p(J)<=1.6 & B1p(J)<=1.6 % Para no sobrepasar la rodilla de saturación flu1(J)=flujo1(J); flu2(J)=flujo2(J); Corr1(J)=I1(J); Corr2(J)=I2(J); Contador=Contador+1; end end if Contador==0 disp('LA DENSIDAD DE FLUJO SE ENCUENTRA POR ENCIMA DE LA RODILLA DE SATURACION') disp('CAMBIE LOS DATOS Y CORRA DE NUEVO EL PROGRAMA') disp('PULSE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR') pause clc Magnetico_Paralelo_I % Llamada de nuevo al progrgrama. else plot(Corr1,Corr2,'-*') % Ploteo de corriente I2 vs I1 title('Corriente I1 vs Corriente I2') xlabel('Corriente I1 (A)') ylabel('Corriente I2 (A)') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on')

gridon text(0,0.8*max(Corr2),['Flujo en la rama3 (Wb)=',sprintf('%2.8f',flujo3)]) set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') gridon pause plot(Corr1,flu1,'-*') % Ploteo de flujo vs Corriente en la rama No.1 title('Corriente I1 vs Flujo en la rama 1') xlabel('Corriente I1 (A)') ylabel('Flujo1 (Wb)') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') gridon pause plot(Corr2,flu2,'-*') % Ploteo de flujo vs corriente en la rama No.2 title('Corriente I2 vs Flujo en la rama 2') xlabel('Corriente I2 (A)') ylabel('Flujo2 (Wb)') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') grid on pause end

Figura 1.10.7: Corrientes por los devanados correspondientes al ejemplo 1.10.5.

Figura 1.10.8: Flujo en la rama1 correspondiente al ejemplo 1.10.5

Figura 1.10.9: Flujo en la rama 2, correspondiente al ejemplo 1.10.5

Figura 1.10.10:Corrientes por los devanados correspondientes al ejemplo 1.10.5, considerando un límite de I1=190 A 1.11 Circuito magnético paralelo con entrehierro Para determinar el comportamiento del circuito magnético con entrehierro se tomara como base la figura No. 1.11.1 donde se ha colocado un espacio de aire o entrehierro en la columna de la derecha. En el mismo se señalan las siguientes trayectorias. 13: Trayectoria de la rama 3 ghab l2: Trayectoria de la rama 2 bg l1: Trayectoria de la rama bcdefg (Sin incluir la longitud del entrehierro) l4: Trayectoria del entrehierro (Longitud del entrehierro) Para el siguiente análisis se considerará que el área del entrehierro es igual a A1, es decir: 𝐴4 = 𝐴1 . Aplicando la ley de Ampere se cumple: Cerrando el circuito por las ramas 3 y 2: 𝑁𝐼 = 𝐻3 𝑙3 + 𝐻2 𝑙2(1.11.1) Cerrando el circuito a través de las ramas 3 y 1: 𝑁𝐼 = 𝐻3 𝑙3 + 𝐻1 𝑙1 + 𝐻4 𝑙4

(1.11.2)

Cerrando el circuito a través de las ramas 1 y 2:

0 = 𝐻1 𝑙1 + 𝐻4 𝑙4 − 𝐻2 𝑙2

(1.11.3)

Obsérvese que en la ecuación (1.11.3) se ha sustituido por cero el término izquierdo de la ecuación puesto que en esta malla cerrada no existe ninguna fuente de excitación. En el nodo b del circuito de la figura No.1.11.1 se cumple: Ø3 = Ø1 + Ø2

(1.11.4)

Suponiendo que se quiere determinar la corriente de excitación para establecer un flujo Ø1 en la rama1, se emplea el siguiente algoritmo, a partir del flujo Ø1 como dato y demás dimensiones del circuito magnético.

 Se calcula la densidad de flujo en la parte magnético de la rama 1 mediante: Ø 𝐵1 = 1 

𝐴1

A partir de la característica de B vs H del material magnético se determinar el valor 𝐻1 de la intensidad del campo magnético.

 Se calcula la densidad de flujo en el entrehierro mediante: 𝐵4 =

Ø1 𝐴4

 Se calcula la intensidad del campo magnético en el entrehierro mediante: 𝐻4 = Bµo4

 Aplicando la ecuación (1.11.3) se determinar la intensidad del campo magnético 𝐻1 𝑙1 +𝐻4 𝑙4 en la rama 2: 𝐻2 =   

𝑙2

Con el valor de 𝐻2 hallado anteriormente y empleando la característica de B vs H del material magnético se determina el valor de 𝐵2 correspondiente. Se calcula el valor del flujo correspondiente en la rama 2 mediante: Ø2 = 𝐵2 𝐴2 Se calcula el flujo en la rama 3 mediante: Ø3 = Ø1 + Ø2

 Se determina la densidad de flujo en la rama 3 mediante: 𝐵3 =   

Ø3 𝐴3

Con el valor de 𝐵3 hallado y empleando la característica de B vs H del material magnético, se determinar el valor correspondiente de 𝐻3 Aplicando la ecuación 1.11.1 se determinar los NI de excitación Conocidos los NI y las vueltas del devanado de excitación, se calcula el valor de la corriente de excitación.

Ejemplo 1.11.1: En el circuito magnético que se muestra en la figura No. 1.11.1 se cumplen los siguientes datos. N=2000 Vueltas 𝐴1 = 𝐴4 = 300 𝑚𝑚2 = (3)(10−4 )𝑚2 𝐴2 = 600 𝑚𝑚2 = (6)(10−4 ) 𝑚2 𝐴3 = 650 𝑚𝑚2= (6.5)(10−4 ) 𝑚2 𝑙1 = 900 𝑚𝑚 = 0.9 𝑚 𝑙2 =300 mm =0.3 m 𝑙3 = 600 𝑚𝑚 = 0.6 𝑚

𝑙4 = 2 𝑚𝑚 = 0.002 𝑚 a) Determínese el valor de la corriente de excitación, si se quiere que el flujo en la rama 1 presente el valor: Ø1 = 0.00012 𝑊𝑏. Se conoce que el material del núcleo es de acero fundido. b) Confeccione un programa en Matlab que permita determinar las características de los flujos en las diferentes ramas, en función de la corriente de excitación. Resolución a)

Con el valor de flujo dado como dato para la rama 1 se cumple:

Ø1 0.00012 = = 0.4 T 𝐴1 (3)(10−4 ) A partir de la característica de B s H mostrada en la figura No.1.8.3 se obtiene: 𝐴−𝑣 𝐻1 = 250 𝑚 Puesto que las áreas 𝐴1 = 𝐴4 se cumple que 𝐵1 = 𝐵 = 0.4 𝑇4 𝐵1 =

De acuerdo con lo anterior se cumple para el entrehierro el siguiente valor de 0.4 𝐴−𝑣 intensidad:H4 = (4)(П)(10−7 )=(3.1831)(105 ) 𝑚 . De la ecuación (1.11.3) se obtiene: 𝐻2 =

(250)(0.9) + (3.1831)(105 )(0.002) 𝐴−𝑣 = 2872.1 0.3 𝑚

Con el valor de 𝐻2 hallado, a partir de la característica de B s H mostrada en la figura No.1.8.3 se obtiene: 𝐵2 = 1.49 𝑇 El valor del flujo en la rama 2 se determina mediante: Ø2 = B2 𝐴2 = (1.49)(6)(10−4 ) = (0.89)(10−3 ) 𝑊𝑏 El flujo en la rama 3 está dado por: Ø3 = Ø1 + Ø2 = 0.00012 + 0.00089 = 0.001 𝑊𝑏. Al valor de flujo hallado, le corresponde la densidad de flujo: 𝐵3 =

Ø3 0.001 = = 1.54 𝑇 𝐴3 (6.5)(10−4 )

A partir de la característica de B s H mostrada en la figura No.1.8.3 se obtiene: 𝐴−𝑣 𝐻3 = 4226.1 𝑚 De la ecuación (1.11.1) se obtiene:

𝑁𝐼 = 𝐻3 𝑙3 + 𝐻2 𝑙2 = (4226.1)(0.6) + (2872.1)(0.3) = 3397.3 𝐴 − 𝑣 Al dividir el resultado anterior por el número de vueltas del enrollado de excitación se obtiene: 𝐼=

3397.3 2000

= 1.6987 A

Figura 1.11.1 Circuito magnético paralelo con entrehierro en una columna. b) A continuación se muestra el código en Matlab correspondiente al programa elaborado. Del mismo debe observarse:     



Se introducen como vectores los valores de H y B correspondientes al material magnético dado (Acero fundido), obtenidos de la característica correspondiente de la figura No.1.83 Los datos del circuito magnético se introducen mediante la instrucción input, por lo que en la ventana de comandos, aparece lo mostrado en la tabla No.1.11.1. Se emplea la función max para determinar el valor máximo (Bmax) ,de la densidad de flujo introducida como dato. Con ello se genera el vector flujo en la rama 1, desde cero hasta flujomax con pasos igual a 1/20. Se emplea un lazo for para seleccionar solamente los puntos hasta la rodilla de saturación. En el ploteo correspondiente a flujo en la rama 3 vs corriente, se trazan las coordenadas para la corriente de excitación dada como dato, según se observa en la figura No. 1.11.3 Para ello, se emplean las dos instrucciones line que se muestran en el código correspondiente. En esta figura se muestra el valor de flujo correspondiente para un valor de corriente introducido como dato de entrada por el usuario. Como resultado del programa, se obtiene el comportamiento gráfico mostrado en las figuras 1.11.2 y 1.11.3. Una vez que el usuario observe estos resultados



gráficos, puede comprobar el máximo valor de corriente de excitación. Con ello, si desea determinar los valores de flujo para una corriente deseada, este valor se introduce mediante la instrucción input. Si este valor es superior al permisible por la saturación, en forma automática se emite el mensaje “ la corriente de excitación debe ser igual o menor a”. Si se desea determinar el comportamiento del circuito magnético sin entrehierro en la rama 1, debe introducirse como dato l4=0.

Código en Matlab % CIRCUITO MAGNETICO PARALELO CON ENTREHIERRO %ARCHVO Magnetico_Paralelo_Entrehierro %EJEMPLO 1.11.1 %******************************************************************** * H=[0 286 570 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3500 3750 4000 5000]; % Fuerza magnetomotriz H (A-v/m) B=[0 0.4 0.8 1.0 1.15 1.25 1.32 1.38 1.41 1.44 1.46 1.48 1.5 1.53 1.54 1.55 1.6 ]; % Densidad de flujo B (T) %******************************************************************** * % DATOS A1=input (área del núcleo rama 1 mm2 A1='); A2=input (área del núcleo rama 2 mm2 A2='); A3=input (área del núcleo rama 3 mm2 A3='); A4=input (área del entrehierro mm2 A4='); l1=input ('Longitud del núcleo rama1 mm l1='); l2=input ('Longitud del núcleo rama2 mm l2='); l3=input ('Longitud del núcleo rama3 mm l3='); l4=input('Longitud del entrehiero mm l4='); N=input ('Numero de vueltas del devanado de excitación N='); clc A1=A1*1e-6; A2=A2*1e-6; A3=A3*1e-6; A4=A4*1e-6; l1=l1*1e-3; l2=l2*1e-3; l3=l3*1e-3; l4=l4*1e-3; Bmax=max(B); flujomax1=Bmax*A1; flujo1=0:flujomax1/20:flujomax1; Np=size(flujo1); % Para identificar el número de elementos del vector flujo Np=Np(:,2); %******************************************************************** * % PLOTEO DE FLUJO VS FUERZA MAGNETOMOTRIZ TOTAL B1p=flujo1/A1; H1p=interp1(B,H,B1p,'cubic');

F1=H1p*l1; B4p=flujo1/A4; H4p=B4p/(4*pi*1e-7); F4=H4p*l2; H2p=(H1p*l1+H4p*l4)/l2; B2p=interp1(H,B,H2p,'cubic'); flujo2=B2p*A2; flujo3=flujo1+flujo2; B3p=flujo3/A3; H3p=interp1(B,H,B3p,'cubic'); I=(H3p*l3+H2p*l2)/N; % ********************************************************************* % PLOTEO DE FLUJO VS CORRIENTE. for J=1:Np % Lazo for para seleccionar solo puntos hasta la zona de saturación if B3p(J)<=1.6 & B2p(J)<=1.6 flu1(J)=flujo1(J); flu2(J)=flujo2(J); flu3(J)=flujo3(J); Corr(J)=I(J); end end plot(Corr,flu1,'-o',Corr,flu2,'-o',Corr,flu3,'-o') title('Flujo vs Corriente') xlabel('Corriente (A)') ylabel('Flujo (Wb)') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') grid on legend ('Flujo1','Flujo2','Flujo3') pause Imax=max(Corr); Iex=input('Corriente de excitación Iex='); ifIex>Imax disp('La corriente de excitación debe ser menor o igual a') Imax Iex=input('Corriente de excitación Iex=') pause end plot(Corr,flu3,'-o') Flujo=interp1(Corr,flu3,Iex,'cubic'); line([IexIex],[0 Flujo],'Color','r','marker','o','linestyle','--','LineWidth',3) line([Iex 0],[FlujoFlujo],'Color','r','marker','o','linestyle','--','LineWidth',3) text(0.1*Iex,1.05*Flujo,['Flujo en la rama3 (Wb)=',sprintf('%2.8f',Flujo)]) text(Iex,0.1*Flujo,['Corriente de Excitacion(A)=',sprintf('%3.3f',Iex)]) set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') gridon

>>Magnetico_Paralelo_Entrehierro área del núcleo rama 1 mm2 A1=300 área del núcleo rama 2 mm2 A2=600 área del núcleo rama 3 mm2 A3=650 área del entrehierro mm2 A4=300 Longitud del núcleo rama1 mm l1=900 Longitud del núcleo rama2 mm l2=300 Longitud del núcleo rama3 mm l3=600 Longitud del entrehierro mm l4=2 Numero de vueltas del devanado de excitación N=2000

Tabla No. 1.11.1: Entrada de datos en la ventana de comandos

Figura 1.11.2 Características de flujo vs corriente de excitación , correspondientes al ejemplo 1.11.1

Figura 1.11.3: Característica de flujo en la rama 3 vs corriente de excitación, correspondiente al ejemplo 1.11.1

1.12: Inducción electromagnética. Ley de Faraday Hasta ahora se ha determinado el comportamiento de los circuitos magnéticos considerando que la fuente de excitación de los circuitos magnéticos es constante y por tanto los flujos no varían con el tiempo. Sin embargo cuando el flujo magnético es variable con el tiempo, se produce un efecto de inducción electromagnética y con ello está relacionada la ley de Faraday, la cual nos sirve para determinar el principio del transformador, aspecto que se comenzará a estudiar en el próximo capítulo. En 1831 Michael Faraday descubrió la inducción electromagnética, y el mismo año demostró la inducción de una corriente eléctrica por otra. Los estudios sobre inducción electromagnética, realizados por Michael Faraday nos indican que en un conductor que se mueva cortando las líneas de fuerza de un campo magnético se produciría una fuerza electromotríz (F.e.m.) inducida y si se tratase de un circuito cerrado se produciría una corriente inducida. Lo mismo sucedería si el flujo magnético que atraviesa al conductor es variable. Un flujo variable que concatene con un enrollado puede obtenerse de varias formas, por ejemplo:   

Desplazando un imán Desplazando un solonoide que conduzca una corriente. Variando la corriente dentro del solenoide.

 

Moviendo la bobina dentro del campo magnético. Variando el área de la bobina que este dentro de un campo magnético.

Experimentos de inducción electromagnética. Algunos de los experimentos de la inducción electromagnética se muestran en la figura No.1.12.1. En la figura a) un imán que provoca un flujo Ø y con velocidad v=0 , se encuentra situado muy próximo a una bobina de vueltas N. Un galvanómetro conectado a la bobina no experimenta deflexión según se muestra. En la figura b) al ser movido externamente el imán a una velocidad v en el sentido indicado, el galvanómetro experimenta cierta deflexión en el sentido positivo de la escala. Si el imán es movido a una velocidad v en sentido opuesto, el galvanómetro experimenta la deflexión en sentido contrario, según se muestra en la figura c. La deflexión que experimenta el galvanómetro obedece a que en la bobina de N vueltas, se induce una fuerza electromotriz (fuerza electromotriz por inducción) debido a que en la misma se experimenta una variación de flujo provocado por el movimiento del imán. Otro experimento que puede realizarse es mostrado en la figura No. 1.12.2 , en la cual una bobina 2 experimenta una variación de flujo externo Ø1 provocado por la corriente circulando por la bobina 1. En la figura a, el interruptor P se encuentra abierto por lo que tanto la corriente 𝐼1 como el flujo Ø1 presentan valor cero y el galvanómetro no presenta deflexión. En la figura b, se considera que se cierra el interruptor P, por lo que la corriente aumenta de valor cero a un valor 𝐼1 y también lo hace el flujo Ø1 en los sentidos que se indican, lo cual se determina al aplicar la regla de la mano derecha. En este caso el galvanómetro experimenta la deflexión en el sentido que se indica. Si el interruptor P se abre, tal como se señala en la figura c, la corriente pasa de un valor 𝐼1 a cero y el flujo también va a valor cero, en el sentido que se indica. En estas condiciones el galvanómetro deflecta en sentido contrario, según se señala. La deflexión que experimenta el galvanómetro obedece a que en la bobina 2 se induce una fuerza electromotriz (fuerza electromotriz por inducción) debido a que en la misma se experimenta una variación de flujo provocado por la bobina 1. Otra serie de experimentos fueron realizados por Faraday, con bobinas de diferentes números de vueltas, diferentes valores de flujo y diferentes tiempos en los cuales el flujo experimentaba las variaciones, lo que condujo en forma experimental a determinar la ley de la inducción electromagnética, la cual permite determinar el valor de la fuerza electromotriz inducida en una bobina de N vueltas, cuando con la misma concatena un flujo que varía respecto al tiempo. Farady determinó que la fuerza electromotriz inducida es proporcional al número de vueltas de la bobina y a la variación del flujo respecto al tiempo que concatena con la misma, o sea: 𝛥Ø

𝑒 = 𝑁 𝛥𝑡 (𝑉) Donde: e- Fuerza electromotriz inducida (V) N- Número de vueltas de la bobina. 𝛥Ø- Variación o cambio del flujo que concatena con la bobina (Wb) 𝛥𝑡 −Intervalo de tiempo en el cual varia el flujo (s)

(1.12.1)

Puede observarse de la ecuación (1.12.1) que con la bobina puede concatenar un flujo, pero si no varía respecto al tiempo, no existe fuerza electromotriz inducida.

a) Imán con cero velocidad cercano a una bobina: No se induce fuerza electromotriz

b) Imán siendo movido externamente a una velocidad v en el sentido indicado: Se induce una fuerza electromotriz en un sentido dado.

c) Imán siendo movido externamente a una velocidad v en sentido contrario, respecto a la figura b. Se induce una fuerza electromotriz en sentido opuesto. Figura 1.12.1: Fuerza electromotriz inducida en una bobina por el desplazamiento de un imán.

a) Corriente y flujo de valor cero.

b) Corriente y flujo aumentando en los sentidos indicados.

c) Corriente y flujo reduciéndose en los sentidos indicados. Figura 1.12.2. Fuerza electromotriz inducida en la bobina 2 por la acción de un flujo variable externo provocado por la bobina 1.

1.13: Ley de Lenz De los experimentos realizados por Farady, se puede observar que por ejemplo de la figura No. 1.12.1-b, cuando el imán es acercado a la bobina, es decir que el flujo concatenado con ella aumenta, el galvanómetro se deflecta en un sentido, y cuando el imán se aleja, figura No. 1.12.1-c, es decir que el flujo concatenado se reduce, la deflexión del galvanómetro es en sentido opuesto. Lo mismo ocurre con lo mostrado en las figuras 1.12.2 b y c. Estos experimentos y otros más, condujeron a Heinrich Lenz en 1834 de forma cualitativa, a modificar la ley de Faraday. La ley de Lenz expresa que la fuerza electromotriz inducida en la bobina tiene un sentido o polaridad tal que se opone a la causa que la produce. Esta ley se ilustra mediante las figuras 1.13.1 y 1.13.2. En la figura No.1.13.1-a, el imán movido hacia la derecha provoca un aumento del flujo Ø𝑒 externo a la bobina de N vueltas, entonces por la ley de Lenz en la bobina se induce una fuerza electromotriz e con la polaridad indicada, es decir el terminal a negativo y el b positivo. Esto provoca una corriente I en el sentido indicado, por lo que al aplicar la regla de la mano derecha, el flujo inducido correspondiente Ø𝑖 se opone al aumento del flujo externo. Si el imán se aleja de la bobina, tal como se muestra en la figura No.1.13.1-b, entonces el flujo externo Ø𝑒 mantiene el sentido que se indica pero las concatenaciones con la bobina se reducen. Esto provoca que la fuerza electromotriz invierte su polaridad, por lo que el terminal a se hace positivo y el b negativo, provocando una circulación de la corriente en sentido tal que el flujo inducido Ø𝑖 se opone a la reducción del flujo externo.

a) Flujo externo Ø𝒆 concatenado aumentando en el sentido indicado. El flujo inducido Ø𝒊 se opone al aumento del flujo externo.

b) Flujo externo Ø𝒆 concatenado decreciendo en el sentido indicado. El flujo inducido Ø𝒊 se opone a la reducción del flujo externo Figura 1.13.1: Aplicación de la ley de Lenz. Flujo externo provocado por un imán También en la figura No. 1.13.2 se ilustra la ley de la Lenz. En la figura a, una bobina 1 sin movimiento conduce una corriente 𝐼1 provocando el flujo Ø1 externo a la bobina 2. Se considera que el interruptor P se cierra, por lo que este flujo aumenta en el sentido indicado. La reacción de la bobina 2 es provocar un flujo inducido Ø2 en sentido contrario, para evitar el aumento del Ø1 , por lo que la fuerza electromotriz inducida debe presentar la polaridad indicada, es decir el terminal a negativo y el b positivo. Con ello la corriente 𝐼2 debe tener el sentido indicado para provocar el sentido apropiado del flujo Ø2 . En la figura b se considera que el interruptor se abre, por lo que el flujo externo Ø1 se reduce y por tanto la polaridad de la fuerza electromotriz debe invertirse, así como el sentido de la corriente 𝐼2 . Con esto el flujo Ø2 inducido se opone a la disminución del flujo externo.

a) Cierre del interruptor P. Flujo externo Ø𝟏 aumentando en el sentido indicado. El flujo inducido Ø𝟐 se opone al aumento del flujo externo.

b) Apertura del interruptor P. Flujo externo Ø𝟏 disminuyendo en el sentido indicado. El flujo inducido Ø𝟐 se opone a la disminución del flujo externo. Figura 1.13.2: Aplicación de la ley de Lenz. Flujo externo provocado por una bobina con corriente. De acuerdo con todo lo explicado, la ley de Lenz expresada mediante la ecuación (1.12.1) debe ser modificada agregando un signo negativo, de modo que se manifieste el efecto de oposición a la causa que provoca la fuerza electromotriz inducida, es decir: 𝛥Ø

𝑒 = −𝑁 𝛥𝑡 (𝑉)

(1.13.1)

Si los incrementos de flujo y los intervalos de tiempo se reducen a diferenciales, la ecuación (1.13.1) debe escribirse como: 𝑑Ø

𝑒 = −𝑁 𝑑𝑡

(1.13.2)

Polaridad de bobinas acopladas. Marcas de polaridad. Considérese dos bobinas acopladas como se muestra en la figura 1.13.3-a y que la bobina 1 es alimentada con una fuente alterna de modo que el flujo 𝜙1 provocado por la misma varíe con el tiempo con cualquier ley. Además supóngase que en el instante considerado la fuente fija las polaridades positiva en el terminal (A) y negativa en el (B) y que la corriente 𝐼1 aumenta en el sentido indicado, con esto el flujo 𝜙1 también aumenta en el sentido que se señala. De acuerdo con la ley de Lenz, la fuerza electromotriz que se induce internamente en la bobina 2 debe tener la polaridad señalada (terminal a positivo y terminal b negativo) señalada como 𝑒𝑏𝑎 de modo que la corriente 𝐼2 provoque un flujo 𝜙2 opuesto a 𝜙1 . De este modo el terminal (A) puede señalarse con un punto y su terminal homólogo (a) de la bobina 2 también con un punto. Esta indicación con puntos significa que si la corriente por el devanado excitador entre por el punto en un instante dado, por el otro devanado la corriente sale del punto en ese mismo instante. O también que si en un instante dado el terminal (A) es positivo, en ese instante el (a) también es positivo. De acuerdo con esto en la resistencia R (carga eléctrica conectada en la bobina (2), la corriente fluye del terminal (a) hacia el (b). Con la fuente de alimentación alterna, en cada medio ciclo las polaridades varían cada medio ciclo, pero los valores relativos se mantienen. Es decir, para la figura 1.13.3-a se cumple que si en un medio ciclo los terminales A y a son positivos, los terminales B y b

son negativos. En el siguiente medio ciclo los terminales A y a son negativos y los B y b son positivos. Si se quiere invertir la polaridad relativa de los devanados, basta con invertir el sentido relativo con se enrollen las bobinas, tal como se señala en la figura 1.13.3.-b. En este caso se mantiene las mismas condiciones en la bobina (1), pero la bobina (2) ha sido enrollada en sentido contrario. En este caso, la corriente 𝐼debe circular en sentido opuesto tal como se indica. Esto significa que la polaridad se ha invertido en los terminales de la bobina (2), es decir, el terminal (b) es positivo y el (a) negativo, por lo que la señalización de los puntos debe hacerse según se indica.

Figura 1.13.3: Indicación de la polaridad mediante el convenio de puntos En vez del convenio de puntos, la polaridad de las bobinas puede señalarse como se indica en la figura 1.13.4. Como veremos posteriormente este convenio se aplica en los transformadores, donde la letra H indica el enrollado de alto voltaje y la X , el de bajo. Esto significa que los terminales marcados con los puntos 1, presentan polaridad positiva en un instante dado y con los puntos 2, en ese instante tienen polaridad negativa. Los convención seguida para indicar las polaridades, permiten determinar las polaridades de los voltajes y las corrientes sin necesidad de inspeccionar físicamente los devanados.

Figura 1.13.4: Indicación de la polaridad mediante letras. H bobina de alto voltaje X: Bobina de bajo voltaje

1.14 Fuerza electromotriz de autoinducción. Se denomina fuerza electromotriz de autoinducción a la que se induce en una bobina debido al flujo creado por ésta. Este fenómeno se ilustra en la figura No. 1.14.1, en la que se muestra una bobina de N vueltas alimentada por una fuente de voltaje V. En la figura 1.14.1-a, al cerrar el interruptor P aparece una corriente 𝑖 y por tanto un flujo Ø1 externo aumentando en el sentido indicado. Por la ley de Lenz , este flujo debe inducir una fuerza electromotriz e interna inducida con la polaridad que se señala, es decir con el terminal a negativo y el b positivo. Para esta polaridad, la fuerza electromotriz interna inducida tiende a hacer circular una corriente, la cual provocaría el flujo inducido Ø2 el cual se opone al incremento del flujo Ø1 . La ley de Lenz también aquí puede ser interpretada, de modo que la polaridad de la fuerza electromotriz e inducida es opuesta a la del voltaje V aplicado a la bobina. Si se abre el interruptor P, tal como se muestra en la figura 1.14.1-b, la corriente y el flujo Ø1 se reducen hasta valor cero. En este caso la fuerza electromotriz cambia de polaridad y el flujoØ2 también invierte su sentido, para evitar que el flujo Ø1 se reduzca y cumplir con la ley de Lenz.

Figura 1.14.1-a: Al cerrar el interruptor P, la corriente i provoca el flujo Ø1 aumentando en el sentido indicado. El flujo inducido Ø𝟐 se opone al aumento del Ø𝟏

Figura 1.14.1-b.Al abrir el interruptor P, el flujo Ø𝟏 se reduce. El flujo inducido Ø𝟐 se opone a la reducción del flujo Ø𝟏 Figura 1.14.1: Fuerza electromotriz de autoinducción.

Si el circuito de la bobina mostrado en la figura No. 1.14.1 presenta una resistencia𝑅, el voltaje de la fuente V debe poseer una componente para vencer la caída de voltaje por resistencia más otra componente igual y opuesta a la fuerza electromotriz inducida. Por ello, teniendo en cuenta la ecuación (1.13.2) y tomando éstas con signo cambiado, se cumple las siguientes ecuaciones de equilibrio de voltajes: 𝑉 = 𝑖𝑅 + 𝑒

(1.14.1) 𝑑Ø

𝑉 = 𝑖𝑅 + 𝑁 𝑑𝑡

(1.14.2)

Puesto que de acuerdo con la ecuación (1.1.4), el flujo está por la relación Ampere vueltas dividido por la reluctancia, en la figura 1.14.1-a se cumple: 𝑁𝑖

Ø=

𝔑

(1.14.3) Si se sustituye la ecuación (1.14.3) en la (1.14.2) y se obtiene:

𝑉 = 𝑖𝑅 +

𝑁2 𝑑𝑖 𝔑 𝑑𝑡

(1.14.4)

Como se conoce de la teoría de circuitos, la autoinductancia de un circuito se define mediante:

𝐿=

𝑁2 𝔑

(H)

(1.14.5)

De acuerdo con lo anterior, la ecuación (1.14.5) se puede escribir mediante: 𝑑𝑖

𝑉 = 𝑖𝑅 + 𝐿 𝑑𝑡

(1.14.6)

Si se considera constante la inductancia, la ecuación (1.14.6) es diferencial lineal con coeficientes constantes, la cual tiene la siguiente solución: −𝑡

𝑖 = 𝐼 (1 − 𝑒 𝑇 )

(1.14.7)

Donde I es el valor de estado estable de la corriente y 𝑇 la constante de tiempo del circuito, dados por: 𝑉

𝐼 = (A) 𝑅

𝐿

𝑇 = (s) 𝑅

(1.14.8) (1.14.9)

En las ecuaciones anteriores, los valores con letra minúscula para la corriente representan las magnitudes variables o instantáneas en función del tiempo; con letras mayúsculas, valores constantes.

En la figura (1.14.2) se muestra la representación gráfica de la corriente en función del tiempo correspondiente a la ecuación (1.14.7). De la misma puede observarse el carácter exponencial que presenta en función del tiempo, obteniéndose un valor estable transcurrido un determinado tiempo infinito teóricamente. En la práctica el valor estable de corriente se obtiene en un tiempo aproximado a 6 veces la constante de tiempo. La autoinductancia también puede definirse como:

𝐿=𝑁

𝛥Ø 𝛥𝐼

(1.14.10)

En forma diferencial, la ecuación anterior se puede escribir mediante:

𝐿=𝑁

𝑑Ø 𝑑𝑖

(1.14.11)

Al sustituir la ecuación (1.14.11) en la (1.14.2) también se obtiene la (1.14.6) De las ecuaciones (1.14.10) o (1.14.11) se puede definir la autoinductancia como la pendiente de la curva de 𝑁Ø vs i para cualquier circuito magnético.

Figura 1.14.2: Corriente en función del tiempo para un circuito RL. Ejemplo 1.14.1: El circuito magnético que se muestra en la figura No. 1.14.3 tiene una longitud media igual a 𝑙𝑚 = 1 𝑚 y una sección transversal 𝐴 = 0.07𝑚2 . Se conoce que el material del núcleo es acero fundido. Además, las vueltas de los devanados presentan los siguientes valores: 𝑁1 = 50 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑁2 = 500 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠. Si la corriente por la bobina (1) varía con el tiempo según se muestra en la gráfica No. 1.14.4, determine: a) La ecuación del flujo en función del tiempo debido a la bobina (1) b) La fuerza electromotriz inducida en la bobina de (2) Considere que el flujo magnético varía en forma lineal con la corriente y que el sentido positivo de la corriente 𝐼1 coincide con el señalado en la figura No. 1.14.3.

Resolución a) Para determinar el comportamiento del flujo en función del tiempo, se parte de las figura No. 1.4.2 y No.1.14.7 seleccionándose la característica correspondiente hierro fundido. La intensidad del campo magnético que excita al núcleo correspondiente al valor máximo de corriente de 10 A, está dada por la ecuación (1.4.1) 𝐻=

(50)(10) 𝐴−𝑣 = 500 1 𝑚

Al valor de H hallado, le corresponde una densidad de flujo, de la figura No. 1.14.7 igual a: 𝐵 = 0.75 𝑇. Con este valor, se obtiene al aplicar la ecuación (1.2.1) el flujo:Ø = (0.75)(0.07) = 0.0525 𝑊𝑏. Estos resultados ‘permiten representar la variación del flujo respecto al tiempo, según se muestra en la figura No. 1.14.5 y con ello obtener las siguientes ecuaciones: Intervalo 0-1 segundos: Ø = 0.0525𝑡 Intervalo 1-3 segundos: Ø = 0.0525 Intervalo 3-4 segundos: Ø = 0.21 − 0.0525𝑡 Obsérvese que las ecuaciones de flujos anteriores, se representan como líneas rectas, ya que se ha considerado el circuito magnético lineal, lo cual no introduce errores entre los límites de densidades de flujo de este ejemplo, para lo cual la característica de B vs H se puede representar mediante la línea recta o-a señalada en la figura No. 1.14.7 b) Al aplicar la ecuación (1.13.2) se obtiene: Intervalo 0-1 segundos: 𝑒2 = (500)(0.0525) = −26.25 (𝑉) Intervalo 1-3 segundos 𝑒2 = 0 Intervalo 3-4 segundos: 𝑒2 = (500)(0.0525) = 26.25 (𝑉) El significado de los signos de la fuerza electromotriz inducida en la bobina (2) se explica mediante la ley de Lenz. Obsérvese que en el intervalo 0-1 segundos, la corriente por la bobina (1) está aumentando en el sentido indicado en la figura No. 1.14.3, lo cual provoca un flujo también aumentando en el sentido señalado en esta figura. Debido a esto en la bobina (2) debe inducirse una fuerza electromotriz con un sentido o polaridad tal, que provoque una corriente que tienda a producir un flujo que se oponga al incremento del flujo debido a la bobina (1). Por ello en este intervalo la polaridad debe ser tal que el terminal a sea negativo y el b positivo. En el intervalo de tiempo 1-3 segundos, puesto que el flujo no varía con el tiempo, no se induce fuerza electromotriz. En el intervalo 3-4 segundos, el flujo provocado por la bobina (1) sigue estando en el sentido indicado en la figura No. 1.14.3, pero en este caso decreciendo, ya que la corriente en esta bobina también se encuentra decreciendo, según se indica en la figura No.1.14.4. Es por ello que en estas condiciones, debe inducirse una fuerza electromotriz en la bobina (2) con una polaridad de modo que el terminal b sea negativo y el a positivo. Esto garantiza que si una corriente fluye por esta bobina provoca un flujo en el mismo sentido que el provocado por la bobina (1) y con ello oponiéndose a que el mismo decrezca.

Figura 1.14.3: Circuito magnético correspondiente al ejemplo 1.14.1

𝑖1 (A)

10

1

3

4

t (s)

Figura 1.14.4: Corriente en función del tiempo correspondiente al ejemplo 1.14.1.

Ø (Wb)

0.0525

1

3

4

t (s) Figura 1.14.5: Flujo en función del tiempo correspondiente al ejemplo No. 1.14.1

e2 (V) e2 =26.25 1 3

4 t (s)

e2 =-26.25

Figura 1.14.6: Fuerza electromotriz en función del tiempo inducida en la bobina (2)

Figura 1.14.7: Características de magnetización. Linialización de la característica en el punto de operación.

Ejemplo 1.14.2: Considere que en el circuito magnético mostrado en la figura No 1.14.3 se alimenta con una fuente de corriente directa de voltaje V=20 (V), tal como se muestra en la figura No. 1.14.8 y que todo el circuito de la bobina (1) tiene un resistencia igual a R= 2 Ohm. Se desea determinar el comportamiento transitorio del circuito al cerrar el interruptor S. Supongo el circuito magnético lineal, tal como se consideró en el ejemplo anterior y que las bobinas tienen los siguientes números de vueltas: 𝑁1 = 70 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑁2 = 500 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 Calcule: a) b) c) d) e)

La autoinductancia de la bobina (1) La ecuación de la corriente en función del tiempo por la bobina (1) La ecuación del flujo en función del tiempo La fuerza electromotriz de autoinducción en la bobina (1) La fuerza electromotriz inducida en la bobina (2).

Figura 1.14.8: Circuito correspondiente al ejemplo 1.14.2 Resolución a) La autoinductancia de la bobina puede determinarse aplicando la ecuación (1.14.5), siendo necesario hallar previamente la reluctancia del circuito magnético mediante la ecuación (1.6.3). Para ello debe hallarse la permeabilidad magnética mediante la ecuación (1.5.1) y de la figura (1.14.7) empleando la característica lineal se obtiene, al seleccionarse la densidad igual a 0.75 T: µ=

0.75 = 0.0015 500

De la ecuación (1.6.3) se obtiene:

1

𝔑 = (0.07)(0.0015) = 9523.8

A−v Wb

Al aplicar la ecuación (1.14.5) queda: 𝐿 =

702 9523.8

= 0.5145 𝐻

b) La constante de tiempo del circuito del devanado (1) se obtiene de la ecuación (1.14.9): 𝑇=

0.5145 = 0.2572 𝑠 2

De la ecuación (1.14.7) la ecuación de corriente en función del tiempo está dada por:

𝐢=

−𝐭 −𝐭 𝟐𝟎 (𝟏 − 𝐞𝟎.𝟐𝟓𝟕𝟐 ) = 𝟏𝟎 (𝟏 − 𝐞𝟎.𝟐𝟓𝟕𝟐 ) 𝟐

(𝐴)

En la figura No. 1.14.9 se muestra la gráfica de la corriente en función del tiempo. Puede observarse que la misma alcanza su estado estable para un tiempo aproximado a 6 veces la constante de tiempo, o sea: t=(6)(0.2572)=1.5432 (s) c) Puesto que el flujo está dado por la relación fuerza magnetomotriz a reluctancia, aplicando la ecuación (1.1.6) y conocido los valores de la reluctancia y corriente obtenidas en el inciso anterior se tiene: −𝑡

𝜙=

(70)(10) (1 − 𝑒 0.2575 ) 9523.8

−𝑡

= 0.0735 (1 − 𝑒 0.2572 ) 𝑊𝑏

En la figura No. 1.14.10 se muestra la gráfica del flujo en función del tiempo. d) La fuerza electromotriz autoinducida en la bobina (1) , se determina aplicando la ecuación (1.13.2): −𝑡

−𝑡 (70)(0.0735)𝑒 0.2575 𝑒1 = = 19.98𝑒 0.2575 (𝑉) 0.2575

e) De igual forma para la bobina (2) se cumple: −𝑡

−𝑡 (500)(0.0735)𝑒 0.2575 𝑒2 = = 142.72𝑒 0.2575 (𝑉) 0.2575

En la figura No. 1.14.11 se muestran las gráficas de las fuerzas electromotrices inducidas en las bobinas (1) y (2). Tal como se observa, en estado estable las fuerzas electromotrices inducidas tienen valor cero, ya que en este estado el flujo es constante. De los resultados obtenidos puede comprobarse que el estado estable de las variables es alcanzado en un tiempo aproximadamente igual a 6 constantes de tiempo.

Figura 1.14.9: Corriente transitoria por el devanado (1) correspondiente al ejemplo (1.14.2)

Figura 1.14.10: Flujo magnético correspondiente al ejemplo

(1.14.2)

Figura 1.14.11: Fuerza electromotriz inducida en las bobinas correspondiente al ejemplo (1.14.2) En la solución de los dos problemas anteriores se ha considerado que el circuito magnético es lineal por lo que tanto la reluctancia como la inductancia son constantes. Sin embargo cuando se opera en la zonas del circuito magnético donde no hay linealidad, el procedimiento seguido no es correcto, por lo que tanto la inductancia como la reluctancia son variables. Para determinar el comportamiento del circuito en estas condiciones puede aplicarse la herramienta simulink del Matlab, lo cual se ilustra en el siguiente ejemplo. El simulink, constituyendo éste una herramienta poderosa cuando se quiere hacer la simulación mediante la solución de ecuaciones diferenciales y la visualización mediante instrumentos. Ejemplo 1.14.3: Confeccione un programa en Matlab-Simulink que permita determinar comportamiento en el estado transitorio, al cerrar el interruptor S, correspondiente a la figura No.1.14.3. Considere la no linealidad del circuito magnético. Resolución. La ecuación de equilibrio de voltajes para la bobina (1) de acuerdo con la (1.14.2) se expresa como:

𝑉 = 𝑖𝑅 + 𝑁1

𝑑Ø 𝑑𝑡

De la ecuación anterior se obtiene:

(1.14.12)

𝜙=

1 𝑁1

∫ (𝑉 − 𝑖𝑅)𝑑𝑡

(1.14.13)

De la ecuación (1.14.12) se puede obtener la fuerza electromotriz 𝑒1 , la cual se corresponde con el segundo sumando del miembro izquierdo, por ello se tiene: 𝑒1 = 𝑉 − 𝑖𝑅

(1.14.14)

La ecuaciones (1.14.13) y (1.14.14) permiten construir el diagrama de bloques correspondiente al programa en Simulink que se pide. En la figura No.1.14.12 se muestra la ventana principal del programa al cual se le ha denominado “TRANSITORIO MAGNÉTICO C.D.” Con el objetivo de observar el comportamiento transitorio del circuito magnético, se han colocado seis osciloscopios y los correspondientes instrumentos de medición digitales, los cuales se encuentran disponibles en la librería Sinks del Simulink. Los instrumentos digitales permiten observar los valores estables de las variables. Además se ha colocado el multiplexor Mux1 para posibilitar el envío de los resultados al espacio de trabajo mediante el bloque salida. Estos dos últimos elementos se obtienen de la biblioteca Connectiony Sinks, ToWorkspacerespectivamente. Debe notarse que para obtener los resultados en función del tiempo en el espacio de trabajo, es necesario emplear el reloj clock, según se muestra en este bloque principal. Con ello es posible visualizar o trazar las características que se deseen en este espacio. En la parte inferior del bloque principal del programa mostrado en la figura (1.14.12) se muestra un pequeño bloque Ploteo, el cual permite visualizar la ventana de comandos, una vez que se haya realizado una corrida al programa, las características siguientes en función del tiempo: Flujo, fuerza electromotriz en la bobina (1), fuerza electromotriz en la bobina (2) y corriente por la bobina (1). Además se determinan las características de B vs H y flujo vs corriente por la bobina (1) Cuando el usuario pulse dos veces con el botón izquierdo del ratón sobre el bloque Ploteo, automáticamente se carga el fichero “graficar.m” el cual permite graficar las características mencionadas. Estos resultados son mostrados en la figura 1.14.15. Para introducir los datos al programa, como se señala en la figura 1.14.12, debe realizarse un doble clic con el botón izquierdo del ratón, con ello aparece la ventana de datos mostrada en la figura 1.14.14. Para observar la parte principal del programa mostrada en la figura 1.14.13, es necesario “mirar” debajo de la máscara creada. Para ello debe oprimirse el botón derecho del ratón, una vez situado sobre el bloque TRANSITORIO MAGNÉTICO C.D, correspondiente a la figura 1.14.12 y seleccionar Look UnderMask En esta figura se aprecia en el extremo izquierdo que existe un sumador sum1, al cual entra como primer sumando el voltaje aplicado por la entrada entrada1. Adicionalmente se restan la caída de voltajeiR Al multiplicar el resultado de este sumador por la ganancia

1 𝑁1

y realizar una

1 se obtiene como resultado el flujo magnético. s Todo ello corresponde con lo planteado en la ecuación (1.14.13). Obtenido el flujo se integración mediante el integrador

multiplica por la ganancia 1/A para determinar la densidad de flujo, la cual es introducida como entrada a la “lookuptable”, obteniéndose como salida la fuerza magnetizante H. Pare construir esta tabla se introducen los vectores cuyos elementos se obtienen de la característica del material dado para el núcleo. Estos valores son mostrados en la tabla No.1.14.1, La salida de la tabla es multiplicada por la ganancia 1/N1 con ello obteniéndose como resultado la corriente. También en la figura 1.14..13 que a la salida del sumador se obtiene la fuerza electromotriz inducida en la bobina (1), lo cual se corresponde con la ecuación (1.14.14). También puede observarse que antes del integrador se obtiene la derivada del flujo, por lo que al multiplicar está por el número de vueltas N2, se obtiene la fuerza electromotriz inducida en la bobina (2). Cabe señalar que en los bloques de las figuras (4.2.1-a) y (4.2.1-b) los sumadores e integradores así como las ganancias se obtienen de la biblioteca linear del Simulink. Al compararse el comportamiento transitorio de este ejemplo con el anterior, se puede observar que el estado estable se alcanza mucho más rápido (aproximadamente a los 0.3 segundos) en vez de a 1.4 segundos como se señaló en el ejemplo anterior. Esto se debe a que al aumentar el voltaje a 60 V, el circuito se trabaja en la zona saturada, con ello la inductancia se reduce y a su vez la constante de tiempo del circuito.

Figura 1.14.12. Ventana principal correspondiente al ejemplo (1.14.3)

Figura 1.14.13: Programa correspondiente al ejemplo (1.14.3)

Figura 1.14.14: Ventana para entrada de datos correspondiente al ejemplo (1.14.3)

Figura 1.14.15: Resultados correspondiente al ejemplo (1.14.3) Densidad de flujo Intensidad del B (T) campo magnético H 𝐀−𝐯 (𝐦) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.55 1.58 1.59 1.6

0 143 286 428 570 860 1000 1200 1480 1900 2500 3000 3600 4000 5000

Tabla. 1.14.1: Valores de B y H correspondiente al acero fundido

Listado correspondiente al fichero graficar.m (Ejemplo 1.14.3) Flujo=salida(:,1); B=salida(:,2); I1=salida(:,3); plot(I1,Flujo) H=salida(:,4); e2=salida(:,5); e1=salida(:,6); tiempo=salida(:,7); subplot(4,2,1),plot(tiempo,Flujo); xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel('Flujo (Wb)'); title('FlujoVsTiempo') grid on subplot(4,2,2),plot(H,B); ylabel (' B(T)'); xlabel(' H (A-v/m)'); title(' B vs H') gridon subplot(4,2,3),plot(tiempo,e1); ylabel ('F.e.m e1(V)'); xlabel('Tiempo (s)'); title(' F.e.m e1 Vs Tiempo') grid on subplot(4,2,4),plot(I1,Flujo); ylabel ('Flujo (Wb)'); xlabel('Corriente i1 (A)'); title('Flujovscorriente') grid on subplot(4,2,5),plot(tiempo,e2); ylabel ('F.e.m e2 (V)'); xlabel('Tiempo (s)'); title('F.e.m e2 Vs Tiempo') grid on subplot(4,2,7),plot(tiempo,I1); ylabel ('Corriente i1 (A)'); xlabel('Tiempo (s)'); title('i1 VsTiempo') grid on

1.15 Circuito magnético con excitación senoidal. En la generalidad de los casos en los circuitos eléctricos se presentan ondas de voltajes de corriente alterna senoidales y en este caso se cumple que también los flujos magnéticos presentan igual comportamiento en el tiempo. Al excitar el circuito magnético con este tipo de señales en todo instante el flujo se encuentra variando con el tiempo, por tanto en estado estable siempre existe una fuerza electromotriz inducida en cualquier devanado que se coloque en dicho circuito. Inicialmente se partirá de un circuito ideal, es decir, en los cuales los devanados no presentan resistencias y en el núcleo no existen pérdidas magnéticas. Esto permitirá deducir una serie de relaciones básicas las que servirán posteriormente como base para el estudio de los transformadores.

1.15.1 Circuito ideal. Ecuación fundamental del transformador. Se partirá de un circuito magnético serie simple como el mostrado en la figura No.1.15.1 alimentado por una fuente de voltaje v1 alterna senoidal, lo cual como se verá posteriormente, determina que la forma de onda del flujo también siga esta ley. Así se escribir el flujo mediante: ϕ = ϕm sen(wt)

(1.15.1)

Donde: Φ- Valor instantáneo del flujo (Wb) w- Velocidad angular eléctrica (rad/s) t- Tiempo (s) ϕm -Valor máximo del flujo. Inicialmente será considerado que el devanado de 𝑁1 vueltas presenta una resistencia despreciable, por lo que el voltaje aplicado será igual a la fuerza electromotriz e inducida. El valor de la fuerza electromotriz inducida en la bobina, de acuerdo con la Ley de Lenz- Farady, al sustituir la ecuación (1.15.1) en la (1.13.2) se obtiene:

e1 = −N1

dØ dt

= −N1 ϕm wcos(wt)(V)

(1.15.2)

La ecuación (1.15.2) puede escribirse como:

e1 = E1m sen(wt − 90°)(1.15.3) Donde: 𝐸1𝑚 Valor máximo de la fuerza electromotriz inducida (V)

𝐸1𝑚 = 𝑁1 𝑤𝜙𝑚 (V)

(1.15.4)

Un aspecto muy importante a destacar se obtiene al comparar las ecuaciones (1.15.1) y (1.15.3) de donde se puede comprobar que la fuerza electromotriz inducida presenta un atraso de 90° respecto al flujo que la induce y que si el flujo es sinusoidal también lo es la fuerza electromotriz que éste induce. Esto está representado en forma gráfica en la figura No.1.15.2. En ésta también se muestra la onda de voltaje aplicado, la cual se desfasa 180° en tiempo respecto a la fuerza electromotriz inducida pues ambas son opuestas. El hecho de que sean iguales se cumple para una bobina ideal donde no hay resistencia en el devanado. Además de acuerdo con la ley de Lenz en cada instante la fuerza electromotriz es opuesta al voltaje aplicado. De acuerdo con esto si el voltaje aplicado es senoidal, la fuerza electromotriz inducida tiene también que ser senoidal y por tanto el flujo que la induce también debe ser senoidal. Esto permite aseverar que la forma de onda del flujo la determina la forma de onda del voltaje aplicado. También en la figura 1.15.2, la corriente de magnetización 𝐼𝜙 se coloca en fase con el flujo, puesto que esta corriente es la que provoca el flujo en el circuito magnético.

Puesto que la fuerza electromotriz inducida es sinusoidal, su valor eficaz está dado por:

𝐸1 =

𝐸1𝑚 √2

=

𝑁1𝑤𝛷𝑚 √2

= 4.44𝑓𝑁1 𝜙𝑚

(V)(1.15.5)

En la ecuación (1.15.5) se ha sustituido la velocidad angular eléctrica en función de la frecuencia f en ciclos por segundo, o sea: 𝑤 = 2П𝑓

(1.15.6)

La ecuación (1.15.5) se conoce en la literatura como la ecuación fundamental del transformador. En la figura No.1.15.3 se muestra el diagrama fasorial correspondiente, en la cual se ha considerado el flujo como referencia colocado en la posición vertical. Además se señala el vector de corriente de magnetización 𝐼𝜙 , el cual se coloca en fase con el flujo, tal como se explicó anteriormente. Tal como se representa en el diagrama fasorial de la figura No. 1.15.3, para la bobina ideal el voltaje aplicado desde la fuente es igual y opuesto a la fuerza electromotriz inducida, por lo que se obtiene: 𝑉1 = −𝐸1 (V) Donde:

(1.15.7)

𝑉1- Voltaje de la fuente (V)

Si en la ecuación (1.15.7) se sustituye la (1.15.5) y no se tiene en cuenta el signo, es decir, si se toma el valor modular, se obtiene la siguiente importante ecuación para el voltaje: 𝑉1 = 4.44𝑓𝑁1 𝜙𝑚

(V)

(1.15.8)

La ecuación (1.15.8) resulta de gran importancia tanto para el circuito magnético elemental estudiado como para los transformadores, lo cual se verá en estudios posteriores. Esta ecuación relaciona el voltaje aplicado al devanado con el número de vueltas del mismo, la frecuencia y el flujo máximo del circuito magnético. De la ecuación (1.15.8) se obtiene la siguiente, la cual permite determinar el valor del flujo magnético máximo.

𝜙𝑚 =

𝑉1 4.44𝑓𝑁1

(Wb)

(1.15.9)

Como puede observarse del diagrama fasorial de la figura No.1.15.3, la corriente de magnetización 𝐼𝜙 se atrasa 90° grados del voltaje aplicado, lo que significa que para el circuito ideal éste se comporta como puramente inductivo y por tanto no demanda potencia activa de la fuente, es decir, solo se demanda potencia reactiva.

Figura 1.15.1: Circuito magnético serie simple

Figura 1.15.2: Ondas de flujo, fuerza electromotriz inducida y voltaje aplicado, para un circuito magnético excitado con fuente senoidal

𝜙

90°

𝐼𝜙

V1=-E1

E1

Figura 1.15.3: Diagrama fasorial correspondiente a las ondas de la figura 1.15.2 Ejemplo 1.15.1: En el circuito magnético de la figura (1.15.1) se cumplen los siguientes datos. A=0.0098𝑚2

V1=220 V

l=0.2 m

𝑁1 = 60 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠. f=60 Hz

Calcule, si el material del núcleo es de acero al silicio: a) El valor flujo magnético y la corriente máxima de excitación correspondiente a los datos dados. b) Repita el inciso a si el voltaje se aumenta a V1=264 V. c) Repita el inciso a si la frecuencia se reduce a f=50Hz. d) Repita el inciso a , si las vueltas se reducen a 𝑁1 = 50 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠. Resolución. a) Al aplicar la ecuación (1.15.9) se obtiene el siguiente valor de flujo: 𝜙𝑚 =

220 = 0.0138 𝑊𝑏 (4.44)(60)(60)

Al flujo anterior le corresponde la siguiente densidad de flujo. 𝐵=

0.0138 = 1.408 𝑇 0.0098

El valor de densidad de flujo hallado determina el punto de operación (a) mostrado en la figura No.(1.15.4), al cual le corresponde el valor de fuerza magnetizante 𝐴−𝑣

𝐻 = 1000 𝑚 De la ecuación (1.4.1) se obtiene el valor de la corriente de excitación para provocar las condiciones magnéticas correspondientes:

𝐼𝜙 =

(1000)(0.2) 60

= 3.33 (𝐴).

De acuerdo con los resultados y datos del problema se cumplen las siguientes ecuaciones en función del tiempo: 𝜙 = 0.0138sin(𝑤𝑡)𝑒1 = (220)√2sin(𝑤𝑡 − 90)𝑣1 = −220√2sin(𝑤𝑡 − 90) En la figura No. 1.15.5 se muestra el diagrama en ondas del voltaje , la fuerza electromotriz y el flujo , este último ha sido ampliado por un factor de escala igual a 10000, con el objetivo de poderlo visualizarlo en el mismo gráfico. Para el nuevo valor de voltaje se cumple: b) Para el nuevo valor de voltaje se cumple: 264

𝜙𝑚 =(4.44)(60)(60) =0.0165 Wb

𝐵=

0.0165 0.0098

=1.68 T

Al valor de densidad de flujo hallado le corresponde el punto de operación (b) A−v mostrado en la figura No. (1.15.4), por lo que se obtiene: 𝐻 = 5500 m . Iϕ =

(5500)(0.2) = 18.33 (A) 60

Como puede comprobarse debido a las condiciones no lineales del circuito magnético, un pequeño incremento de voltaje de 18.33

264 220

= 1.2 , implica un gran aumento de la

corriente de excitación de = 5.5. Este efecto es aún mayor mientras más se 3.33 sature el circuito magnético. c) Para el nuevo valor de la frecuencia se cumple:

ϕm =

220 = 0.0165. Wb (4.44)(50)(60)

En este caso el flujo, la densidad de flujo, la fuerza magnetizante y por tanto la corriente de excitación presentan valores idénticos a los hallados en el inciso b. d) Al aplicar la ecuación (1.15.9) se puede comprobar que también el flujo y por tanto la densidad de flujo y la fuerza magnetizante presentan los mismos valores obtenidos en los incisos b y c. Sin embargo, la corriente de excitación es distinta ya que en este caso las vueltas del devanado presentan diferente valor. Así: 𝐼𝜙 =

(5500)(0.2) = 22 (𝐴) 50

Figura 1.15.4:

Puntos de operación en el circuito magnético correspondiente al ejemplo 1.15.1 y 1.15.2

De acuerdo con los resultados obtenidos en este ejemplo, se puede comprobar que un pequeño aumento del voltaje o reducción de las vueltas o la frecuencia pueden provocar un gran aumento de la corriente de excitación, motivado por la forma no lineal de la característica de magnetización del material magnético. Esto puede conducir a un calentamiento excesivo del devanado. Debe destacarse que si esta característica fuera lineal, los incrementos de la corriente son proporcionales a las variaciones del voltaje o inversamente a las variaciones de la frecuencia o las vueltas. Las ecuaciones (1.15.8) o (1.15.9) resultan de gran importancia para analizar el comportamiento del circuito magnético y son de gran utilidad en el estudio de la operación de los transformadores y en su diseño. Si por ejemplo se quiere mantener el flujo constante para que no se manifieste una alta corriente de excitación, cuando se reduce la frecuencia debe reducirse en igual proporción el voltaje aplicado. Si por ejemplo se quiere aumentar el voltaje aplicado al doble, si también se duplican las vueltas, el flujo permanece constante. En el siguiente ejemplo se ilustra como las ecuaciones (1.15.8) o (1.15.9) son empleadas en el diseño de un circuito magnético.

Ejemplo 1.15.2: Se requiere determinar el número de vueltas N1 de la bobina correspondiente al circuito magnético de la figura (1.15.1), de modo que el núcleo presenta una saturación normal correspondiente a una densidad de flujo B=1.4 T, si el voltaje de alimentación es igual a V1=440 V. Considere las mismas dimensiones del núcleo dadas en el ejemplo 1.1.5.1 y que el material magnético es acero al silicio.

Figura 1.15.5: Formas de onda del voltaje, la fuerza electromotriz y el flujo correspondientes al ejemplo 1.15.1-a Resolución. Puesto que se quiere limitar la densidad de flujo al valor 1.4 T, para que no exista excesiva saturación del núcleo, el flujo al aplicar la ecuación (1.2.1) el flujo máximo presenta el valor: 𝜙𝑚 = (1.4)(0.0098) = 0.01372 𝑊𝑏 Al aplicar la ecuación (1.15.8) se obtiene el valor de las vueltas requeridas: 𝑁1 =

𝑉1 440 = ≈ 120 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 4.44𝑓𝜙𝑚 (4.44)(60)(0.01372)

Si el devanado se enrolla con 120 vueltas, se obtiene el punto (a) de operación mostrado en la figura 1.15.4. Puesto que el punto de operación la fuerza magnetizante presenta el 𝐴−𝑣

valor 𝐻 = 1000 ,la corriente de magnetización correspondiente a estas 𝑚 condiciones está dada por: 𝐼𝜙 =

(1000)(0.2) = 1.6667 (𝐴) 120

En este ejemplo, desde el punto de vista de diseño, si se incrementa el área del núcleo, deben reducirse el número de vueltas y con ello mantener la densidad de flujo al mismo valor. Esto incrementa el costo del núcleo pero reduce el correspondiente al devanado. Esta proporción entre las cantidades de núcleo y devanado son claves para obtener un

diseño óptimo en cuanto a costo inicial, aspecto que está fuera del alcance del presente texto. Forma de onda de la corriente de excitación. Como fue explicado anteriormente si se aplica un voltaje senoidal al enrollado de excitación de un circuito magnético, también el flujo es sinusoidal, sin embargo debido a que la característica de magnetización del material es no lineal, la corriente de excitación es no senoidal, lo que en algunos textos se conoce como distorsión de la corriente de excitación. Desde el punto de vista matemático este fenómeno se puede interpretar como sigue. Tomando como base el circuito magnético mostrado en la figura 1.15.1 se obtiene que el flujo magnético al aplicar la ecuación (1.1.4) está dado por:

𝜙=

𝑁1 𝑖𝜙

(1.15.10)

𝔑

Al considerar que el flujo varía en forma senoidal en el tiempo la ecuación (1.15.10) se convierte en:

𝜙𝑚 sin(𝑤𝑡) =

𝑁1 𝑖𝜙 𝔑

(1.15.11)

De la ecuación (1.15.11) se obtiene:

iϕ =

𝔑 N1

ϕm sin(wt) = Iϕm sin(wt)(A)(1.15.12)

Donde:

Iϕm =

𝔑 N1

ϕm - Valor máximo de la corriente de excitación

De la ecuación (1.15.12) se puede comprobar que si la reluctancia tiene un valor constante, la corriente de excitación varía en forma senoidal con el tiempo en correspondencia con el flujo, lo cual ocurre en un circuito magnético lineal. Sin embargo si el circuito magnético es no lineal, la reluctancia varía para cada punto de operación, lo que provoca que la corriente no siga una ley sinoidal. La forma de onda de la corriente de excitación puede ser determinada mediante el procedimiento gráfico mostrado en la figura 1.15.6. En esta figura en el cuadrante superior izquierdo se ha colocado la gráfica senoidal del flujo en función del tiempo y en el cuadrante superior derecho, la característica no lineal de flujo en función de la corriente de excitación. Mediante la combinación gráfica de estas dos características se obtiene la correspondiente a la corriente de excitación en función del tiempo, mostrada en el cuadrante inferior derecho. Para ello se supone que para el instante de tiempo t1 el flujo presenta el valor ϕ1 (característica superior izquierda). A este valor de flujo le corresponde la corriente de excitación Iϕ1 (característica superior derecha). Si coloca este valor de corriente y el instante de tiempo t1 en el cuadrante inferior derecho se

obtiene un primer punto de la característica de 𝐼𝜙 vs tiempo. Al repetirse este procedimiento se pueden obtener varios puntos de la característica, mostrándose en este caso los correspondientes a cinco instantes de tiempo. Como puede observarse, al componer la onda senoidal de flujo en función del tiempo con la característica no lineal de flujo vs corriente, se obtiene como resultado una de corriente vs tiempo que es no senoidal. Si la característica de flujo vs corriente de excitación fuera lineal, esta composición daría como resultado una corriente senoidal en función del tiempo.

Figura 1.15.6: Forma de onda de la corriente de excitación. Al ser la corriente de excitación no senoidal, las misma puede ser representada por una serie de Fourier mediante un conjunto de armónicas de orden impares, debido al tipo de simetría que presenta. La corriente puede ser representada de acuerdo con la serie de Fourier mediante la siguiente ecuación:

iϕ = Iϕ1m sin(wt) + Iϕ3m sin(3wt) + Iϕ5m sin(5wt) + ⋯ (A) ( 1.15.13) Donde:

iϕ - Valor instantáneo de la corriente totala de excitación Iϕ1m , Iϕ3m , I5ϕm ,….. Amplitudes del primero, tercero y quinto armónicos. El valor eficaz de la corriente total está dada por: 2 2 2 Iϕ = √Iϕ1 + Iϕ3 + Iϕ5 +⋯…

(A)(1.15.14)

Donde:

𝐼𝜙1 =

𝐼𝜙1𝑚 √2

, 𝐼𝜙3 =

𝐼𝜙3𝑚 √2

, 𝐼𝜙5 =

𝐼𝜙5𝑚 √2

, … .. (A)(1.15.15)

𝐼𝜙1 , 𝐼𝜙3 , 𝐼𝜙5,….. Valores eficacez de los armónicos primero, tercero , quinto, .. En la figura 1.15.7 se muestran las componentes armónicas instantáneas de la corriente de excitación , donde se ha considerado el armónico superior hasta el orden 5, y los siguientes valores de las componeantes armónicas:

Iϕ1m = 1 (A) ,

1 Iϕ3m = (A), 3

Iϕ5m =

1 (A) 5

Figura 1.15.7: Componentes armónicas de la corriente de excitación.

Ejemplo 1.15.3: Si el circuito magnético de la figura 1.15.1 es alimentado con una fuente senoidal de frecuencia 60 Hz y valor eficaz igual a V1=120 V, determine la expresión de la corriente de excitación en función del tiempo. Considere que el circuito presenta los datos dados en el ejemplo 1.15.1 y que el material magnético es acero fundido. Resolución. Empleando los datos del ejemplo 1.15.1 y aplicando la ecuación 1.15.9, se obtiene el siguiente valor del flujo máximo: 120

ϕm = (4.44)(60)(60) = 0.0075 Wb

(Wb)

Al valor hallado de flujo, le corresponde la densidad de flujo: 𝐵=

0.0075 = 0.7653 0.0098

Según se muestra en la figura 1.15.8, se puede comprobar que hasta valores de densidades de flujo igual 0.9 Teslas, el circuito se comporta de forma lineal, lo que indica que para las condiciones de este ejemplo puede suponerse linealidad. Por ello puede considerarse que la corriente de excitación no presenta distorsión, cumpliéndose por lo tanto la ecuación (1.15.12). De acuerdo con la figura 1.15.8, la reluctancia puede determinarse de cualquier par de valores de la característica lineal o-a. Así para los 𝐴−𝑣 pares de valores 𝐵 = 1.4 𝑇 𝐻 = 1000 𝑚 se obtiene: µ=

1.4 = 0.0014 1000

Se aplica la ecuación (1.6.3 ) y se obtiene el siguiente valor de reluctancia:

𝔑=

0.2 𝐴−𝑣 = (1.4577)(104 ) (0.0014)(0.0098) 𝑊𝑏

De la ecuación (1.15.12) de cumple:

Iϕm =

(1.4577)(104 ) 60

(0.0075) = 1.822 (A)

iϕ = 1.822 sin(wt) (A)

Figura 1.15.8: Comportamiento magnético correspondiente al ejemplo (1.15.3) Para el ejemplo anterior si se aplica un voltaje que de cómo resultado una densidad de flujo superior a 0.8 T se obtiene una operación en la zona no lineal del circuito magnético, lo que provoca una distorsión de la corriente de excitación. Es por ello que para determinar la forma de onda de la corriente debe aplicarse un procedimieanto gráfico, tal como se siguió en la figura 1.15.6. Sin embargo esta vía resulta muy tediosa por lo que en el presente texto esta tarea se lleva a cabo mediante Matlab- Simulink , según se explica seguidamente. Programas para determinar la corriente de excitación de un circuito magnético. A continuación se describirán dos programas para determininar la corriente de excitación en circuitos magnéticos con excitación senoidal. En el primero se empleará la herramienta simulink, la cual es poderosa cuando se quiere simular ecuaciones diferenciales, obteniéndose de forma muy fácil los resultados gráficos mediante la colocación de instrumentos de medición en el diagrama de bloques correspondiente al programa. En este caso el contenido de armónicos de la corriente se determinará directamente mediante una interfaz gráfica que presenta el Simulink, correspondiente a la transformada de Fourier. En el segundo caso, se determinará el comportamieanto de la corriente de excitación sin hacer uso del simulink. En este caso el contenido de armónicos se determinará elaborando un código en Matlab que simule la transformada de Fourier. Programa empleando Simulink. (Programa CorrienteExcitación_I) Para la determinación de la forma de onda de la corriente de excitación y sus componentes armónicas, se ha confeccionado un programa,(Corriente

Excitación_I)cuyo diagrama de bloque de presentación se muestra en la figua 1.15.9-a, en la cual se prsentan varios bloques. Con el fín de llevar a cabo comparaciones numéricas el programa se ha ejecutado con los datos dados en el ejemplo 1.15.3, pero alimentando el devanado con un voltaje V1=250, con el objetivo de operar el circuito magnético en la zona no lineal y con ello obtener una corriente de excitación distorsionada. El bloque principal del programa se encuentra enmascarado y puede visualizarse al situar el cursor sobre el bloque CORRIENTE DE EXCITACIÓN y al accionar el botón derecho del ratón y seleccionar look under mask aparece el programa principal mostrado en la figura 1.5.9-b. Este bloque en su extremo izquierdo presenta 1 una fuente senoidal de alimentación, un integrador y una ganacia de valor , 𝑁1 obteniéndose a la salida de ellos el flujo magnético. Todo ello se corresponde con la ecuación (1.14.13) la cual al considerar la bobina ideal con cero resistencia se convierte en:

𝜙=

1 𝑁1

∫ (𝑉)𝑑𝑡

(1.15.16) 1

Posteriormente el flujo es multiplicado por la ganancia y como resultado se obtiene la A

densidad de flujo en el circuito magnético. Esta densidad de flujo es introducida como vector de entrada a una look up table y como resultado se obtiene a la salida de la misma la intensidad H. Si esta es multiplicada por la ganancia

l N1

se obtiene la

corriente de excitación, según se señala. De este bloque se obtienen tres salidas correspondientes a la corriente de excitación, el flujo y la densidad de flujo, las cuales a su vez son visualizadas mediante osciloscopios en el bloque de la figura 1.15.9-a. Los valores de los vectores B y H correspondientes al material magnético empleado se introducen en la look up table como datosa partir de un programa .m , el cual es llamado desde el bloque de presentación, al dar un doble clic con el botón izquierdo del ratón sobre el bloque B Vs H. En el diagrama de la figura 1.15.9 se ha empleado un bloque RMS el cual permite determinar el valar eficaz de la corriente de excitación, el cual simula la ecuación (1.15.4). Este bloque se obtiene de la librería SimPowerSystemMeasurements. Para introducir los restantes datos al programa, debe realizarse un doble clic izquierdo con el ratón situado sobre el bloque CORRIENTE DE EXCITACIÓN en la figura 1.15.9-a apareciendo en este caso la ventana mostrada en la figura 1.15.9-c . En la figura 1.15.9-a se ha empleado un multiplexor(Mux1) con el objetivo de enviar las variables como vectores al espacio de trabajo, designándole el nombre salida1. Esto permite manipular estas variables con el objetivo de visualizar de una forma más clara su graficado. Para ello debe darse un doble clic izquierdo en el bloque ploteo y con ello se llama al programa Grafico_Excitacion.m cuyo listado se muestra más abajo. Como puede comprobarse del código de este programa, el mismo permite plotear la corriente de excitación y el flujo en función del tiempo. También permite plotear la característica de excitación, es decir, flujo vs corriente de excitación. Todo esto se muestra en las figuras 1.15.9-d, a.15.9-f. Como puede comprobarse el voltaje de excitación V1=250 V, implica la operación del circuito magnético en la zona no lineal( ver figura 1.15.9-f) y por tanto la forma de onda de la corriente de excitación es distorsionada, según se

aprecia en la figura 1.15.9-d. Como es obvio, la característica de flujo vs tiempo es senoidal, ya que el voltaje aplicado también presenta este comportamiento en el tiempo. Por último debe destacarse que en la figura 1.15.9-a se ha empleado el bloque powerguide el cual permite de una forma directa y mediante una transformada de Fourier, determinar el contenido de armónicos de una onda distorsionada. Este bloque se obtiene de la librería SimPowerSystems según se muestra en la figura 1.15.9-g. Al dar doble clic sobre este bloque aparece la ventana mostrada en la figura 1.15.9-h y si de la misma se selecciona FTT analysis se pueden obtener los resultados del comportamiento armónico mostrados en las figuras 1.15.9-i y 1.15.9-j. De aquí se pueden observar las siguientes amplitudes de las componentes armónicas: Iϕ1m = 9.81 (A) , Iϕ3m = 4.2 (A), Iϕ5m = 2.09(A), Iϕ7m = 0.81 (A) , Iϕ9m = 0.28 (A) Al aplicar la ecuaciónes (1.15.14) y (1.15.15), se obtiene el siguiente valor eficaz:

Iϕ = √[

9.81 √2

2

] +[

4.2 2 2.09 2 0.81 2 0.28 2 ] +[ ] +[ ] +[ ] = 7.712 (A) √2 √2 √2 √2

Puede observarse que este resultado coinicide con el mostrado a la salida del bloque RMS de la figura 1.15.9-a

Figura 1.15.9-a: Diagrama de bloque de presentación correspondiente al programa CORRIENTE EXCITACIÓN_I

Figura 1.15.9-b: Diagrama de bloque principal

Figura 1.15.9-c. Ventana para introducir los datos al programa CORRIENTE EXCITACIÓN_I

Figura 1.15.9-d. Caracterísitica de corriente de excitación vs tiempo.

Figura 1.15.9-e. Característica de flujo vs tiempo

Figura 1.15.9-f. Característica de flujo vs corriente de excitación

Figura 1.15.9.g: Selección del interfaz powergui

Listado correspondiente al programa Graficos_Excitacion.m Iex=salida1(:,1); B=salida1(:,2); Flujo=salida1(:,3); tiempo=salida1(:,4); plot(tiempo,Iex,'linewidth',3 ) xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel('Iexcitacion (A)'); title('Iexcitacion Vs Tiempo') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause (4) plot(tiempo,Flujo,'linewidth',3 ) grid on xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel('Flujo (Wb)'); title('Flujo Vs Tiempo') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause (4) plot(Iex,Flujo, 'linewidth',3) xlabel ('Corriente de Exciacion (A)'); ylabel('Flujo (Wb)'); title('Flujo Vs Corriente de excitacion') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on')

Figura 1.15.9-h: Interfaz gráfica PowerGuide

Figura 1.15.9-i. Gráficasdel contenido de armónicos de la corriente de excitación

Figura 1.15.9-j. Valores numéricos del contenido de armónicos de la corriene de excitación.

Programa sin el empleo del Simulink.(Programa corriente de excitación_II) Con el propósito de emplear una diferente forma de programación, se ha elabordo un progrma pero sin el empleo del Simulink, cuyo código en Matlab se muestra seguidamente. Del mismo puede observarse que los datos son introducidos mediante la instrucción input. Además la característica de excitación es introducidos mediante una llamada al subprograma B_H. Se ha empleado un método de interpolación cubica para el ajuste de la curva de magnetización. Para la determinación del contenido de armónicos de la corriente se ha empleado la transformada de Fourier, con las instrucciones correspondientes que se muestran. En este caso se ha empleado un número de muestras por ciclo igual a 72, lo cual da resultados bastante precisos. Los resultados del programa se dan en forma númerica y grafica. En este último caso se muestra el gráfico de la corriente der exccitación total y además en forma de barras, el contenido de armónicos de la misma. Código en Matlab % CORRIENTE DE EXCITACIÓN % ARCHIVO: CORRIENTE EXCITACION_II clear all A=input ('area del nucleo mm2 A='); % Area del núcleo L=input ('Longitud del núcleo mm L='); % Longitud del núcleo N=input ('Numero de vueltas del devanado de excitación N='); % Vueltas de la bobina V1=input ('Voltje de la fuente (V) V1='); f=input ('Frecuencia del voltaje aplicado (Hz) f='); Orden=input('Orden del mayor armónico a considerar Orden='); A=A*1e-6; % Convierte mm2 a m2 L=L*1e-3; % Convierte mm a m B_H % Llamada a la característica B vs H Fluxm=V1/(4.44*f*N); % Flujo máximo (Wb) k=72; % Número de muestras en un ciclo cita=180/k:180/k:360; flux=Fluxm*sind(cita);% Onda de flujo en función de cita Bd=flux/A; Hd=interp1(B,H,Bd,'cubic'); % Interpolación I=Hd*L/N; % Valor máximo de la Corriente de excitación (A) %***************************************************************** %TRANSFORMADA DE FOURIER Yk=I; for n=1:Orden Yc(n)=(2/k)*sum(Yk.*cosd(n*cita)); Ys(n)=(2/k)*sum(Yk.*sind(n*cita)); Y(n)=sqrt(Yc(n).*Yc(n)+Ys(n).*Ys(n)); angulo=atand(Yc./Ys);

end Ief=sqrt(sum((Y).^2/2)); % Valor eficaz de la corriente %************************************************************** % RESULTADOS NUMÉRICOS fprintf('***************************************************** \n') fprintf('****************************************************** \n') fprintf(' \n') fprintf(' \n') disp('Orden del armonico Amplitud de la Corriente (A)') K=1:Orden; R=[K;Y]; fprintf(' %6.0f %24.3f\n',R) fprintf('******************************************************* \n') fprintf('******************************************************** \n') fprintf(' \n') fprintf(' \n') pause disp('Valor eficaz de la corriente (A) Ief=') disp(Ief) fprintf('******************************************************* \n') fprintf('******************************************************** \n') fprintf(' \n') fprintf(' \n') pause %********************************************************************* %RESULTADOS GRAFICOS plot(cita,I) title('Iexcitacion Vs Tiempo') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') xlabel ('Angulo en grados') ylabel ('Corriente (A)') pause bar(Y) % Gráfico de barras set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'YGrid','on') title('Gráfico de Barras de Iexcitacion Vs Tiempo') xlabel('Orden del armónico') ylabel('Amplitud de la corriente (A)')

A continuación se muestran los datos introducidos al programa, los que se corresponden con el ejemplo1.15. Obsérvese que se ha seleccionado el análisis de armónicos hasta el orden número 9.

Datos area del nucleo mm2 A=9800 Longitud del núcleo mm L=200 Numero de vueltas del devanado de excitación N=60 Voltje de la fuente (V) V1=250 Frecuencia del voltaje aplicado (Hz) f=60 Orden del mayor armónico a considerar Orden=9 Se muestra seguidamente los resultados numéricos correspondientes al contenido de armónicos así como el valor eficaz total de la corriente. Si puede comprobar la coincidencia de los resultados entre las dos formas de programación que se han sido utilizadas. En las figuras 1.15.10 y 1.15.11 se muestran los resultados gráficos obtenidos de la corrida al programa.

Resultados numéricos ********************************************************************** **********************************************************************

Orden del armonico Amplitud de la Corriente (A) 1 9.830 2 0.000 3 4.243 4 0.000 5 2.117 6 0.000 7 0.810 8 0.000 9 0.279 ********************************************************************** ********************************************************************** Valor eficaz de la corriente (A) Ief=7.7414 ********************************************************************** *********************************************************************

Figura 1.15.10: Corriente de excitación correspondiente a la corrida del programa CorrienteExcitación_II

Figura 1.15.11:Contenido de armónicos correspondiente a la corrida del programa CorrienteExcitación_II

1.15.2 Circuito real. Pérdidas magnéticas En el circuito magnético real se presentan pérdidas magnéticas o de núcleo, además el devanado presenta un determinado valor de resistencia. Estos aspectos serán estudiados a continuación Pérdidas magnéticas. Si en el circuito magnético el flujo es variable se presentan dos efectos, los cuales provocan pérdidas denominadas magnéticas o de núcleo. Estos dos fenómenos son conocidos como efecto histerésico y de corrientes parásitas. Pérdidas por corrientes parásitas Como se estudió en el epígrafe 1.12, si en una bobina existe un flujo variable con el tiempo se induce una fuerza electromotriz cuyo sentido se obtiene aplicando la ley de Lenz. De igual manera este flujo variable induce en el núcleo también una fuerza electromotriz y al ser conductor circulan corrientes conocidas como corrientes parásitas, de remolino de Eddy o de Foucault En la figura 1.15 –a se muestra este efecto en un núcleo sólido. Se considera que el flujo externo 𝛷 provocado por la corriente i está aumentando en el sentido indicado, lo que al aplicar las leyes de Lenz Faraday, induce una fuerza electromotriz inducida en el núcleo y corrientes parásitas en el sentido mostrado, de modo que el flujo provocado por éstas se opone al flujo externo. Estas corrientes provocan un calentamiento en el núcleo por efecto Joule en su resistencia. Este efecto puede ser aprovechado en el tratamiento térmico de piezas sólidas. Sin embargo en el caso de los transformadores o cualquier núcleo de una máquina eléctrica es necesario reducir este fenómeno de modo que ésta sea lo más eficiente posible y además que la temperatura sea también lo más pequeña posible. Para reducir este efecto es necesario laminar el núcleo, según se muestra en la figura 1.15.10-b.Las láminas deben ser aisladas y con ello se reduce el efecto de estas corrientes. Se puede demostrar que las pérdidas por corrientes parásitas pueden ser determinadas por la siguiente ecuación: 2 𝑃𝑒 = 𝑘𝑒 𝑑2 𝑓 2 𝐵𝑚 𝑉 (W)(1.15.17)

Donde: 𝑃𝑒 - Pérdidas debió a corrientes parásitas (W) d- Grueso de la lámina f- Frecuencia de alternación del flujo 𝐵𝑚 - Densidad del flujo magnético máxima V- Volumen del núcleo.

𝑘𝑒 - Coeficiente que depende la resistividad del material del núcleo De la ecuación (1.15.17) puede observarse que a medida que el grueso de la laminación es menor también lo serán las pérdidas por corrientes parásitas, sin embargo esto tiene un límite físico. En los núcleos de las máquinas eléctricas estas laminaciones presentan grosores entre 0.3 y 0.7 mm.

Figura 1.15.10-a

Figura 1.15.10-b Figura 1.15:Corrientes parásitas inducidas a) Núcleo sólido b) Núcleo laminado

Pérdidas por histérisis. Al concatenar un flujo alterno con un núcleo los dominios magnéticos se orientan en un sentido durante un medio ciclo y en sentido contrario durante el otro medio ciclo. Al trazarse la característica de magnetización se describe el llamado lazo histerésico tal como se muestra en la figura 1.15.11. Para explicar la forma en que se describe el lazo histerésico considérese el circuito magnético mostrado en la figura 1.15.12 y que el circuito no ha sido previamente excitado. Si se comienza a aumentar la corriente en un sentido dado desde valor cero hasta valor máximo, de igual manera variará la fuerza magnetizante y se obtendrá la fuerza magnetizante 𝐻𝑚 describiéndose la característica desde el origen o hasta el punto 1. Si a partir de este punto la corriente empieza a reducirse hasta valor cero se describe la característica desde el punto 1 hasta el 2. Obsérvese que en el punto dos a pesar de que no hay corriente ni fuerza magnetizante, existe una densidad de flujo 𝐵𝑟 llamada densidad de flujo remanente. Es decir de o a1 los dominios magnéticos internos del material se alinean en un sentido debido a la acción de la fuerza magnetizante de excitación externa, pero cuando esta fuerza se reduce hasta cero, cierta cantidad de dominios quedan orientados en el sentido positivo. Es decir el material magnético queda magnetizado como un imán permanente. Si a continuación se invierte el sentido de la corriente por la bobina de excitación y se reduce de modo que la fuerza magnetizante alcance el valor 𝐻𝑐 la densidad de flujo alcanza el valor cero. A esta fuerza magnetomotriz se le llama fuerza se le llama fuerza coercitiva. En estas condiciones se describe la característica desde el punto 2 hasta el 3. Si se continúa incrementando la corriente en el sentido negativo se alcanza la fuerza magnetizante−𝐻𝑚 cuando la corriente también alcance su valor máximo negativo. En estas condiciones se describe la característica desde el punto 3 hasta el 4. Si a partir del punto 4 se reduce la corriente negativa hasta su valor cero, se describe la característica desde el punto 4 hasta el 5. En el punto cinco con cero corriente, el material magnético queda magnetizado con una densidad de flujo remanente −𝐵𝑟 . Si a partir de este punto se hace pasar corriente en el sentido positivo de modo que la fuerza magnetizante tenga el valor 𝐻𝑐 de nuevo se alcanza una densidad de flujo de valor cero. En estas condiciones se describe la característica desde el punto 5 hasta el 6. Incrementos posteriores de la corriente permiten alcanzar la fuerza magnetizante máxima 𝐻𝑚 describiéndose la característica entre los puntos 6 y 1. A partir de este punto se sigue repitiendo la misma característica. La inversión de los dominios magnéticos internos del material provocan una fricción y por tanto unas pérdidas magnéticas de origen histerésico, las que son proporcionales al área del lazo histerésico. Se puede demostrar que estas pérdidas están dadas por: 𝑥 𝑉 (W) 𝑃ℎ = 𝑘ℎ 𝑓𝐵𝑚 Donde: 𝑃ℎ - Pérdidas en el núcleo debido al efecto de histérisis (W) 𝑘ℎ - Coeficiente que depende del material magnético V- Volumen del material magnético x- Exponente con valor entre 1.6 y 2.5

(1.15.18)

El exponente x puede considerarse con valor igual a 2 para el núcleo de transformadores En la práctica existe la clasificación de materiales magnéticos duros y blandos. Los primeros son empleados en imanes permanentes y los mismos presentan un magnetismo remanente elevado. Sin embargo con el objetivo de reducir las pérdidas en máquinas eléctricas que no operan con imanes permanentes, es necesario tener un lazo histerésico de pequeña área, para lo cual al acero se le añade un pequeño porciento de silicio (entre 0.5 y 5 %), además de realizarse tratamientos térmicos especiales.

Figura 1.15.11. Lazo de histérisis. De las ecuaciones (1.15.17) y (1.15.18) queda que las pérdidas magnéticas totales están dadas por: 2 2 2 𝑥 𝑉(W) 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝑘𝑒 𝑑 𝑓 𝐵𝑚 𝑉 + 𝑘ℎ 𝑓𝐵𝑚

(1.15.19)

Para un núcleo con dimensiones fijas, la ecuación (1.15.19) se puede escribir mediante: 𝑥 2 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝐾𝑒 𝑓 2 𝐵𝑚 + 𝐾ℎ 𝑓𝐵𝑚

(1.15.20)

Donde: 𝐾𝑒 = 𝑘𝑒 𝑑 2 𝑉𝐾ℎ = 𝑘ℎ 𝑉 Los coeficientes 𝐾𝑒 , 𝐾ℎ y el exponente x correspondientes a la ecuación (1.15.20), así como la separación de las pérdidas magnéticas en sus componentes, pueden ser determinados mediante tres pruebas que se realizan al circuito magnético a diferentes frecuencias y densidades de flujo, midiendo con un wattimetro la potencia demandada en cada uno de los casos. En la tabla No.(1.1.5.1) se señalan con subíndices las pruebas 1,2 y 3. De acuerdo con ello y aplicando la ecuación (1.15.20) se obtienen las siguientes ecuaciones para cada caso: No prueba No.1 No.2 No.3

F (Hz) f1 f2 f2

B (T) B1 B2 B1

Pmag (W) Pamg1 Pmag2 Pmag3

Tabla No. 1.15.1: Pruebas a realizar para obtener las componentes de las pérdidas magnéticas. 𝑃𝑚𝑎𝑔1 = 𝐾𝑒 𝑓12 𝐵12 + 𝐾ℎ 𝑓1 𝐵1𝑥 (Prueba No.1) (1) 𝑃𝑚𝑎𝑔2 = 𝐾𝑒 𝑓22 𝐵22 + 𝐾ℎ 𝑓2 𝐵2𝑥 (Prueba No.2) (2) 𝑃𝑚𝑎𝑔3 = 𝐾𝑒 𝑓22 𝐵12 + 𝐾ℎ 𝑓2 𝐵1𝑥 (Prueba No.3) (3) Dividiendo las ecuaciones (1) y (3) por las frecuencias se obtiene: 𝑃𝑚𝑎𝑔1 𝑓1 𝑃𝑚𝑎𝑔3 𝑓2

= 𝐾𝑒 𝑓1 𝐵12 + 𝐾ℎ 𝐵1𝑥

(4)

= 𝐾𝑒 𝑓2 𝐵12 + 𝐾ℎ 𝐵1𝑥

(5)

Restando la ecuación (5) de la (4) se obtiene: 𝑃𝑚𝑎𝑔1

( 𝐾𝑒 =

𝑓1

𝑃𝑚𝑎𝑔3

− 𝑓 ) 2 ⁄

𝐵2 1 (𝑓1 − 𝑓2 )

(1.15.21)

Reagrupando los miembros de las ecuaciones (2) y (3) y dividiendo el resultado se obtiene: 𝑃 𝐵1𝑥 𝑚𝑎𝑔3 − 𝐾𝑒 𝑓22 𝐵12 = 𝐵2𝑥 𝑃𝑚𝑎𝑔2 − 𝐾𝑒 𝑓 2 𝐵 2 2 2

(6)

De la ecuación (6) se obtiene el exponente x mediante:

𝑃𝑚𝑎𝑔3 −𝐾𝑒 𝑓22 𝐵12

𝑙𝑜𝑔 (𝑃 𝑥=

𝑚𝑎𝑔2−𝐾𝑒 𝑓22𝐵22

) (1.15.22)

𝑙𝑜𝑔𝐵1 − 𝑙𝑜𝑔𝐵2

Conocidos el valor de Ke y x, se obtiene de la ecuación (1): 𝑃𝑚𝑎𝑔1 −𝐾𝑒 𝑓12 𝐵12 𝐾ℎ = 𝑓1 𝐵1𝑥

(1.15.23)

Ejemplo 1.15.4: Un circuito magnético de la figura No. 1.15.1 fue sometido a pruebas, tomándose lecturas de voltaje, frecuencia y potencia, dando los resultados mostrados en la tabla (1.15.2). Determine los coeficientes 𝐾𝑒 , 𝐾ℎ el exponente x así como las componentes de las pérdidas magnéticas a la frecuencia de 60 Hz. Se conoce que los datos del circuito son los correspondientes al ejemplo (1.15.1) No prueba No.1 No.2 No.3

F (Hz) f1=60 f2=30 f2=30

V1 (V) V=235 V=94 V=117.5

Pmag (W) Pamg1=800 Pmag2=217 Pmag3=343

B (T) B1=1.5 B2=1.2 B1=1.5

Tabla No. 1.15.2: Valores correspondientes a las pruebas realizadas para el ejemplo 1.15.4 Resolución Para determinar los coeficientes Ke ,Kh y el exponente x en las ecuaciones anteriores, es necesario conocer las densidades de flujo correspondiente a cada una de las pruebas realizadas. Para ello se buscará una ecuación que relacione directamente la densidad de flujo con el voltaje aplicado, en circuitos magnéticos con excitación senoidal como se presenta a continuación. Se sustituye la ecuación (1.2.1) en la (1.15.8) y queda: 𝑉1 = 4.44𝑓𝑁1 𝐵𝑚 𝐴

(1.15.24)

Así de acuerdo con los datos de la primera prueba se obtiene, al despejar la ecuación (1.15.24): 225 𝐵𝑚1 = 𝐵1 = = 1.5 (𝑇) (4.44)(60)(60)(0.098)

Si se repiten los cálculos anteriores con los datos de las dos pruebas restantes se obtienen los valores de densidades de flujos correspondientes mostrados en la tabla (1.15.2) donde B1, B2 y B3 se corresponden con los valores máximos. Al aplicar la ecuación (1.15.21) se obtiene:

800

217

( − 30 ) ⁄ 𝐾𝑒 = 60 = 0.02814 1.52 (60 − 30) De la ecuación (1.15.22) queda: 343−(0.02814)(30)2 (1.2)2

𝑥=

𝑙𝑜𝑔 (217−(0.02814)(302)(1.52)) 𝑙𝑜𝑔1.5 − 𝑙𝑜𝑔1.2

= 2.062

Aplicando la ecuación (1.15.23) se obtiene:

𝐾ℎ =

800 − (0.02814) (602 ) (1.52 ) (60)(1.52.047 )

= 4.1316

Las componentes de pérdidas debido a las corrientes parásitas y histerésicas se obtienen del primer y segundo sumando de la ecuación (1.15.20), respectivamente, es decir: 𝑃𝑒 = (0.02814) (602 ) (1.52 ) = 228 (W)𝑃ℎ =(4.1316)(60)(1.52.062 )=572 (W) Como puede comprobarse, la componente de pérdidas por corrientes parásitas es inferior a las histerésicas, lo cual ocurre en la práctica. La ecuación de pérdidas (1.15.20) permite determinar sus componentes para un circuito magnético sin necesidad de conocer los datos de vueltas y área de núcleos, tal como se presentó en el ejemplo (1.15.4). Para ello solamente es necesario medir el voltaje aplicado y la potencia demandada en dos pruebas a dos frecuencias diferentes, pero con la precaución de mantener la densidad de flujo constante, lo que implica que la relación de voltaje aplicado a la frecuencia debe mantenerse también constante, lo que puede comprobarse al aplicar la ecuación (1.15.24) En estas condiciones, la ecuación (1.15.20) puede escribirse mediante: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝐾1 𝑓 2 + 𝐾2 𝑓

(1.15.25)

Lo anterior queda ilustrado en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.15.5: El circuito magnético mostrado en la figura No. (1.15.1) fue sometido a pruebas dando los resultados mostrados en la tabla No.1.51.3. Se conoce que la fuente de alimentación

presenta una frecuencia de 60 Hz. Determine las componentes de las pérdidas magnéticas correspondientes a esta frecuencia. No prueba No.1 No.2

f f1=60 f2=30

V1 (V) V=235 V=117.5

Pmag (W) Pamg1=800 Pmag2=343

Tabla 1.15.3: Valores correspondientes a las pruebas realizadas para el ejemplo 1.15.5 Resolución. Al aplicar la ecuación (1.15.25) para las dos pruebas realizadas se cumple: 800 = (60)2 𝐾1 + 60𝐾2

(Prueba No.1)

343 = (30)2 𝐾1 + 30𝐾2

(Prueba No.2)

Al simultanear las dos ecuaciones anteriores se obtiene: 𝐾1 = 0.06333𝐾2 = 9.5333 Las componentes de pérdidas debido a las corrientes parásitas y histerésicas, se obtienen del primer y segundo sumando de la ecuación (1.15.25), respectivamente, es decir: 𝑃𝑒 = (0.06333)(60)2 = 228 (𝑊)𝑃ℎ = (9.533)(60) = 572 (𝑊) Puede comprobarse que estos dos últimos resultados coinciden con los obtenidos en el ejemplo 1.15.4. La ecuación (1.15.20) puede expresarse en función del voltaje aplicado en circuitos magnéticos con excitación senoidal como se presenta a continuación. Al despejar el valor máximo de la densidad de flujo 𝐵𝑚 de la ecuación (1.15.24) y sustituirla en la (1.15.20) se obtiene:

P𝑚𝑎𝑔 =

Ke V2 1 (4.44N1 A)2

+

Kh f(1−x) Vx 1 (1.15.25-a) x (4.44N1 A)

Si la frecuencia es constante, la ecuación (1.15.25-a) se convierte en: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝐾3 𝑉12 + 𝐾4 𝑉1𝑥 Donde:

(1.15.26)

𝐾3 =

Ke

2 (4.44N1 A)

(1 − x) Kh f 𝐾4 = x (4.44N1 A)

Considerando que el núcleo opera con una densidad de flujo superior a 1 T y por tanto x=2 como se planteó anteriormente, la ecuación (1.15.26) se puede escribir como: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝐾𝑉12 (1.15.27) Donde: 𝐾 = 𝐾3 + 𝐾4 La ecuación (1.15.27) expresa que las pérdidas magnéticas o de núcleo para una fuente de voltaje con frecuencia constante, son proporcionales al cuadrado del voltaje. Puesto que en el circuito magnético real existen pérdida magnéticas, el diagrama fasorial mostrado en la figura No. 1.15.3 correspondiente al caso ideal debe ser modificado. Esta primera modificación consiste en añadir una componente de corriente 𝐼𝑜𝑎 en fase con el voltaje tal como se muestra en la figura 1.15.12. Esta componente debe existir de modo que exista un flujo de potencia activa desde la fuente hacia el circuito magnético igual a las pérdidas magnéticas y la misma debe cumplir: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝑉1 𝐼𝑜𝑎

(W)

(1.15.28)

De acuerdo con esto, en el circuito existen dos corrientes, la componente activa 𝐼𝑜𝑎 en fase con el voltaje y la componente reactiva 𝐼𝜙 en atraso 90° respecto al voltaje la cual determina la potencia reactiva entregada al circuito. A esta componente de aquí en adelante se le denominara 𝐼𝑜𝑟 De acuerdo con lo anterior por el devanado de excitación existen dos componentes de corrientes a 90° la cual designaremos como corriente 𝐼0 y la misma está dada por: 2 + 𝐼2 𝐼0 = √𝐼𝑜𝑎 𝑜𝑟

(A)

(1.15.29)

La ecuación (1.15.28) también puede escribirse como: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝑉1 𝐼𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑜 )

(1.15.30)

Donde 𝐼𝑜𝑎 = 𝐼𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑜 )

(1.15.31)

Puesto que en el devanado real existe un determinado valor de resistencia, el voltaje aplicado debe compensar además de la fuerza contraelectromotriz –E1, la caída de voltaje en esta resistencia, por lo que la ecuación (1.15.7) debe ser modificado mediante: 𝑉1 = 𝐼𝑜 𝑅1 − 𝐸1 (V) Donde: 𝑅1 - Resistencia del devanado de excitación (Ohm)

(1.15.32)

𝜙

𝐼𝑜

𝜃𝑜

𝐼𝑜𝑟 = Iϕ

𝐼𝑜𝑎

V1=-E1

E1

Figura 1.15.12: Diagrama fasorial al considerar las pérdidas magnéticas. Al tener en cuenta la caída por resistencia en el devanado de excitación, el diagrama fasorial mostrado en la figura No 1.15.12 debe ser modificado como se muestra en la figura No. 1.15.13, donde en fase con la corriente de excitación se ha colocado la caída 𝐼𝑜 𝑅1

𝜙

V1

IoR1

𝜃𝑜

𝐼𝑜

𝐼𝑜𝑟 = Iϕ

𝛿 -E1

𝐼𝑜𝑎

E1

Figura. 1.15.13: Diagrama fasorial al considerar pérdidas magnéticas y caída por resistencia en el devanado de excitación. Circuito equivalente magnético. El circuito magnético así como cualquier máquina electrica puede ser representado por un circuito equivalente lo cual resulta de gran utilidad para comprender los aspectos físicos que ocurren ,así como para determinar el comportamiento desde el punto de vista matemático. Este circuito puede ser representando con la rama de magnetización con sus parámetros en paralelo o en serie como se estudiará seguidamente.

a) Circuito de magnetización con la rama en paralelo Para determinar el circuito equivalente del circuito magnético con la rama de magnetización en paralelo se puede partir del diagrama fasorial mostrado en la figura 1.15.13, el cual expresa que en fase con la fuerza electromotriz E1 existe la componente de corriente 𝐼𝑜𝑎 y en cuadratura y en atraso la componente 𝐼𝑜𝑟 . Además la suma de estas dos componentes dan como resusltado la corriente total de excitación 𝐼𝑜 . Todo esto cumple con un circuito donde a partir de la fuerza electromotriz E1 deben colocarse dos ramas en paralelo por donde circulen las dos componentes de corriente y para cumplir con todo lo anterior debe existir una rama resistiva por donde circula la corriente 𝐼𝑜𝑎 y otra rama inductiva por donde circule la componente 𝐼𝑜𝑟 . Si a la fuerza electromotriz se le suma la caída de voltaje en la resistencia R1 del devanado, se obtiene como resusltado el voltaje V1 a aplicar por la fuente. Todo esto queda reflejado en el circuito de la figura 1.15.14 , en el cual se emplea la siguiente nomenclatura: 𝑅𝑚 - Resistencia de la rama de magnetización (Ohm) 𝑋𝑚 - Reactancia de la rama de magnetización (Ohm) Vab- Voltaje entre los puntos a-b igual a la fuerza electromotriz. 𝑉1 - Voltje de la fuente. El valor de la resistencia 𝑅𝑚 a colocar en el circuito equivalente, puesto que por ella circula la componente activa de la corriente, debe cumplir que en ésta se disipen las pérdidas magnéticas y con las siguientes ecuaciones: 2 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝐼𝑜𝑎 𝑅𝑚 ( W)

𝐸2

𝑃𝑚𝑎𝑔 = 1 𝑅𝑚

(1.15.33)

(W)

(1.15.34)

Si el circuito tuviera un núcleo de aire, no existieran las pérdidas magnéticas y en este caso la componenente 𝐼𝑜𝑎 presenta valor cero o lo que signficia que 𝑅𝑚 debe tener valor infinito, es decir, se elimina la rama resistiva. De acuerdo con el cirucito equivalente obtenido, la fuente debe suministrar una potencia dada por: 2 𝑃𝑜 = 𝐼𝑜2 𝑅1 + 𝐼𝑜𝑎 𝑅𝑚

(W)

(1.15.35)

Los primero y segundo sumandos de la ecuación (1.15.35) representan las pérdidas eléctricas en la resistencia del devando y las magnéticas en el núcleo respectivamente. Así, las pérdidas magnéticas están dadas por: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝑃𝑜 − 𝐼𝑜2 𝑅1

(W)

(1.15.36)

De acuerdo con el diagrama fasorial, esta potencia también puede se expresada mediante: 𝑃𝑜 = 𝑉1 𝐼𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑜 ) (W)

(1.15.37)

La potencia reactiva que demanda el circuito está dada por: 𝑄𝑜 = 𝑉1 𝐼𝑜 𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑜 )

(Var)

(1.15.38)

La pontencia reactiva también puede expresarse de acuerdo con el ciruito equivalente de la figura (1.15.14) mediante: 𝐸2

𝑄𝑜 = 1 (𝑉𝑎𝑟) 𝑋𝑚

(1.15.39)

Figura 1.15.14. Circuito equivalente del circuito magnético. Parámetros de la rama de magnetización en paralelo En correspondencia con el circuito equivalente de la figura 1.15.14 se puede construir el diagrama fasorial mostrado en la figura 1.15.15, donde en este caso 𝑉𝑎𝑏 = 𝐸1 representa la componente del voltaje aplicado para vencer la caída en la rama de magnetización. Obsérvese que en el mismo se ha tomado como referencia el voltaje 𝑉1 aplicado, lo cual resulta conveniente para la solución de los problemas Vab=E1 𝐼𝑜𝑎

𝐼𝑜𝑟 = Iϕ

𝛿

𝜃𝑜 𝐼𝑜

−𝐼𝑜 𝑅1

V1

Figura 1.15.15: Diagrama fasorial correspondiente al circuito equivalente mostrado en la figura 1.15.16 b) Circuito de magnetización con la rama en serie El circuito equivalente mostrado en la figura 1.15.15 puede ser representado con la rama de magnetización con los parámetros en serie según se muestra en la figura 1.15.16 , mediante la conversión serie paralelo. En estas condiciones la ecuación de potencia (1.15.35) se convierte en: 𝑃𝑜 = 𝐼𝑜2 𝑅1 + 𝐼𝑜2 𝑅𝑚

(W)

(1.15.40)

Los primero y segundo sumandos de la ecuación (1.15.40) representan las pérdidas eléctricas en la resistencia del devando y las magnéticas en el núcleo respectivamente. Así las pérdidas magnéticas también cumplen con la ecuación (1.15.36) Si se conocen el voltaje aplicado al circuito y la corriente demanda, se puede determinar la impedancia mediante:

𝑍𝑜 =

𝑉1 (Ohm) 𝐼𝑜

(1.15.41)

Donde: 𝑍𝑜 Impedancia total del circuito (Ohm) El módulo de la impedancia𝑍𝑜 está dado por: 2 𝑍𝑜 = √(𝑅1 + 𝑅𝑚 )2 + 𝑋𝑚

(Ohm)

(1.15.42)

Figura 1.15.16. Circuito equivalente del circuito magnético. Parámetros de la rama de magnetización en serie. Ejemplo 1.15.6 Un circuito magnético fue sometido a pruebas, obteniéndose los siguientes resultadosde las lecturas del amperímetro, voltímetro y wattímetro. Po=83 W

Io=4 A

V1=120 V

Se conoce que el circuito de excitación presenta un valor de resistencia igual a 𝑅1 = 1 𝑂ℎ𝑚. Determine: a) b) c) d)

El valor de la fuerza electromotriz inducida en el devanado de excitación Las péridadas magnéticas Los parámetros del circuito equivalente con la rama en paralelo. Los parámetros del circuito equivalente con la rama en serie.

Resolución a) Para calcular la fureza electromotriz inducida , es necesario previamente determinar el ángulo que forma la corriente 𝐼𝑜 , respecto al voltaje aplicado mediante la ecuación 1.15.37:

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑜 =

83 = 0.1729𝜃𝑜 = 80.04° (120)(4)

De acuerdo con el diagrama fasorial de la figura 1.5.15 si se le resta al voltaje aplicado la caída de voltaje en la resistencia R1 se obtiene: 𝐸1 = 𝑉1 − 𝐼𝑜 𝑅1 = 120 − (4 < −80.04)(1) = 119.3082 + 𝑗3.9397 𝐸1 = 119.564 < 1.89°. Nótese que de acuerdo con el resultado anterior, en el diagrama fasorial de la figura 1.15.15, la fuerza electromotriz se adelanta respecto al voltaje V1 el ángulo: 𝛿=1.89° b) De la ecuación 1.15.36, las pérdidas magnéticas presentan el valor: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 83 − (42 )1 = 67 (𝑊) c) Aplicando la ecuación (1.15.34) se obtiene:

𝑅𝑚 =

119.5642 = 213.36 𝑂ℎ𝑚 67

La potencia reactiva que consume el circuito se determina mediante la ecuación (1.15.38): 𝑄𝑜 = (120)(4)𝑠𝑖𝑛(80.04) = 472.7658 𝑉𝑎𝑟 De la ecuación (1.15.39) se obtiene:

119.5642 𝑋𝑚 = = 30.238 𝑂ℎ𝑚 472.7658 En la figura 1.15.17 se muestra el circuito equivalente correspondiente.

Figura 1.15.17: Circuito equivalente correspondiente al ejemplo 1.15.6-c d) Para determinar los parámetros del circutio equivalente con la rama de magnetización en serie se puede aplicar la eccuación (1.15.40) de la que se obtiene: 𝑅𝑚 =

𝑃𝑜 − 𝐼𝑜2 𝑅1 83 − (42 )(1) = = 4.1875 𝑂ℎ𝑚 𝐼𝑜2 42

La impedancia total del circuto se obtiene de la ecuaión (1.15.41): 120 𝑍𝑜 = = 30 𝑂ℎ𝑚 4 Aplicando la ecuación (1.15.42) se obtiene el siguiente valor de reactancia: 𝑋𝑚 = √302 − (4.1875 + 1)2 = 29.548 𝑂ℎ𝑚 En la figura 1.15.18 se muestra el circuito equivalente correspondiente.

Figura 1.15.18: Circuito equivalente correspondiente al ejemplo 1.15.6-d

CAPÍTULO II

II

Principio de funcionamiento de los Transformadores

2.1 Función del transformador Un transformador es una máquina eléctrica estática cuya función es convertir la energía eléctrica desde una fuente de un voltaje dado aplicado a un enrollado (enrollado primario) , a energía eléctrica a otro nivel de voltaje diferente en general, inducido en un enrollado (enrollado secundario)y aplicado a la carga. Para llevar a cabo esta transferencia de energía entre los enrollados primario y secundario, es necesario un enlace magnético entre los mismos, constituyendo ello un circuito magnético. Es por ello que para poder comprender a cabalidad el funcionamiento del transformador, es necesario tener actualizado lo estudiado en el capítulo I. En la figura 2.1.1 se muestra mediante un diagrama de bloques la función del transformador, de donde se aprecia que al mismo se le suministra potencia eléctrica 𝑃1 desde una fuente con un voltaje V1, una frecuencia f1 y corriente I1. A la salida se obtiene también energía u potencia eléctrica 𝑃2 a entregar a una carga, con un voltaje V2, frecuencia f1 y corriente I2. Este proceso ocurre con una determinada cantidad de pérdidas 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 internas en el transformador.

Figura 2.1.1: Función del transformador. 2.2 Historia e importancia del transformador Thomas Alba Edison fue el inventor del primer sistema de transmisión de potencia eléctrica en los Estados Unidos en el año 1882, este sistema estaba basado en corriente directa a 120 V con una potencia de 30 kW y debido al relativo bajo voltaje implicaba altos valores de corrientes para moderadas cantidades de potencia a transmitir. Estos valores de corrientes implicaban altas caídas de voltajes y grandes pérdidas en las resistencias. El primer transformador fue, de hecho, construido por Faraday en el año 1831, cuando realizó los experimentos en los que descubrió la inducción electromagnética. Enrolló sobre un anillo de hierro dulce dos bobinas separadas, pero cercanas entre sí, y conectó la primera con una batería y la segunda con un galvanómetro. En el momento de cerrar y abrir el circuito en la primera de las bobinas, la desviación de la aguja del galvanómetro indicó la presencia de una corriente inducida en la segunda. También en ese proceso, Faraday pudo demostrar que era factible crear corrientes inducidas al introducir una barra imanada en el interior de una bobina sin la participación en el experimento de una batería. Este dispositivo es precisamente un transformador al que Faraday no puso mayor atención ya que estaba interesado en otras tareas científicas. En el transcurso de los años varios experimentadores trabajaron con diferentes versiones de transformadores. En 1882 el inventor francés, Lucien H. Gaulard, y un ingeniero inglés, John D. Gibbs, obtuvieron una patente para un dispositivo que ellos llamaron generador secundario. De esta manera incorporaron a un sistema de iluminación la corriente alterna en el cual usaron corriente alterna y lámparas incandescentes, del tipo que inventó Edison El sistema que ellos patentaron fue una versión poco práctica de lo que hoy en día llamamos un transformador. En exposiciones Inglaterra en 1883 y en Italia en 1884, presentaron su sistema en sin embargo, su transformador no era muy práctico.Entre los visitantes a sus exposiciones estuvieron tres húngaros: Otto T. Bláthy, Max Déri y Karl Zipernowski. Ellos mejoraron el diseño del transformador y en mayo de 1885, en la Exposición Nacional Húngara en Budapest presentaron lo que resultó ser el prototipo del sistema de iluminación que se utiliza hasta hoy en día. Su sistema tenía 75 transformadores conectados en paralelo que alimentaban 1 067 lámparas incandescentes del tipo de Edison, todo esto alimentado por un generador de corriente alterna que proveía un voltaje de 1 350 V. Los transformadores que usaron suministraban voltajes bajos y eran muy eficientes, pero su construcción resultaba muy laboriosa y por tanto, muy cara. Sin embargo, lograron su objetivo: operar un sistema de lámparas a bajo voltaje (aproximadamente 100 V) a partir de un tema de distribución de corriente operado a alto voltaje. Fue Bláthy primero en usar la palabra "transformador".

Otra persona que también presenció la demostración de Gaulard y Gibbs en Italia fue el estadunidense George Westinghouse (1846-1914). Éste era un industrial que conocía el sistema construido por Edison en Nueva York, del cual no era partidario, ya que estaba consciente de sus desventajas. En 1884 Westinghouse contrató a un joven ingeniero eléctrico, William Stanley, quien tenía algunas ideas para utilizar el transformador. Hacia 1885 Stanley ya había diseñado varios tipos de transformadores superiores a los de los científicos húngaros. Con ayuda de otros ingenieros, Oliver B. Sehallenberger y Albert Schmid, construyeron transformadores con láminas de hierro que reducian las pérdidas de energía. En marzo de 1886 entró en operación una planta construida bajo la dirección de Stanley en el pueblo de Great Barrington, Masachusetts. Esta planta operó con corriente alterna, con un generador que produjo un voltaje de 500 V y que alimentaba un conjunto de lámparas a una distancia de alrededor de 2 km. Por medio de transformadores redujeron el voltaje a 100 volts, que es el valor que se requiere para hacer funcionar las lámparas. Para demostrar que se podía transmitir la electricidad a distancias mayores por medio de un transformador elevaron el voltaje a un valor de 3 000 volts, y luego lo redujeron a 100 volts. El resultado fue un gran éxito y de inmediato Westinghouse inició la manufactura y venta de equipos para distribuir electricidad por medio de corriente alterna. Todo esto, aunado al hecho de que el costo de la transmisión era relativamente barato, dio inicio a la utilización de la energía eléctrica por medio de corriente alterna. Edison y sus asociados pelearon contra la utilización de la comente alterna tanto en la prensa como en los tribunales. Sin embargo, su lucha estaba perdida. Muy pronto la corriente directa cedió su lugar a la alterna debido a su flexibilidad, conveniencia y bajo costo. Tres años después del éxito con su planta Edison quedó desplazado. En la década de 1890 el crecimiento de los sistemas de corriente alterna fue muy vertiginoso. En las cataratas del Niágara, EUA, se instalaron generadores inmensos que iniciaron su servicio en 1895 y alimentaron de electricidad a lugares bastante lejanos, algunos situados a centenares de kilómetros. De esta manera muy pronto se establecieron sistemas de transmisión en muchos países, tendencia que continúa hasta la fecha. La primera patente de un trasformador de C.A. corresponde a William Stanley, Jr. en el año 1886. Él trabajó para la Westinghouse Company, pionera en el desarrollo comercial de la corriente alterna (en 1893 presento todo un sistema eléctrico en CA a escala a fin de demostrar sus bondades en la feria de Chicago) En 1990 Stanley estableció su propia compañía manufacturera de transformadores, que fue adquirida por General Electric en 1902 La importancia principal del transformador radica en que permite aumentar el voltaje y con ello llevar a cabo la transmisión de energía eléctrica a bajos niveles de corriente y posteriormente reducir este voltaje para la utilización a niveles seguros sin riesgos para el humano. Esto se ilustra en la figura 2.2.1 donde se muestra un sistema eléctrico simple que consta de una planta generadora G de la cual se obtiene un voltaje VG=240 V y la misma entrega una corriente IG= 100 A. Mediante el transformador T1 se eleva el voltaje hacia una línea de transmisión de energía eléctrica a un voltaje VL=2400 V. Esto permite que la corriente por ésta presente el valor aproximado (posteriormente será estudiado) IL=10 A. Posteriormente el voltaje es reducido al valor Vc=120 V para ser aplicado a la carga. Puesto que las pérdidas en la resistencia de la línea dependen de

la corriente al cuadrado, la transmisión con el voltaje de 2400 V, reduce en 100 veces este valor.

Figura 2.2.1: Sistema de transmisión eléctrico simple. Los transformadores de potencia se clasifican con varios nombres dependiendo la posición que ocupen en el sistema. Los transformadores que se conectan a la salida de las plantas generadores con la finalidad de elevar el voltaje a valores de 110 kV y mayores, se les denomina transformadores de unidad. Los transformadores que se conectan al final de la línea de transmisión de energía cumplen la función de reducir el voltaje de los niveles de transmisión a los niveles de distribución de 2.4, 23 o 34.3 kV. A estos transformadores se les denomina de distribución primaria o de subestación. Por último, los transformadores que reducen los voltaje de distribución primaria a valores de utilización, 110, 220 etc. se les denomina transformadores de distribución secundaria. También existen transformadores empleados en las mediciones. Estos se clasifican como transformadores de potencial y transformadores de corriente. Los primeros son empleados para reducir un voltaje alto a uno bajo, con el propósito de alimentar las bobinas de voltaje de los equipos de medición y de protección. Los transformadores de corriente tienen la finalidad de reducir la corriente con el propósito de alimentar las bobinas de corriente de los equipos de medición y protección. 2.3 Principio del transformador. Transformador ideal en vacío. Ecuaciones fundamentales Para dar inicio al estudio del transformador se considerará que el mismo es ideal, es decir que no existen pérdidas en los devanados ni caídas de voltajes y tampoco pérdidas en el núcleo, además que el mismo no alimenta ninguna carga, es decir, que opera en

vacío. En estas condiciones la máquina opera como si fuera un circuito magnético como los estudiados en el capítulo I. El principio de funcionamiento será explicado a partir del circuito magnético mostrado en la figura 1.15.1, al cual se le ha añadido un devanado con número de vueltas N2, constituyendo esto un transformador monofásico de dos devanados, tal como se muestra en la figura 2.3.1. De ahora en adelante a la corriente por el devanado primario se designará como 𝐼1 y para el estado de vacío coincide con la corriente de magnetización 𝐼𝜙 Como fue explicado en el epígrafe 1.15.1 al alimentar el devanado de excitación de N1 vueltas con un voltaje senoidal, el flujo también variará con el tiempo con la misma ley, según se expresa en la ecuación 1.15.1 Este flujo al concatenar con el devanado de N2 vueltas induce en éste una fuerza electromotriz dada por la ecuación 1.15.2 con la única diferencia que las vueltas deben corresponder a las devanado 2. Así se obtiene: dØ

e2 = −N2 dt = −N2 ϕm wcos(wt) Donde:

(V)

(2.3.1)

e2 - Valor instantáneo de la fuerza electromotriz inducida en el devanado 2.

La ecuación (2.3.1) puede escribirse como: e2 = E2m sen(wt − 90°)

(2.3.2)

Donde: 𝐸2𝑚 - Valor máximo de la fuerza electromotriz inducida (V) 𝐸2𝑚 = 𝑁2 𝑤𝜙𝑚 (V)

(2.3.3)

Un aspecto muy importante a destacar se obtiene al comparar las ecuaciones (1.15.1) y (2.3.2) de donde se puede comprobar que la fuerza electromotriz inducida presenta un atraso de 90° respecto al flujo que la induce y que si el flujo es sinusoidal también lo es la fuerza electromotriz que éste induce. Puesto que la fuerza electromotriz inducida es sinusoidal, su valor eficaz está dado por:

𝐸2 =

𝐸2𝑚 √2

=

𝑁2𝑤𝛷𝑚 √2

= 4.44𝑓𝑁2 𝜙𝑚 (V)

(2.3.4)

De las ecuaciones (2.3.4) y (1.15.5) se obtiene: 𝐸1 𝑁1 = =𝑎 𝐸2 𝑁2 Donde:

(2.3.5)

a -Relación de transformación del transformador. 𝐸1 - Fuerza electromotriz eficaz inducida en el devanado primario (V) 𝐸2 - Fuerza electromotriz inducida en el devanado secundario (V) w = 2Пf Velocidad angular eléctrica de la onda de voltaje aplicada (rad/s) De aquí en adelante se definirá como devanado de N1 vueltas como primario , por donde se aplica la fuente de alimentación; al devanado de N2 vueltas como secundario, por donde se alimenta la carga eléctrica, como se verá posteriormente.

Es decir que la relación de transformación del transformador se define como la relación de fuerzas electromotrices inducidas en el primario y secundario o la relación de vueltas entre los devanados del primario y secundario. Si el número de vueltas N2 es mayor a N1 el transformador se denomina de subida y en este caso se induce una fuerza electromotriz E2 mayor a E1. En caso contrario el transformador se denomina de bajada y la fuerza electromotriz que se induce en el devanado secundario es inferior a la inducida en el devanado primario. En casos especiales se emplean transformadores de relación de transformación unitaria, para el desacople eléctrico entre los devanados primario y secundario. Para el transformador ideal puesto que no hay caídas de voltaje en los devanados, la ecuación (2.3.5) también se puede escribir como: 𝐸1 𝑉1 𝑁1 = = =𝑎 𝐸2 𝑉2 𝑁2 Donde:

(2.3.6)

𝑉1 - Voltaje eficaz de la fuente aplicado al primario (V) 𝑉2 - Voltaje eficaz en los terminales del secundario (V) De acuerdo con lo visto anteriormente, el diagrama fasorial mostrado en la figura 1.15.3 queda modificado como se muestra en la figura 2.3.2, donde se ha añadido la fuerza electromotriz 𝐸2 inducida en el devanado secundario, mayor a 𝐸1 suponiéndose un transformador de subida. Obsérvese que esta fuerza electromotriz se ha situado atrasada 90° con el flujo 𝛷 que la induce, de modo que se cumplan las ecuaciones (2.3.2) y (1.15.1). Si existiera un tercer devanado también debe situarse en el diagrama fasorial una fuerza electromotriz 𝐸3 atrasada 90° con el flujo, es decir que todas las fuerzas electromotrices deben ser situadas en fase.

Figura 2.3.1: Transformador monofásico de dos devanados. Operación en vacío

𝜙

90°

𝐼𝜙

V1=-E1

E1

V2=E2

Figura 2.3.2: Diagrama fasorial de un transformador ideal. Operación en vacío Polaridad del transformador. Como se estudiará en próximos capítulos es de gran importancia conocer la polaridad de los devanados de transformador, por ejemplo cuando se van a conectar en paralelo o realizar conexiones en sistemas trifásicos. Para determinar la polaridad de los devanados del transformador, se partirá de la figura (2.3.3), la cual consta de dos bobinas acopladas mediante un flujo 𝜙 externo, el cual se supone que es provocado por cualquier fuente. Se considera que el flujo varía senoidalmente con el tiempo, tal como se expresó en la ecuación (1.15.1), la cual se repite seguidamente: ϕ = ϕm sen(wt)(2.3.7) Al aplicarse la ecuación 1.15.2, se obtienen las fuerzas electromotrices inducidas en los devanados de N1 y N2 vueltas respectivamente: 𝑒𝐴𝐵 = 𝐸1𝑚 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 − 90°)

(2.3.8)

𝑒𝑎𝑏 = 𝐸2𝑚 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 − 90°) (2.3.9)

Donde 𝐸1𝑚 y 𝐸2𝑚 son los valores máximos de las fuerzas electromotrices inducidas en los devanados (1) y (2)

Figura 2.3.3: Bobinas acopladas magnéticamente por el flujo 𝝓. Las flechas indican el sentido que tendrían las corrientes en los devanados para cumplir con la ley de Lenz.

De acuerdo con las ecuaciones (2.3.7), (2.3.8) y (2.3.9) se obtienen los gráficos mostrados en la figura 2.3.4. Considérese como positivo el sentido del flujo indicado en la figura 2.3.3. Así en el intervalo angular de 0 a 180°, el flujo es positivo y creciendo en la figura 2.3.4. Además, en esta figura en el intervalo angular 0 a 90° las fuerzas electromotrices inducidas en las bobinas son negativas, pero de acuerdo con la ley de Lenz, como el flujo está aumentando en el sentido indicado en la figura 2.3.3-a, las polaridades de las fuerzas electromotrices son las indicadas, es decir, en la bobina (1), el terminal A es negativo y el B positivo. Recuérdese que la ley de Lenz expresa que la polaridad de la fuerza electromotriz inducida en un devanado es tal que esta tiende a oponerse al cambio de flujo( ver epígrafe 1.13). Obsérvese que si las flechas indican el sentido que tendrían las corrientes por los devanados, los flujos asociados con estas corrientes, al aplicar la regla de la mano derecha, serían opuestos al flujo 𝜙, cuando este aumenta en el sentido indicado. En la bobina (2), el terminal a es negativo y el b positivo. Esto se simboliza mediante flechas en las fuerzas electromotrices o también mediante signos o también por el convenio de puntos. Mediante este último convenio el terminal (B) de la bobina (1) puede señalarse con un punto y su terminal homólogo (b) de la bobina 2 también con un punto. Esta indicación significa que si en un instante dado el terminal (B) es positivo, en ese instante el terminal (b) también es positivo. Puesto que las fuerzas electromotrices inducidas en los devanados son alternas, mediante el convenio de puntos, éstos también pueden haberse colocado en los terminales A y a, ya que este convenio solamente indica iguales polaridades en los terminales en un instante dado. Para completar las polaridades de los terminales de los devanados en un ciclo completo, obsérvese que en el intervalo angular 90° a 180°, el flujo tiene sentido positivo pero es decreciente, por lo que el sentido de las fuerzas electromotrices y por tanto su polaridad debe ser opuesta a la indicada en la figura 2.3.3.-a, para cumplir con la ley de Lenz. Esto queda mostrado en la figura 2.3.4, pues se observa que las fuerzas electromotrices cambian de signo. En el intervalo angular 180° a 270° el flujo invierte su sentido pero su valor es creciente, con ello para cumplir con la ley de Lenz las fuerzas electromotrices continúan siendo positivas. En el intervalo angular 270° a 360° el flujo es negativo pero decreciente, por lo que la fuerzas electromotrices invierten su polaridad respecto al intervalo anterior. En la tabla 2.3.4-I y en la figura 2.3.5 se indican detalladamente todos estos aspectos En la figura 2.3.3-b se ha invertido el sentido del devanado (2), con esto se obtiene una inversión de la polaridad de la fuerza electromotriz inducida, tal como se señala en la propia figura. Esto significa que la polaridad relativa de los devanados solo depende del sentido relativo en que se enrollen los devanados. Debe señalarse que el convenio de puntos o mediante indicación de los signos de las polaridades, permite determinar la polaridad de los terminales sin tener que recurrir a la inspección física del sentido relativo en que están enrollados los devanados.

Figura 2.3.4: Flujo y fuerzas electromotrices.

Intervalo angular (Grados)

Flujo

0-90

Positivo creciente

90-180

Polaridad de la bobina (1)

Polaridad de la bobina (2)

Terminal A

Terminal a

Terminal B

Terminal b

-

+

-

+

Positivo decreciente

+

-

+

-

180-270

Negativo creciente

+

-

+

-

270-360

Negativo decreciente

-

+

-

+

Tabla 2.3.4: Polaridades de los terminales correspondientes a la figura 2.3.3

Figura 2.3.5: Polaridades para los diferentes intervalos angulares. Para completar el estudio de la polaridad del transformador, considérese el transformador mostrado en la figura 2.3.6, al cual se le han señalado los terminales con el mismo convenio seguido en la figura 2.3.3. Considérese que el flujo 𝜙 es provocado por la corriente de excitación 𝑖𝜙 y su sentido positivo es el que se indica. Además si se considérese que el mismo está aumentando, entonces las polaridades de la fuerza electromotrices son las que se indican, para cumplir con la ley de Lenz. Entonces puede procederse a colocar los puntos en los terminales B y b según se señales, para cumplir con el convenio de puntos. Si se aplica un voltaje 𝑣1 sinusoidal, entonces el flujo también será sinusoidal, tal como fue explicado en el epígrafe 1.15.1.

Figura 2.3.6: Polaridades del transformador monofásico: 𝒆𝟏 = 𝒆𝑨𝑩 𝒆𝟐 = 𝒆𝒂𝒃

En la figura 2.3.7 se muestra la representación en ondas del flujo, la corriente de excitación y los diferentes voltajes en el transformador. Puede observarse que estas ondas cumplen con el diagrama fasorial de la figura 2.3.2. De acuerdo con las normas para la indicación de las polaridades, además del convenio de puntos, las polaridades del transformador se marcan según se muestra en la figura 2.3.8, donde las letras H significan el devanado de alto voltaje; las X, el de bajo voltaje. Las indicaciones H1 y X1 significan que un medio ciclo, estas terminales son positivas y en ese mismo medio ciclo las terminales H2 y X2 son negativas. En el otro medio ciclo, las polaridades se invierten. Obsérvese que al invertir el sentido de las vueltas en el devanado secundario da como resultado la inversión de la polaridad de la fuerza electromotriz inducida.

Figura 2.3.7: Representación en ondas de flujo y voltajes del transformador monofásico.

(a)

(b)

Figura 2.3.8: Marca de polaridades del transformador monofásico.

Ejemplo 2.3.1: En las bobinas acopladas que se muestran en la figura 2.3.9-a se conocen los siguientes datos: 𝑁1 = 1000 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠𝑁2 = 500 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 Además se conoce que con las bobinas concatena un flujo mutuo el cual alterna con una frecuencia de 60 Hz y su valor máximo es igual a 𝜙𝑚 = 0.0009 𝑊𝑏 Calcule: a) Las fuerzas electromotrices inducidas en los devanados. b) La fuerza electromotriz resultante entre los puntos A-b si las bobinas se conectan en serie como se muestra en la figura 2.3.9-b c) La fuerza electromotriz resultante entre los puntos A-a si las bobinas se conectan como se muestra en la figura 2.3.9-c

Figura 2.3.9: Bobinas acopladas, correspondientes al ejemplo 2.3.1 Resolución a) De la ecuación 1.15.5 se obtiene para la bobina (1): 𝐸𝐴𝐵 = (4.44)(60)(1000)(0.0009) = 239.7 𝑉 Para la bobina (2) se cumple: 𝐸𝑎𝑏 = (4.44)(60)(500)(0.0009) = 119.88 𝑉 Puesto que la fuerza electromotriz inducida en cualquier devanado se atrasa 90° del flujo que la induce, según se estudió en el epígrafe 1.15.1, se cumple el diagrama fasorial mostrado en la figura 2.3.10. b) Al seguirse el circuito mostrado en la figura 2.3.9-b, entre los puntos A-b se obtiene la suma da las fuerzas electromotrices de la bobinas (1) y (2), puesto que éstas están en fase en cada devanado, según el diagrama fasorial mostrado en la figura 2.3.9: Vab=239.7+119.88=359.88 (V). c) Entre los puntos A-a se obtiene la diferencia de las fuerzas electromotrices de los devanados (1) y (2), al seguirse el circuito mostrado en la figura 2.3.9-c:

VAa=239.7-119.88=119.88

𝜙

𝐸𝑎𝑏

𝐸𝐴𝐵

Figura 2.3.10: Diagrama fasorial correspondiente al ejemplo 2.3.1 Prueba de polaridad. La polaridad de un transformador puede ser determinada mediante la prueba de polaridad. Considérese el transformador con la polaridad indicada en la figura (2.3.8-a) el cual en forma esquemática se representa en la figura (2.3.11-a). Si se aplica un voltaje alterno v1 de H1 a H2 con la polaridad indicada (de menos a más), en el secundario se induce el voltaje v2 de X1 a X2, con la polaridad de menos a más, para cumplir con la polaridad del transformador. Obsérvese que para realizar la prueba se ha colocado un puente entre los terminales H1X1 y se lee el voltaje V con un voltímetro colocado entre los terminales H2X2. En este caso la lectura del voltímetro indicará la diferencia de los voltajes V1 y V2. Por eso en este caso se dice que el transformador presenta polaridad sustractiva. En la figura (2.3.11-b) se muestra en forma esquemática el transformador de la figura (2.3.8.b). En este caso la lectura del voltímetro es igual a la suma de los voltajes v1 y v2, por ello este transformador se dice que presenta polaridad aditiva.

Figura 2.3.11: Prueba de polaridad De acuerdo con lo anterior, si no se conoce la polaridad del transformador y se realiza la prueba de polaridad, si la lectura del voltímetro da como resultado la diferencia de los voltajes de primario y secundario, significa que el mismo presenta polaridad sustractiva y por tanto se puede señalar las polaridades como se indica en las figuras (2.3.8-a) o (2.3.11-a), de lo contrario debe ser marcado como se indica en las figuras (2-3-8-b) o (2.3.11-b) 2.4 Transformador ideal con carga. Para comprender los fenómenos que ocurren cuando se suministra una carga con el transformador, debe partirse sobre la base de que si el voltaje aplicado por la fuente y su frecuencia son constantes, también el flujo es constante, lo cual se comprueba de la ecuación (1.15.9), la cual se repite seguidamente por conveniencia 𝜙𝑚 =

𝑉1 4.44𝑓𝑁1

(2.4.1)

Considérese que al devanado secundario del transformador mostrado en la figura 2.3.1 se le conecta una carga en su devanado secundario de impedancia Zc, según se muestra en la figura 2.4.1, donde por conveniencia los valores de voltajes y fuerza electromotrices se han representado por sus valores eficaces. La corriente 𝐼2 tiene un sentido tal que trata de oponerse al flujo ϕ provocado por la corriente de excitación 𝐼𝜙 para cumplir con la ley de Lenz, por lo que el efecto de la corriente por el secundario es tendiente a reducir el flujo. Sin embargo puesto que el voltaje aplicado por la fuente se considera constante, el flujo debe también ser constante de acuerdo con la ecuación (2.4.1). Así cuando se conecta una carga debe aparecer una corriente 𝐼2′ por el devanado primario adicional a la corriente 𝐼𝜙 de magnitud y sentido tal que compense el efecto desmagnetizante de la corriente 𝐼2 . Es decir que debe cumplirse la siguiente igualdad de fuerzas magnetomotrices: 𝑁1 𝐼2′ = 𝑁2 𝐼2

(2.4.2)

De acuerdo con lo anterior cuando el transformador opera en vacío el flujo de acuerdo con la ecuación (1.14), está dado por: 𝜙=

𝑁1 𝐼𝜙 𝔑𝑛

(2.4.3)

Donde: 𝔑𝑛 - Reluctancia del núcleo Cuando se suministra carga por el transformador, la ecuación (2.4.3) se modifica: 𝑁1 𝐼𝜙 − 𝑁 𝐼 + 𝑁 𝐼 ′ 2 2 12 𝜙= (2.4.4) 𝔑𝑛 Al comparar las ecuaciones (2.4.3) y (2.4.4) puede comprobarse que el flujo es constante, es decir mantiene igual valor en vacío o con carga, siempre que se cumpla la igualdad de la ecuación (2.4.2). De la ecuación (2.4.2) se cumple: 𝐼2 𝐼 𝐼2′ = = 2 𝑁1 𝑎 ⁄𝑁 2

(2.4.5)

Donde: 𝑎=

𝑁1 − 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑁2

A la corriente 𝐼2′ que aparece por el devanado primario cuando circula por el secundario la corriente de carga de carga, se le denomina componente de corriente de carga por el devanado primario o corriente de carga referida al devanado primario. Esta corriente puede ser igual, mayor o menor que la corriente 𝐼2 , dependiendo solamente de la magnitud de la relación de transformación. Para un transformador de bajada (a>1), se cumple que 𝐼2′ < 𝐼2 . Si el transformador es de subida ocurre lo contrario. En la figura 2.4.2 se muestra el diagrama fasorial correspondiente al transformador con carga, donde se ha situado el fasor de corriente 𝐼2 formando un ángulo 𝛳2 respecto al voltaje 𝑉2 aplicado a dicha carga. Este ángulo es fijado solamente por la impedancia de carga y está dado por: 𝑋𝑐 𝛳2 = 𝑡𝑎𝑔−1 ( ) 𝑅𝑐 Donde :𝑋𝑐 - Reactancia de la carga (Ohm)

(2.4.6. )

𝑅𝑐 - Resistencia de la carga (Ohm) En el diagrama fasorial de la figura 2.4.2, la corriente 𝐼1 por el devanado primario está formada por la suma fasorial de corrientes expresada en la ecuación (2.4.7). La corriente 𝐼1 forma el ángulo 𝛳1 respecto al voltaje aplicado por la fuente, por lo que el factor de potencia que se ve desde los terminales de entrada del primario está dado por la ecuación (2.4.8) 𝐼1 = 𝐼𝜙 + 𝐼2′

(2.4.7)

𝑓𝑝1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃1

(2.4.8)

La potencia que le suministra el transformador a la carga, es decir, la potencia de salida del mismo, está dada por: 𝑃2 = 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 (W) (2.4.9) De igual forma la potencia que le suministra la fuente al transformador, es decir, la potencia de entrada a mismo está dada por: 𝑃1 = 𝑉1 𝐼1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 Donde:

(W)

(2.4.10)

𝑓𝑝2 = 𝑐𝑜𝑠𝛳2 – Factor de potencia de la carga De acuerdo con la ecuación (2.4.7) si se desprecia la corriente de excitación 𝐼𝜙 las corrientes de los devanados secundario y primario están relacionadas por la ecuación (2.4.11), tal como se supuso en el sistema mostrado en la figura 2.2.1. 𝐼 𝐼1 = 2 (2.4.11) 𝑎 En el transformador ideal puesto que no existen pérdidas las potencias de salida y entrada obtenidas por la ecuaciones (2.4.9) y (2.4.10) respectivamente son iguales por lo que se cumple: 𝑉1 𝐼1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 = 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 (2.4.12) Del diagrama fasorial mostrado en la figura 2.4.2 puede comprobarse que si se desprecia la corriente de excitación 𝐼𝜙 los ángulos de las corrientes del primario y secundario presentan igual valor, es decir: 𝜃1 = 𝜃2 Sustituyendo la ecuación (2.4.13) en la (2.4.12) se cumple:

(2.4.13)

𝑉1 𝐼1 = 𝑉2 𝐼2 (2.4.14) La ecuación (2.4.14) indica que las corrientes por los devanados son inversamente proporcionales a los voltajes. Debe observarse que esta ecuación solamente se cumple para el transformador ideal y además cuando se desprecia la corriente de excitación.

Figura 2.4.1: Transformador monofásico de dos devanados. Operación con carga.

I1

𝜙

I2’= -I2/a 𝛳1

𝐼𝜙

V1=-E1

90°

𝛳2

E1

V2=E2

I2 Figura 2.4.2: Diagrama fasorial de un transformador ideal. Operación con carga Ejemplo 2.4.1: Un transformador ideal como el mostrado en la figura 2.4.1 demanda una corriente de vacío 𝐼𝜙 = 0.5 (𝐴) . El transformador alimenta una carga con una impedancia 𝑍𝑐 = 2.4 < 30° Ohm. Se conoce que las vueltas de los devanados presentan los valores 𝑁1 = 1000 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑁2 = 100 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 Calcule si se requiere un voltaje aplicado a la carga igual a 𝑉2 = 240 𝑉 . a) b) c) d)

Relación de transformación Voltaje aplicado al primario Corrientes 𝐼1 𝑒 𝐼2 Realice un balance de potencia

Resolución a) Puesto que la relación de transformación se define como la relación entre las fuerzas electromotrices de los devanados primario y secundario o la relación de vueltas entre éstos, de la ecuación ( 2.3.5) queda: 𝑁1 1000 = = 10 𝑁2 100 b) Ya que el transformador se considera ideal, para calcular el voltaje aplicado por la fuente se aplica la ecuación (2.3.6 )de donde se obtiene: 𝑎=

𝑉1 = 𝑎𝑉2 = (10)(240) = 2400 𝑉 c) La corriente por la carga se determina mediante la relación voltaje a impedancia. Considerando como referencia el voltaje aplicado a la carga se tiene: 𝑉 240 𝐼2 = 2 = = 100 < −30° (𝐴) 𝑍𝑐 2.4 < 30°

Para determinar la corriente por el devanado primario es necesario determinar previamente la corriente 𝐼2′ mediante la ecuación (2.4.5) 100 𝐼2′ = = 10 (𝐴) 10 De acuerdo con el diagrama fasorial mostrado en la figura 2.4.2 la corriente por el devanado primario de acuerdo con la ecuación (2.4.7) expresada en forma fasorial está dada por: 𝐼1 = 0.5 < 90° + 10 < 150° = −8.66 + 𝑗5.5 = 10.259 < 147.58° (𝐴) Puede comprobarse que la corriente por el devanado primario es casi 10 veces menor que la del devanado secundario. Si se despreciara la corriente de excitación ésta tendría el valor igual a 10 A y se cumpliría la ecuación 2.4.14. En la figura 2.4.3 se muestra el diagrama fasorial en los que se señalan los valores obtenidos. Obsérvese que al tomarse el voltaje 𝑉2 como referencia, el ángulo de valor 147.58° que forma la corriente 𝐼1 es respecto a esta referencia, tal como se señala. Esto determina que el ángulo 𝛳1 que forma la corriente del primario respecto al voltaje aplicado está dado por: 𝛳1 = 180 − 147.58 = 32.42° Puede comprobarse que debido a la presencia de la corriente de magnetización, el transformador introduce un desfase de 2.42° d) La potencia que se le entrega a la carga está dada de acuerdo con la ecuación (2.4.9): 𝑃2 = (240)(100)𝑐𝑜𝑠(30) = 20785 𝑊 De la ecuación (2.4.10), la potencia que le entrega la fuente al transformador está dada por: 𝑃1 = (2400)(10.259)𝑐𝑜𝑠(32.42) = 20785 𝑊 Puede comprobarse que las dos potencias halladas anteriormente presentan igual valor, lo que obedece a que al considerarse ideal el transformador, éste no presenta pérdidas y las potencias de entrada y salida en el mismo son iguales.

Figura 2.4.3: Diagrama fasorial correspondiente al ejemplo 2.4.1 2.5Transformador real . Operación en vacío. En los epígrafes anteriores se consideró la operación del transformador ideal, lo cual sirvió para determinar una serie de relaciones que dentro de ciertos límites serán aplicadas al transformador real, el cual presenta las características que se describen seguidamente. Pérdidas magnéticas. Como fue explicado en el epígrafe 1.15 en el núcleo de un circuito magnético real existen las pérdidas por corrientes parásitas e histérisis por lo que el diagrama fasorial de la figura 2.3.2 queda modificado como se muestra en la figura 2.5.1. Puede comprobarse que esta figura solamente se diferencia de la 1.15.12 en que se ha añadido el fasor𝐸2 . Se recomienda al lector revisar el epígrafe 1.15

𝜙

𝜃𝑜

V1=-E1

𝐼𝑜

𝐼𝑜𝑎

𝐼𝑜𝑟 = Iϕ

E1

E2=V2

Figura 2.5.1 Diagrama fasorial del transformador considerando las pérdidas magnéticas

Resistencia en los devanados Como cualquier conductor, los devanados primario y secundario presentan resistencias óhmicas, las cuales provocan pérdidas por efecto Joule, además de caídas de voltajes. En la figura 2.5.2 se muestra una representación del transformador en la que 𝑅1 y 𝑅2 representan las resistencias de los devanados primario y secundario respectivamente. En estas condiciones el diagrama fasorial correspondiente a la figura 1.15.13 queda modificado según se muestra en la figura 2.5.3 al que se le ha agregado los fasores de voltaje y de la fuerza electromotriz en el secundario. En el devanado primario la fuerza electromotriz 𝐸1 se diferencia del voltaje 𝑉1 aplicado por la fuente debido a la caída de voltaje 𝐼𝑜 𝑅1 . Es por ello que en el devanado primario se cumple la ecuación (1.15.32) la cual por conveniencia se escribe a continuación. 𝑉1 = 𝐼𝑜 𝑅1 − 𝐸1 (V)

(2.5.1)

Obviamente como el transformador opera en vacío, la resistencia en el devanado secundario no tiene ningún efecto por lo que el voltaje 𝑉2 en los terminales del secundario es igual a la fuerza electromotriz 𝐸2 , es decir se cumple: 𝑉2 = 𝐸2

(2.5.2)

Figura 2.5.2: Representación del transformador con resistencia en los devanados.

𝛟

V1

IoR1

𝛉𝐨

𝐈𝐨 𝐈𝐨𝐫 = 𝐈𝛟

𝛿 -E1

𝐈𝐨𝐚

E1

E2=V2

Figura 2.5.3: Diagrama fasorial en vacío del transformador considerando la resistencia en los devanados Reactancia de dispersión La fuerza magnetomotriz del devanado primario provoca una componente principal de flujo que pasa por el núcleo magnético y que concatena con el devanado secundario, denominado flujo mutuo. Además una pequeña porción de flujo circula por el aire, a este se le denomina flujo de dispersión o disperso. Así se cumple: 𝜙1 = 𝜙 + 𝜙𝑑1 Donde:

(2.5.3)

𝜙1 - Flujo total producido por devanado primario (Wb) 𝜙- Flujo mutuo (Wb) 𝜙𝑑1 - Flujo de dispersión del devanado primario (Wb) Como se estudió anteriormente el flujo mutuo se puede determinar mediante la ecuación 2.4.3, ya que este es producido por la componente reactiva de la corriente 𝐼𝑜 . El flujo de dispersión se determina mediante: 𝑁 𝐼𝑜 𝜙𝑑1 = 1 𝔑𝑑1

(2.5.4)

Donde: 𝔑𝑑1 - Reluctancia del circuito de dispersión del devanado primario En el transformador se cumple que la reluctancia de dispersión es mucho mayor que la correspondiente al núcleo, por lo que el flujo de disperso es mucho menor que el flujo mutuo. En la figura 2.5.4 se muestra un transformador señalándose los flujos de dispersión y mutuo. Se indica un flujo de dispersión 𝜙𝑑2 el cual es provocado si una corriente circulara por el devanado secundario. De igual forma este flujo se determina mediante: 𝑁 𝐼 𝜙𝑑2 = 2 2 𝔑𝑑2 Donde: 𝔑𝑑2 - Reluctancia del circuito de dispersión del devanado secundario

(2.5.5)

Figura 2.5.4: Flujos de dispersión y mutuo en el transformador Los flujos de dispersión inducen fuerzas electromotrices correspondientes atrasadas 90° a éstos, las que se determinan aplicando la ecuación fundamental del transformador, es decir: 𝐸𝑑1 = 4.44𝑓𝑁1 𝜙𝑑1 𝐸𝑑2 = 4.44𝑓𝑁2 𝜙𝑑2

(2.5.6) (2.5.7)

Donde: 𝐸𝑑1 - Fuerza electromotriz debido a la dispersión en el devanado primario (V) 𝐸𝑑2 - Fuerza electromotriz debido a la dispersión en el devanado secundario (V) Deber observarse que en las ecuaciones (2.5.6) y (2.5.7) 𝜙𝑑1 y 𝜙𝑑2 representan el valor máximo en el tiempo, según lo expresa la ecuación fundamental del transformador. De acuerdo con lo expresado anteriormente, en el devanado primario se inducen dos fuerzas electromotrices, una inducida por el flujo mutuo y la otra por el flujo de dispersión. De acuerdo con esto el voltaje de la fuente debe tres componentes. Una para vencer la fuerza electromotriz 𝐸1 (igual y opuesta a 𝐸1 )inducida por el flujo mutuo, otra para vencer la fuerza electromotriz debido al flujo de dispersión (igual y opuesta a 𝐸𝑑1 ) y una tercera para vencer la caída de voltaje en la resistencia (en fase con la corriente). Todo esto queda representado en el diagrama fasorial mostrado en la figura 2.2.5, donde se señala el flujo de dispersión 𝜙𝑑1 en fase con la corriente 𝐼𝑜 que lo crea. Dado que los circuitos de dispersión son a través del aire pueden considerarse constantes las reluctancias para cualquier valor de corriente, por ello es más conveniente expresar las fuerzas electromotrices correspondientes como caídas por reactancias. Para

se escribe la ecuación (2.5.4) en función de los valores máximos de flujo y corriente como: 𝑁 𝐼𝑜𝑚 𝜙𝑑1 = 1 𝔑𝑑1 Donde: 𝐼𝑜𝑚 - Valor máximo de la corriente de vacío (A)

(2.5.8)

Se sustituye la ecuación (2.5.8) en la (2.5.6) escriba en forma conveniente, resultando en: 𝐼𝑜𝑚 𝑓𝑁12 = 2П𝑓𝐿1 𝐼𝑜 𝔑𝑑1 √2 En la ecuación (2.5.9) se cumple: 𝐸𝑑1 =

2П

(2.5.9)

𝑁12 𝐿1 = 𝔑𝑑1

(2.5.10)

La ecuación (2.5.9) se puede a su vez escribir mediante: 𝐸𝑑1 = 𝑋1 𝐼𝑜 Donde: 𝐿1 – Inductancia de dispersión del devanado primario (H)

(2.5.11)

𝑋1 = 2П𝑓𝐿1

(2.5.12)

𝑋1 - Reactancia de dispersión del devanado primario (Ohm) La ecuación (2.5.11) expresa que la fuerza electromotriz de autoinducción puede ser considerada como una caída de voltaje a través de una reactancia denominada reactancia de dispersión. De igual forma para el devanado secundario pueden escribirse una ecuación similar a (2.5.12): 𝑋2 = 2П𝐿2

(2.5.13)

Donde: 𝐿2 – Inductancia de dispersión del devanado secundario (H) 𝑋2 - Reactancia de dispersión del devanado secundario (Ohm)

𝜙

𝜙𝑑1 V1 𝜃𝑜

𝐼𝑜

Ed1

𝛿 IoR 1 -Ed1

𝐼𝑜𝑟 = Iϕ

-E1

𝐼𝑜𝑎

E1

Figura 2.5.5: Diagrama fasorial del transformador señalándose el flujo de dispersión.

E2=V2

De acuerdo con lo anterior, el diagrama fasorial de la figura 2.2.5 se modifica según se muestra en la figuras 2.5.6. De este diagrama se pueden plantear las siguientes ecuaciones de voltajes del transformador real para el estado de vacío 𝑉1 = 𝐼𝑜 𝑍1 + (−𝐸1 ) (V) (Ecuación de voltaje en el devanado primario)

(2.5.14)

𝑉2 = 𝐸2 (V) (Ecuación de voltaje en el devanado de secundario) Donde:

(2.5.15)

𝑍1 = 𝑅1 + 𝑗𝑋1 (Ohm) (Impedancia de dispersión del devanado primario) (2.5.16) Independientemente de que el transformador se considere real o ideal la relación de transformación se sigue definiendo según se expresa en la ecuación (2.3.5)

𝜙

𝜙𝑑1 V1

𝐼𝑜 𝑍1 𝜃𝑜

𝐼𝑜

𝐼𝑜𝑟 = Iϕ Ed1

𝛿 Io𝑅1 𝐼𝑜 𝑋1

-E1

𝐼𝑜𝑎

E1

E2=V2

Figura 2.5.6: Diagrama fasorial del transformador en vacío considerando la fuerza electromotriz de dispersión como una caída por reactancia. Al considerar las reactancias de dispersión, la figura 2.5.2 se modifica como se muestra en la 2.5.7, en la que 𝑋1 y 𝑋2 representan las reactancias de los devanados primario y secundario respectivamente. La impedancia de dispersión del devanado secundario se determina mediante la ecuación (2.5.16), debiendo emplearse los subíndices 2 en vez de 1.

Figura 2.5.7: Representación del transformador con resistencia y reactancia en los devanados.

En la condición de vacío el transformador demanda de la fuente las potencias activa y reactiva, expresadas en las ecuaciones (1.15.37) y (1.5.38) respectivamente, las que por conveniencia se repiten seguidamente. 𝑃𝑜 = 𝑉1 𝐼𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑜 ) (W)

(2.5.17)

La potencia reactiva que demanda el circuito está dada por: 𝑄𝑜 = 𝑉1 𝐼𝑜 𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑜 )

(Var)

(2.5.18)

La potencia activa expresada en la ecuación (2.5.17), puesto que el transformador opera en vacío, se convierte en pérdidas magnéticas y en la resitencia del devanado primario, o sea: 𝑃𝑜 = 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝐼𝑜2 𝑅1 (W)

(2.5.19)

Ejemplo 2.5.1: Un transformador de dos devanados tiene los siguientes datos: N1=114 Vueltas N2=1189 Vueltas R1=0.103 Ohm X1=0.15 Ohm. El transformador fue alimentado con un voltaje de 240 V y en la operación en vacío demandó una potencia 𝑃𝑜 =50 W y una corriente 𝐼𝑜 =1.125 A. Calcule. a) La fuerza electromotriz inducida en el devanado primario b) La Relación de transformación c) La fuerza electromotriz inducida en el devanado secundario. Resolución. a)

Con el propósito de utilizar el diagrama fasorial mostrado en la figura 2.5.6, y considerar el voltaje aplicado como referencia, los ejes reales e imaginarios quedan situados como se representan en la figura 2.5.8 El ángulo que forma la corriente respecto al voltaje aplicado se obtiene mediante la ecuación (2.5.17): 50 = (240)(1.125)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑜

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑜 = 0.1852

𝜃𝑜 = 79.3272°

De acuerdo con el resultado anterior, la corriente de vacío se puede escribir fasorialmente según el diagrama fasorial de la figura 2.5.8 como: 𝐼𝑜 = 1.125 < −79.3272 (A). De la ecuación (2.5.14) queda: 240 = 1.125 < −79.3272(0.103 + 𝑗0.15) + (−𝐸1 ) −𝐸1 = 239.8127 + 𝑗0.008259 = 239.8127 < 0.0197° (𝑉)

El resultado anterior significa que el módulo de la fuerza electromotriz presenta el valor 𝐸1 = 239.8127 (𝑉) y que se adelanta al voltaje aplicado el ángulo 𝛿 = 0.0197 Puede comprobarse que en la operación en vacío del transformador real la fuerza electromotriz prácticamente coincide con el voltaje aplicado. b) De acuerdo con la ecuación (2.3.5), para las vueltas dadas se cumple la siguiente relación de transformación: 𝑎=

114 = 0.0959 1189

Obsérvese que la relación de transformación es inferior a la unidad, lo que significa que el transformador es de subida. c) Aplicando de nuevo la ecuación (2.3.5) se obtiene el valor de la fuerza electromotriz inducida en el devanado secundario. 𝐸 239.8127 𝐸2 = 1 = = 2500.7 (𝑉) 𝑎 0.0959 Puesto que el transformador opera en vacío en estas condiciones, el voltaje en el secundario coincide con la fuerza electromotriz como se expresa en la ecuación (2.5.15), es decir 𝑉2 = 2500.7 (𝑉)

𝜙

Eje real (+)

𝜙𝑑1 V1

𝐼𝑜 𝑍1

𝐼𝑜 𝜃𝑜

𝐼𝑜𝑟 = Iϕ Ed1

𝛿

E1

Io𝑅1 -E1 𝐼𝑜 𝑋1

E2=V2

𝐼𝑜𝑎

Eje Imaginario (+)

Figura 2.5.8: Diagrama fasorial en vacío considerando el eje positivo real coincidente con el voltaje aplicado 𝑽𝟏

2.6Transformador real . Operación con carga. Para comprender la operación del transformador real con carga se partirá de lo estudiado en el epígrafe 2.4 referente al transformador ideal. Además se considera que al transformador mostrado en la figura 2.5.7 se le conecta una carga Zc en sus terminales del secundario, tal como se muestra en la figura 2.6.1. En estas condiciones por el secundario circulara la corriente I2 dada por: 𝑉 𝐼2 = 2 𝑍𝑐 Donde:

(2.6.1)

𝑉2 - Voltaje en los terminales del transformador aplicado a la carga (V) 𝐼2 – Corriente por el devanado secundario y por la carga (A) 𝑍𝑐 - Impedancia de la carga (Ohm) Se considerará que el voltaje aplicado 𝑉1 y por tanto el flujo 𝛷 se mantengan constantes, para cumplir con la ecuación (2.4.1), por lo que al circular la corriente I2 por el devanado secundario, tal como se explico en el epígrafe 2.4, debe aparecer una componente 𝐼2′ de la corriente de carga por primario, que compense el efecto desmagnetizante de la corriente 𝐼2 . Es por ello que también en el transformador real con carga deben cumplirse las ecuaciones (2.4.2) y (2.4.5). Puesto que en vacío por el primario circula la corriente de excitación 𝐼𝑜 , al aparecer carga, por este devanado está la corriente total está determinada por la siguiente suma fasorial, tal como se muestra en la figura (2.6.1): 𝐼1 = 𝐼𝑜 + 𝐼2′ (A)

(2.6.2)

Bajo las condiciones de carga, para determinar el voltaje en los terminarles del secundario debe partirse de que la fuerza electromotriz 𝐸2 constituye una fuente para este circuito, tal como se representa en la figura 2.6.1, por ello, es necesario restarle a la fuerza electromotriz 𝐸2 , la caída por impedancia interna 𝑍2 en el devanado, por lo que se cumple la siguiente ecuación: 𝑉2 = 𝐸2 − 𝐼2 𝑍2 (V) (2.6.3) De igual forma en el devanado primario, el voltaje 𝑉1 aplicado por la fuente, debe compensar la caída interna en la impedancia 𝑍1 y la fuerza contraelectromotriz 𝐸1 cumpliéndose la siguiente ecuación. V1 = I1 Z1 + (−E1 ) (V)

(2.6.4)

De acuerdo con las ecuaciones (2.6.2), (2.6.3) y (2.6.4) se puede construir el diagrama fasorial del transformador real con carga, presentado en la figura 2.6.2. Para construir este diagrama se recomienda tomar como referencia el voltaje 𝑉2 y a partir de éste obtener todo el comportamiento hasta determinar el voltaje 𝑉1 a aplicar por la fuente. Para ello se supondrá que la carga presenta un factor de potencia en atraso, es decir que la corriente se atrasa el ángulo 𝜃2 , el cual se determina mediante la ecuación (2.4.6). Si al voltaje 𝑉2 se le suma la caída interna del devanado 𝐼2 𝑍2 , se obtiene lo fuerza electromotriz 𝐸2 , para cumplir con la ecuación (2.6.3). Obsérvese que debe situarse la caída de voltaje en la resistencia en fase con la corriente y en la reactancia adelantada 90° de esta corriente. Determinada la fuerza electromotriz 𝐸2 se halla 𝐸1 mediante la

ecuación (2.3.5) suponiendo conocida la relación de vueltas. Puesto que las fuerzas electromotrices 𝐸1 𝑦 𝐸2 son inducidas por el mismo flujo mutuo 𝜙, estas deben situarse en fase. El flujo mutuo debe ser situado a 90° en adelanto de las fuerzas electromotriz 𝐸1 de acuerdo con lo visto anteriormente. Para obtener el voltaje 𝑉1 a aplicar por la fuente, se emplea la ecuación (2.6.4), siendo necesario previamente determinar la corriente 𝐼1 . Para ello debe tenerse en cuenta la ecuación (2.6.2). Para ello se coloca la corriente de vacío 𝐼𝑜 dada por sus componentes activa 𝐼𝑜𝑎 en fase con la fuerza electromotriz −𝐸1 y reactiva 𝐼𝑜𝑟 ,en fase con el flujo mutuo. La corriente 𝐼2′ se coloca a 180° de la corriente 𝐼2 dividida por la relación de transformación tal como fue estudiado en el epígrafe (2.4).

Figura 2.6.1: Transformador real con carga

𝜙 𝐼1 𝐼2 𝑍2

𝐼𝑜 −𝐼 𝐼2′ = 2 𝑎 𝐼1 𝑅1

𝐼1 𝑋1

𝐼𝑜𝑟 -E1

𝛳1

𝛿 V1

E2

E1

𝐼𝑜𝑎

𝛳2

𝐼1 𝑍1

V2

I2

Figura 2.6.2: Diagrama fasorial del transformador real con carga. Ejemplo 2.6.1: Un transformador monofásico de dos devanados tiene los siguientes datos.

𝐼2 𝑋2

𝐼2 𝑅2 90°

𝑅1 = 1.38 𝑂ℎ𝑚 𝑅2 = 0.0138 𝑂ℎ𝑚 𝑋1 = 5 𝑂ℎ𝑚 𝑋2 = 0.05 𝑂ℎ𝑚 𝑎=

𝑁1 𝑉1 2400 = = = 10 (𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑐í𝑜) 𝑁2 𝑉2 240

El transformador alimenta una carga con un voltaje 𝑉2 = 240 𝑉 y ésta demanda una corriente 𝐼2 = 100 (𝐴)que se atrasa 30° del voltaje. Cuando el transformador se alimenta en vacío por el lado de alta, demanda una corriente 𝐼𝑜 = 0.32 𝐴 y esta se atrasa 80° del voltaje aplicado. Halle: a) b) c) d) e)

La fuerza electromotriz inducida en el devanado secundario La fuerza electromotriz inducida en el devanado primario. La corriente por el devanado primario El voltaje a aplicar por la fuente. El factor de potencia visto desde los terminales del primario

Resolución. a) Para la solución del problema, se tomará como referencia el voltaje 𝑉2 aplicado a la carga, según se muestra en el diagrama fasorial de la figura 2.6.3. De acuerdo con esto, se pueden escribir en forma fasorial las magnitudes del secundario, o sea: 𝑉2 = 240 < 0° (𝑉)𝐼2 = 100 < −30° (𝐴) 𝑍2 = 0.0138 + 𝑗0.05 = 0.0519 < 74.57° (𝑂ℎ𝑚) De la ecuación (2.6.3) se obtiene: 𝐸2 = 𝑉2 + 𝐼2 𝑍2 = 240 + (100 < −30°)(0.0519 < 74.57°) 𝐸2 = 240 + 3.6951 + 𝑗3.64 = 243.72 < 0.86° (𝑉) De los resultados obtenidos, la fuerza electromotriz 𝐸2 se adelanta al voltaje 𝑉2 el ángulo 𝛿2 = 0.86°. b) La fuerza electromotriz inducida en el devanado primario se obtiene aplicando la ecuación (2.3.5) 𝐸1 = (243.72)(10) = 2437.2 (V). Puesto que las fuerzas electromotrices 𝐸1 y 𝐸2 están en fase, como fasor se tiene: 𝐸1 = 2473.2 < 0.86° c) El valor eficaz de la corriente del secundario referida al primario, se determina mediante la ecuación (2.4.5): 100 𝐼2′ = = 10 (𝐴) 10

Esta corriente debe ser escrita como fasor respecto a la referencia 𝑉2 , o sea: 𝐼2′ = 10 < 150° (𝐴) De acuerdo con los datos, la corriente de vacío se atrasa 80° respecto al voltaje aplicado en este estado. Si considerará la caída de voltaje despreciable , es decir, 𝑉1 = −𝐸1 , entonces se puede suponer que entre la fuerza electromotriz −𝐸1 y la corriente 𝐼𝑜 existe el mismo ángulo de 80° por lo que ésta forma un ángulo de 10° respecto al flujo, tal como se muestra en el diagrama fasorial de la figura 2.6.3. Por ello, respecto a la referencia la corriente 𝐼𝑜 forma el ángulo 10+90+0.86=100.86°. Así como fasor se cumple: 𝐼𝑜 = 0.32 < 100.86° (A). De acuerdo con la ecuación 2.6.2, la corriente del devanado primario está dada por: 𝐼1 = 10 < 150° + 0.32 < 100.86° = −8.8603 + 𝑗5 − 0.06 + 𝑗0.3143 𝐼1 = −8.7205 + 𝑗 5.3143 = 10.212 < 148.64° (A) d) La impedancia de dispersión del devanado primario se expresa mediante: 𝑍1 = 1.38 + 𝑗5 = 5.1869 < 74.57° De acuerdo con la ecuación (2.6.4)el voltaje a aplicar al primario está dado por: 𝑉1 = −2437.2 < 0.86° + (10.212 < 148.64)(5.1869 < 74.57) 𝑉1 = −2475.6 − 𝑗72.67 = 2476.6 < −178.72° (𝑉) En el diagrama fasorial de la figura 2.6.3 se muestra todos los valores angulares obtenidos anteriormente. e) Para determinar el ángulo que forma la corriente 𝐼1 respecto al voltaje 𝑉1 es conveniente tomar del diagrama fasorial de la figura 2.6.3, la parte correspondiente mostrada en la figura 2.6.4, de donde se cumple : f) 𝜃1 = 360 − 178.72 − 148.64 = 32.64° El factor de potencia está dado por: fp=cos(32.64)=0.8421

𝜙

90° 10°

𝐼1

𝛿2 = 0.86° 10 + 90 + 0.86 =100.86

148.64° 150°

−𝐼 𝐼2 = 2 𝑎

𝐼2 𝑍2

′

𝐼1 𝑋1

𝐼𝑜 𝐼1 𝑅1

E2 E1

𝛳1

-E1

𝛳2 = 30°

V2

−178.72° V1

𝐼1 𝑍1

90°

I2

Figura 2.6.3: Diagrama fasorial del transformador real con carga, correspondiente al ejemplo 2.6.

𝐼1

148.64° 𝛉𝟏 𝑉2 178.72° 𝑉1 Figura 2.6.4: Diagrama fasorial para determinar el ángulo 𝜽𝟏

𝐼2 𝑋2

𝐼2 𝑅2

Ejemplo 2.6.2: Confeccione un programa en Lenguaje Matlab que permita determinar el voltaje 𝑉1 aplicado por la fuente para diferentes valores del factor de potencia de la carga, correspondiente al transformador del problema 2.6.1, considerando que se desea mantener el voltaje aplicado a la carga al valor constante 𝑉2 = 240 𝑉 El programa debe permitir el trazado de las siguientes características, para una corriente fija 𝐼2 = 100 (𝐴) a) Voltaje 𝑉1 vs ángulo 𝜃2 b) Voltaje 𝑉1 vs factor de potencia de la carga. Resolución. A continuación se muestra el código del programa elaborado. % TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS DEVANADOS %ARCHIVO: TRANSFORMADOR1 % EJEMPLO: 2.6.2 clc clearall cita2=-90:5:90; % Angulo de la corriente en la carga respecto al voltaje V2 R1=input('Resistencia del devanado de alta (Ohm) R1='); X1=input('Reactancia del devanado de alta (Ohm) X1='); R2=input('Resistencia del devanado de baja (Ohm) R2='); X2=input('Reactancia del devanado de baja (Ohm) X2='); V2= input('Voltaje a aplicar a la carga (V) V2='); a= input('Relación de transformación a='); I2= input('Corriente por la carga I2 (A) I2='); % Módulo de la corriente en la carga Io=input('Corriente de vacio (A) Io='); citao= input('Angulo que forma la corriente de vacio con el voltaje V1 (grados) citao='); Z2=R2+X2*i; Z1=R1+X1*i; fp2=cosd(cita2); cita2r=cita2*pi/(180); % Convierte grados a radianes I2c=I2*exp(cita2r*i); % Fasor de corriente en la carga E2=V2+I2c*Z2; E2a=abs(E2); E1=a*E2; delta2=angle(E2)*180/pi; cio=90+10+delta2; I2p=-I2c/a; Ioc=Io*cosd(cio)+Io*sind(cio)*i; I1=I2p+Ioc; I1m=abs(I1); Ci1=angle(I1)*180/pi; V1=-E1+I1*Z1; Civ1=angle(V1)*180/pi; cita1=Ci1-Civ1; V1a=abs(V1); % Modulo del voltaje aplicado por la fuente

fp=cosd(cita1); plot(fp2,V1a,'-*') title('VOLTAJE V1 vs FACTOR DE POTENCIA DE LA CARGA') gridon xlabel ('Factor de potencia'); ylabel('Voltaje de la fuente (V)'); set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause plot(cita2,V1a,'-*') title('VOLTAJE V1 vs ANGULO DE LA CORRINTE EN LA CARGA') gridon xlabel ('Ángulo de la corriente I2 (grados)'); ylabel('Voltaje de la fuente (V)'); set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') En las figura 2.6.5-a se muestran los valores del voltaje 𝑉1 que debe aplicarse para diferentes ángulos de la corriente de carga, considerando que el voltaje aplicado a la carga se mantiene constante, al valor 𝑉2 = 240 𝑉 Como puede observarse, para un valor de ángulo aproximado a los 60° debe aplicarse el mayor voltaje por primario, aspecto que será estudiado posteriormente. Además se puede comprobar que para ángulos positivos de la corriente, es decir factores de potencia en adelanto, es necesario aplicar valores bajos de voltaje por la fuente. En la figura 2.6.5.-b se puede comprobar que para un dado valor de factor de potencia, le corresponden dos valores del voltaje de la fuente, excepto para el caso en que este factor sea próximo a la unidad. A partir de esta condición se obtiene la parte superior de la característica, correspondiendo a factores de potencia en atraso. La parte inferior corresponde a factores de potencia en adelanto. Puede comprobarse que el máximo voltaje a aplicar por la fuente se corresponde con un factor de potencia de valor 0.5 en atraso, lo que se corresponde con un ángulo de la corriente igual a 60°, cumpliendo esto con obtenido en la figura 2.6.5-a.

Figura 2.6.5-a: Característica correspondiente al ejemplo 2.6.2 inciso a. V2=240 V

Figura 2.6.5-b: Característica correspondiente al ejemplo 2.6.2 inciso b. V2=240 Ejemplo 2.6.3: Confeccione un programa en Lenguaje Matlab que permita determinar el voltaje 𝑉1 aplicado por la fuente en función de la corriente por la carga, para los siguientes valores de ángulo: 𝜃2 = −30° 𝜃2 = 0° 𝜃2 = 30° , correspondiente al transformador del problema 2.6.1. Las tres características deben ser colocadas en un mismo gráfico.

Considérese que se desea mantener constante el voltaje aplicado a la carga al valor 𝑉2 = 240 𝑉 Resolución Para la solución del problema se tomarán valores de corriente por la carga desde valor cero hasta 100 A A continuación se presenta el código del programa elaborado. % TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS DEVANADOS %ARCHIVO: TRANSOFORMADOR2 % EJEMPLO: 2.6.3 clc clearall R1=input('Resistencia del devanado de alta (Ohm) R1='); X1=input('Reactancia del devanado de alta (Ohm) X1='); R2=input('Resistencia del devanado de baja (Ohm) R2='); X2=input('Reactancia del devanado de baja (Ohm) X2='); V2= input('Voltaje a aplicar a la carga (V) V2='); a= input('Relación de transformación a='); Io=input('Corriente de vacio (A) Io='); citao= input('Angulo que forma la corriente de vacio con el voltaje V1 (grados) citao='); In=input('Corriente Nominal (A)In='); cita2=-30; I2=0:10:In; for J=1:3; for I=1:length(I2); Z2=R2+X2*i; Z1=R1+X1*i; fp2=cosd(cita2); cita2r=cita2*pi/180; % Convierte grados a radianes. I2c=I2(I)*exp(cita2r*i);% Fasor de corriente en la carga E2=V2+I2c*Z2; E2a=abs(E2); E1=a*E2; delta2=angle(E2)*180/pi; cio=90+10+delta2; I2p=-I2c/a; Ioc=Io*cosd(cio)+Io*sind(cio)*i; I1=I2p+Ioc; I1m=abs(I1); Ci1=angle(I1)*180/pi; V1=-E1+I1*Z1; Civ1=angle(V1)*180/pi; cita1=Ci1-Civ1; V1a(I,J)=abs(V1); % Modulo del voltaje aplicado por la fuente fp=cosd(cita1); end

cita2=cita2+30; end plot(I2,V1a,'-*') title('VOLTAJE V1 vs I2') gridon xlabel ('Corriente por el secundario (A)'); ylabel('Voltaje de la fuente (V)'); legend('cita2=-30','cita2=0','cita2=30') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') En la figura 2.6.6 se muestran las características obtenidas de la corrida al programa. Como puede observarse para cualquier valor dado de corriente, si el ángulo 𝜃2 es negativo (factor de potencia en atraso), es necesario aplicar un voltaje mayor desde la fuente si se compara con el correspondiente para el ángulo positivo (factor de potencia en adelanto)

Figura 2.6.6: Características correspondientes al ejemplo 2.6.3. V2=240 V

2.7 Valores nominales de los transformadores Los valores nominales de un transformador son aquellos para los que ha sido diseñado con los que puede operar durante un prolongado tiempo, entre 15 y 20 años, sin que sufra daños. El transformador puede sufrir dos tipos de daños. El primero es relativo a la perforación del aislamiento debido a un voltaje por encima del nominal, ocurriendo ello por superar la rigidez dieléctrica de dicho aislamiento. El segundo está relacionado con el calentamiento que experimentan los aislamientos. La temperatura de trabajo de la máquina esta fijada, para unas condiciones de enfriamiento dadas, por las pérdidas en los devanados ( las cuales dependen de las corrientes por los mismos) y en el núcleo (las que dependen del flujo y por tanto del voltaje y la frecuencia) Por todo esto, se definen cuatro valores nominales principales: voltaje, corriente, potencia aparente, y frecuencia. A continuación se explica cada uno de ellos y la importancia que representan en la operación del transformador. Volores nominales de voltaje y frecuencia. Los valores nominales de voltaje y frecuencia están estrechamente relacionados, puesto que los mismos determinan las condiciones magnéticas del transformador. El voltaje nominal está relacionado con dos aspectos. El primero es relativo a que no debe superar la regidez dieléctrica de los aislamientos. El segundo se refiere a la relación que existe entre el voltaje , la frecuencia y el flujo, expresada en las ecuaciónes 1.15.9 o 2.4.1. Basado en estas ecuaciónes, cuando se diseña el transformador el voltaje y la frecuencia de diseños nominales implican un flujo nominal, el cual no debe superar las condiciones de saturación del circuito magnético. Para comprender este fenómeno, el lector debe revisar el ejemplo 1.15.1. Si en este ejemplo se considera que el devanado primario del transformador se diseña considerando como voltaje nominal el valor V1=220 V y frecuencia nominal f=60 Hz, considerando la frecuencia fija, un aumento del voltaje al valor 264 V implica un aumento de 5.5 veces la corriente de excitación. El voltaje máximo a aplicar ( y por tanto el voltje nominal) queda fijado para una frecuencia nominal , por las condiciones magnéticas del núcleo, lo que implica un valor aceptable de la corriente de excitación. Un valor excesivo de esta corriente implica alto un calentamiento en el devanado primario del transformador. Además la aplicación de un voltaje por encima del nominal implica un aumento proporcional del flujo y por tanto de las pérdidas magnéticas, lo que también conduce a un exceso de calentamiento. El tiempo de vida del transformador , está determinado por la temperatura a que se encuentra sometido el aislamiento, considerando que no se viole la ridigidez dieléctrica del mismo. Al diseñarse el transformador debe tenerse en consideración que las pérdidas totales no provoquen un calentamiento por encima del permitido por el aislamiento, con ello se ganrantiza un tiempo de vida prolongado de la máquina. La temperatura máxima permisible del aislamiento junto con el sistma de enfriamiento del transformador fijan las máximas pérdidas totales del transformador. En los transformadores de dos devanados, al fijarse el voltaje nominal por primario, queda también fijado el del secundario, los cuales se relación mediante la ecuación (2.3.6), la que se escriba convenientemente como sigue: 𝑉1 𝑁1 = =𝑎 𝑉2 𝑁2

(2.7.1)

Valor de Corriente nominal. Temperatura nominal La corriente nominal del transformador es la que puede circular continuamente sin que se produzcan pérdidas en los devanados que sobrepasen la temperatura máxima permisible del aislamiento (temperatura nominal). Para un transformador de dos devanados en cada uno de ellos existe un valor dado de corriente nominal. En transformadores de potencia para definir los valores nominales de corriente en los diferentes devanados se desprecia la corriente de vacío por lo que estas corrientes están relacionadas por la siguiente ecuación (2.4.11) la cual se repite a continuación 𝐼 𝐼1 = 2 𝑎

(2.7.2)

Potencia aparente nominal La potencia aparente nominal del transformador se obtiene como el producto del voltaje nominal por la corriente nominal. Para un transformador monofásico de dos devanados esta se detemina mediante: S = V2 I2

(V.A)

(2.7.3)

En los transfomadores de potencia, se desprecia la corriente de vacío por lo que al tenerse en cuenta la ecuación (2.4.14) se obtiene también la siguiente expresión de la potencia nominal expresada en función de las mágnitudes del devanado primario: S = V1 I1 (V.A)

(2.7.4)

Donde: S. Potencia total o aparente nominal (VA) 𝐼1 , 𝐼2 - Corrente nominal por los devanos primario y secundario respectivamente.(A) 𝑉1 , 𝑉2 - Voltaje nominales del primario y secundario respectivamente (V) En las ecuaciónes anteriores, el valor del voltaje y de la corriente se corresponen con los valores nominales. Puesto que el tiempo de vida del tranformador y por tanto su potencia nominal queda fijado por la máxima temperatura a que está sometido el aislamiento, la ventilación forzada mediante ventiladores externos, resulta ser un medio efectivo para aumentar la potencia. Así ,la máquina puede presentar diferentes valores nominales de potencia o de corrientes. Un transformador con enfriamiento forzado presenta una potencia mayor y por tanto se le puede suministrar más corriente a la carga y con ello permitirse un valor mayor de pérdidas en los devanados, con los ventiladores en funcionamiento, con ello se mantiene el mismo nivel de temperatura. Placa de datos del transformador

El transformador posee una placa de datos en la cual se sumistra entre otros datos la potencia nominal en kVA o VA, la frecuencia y la relación de voltajes en los devanados. Este último dato refleja la relación de voltajes en vacío. Ejemplo 2.7.1 Un transoformador monofásico de dos devanados presenta los siguientes datos nominales de placa. 𝑉1 = 2400 𝑉

𝑉2 = 240 𝑉 𝑆 = 10 𝑘𝑉𝐴

Calcular las corrintes nominales de los devanado primario y secundario Resolución De la ecuación (2.7.3) se tiene: (10)(1000) = 240𝐼2

𝐼2 = 41.6667 𝐴

La corriente nominal por el devando primario , de acuerdo con la ecuación (2.7.4) está dada por: (10)(1000) = 2400𝐼1 𝐼1 = 4.17 𝐴 Obsérsvese que al estar expresada la potencia en kVA es necesario afectar este valor por 1000 para poder aplicar las ecuaciónes (2.7.3) y (2.7.4) El resultado anterior también puede ser obtenido mediante la ecuación (2.7.2). 2.8 Construcción del transformador. Con la finalidad de que un alto porciento del flujo provocado por el devanado de excitación primario, llegue al devanado secundario, el núcleo del transformador de potencia se construye con un de material ferromgnético de modo que la reluctancia sea lo menor posible. Esto además implica una corriente de excitación baja con valores típicos de 3% de la corriente nominal en transformadores de distribución. Un transformador con núcleo de aire puede demandar una corriente de excitación hasta 5000 veces más grande, si se compara con uno construido con núclelo de acero electrotécnico. Con el objtivo de reducir las pérdidas por corrientes parásitas, el núclo está formado por láminas aisladas de espesor entre 0.3 y 0.7 mm tal como se explicó en el epígrafe 1.15.2. En cuanto a la forma de construcción, los núcleos se clasifican fundamentalmente en dos tipos: tipo núcleo o columna y tipo acorazado. En el tipo columna los devanados son enrollados en dos columnas como se muestra en la figura 2.8.1, aunque con el objtivo de reducir el flujo de dispersión suele enrollarse el devando en forma distribuida, es decir, se coloca una mitad del devando primario sobre otra del devando secunadario en cada una de las columnas. En la figura 2.8.2 se muestra un transformador monofásico tipo acorzado, de donde se observa que tanto el devanado primario como el secundario se colocan en una misma columna (columna central).

En los transformadores que presentan los devanados enrollados uno encima del otro, la bobina de menor voltaje se coloca en la parte interna, es decir más cerca del núcleo. Lo contrario implicaría un mayor gasto de aislamiento del devando de alto voltaje

Figura 2.8.1: Transformador monofásico tipo columna

Figura 2.8.2. Transoformador monofásico tipo acorzado 2.9 Circuito equivalente del transformador En la figura 2.9.1 se representa en forma algo más simplificada el transformador de la figura 2.6.1. Esto constituye una representación circuital del transformador, en el que entre los devanados primario y secundario existe un enlace magnético a través del flujo mutuo. Sin embargo desde el punto de vista eléctrico los devanados se encuentran aislados. Con el objetivo de simplificar los cálculos es conveniente buscar un circuito equivalente que una eléctricamente los devanados primario y secundario y que el mismo quede representado por resistencias y reactancias. Esto resulta de gran importancia cuando se estudia el comportamiento de un sistema en donde intervienen varios transformadores interconectados. Este circuito puede tener las siguientes representaciones.    

Circuito equivalente exacto referido al primario Circuito equivalente aproximado referido al primario Circuito equivalente exacto referido al secundario Circuito equivalente aproximado referido al secundario.

Se estudiará a continuación cada uno de estos circuitos.

Figura 2.9.1: Representación circuital del transformador con los devanados primario y secundario separados eléctricamente.

2.9.2: Representación circuital del transformador en vacío Circuito equivalente exacto referido al primario Veremos que el circuito puede ser representado con las ramas de magnetización en para o en serie, obteniéndose iguales resultados en ambos casos. Circuito exacto con la rama de magnetización en paralelo El término exacto significa que el circuito representa al transformador sin despreciar ningún elemento del transformador real. Veremos que referido al primario significa que las cantidades del primario no se modifican y las del secundario, se alteran o se refieren al primario. Para determinar este circuito equivalente se parte de la representación circuital mostrada en la figura 2.9.1, pero con el transformador operando en vacío tal como se muestra en la figura 2.9.2.Además será empleado el diagrama fasorial mostrado en la figura 2.5.6. La primera modificación que se llevará a cabo es sustituir la fuerza electromotriz del primario 𝐸1 por parámetros eléctricos. Para ello entre los puntos a y b serán colocados una reactancia y una resistencia de valores tales que al multiplicar la corriente por la impedancia correspondiente, de cómo resultado una caída de voltaje igual a la fuerza electromotriz 𝐸1 . Pero de acuerdo con el diagrama fasorial de la figura 2.5.6, la

componente del voltaje aplicado 𝑉1 igual y opuesta a 𝐸1 , es decir, la caída de voltaje entre los puntos a y b presenta la componente activa de corriente 𝐼𝑜𝑎 en fase y la reactiva 𝐼𝑜𝑟 atrasada 90°. Además estas dos corrientes deben ser sumadas para obtener la corriente total de vacío 𝐼𝑜 . Todo esto sugiere que entre los puntos a y b deben ser colocados una resistencia y una reactancia por donde circulen las componentes activa y reactiva de las corrientes respectivamente, y estos parámetros deben ser colocadas en paralelo, para buscar una resultante de corriente igual a la suma de las componentes. Con esto, se obtiene un primer paso del circuito equivalente, tal como se muestra en la figura 2.9.3, donde solamente se ha representado el circuito del devanado primario. A la rama formada por la resistencia Rm y reactancia Xm se le denomina rama de magnetización del circuito. Obsérvese que iguales resultados fueron obtenidos en el epígrafe 1.15. Igualmente debe señalarse que en la resistencia Rm se disipa una potencia igual a las pérdidas magnéticas en el núcleo. El próximo paso para completar el circuito equivalente es determinar la conexión de los devanados primario y secundario. Para ello se parte de la ecuación (2.6.2), la cual se repite a continuación: 𝐼1 = 𝐼𝑜 + 𝐼2′ (A)

(2.9.1)

Figura 2.9.3: Circuito equivalente del tranformador en vacío. De acuerdo con la anterior ecuación, para obtener la corriente 𝐼1 por el devanado primario, cuando se alimenta una carga, el circuito de la figura 2.9.3 debe modificarse añadiendo una rama de impedancia Z en paralelo con la rama de magnetización por donde circule 𝐼2′ , tal como se muestra en la figura (2.9.4). Por tanto el próximo paso es determinar el valor de la impedancia Z y con ello obtener el circuito equivalente definitivo. Para ello se partirá del circuito mostrado en la figura 2.9.1, de donde se obtiene que la corriente que circula por el devanado secundario está dada por: 𝐼2 =

𝐸2 𝑍2 + 𝑍𝑐

(2.9.2)

La ecuación (2.9.2) se divide en ambos miembros por la relación de transformación a y se obtiene:

𝐼2 𝐸2 = 𝑎 𝑎(𝑍2 + 𝑍𝑐)

(2.9.3)

Si el numerador y el denominador de la ecuación (2.9.3) se multiplican por la relación de transformación se obtiene: 𝐼2 𝑎𝐸2 = 2 𝑎 𝑎 (𝑍2 + 𝑍𝑐)

(2.9.4)

Al tomarse en tomarse en consideración las ecuaciones (2.3.6) y (2.4.5), la ecuación (2.9.4) se puede escribir como: 𝐸1 𝐼2′ = 2 𝑎 (𝑍2 + 𝑍𝑐)

(2.9.5)

La ecuación (2.9.5) expresa que la corriente 𝐼2′ está dada por un voltaje 𝐸1 dividido por una impedancia 𝑎2 (𝑍2 + 𝑍𝑐) , pero como en el circuito de la figura 2.9.4 la corriente 𝐼2′ está determinada por el voltaje 𝑉𝑎𝑏 = 𝐸1 , entonces se cumple que: 𝑍 = 𝑎2 (𝑍2 + 𝑍𝑐) (2.9.6) De todo lo anterior se obtiene el circuito equivalente definitivo mostrado en la figura 2.9.5. En la figura 2.9.6 se muestra el mismo circuito por con la impedancia del secundario separada en sus partes reales e imaginarias. En estos circuitos se cumplen las siguientes ecuaciones: ′ = 𝑎2 𝑅 (𝑂ℎ𝑚) 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑅2 2 ′ 𝑋2 = 𝑎2 𝑋2 (𝑂ℎ𝑚) 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 ′ + 𝑗𝑋 ′ (Ohm) Impedancia del secundario referida al primario 𝑍2′ = 𝑅2 2 𝑍1 = 𝑅1 + 𝑗𝑋1 (Ohm) Impedancia del devanado primario 𝑍2 = 𝑅2 + 𝑋2 𝑗 Impedancia del secundario (Ohm) 𝐼 𝐼2′ = 2 (𝐴) 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 ′ 𝑉2 = 𝑎𝑉2 (𝑉) 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝐸1 = 𝑉2′ + 𝐼2′ 𝑍2′ (V) Fuerza electromotriz inducida en el devanado primario 𝑉1 = 𝐸1 + 𝑍1 (V) Voltaje de la fuente de alimentación 𝐸 𝐼𝑜𝑎 = 1 𝑅𝑚 𝐸 𝐼𝑜𝑟 = 1 𝑋𝑚 𝐼𝑜 = 𝐼𝑜𝑎 + 𝑗𝐼𝑜𝑟 (A) En el circuito de la figura 2.9.6 se cumple:

(2.9.7)

𝑉2′ = 𝐼2′ 𝑎2 𝑍𝑐

(2.9.8)

El voltaje aplicado a la carga está dado por: 𝑉2 = 𝐼2 𝑍𝑐

(2.9.9)

Se sustituye la ecuación (2.9.10) en la (2.9.8) y teniendo en cuenta que la ecuación 2.4.5, se obtiene: 𝑉2′ = 𝑎𝑉2

(2.9.10)

Figura 2.9.4: Circuito equivalente con carga, con impedancia Z simulando el efecto de la carga.

Como puede comprobarse en el circuito equivalente referido al primario, las magnitudes del primario no se alteran. Sin embargo las del secundario son alteradas o referidas al primario. Para referir las cantidades del secundario al primario debe: multiplicarse las impedancias por la relación de transformación al cuadrado, la corriente dividirse por la relación de transformación y los voltajes multiplicarse por la relación de transformación. Todo esto queda expresado en el sistema de ecuaciones 2.9.7.

Figura 2.9.5: Circuito equivalente exacto referido al primario. En la figura 2.9.7 se muestra el diagrama fasorial del transformador, en correspondencia con el circuito equivalente de la figura 2.9.6. Para construir este diagrama se considera el voltaje 𝑉2′ como fasor de referencia. Se ha supuesto que la corriente 𝐼2′ se atrasa el ángulo 𝜃2 fijado por la carga y determinado por la ecuación 2.4.6. A partir del voltaje

se suma la caída por impedancia del secundario referida al primario y se obtiene la fuerza electromotriz 𝐸1 , mediante: 𝐸1 = 𝑉2′ + 𝐼2′ 𝑍2′ (V)

(2.9.11)

Situado el fasor 𝐸1 , colocan las componentes de la corriente 𝐼𝑜 , la activa 𝐼𝑜𝑎 en fase con 𝐸1 y atrasada 90° la componente reactiva 𝐼𝑜𝑟 . Posteriormente se determina la corriente por el devanado primario mediante la ecuación (2.9.1). Conocida la corriente 𝐼1 , se determina el voltaje necesario a aplicar por la fuente, mediante la siguiente ecuación fasorial: 𝑉1 = 𝐸1 + 𝐼1 𝑍1 (V)

(2.9.12)

Figura 2.9.6: Circuito equivalente exacto referido al primario. Rama de magnetización en paralelo

Circuito exacto con la rama de magnetización en serie Se ha demostrado como obtener el circuito equivalente exacto referido al primario con los parámetros de la rama de magnetización conectados en paralelo, tal como se muestra en la figura 2.9.6. También es conveniente representar los parámetros de esta rama de magnetización conectados en serie, tal como fue estudiado en el epígrafe 1.15, según se muestra en la figura 2.9.8. Para ello debe hacerse la transformación serie paralelo correspondiente. Si se emplea este circuito equivalente, la corriente de excitación debe determinarse mediante: 𝐸 𝐼𝑜 = 1 (𝐴) 𝑍𝑚 Donde: 𝑍𝑚 = 𝑅𝑚 + 𝑗𝑋𝑚

(2.9.13)

𝛿2

E1

V1

𝛿1 𝐼1 𝑍1 𝐼𝑜𝑎 𝛳2

𝐼𝑜𝑟

𝛳1

V2’ 𝐼′2 𝛳 3

𝐼′2 𝑋′2

𝐼′2 𝑅′2

𝐼1 𝑋1

𝐼1 𝑅1

𝐼′2 𝑍′2

90° 𝐼𝑜 𝐼1 90°

Figura 2.9.7: Diagrama fasorial correspondiente al circuito equivalente de la figura 2.9.6

Figura 2.9.8: Circuito equivalente exacto referido al primario. Rama de magnetización en serie Ejemplo 2.9.1: Un transformador monofásico de dos devanados de 25 kVA tiene los siguientes datos. 𝑅1 = 1.38 𝑂ℎ𝑚 𝑅2 = 0.0138 𝑂ℎ𝑚 𝑋1 = 5 𝑂ℎ𝑚 𝑋2 = 0.05 𝑂ℎ𝑚 𝑅𝑚 = 1106 𝑂ℎ𝑚 (Rama en serie por el lado de alta)

𝑋𝑚 = 7600 𝑂ℎ𝑚 (Rama en serie por el lado de alta) 𝑎=

𝑁1 𝑉1 2400 = = = 10 (𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑐í𝑜) 𝑁2 𝑉2 240

El transformador alimenta una carga con un voltaje 𝑉2 = 240 𝑉 y ésta demanda la corriente nominal la cual se atrasa 30° del voltaje. Halle empleando el circuito equivalente exacto referido al primario: a) b) c) d)

La fuerza electromotriz inducida en el devanado primario. La corriente por el devanado primario El voltaje a aplicar por la fuente. El factor de potencia visto desde los terminales del primario.

Resolución a) Para determinar el comportamiento del transformador se tomará como referencia el voltaje aplicado a la carga. Del sistema de ecuaciones (2.9.7) se determina la impedancia de dispersión del devanado secundario, referida al primario. Así: ′ = (102 )(0.0138) = 1.38 𝑂ℎ𝑚𝑋 ′ = (102 )(0.05) = 5 𝑂ℎ𝑚 𝑅2 2 𝑍2′ = 1.38 + 𝑗5 = 5.1869 < 74.57° (Ohm) La corriente nominal por secundario, se obtiene de la ecuación (2.7.3): 𝐼2 =

(25)(1000) = 104.1667 (𝐴) 240

También del sistema (2.9.7), la corriente del secundario referida al primario está dada por: 𝐼2′ =

104.1667 = 10.42 (𝐴) 10

Puesto que la corriente se atrasa 30° del voltaje aplicado, según los datos, se debe expresar mediante fasor como: 𝐼2′ = 10.42 < −30° (A). De la ecuación (2.9.10), el voltaje del secundario referido al primario está dado por: 𝑉2′ = (10)(240) = 2400 (𝑉)

De acuerdo con la ecuación (2.9.11), la fuerza electromotriz inducida en el devanado primario está dada por: 𝐸1 = 2400 + (10.42 < −30)(5.1869 < 74.57°) 𝐸1 = 2438.5 + j37.918 = 2438.8 < 0.9° (𝑉) Del resultado anterior se obtiene que la fuerza electromotriz, de acuerdo con el diagrama fasorial de la figura 2.9.7, se adelanta respecto al voltaje 𝑉2′ el valor angular: 𝛿2 = 0.9° b) Puesto que los datos de los parámetros de la rama de magnetización corresponden a valores en serie, para determinar la corriente de excitación se debe emplear el circuito equivalente de la figura 2.9.8 de donde se cumple: 𝑍𝑚 = 1106 + 𝑗7600 =7680<81.72° Ohm De la ecuación (2.9.13) se obtiene: 2438.8 < 0.9° 𝐼𝑜 = = 0.0506 − 𝑗0.3135 (𝐴) 7680 < 81.72° 𝐼𝑜 = 0.3175 < −80.83° (𝐴) De la ecuación (2.9.1), la corriente por el devanado primario presenta el valor:

𝐼1 = 0.3175 < −80.83° + 10.42 < −30° = 10.62 < −31.328° (𝐴) c) Para obtener el valor del voltaje de la fuente , es necesario obtener previamente la impedancia de dispersión del devanado primario mediante el sistema de ecuaciones (2.9.7): 𝑍1 = 1.38 + 𝑗5 = 5.1869 < 74.57° De la ecuación (2.9.12) se obtiene: 𝑉1 = 2438.5 + 𝑗37.918 + (10.62 < −31.328° )(5.1869 < 74.57°)(V) 𝑉1 =2478.6+j75.656=2479.8< 1.748° (V). d) De acuerdo con el diagrama fasorial de la figura 2.9.7, el ángulo que forma la corriente por el devanado primario respecto al voltaje de la fuente se determina mediante: 𝜃1 = 𝛿1 + 𝛳3 = 1.748 + 31.328 = 33.076° El factor de potencia pedido está dado por: 𝑓𝑝1 = 𝑐𝑜𝑠(33.076) = 0.8379 Circuito equivalente aproximado referido al primario Puesto que la corriente de vacío 𝐼𝑜 representa un pequeño por ciento de la corriente total 𝐼1 no se introducen errores considerables se la rama de magnetización se desplaza

hacía la fuente. Con esto se obtiene una primera aproximación y el circuito queda según se muestra en la figura 2.9.9. Con el propósito de simplificación, en el circuito (b) se han agrupado los parámetros donde se cumple: ′ 𝑅𝑒′ = 𝑅1 + 𝑎2 𝑅2 = 𝑅1 + 𝑅2

(2.9.13)

𝑋𝑒′ = 𝑋1 + 𝑎2 𝑋2 = 𝑋1 + 𝑋2′

(2.9.14)

𝑍𝑒′ = 𝑅𝑒′ + 𝑗𝑋𝑒′ (Ohm)

(2.9.15)

Donde: 𝑅𝑒′ - Resistencia equivalente referida al primario (Ohm) 𝑋𝑒′ - Reactancia equivalente referida al primario (Ohm) 𝑍𝑒′ - Impedancia de dispersión referida al primario (Ohm)

(a)

(b) Figura 2.9.9: Circuito equivalente aproximado referido al primario. (Primera aproximación). La segunda aproximación del circuito consiste en elimar la rama de magnetización, según se muestra en la figura 2.9.10. En estas condiciones en el circuito no aparecen las pérdidas magnéticas, por lo que con el mismo no se puede realizar un estudio de pérdidas, pués se introducen errores apreciables. Sin embargo este circuito es muy empleado para el estudio de caídas de voltajes no introduciendo errores apreciables.

Figura 2.9.10: Circuito equivalente aproximado referido al primario. (Segunda aproximación). En el circuito mostrado en la figua 2.9.10 se cumple la siguiente ecuación de voltaje. 𝑉1 = 𝑉2′ + 𝐼2′ 𝑍𝑒′ = 𝑉2′ + 𝐼2′ (𝑅𝑒′ + 𝑗𝑋𝑒′ )

(2.9.16)

En la figura 2.9.11 se muestra el diagrama fasorial correspondiente al circuito apxoximado de la figura 2.9.10. Para su construcción se toma como base la ecuación (2.9.15) y a partir del voltaje 𝑉2′ se suma la caída en la impedancia de dispersión 𝑍𝑒′ obteniéndose el voltaje 𝑉1 necesario a aplicar. V1

𝛿 𝜃𝑒 𝛳2 𝐼′2 = 𝐼1

𝛳1

𝑉′2

𝐼′2 𝑅′𝑒

𝐼′2 𝑋′𝑒

𝐼′2 𝑍′𝑒

90°

Figura 2.9.11: Diagrama fasorial correspondiente al circuito equivalente aproximado referido al primario, despreciando la corriente de vacío Ejemplo 2.9.2: Empleando los datos del transformador del ejemplo 2.9.1, determine el voltaje a aplicar por la fuente, utilizando el circuito equivalente aproximado referido al primario. Resolución.

Aplicando las ecuaciones (2.9.13) y (2.9.14)y (2.9.15) se determinan la resistencia , reactancia e impedancia equivalentes de dispersión referidas al primario respectivamente, para los datos dados en el ejemplo 2.9.1: 𝑅𝑒′ = 1.38 + 102 (0.0138) = 2.76 𝑂ℎ𝑚𝑋𝑒′ = 5 + 102 (0.05) = 10 𝑂ℎ𝑚 𝑍𝑒′ = 2.76 + 𝑗10 = 10.38 < 74.57° 𝑂ℎ𝑚. De acuerdo con el resultado anterior, en el diagrama fasorial de la figura 2.9.11 se cumple: 𝜃𝑒 = 74.57° Tomando como referencia el voltaje aplicado a la carga, el voltaje de la fuente aplicando la ecuación (2.9.16) está dado por: 𝑉1 = 2400 < 0° + (10.42 < −30)(10.38 < 74.57°) = 2478 < 1.755° De acuerdo con el diagrama fasorial de la figura (2.9.11) se tiene el siguiente valor angular: 𝛿 = 1.755° Obsérvese que los voltajes de la fuente hallados prácticamente coinciden si se emplean los circuitos exactos y aproximados. Resulta evidente la sencillez en los cálculos si se emplea el circuito aproximado. Debe destacarse que para transformadores pequeños, debido a que la corriente de vacío representa un porciento apreciable respecto a la corriente nominal, al emplearse el circuito aproximado pueden presentarse errores considerables. Además si se requiere hacer un estudio de pérdidas, no puede emplearse el circuito aproximado pues se introducen grandes errores. Circuito equivalente exacto referido al secundario. Como se estudió anteriormente, el término exacto significa que el circuito representa al transformador sin despreciar ningún elemento del transformador real. Además referido al secundario significa que las cantidades del secundario no se modifican y las del primario se alteran o se refieren al secundario. La rama de magnetización puede ser conecta en paralelo o también en serie, tal como se vio más arriba Circuito exacto con la rama de magnetización en paralelo En la figura 2.9.12 se muestra el circuito equivalente del transformador referido al secundario. Como puede observarse, las cantidades del secundario no se modifican, sin embargo las del primario deben referirse al secundario, de forma inversa a como se llevó a cabo cuando el circuito fue referido al primario. Es decir para referir las cantidades al secundario, el voltaje del primario debe dividirse por la relación de transformación, la resitencia y reactancia debe dividirse por la relación de transformación al cuadrado y las corrientes multiplicarse por la relación de transformación. En este circuito se cumplen las ecuaciones del sistema (2.9.17) que se presenta seguidamente.

′′ = 𝑅1 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝑂ℎ𝑚) 𝑅1 𝑎2 𝑋1 𝑋1′′ = 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝑂ℎ𝑚) 𝑎2 ′′ = 𝑅𝑚 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑎𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝑂ℎ𝑚) 𝑅𝑚 𝑎2 𝑋 ′′ = 𝑚 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑎𝑡𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑋𝑚 𝑎2 al secundario (Ohm). 𝐼1′′ = 𝑎𝐼1 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝐴) ′′ = 𝑎𝐼 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐼𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝐴) 𝐼𝑜𝑎 𝑜𝑎 ′′ 𝐼𝑜𝑟 = 𝑎𝐼𝑜𝑟 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐼𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝐴) 𝐼𝑜′′ = 𝑎𝐼𝑜 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑐í𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝐴) ′′ = 𝐸2 𝐼𝑜𝑎 ′′ 𝑅𝑚 ′′ = 𝐸2 𝐼𝑜𝑟 ′′ 𝑋𝑚 𝑉 𝑉1′′ = 1 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝑉) 𝑎

2.9.17

Figura 2.9.12: Circuito equivalente exacto referido al secundario En el circuito equivalente de la figura 2.9.12 se cumplen las siguientes ecuaciones de voltajes. 𝐸2 = 𝑉2 + 𝐼2 𝑍2 = 𝑉2 + 𝐼2 (𝑅2 + 𝑗𝑋2 )

(2.9.18)

𝑉1′′ = 𝐸2 + 𝐼1′′ (𝑅1′′ + 𝑗𝑋1′′ )

(2.9.19)

Circuito exacto con la rama de magnetización en serie

También es conveniente representar los parámetros de la rama de magnetización conectados en serie, según se muestra en la figura 2.9.13. Para ello debe hacerse la transformación serie paralelo correspondiente. Si se emplea este circuito equivalente, la corriente de excitación debe determinarse mediante: 𝐸 𝐼𝑜′′ = ′′2 (𝐴) 𝑍𝑚

(2.9.20)

′′ ′′ ′′ Donde: 𝑍𝑚 = 𝑅𝑚 + 𝑗𝑋𝑚 (2.9.21)

Figura 2.9.13:Circuito equivalente exacto referido al secundario. Rama de magnetización en serie

Circuito equivalente aproximado referido al secundario Puesto que la corriente de vacío 𝐼𝑜′′ representa un pequeño por ciento de la corriente total 𝐼2 no se introducen errores considerables se la rama de magnetización se desplaza hacía la fuente. Con esto se obtiene una primera aproximación y el circuito queda según se muestra en la figura 2.9.14. Con el propósito de simplificación, en el circuito (b) se han agrupado los parámetros donde se cumple: 𝑅 𝑅𝑒′′ = 1 + 𝑅2 𝑎2

(2.9.22)

𝑋 𝑋𝑒′′ = 1 + 𝑋2 𝑎2

(2.9.23)

𝑍𝑒′′ = 𝑅𝑒′′ + 𝑗𝑋𝑒′′

(2.9.24)

Si se dividen las ecuaciones (2.913), (2.9.14) o (2.9.15) por la relación de transformación al cuadrado se obtiene: 𝑅𝑒′ 𝑅𝑒 = 𝑎2 ′′

(2.9.25)

𝑋𝑒′ 𝑋𝑒′′ = 𝑎2 𝑍𝑒′ ′′ 𝑍𝑒 = 𝑎2

(2.9.26) (2.9.27)

También puede demostrarse que se cumplen las siguientes relaciones. 𝑅𝑒′ = 𝑎2 𝑅𝑒′′

(2.9.28)

𝑋𝑒′ = 𝑎2 𝑋𝑒′′

(2.9.29)

𝑍𝑒′ = 𝑎2 𝑍𝑒′′

(2.9.30)

La segunda aproximación del circuito consiste en elimar la rama de magnetización, según se muestra en la figura 2.9.15. En estas condiciones en el circuito no aparecen las pérdidas magnéticas, por lo que con el mismo no se puede realizar un estudio de pérdidas, pués se introducen errores apreciables. Sin embargo este circuito es muy empleado para el estudio de caídas de voltajes no introduciendo errores apreciables.

(a)

(b) Figura 2.9.14: Circuito equivalente aproximado referido al secundario. (Primera aproximación).

Figura 2.9.15: Circuito equivalente aproximado referido al secundario. (Segunda aproximación). En el circuito mostrado en la figua 2.9.15 se cumple la siguiente ecuación de voltaje. 𝑉1′′ = 𝑉2 + 𝐼2 𝑍𝑒′′ = 𝑉2 + 𝐼2 (𝑅𝑒′′ + 𝑗𝑋𝑒′′ )

(2.9.31)

En la figura 2.9.16 se muestra el diagrama fasorial correspondiente al circuito apxoximado de la figura 2.9.15. Para su construcción se toma como base la ecuación (2.9.25) y a partir del voltaje 𝑉2 se suma la caída en la impedancia de dispersión 𝑍𝑒′′ obteniéndose el voltaje 𝑉1′′ necesario a aplicar. 𝑉 𝑉1′′ = 1 𝑎

𝛿 𝜃𝑒 𝛳2

𝐼2

𝐼2 𝑋′′ 𝑒

𝑉2 𝛳1

𝐼2 𝑅′′ 𝑒 𝐼2 𝑍′′ 𝑒

90°

Figura 2.9.16: Diagrama fasorial correspondiente al circuito equivalente aproximado referido al secundario, despreciando la corriente de vacío Ejemplo 2.9.3:

Empleando los datos del transformador del ejemplo 2.9.1, determine el voltaje a aplicar por la fuente, utilizando el circuito equivalente aproximado referido al secundario. Resolución. Aplicando las ecuaciones (2.9.22) y (2.9.23) y (2.9.24) se determinan la resistencia, reactancia e impedancia equivalentes de dispersión referidas al secundario respectivamente, para los datos dados en el ejemplo 2.9.1: 1.38 + 0.0138 = 0.0276 𝑂ℎ𝑚 102 5 𝑋𝑒′′ = + 0.05 = 0.1 𝑂ℎ𝑚 102 𝑍𝑒′′ = 0.0276 + 𝑗0.1 = 0.1038 < 74.57° 𝑅𝑒′′ =

Del resultado anterior, en el diagrama fasorial de la figura 2.9.16 se cumple: 𝜃𝑒 = 74.57° Si se comparan los resultados anteriores con los obtenidos en el ejemplo (2.9.1) se comprueba que la impedancia de dispersión referida al secundario es igual a la referida al primario dividida por la relación de transformación al cuadrado. Tomando como referencia el voltaje aplicado a la carga, el voltaje de la fuente aplicando la ecuación (2.9.31) está dado por: 𝑉 𝑉1′′ = 1 = 240 < 0° + (104.1667 < −30)(0.1038 < 74.57°) = 247.8 < 1.755° 𝑎 De acuerdo con el anterior resultado, en el diagrama fasorial de la figura 2.9.16 se cumple: 𝛿 = 1.755 ° El voltaje de la fuente está dado por: 𝑉1 = (10)(247.8) = 2478 (𝑉) Puede observarse que se obtienen iguales resultados si se emplea el circuito referido a primario o a secundario. 2.10 Transformadores en cascada. En los sistemas eléctricos se emplean los transformadores conectados en cascada, de modo que la transmisión y distribución de la energía se realice en forma económica y con una buena regulación dc voltaje. En la figura No. 2.10.1 se muestra un sistema formado por dos transformadores TA y TB conectados en cascada. El transformador TA es alimentado con un voltaje 𝑉1𝐴 y presenta las impedancias de dispersión 𝑍1𝐴 y 𝑍2𝐴 correspondientes a los devanados primario y secundario respectivamente. Además en su secundario aparece el voltaje 𝑉2𝐴 . Los transformadores 𝑇𝐴 y 𝑇𝐵 están unidos por una línea de impedancia 𝑍𝐿 . De igual forma el transformador 𝑇𝐵 presenta las impedancias 𝑍1𝐵 y 𝑍2𝐵 y voltajes 𝑉1𝐵 y 𝑉2𝐵 en primario y secundario

respectivamente. De su secundario se alimenta la carga de impedancia 𝑍𝐶 . Además los transformadores presentan las relaciones de transformación 𝑎𝐴 y 𝑎𝐵 Para facilitar el estudio del comportamiento es de gran utilidad emplear un circuito equivalente de todo el sistema, donde el mismo se ha representado por una impedancia en serie entre la fuente y la carga.

𝑍1𝐴

𝑉1𝐴

𝑍2𝐴

𝑍𝐿

𝑍2𝐵

𝑍1𝐵

𝐼2

𝐼1

TA

𝑉2𝐵 𝑉 𝐶

𝑉1𝐵

𝑉2𝐴

Línea

𝑁 𝑎𝐴 =( 1⁄𝑁 )A

𝐼𝐶

TB 𝑁 𝑎𝐵 =( 1⁄𝑁 )B

2

2

Figura No. 2.10.1 Sistema eléctrico formado por dos transformadores conectados en cascada a través de una línea de impedancia 𝑍𝐿 De acuerdo con lo estudiando en epígrafes anteriores, las corrientes representadas en la figura 2.10.1 , están relacionadas según se muestra seguidamente.

𝐼2 =

𝐼𝑐 𝑎𝐵

(2.10.1)

𝐼1 =

𝐼2 𝑎𝐴

(2.10.2)

En las figura 2.10.2 se representa el circuito equivalente referido al lado del primario del transformador 𝑇𝐴 . Obsérvese que las impedancias del secundario del transformador 𝑇𝐴 han sido multiplicadas por su relación de transformación al cuadrado tal como fue estudiado anteriormente. Además las impedancias en el secundario del transformador 𝑇𝐵 al ser multiplicadas por su relación de transformación al cuadrado, quedan referidas al lado primario de este que a su vez se corresponde con el secundario del transformador 𝑇𝐴 . Por ello deben además ser afectadas por la relación de transformación del transformador 𝑇𝐴 y con ello realizar una segunda transformación para con ello tener el circuito equivalente referido a un solo lado del sistema. De igual forma, como la impedancia 𝑍𝐿 . de la línea está situada en el secundario del transformador TA, debe ser también referida al primario de éste. Debe destacarse que todas las impedancias pueden ser referidas al lado del secundario del transformador 𝑇𝐴 (lado de la línea) o al lado del secundario del transformador 𝑇𝐵 (lado de la carga)

Figura 2.10.2: Circuito equivalente referido al lado primario del transformador 𝑇𝐴 correspondiente al sistema mostrado en la Figura 2.10.1 El circuito equivalente de la figura 2.10.2 puede ser simplificado, tal como se muestra en la figura 2.10.3 el que resulta más simple, para la determinación del comportamiento del sistema.

Figura 2.10.3: Circuito equivalente simplificado, referido al lado primario del transformador 𝑇𝐴 , correspondiente al sistema mostrado en la Figura 2.10.1 Ejemplo 2.10.1 Considere que dos transformadores con los datos del problema 2.9.1 son conectados en cascada mediante una línea de impedancia 𝑍𝐿 = 2 + 𝑗10 𝑂ℎ𝑚 según se muestra en la figura 2.10.1 El transformador A es alimentado desde la fuente por el lado de baja, de modo que la energía se transfiere a través de la línea con el voltaje al nivel de 2400 V.

Calcule el voltaje que debe ser aplicado al primario del transformador A de modo que en la carga (conectada en el secundario del transformador B), se obtenga 𝑉𝑐 = 𝑉2𝐵 = 240 (𝑉) , cuando ésa demanda una corriente 𝐼𝑐 = 104.1667 (𝐴) atrasada 30° del voltaje. Considere el circuito equivalente aproximado, despreciando la rama de magnetización. Resolución. Para la resolución del problema se considerará el circuito equivalente del sistema, referido al primario del transformador A. De acuerdo con los datos del ejemplo 2.9.1 y considerando que el transformador A se emplea como de subida y el B de bajada, se cumple: 𝑍1𝐴 = 0.0138 + 𝑗0.05 𝑂ℎ𝑚 𝑍2𝐴 = 1.38 + 𝑗5 𝑂ℎ𝑚 𝑍1𝐵 = 1.38 + 𝑗5 𝑂ℎ𝑚 𝑍2𝐵 = 0.0138 + 𝑗0.05 𝑂ℎ𝑚 Además para las condiciones dadas, las relaciones de transformación de los transformadores están dadas por: 240

𝑎𝐴 = 2400 = 0.1

𝑎𝐵 =

2400 240

= 10

Con los datos anteriores se cumple: 𝑎𝐴2 𝑍2𝐴 = (0.1)2 (1.38 + 𝑗5) = 0.0138 + 𝑗0.05 𝑂ℎ𝑚 (Impedancia del secundario del transformador A referida a su primario) 𝑎𝐴2 𝑍𝐿 = (0.1)2 (2 + 𝑗10) = 0.02 + 𝑗0.1 𝑂ℎ𝑚 (Impedancia de la línea referida el primario del transformador A) 𝑎𝐴2 𝑍1𝐵 = (0.1)2 (1.38 + 𝑗5) = 0.0138 + 𝑗0.05 𝑂ℎ𝑚 (Impedancia del primario del transformador B referida al primario del transformador A) 𝑎𝐴2 𝑎𝐵2 𝑍2𝐵 = (0.1)2 (10)2 (0.0138 + 𝑗0.05) = 0.0138 + 𝑗0.05 𝑂ℎ𝑚 (Impedancia secundario del transformador B referida al primario del transformador A)

del

𝑎𝐴 𝑎𝐵 𝑉2𝐵 = 𝑎𝐴 𝑎𝐵 𝑉𝑐 = (0.1)(10)(240) = 240 (𝑉) (Voltaje de la carga referido al primario del transformador A). De acuerdo con los resultados anteriores, el circuito equivalente de la figura (2.10.2) queda representado como se muestra en la figura (2.10.4).

Figura 2.10.4: Circuito equivalente, referido al lado primario del transformador 𝑇𝐴 , correspondiente al ejemplo 2.10.1 De acuerdo con las ecuaciones (2.10.1) y (2.10.2), se cumplen los siguientes valores de corrientes.

𝐼2 =

104.1667 10

= 10.4166

𝐼1 =

10.4166 10

= 104.166

Además el voltaje de la carga referido al primario del transformador A está dado por: 𝑎𝐴 𝑎𝐵 𝑉2 = (0.1)(10)(240) = 240 𝑉 De los resultados obtenidos, se puede conformar el circuito equivalente mostrado en la figura No. 2.10.5.,donde se presenta una sola impedancia equivalente del sistema con valor: 𝑍𝑒𝑞 = 0.0752 + 𝑗0.3 𝑂ℎ𝑚

Figura No.2.10.5: Circuito equivalente simplificado correspondiente al ejemplo 2.10.1

De acuerdo con el circuito equivalente mostrado en la figura 2.10.5 se cumple la siguiente ecuación de voltaje: 𝑉1𝐴 = 𝑎𝐴 𝑎𝐴 𝑉2 + 𝐼1 ∗ 𝑍𝑒𝑞 Sustituyendo valores se obtiene el valor necesario a aplicar desde la fuente al primario del transformador A: 𝑉1𝐴 = 240 < 0° + 104.166 < −30°(0.0752 + 𝑗0.3) = 262.41 + 𝑗23.146 𝑉1𝐴 = 262.42 < 5.049° (V) En la figura 2.10.6 se presenta el diagrama fasorial correspondiente 𝑉1𝐴 = 262.42

𝛳2 = 30

𝛿=5.04 9° 𝑎𝐴 𝑎𝐵 𝑉2=24 0 𝛳1 = 35.049 °

𝐼1

𝜃𝑒

𝐼2 𝑋𝑒

𝐼1 𝑅𝑒 𝐼1 𝑍𝑒

ca 𝜃𝑒 90°

Figura 2.10.6: Diagrama fasorial correspondiente al ejemplo 2.10.1 Ejemplo 2.10.2. Para el sistema con los datos correspondientes al ejemplo 2.10.1, calcule las corrientes 𝐼1 . 𝐼2 𝑒 𝐼𝑐 si se cortocircuitan los terminales del secundario del transformador B. Resolución: Para las condiciones de cortocircuito, el circuito de la figura 2.10.5, es convierte en el mostrado en la figura 2.10.7. En estas condiciones, el módulo de la corriente se determina mediante: 𝐼𝑐𝑐 =

𝑉1𝐴 262.42 262.42 = = = 848.464 (𝐴) 𝑍𝑒𝑞 0.0752 + 𝑗0.3 0.3093

Obsérvese que esta corriente está referida al lado del primario del transformador A. Por ello las corrientes 𝐼2 e 𝐼𝑐 de acuerdo con las ecuaciones (2.10.1) y (2.10.2) están dadas por: 𝐼2 = 𝐼1 𝑎𝐴 = (848.464)(0.1) = 84.8464 (𝐴)

𝐼𝑐 = 𝐼2 𝑎𝐵 = (84.8464)(10) = 848.464 (A)

Figura 2.10.7: Circuito equivalente en condiciones de cortocircuito. Ejemplo 2.102.

CAPÍTULO III

III

Regulación de voltaje del Transformador

Tal como fue estudiado en el capítulo II, el transformador presenta una impedancia interna serie de dispersión, lo que significa que al variar la corriente por la carga, su voltaje de salida también varía, aunque permanezca constante el voltaje de alimentación aplicado al primario. Como se estudiará seguidamente, la variación que sufre el voltaje de salida aplicado a la carga varía tanto con la magnitud de la corriente de carga, como con su factor de potencia. Para cuantificar la variación de éste voltaje se define desde el punto de vista matemática el término regulación de voltaje, el cual se acostumbra a expresar en por ciento. Las normas internacionales plantean las siguientes tolerancia de los voltajes nominales: a) Niveles de bajo voltaje (127 V hasta 5 kV) : -7.5 % a 7.5 % b) Niveles de medio voltaje (5 kV hasta 35 kV): -6 % a 6% c) Niveles de alto voltaje menores a 134 kV: -6% a 6 %.Mayores a 134 kV: -5% a 5%. 3.1 Regulación de voltaje. Por ciento de regulación de voltaje. En la figura No. 3.1.1 se muestra un transformador en operación en vacío y a plena carga o nominal. Cuando el transformador opera en vacío se obtiene un voltaje en los terminales del secundario igual a 𝑉2𝑠𝑐 y en condiciones de plena carga o nominal igual a 𝑉2𝑝𝑐 . Se define el por ciento de regulación de voltaje como el voltaje en vacío menos el voltaje a plena carga, dividido por el voltaje a plena carga y expresado en por ciento, para valores fijos del voltaje del primario y factor de potencia de la carga, o sea:

%𝑅𝑉 =

𝑉2𝑠𝑐 −𝑉2𝑝𝑐 . 100 𝑉2𝑝𝑐

(3.1.1)

Donde: 𝑉2𝑠𝑐 – Voltaje en el secundario en condiciones de vacío o sin carga. 𝑉2𝑝𝑐 - Voltaje en el secundario en condiciones de plena carga o nominal. Es necesario destacar que en la ecuación (3.1.1) se emplean los valores modulares del voltaje, es decir, los obtenidos por la lectura de un voltímetro, lo que significa que no se toma en consideración las diferencias fasoriales que puedan existir entre los voltajes de vacío y de plena carga. Aunque la regulación de voltaje se especifica para la variación de voltaje desde vacío a la condición nominal, la misma puede ser calculada para cualquier estado de carga. La regulación de voltaje es un índice de calidad del transformador. Lo ideal es que el por ciento de regulación de voltaje sea igual cero, es decir, que cuando se presenta variaciones de la carga, el voltaje aplicado a la misma no presente variaciones.

Figura 3.3.1-a: Transformador operando en vacío

Figura 3.3.1-b: Transformador operando a plena carga o condición nominal. Ejemplo 3.1.1.

Un transformador presenta en vacío y a plena carga los siguientes valores de voltaje en el secundario: 𝑉2𝑠𝑐 = 240 𝑉

𝑉2𝑝𝑐 =230 V

Determine el % de regulación de voltaje. Resolución De acuerdo con la ecuación (3.1.1) se cumple: %𝑅𝑉 =

240 − 230 . 100 = 4.35 % 230

3.2.Determinación de la regulación de voltaje a partir del circuito equivalente. Para determinar la regulación de voltaje puede ser aplicado el circuito equivalente aproximado, es decir, despreciando la impedancia de la rama de magnetización. Para ello se puede emplear el circuito equivalente referido al secundario mostrado en la figura 2.9.15, el cual se repite por conveniencia, según se muestra en la figura 3.2.1. En este caso se cumple el diagrama fasorial de la figura 2.9.16, el cual se muestra de nuevo, como se muestra en la figura 3.2.2De acuerdo con este circuito, en la operación 𝑉 en vacío el voltaje en los terminales del transformador presenta el valor 𝑉2𝑠𝑐 = 1⁄𝑎. Para cualquier condición de carga, si se aplica la ecuación, 2.9.31 el voltaje aplicado a la carga se determina como la diferencia fasorial: 𝑉 𝑉2 = 1⁄𝑎 − 𝐼2 (𝑅𝑒′′ + 𝑗𝑋𝑒′′ )

(3.2.1)

Para determinar el voltaje del secundario mediante la ecuación (3.2.1), a partir de un voltaje de la fuente, es necesario tener como datos la relación de transformación, la impedancia de dispersión, la corriente de carga y el factor de potencia de la carga. Obsérvese que este último dato es necesario, puesto que la corriente 𝐼2 al sustituir debe ser expresada en módulo y ángulo.

Figura 3.2.1: Circuito equivalente aproximado referido al secundario. En los cálculos de la regulación de voltaje puede presentarse los dos siguientes casos. Determinar el voltaje a aplicar por primario para obtener un voltaje dado por secundario o lo inverso, es decir, para un voltaje aplicado por primario determinar el voltaje que aparece en los terminales del secundario. En ambos casos se supone conocido el ángulo 𝜃2 que forma la corriente respecto al voltaje 𝑉2 . El primer caso puede ser resuelto sin dificultad aplicando la ecuación 2.9.31. Sin embargo, para el segundo caso es necesario previamente dar algunos pasos como se presenta

seguidamente. De acuerdo con el diagrama fasorial de la figura 3.2.2, en el cual se ha considerado una carga con factor de potencia en atraso, se puede plantear: 𝑉1 < 𝛿 = 𝑉2 < 0 + (𝐼2 < −𝜃2 )(𝑍𝑒′′ < 𝜃𝑒 ) 𝑎

(3.2.2)

Descomponiendo en partes reales e imaginarias la ecuación (3.2.2) se obtiene: 𝑉1 𝑐𝑜𝑠(𝛿) 𝑎

+𝑗

𝑉1 𝑠𝑒𝑛(𝛿) 𝑎

= 𝑉2 + 𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒 − 𝜃2 ) + 𝑗𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑒 − 𝜃2 )(3.2.3)

Al igualar las partes imaginarias, se obtiene de la ecuación (3.2.3): 𝑉1 𝑠𝑒𝑛(𝛿) = 𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑒 − 𝜃2 ) 𝑎

(3.2.4)

La ecuación (3.2.4) permite determinar el ángulo 𝛿 que se desfasa el voltaje de la fuente respecto a 𝑉2 , o sea: 𝑎

𝛿 = 𝑠𝑒𝑛−1 [𝑉 𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑒 − 𝜃2 ) ] (3.2.5) 1 Al igualar las partes reales de la ecuación (3.2.3) se obtiene: 𝑉 𝑉2 = 1 𝑐𝑜𝑠(𝛿) − 𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒 − 𝜃2 )(3.2.6) 𝑎 De acuerdo con lo expresado anteriormente, para determinar el voltaje 𝑉2 a partir del voltaje 𝑉1 , es necesario determinar primeramente el ángulo 𝛿 mediante la ecuación (3.2.5) y seguidamente se sustituye éste en la ecuación (3.2.6). Debe señalarse que en las ecuaciones anteriores, para factores de potencia en atraso, el ángulo 𝜃2 debe ser introducido como dato con signo positivo; para factores de potencia en adelanto, con signo negativo. 𝑉 𝑉1′′ = 1 𝑎

𝛿 𝛳2

𝐼2

𝜃𝑒 𝑉2

𝛳1

′′

𝐼2 𝑋 𝑒

𝐼2 𝑅′′ 𝑒 𝐼2 𝑍′′ 𝑒

90°

Figura 3.2.2: Diagrama fasorial correspondiente al circuito equivalente aproximado referido al secundario. La regulación de voltaje puede ser determinada mediante el procedimiento matemático descrito anteriormente., aplicando la teoría fasorial. Sin embargo también puede ser determinada en forma geométrica. Para ello se parte del diagrama fasorial mostrado en la figura 3.2.2, pero realizando algunas modificaciones, tal como se muestra en la figura 3.2.3. En esta figura se forma un el triángulo rectángulo abc, del cual se cumple el siguiente valor de la hipotenusa: 𝑎𝑐 = √𝑎𝑏 2 + 𝑏𝑐 2

(3.2.7)

Sustituyendo los valores de los catetos y de la hipotenusa del triángulo de la figura 3.2.3 en la ecuación (3.2.7) se obtiene: 2

𝑉1 = 𝑎√[(𝑉2 + 𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒 − 𝜃2 )] + [𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑒 − 𝜃2 )]

2

(3.2.8)

La ecuación (3.2.8) permite determinar el voltaje 𝑉1 a aplicar desde la fuente para obtener un voltaje 𝑉2 requerido. Si se desea determinar este voltaje a partir de uno conocido de la fuente, se debe realizar el despeje correspondiente en la ecuación (3.2.8), obteniéndose: 2 𝑉1 2 √ 𝑉2 = ( ) − [𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑒 − 𝜃2 )] − 𝐼2 𝑍𝑒′′ 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒 − 𝜃2 ) 𝑎

(3.29)

Debe señalarse que en las ecuaciones anteriores, para factores de potencia en atraso, el ángulo 𝜃2 debe ser introducido como dato con signo positivo; para factores de potencia en adelanto, con signo negativo, tal como fue planteado anteriormente.

𝐼2 𝑍′′ 𝑒

𝑉 𝑉1′′ = 1 𝑎

𝜃𝑒

c

𝐼2 𝑍′′ 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑒 − 𝜃2 )

𝛿

a 𝛳2

𝑉2 𝛳1

𝜃𝑒 − 𝜃2

b 𝐼2 𝑅′′ 𝑒

′′

𝐼2 𝑋 𝑒

′′

𝐼2 Figura 3.2.3: Determinación geométrica de la regulación de voltaje

𝐼2 𝑍𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑒 − 𝜃2 )

Ejemplo 3.1.2. Aplicando el álgebra fasorial, compruebe que en el transformador del ejemplo (2.9.3) se obtiene un voltaje 𝑉2 = 240 𝑉 a partir de un voltaje de la fuente 𝑉1 = 2478 V. Resolución Del ejemplo (2.9.3) se tienen los siguientes datos: 𝐼2 = 104.1667 (𝐴) 𝑅𝑒′′ = 0.0276 𝑂ℎ𝑚𝑋𝑒′′ = 0.1 𝑂ℎ𝑚𝑍𝑒′′ = 0.1038 < 74.57° 𝜃𝑒 = 74.57° Aplicando la ecuación (3.2.5) se tiene: 𝛿 = 𝑠𝑒𝑛−1 [

10 (104.1667)(0.1038)𝑠𝑒𝑛(74.57 − 30)] = 1.7548 ° 2478

De la ecuación (3.2.6) se obtiene: 2478 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑠(1.7548) − (104.1667)(0.1038)𝑐𝑜𝑠(74.57 − 30) = 240 (𝑉) 10 De los anteriores resultados anteriores, puede comprobarse la validez del procedimiento seguido para obtener el voltaje 𝑉2 a partir de un 𝑉1 aplicado desde la fuente. Igual resultado se obtiene si se aplica la ecuación (3.2.9), o sea: 2478 2 √ 𝑉2 = ( ) − [(104.1667)(0.1038)𝑠𝑒𝑛(74.57 − 30)]2 10 −(104.1667)(0.1038)cos(74.57-30) =240 (V) 3.3. Efecto del factor de potencia de la carga sobre la regulación de voltaje. La regulación de voltaje del transformador depende del factor de potencia de la carga. Para factores de potencia en atraso el voltaje 𝑉2 se reduce respecto al de vacío, a medida que la corriente de carga aumenta. Sin embargo para factores de potencia en adelanto, el voltaje 𝑉2 a un estado de carga dado puede ser mayor que el de vacío. Para mostrar el efecto del factor de potencia se emplearán los diagramas fasoriales de la figuras 3.3.1. En cada uno de los casos, a partir del voltaje 𝑉2 tomado como referencia, se le suma en fase con la corriente, la caída a través de la resistencia y atrasada 90° respecto a la corriente, la caída a través de la reactancia y con ello se obtiene el voltaje 𝑉1⁄ 𝑎 . Además se considera en cada caso que los valores de voltaje 𝑉2 e 𝐼2 se mantienen constantes, por lo que la caída por impedancia también es constante. En la figura 3.1.1-a, correspondiente a un factor de potencia cero en atraso (𝜃2 = −90°) se

𝑉 obtiene 1⁄𝑎 mayor a 𝑉2 . Si el factor de potencia es unitario (𝜃2 = 0°), tal como se 𝑉 muestra en la figura 3.1.1-b se requiere un valor menor de 1⁄𝑎. Para un factor de potencia cero en adelanto, (𝜃2 = 90°), según se muestra en la figura 3.11-c, el voltaje 𝑉1⁄ 𝑎 a aplicar es menor al voltaje 𝑉2 . Si se considera un volate fijo 𝑉1 , se obtendría que el voltaje de salida 𝑉2 aumenta, a medida que el factor de potencia se hace más capacitivo.

30 °

Ib𝛳2 = −90

V a b - 𝑉2 Ica ′′ 𝐼2 𝑅 𝑒

IAVab 𝑉 𝑉1′′ = 𝑎1

Ica ′′

𝐼2 𝑍𝑒

V

𝐼2

′′

𝐼2 𝑋 𝑒

Figura 3.3.1-a: Factor de potencia cero en atraso 𝑉 𝑉1′′ = 1 𝑎 𝐼2 𝑍′′ 𝑒

𝐼2

𝑉2

𝜃𝑒

𝐼2 𝑋′′ 𝑒

𝐼2 𝑅′′ 𝑒

𝛳2 = 0° Figura 3.3.1-b: Factor de potencia unitario. Debe destacarse que la condición más mala en cuanto a regulación de voltaje, se presenta cuando al factor de potencia de la carga le corresponde un ángulo igual al interno de la impedancia de dispersión del transformador, es decir si se cumple que 𝑉 𝜃2 = 𝜃𝑒 . Esto es mostrado en la figura 3.3.1-c. En este caso 1⁄𝑎 el voltaje 𝑉2 se

𝑉 obtiene como la diferencia aritmética de 1⁄𝑎 y la caída por impedancia de dispersión. En cualquier otro caso, esta diferencia es fasorial.

𝐼2

𝑉 𝑉1′′ = 1 𝑎

𝛳2 = 90°

𝐼2 𝑋′′ 𝑒

𝐼2 𝑍′′ 𝑒

𝜃𝑒

𝐼2 𝑅′′ 𝑒

𝑉2 Figura 3.3.1-c: Factor de potencia cero en adelanto.

𝑉 𝑉1′′ = 1 𝑎 ′′

𝑉2

𝐼2 𝑍𝑒

𝜃𝑒

𝛳2 = 𝜃𝑒 ′′

𝐼2 𝑅 𝑒

′′

𝐼2 𝑋 𝑒

Figura 3.3.1-d: Factor de potencia de la carga que cumple 𝛉𝟐 = 𝛉𝐞 Ejemplo 3.3.1 Un transformador de 15 kVA 2300/230 V tiene los siguientes valores de impedancia del circuito equivalente referidos al lado de bajo voltaje: 𝑅𝑒′′ = 0.045 𝑂ℎ𝑚 𝑋𝑒′′ = 0.066 𝑂ℎ𝑚 Determine el voltaje necesario a aplicar en el primario y el por ciento de regulación de voltaje correspondiente, para que en el secundario se obtenga un voltaje de 230 V, en condiciones de corriente nominal y para los siguientes factores de potencia de la carga: a) f.p=0 en atraso b) f.p.=0.8 en atraso c) f.p=1

d) f.p=0.8 en adelanto e) f.p=0 en adelanto f) Si se cumple: 𝜃2 = 𝜃𝑒 Resolución De la ecuación (2.7.3), la corriente nominal por el devanado secundario está dada por: 15000 𝐼2 = = 65.22 (𝐴) 230 La impedancia de dispersión está dada por la ecuación (2.9.24): 𝑍𝑒′′ = √0.0452 + 0.0662 =0.0799 < 55.71° Ohm a) Para f.p=0 en atraso le corresponde un ángulo 𝜃2 = −90°. De la ecuación (2.9.31) se cumple, al tomar como referencia el voltaje 𝑉2 : 𝑉1′′ = 230 < 0° + (65.22 < −90°)(0.0799 < 55.71°) = 234.3 − 𝑗2.935 𝑉1′′ = 234.32 < −0.7176 (V) Puesto que a=10, el voltaje de la fuente está dado por: 𝑉1 = (10)(234.32) = 2343.2 𝑉 Ya que en condiciones de vacío el voltaje en los terminales del secundario presenta el valor 𝑉1′′ = 234.32 (V), de acuerdo con la ecuación (3.1.1) se tiene: %𝑅𝑉 =

234.32−230 230

. 100 = 1.8794 %.

b) Para f.p= 0.8 en atraso se cumple:𝜃2 = −36.87° 𝑉1′′ = 230 < 0° + (65.22 < −36.87°)(0.079 < 55.71°) = 234.93 + 𝑗1.68 𝑉1′′ = 234.94 < 0.4104 (V ) 𝑉1 = (10)(234.94) = 2349.2 𝑉 %𝑅𝑉 =

234.94−230 230

. 100 = 2.1463 %.

c) Para f.p= 1 se cumple: 𝜃2 = 0° 𝑉1′′ = 230 < 0° + (65.22 < 0°)(0.0799 < 55.71°) = 232.93 + 𝑗4.3. 𝑉1′′ = 232.97 < 1.058 (V) %𝑅𝑉 =

232.97−230 230

. 100 = 1.293 %.𝑉1 = (10)(232.97) = 2329.7 𝑉

d) Para f.p=0.8 en adelanto se cumple:𝜃2 = 36.87° 𝑉1′′ = 230 < 0° + (65.22 < 36.87°)(0.0799 < 55.71°) = 229.77 + 𝑗5.2

𝑉1′′ = 229.82 < 1.2976 (V)𝑉1 = (10)(229.82) = 2298.2 𝑉 %𝑅𝑉 =

229.82 − 230 . 100 = −0.077 % 230

e) Para f.p=0 en adelanto se cumple: 𝜃2 = 90° 𝑉1′′ = 230 < 0° + (65.22 < 90°)(0.0799 < 55.71°) = 225.7 + 𝑗2.935 𝑉1′′ = 225.714 < 0.745 (V)𝑉1 = (10)(225.714) = 2257.14 𝑉 %𝑅𝑉 =

225.714 − 230 . 100 = −1.8632 % 230

f) Para la condición 𝜃2 = 55.71° se cumple: 𝑉1′′ = 230 < 0° + (65.22 < −55.71)(0.0799 < 55.71°) = 235.21 + 𝑗0 𝑉1′′ = 235.21 < 0° (V)𝑉1 = (10)(235.21) = 2352.1 𝑉 %𝑅𝑉 =

235.21 − 230 . 100 = 2.265% 230

En la tabla (3.3.1) se presenta un resumen del comportamiento del transformdor para los diferentes factores de potencia. Como puede observarse la peor (mayor valor) regulación de volaje se presenta para una carga inductiva cuando se cumple la condición : 𝜃2 = 𝜃𝑒 , tal como se destaca. También puede comprobarse que para cargas capacitivas, la regulación de voltaje presenta valores negativos, lo que significa que cuando el transformador opera con carga, el voltaje de salida al estado de carga dado, es superior al de vacío. Obsérvese también que para factor de potencia en atraso (inciso a) el ángulo 𝛿 presenta valor negativo, lo que significa que el voltaje de la fuente se atrasa respecto al voltaje de salida 𝑉2 . En todos los demás casos, este ángulo es positivo. Para la condición 𝜃2 = 𝜃𝑒 𝛿 = 0 , lo que significa que 𝑉2 y 𝑉1 se encuentran en fase. Inciso

𝜃2 °

a b c d e f

-90 -36.87 0 36.87 90 -55.77

f.p 0 (atraso) 0.8 (atraso) 1 0.8(adelanto) 0 (adelanto) 𝜃2 = 𝜃𝑒

𝑉 𝑉1′′ = 1 (𝑉) 𝑎 234.3-j2.935=234.32< −0.7176 234.93+j1.6826=234.94< 0.4104 232.93+j4.3=232.97< 1.058 229.77+j5.2.=229.82< 1.2976 225.7+j2.935=225.714< 0.745 235.21+j0=235.21< 0

𝑉1 (V)

%RV

𝛿°

2343.2 2349.4 2329.7 2298.2 2257.14 2352.1

1.8794 2.1463 1.293 -0.077 -1.8632 2.265

-0.7176 0.4104 1.058 1.2976 0.745 0

Tabla 3.3.1: Comportamiento del transformador del ejemplo 3.3.1. En la figura 3.3.2 se muestra en forma gráfica el comportamiento del voltaje 𝑉1 y el ángulo 𝛿 para los diferentes factores de potencia. En la misma, para cualquier valor del voltaje 𝑉1′′ , se le resta la caída por impedancia y con ello se obtiene el voltaje 𝑉2 .

Figura 3.3.2: Comportamiento del voltaje 𝑽′′ 𝟏 y del ángulo 𝜹 correspondiente al ejemplo 3.3.1.

Ejemplo 3.3.2. Determine el comportamiento del voltaje de salida 𝑉2 para los diferentes factores de potencia y en condiciones de corriente nominal, correspondiente al transformador del ejemplo 3.3.1, si se aplica un voltaje al devanado primario 𝑉1 = 2300 𝑉. Resolución. Puesto que en este ejemplo se parte del voltaje aplicado al devanado primario es necesario aplicar las ecuaciones (3.2.5) y (3.2.6) para hallar 𝑉2 . a) De la ecuación (3.2.5) se cumple: 𝛿 = 𝑠𝑒𝑛−1 [(

10 )(65.22)(0.0799)𝑠𝑒𝑛(55.71 − 90) ] = −0.7314 ° 2300

De la ecuación (3.2.6) se obtiene: 2300 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑠(−0.7314) − (65.22)(0.0799)𝑐𝑜𝑠(55.71 − 90) = 225.68 𝑉 10 Para los restantes incisos se cumple aplicando las ecuaciones (3.2.5) y (3.2.6): 10

b) 𝛿 = 𝑠𝑒𝑛−1 [(2300)(65.22)(0.0799)𝑠𝑒𝑛(55.71 − 36.87) ] = 0.4192° 2300 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑠(0.4192) − (65.22)(0.0799)𝑐𝑜𝑠(55.71 − 36.87) = 225.06 𝑉 10 10

c) 𝛿 = 𝑠𝑒𝑛−1 [(2300)(65.22)(0.0799)𝑠𝑒𝑛(55.71 − 0) ] = 1.072°

2300 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑠(1.072) − (65.22)(0.0799)𝑐𝑜𝑠(55.71 − 0) = 227.02 𝑉 10 10 d) 𝛿 = 𝑠𝑒𝑛−1 [(2300)(65.22)(0.0799)𝑠𝑒𝑛(55.71 + 36.87) ] = 1.2969° 2300 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑠(1.2969) − (65.22)(0.0799)𝑐𝑜𝑠(55.71 + 36.87) = 230.17 𝑉 10 10 e) 𝛿 = 𝑠𝑒𝑛−1 [(2300)(65.22)(0.0799)𝑠𝑒𝑛(55.71 + 90) ] = 0.7314° 2300 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑠(0.7314) − (65.22)(0.0799)𝑐𝑜𝑠(55.71 + 90) = 234.28 𝑉 10 f)

10

𝛿 = 𝑠𝑒𝑛−1 [(2300)(65.22)(0.0799)𝑠𝑒𝑛(55.71 − 55.71) ] = 0° 2300 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑠(0) − (65.22)(0.0799)𝑐𝑜𝑠(55.71 − 55.71) = 224.79 𝑉 10

En la tabla 3.3.2 se presenta un resumen del comportamiento del voltaje de salida para los diferentes factores de potencia. Inciso a b c d e f

f.p 0 (atraso) 0.8 (atraso) 1 0.8 (adelanto) 0 (adelanto) 𝜃2 = 𝜃𝑒

𝑉2 (V) 225.68 225.06 227.02 230.17 234.28 224.79

𝛿° -0.7314 0.4192 1.072 1.2969 0.7314 0

Tabla 3.3.2: Comportamiento del transformador correspondiente al ejemplo 3.3.2 Ejemplo 3.3.3. Confeccione un programa en Lenguaje Matlab que permita determinar el comportamiento del transformador del problema 3.3.1, en función de la corriente por la carga. Las características deben ser colocadas en un mismo gráfico. Considérese que se desea mantener constante el voltaje aplicado a la carga al valor 𝑉2 = 230 𝑉. Se desea graficar las siguientes características. Voltaje de la fuente, regulación de voltaje y ángulo 𝛿 Resolución A continuación se presenta el código del programa elaborado, el cual ha sido salvado con el nombre de REGULACIÓN_I. Del mismo debe observarse:  Los datos son introducidos mediante la instrucción input.  La corriente por la carga tomada como variable independiente se varía en el intervalo desde cero a 1.2 veces el valor nominal.  Se declara un vector con los valores angulares correspondientes a 𝜃2

Código en Matlab.

% TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS DEVANADOS %ARCHIVO: REGULACION I % EJEMPLO: 3.3.3 clc clea rall Re=input('Resistencia equivalente por el lado de baja (Ohm) Re''='); Xe=input('Reactancia equivalente por el lado de baja(Ohm) Xe''='); V2= input('Voltaje a aplicar a la carga (V) V2='); a= input('Relación de transformación a='); In=input('Corriente Nominal (A)In='); citae=atand(Xe/Re); I2=0:10:1.2*In; cita2=[-90 -37.8 0 37.8 90 -citae ];% Los ángulos negativos correponde a f.p. en atraso for J=1:length(cita2) for I=1:length(I2); Ze=Re+Xe*i; Zem=abs(Ze); Citae=angle(Ze)*180/pi; cita2r=cita2(J)*pi/180; % Convierte grados a radianes. I2c=I2(I)*exp(cita2r*i);% Fasor de corriente en la carga V1=V2+I2c*Ze; delta(I,J)=angle(V1)*180/pi; V1a(I,J)=abs(V1)*a; % Modulo del voltaje aplicado por la fuente RV(I,J)=(V1a(I,J)/a-V2)/V2*100; end end plot(I2,V1a,'-*') title('VOLTAJE V1 vs I2') grid on xlabel ('Corriente por el secundario (A)'); ylabel('Voltaje de la fuente (V)'); legend(' cita2=-90',' cita2=-37.8','cita2=0','cita2=37.8','cita2=90','cita2=-citae') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause plot(I2,RV,'-*') title('Regulación de voltaje vs I2') gridon xlabel ('Corriente por el secundario (A)'); ylabel('Regulación de voltaje (%)'); legend(' cita2=-90',' cita2=-37.8','cita2=0','cita2=37.8','cita2=90','cita2=-citae') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause plot(I2,delta,'-*') title('Angulo delta vs I2')

grid on xlabel ('Corriente por el secundario (A)'); ylabel('Delta (Grados)'); legend('cita2=-90','cita2=-37.8','cita2=0','cita2=37.8','cita2=90','cita2=-citae') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on')

En la tabla3.3.1se muestra como deben ser introducidos los datos, para ello se ha empleado la instrucción input. Resistencia equivalente por el lado de baja (Ohm) Re'=0.045 Reactancia equivalente por el lado de baja(Ohm) Xe'=0.066 Voltaje a aplicar a la carga (V) V2=230 Relación de transformación a=10 Corriente Nominal (A)In=65.22

Tabla 3.3.1: Datos correspondientes al ejemplo 3.3.3

Figura 3.3.3-a: Características de voltaje de la fuente vs corriente por la carga, para distintos valores de 𝛉𝟐 correspondientes al ejemplo 3.3.3

Figura 3.3.3-b: Características del ángulo 𝛿 vs corriente por la carga, para distintos valores de 𝜽𝟐 correspondientes al ejemplo 3.3.3

Figura 3.3.3-c: Características del % de regulación de voltaje vs corriente por la carga, para distintos valores de 𝜽𝟐 correspondientes al ejemplo 3.3.3

En las figuras 3.3.3-a, 3.33-b y 3.3.-c se muestran las características pedidas. De la figura 3.3.3-a puede comprobarse que para la condición 𝜃2 = 𝜃𝑒 se necesitan los mayores valores de voltaje a aplicar desde la fuente y por tanto se presentan los mayores valores de por ciento de regulación de voltaje, tal como se muestra en la figura 3.3.3-c. También puede comprobarse que para cargas con factor de potencia en adelanto, a medida que se piden mayores valores de corriente, el voltaje de la fuente debe ser reducido a valores inferiores a los de vacío. Esto implica que el % de regulación de voltaje es negativo. De la figura 3.3.3-b puede comprobarse que para la condición 𝜃2 = 𝜃𝑒 para cualquier valor de corriente de carga, el ángulo 𝛿 = 0 , lo que significa que 𝑉2 y 𝑉1 se encuentran en fase. Además para valores de factor de potencia en atraso, el ángulo 𝛿 presenta valores negativos, lo que significa que el voltaje de la fuente se atrasa respecto al del secundario. Para factores potencia en adelanto ocurre lo contrario. Ejemplo 3.3.4. Confeccione un programa en Lenguaje Matlab que permita determinar el comportamiento del transformador del problema 3.3.2, en función de la corriente por la carga. Las características deben ser colocadas en un mismo gráfico. Considérese que se aplica un voltaje constante al devanado primario 𝑉1 = 2300 𝑉. Se desea graficar las siguientes características. Voltaje de la fuente, regulación de voltaje y ángulo 𝛿 Resolución A continuación se presenta el código del programa elaborado, el cual ha sido salvado con el nombre de REGULACIÓN_II. Del mismo debe observarse que se han empleado dos lazos for. En el interior de ellos, se ha variado la corriente como un vector desde valor 1 hasta la longitud de éste. De igual forma se lleva a cabo con el lazo exterior, pero en este caso se relaciona con el vector que representa el ángulo de la corriente. En la tabla 3.3.2 se muestra como deben ser introducido los datos, para ello, se ha empleado la instrucción input. CÓDIGO EN MATLAB % TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS DEVANADOS %ARCHIVO: REGULACION II % EJEMPLO: 3.3.4 clc clearall Re=input('Resistencia equivalente por el lado de baja (Ohm) Re''='); Xe=input('Reactancia equivalente por el lado de baja(Ohm) Xe''='); citae=atand(Xe/Re); V1= input('Voltaje de la fuente (V) V1='); a= input('Relación de transformación a='); In=input('Corriente Nominal (A)In='); I2=0:10:1.2*In; cita2=[90 37.8 0 -37.8 -90 citae ]; % Los valores positivos corresponden a f.p en atraso for J=1:length(cita2) for I=1:length(I2); Ze=Re+Xe*i;

Zea=abs(Ze); Citae=angle(Ze)*180/pi; cita2r=cita2(J)*pi/180; % Convierte grados a radianes. delta(I,J)=asind(a/V1*I2(I)*Zea*sind(citae-cita2(J))); V2(I,J)=V1/a*cosd(delta(I,J))-I2(I)*Zea*cosd(citae-cita2(J)); RV(I,J)=(V1/a-V2(I,J))./V2(I,J)*100; end end plot(I2,V2,'-*') title('VOLTAJE V2 vs I2') gridon xlabel ('Corriente por el secundario (A)'); ylabel('Voltaje por el secundario (V)'); legend('cita2=-90','cita2=-37.8','cita2=0','cita2=37.8','cita2=90','cita2=-citae') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause plot(I2,RV,'-*') title('Regulación de voltaje vs I2') gridon xlabel ('Corriente por el secundario (A)'); ylabel('Regulación de voltaje (%)'); legend('cita2=-90','cita2=-37.8','cita2=0','cita2=37.8','cita2=90','cita2=-citae') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause plot(I2,delta,'-*') title('Angulo delta vs I2') grid on xlabel ('Corriente por el secundario (A)'); ylabel('Delta (Grados)'); legend('cita2=-90','cita2=-37.8','cita2=0','cita2=37.8','cita2=90','cita2=-citae') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') Resistencia equivalente por el lado de baja (Ohm) Re'=0.045 Reactancia equivalente por el lado de baja(Ohm) Xe'=0.066 Voltaje de la fuente (V) V1=2300 Relación de transformación a=10 Corriente Nominal (A)In=65.22 Tabla 3.3.2: Datos correspondientes al ejemplo 3.3.4 En las figuras 3.3.4-a, 3.34-b y 3.3.4.-c se muestran las características pedidas. De la figura 3.3.4-a puede comprobarse que para la condición 𝜃2 = −𝜃𝑒 se obtiene los menores valores de voltaje de salida y por tanto se presentan los mayores valores de por ciento de regulación de voltaje, tal como se muestra en la figura 3.3.4-c. También puede comprobarse que para cargas con factor de potencia en adelanto, a medida que se piden mayores valores de corriente, el voltaje de salida aumenta Esto implica que el % de regulación de voltaje es negativo.

Figura 3.3.4-a: Características de voltaje de salida vs corriente por la carga, para distintos valores de 𝛉𝟐 correspondientes al ejemplo 3.3.4

Figura 3.3.4-b: Características del ángulo 𝛿 vs corriente por la carga, para distintos valores de 𝜽𝟐 correspondientes al ejemplo 3.3.4

Figura 3.3.4-c: Características del % de regulación de voltaje vs corriente por la carga, para distintos valores de 𝜽𝟐 correspondientes al ejemplo 3.3.4

CAPÍTULO IV

IV

Pérdidas y Eficiencia

4.1 Pérdidas del transformador. En el transformador se presentan dos tipos de pérdidas: pérdidas por efecto Joule en las resistencias de los devanados denominadas pérdidas eléctricas y pérdidas magnéticas o de núcleo. Estas últimas, tal como fue estudiado en el capítulo I, presenta dos componentes: histerésicas y de corrientes parásitas. Las pérdidas magnéticas se pueden escribir en función de la frecuencia y de la densidad de flujo, mediante la ecuación (1.15.20) obtenida en el capítulo I, la cual por conveniencia se repite seguidamente: 𝑥 2 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝐾𝑒 𝑓 2 𝐵𝑚 + 𝐾ℎ 𝑓𝐵𝑚

(4.1.1)

La ecuación anterior es conveniente expresarla en función del voltaje aplicado al transformador, para ello se parte de la ecuación (2.4.1) correspondiente al flujo máximo en el núcleo. Para una frecuencia y número de vueltas por primario fijadas, se puede escribir mediante: 𝜙𝑚 = 𝑘𝑉1 (4.1.2) Donde k =

1 4.44fN1

La densidad de flujo se puede escribir en función del flujo y el área del núcleo mediante: 𝐵𝑚 =

𝜙𝑚 𝐴𝑛

(4.1.3)

Se supone el exponente x=2 en la ecuación (4.1.1) y al sustituir (4.1.2) y (4.1.3) en (4.1.1) se obtiene:

𝑃𝑚𝑎𝑔 = [

2 𝐾𝑒 𝑓 2 𝑘 2 𝐾ℎ 𝑓𝑘 + ] 𝑉12 2 2 𝐴𝑛 𝐴𝑛

(4.1.4)

La ecuación (4.1.4) se puede escribir como: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝐾𝑉12

(4.1.5)

Donde: 2 𝐾𝑒 𝑓 2 𝑘 2 𝐾ℎ 𝑓𝑘 𝐾=[ + ] 𝐴2𝑛 𝐴𝑛2

La ecuación (4.1.5) indica que las pérdidas magnéticas dependen del cuadrado del voltaje aplicado al transformador. Así, para un voltaje constante independientemente del estado de carga del transformador, esta componente de pérdidas se puede considerar constante. Las pérdidas eléctricas para un transformador de dos devanados se expresan como sigue. 𝑃𝑒𝑙 = 𝐼12 𝑅1 + 𝐼22 𝑅2 (4.1.6) Donde: 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 - Pérdidas eléctricas en los devanados. (W) 𝐼1 - Corriente por el devanado primario (A) 𝐼2 - Corriente por el devanado secundario (A) 𝑅1 - Resistencia del devanado primario (Ohm) 𝑅2 - Resistencia del devanado secundario (Ohm) Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.4.5) y (2.9.7), el segundo sumando de la ecuación (4.1.6) puede escribirse

2 ′ 2 𝑅′ 𝐼22 𝑅2 = (𝑎𝐼 ′2 ) (𝑎22 ) = (𝐼2′ ) 𝑅2

(4.1.7)

Se sustituye la ecuación (4.1.7) en la (4.1.6) y se obtiene: 2 𝑃𝑒𝑙 = 𝐼12 𝑅1 + (𝐼2′ ) 𝑅 ′2 (4.1.8)

Si se desprecia la corriente de vacío del transformador, la ecuación (2.6.2) se convierte en: 𝐼1 = 𝐼2′ (A) (4.1.9) Se sustituye la ecuación (4.1.9) en la (4.1.8) y tomando en consideración la ecuación (2.9.13) se obtiene: 𝑃𝑒𝑙 = 𝐼12 𝑅𝑒′ (4.1.10) La ecuación (4.1.10) también puede escribirse en función de la corriente del secundario y la resistencia equivalente correspondiente mediante: 𝑃𝑒𝑙 = 𝐼22 𝑅𝑒′′

(4.1.11)

Las pérdidas totales del transformador están dadas por la suma de las magnéticas y las eléctricas, es decir: 𝑃𝑡 = 𝑃𝑒𝑙 + 𝑃𝑚𝑎𝑔 (4.1.12) De acuerdo con lo expresado en las ecuaciones (4.1.5) y (4.1.11), en el transformador existen dos tipos de pérdidas, constantes, de núcleo o magnéticas las cuales no varían con la carga y pérdidas variables. Estas últimas varían con el cuadrado de la corriente de carga. Las pérdidas se traducen en calentamiento, provocando un incremento de temperatura en el transformador y además implican que la eficiencia sea inferior al 100 %. Para que la temperatura no sobrepase su valor máximo permisible especificado para cada tipo de aislamiento, debemos mantener el voltaje a un valor dado así como la corriente, estos valores son los nominales del transformador. Al aplicar el voltaje nominal se garantiza que las pérdidas magnéticas (ecuación 4.1.5) no sean excesivas. De igual manera al mantener la corriente en su valor nominal también se garantiza que las pérdidas eléctricas (ecuación 4.1.11) no provoquen un calentamiento por encima del especificado. Estos valores nominales de voltaje y corriente determinan la potencia aparente del transformador, dado por la ecuación (2.7.3). 4.2 Eficiencia del transformador. Como en cualquier equipo, la eficiencia del transformador se define como la relación potencia de salida a potencia de entrada y la misma puede ser expresada en por unidad o en porciento. O sea: 𝑃 𝐸𝑓 = 𝑠𝑎𝑙 . 100 𝑃𝑒𝑛𝑡

(4.2.1)

Donde: 𝐸𝑓 – Eficiencia (%) 𝑃𝑠𝑎𝑙 – Potencia de salida 𝑃𝑒𝑛𝑡 - Potencia de entrada. La ecuación (4.2.1) puede ser escrita de varias formas como se muestra seguidamente. Las potencias de salida y de entrada se pueden escribir mediante: 𝑃𝑠𝑎𝑙 = 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 )(4.2.2) 𝑃𝑒𝑛𝑡 = 𝑉1 𝐼1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 ) (4.2.3) Donde: 𝑃𝑠𝑎𝑙 - Potencia de salida o entregada a la carga (W) 𝑃𝑒𝑛𝑡 - Potencia de entrada o suministrada por la fuente (W) 𝑉2 - Voltaje en el secundario (V) 𝜃2 - Ángulo entre la corriente 𝐼2 y el voltaje 𝑉2 𝑉1 - Voltaje aplicado al primario (V) 𝐼1 – Corriente por el devanado primario (A) 𝜃1 - Angulo entre la corriente 𝐼1 y el voltaje 𝑉1 Se sustituyen las ecuaciones (4.2.2) y (4.2.3) en la (4.2.1) y se obtiene: 𝑉 𝐼 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) 𝐸𝑓 = 2 2 . 100 𝑉1 𝐼1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 )

(4.2.4)

Puesto que la potencia de entrada es igual a la suma de la potencia de salida con las pérdidas, la eficiencia se puede expresar como sigue.

𝐸𝑓 =

𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) . 100 = . 100 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) + 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝑃𝑒𝑙 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) + 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝐼22 𝑅𝑒′′ (4.2.5)

La ecuación (4.2.5) puede escribirse en función de la potencia del transformador como sigue. La potencia aparente, de acuerdo con la ecuación (2.7.3), está dada por: 𝑆 = 𝑉2 𝐼2 𝑆𝑁 = 𝑉2 𝐼2𝑁 Donde: S- Potencia aparente del transformador para cualquier estado de carga (VA)

(4.2.6) (4.2.7)

𝑆𝑁 - Potencia aparente del transformador para la condición nominal (VA) 𝐼2 - Corriente por el secundario para cualquier estado de carga (A) 𝐼2𝑁 - Corriente por el secundario para la condición nominal (A) 𝑉2 - Voltaje nominal (V) Las pérdidas eléctricas se determinan para la condición nominal de carga mediante: 2 𝑅 ′′ (4.2.8) 𝑃𝑒𝑙𝑁 = 𝐼2𝑁 𝑒 Donde: 𝑃𝑒𝑙𝑁 - Pérdidas eléctricas en la condición nominal de carga (W) De las ecuaciones (4.2.8) y (4.1.11) se obtiene: 𝐼2

2 )

𝑃𝑒𝑙 = 𝑃𝑒𝑙𝑁 ( 𝐼2𝑁 De las ecuaciones (4.2.6) y (4.2.7) se obtiene:

(4.2.9)

𝑆 𝐼2 = 𝐼2𝑁 ( ) 𝑆𝑁

(4.2.10)

Al sustituir las ecuaciones (4.2.6), (4.2.9) y (4.2.10) en la (4.2.5) se obtiene: 𝑆. 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 )

𝐸𝑓 =

𝑆

𝑆. 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) + 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝑃𝑒𝑙𝑁 (𝑆 )

2

. 100

(4.2. 11)

𝑁

La ecuación (4.2.11) se puede escribir en función del estado de carga en por unidad:

𝐸𝑓 =

𝑆. 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) 𝑆. 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) + 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝑃𝑒𝑙𝑁 (𝑘)2

. 100

(4.2. 12)

Donde: 𝑘=

𝑆 − 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎. 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑆𝑁

4.3 Condición de máxima eficiencia. Al variar la corriente de carga del transformador, también varían las pérdidas eléctricas y la eficiencia. Para un valor de corriente de carga igual a cero, la eficiencia vale cero,

de acuerdo con la ecuación 4.2.5. Ello se debe a que la potencia de salida vale cero y la de entrada es igual a las pérdidas en vacío del transformador. Al ir incrementando la carga se cumple que la eficiencia aumenta pero se llega a un estado, denominado condición de máxima eficiencia, a partir del cual un aumento de la carga provoca una disminución de la eficiencia. Este resultado puede obtenerse experimentalmente con mediciones de las potencia de entrada y salida. Para obtener esta condición mediante la vía matemática, debe derivarse la ecuación (4.2.5) respecto a la corriente, considerando constante el voltaje y el factor de potencia de la carga, e igualar el resultado a cero, o sea: 𝑑𝐸𝑓 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) = . 100 = 0 𝑑𝐼2 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) + 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝐼22 𝑅𝑒′′

(4.3.1)

Al realizar la derivación en la ecuación (4.3.1) se obtiene: 2 (𝐼2𝑚𝑒 ) 𝑅𝑒′′ = 𝑃𝑚𝑎𝑔 (4.3.2) La ecuación (4.3.2) expresa que cuando se alcance un estado de carga para el cual las pérdidas eléctricas variables sean iguales a las pérdidas magnéticas constantes, se obtiene la condición de máxima eficiencia. La ecuación (4.3.2) puede escribirse mediante:

𝐼2𝑚𝑒 = √

𝑃𝑚𝑎𝑔 𝑅𝑒′′

(4.3.3)

Donde: 𝐼2𝑚𝑒 – Corriente de secundario o de carga para máxima eficiencia (A) Si se realiza una corrida de pérdidas y eficiencia de un transformador se obtienen los resultados gráficos mostrados en la figura No. 4.3.1. Obsérvese que la máxima eficiencia se obtiene cuando las pérdidas eléctricas son iguales a las magnéticas. La ecuación (4.3.3) puede escribirse en función de las pérdidas eléctricas como sigue. Se despeja la resistencia equivalente de la ecuación (4.2.8) y se sustituye en la (4.3.3) quedando: 𝑃𝑚𝑎𝑔 𝐼2𝑚𝑒 = 𝐼2𝑁 √ 𝑃𝑒𝑙𝑁

(4.3.4)

La ecuación (4.3.4) indica que la condición de corriente de carga para máxima eficiencia solamente depende de la relación de pérdidas magnéticas a eléctricas nominales. Así por ejemplo si estas son iguales, la máxima eficiencia se obtiene en la condición nominal de trabajo del transformador. Si esta relación el transformador está diseñado de modo que las pérdidas eléctricas nominales sean mayores a las magnéticas, la condición de máxima eficiencia se obtiene a un valor de carga inferior al nominal.

Esta condición se cumple para transformadores que alimentan cargas variables, como son los empleados en la distribución, obedeciendo ello a aspectos económicos.

Figura 4.3.1: Curvas de pérdidas y eficiencia. La ecuación (4.3.4) puede ser escrita en función de las potencias del transformador como sigue. Se multiplica por 𝑉2 la ecuación (4.3.4) en ambos miembros y teniendo en cuenta (4.2.7) se obtiene: 𝑃𝑚𝑎𝑔 𝑆𝑚𝑒 = 𝑆𝑁 √ 𝑃𝑒𝑙𝑁

(4.3.5)

Donde: 𝑆𝑚𝑒 = 𝑉2 𝐼2𝑚𝑒 𝑆𝑚𝑒 – Potencia aparente para la condición de máxima eficiencia (VA)

(4.3.6)

Se divide por 1000 la ecuación (4.3.5) en ambos miembros y se obtiene la ecuación expresada en kVA: 𝑃𝑚𝑎𝑔 𝑘𝑉𝐴𝑚𝑒 = 𝑘𝑉𝐴𝑁 √ 𝑃𝑒𝑙𝑁

(4.3.7)

Donde: 𝑘𝑉𝐴𝑚𝑒 - kVA para la condición de máxima eficiencia 𝑘𝑉𝐴𝑁 - kVA nominales. En la tabla No. (4.3.1) se muestran los datos de varios transformadores. Puede observarse de la quinta y sexta columna, que la máxima eficiencia ocurre a condiciones

de carga inferiores a la nominal, lo cual se obtiene al aplicar la ecuación (4.3.7). Si se aplica la ecuación (4.2.11) se obtiene la séptima columna de la tabla. Ejemplo 4.2.1 Un transformador monofásico tiene los siguientes datos: 𝑘𝑉𝐴𝑁 = 25 kVA 𝑁1 𝑉1 2400 = = = 10 (𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑐í𝑜) 𝑁2 𝑉2 240 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 112 𝑊 𝑎=

𝑅𝑒′′ =0.0276 Ohm Se conoce que el factor de potencia de la carga es igual a 0.8. Calcular la eficiencia para los siguientes valores de corriente: a) b) c) d)

Nominal 50% de la nominal. 10 % de la nominal Condición de máxima eficiencia.

Resolución a) De la ecuación (4.2.7), la corriente nominal por el devanado secundario está dada por: (25)103 𝐼2𝑁 = = 104.1667 (𝐴) 240 De la ecuación (4.2.5) se obtiene: 𝐸𝑓 =

(240)(104.1667)(0.8) (240)(104.1667)(0.8) + 112 + (104.16672 )(0.0276)

. 100 = 97.98%

b) Para la condición pedida: 𝐼2 =

104.1667 = 52.08 (𝐴) 2

De la ecuación (4.2.5) se obtiene: 𝐸𝑓 =

(240)(52.08)(0.8) (240)(50.08)(0.8) + 112 + (52.08)2 (0.0276)

. 100 = 98.16%

c) Para la condición pedida: 𝐼2 = (0.1)(104.1667) = 10.41 (𝐴) 𝐸𝑓 =

(240)(10.41)(0.8) (240)(10.41)(0.8) + 112 + (10.41)2 (0.0276)

. 100 = 94.55%

d) Las pérdidas eléctricas en la condición nominal, de acuerdo con la ecuación (4.2.8) están dadas por: 𝑃𝑒𝑙𝑁 = 104.16672 (0.0276) = 299.47 𝑊

De la ecuación (4.3.4) la corriente para la condición de máxima eficiencia está dada por: 𝐼2𝑚𝑒 = 104.1667√ 𝐸𝑓 =

112 = 63. 7 (𝐴) 299.47 (240)(63.7)(0.8)

(240)(63.7)(0.8) + 112 + (63.7)2 (0.0276)

. 100 = 98.2 %

Obsérvese que para esta condición las pérdidas eléctricas de la ecuación (4.1.11) presentan el valor: 𝑃𝑒𝑙 = (63.7)2 (0.0276) = 112 (𝑊). Se comprueba del resultado anterior, que para la condición de máxima eficiencia las pérdidas eléctricas tienen el mismo valor de las magnéticas. Transf. KVA No. nominales

Pérdidas Pérdidas kVAme % de Eléctricas Magnéticas carga para Nominales máxima (W) eficiencia (W)

Ef (%) (*)

1

5

70.88

28

3.1

62

98.06

2

25

300

112

15.27

61

98.39

3

15

160

50

8.39

56

98.61

4

37.5

403.5

114

19.93

50

98.64

5

50

1390

240

20.78

41.56

98.84

6

75

1870

330

31.5

42

97.15

7

100

2200

400

42.6

42.6

97.46

8

200

3490

690

88.92

44.46

97.95

9

250

4100

820

111.8

44.72

98.06

10

500

8200

1800

234.26

46.84

98.03

11

750

7605

2076

392

52.8

98.72

12

1000

10645.41

2200

454

45.4

98.73

Tabla 4.3.1 Datos de transformadores Comerciales. (*): La eficiencia corresponde a la condición nominal y un factor de potencia 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) = 1

4.4Efecto del factor de potencia de la carga sobre la eficiencia. La eficiencia del transformador está afectada por el factor de potencia de la carga. Si el valor del factor de potencia es bajo, también lo es la eficiencia siendo éste una de los efectos perjudiciales de un bajo factor de potencia en los sistemas eléctricos. El efecto del factor de potencia sobre la eficiencia se puede comprobar de una manera evidente, si se divide la ecuación (4.2.11) por el factor de potencia, o sea: 𝑆

𝐸𝑓 = 𝑆+

2 𝑆 𝑃𝑚𝑎𝑔 +𝑃𝑒𝑙𝑁 ( ) 𝑆

. 100

(4.4.1)

𝑁

𝑐𝑜𝑠(𝜃2 )

De la ecuación (4.4.1) resulta evidente que para cualquier valor de la potencia S, a medida que el factor d potencia es más bajo, menor será la eficiencia. Ejemplo 4.2.2. Repita el problema del ejemplo 4.2.1, considerando que el factor de potencia de la carga presenta un valor igual a 0.2. Resolución Para la resolución del problema se dan los mismos pasos seguidos en el ejemplo anterior pero sustituyendo el factor de potencia por su valor 0.2. Con ello se obtiene: a)

𝐸𝑓 =

(240)(104.1667)(0.2) (240)(104.1667)(0.2) + 112 + (104.16672 )(0.0276)

. 100 = 92.39%

b)

𝐸𝑓 =

(240)(52.08)(0.2) (240)(52.08)(0.2) + 112 + (52.0872 )(0.0276)

. 100 = 93.06%

c)

𝐸𝑓 =

(240)(10.41)(0.2) (240)(10.41)(0.2) + 112 + (10.412 )(0.0276)

. 100 = 81.29%

d) 𝐸𝑓 =

(240)(63.7)(0.2) (240)(63.7)(0.2) + 112 + (63.72 )(0.0276)

. 100 = 93.17%

En la tabla 4.4.1 se muestran los resultados comparativos de los dos ejemplos. Como puede comprobarse, la eficiencia presenta valores menores para el factor de potencia igual a 0.2.

f.p=0.8

f.p=0.2

I2 (A)

Ef (%)

Ef (%)

104.1667

97.98

92.39

63.7

98.2

93.11

52.08

98.16

93.06

10.41

94.55

81.29

Tabla 4.4.1: Resultados correspondientes a los ejemplos 4.4.1 y 4.4.2 Ejemplo 4.2.3. Confeccione un programa en Lenguaje Matlab que permita determinar la eficiencia en función de la corriente I2 para el transformador del ejemplo 4.2.1. Se requiere representar la eficiencia para los siguientes factores de potencia: 0.8, 0.5 y 0.1 Resolución A continuación se presenta el código del programa elaborado, el cual ha sido salvado con el nombre de EFICIENCIA_I. Del mismo debe observarse:    



Los datos son introducidos mediante la instrucción input. La corriente por la carga tomada como variable independiente se varía en el intervalo desde cero a 1.2 veces el valor nominal, con incrementos de 2 (A). Se declara un vector para los tres valores de factor de potencia. Como resultados además de la representación gráfica, se dan en forma numérica la eficiencia máxima, la iteración para la cual ocurre la misma y el valor de la corriente en estas condiciones. Para ello se emplea la función maxy las instrucciones[EfmaxIter]=max(Ef)I2me=I2(Iter) El valor de la corriente para máxima eficiencia es igual a 64 (A), el cual coincide prácticamente con el obtenido en el inciso d) del ejemplo 4.4.1 o 4.4.2. La pequeña diferencia se debe a que con el programa los cálculos fueron realizados con incrementos de corriente de 2 (A). Si este incremento es reducido, esta diferencia también se reduce.

Código en Matlab. % TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS DEVANADOS %ARCHIVO: EFICIENCIA_I % EJEMPLO: 4.2.3 clc clear all Re=input('Resistencia equivalente por el lado de baja (Ohm) Re''='); V2= input('Voltaje a aplicar a la carga (V) V2='); Pmag=input('Pérdidasmagneticas (W) Pmag='); In=input('Corriente Nominal (A)In='); I2=0:2:1.2*In;

FP=[ 0.8 0.5 0.1 ]; for J=1:length(FP) for I=1:length(I2); Pel=I2(I).*I2(I)*Re; Ef(I,J)=V2*I2(I).*FP(J)./(V2*I2(I).*FP(J)+Pmag+Pel)*100; end end plot(I2,Ef,'-*') title('Eficienciavs I2') gridon xlabel ('Corriente por el secundario (A)'); ylabel('Eficiencia (%)'); legend(' FP=0.8','FP=0.5','FP=0.1') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') [EfmaxIter]=max(Ef) I2me=I2(Iter)

Datos Resistencia equivalente por el lado de baja (Ohm) Re´´=0.0276 Voltaje a aplicar a la carga (V) V2=240 Pérdidas magnéticas (W) Pmag=112 Corriente Nominal (A)In=104.1667 Resultados gráficos

Figura 4.4.1 Resultados gráficos correspondientes al ejemplo 4.2.3

Resultados numéricos Maxima eficiencia (%) y número de iteración Efmax = 98.2015 97.1531 87.2207 Iter = 33

33

33

Corriente para eficiencia máxima (A) I2me = 64

64

64

Ejemplo 4.2.4. Calcular la eficiencia del transformador No.10 de 500 kVA correspondiente a la tabla 4.3.1, para los siguientes estados de carga, en % del nominal. (Considere un factor de potencia de la carga igual a 1). a) 5% b) 100% c) Condición de máxima eficiencia. Resolución De acuerdo con los datos mostrados en la tabla 4.3.1 se cumple: 𝑃𝑒𝑙𝑁 = 8200 𝑊

𝑃𝑚𝑎𝑔 = 1800 𝑊

a) Para los datos dados se cumple 𝑆 = (0.05)(500) = 25 𝑘𝑉𝐴 Al emplear la ecuación (4.2.12) se obtiene, conociendo que el estado de carga en por unidad presenta el valor k=25/500=0.05 (25)(103 )(1) 𝐸𝑓 = 100 = 93.21 % (25)(103 )(1) + 1800 + 8200(0.05)2 b) Para la condición nominal se cumple 𝑆 = 𝑆𝑁 = 500 𝑘𝑉𝐴 y k=1: (500)(103 )(1) 𝐸𝑓 = 100 = 98.03 % (500)(103 )(1) + 1800 + 8200(1)2 Obsérvese que este valor de eficiencia coincide con el mostrado en la tabla 4.3.1 c) El valor de kVA para máxima eficiencia, de acuerdo con la ecuación (4.3.7) está dado por:

1800 𝑘𝑉𝐴𝑚𝑒 = 500√ = 234.26 𝑘𝑉𝐴 8200 El estado de carga en por unidad está dado por: 𝑘 =

234.26 500

= 0.4685

Al emplear la ecuación (4.2.12), se obtiene: (234.26)(103 )(1)

𝐸𝑓 = 100 = 98.49 % (234.26)(103 )(1) + 1800 + 8200(0.4685)2 La eficiencia en estas condiciones también se puede obtener de la ecuación (4.2.12) conociendo que para máxima eficiencia las pérdidas eléctricas presentan igual valor que las magnéticas, o sea: (234.26)(103 )(1) 𝐸𝑓 = 100 = 98.49 % (234.26)(103 )(1) + 1800 + 1800

Ejemplo 4.2.5. Confeccione un programa en Lenguaje Matlab que permita determinar la eficiencia en función de la potencia S para el transformador del ejemplo 4.2.4. Se requiere representar la eficiencia para los siguientes factores de potencia: 0.8 ,0.5 y 0.1. Resolución A continuación se presenta el código del programa elaborado, el cual ha sido salvado con el nombre de EFICIENCIA_II. Del mismo debe observarse:    

Los datos son introducidos mediante la instrucción input. La potenica por la carga tomada como variable independiente se varía en el intervalo desde cero hasta 1.2*SN con intervalos de 0.02*SN Se declara un vector para los tres valores de factor de potencia. Como resultados además de la representación gráfica, se dan en forma numérica la eficiencia máxima y los kVA para la condición de máxima eficiencia.

Código en Matlab. % TRANSFORMADOR MONOFASICO DE DOS DEVANADOS %ARCHIVO: EFICIENCIA_II % EJEMPLO: 4.2.5 clc clearall PelN=input('Pérdidas eléctricas nominales (W) Pmag=input('Pérdidas magneticas (W) Pmag='); SN=input('Potencia Nominal (kVA)SN='); S=0:0.02*SN:1.2*SN;

PelN=');

FP=[ 1 0.5 0.1 ]; kVAme=SN*sqrt(Pmag/PelN); for J=1:length(FP) for I=1:length(S); k=S/SN; Ef(I,J)=S(I)*1e3.*FP(J)./(S(I)*1e3.*FP(J)+Pmag+k(I).*k(I)*PelN)*100; Efmax(J)=kVAme*1000*FP(J)./(kVAme*1000*FP(J)+2*Pmag)*100; end end plot(S,Ef,'-*') title('Eficienciavs kVA') gridon xlabel ('Potencia (kVA)'); ylabel('Eficiencia (%)'); legend(' FP=0.8','FP=0.5','FP=0.1') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') disp('kVA para maxima eficiencia ') kVAme disp('Máxima eficiencia (%)' ) Efmax

Resultados gráficos

Figura 4.4.2 Resultados gráficos correspondientes al ejemplo 4.2.5 Datos

Pérdidas eléctricas nominales (W) PelN=8200 Pérdidas magnéticas (W) Pmag=1800 Potencia Nominal (kVA) SN=500 Resultados numéricos kVA para máxima eficiencia kVAme = 234.2606 Máxima eficiencia (%) Efmax = 98.4865 97.0181 86.6795

CAPÍTULO V

V

Transformaciones Trifásicas

La mayoría de los sistemas de transmisión y distribución de energía eléctricas son trifásicos debido a las ventajas que presentan sobre los monofásicos. En las redes de distribución se presentan cargas trifásicas y monofásicas. Estas últimas son distribuidas entre las fases para tratar de formar una carga trifásica balanceada. Por ello es importante el estudio de los transformadores en este tipo de sistemas. Las transformaciones de voltaje en estos sistemas puede ser llevado a cabo de dos maneras. Mediante bancos de transformadores que consiste en la interconexión de forma conveniente de transformadores monofásicos, como los estudiados en los capítulos anteriores o mediante una sola estructura magnética (transformadores trifásicos), en la cual se colocan conectados convenientemente los devanados primario y secundarios. Los bancos de transformadores se pueden formar de dos tipos: cerrados los cuales se componen de tres transformadores monofásicos o abiertos, formados por la unión de dos transformadores monofásicos. Los bancos cerrados y los transformadores trifásicos pueden ser conectados mediante las diferentes tipos de conexiones: delta-delta (∆ − ∆), estrella-estrella (Y-Y), estrella-delta(Y-∆) y delta-estrella(∆ − 𝑌). Los bancos abiertos pueden ser conectados en delta-abierta( - ) y estrella-abierta( - ).En el cuadro 5 se muestran las diferentes conexiones descritas anteriormente. Bancos cerrados de transformadores Según se describió anteriormente un banco cerrado de trasformadores está formado por tres transformadores monofásicos conectados convenientemente. A continuación se estudiará el comportamiento de cada una de las conexiones. 5.1 Banco delta-delta

Considérese tres transformadores monofásicos (1) (2) y (3) idénticos con vueltas N1 y N2 en los devanados primario y secundario respectivamente, con polaridades dadas como se muestra en la figura (5.1.1) y que con los mismos se quiere formar un banco delta-delta. Para ello como su nombre lo indica se conectan entre sí los tres devanados primarios en delta al igual que los secundarios. Esto se lleva a cabo al unir los terminales H1-H2 de cada uno de los tres transformadores por primario y los X1-X2 por secundario según se muestra en la figura 5.1.2. Se considera que por los puntos A,B,C se alimenta la fuente trifásica y por los puntos a,b,c se conecta la carga. En cualquier conexión trifásica es muy importante respetar las polaridades de los transformadores de modo que de un sistema trifásico balanceado suministrado por la fuente, se obtenga otro también trifásico balanceado para aplicar a la carga. En la figura (5.1.3) se muestra el diagrama fasorial de voltajes correspondiente al banco ∆ − ∆ . Para construir el mismo se parte de que la fuente fija un sistema trifásico balanceado de voltajes (fig. 5.1.3- a), en la que se ha tomado como referencia el voltaje aplicado entre las líneas AB. De acuerdo con las polaridades dadas al aplicar al trasformador (1) el voltaje 𝑉𝐴𝐵 entre puntos con polaridades 𝐻1 − 𝐻2 , con éste aparece en su secundario entre las líneas a-b con polaridades 𝑋1 − 𝑋2 , el voltaje 𝑉𝑎𝑏 en fase, tal como se muestra en la figura 5.1.3-b. De igual forma se puede completar el diagrama fasorial correspondiente a los voltajes de las dos fases restantes. Como se puede observar, en el secundario se obtiene también un sistema trifásico balanceado. Obsérvese que al cerrar la malla a través de los tres secundarios se obtiene un voltaje resultante igual a cero, de modo que se puede cerrar la misma sin ninguna corriente circulante, que es lo adecuado. Si no se hubiesen respetado las polaridades al formar el banco, es decir si no se hubiesen unidos los puntos 1 con los 2, por ejemplo según se muestra en la figura 5.1.4-aen la que en el transformador (3) se unieron los puntos X2-X2 por secundario, se obtiene un voltaje resultante Vr entre los puntos a-d igual a dos veces el voltaje de línea, según se representa en el diagrama fasorial correspondiente mostrado en la figura (5.1.4-b) . Esto implica que al unir los puntos a-d para cerrar la malla a través de los tres secundarios, se provoca una alta corriente que daña térmicamente a los transformadores. Si se conecta un voltímetro entre los puntos a-d, según se indica en la figura 5.1.4-a, se obtiene el voltaje resultante. Si la conexión por secundario se hubiese realizado correctamente, la lectura del voltímetro daría cero, lo cual se puede utilizar en la práctica para verificar que la conexión es adecuada.

N1

N2 Figura 5.1.1 Tres transformadores monofásicos

Delta-Estrella Delta-Delta Cerrados

Estrella-Estrella Estrella-Delta

Bancos de transformadores (Unión de transformadores monofásicos)

Delta-Abierta

Abiertos Transformaciones Trifásicas

Estrella-Abierta Conexión T Delta-Delta Transformadores Trifásicos (Una sola estructura magnética)

Delta-Estrella Estrella-Estrella Estrella-Delta

Cuadro No.5: Diferentes formas de transformaciones trifásicas

(a) Figura 5.1.2: Banco de transformadores conectado en ∆ − ∆

(b)

A

VAB

B

Vab

a

b

Vca

VCA

Vbc

VBC

c C (a)

(b)

Figura 5.1.3: Diagrama fasorial de voltajes por primario (a) y secundario (b) correspondientes al banco ∆ − ∆ De acuerdo con los diagramas fasoriales anteriores, se puede comprobar que en el banco delta-delta, los voltajes de primario y secundario se encuentran en fase.

a

Vab

b Vbc c

Vr=Vad Vcd d

(b) Figura 5.1.4: Conexión ∆ − ∆ incorrecta Según se muestra en la figura 5.1.2, como en cualquier conexión delta se cumple: 𝑉𝐿1 = 𝑉𝐹1

(5.1.1)

𝐼𝐿1 = √3𝐼𝐹1

(5.1.3)

𝑉𝐿2 = 𝑉𝐹2 𝐼𝐿2 = √3𝐼𝐹2

(5.1.4)

(5.1.2)

Donde: 𝑉𝐿1 - Voltaje de línea por primario 𝑉𝐹1 - Voltaje de fase por primario 𝐼𝐿1 - Corriente de línea por primario 𝐼𝐹1 - Corriente de fase por primario 𝑉𝐿2 - Voltaje de línea por secundario 𝑉𝐹2 - Voltaje de fase por secundario 𝐼𝐿2 – Corriente de línea por secundario 𝐼𝐹2 - Corriente de fase por secundario Los kVA que se le suministran a la carga trifásica se determinan, como en cualquier sistema trifásico balanceado, mediante el producto del voltaje los voltajes y corrientes de línea multiplicado por √3 (10−3 ) : 𝑘𝑉𝐴𝑐 = √3𝑉𝐿2 𝐼𝐿2 10−3

(5.1.5)

Circuito equivalente del banco delta-delta A partir del circuito equivalente mostrado en la figura (2.9.8), correspondiente a los transformadores monofásicos y de las relaciones de voltajes y corrientes indicadas en la figura (5.1.2), el circuito equivalente por fase de este tipo de banco, queda tal como se muestra a continuación.

Figura 5.1.5. Circuito equivalente por fase exacto referido al primario, correspondiente al banco ∆ − ∆ Donde:

𝑎= 𝑉2′

𝑁1 𝑁2

𝑉1 = 𝑉𝐿1 = 𝑉𝐹1 𝐼1 = 𝐼𝐹1 =

= 𝑎𝑉2 =

′ 𝑉𝐹2

=

′ 𝑉𝐿2

5.2 Banco estrella-estrella.

𝐼𝐿1 √3

𝐼2′ =

𝐼𝐹2 𝑎

=

𝐼𝐿2/√3 𝑎

Considérese de nuevo los tres transformadores monofásicos (1) (2) y (3) idénticos, con polaridades dadas como se muestra en la figura 5.1.1 y que con éstos se quiere formar un banco estrella-estrella. Para ello, como su nombre lo indica, se conectan entre sí los tres devanados primarios en estrella al igual que los secundarios. Esto se puede llevar a cabo al unir los terminales H2 de cada uno de los tres transformadores por primario y los X2 por secundario según se muestra en la figura 5.2.1., donde además se alimenta por los puntos A,B,C la fuente trifásica y por los puntos a,b,c se conecta la carga.

(a) Figura 5.2.1: Banco de transformadores conectado Y-Y En la figura 5.2.2 se muestra el diagrama fasorial de voltajes correspondiente al banco 𝑌 − 𝑌 . Para construir el mismo se parte de que la fuente fija un sistema trifásico balanceado de voltajes (fig. 5.2.2- a), en la que se ha tomado como referencia el voltaje aplicado entre las líneas AB. En este diagrama también se muestran los voltajes de fases correspondientes. En la figura 5.5.2-b se muestra el diagrama fasorial correspondiente a los voltajes del secundario. Para construirlo debe observarse las polaridades de los transformadores. Así para el transformador (1) por primario de n hasta A se aplica el voltaje VnA con polaridad H2-H1. Por tanto por su secundario con polaridad de X2-X1 aparece el voltaje Vna. , en fase con VnA De igual forma aparecen los voltajes en las dos fases restantes. Con ello se obtiene un sistema de voltajes de fases balanceados. A partir del diagrama fasorial de los voltajes de fases, se obtiene el diagrama fasorial de

los voltajes de líneas, según se muestra en la propia figura. En las figuras 5.5.2.-c y 5.5.2-d se presentan los diagramas fasoriales de triple origen. Puede comprobarse que en este tipo de banco, los voltajes de primario y secundario se encuentran en fase. En la figura 5.2.1 como en cualquier conexión en estrella se cumple: 𝑉𝐿1 = √3𝑉𝐹1

(5.2.1)

𝐼𝐿1 = 𝐼𝐹1 (5.2.3)

𝐼𝐿2 = 𝐼𝐹2

𝑉𝐿2 = √3𝑉𝐹2

(5.2.2)

(5.2.4)

Donde: 𝑉𝐿1 - Voltaje de línea por primario 𝑉𝐹1 - Voltaje de fase por primario 𝐼𝐿1 - Corriente de línea por primario 𝐼𝐹1 - Corriente de fase por primario 𝑉𝐿2 - Voltaje de línea por secundario 𝑉𝐹2 - Voltaje de fase por secundario 𝐼𝐿2 – Corriente de línea por secundario 𝐼𝐹2 - Corriente de fase por secundario Si no se hubiesen respetado las polaridades al formar el banco Y-Y, se obtendría un sistema de voltajes por secundario no balanceado. Por ejemplo supóngase que por secundario se realiza una conexión no adecuado según se muestra en las figura 5.2.3-a donde se han unido por secundario los terminales con polaridades X2 y X1 en los transformadores (2) y (3). En estas condiciones se obtiene el diagrama fasorial mostrado en la figura 5.2.3-b. Obsérvese que en los transformadores (1) y (2) los voltajes Vna y Vnb están en fase con los voltajes VnA y VnB del primario, sin embargo en el transformador (3) el voltaje Vnc se encuentra desfasado 180° del VnC del primario, lo cual se obtiene para las polaridades señaladas.

Vab

VAB

A

B

a

b

30°

VnA

Vna VnB

Vnb

n n

VCA

VnC

Vnc

Vca

VBC

Vbc

c

C (a)

(b) Vca

VCA

30°

30°

Vcn

VCn

Vab

VAB Vbn

VBn

30°

30° VAn

30°

Van

30° Vbc

VBC

(c)

(d)

Figura 5.2.2: Diagrama fasorial de voltajes por primario (a) y secundario (b) correspondientes al banco Y-Y

c Vca a

Vab

Vbc b

Vab Vnc

Vna

Vnb n (b)

Figura 5.2.3: Conexión Y-Y incorrecta Circuito equivalente del banco estrella-estrella A partir del circuito equivalente mostrado en la figura (2.9.8), correspondiente a los transformadores monofásicos y de las relaciones de voltajes y corrientes indicadas en la figura (5.2.1), el circuito equivalente por fase de este tipo de banco, queda tal como se muestra a continuación.

Figura 5.2.4. Circuito equivalente exacto por fase referido al primario, correspondiente al banco 𝐘 − 𝐘 Donde:

𝒂= 𝐼2′ =

𝑁1 𝑁2

𝑉1 =

𝐼𝐹2 𝐼𝐿2 = 𝑎 𝑎

𝑉𝐿1 √3

= 𝑉𝐹1 𝐼1 = 𝐼𝐹1 = 𝐼𝐿1 ′ 𝑉2′ = 𝑎𝑉2 = 𝑉𝐹2 =

𝑎𝑉𝐿2 √3

5.3 Banco estrella-delta. Considérese de nuevo los tres transformadores monofásicos (1) (2) y (3) idénticos con polaridades dadas como se muestra en la figura 5.1.1 y que con éstos se quiere formar un banco estrella-delta. Para ello, como su nombre lo indica, se conectan entre sí los tres devanados primarios en estrella y los secundarios en delta, según se muestra en la figura 5.3.1. En la figura 5.3.2 se muestra el diagrama fasorial correspondiente a este banco. En la figura (a) se muestran los diagramas fasoriales de voltajes de línea y de fase correspondientes al primario. Para obtener el diagrama correspondiente al secundario, según se muestra en la figura (b), debe colocarse el voltaje Vab en fase con el voltaje VAn, según lo indican las polaridades del transformador (1). De igual forma se procede para obtener los voltajes en los dos secundarios de los transformadores (2) y (3). En la figura 5.3.2 –d, se muestra un diagrama fasorial de triple origen en donde se han superpuesto los voltajes de primario y secundario. Para construir este diagrama, obsérvese que en la figura 5.3.1 el voltaje del secundario Vab con polaridad X1-X2 debe situarse en fase con el del primario Van , por tener este polaridad H1-H2. De igual forma se cumple para los voltajes restantes.

Si se comparan los voltajes Vab y VAB , se comprueba que este banco los voltajes en los secundarios se encuentran atrasados 30° respecto a los del primario. Para este banco, se cumplen las ecuaciones (5.2.1) y (5.2.3) para los voltajes y corrientes por el primario y las (5.1.2) y (5.1.4) para el secundario.

Figura 5.3.1: Banco de transformadores conectado Y-∆

VAB

VAB

A

B VnA VCA

VnB

n

C

30°

Vab

b

VBC Vca

VnC

(a)

a

Vbc

c (b)

Vca VCA

30°

VCn VAB

VnB

30°

Vbn

VAn

30° Vbc

Vab VBC

(c) Figura 5.3.2: Diagrama fasorial de voltajes por primario (a) y secundario (b) correspondientes al banco Y-∆ . c) Diagrama de triple origen Circuito equivalente del banco estrella-delta. A partir del circuito equivalente mostrado en la figura (2.9.8), correspondiente a los transformadores monofásicos y de las relaciones de voltajes y corrientes indicadas en la figura (5.3.1), el circuito equivalente por fase de este tipo de banco referido al primario, queda tal como se muestra a continuación.

Figura 5.3.3: Circuito equivalente por fase exacto referido al primario, correspondiente al banco Y-∆ Donde:

𝑎=

𝑁1 𝑁2

𝑉1 =

𝑉𝐿1 √3

= 𝑉𝐹1 𝐼1 = 𝐼𝐹1 = 𝐼𝐿1

𝐼2′ =

𝐼𝐹2 𝐼𝐿2 /√3 = 𝑎 𝑎

′ 𝑉2′ = 𝑎𝑉2 = 𝑉𝐹2 =

𝑉𝐿2 𝑎

5.4 Banco delta-estrella Considérese de nuevo los tres transformadores monofásicos (1) (2) y (3) idénticos con polaridades dadas como se muestra en la figura 5.1.1 y que con éstos se quiere formar un banco delta-estrella Para ello, como su nombre lo indica, se conectan entre sí los tres devanados primarios en delta y los secundarios en estrella, según se muestra en la figura 5.4.1. En la figura 5.4.2 se muestra el diagrama fasorial correspondiente a este banco. En la figura (a) se muestra el diagrama correspondiente a los voltajes de línea aplicados al primario. Para obtener el diagrama fasorial de los voltajes por secundario, según se muestra en la figura (b), debe colocarse para el transformador (1) el voltaje Vna en fase con el voltaje VBA para cumplir con las polaridades indicadas. De igual forma se procede para los transformadores (2) y (3). Si se comparan los fasoresVab y VAB como se indica en la figura (a) se puede comprobar que los voltajes del secundario se adelantan 30° respecto a los del primario. Para este banco, se cumplen las ecuaciones (5.1.1) y (5.1.3) para los voltajes y corrientes del primario. Para el secundario se cumplen las ecuaciones (5.2.2) y (5.2.4)

Figura 5.4.1: Banco de transformadores conectado ∆ − 𝑌

b

Vab Vab

30°

A

VAB

VCA

B

Vnb n

a

Vna

Vnc

VBC C (a)

c (b)

Figura 5.4.2: Diagrama fasorial de voltajes por primario (a) y secundario (b) correspondientes al banco ∆ − 𝑌 Circuito equivalente del banco delta-estrella A partir del circuito equivalente mostrado en la figura (2.9.8), correspondiente a los transformadores monofásicos y de las relaciones de voltajes y corrientes indicadas en la figura (5.4.1), el circuito equivalente por fase de este tipo de banco referido al primario, queda tal como se muestra a continuación.

Figura 5.4.3:Circuito equivalente exacto referido al primario, correspondiente al banco ∆-Y Donde:

𝑁1 𝑁2

𝒂=

𝑉1 = 𝑉𝐿1 = 𝑉𝐹1 𝐼1 = 𝐼𝐹1 =

𝐼𝐿1 √3

𝐼2′ =

𝐼𝐹2 𝐼𝐿2 = 𝑎 𝑎

′ 𝑉2′ = 𝑎𝑉2 = 𝑉𝐹2 =

𝑎𝑉𝐿2 √3

De acuerdo con lo estudiado anteriormente se puede comprobar que en los bancos deltadelta y estrella-estrella, no se introduce ningún desfasaje entre los voltajes de primario y secundario, sin embargo en los bancos estrella-delta o delta- estrella, se presenta un desfasaje de 30° entre los voltajes. También debe destacarse que el circuito equivalente por fase es el mismo para cualquier tipo de conexión, sin embargo debe tomarse la precaución de que los valores de voltajes y de corrientes a sustituir en las, fases tal como se indica en cada uno de los tipos de bancos, es diferente. Ejemplo 5.1. Se tienen tres transformadores monofásicos idénticos con los siguientes datos cada uno. S= 100 kVA

𝑉 𝑎 = 1⁄𝑉 = 2400/240 (V) 2

Calcule los kVA que se le pueden suministrar a una carga trifásica, las corrientes por los devanados primarios y secundarios, los voltajes de línea a aplicar por primario y suministrados a la carga por secundario, si se emplean los siguientes tipos de bancos: a) b) c) d)

Banco delta-delta Banco estrella-estrella Banco estrella-delta Banco delta-estrella.

Considere los transformadores ideales, es decir, desprecie las impedancias del circuito equivalente. Resolución. De acuerdo con los datos, al aplicar las ecuaciones (2.7.3) y (2.7.4), las corrientes nominales por los devanados del primario y secundario para cada transformador están dadas por: 𝐼1 =

(100)103 = 41.6667 (𝐴) 2400

𝐼2 =

(100)103 240

= 416.667 (𝐴)

Estos valores nominales de corriente se deben mantener constantes independiente del tipo de conexión que se emplee, pues son los que soportan los devanados en forma continua, de modo no sufra daños térmicos. a) Banco delta-delta. (Figura 5.1.2)

Puesto que tanto por primario como por secundario se tiene una conexión en delta, los voltajes permisibles a aplicar por la fuente y suministrados a la carga están dados, de acuerdo con las ecuaciones (5.1.1) y (5.1.2) por: 𝑉𝐿1 = 2400 𝑉 (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜) 𝑉𝐿2 = 240 𝑉 (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) Puesto que por secundario existe una conexión delta, la corriente máxima permisible por las líneas están dadas por (5.1.4): 𝐼𝐿2 = √3(416.667)=721.6884 (A) La carga trifásica que puede ser alimentada se determina al aplicar la ecuación (5.1.5) 𝑘𝑉𝐴𝑐 = √3𝑉𝐿 𝐼𝐿 10−3 = √3 (240)(721.6684)(10−3)= 300 kVA El resultado anterior pudo haberse obtenido directamente, al multiplicar por 3 los kVA de cada transformador. Es decir que la carga trifásica que se puede suministrar es igual a 3 veces la capacidad nominal de cada uno de los elementos del banco. La corriente de línea por primario, de acuerdo con la ecuación (5.1.3) por: 𝐼𝐿1 = √3 (41.6667) = 72.1688 (𝐴) b) Banco estrella-estrella. Al existir en este caso una conexión en estrella tanto por primario como por secundario, los voltajes de línea, de acuerdo con las ecuaciones (5.2.1) y (5.2.2) por: 𝑉𝐿1 = √3(2400) = 4156.9 (𝑉) (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑉𝐿2 = √3(240) = 415.69 (𝑉) (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑔𝑎) Puesto que se presenta en este caso conexión estrella por primario y por secundario, las corrientes de líneas y de fases son iguales, es decir, de las ecuaciones (5.2.3) y (5.2.4) se obtiene: 𝐼𝐿1 = 41.6667 (𝐴)𝐼𝐿2 = 416.667 (𝐴) La carga en kVA que se puede alimentar se determina mediante la ecuación general (5.1.5): 𝑘𝑉𝐴𝑐 = √3(415.69)(416.667)10−3 = 300 𝑘𝑉𝐴 De acuerdo con el resultado anterior, se demuestra al igual que en el banco delta delta, que los kVA que se le pueden suministrar a la carga es igual a 3 veces los kVA nominales de cada uno de los elementos del banco. c) Banco estrella-delta.

Puesto que el primario está conectado en estrella, el voltaje que permisible a aplicar desde la fuente por el lado primario coincide con el hallado en el inciso anterior, es decir: 𝑉𝐿1 = √3(2400) = 4156.9 (𝑉) (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜 Como el secundario está conectado en delta, el voltaje de línea por secundario está dado por: 𝑉𝐿2 = 240 𝑉 (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) La corriente de línea por primario coincide con la de fase por estar este lado conectado en estrella, es decir: 𝐼𝐿1 = 41.6667 (𝐴) Sin embargo al estar el secundario conectado en delta, se cumple: 𝐼𝐿2 = √3(416.667)=721.6884 (A) La carga en kVA que se puede alimentar se determina mediante la ecuación general (5.1.5): 𝑘𝑉𝐴𝑐 = √3(240)(721.6884)10−3 = 300 𝑘𝑉𝐴 d) Banco delta-estrella. Para este tipo de conexión queda: 𝑉𝐿1 = 2400 𝑉 (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜) 𝑉𝐿2 = √3(240) = 415.69 (𝑉) (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑔𝑎) 𝑘𝑉𝐴𝑐 = √3(415.69)(416.667)10−3 = 300 𝑘𝑉𝐴 A manera de resumen se puede plantear que:     

Independientemente del tipo de banco, la carga trifásica que se puede alimentar es igual a 3 veces los kVA de cada uno de los elementos del banco. Las corrientes de fases son las mismas y se corresponden con las nominales de cada elemento del banco. El voltaje de la fuente de alimentación depende del tipo de conexión El voltaje aplicado a la carga depende del tipo de conexión Los valores de las corrientes por las líneas dependen del tipo de conexión

Ejemplo 5.2. Se requiere alimentar una carga trifásica de 1500 kVA cuyo voltaje nominal entre líneas es igual a 480 V. Se dispone de una fuente de alimentación de 4160 V. Se desea realizar una conexión del banco de transformadores delta por primario y estrella por secundario.

a) Calcule los kVA y los voltajes nominales por primario y por secundario de cada uno elementos del banco. b) Las corrientes por las fases y las líneas en primario y secundario Considere los transformadores ideales. Resolución.

a) De acuerdo con los resultados obtenidos en el ejemplo anterior, los kVA nominales de cada elemento del banco deben ser un tercio de los kVA pedidos por la carga, es decir: 𝑘𝑉𝐴𝑁 =

1500 = 500 𝑘𝑉𝐴 3

Puesto que se desea una conexión en estrella por secundario, el voltaje nominal de cada transformador por este lado está dado de acuerdo con la ecuación (5.2.1): 𝑉𝐹2 =

𝑉𝐿2 √3

=

480 √3

= 277.18 (𝑉)

Como por el lado de primario se ha seleccionado una conexión en delta el voltaje nominal de cada elemento del banco, de acuerdo con la ecuación (5.1.1): 𝑉𝐿1 = 𝑉𝐹1 = 4160 (𝑉) De acuerdo con los resultados anteriores en este caso para cumplir con los requerimientos pedidos deben conectarse tres transformadores con potencias nominales 𝑉 de 500 kVA cada uno y con relaciones de voltaje: 𝑉1 = 4160⁄277.18 = 15 Así, cada 2 elemento del banco presenta una relación de transformación 𝑎 = 15. b) Por el devanado secundario por estar conectado en estrella, las corrientes por las líneas coinciden con las de fase y están dadas, de acuerdo con la ecuación (5.1.5): 𝐼𝐿2 = 𝐼𝐹2 =

103 (1500) (480)√3

= 1804.2 (𝐴)

La corriente de fase en cada elemento por primario se puede determinar mediante la ecuación (2.4.11):

𝐼𝐹1 =

𝐼𝐹2 1804.2 = = 120.28 (𝐴) 𝑎 15

Puesto que por primario el banco está conectado en delta, la corriente por las líneas se determina mediante la ecuación (5.1.3): 𝐼𝐿1 = √3(120.28) = 208.33 (𝐴). Si se desea se puede comprobar, empleando los valores de voltaje y corriente del primario, la potencia de cada elemento y la total suministrada por la fuente mediante: 𝑘𝑉𝐴𝑒 = 4160 ∗ 102.28 ∗ 10−3 =500 kVA ( 𝑘𝑉𝐴 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. ) 𝑘𝑉𝐴𝑓 = √3 ∗ 4160 ∗ 208.33 ∗ 10−3 = 1500 𝑘𝑉𝐴 ( 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒) Puede comprobarse que la potencia suministrada por la fuente es igual a la consumida por la carga, ya que se ha considerado transformadores ideales. Los dos ejemplos anteriores se han resuelto en forma aproximada, considerando los transformadores ideales. A continuación supondremos los transformadores reales, para lo cual debe emplearse los circuitos equivalentes correspondientes. Ejemplo 5.3. Se requiere alimentar una carga trifásica simétrica de 75 kVA con un voltaje de 240 V. entre líneas La carga presenta un carácter inductivo con la corriente formando un ángulo de atraso respecto al voltaje igual a 30°. Se dispone de tres transformadores de 25 kVA con los siguientes datos: 𝑎=

𝑁1 𝑉1 2400 = = = 10 (𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑐í𝑜) 𝑁2 𝑉2 240

𝑅𝑒′ = 2.76 𝑂ℎ𝑚 𝑋𝑒′ = 10 𝑂ℎ𝑚 Empleando el circuito equivalente aproximado, calcule el voltaje a aplicar por primario en condiciones nominales, para cumplir con los requerimientos dados, si se emplea un banco estrella delta. Resolución. Puesto que la carga trifásica demandada 75 kVA, cada elemento del banco que se emplea debe suministrar la tercera parte, de acuerdo con los resultados obtenidos en el ejemplo 5.1. Así cada elemento debe suministrar 25 kVA. La corriente nominal por el lado de alta por cada elemento del banco se determina mediante: (25)(1000) 𝐼1 = = 10.416 (𝐴) 2400 Puesto que se desea emplear el circuito equivalente aproximado, el de la figura 5.3.3 se modifica, como se muestra en la figura 5.4.4, tomando como base el mostrado en la figura 2.9.10.

La impedancia de dispersión presenta el valor: 𝑍𝑒′ = 2.76 + 𝑗10 = 10.38 < 74.57° 𝑂ℎ𝑚. Tomando como referencia el voltaje aplicado a la carga, el voltaje de la fuente aplicando la ecuación (2.9.16) ,está dado por: 𝑉1 = 2400 < 0° + (10.42 < −30)(10.38 < 74.57°) = 2478 < 1.755° De acuerdo con el voltaje obtenido, se cumple el diagrama fasorial por fase mostrado en la figura No.5.4.5

Figura 5.4.4: Circuito equivalente correspondiente al ejemplo 5.3

aproximado

referido

al

primario,

V1=2478 V

𝛳2 = 30° 𝐼′2 = 𝐼1

𝛿=1.755 ° 𝑉′2

𝜃𝑒

𝐼′2 𝑋′𝑒

𝐼′2 𝑅′𝑒

𝐼′2 𝑍′𝑒

90°

Figura 5.4.5: Diagrama fasorial por fase correspondiente al ejemplo 5.3 Puesto que los transformadores están conectados en estrella por primario, el voltaje aplicar entre cada par de líneas debe ser: 𝑉1𝐿 = √3 2478 = 4286.94 (𝑉) Ejemplo 5.4

Confeccione un programa en Lenguaje Matlab que permita determinar las características de comportamiento del los transformadores del problema 5.3, en función de los kVA totales del banco. Las características deben ser colocadas en un mismo gráfico. Considérese que se desea mantener constante el voltaje aplicado a la carga al valor 𝑉2 = 240 𝑉. Se desea graficar las siguientes características para tres ángulos 𝜃2 : 30°, 0° y 30°: Voltaje de la fuente, regulación de voltaje y ángulo 𝛿 . El programa debe considerar los cuatro tipos de conexiones de los bancos cerrados. Resolución A continuación se presenta el código del programa elaborado, el cual ha sido salvado con el nombre de TRANSFORMACIONES_TRIFASICAS. Del mismo debe observarse:  Los datos son introducidos mediante la instrucción input.  Se emplea una interfaz para dar como dato el tipo de conexión, declara mediante la instrucción menú  Los kVA totales entregados por el banco se consideran como variable independiente y se varían en el intervalo desde cero a 1.5 veces el valor nominal.  Se declara un vector con los valores angulares correspondientes a 𝜃2  Se han empleado dos lazos for. En el interior de ellos, se ha variado los kVAcomo un vector desde valor 1 hasta la longitud de éste. De igual forma se lleva a cabo con el lazo exterior, pero en este caso se relaciona con el vector que representa el ángulo𝜃2 de la corriente.

CÓDIGO EN MATLAB

%ARCHIVO: Transformaciones_Trifasicas % EJEMPLO: 5.4 clear all Re=input('Resistencia equivalente por el lado de alta (Ohm) Re''='); Xe=input('Reactancia equivalente por el lado de alta(Ohm) Xe''='); V2= input('Voltaje linea a linea a aplicar a la carga (V) V2='); V2N=input('Voltaje nominal del transformador por secundario (V) V2N='); a= input('Relación de transformación del transformador a='); kVAN=input('Potencia Nominal de cada elemento del banco(kVA) kVAN='); citae=atand(Xe/Re); kVA=0:2:1.5*kVAN; % kVA de cada elemento del banco cita2=[-30 0 30 ];% Los ángulos negativos corresponden a f.p. en atraso conexion = menu('Seleccione conexion','Estrella_Estrella','DeltaDelta','Estrella_Delta','Delta_Estrella') clc switch conexion; case 1 % Conexion Estrella-Estrella V2=V2/sqrt(3); case 2 % Conexion Delta_Delta V2=V2; case 3 % Conexion Estrella_Delta V2=V2; case 4 V2=V2/sqrt(3); %Conexiòn Delta_Estrella end for J=1:length(cita2) for I=1:length(kVA); Ze=Re+Xe*i; Zem=abs(Ze); Citae=angle(Ze)*180/pi; cita2r=cita2(J)*pi/180; % Convierte grados a radianes. I2=kVA*1000/V2N; I2c=I2(I)*exp(cita2r*i);% Fasor de corriente en la carga V1=V2*a+(I2c/a)*Ze; delta(I,J)=angle(V1)*180/pi; V1a(I,J)=abs(V1); % Modulo del voltaje aplicado por la fuente RV(I,J)=(V1a(I,J)/a-V2)/V2*100; end end switch conexion; case 1 V1L=sqrt(3)*V1a; case 2 V1L=V1a; case 3 V1L=V1a*sqrt(3); case 4 V1L=V1a; end plot(3*kVA,V1L,'-*') title('VOLTAJE V1L vs kVA') grid on xlabel ('Potencia total del banco (kVA)');

En la tabla 5.1 se muestra como deben ser introducido los datos, para ello, se ha empleado la instrucción input. Además para introducir el tipo de conexión, se emplea el menú mostrado en la figura 5.4.6 En las figuras 5.4.7-a, 5.4.7-b y 5.4.7.-c se muestran las características pedidas. Como puede observarse, para el ángulo en atraso se presenta la peor regulación de voltaje; para el ángulo en adelanto se obtienen valores de regulación negativos, tal como fue estudiado en el capítulo III. Resistencia equivalente por el lado de alta (Ohm) Re'=2.76 Reactancia equivalente por el lado de alta (Ohm) Xe'=10 Voltaje línea a línea aplicar a la carga (V) V2=240 Voltaje nominal del transformador por secundario (V) V2N=240 Relación de transformación del transformador a=10 Potencia Nominal de cada elemento del banco (kVA) kVAN=25

Tabla 5.1: Datos correspondientes al ejemplo 5.4

Figura No. 5.4.6: Menú para introducir el tipo de conexión

VOLTAJE V1L vs kVA

Voltaje de la fuente entre lineas(V)

4400

cita2=-30 cita2=0 cita2=30

4350 4300 4250 4200 4150 4100 4050 0

20

40 60 80 100 Potencia total del banco (kVA)

120

Figura 5.4.7-a Características de voltaje de la fuente vs kVA para diferentes ángulos 𝛉𝟐 de la corriente

Regulación de voltaje vs kVA

Regulación de voltaje (%)

6

4

cita2=-30 cita2=0 cita2=30

2

0

-2 0

20 40 60 80 100 Potencia total del banco (kVA)

120

Figura 5.4.7-b: Características de regulación de voltaje vs kVA para distintos ángulos 𝛉2 de la corriente

Angulo delta vs kVA 4

Delta (Grados)

3.5

cita2=-30 cita2=0 cita2=30

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

20 40 60 80 100 Potencia total del banco (kVA)

120

Figura 5.4.7-c: Características de ángulo 𝛿 vs kVA para distintos ángulos 𝛉2 de la corriente Bancos abiertos de transformadores Según se describió anteriormente un banco abierto de trasformadores está formado por dos transformadores monofásicos conectados convenientemente. Estos pueden ser conectados en delta abierta o estrella abierta. A continuación se describirá el comportamiento de cada uno de ellos. 5.5 Banco delta abierta. Desde el punto de vista pedagógico para describir el banco delta abierta, debe partirse de un banco delta delta, al cual se le elimina un elemento. Considérese que se tiene un banco delta delta, como el mostrado en la figura 5.1.2, el cual por simplicidad se va representar según se muestra en la figura 5.5.1. En la figura 5.5.2 se representa el diagrama fasorial de los voltajes correspondiente a este banco.De la figura 5.5.1 se cumple el sistema de ecuaciones 5.5.1 A partir de estas ecuaciones, se puede construir el diagrama fasorial de voltajes y corrientes, mostrado en la figura 5.5.3, en el cual se ha considerando que la carga tiene un factor de potencia unitario, de modo que las corrientes se encuentren en fase con los voltajes en cada una de las fases. Puesto que se supone un sistema de voltajes balanceados así como la carga trifásica, tanto los voltajes como las corrientes se encuentran desfasadas 120°. Además como en cualquier conexión delta, las corrientes de fases se desplazan 30° respecto a las de línea, según se muestra.

𝐼𝑎 = 𝐼𝑐𝑎 − 𝐼𝑎𝑏 𝐼𝑏 = 𝐼𝑎𝑏 − 𝐼𝑏𝑐 𝐼𝑐 = 𝐼𝑏𝑐 − 𝐼𝑐𝑎

5.5.1

Como en cualquier conexión delta en condiciones de balance se cumple: 𝐼𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼𝑐 = 𝐼𝐿 𝐼𝑎𝑏 = 𝐼𝑏𝑐 = 𝐼𝑐𝑎 = 𝐼𝐹 𝐼𝐿 = √3𝐼𝐹

(5.5.2) (5.5.3) (5.5.4)

Donde 𝐼𝐿 – Corriente de línea. 𝐼𝐹 – Corriente de fase ia

a

A

H1

X1

H2

(1)

B

(1)

(3)

H2

iab H1

H1

(2)

X2

H2

X2

(3) ica

ic X1

ibc

b X1

(2)

X2

c

3∅ ib

C

Figura 5.5.1: Banco delta-delta.

A

a

VAB

VCA

Vca

Vab

B VBC (a)

C

b

Vbc

c

(b)

Figura 5.5.2: Diagrama fasorial correspondiente al banco delta-delta.

C A R G A

Ia Vca

-Iab 30° Ica

Ibc

Vbc 30°

Ib

30° -Ibc

-Ica

Iab Ic

Vab

Figura 5.5.3: Diagrama fasorial de voltajes y corrientes correspondiente al banco delta-delta. Considérese que al banco delta-delta de la figura 5.5.1 se le daña el elemento (3), resultando en el banco mostrado en la figura 5.5.4, el cual se denomina delta-abierta por haberse eliminado un elemento. Para que este banco siga cumpliendo adecuadamente la función del banco delta-delta, debe seguirse suministrando un sistema de voltaje balanceado por secundario a la carga. Para comprobar esto obsérvese que independientemente de que se haya eliminado el elemento (3), por primario la fuente sigue aplicando el sistema de voltajes balanceado mostrado en la figura 5.5.2-a. Es por ello que a los elementos (1) y (2) se le aplican los voltajes VAB y VBC respectivamente. De acuerdo con esto, en los secundarios de los elementos (1) y (2) se inducen los voltajes Vab y Vbc según se muestra en el diagrama fasorial de la figura 5.5.5. Como resultante de los dos voltajes anteriores, entre las líneas c-a aparece el voltaje Vca indicado mediante líneas discontínuas. Esto indica que aunque en el banco solamente existen dos elementos, se obtiene un sistema de voltajes trifásicos balanceado aplicado a la carga. De acuerdo con lo anterior, si se mantiene la misma carga conectada al banco, como los voltajes aplicados a la misma no se alteran, las corrientes tampoco se modifican y el diagrama fasorial de voltajes de línea y corrientes de línea es idéntico al mostrado en la figura 5.5.3, sin embargo las corrientes de fases se alteran. Esto se puede apreciar en la figura 5.5.4, donde la corriente Iba por el elemento (1) se hace igual a la corriente de línea -Ia y la corriente Ibc por el elemento (2) se hace igual a la corriente de línea Ic. Esto se representa en el diagrama fasorial de la figura (5.5.6). Es decir las corrientes de fase por los dos elementos se convierten en corrientes de línea es decir aumentan en √3 y se desplazan 30°. Esto significa que si el banco delta-delta suministra la carga nominal y al mismo se le elimina un elemento para convertirlo en uno abierto, es necesario reducir en √3 la corriente de carga por las líneas. Con ello cada elemento del banco

sigue suministrando la corriente nominal sin sufrir daños térmicos. Esto significa que si un banco delta-delta se convierte en delta-abierta, se puede seguir suministrando un sistema de voltajes balanceados, pero la carga debe ser reducida en √𝟑 para que no se presenten daños térmicos.

ia a A

X1

H1

(1)

(1)

iab

H2

X2

B H1

(2)

H2

b X1

ic

ibc (2)

X2 c ib

C

C A R G A 3∅

Figura 5.5.4. Banco delta abierta, obtenido al eliminar el elemento (3) del banco delta-delta correspondiente a la figura 5.5.1

a Vca

Vab

b

Vbc

c

Figura 5.5.5: Diagrama fasorial por secundario correspondiente al banco delta abierta.

Ia Vca 30° Vbc 30° Ib

30° 30°

60°

Ibc=Ic

Iab=-Ia

Vab

Figura 5.5.6: Diagrama fasorial correspondiente al banco delta-abierta.

La relación entre los kVA de cada banco está dada por: 𝑘𝑉𝐴∇∇ = √3𝐾𝑉𝐿 𝐼𝐿∇∇ (5.5.5) 𝑘𝑉𝐴

= √3𝐾𝑉𝐿 𝐼𝐿

(5.5.6)

Donde: 𝐾𝑉𝐿 - Voltaje de línea (kV) 𝑘𝑉𝐴∇∇ - kVA suministrados a la carga por el banco delta-delta 𝑘𝑉𝐴

- kVA suministrados a la carga por el banco delta delta abierta

𝐼𝐿∇∇ - Corriente de línea del banco delta-delta. (A) 𝐼𝐿

- Corriente de línea del banco delta-abierta (A)

Al convertir el banco delta-delta al delta-abierta, según lo expresado anteriormente, para que no existan daños térmicos en este último debe cumplirse: 𝐼𝐿

=

𝐼𝐿∇∇

(5.5.7)

√3

De las ecuaciones (5.5.5), (5.5.6) y (5.5.7) se obtiene: 𝑘𝑉𝐴

=

𝑘𝑉𝐴∇∇ √3

≈ 0.578 𝑘𝑉𝐴∇∇

(5.5.8)

La ecuación (5.5.8) indica que cuando un banco cerrado delta-delta se convierte en una delta-abierta la carga debe ser reducida aproximadamente a 57.8 % de modo que no se sobrecargue ninguno de los elementos del banco. Ejemplo 5.5.1 Se tiene un banco delta-delta alimentando una carga trifásica de 300 kVA a un voltaje de 240 V. Se conoce que cada elemento del banco opera en su condición nominal. Calcule: a) La corriente de línea y por cada elemento, si se emplea un banco delta-delta. b) Los kVA de la carga que se puede alimentar cuando el banco se convierte en delta abierta. c) La corriente de línea permisible sin que se sobrecargue los elementos del banco, en las condiciones del inciso anterior. Resolución a) La corriente de línea se determina mediante la ecuación (5.5.5): 𝐼𝐿∇∇ =

𝑘𝑉𝐴∇∇ √3𝐾𝑉𝐿

=

300 √3 0.240

= 721.7 (𝐴)

Puesto que se tiene una conexión delta, la corriente por cada elemento se determina mediante la ecuación (5.1.3): 𝐼𝐹 =

721.7 √3

= 416.68 (𝐴) (Corriente nominal de cada elemento del banco).

b) Los kVA que se pueden alimentar cuando el banco se convierte en delta abierta, sin que se sobrecargue ninguno de los elementos del banco, se determinan aplicando la ecuación (5.5.8): 𝑘𝑉𝐴

=

300 √3

= 173.21 𝑘𝑉𝐴 (𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛 𝑘𝑉𝐴 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟)

c) La corriente por las líneas se determina aplicando la ecuación (5.5.6): 𝐼𝐿

=

173.21 √3 0.24

= 416.68 (𝐴)

En estas condiciones puesto que se tiene una conexión delta abierta, la corriente por cada elemento del banco es igual a la de línea, pero se comprueba que coincide con la nominal obtenida en el inciso a. Es decir que reducir la carga en √3 cuando el banco opera en delta abierta, garantiza que la corriente por cada elemento del banco sea la nominal y no se presenten daños por efectos térmicos. Subutilización del banco delta-abierta

En los bancos cerrados los kVA totales instalados del banco son iguales a los demandados por la carga. Esto puede ser comprobado del ejemplo 5.1. En este caso de tres elementos de 100 kVA, que forman un banco de una potencia total instalada de 300 kVA, se demanda una carga igual a 300 kVA. Esto no ocurre así en un banco abierto y los mismos presentan subutilización cuando alimentan cargas trifásicas. Esto significa que los kVA que deben ser instalados son superiores a los demandados por la carga. Veamos el valor de esta subutilización. Puesto que en el banco abierto existen dos elementos, los kVA instalados están dados por: 𝑘𝑉𝐴𝐼 = (2)(𝑘𝑉𝐴𝑁 ) = 2(𝑘𝑉)𝐼𝐿

(5.5.9)

Los kVA que demanda la carga se determinan mediante: 𝑘𝑉𝐴𝐷 = √3 (𝑘𝑉)(𝐼𝐿 )

(5.5.10)

De las dos ecuaciones anteriores se obtiene: 𝑘𝑉𝐴𝐷 =

√3 𝑘𝑉𝐴𝐼 ≈ 0.866𝑘𝑉𝐴𝐼 2

(5.5.11)

Donde: kV- Voltaje de línea (kV) 𝑘𝑉𝐴𝑁 - kVA nominales de cada elemento del banco. 𝑘𝑉𝐴𝐷 - kVA trifásicos demandados por la carga. 𝑘𝑉𝐴𝐼 - kVA totales instalados en el banco abierto. La ecuación (5.5.11) indica que de un banco delta-abierta solamente se puede demandar una carga de un valor igual al 86.6 % de los kVA instalados. Esta ecuación puede también expresarse en forma inversa, o sea: 𝑘𝑉𝐴𝐼 =

2 √3

𝑘𝑉𝐴𝐷 = 1.1547𝑘𝑉𝐴𝐷

(5.5.12)

La ecuación (5.5.12) indica que los kVA instalados en el banco delta abierta deben ser aproximadamente 15 % superior a los demandados por la carga. Puesto que el banco abierto posee dos elementos, los kVA que deben instalarse por cada elemento del banco se obtienen dividiendo por dos la ecuación (5.5.12) obteniéndose: 𝑘𝑉𝐴𝐼. 𝑒 =

1 √3

𝑘𝑉𝐴𝐷 ≈ 0.578𝑘𝑉𝐴𝐷

Donde: 𝑘𝑉𝐴𝐼. 𝑒 – kVA a instalar en cada elemento del banco.

Ejemplo 5.5.2 Se tienen dos transformadores monofásicos idénticos con los siguientes datos cada uno: S= 100 kVA

𝑎=

𝑉1 ⁄𝑉 = 2400/240 (V) 2

Si los dos transformadores se conectan para formar un banco delta-abierta, calcule: a) Calcule la carga trifásica en kVAque se puede alimentar. b) Las corrientes por los primario y secundario en cada elemento del banco, si la carga es conectada por el lado de 240 V. Resolución a) Puesto que el banco tiene dos elementos de 100 kVA cada uno, los kVA totales instalados presentan el valor 200 kVA. Así al aplicar la ecuación (5.5.12) se obtiene que la carga que se puede alimentar con el banco abierto está dada por: √3 (200) = 173.2 𝐾𝑉𝐴 𝑘𝑉𝐴𝐷 = 2 Obsérvese que se pude alimentar una carga inferior a los 200 kVA instalados en el banco. b) Conociendo que cada elemento entrega su potencia nominal, la corriente por secundario está dada por: (100)(103 ) 𝐼𝐹2 = = 416.16 (𝐴) 240 El mismo resultado se puede obtener calculando la corriente de línea, mediante la ecuación (5.5.10), o sea:

𝐼𝐿 =

173.2 √3 0.24

= 416.16 (A)

Esta corriente de línea coincide con la de fase por estar el banco conectado en deltaabierta. La corriente por el primario tanto por la línea como por los elementos del banco, se puede determinar conociendo la relación de transformación, o sea: 𝐼 416.16 𝐼𝐹1 = 𝐹2 = = 41.616 (𝐴) 𝑎 10 5.6 Banco estrella- abierta. Desde el punto de vista pedagógico para describir el banco estrella abierta, debe partirse de un banco estrella delta, al cual se le elimina un elemento. Considérese que se tiene un banco estrella delta, como el mostrado en la figura 5.3.1 el cual por simplicidad se va representar según se muestra en la figura 5.6.1 En la figura 5.6.2 se representa el diagrama fasorial de los voltajes correspondiente a este banco. Resulta evidente que en el esquema de la figura 5.6.1 se cumple el mismo sistema de ecuaciones por secundario

para las corrientes 5.5.1 a 5.5.4, correspondiente al banco delta-delta y por tanto el diagrama fasorial mostrado en la figura 5.5.6. Por conveniencia este diagrama se repite en la figura 5.6.3, donde se ha considerado de nuevo un factor de potencia unitario en la carga y se ha considerado como referencia el voltaje Vbc. Puesto que se supone un sistema de voltajes balanceados así como la carga trifásica, tanto los voltajes como las corrientes se encuentran desfasadas 120°. Además como en cualquier conexión delta, las corrientes de fases se desplazan 30° respecto a las de línea, según se muestra. En la figura 5.6.4 se muestra el diagrama fasorial de las corrientes por primario. Para construir el mismo, debe respetarse las polaridades de cada uno de los elementos. Por ejemplo para el elemento (1) mostrado en la figura 5.6.1 la corriente IA del primario debe ser situada en fase con la corriente Iab del secundario mostrada en la figura 5.6.3 para cumplir con las polaridades señaladas. De igual forma ocurre con las corrientes ‘por los otros elementos. Puesto estas tres corrientes son iguales y desfasadas 120° (considerando cargas balanceadas), la corriente por el neutro tiene valor cero, tal como se representa en la figura 5.6.1. IA

ia

A

a X1

H1

iab

H2

n

H2 H2 (3) H2

(2) IB

(1)

(1)

In=0

ibc

X2 b X1

H1 B

X2 (3) ica

(2)

ic X1 X2

H1

c

3∅ ib

C

IC Figura 5.6.1 Banco estrella delta.

a A

Vca VCA

VAB

VnA n

c Vab

VnC

Vbc

VnB B VBC (a)

C

C A R G A

b (b)

Figura 5.6.2: Diagrama fasorial de voltajes correspondiente al banco estrella-delta.

Ia Vca

-Iab 30° Ica

Ibc

Vbc 30°

Ib

30°

-Ica

Iab

-Ibc

Ic Vab

Figura 5.6.3: Diagrama fasorial de voltajes y corrientes por secundario correspondiente al banco estrella-delta. IC

IB IA Figura 5.6.4 Diagrama fasorial de las corrientes por primario correspondiente al banco estrella-delta. Considérese que al banco estrella-delta de la figura 5.6.1 se le daña el elemento (3), resultando en el banco mostrado en la figura 5.6.5, el cual se denomina estrella-abierta por haberse eliminado un elemento. Para que este banco siga cumpliendo adecuadamente la función del banco estrella-delta, debe seguirse suministrando un sistema de voltaje balanceado por secundario a la carga. Para comprobar esto, obsérvese que si se tiene corrido el conductor neutro desde la fuente al primario del banco, independientemente de que se haya eliminado el elemento (3), se siguen fijando los voltajes VnA y VnB.( señalados en líneas continuas en la figura 5.6.6.-a) Si se colocara un voltímetro entre los puntos n-C se obtendría el voltaje Vnc. (señalado con línea discontinua en la figura 5.6.6-a). Obsérvese que al banco se le aplica directamente desde la fuente los voltajes de fase VnA y VnB y de línea VAB. Entre las líneas BC y CA aparecen los voltajes VBC y VCA señalado con líneas discontinuas en el diagrama fasorial. Puesto que al elemento (1) se le aplica por primario con polaridad H2-H1 el voltaje VnA, en antifase con este aparece por su secundario el voltaje Vab de X1 a X2, tal

como se muestra en el diagrama fasorial de la figura 5.6.6-b. De igual forma se induce el voltaje Vbc en el secundario del elemento (2). Como resultante aparece un voltaje Vca tal como se señala con líneas discontinuas. Todo esto nos indica que aunque se haya eliminado el elemento (3), se sigue manteniendo un sistema de voltajes balanceado en las tres líneas de alimentación a la carga. Además tal como se explicó respecto al banco delta abierta, se cumple también el diagrama fasorial mostrado en la figura 5.5.6 el cual por conveniencia se muestra en la figura 5.6.7. En la figura 5.6.8 se muestra el diagrama fasorial de las corrientes por primario. Para construir este diagrama, debe partirse de las polaridades del banco mostrado en la figura 5.6.5. Obsérvese que la corriente IA del primario que circula de H1 a H2 debe estar en fase con la corriente Iab que circula de X1 a X2 por secundario, Pero esta corriente está a 180° de la corriente Ia según se comprueba de la figura 5.6.5, tal como se muestra en el diagrama fasorial de la figura 5.6.7. De igual forma la corriente IB por el primario debe situarse en fase con la corriente Ibc por secundario. Por el conductor neutro circula la suma de las corrientes IA e IB desfasadas 60° por lo que la resultante es igual a √3 veces la corriente de las líneas. a A

X1

H1

X2

(1) (1) iab

In n

ica

H2

Ic

ibc

3∅

X2 IB

(2) b H1

C A R G A

X1

(2)

X2 c Ib

B

C

Figura 5.6.5 Banco estrella abierta, obtenido al eliminar el elemento (3) del banco estrella - delta correspondiente a la figura 5.6.1

a A

Vca VCA

VnA n

VAB

c Vab

VnC

Vbc

VnB B

b

C

VBC

(b)

(a)

Figura 5.6.6: Diagrama fasorial de voltajes correspondiente al banco estrella abierta mostrado en la figura 5.6.5

Ia Vca

30° Ica

Vbc

30° Ib

30° 60° 30°

Vab

Ibc=Ic

Iab=-Ia

Figura 5.6.7: Diagrama fasorial correspondiente al banco estrella-abierta

En fase con Ibc

30° En fase con Iab

60° IB= IL

IA=IL 𝐼𝑛 = √3𝐼𝐿 Figura 5.6.8: Diagrama fasorial de corrientes por primario correspondiente al banco estrella-abierta. La corriente por el neutro es igual √𝟑 veces la corriente de las líneas. Es muy importante destacar que en el banco estrella abierta, debe estar solidamente conectado el conductor neutro entre la fuente y el primario del banco, tal como se indica en la figura 5.6.5. De lo contrario, se obtiene un sistema desbalanceado de voltaje aplicado a la carga. Considérese que no se conecta el conductor neutro, según se muestra en la figura 5.6.9. En estas condiciones se cumple el diagrama fasorial de la figura 5.6.10 De esta figura se puede comprobar que el voltaje VAB aplicado se distribuye en partes iguales entre los transformadores (1) y (2) aplicándose a ellos los voltajes VAn y VBn iguales y en fase. De acuerdo con las polaridades indicadas, en los secundarios se inducen dos voltajes Vab y Vbc iguales y desfasados 180°. Esto da como resultado que el voltaje entre las línea c-a valga: Vca=Vab-Vbc=0. Es decir que entre cada par de líneas del secundario se tienen en dos de ellas dos voltajes iguales y en fase y en el otro par de línea cero volt. Un sistema completamente desbalanceado Es evidente que en los bancos estrella abierta se cumplen las ecuaciones (5.5.8) y (5.5.11) correspondientes al banco delta abierta, respecto a la reducción de carga y subutilización del banco.

IA

A a X1

H1

Ia X2

(1) (1) iab n

H2

ibc

ica

Ic

X2

IB

(2) H1 B

b

X1

(2)

X2 c

C A R G A 3∅

Ib

Figura 5.6.9: Banco estrella-abierta sin conector neutro de la fuente al primario del banco Vab

VAB

VAn

VnB (a)

Vbc (b)

Figura 5.6.10: Diagrama fasorial correspondiente al banco de la figura 5.6.9 Uso de los bancos abiertos Los bancos abiertos se emplean en los siguientes casos: 1) Cuando en un banco cerrado se daña un elemento, se puede seguir alimentando la carga trifásica, aunque la misma debe ser reducida en √3, tal como se estudió anteriormente. 2) En una nueva instalación cuando se prevé un incremento futuro de la carga en √3, se instala inicialmente el banco abierto. Cuando se produzca el incremento de la carga se cierra el banco. 3) En transformadores de medición con el objetivo de emplear solamente dos elementos. 5.7 Conexión T Transformación de tres fases a tres fases. De acuerdo con lo presentado en el cuadro No.5, una forma de llevar a cabo una transformación trifásica con dos transformadores es mediante la denominada conexión T. Esta conexión se forma con dos transformadores, según se muestra en la figura 5.7.1. donde la fuente trifásica es alimentada a través de las líneas ABC. Obsérvese que el terminal H1 del transformador (2) se conecta al punto 0, el cual está situada en el punto medio del devanado primario del transformador (1). La misma conexión es realizada por el lado secundario, es decir, el terminal X1 del transformador (2) se conecta al punto 0’, situado también en el punto medio del secundario del transformador (1). En la figura 5.7.2-a se muestra el diagrama fasorial correspondiente a la conexión T, por el lado primario. En este caso el voltaje VAB de la fuente es aplicado al primario del transformador (1). Resulta evidente que al primario del transformador (2) se aplica el voltaje VoC, el cual por las propiedades de un triángulo equilátero presenta el valor: 𝑉0𝐶 =

√3

2

𝑉𝐿1 (5.7.1)

De acuerdo con esto veamos los voltajes que se inducen en los devanados secundarios. En el secundario del transformador (1), de acuerdo con las polaridades indicadas, se

induce el voltaje Vab en fase con VAB, según se muestra en el diagrama fasorial de la figura 5.7.2-b En el secundario del transformador (2) se induce Vo’c en fase con VOC. Este voltaje presenta el valor: 𝑉0𝑐 =

√3

2

𝑉𝐿2 (5.7.2)

Esto fija el potencial del punto c y con ello como resultado se obtienen tres voltajes iguales y desfasados 120° por secundario, o sea, un sistema trifásico balanceado.

Figura 5.7.1: Conexión T. Transformación de tres fases a tres fases

A

VAB

0

B

0’

a

Vab

b

Vca

VCA

Vbc

VBC c

C VAB=VBC=VCA=VL1 𝑉0𝐶 =

√3

2

Vab=Vbc=Vca=VL2

𝑉𝐿1

𝑉0𝑐 =

√3

2

𝑉𝐿2

(b)

(a)

Figura 5.7.2: Diagrama fasorial correspondiente a la figura 5.7.1 En la conexión T se pueden presentar dos variantes. La primera consiste en emplear dos transformadores (1) y (2) idénticos. En este caso los KVA instalados en el banco están dados por: 𝑘𝑉𝐴𝐼 = (2)𝑘𝑉𝐴𝑁 = 2(𝑘𝑉)𝐼𝐿 (5.7.3) Los kVA demandados por la carga se determinan como en cualquier sistema trifásico mediante: 𝑘𝑉𝐴𝐷 = √3(𝑘𝑉)(𝐼𝐿 ) (5.7.4) De las ecuaciones (5.7.3) y (5.7.4) se obtiene: 2

𝑘𝑉𝐴𝐼 = 𝑘𝑉𝐴𝐷 = 1.1547𝑘𝑉𝐴𝐷 (5.7.5) √3 Al comparar las ecuaciones (5.7.5) y (5.5.12) en esta variante de la conexión se presenta el mismo grado de subutilización que en la conexión delta abierta. La segunda variante de la conexión T consiste en emplear el transformador (2) con un √3

voltaje nominal igual a 2 = 0.866 veces respecto al del transformador (1). Esto se puede hacer, debido a que a este se aplica esta proporción de voltaje. De acuerdo con esto, la capacidad instalada en el banco está dada por: 𝑘𝑉𝐴𝐼 = (𝑘𝑉)(𝐼𝐿 ) + 0.866𝐼𝐿 = 1.866(𝑘𝑉)(𝐼𝐿 ) De las ecuaciones (5.7.6) y (5.7.4) se obtiene: 𝑘𝑉𝐴𝐼 = 1.078𝑘𝑉𝐴𝐷

(5.7.7)

(5.7.6)

De acuerdo con la ecuación (5.7.7) en esta segunda variante la subutilización del banco es menor, es decir, esta es más favorable, sin embargo implica que el transformador (2) sea construido especialmente para ello. Transformación de tres fases a dos fases. En la práctica puede presentarse la necesidad de disponer de un sistema bifásico simétrico (dos voltajes iguales y a 90°). Mediante dos transformadores con conexión T especial, puede obtenerse a partir de un sistema trifásico balanceado, otro bifásico también balanceado. Un ejemplo de necesidad de un sistema bifásico es para la alimentación de motores de dos fases en sistemas de control. Para obtener un sistema bifásico se puede emplear la conexión en T de dos transformadores según se muestra en la figura 5.7.3. En la figura 5.7.4 se muestra el diagrama fasorial correspondiente, de donde se puede comprobar que se obtienen dos voltajes desfasados 90° en el secundario. Es necesario destacar que cumplir que los dos 2 voltajes Vab y Vbc tenga el mismo valor, el transformador (2) debe tener veces más √3 vueltas en el devanado secundario respecto al transformador (1).

Figura 5.7.3: Conexión T. Transformación de tres fases a dos fases

A

VAB

0

B

a

Vab

b

c Vcd VBC d

C VAB=VBC=BVA= VL1 √3 𝑉0𝐶 = 𝑉 2 𝐿1

(b)

(a)

Figura 5.7.4: Diagrama fasorial correspondiente a la figura 5.7.3 5.8 Transformadores trifásicos. Tal como fue explicado anteriormente, las transformaciones trifásicas pueden ser realizadas mediante transformadores trifásicos, los cuales a diferencia de los bancos, están formados por una sola estructura magnética. El empleo de los transformadores trifásicos presenta ventajas desde el punto de vista económico respecto a los bancos. Para comprender esto, se parte de un transformador monofásico como el mostrado en la figura (2.8.1) presentado en el capítulo NoII, el cual por conveniencia se muestra de nuevo en la figura 5.8.1. El transformador con esta configuración del circuito magnético se denomina tipo columna. Considérese que se tienen tres transformadores idénticos tipo columna tal como se muestra en la figura 5.8.2, donde por simplicidad no se han dibujado los devanados y que con ellos se va a formar un transformador trifásico. Si estos núcleos se colocan a tope según se muestra en la figura 5.8.3, se forma una columna central la cual constituye el retorno de los tres flujos. Por esta columna central circulará el flujo dado por la siguiente ecuación: ∅𝑅 = ∅𝐴 + ∅𝐵 + ∅ 𝐶

(5.8.1)

Si se considera que los tres voltajes aplicados a los primarios forman un sistema balanceado y sinusoidal, entonces los tres flujos en el tiempo presentan las formas de ondas mostradas en la figura (5.8.6). Esto significa que el flujo resultante por la columna central presenta valor cero, por lo que al eliminar esta columna no provoca ningún efecto magnético.Algo similar ocurre en un circuito en estrella con un conductor neutro. Si por cada fase circulan corrientes balanceadas, por el conductor neutro no circula corriente, por lo que eliminarlo no provoca ningún efecto sobre el circuito. Mediante la representación fasorial, los tres flujos pueden ser representados como se muestra en la figura 5.8.7, de donde también se obtiene que la suma fasorial da como resultante valor cero. Así, al eliminar la columna central en el circuito magnético, se obtiene la estructura mostrada en la figura (5.8.4). Esto constituye una primera variante de un transformador trifásico. Sin embargo construir un núcleo de esta forma resulta complicado. Por ello la

forma práctica de construcción es la mostrada en la figura (5.8.5) en la que todo el núcleo se ha llevado a un solo plano. Este transformador se denomina trifásico tipo columna, puesto que proviene de tres monofásicos de este tipo. En esta figura se representan los tres devanados primarios. Debe señalarse que en este caso, la corriente de excitación en el devanado de la columna central presenta menor valor comparada con la que circula por las otras dos fases. Esto se debe a que la columna central presenta menor reluctancia y como los flujos de las tres fases son iguales (considerando voltajes balanceados) implica una menor corriente en la fase del centro, para cumplir con la ecuación (2.4.3) correspondiente al capítulo II

Figura 5.8.1. Transformador monofásico tipo columna.

Figura 5.8.2: Tres transformadores monofásicos tipo columna.

Figura 5.8.3: Tres transformadores monofásicos unidos para formar una sola estructura magnética

Figura 5.8.4: Tres transformadores eliminada.

monofásicos con la columna central

Figura 5.8.5: Transformador trifásico tipo columna.

Figura 5.8.6: Forma de ondas de los tres flujos de fases. La suma de los tres flujos es igual a cero en cualquier instante.

∅𝐶

∅𝐴

∅𝐴

∅𝐵

∅𝐶 ∅𝐵 Flujos iguales a 120° (a)

∅𝑅 = ∅𝐴 + ∅𝐵 + ∅𝐶 = 0 (b)

Figura 5.8.7: Flujos de cada una de las fases Resulta evidente de lo explicado anteriormente, que al eliminar la columna central del circuito magnético, un transformador trifásico presenta menos cantidad de material magnético y por tanto menos peso, costo y pérdidas si se compara con un banco de tres transformadores. Como desventaja puede señalarse que si al transformador trifásico se le daña una fase debe ser sustituido totalmente, sin embargo en el banco solamente se daña un solo elemento y además puede ser conectado en forma abierta y continuar suministrando parte de la carga trifásica. También al emplearse el transformador trifásico, el repuesto resulta más costoso. De la figura 5.8.5 resulta evidente que los tres devanados primarios al igual que los secundarios pueden ser conectados formando las diferentes combinaciones, mostradas en el cuadro No.5 al inicio del este capítulo. Por ejemplo, considérese que se requiere realizar una conexión estrella delta. Así queda.

Figura 5.8.8: Transformador trifásico con conexión estrella-delta.

Al transformador con conexión estrella-delta de la figura 5.8.8 le corresponde el diagrama fasorial de la figura 5.8.9. Obsérvese que este diagrama fasorial coincide con el mostrado en la figura 5.3.2. del banco estrella-delta, lo cual resulta evidente. En la figura 5.8.10 se muestra el mismo diagrama fasorial, pero representado con triple origen. Para construir este diagrama, obsérvese que en la figura 5.8.8 el voltaje del secundario Vab con polaridad X1-X2 debe situarse en fase con el del primario Van , por tener este polaridad H1-H2. De igual forma se cumple para los voltajes restantes.

VAB

VAB

A

B VnA

VnB

n VCA

a

b

VBC Vca

VnC

30°

Vab

Vbc

c

C (a)

(b)

Figura 5.8.9: Diagrama fasorial correspondiente al transformador trifásico con conexión estrella delta. a) Primario b) Secundario Vca VCA

30°

VCn VAB

VBn

30° VAn

30° Vbc

Vab VBC

Figura 5.8.10: Diagrama de triple origen correspondiente al transformador trifásico con conexión estrella delta. De igual forma que en los transformadores monofásicos, los trifásicos pueden ser construidos con el núcleo en forma acorzada, tal como se muestra en la figura 5.8.11

Figura 5.8.11: Transformador trifásico tipo acorazado. 5.9. Índice horario El índice horario permite designar el desfasamiento entre los voltajes de primario y secundario en terminales homólogos en un transformador monofásico y en las transformaciones trifásicas. En la mayoría de los transformadores trifásicos el índice horario se indica en la placa y resulta de gran importancia al realizar conexiones en paralelo. Para determinar el índice horario en una conexión trifásica de transformadores se coloca el fasor de voltaje correspondiente al lado de alta, como si fuera la manecilla minutera de un reloj analógico y esta se coloca en la posición de las doce horas. La manecilla que indica las horas se hace coincidir con el fasor de bajo voltaje. Conexión estrella delta 1 Considérese el diagrama fasorial correspondiente al transformador trifásico con conexión estrella-delta mostrada en las figuras 5.8.9 o 5.8.10 y que se quiere determinar su índice horario. Para ello se coloca el fasor correspondiente al alto voltaje VAB como la manecilla minutera colocada en las doce horas y la manecilla que indica las horas en la posición que le corresponde, es decir, adelantada 30°. En estas condiciones el reloj indicara la 1 horas. Por ello esta conexión debe ser señalada como estrella-delta 1, tal como se representa en la figura 5.9.1. Compruébese de la figura 5.8.10 que para cada par de terminales homólogos, el voltaje de secundario se atrasa 30° respecto al de primario. VAB 30° Vab

Figura 5.9.1: Conexión estrella-delta 1

Es importante destacar que para la conexión estrella vista pueden presentarse cuatro sistemas horarios, lo cual se analiza seguidamente. Conexión estrella-delta 5 Considérese que en la conexión de la figura 5.8.8 se cambian las marcaciones de los terminales de línea por el secundario según se muestra en la figura 5.9.2. En estas condiciones se cumple el diagrama fasorial mostrado en la figura 5.9.3. Para construir este diagrama fasorial obsérvese que si en la fase A se corre el secundario desde a hasta b se sigue la polaridad de X1 hasta X2, por tanto el voltaje Vab debe estar en fase con el voltaje que se aplica de H1 hasta H2, es decir con VBn. De igual forma se pueden colocar los voltajes de las otras dos fases. En la figura 5.9.4 se muestra el diagrama fasorial de triple origen, con los voltajes de primario y secundario superpuestos De acuerdo con lo obtenido, para determinar el índice horario de esta conexión, se coloca el voltaje VAB coincidente con la manecilla que señala los minutos del reloj, colocada indicando las doce horas y el horario coincidente con el voltaje Vab. Con esto se cumple una conexión estrella-delta 5 tal como se muestra en la figura 5.9.5.

Figura 5.9.2: Intercambio de los terminales a con el b del secundario respecto a la figura 5.8.8. Conexión estrella-delta 5

Vbc

VAB

A

B

VnA VnB VCA

VnC

VAB

n VBC

150°

C Vab

a)

b)

Figura 5.9.3: Diagrama fasorial correspondiente a la conexión estrella-delta mostrada en la figura 5.9.2. a) Voltaje del primario b) Voltaje del secundario

Vbc

30° VCA VCn

VAB VBn VAn

30°

150° Vab

30°

Vca VBC

Figura No.5.9.4 Diagrama fasorial correspondiente a la conexión de la figura 5.9.2

Vca

VAB

150°

Vab Figura 5.9.5: Conexión estrella-delta 5. Conexión estrella-delta 7: Si los devanados presentan las polaridades mostradas en la figura No. 5.9.6, se obtiene un índice horario 7. Esto se corresponde con el diagrama fasorial mostrado en la figura No. 5.9.7. La figura (a) del mismo representa el voltaje aplicado al primario por la fuente, la (b), con el aplicado a la carga. Para obtener el fasor correspondiente al voltaje Vab del secundario debe observarse que el mismo se corresponde con la polaridad X2X1 por lo que el éste se encuentra en fase con el voltaje VnA del primario, con polaridad H2-H1. En la figura 5.9.8 se muestra el diagrama fasorial señalándose los voltajes del primario y secundarios superpuesto. De acuerdo con estos resultados, se comprueba que esta conexión presenta un índice horario7, tal como se muestra en la figura 5.9.9

Figura No 5.9.6: Conexión estrella-delta 7

VAB

A

B

Vbc

150°

VnA VnB VCA

VnC

Vab

VAB

n VBC

C

a)

b)

Vca

Figura 5.9.7: Diagrama fasorial correspondiente a la figura 5.9.6. a) Voltajes del primario b) Voltajes del secundario

VCA

30° Vab

Vbc

150° VnA

VnB

30° VAB

VnC

30° VBC Vca

Figura 5.9.8: Diagrama fasorial correspondiente a la conexión de la figura 5.9.6

VAB

150°

Vab

Figura No. 5.9.9: Conexión estrella- delta 7 Conexión estrella-delta 11: Si los terminales del secundario se designan tal como se indica en la figura 5.9.10, se obtienen los diagramas fasoriaesl mostrados en la figuras 5.9.11, 5.9.12 y 5.9.13, con lo cual se comprueba que se obtiene un conexión estrella-delta 11.

Figura 5.9.10. Conexión estrella- delta 11

VAB

A

B

VnA

Vca

VnB VnC

VCA

Vab 30°

n VBC

VAB

C

b)

a)

Vbc Figura 5.9.11: Diagrama fasorial correspondiente a la figura 5.9.10: a) Voltajes del primario b) Voltajes del secundario VCA

30°

Vab VnB

Vca

30° VnA VAB

VnC 30° VBC Vbc Figura 5.9.12: Diagrama fasorial correspondiente a la figura 5.9.10 con voltajes de primario y secundario superpuestos. VAB

30° Vab

Figura 5.9.13: Conexión estrella-delta 11

Se puede resumir que en una conexión estrella-delta se pueden obtener cuatro índice horarios. De igual forma en una conexión delta-estrella se cumplen los mismos índices horarios. Por ejemplo si se analiza la conexión delta estrella y su diagrama fasorial correspondiente, mostrados en las figuras 5.4.1 y 5.4.2 respectivamente, se puede comprobar que en este caso se tiene una conexión delta-estrella 11. Haciendo intercambio de conexiones el lector puede comprobar fácilmente que se pueden obtener los cuatro diferentes índice horarios en esta conexión delta-estrella. En la figura 5.9.13 se muestran diferentes conexiones con sus índices horarios correspondientes

Figura 5.9.13: Índice horario para diferentes conexiones

5.10. Pérdidas y eficiencia en las transformaciones trifásicas. Tanto en un banco o un transformador trifásico eficiencia se determina en forma general mediante la ecuación (4.2.1) en el capítulo IV, las cual por conveniencia se repiten a continuación. 𝑃 𝐸𝑓 = 𝑠𝑎𝑙 . 100 𝑃𝑒𝑛𝑡

(5.10.1)

Donde: 𝐸𝑓 – Eficiencia total (%) 𝑃𝑠𝑎𝑙 – Potencia total de salida 𝑃𝑒𝑛𝑡 - Potencia total de entrada. La ecuación (5.19.1) puede escribirse como: 𝐸𝑓 =

𝑆𝑐 . 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) . 100 𝑆𝑐 . 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) + 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝑃𝑒𝑙

(5.10.2)

Donde: 𝑆𝑐 - Potencia total demandada por la carga trifásica 𝑓. 𝑝 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) Factor de potencia de la carga. 𝑃𝑒𝑙 - Pérdidas eléctricas totales al estado de carga S 𝑃𝑚𝑎𝑔 – Pérdidas magnéticas totales. Ejemplo 5.10.1. Tres transformadores idénticos presentan los siguientes datos cada uno: S=200 kVA 𝑃𝑒𝑙 = 3490 (W)

𝑃𝑚𝑎𝑔 = 690 (W).

Calcule: a) La carga trifásica máxima en kVA sin que se sobrecarguen los transformadores si los mismos se conectan en delta delta. b) La eficiencia del banco en las condiciones del inciso anterior si la carga presenta un factor de potencia de valor 0.8 Resolución. a) Puesto que en el banco cerrado no hay subutilización la carga trifásica que se puede suministrar a la carga está dada por: kVAc=(3)(200)=600 kVA

b) La eficiencia puede calcularse aplicando la ecuación (5.10.3). Para ello debe multiplicarse por tres las pérdidas magnéticas y eléctricas puesto que se está utilizando un banco cerrado. Además el factor de carga es igual a la unidad ya que cada transformador opera en condiciones nominales. 𝐸𝑓 =

(600)(0.8)(1000) . 100 = 97.46 % (600)(0.8)(100) + (3)(690) + (3)(3490)

Ejemplo 5.10.2. Repita el ejemplo anterior, pero considere que se emplearan solamente dos transformadores para formar un banco delta abierta. Resolución. a) Puesto que el banco tiene dos elementos de 200 kVA cada uno, los kVA totales instalados presentan el valor 400 kVA. Así al aplicar la ecuación (5.5.12) se obtiene que la carga que se puede alimentar con el banco abierto está dada por: √3 (400) = 346.4 𝐾𝑉𝐴 𝑘𝑉𝐴𝐷 = 2 c) La eficiencia puede calcularse aplicando la ecuación (5.10.3). Para ello debe multiplicarse por dos las pérdidas magnéticas y eléctricas puesto que se está utilizando un banco abierto. Además el factor de carga es igual a la unidad ya que cada transformador opera en condiciones nominales. (346.4)(0.8)(1000) 𝐸𝑓 = . 100 = 97.07 % (346.4)(0.8)(100) + (2)(690) + (2)(3490)

VI

Pruebas a transformadores

Resulta de gran valor conocer las pruebas que se le realizan a los transformadores para con ello determinar su comportamiento. Esto es importante tanto para los fabricantes como para el personal que lleva a cabo las tareas de reparación y mantenimiento, laboratorios docentes y de investigación, etc. Al diseñarse un transformador puede en forma teórica predecirse con bastante exactitud, la magnitud de los parámetros de comportamiento del mismo, tales como pérdidas y eficiencia, impedancias del circuito equivalente, calentamiento, niveles de aislamiento etc. Sin embargo este comportamiento debe ser verificado en forma experimental, mediante pruebas realizadas al mismo. Los parámetros de comportamiento deben cumplir con las normas eléctrica vigentes para un país, incluso internacionales. Por ejemplo en México existen las normas NOM de estricto cumplimiento, por lo que los transformadores que el fabricante introduce en el mercado o que se importen, deben dar cumplimiento a las mismas. Las pruebas que se le realizan a los transformadores pueden recibir diferentes clasificaciones. Por ejemplo en forma general pueden clasificarse en pruebas de fábrica y pruebas en campo.

Pruebas de fábrica. Estas pruebas como su nombre lo indican son realizadas por el fabricante y se clasifican en 3 grupos.   

Pruebas de prototipo Pruebas de rutina Pruebas opcionales.

Las pruebas de prototipo son las que se realizan a diseños nuevos y tienen por finalidad, cumplir con los valores establecidos en las normas que se aplican y/o especificaciones bajo las cuales fueron fabricados los equipos. En estas pruebas entran en función tanto los materiales utilizados para su fabricación como los criterios de diseño considerados. Las pruebas de prototipo incluyen las pruebas de rutina. Las pruebas de rutina deben efectuarse a cada uno de los equipos, conforme a métodos establecidos en las normas correspondientes, para verificar la calidad del producto y que están dentro de los valores permitidos. Estas pruebas son las que determinan la aceptación o rechazo de los equipos. Las pruebas opcionales son las que se realizan a los equipos, conjuntamente entre el fabricante y usuario a fin de determinar algunas características particulares del equipo. A continuación se relacionan las pruebas más importantes que se realizan en las fábricas.          

Corto circuito Vacío o sin carga. Relación de transformación y polaridad Resistencia óhmica de los devanados Resistencia de los aislamientos Elevación de temperatura de los devanados Factor de potencia de aislamiento Potencial aplicado Potencial inducido Impulso por rayo normalizado

Pruebas de campo. Se efectúan a los equipos que se encuentran en operación o en proceso de puesta en servicio y se consideran de la siguiente manera:   

Las pruebas de aceptación Las pruebas periódicas o de mantenimiento Pruebas después de un fallo

Cuando el transformador es recibido en el lugar donde va a ser instalado, se deben realizar las pruebas de aceptación para conocer el estado que presenta el mismo. Por ejemplo, después que la máquina es transportada puede sufrir algún tipo de daño. También debe verificarse si el comportamiento coincide con el brindado por el fabricante o taller de reparación. Los mantenimientos del transformador se llevan a cabo después de que el transformador está instalado en su ubicación permanente. La finalidad de los mantenimientos consiste en determinar el estado de la unidad de forma que cualquier problema potencial puede ser detectado a tiempo antes de que se produzca un fallo. Controles adecuados realizados en lapsos regulares resulta un medio adecuado de incrementar la

confiabilidad de los transformadores, haciendo posible descubrir la existencia de fallas incipientes. Se conoce que la falla de transformadores implica problemas serios. Los dos más importantes son la suspensión del servicio de energía eléctrica que brinda el transformador, además que una posible falla puede implicar el daño de la unidad con el consiguiente efecto económico. Determinando el alcance del daño, se debe analizar la posibilidad de una reparación en sitio con el consecuente ahorro en costo y en tiempo. Las pruebas que deben ser realizadas en campo se detallan seguidamente.       

Relación de vueltas (relación de transformación) Resistencia de aislamiento (Devanado y el núcleo) Factor de potencia de los aislamientos Resistencia de los devanados La polaridad y la fase Pruebas de aceite Corriente de excitación

En el presente texto las pruebas serán divididas en pruebas para determinar los parámetros del circuito equivalente y pruebas para determinar el estado del aislamiento.

Pruebas para determinar los parámetros del circuito equivalente. Para determinar los parámetros del circuito equivalente se realizan cuatro pruebas: De cortocircuito, de circuito abierto de relación de transformación y de corriente directa. ( prueba de resistencia óhmica). 6.1 Prueba de cortocircuito Con esta prueba se obtiene la impedancia de dispersión y las pérdidas eléctricas y con ello se puede verificar si se cumplen los valores especificados por diseño. Para realizarla, se cortocircuita el devanado secundario y se toman lecturas de potencia, corriente y voltaje con los instrumentos colocados como se muestra en la figura 6.1.1 En el estado de cortocircuito, el circuito equivalente mostrado en la figura 2.9.8 se convierte en el de la figura 6.1.2, donde los terminales de salida del secundario se encuentran cortocircuitados. En este circuito se cumple: 𝑍1 = 𝑅1 + 𝑗𝑋1 (6.1.1) (Ohm) Impedancia del devanado primario ′ + 𝑗𝑋 ′ (6.1.2) (Ohm) Impedancia del secundario referida al primario 𝑍2′ = 𝑅2 2 𝑍𝑚 = 𝑅𝑚 + 𝑗𝑋𝑚 (6.1.3) (Ohm) Impedancia de la rama de magnetización En el circuito de la figura 6.1.2, la impedancia de cortocircuito que se ve desde los terminales del primario está dada por:

Zc 

Zm  Z 2 '  Z1 Zm  Z 2 '

(6.1.4)

Como se cumple que ZmZ2´, se puede considerar en forma aproximada que la ecuación (6.1.4) se convierte en:

Zc  Z1  Z 2 '

(6.1.5)

Pc

Ic Ic

Vc

Transformador Figura 6.1.1: Diagrama de conexiones para la prueba de cortocircuito

De acuerdo con la ecuación (6.1.5), en el estado de cortocircuito se cumple el circuito mostrado en la figura (6.1.3). Ic Z2’

Z1 Pc Zm

Vc

Figura 6.1.2: Circuito equivalente del transformador en el estado de cortocircuito. Z1 Ic

Vc

Pc

R1

Z2’ X1

R2 ’

X2’

Figura 6.1.3: Circuito equivalente aproximado en estado de cortocircuito La potencia que lee el wattímetro está, de acuerdo con el circuito de la figura 6.1.3, dada por:

Pc  Ic 2 R 1  R 2 '(

(6.1.6)

De la ecuación (6.1.6) se obtiene:

Pc (6.1.7) Re'  R 1  R 2 '  (62 Ic La impedancia y reactancia equivalente se determinan mediante:

Ze'  Zc 

Vc (6.1.8) Ic

Xe'  X1  X 2 ' 

Ze'2  Re'2

(6.1.9)

La reactancia equivalente también puede determinarse directamente en función de las lecturas de los instrumentos, al sustituirse las ecuaciones (6.1.7) y (6.1.8) en la (6.1.9): 2

2

 Vc   Pc  (6.1.10) Xe'  X1  X 2 '     2   Ic   Ic  Debe destacarse que para un transformador trifásico, en las ecuación de la (6.1.6) a la (6.1.10), deben sustituirse los valores de potencia, voltaje y corriente de fase.

La prueba de cortocircuito se recomienda realizarla alimentando el transformador por el lado de alto voltaje, de modo que el amperímetro a emplear sea de menor escala. También se aconseja hacerse circular la corriente nominal durante esta prueba, obteniéndose directamente las pérdidas eléctricas en condiciones nominales mediante la lectura del wattímetro. Debe destacarse que al estar el transformador con su secundario cortocircuitado, durante la prueba de cortocircuito debe aplicarse un voltaje reducido (un pequeño % del voltaje nominal), de modo que la corriente no sea excesiva y provoque daños térmicos al transformador. Durante la prueba de cortocircuito al aplicarse un voltaje reducido, pueden considerarse despreciables las pérdidas magnéticas, ya que éstas dependen del voltaje al cuadrado, según se expresa en la ecuación (4.15). Así por ejemplo si en la prueba se aplica un 5% del voltaje nominal, las pérdidas magnética serán 400 veces menores respecto a las que presenta el transformador con su voltaje nominal aplicado. Por ello puede asegurarse sin prácticamente ningún error, que la lectura Pc del wattímetro corresponde plenamente con las pérdidas eléctricas en los devanados. Con la finalidad de que los errores de medición que se cometan sean los mínimos, en la prueba de cortocircuito los instrumentos deben ser colocados según se muestra en la

figura (6.1.1), es decir, el voltímetro debe ser colocado directamente al devanado primario, el amperímetro a la entrada y el wattímetro con su bobina de potencial directamente conectada al devanado del transformador. Esto obedece a que esta prueba se realiza con valores relativos bajos de voltaje y altos de corriente. Si por ejemplo el voltímetro se colocara a la entrada, es decir, directamente a la fuente, su lectura incluirá las caídas en el amperímetro y en la bobina de corriente del wattímetro, valores comparables con la pequeña caída a través del transformador. Esto puede conducir a un gran error de medición. Cualquier posición de los instrumentos diferente a la mostrada en la figura (6.1.1) puede conducir a un error apreciable. Por ciento de impedancia. Voltaje equivalente El por ciento de impedancia es un dato que aparece en la placa del transformador y se define como la caída de voltaje en la impedancia de dispersión en condiciones de corriente nominal expresado en por ciento del voltaje aplicado, es decir:

%Z 

Ze  I N  100 (6.1.11) VN

Donde: % Z – Por ciento de impedancia 𝑍𝑒 . Impedancia equivalente del circuito de dispersión (Ohm) 𝐼𝑁 . Corriente nominal (A) 𝑉𝑁 . Voltaje nominal (V) El %Z presenta el mismo valor si los valores de la ecuación (6.1.11) son referidos tanto al primario como al secundario. Se denomina voltaje de impedancia, voltaje de cortocircuito o voltaje equivalente a la caída de voltaje en la impedancia de dispersión en condiciones de corriente nominal, o sea: 𝑉𝑒 = 𝐼𝑁 𝑍𝑒 (6.1.12) Donde: 𝑉𝑒 -Voltaje equivalente (V) Al sustituir la ecuación (6.1.12) en la (6.1.11) obtiene:

%Z 

Ve  100 (6.1.13) VN

Puesto que en la prueba de cortocircuito todo el voltaje aplicado se cae en la impedancia de dispersión, resulta que el voltaje equivalente es por definición el que debe aplicarse en la prueba de cortocircuito para que circule la corriente nominal. Conocidos los valores de % de impedancia, corriente y voltaje nominales del transformador, mediante la ecuación (6.1.11), se puede determinar la impedancia

equivalente. También se puede hallar el voltaje equivalente, a partir de la ecuación (6.1.13), si se conoce el voltaje nominal del transformador. El dato % de impedancia permite determinar la corriente de cortocircuito del transformador en función de la corriente nominal, cuando opera con su voltaje nominal. Para ello se parte de determinar la corriente de cortocircuito por el devanado primario con el secundario cortocircuitado y voltaje nominal aplicado: 𝑉 𝐼1𝑐𝑁 = 1𝑁 𝑍𝑒′

(6.1.14)

Donde: 𝐼1𝑐𝑁 . Corriente de cortocircuito con voltaje nominal aplicado. 𝑉1𝑁 . Voltaje nominal del primario Si se despeja la impedancia equivalente de la ecuación (6.1.14) y se sustituye en la en la (6.1.11), se obtiene: 𝐼 𝐼1𝑐𝑁 = 1𝑁 . 100 (6.1.15) %𝑍 Por ejemplo, si %Z=2.5 % de la ecuación anterior se obtiene que la corriente que circula por el transformador cuando se cortocircuita con su voltaje nominal aplicado, es igual 40 veces su valor nominal. Se puede concluir que a medida que el porciento de impedancia es menor, menor es la caída de voltaje en la impedancia de dispersión y mejor es la regulación de voltaje, sin embargo la corriente de cortocircuito es mayor. Por ello, en el diseño del transformador debe buscarse un compromiso de modo que no se afecten estos dos factores. En los trasformadores de distribución, como éstos están situados al final del sistema, la regulación de voltaje tiene un mayor peso, por lo que los mismos se diseñan con un por ciento de impedancia más bajo que los transformadores de potencia, los cuales están colocados más cerca de las fuentes de generación. Además, un bajo por ciento de impedancia en el transformador de distribución, no tiene gran efecto en la corriente de cortocircuito, pues ésta es limitada por toda la impedancia del sistema. En los transformadores de potencia el porciento de impedancia es mayor, con ello se reduce el nivel de corriente de cortocircuito. Como guía se muestra la tabla No. (6.1.1), donde se presentan valores de %Z para transformadores de distribución (Tomado de normas ANCE)

Nivel de aislamiento kV

Monofásicos 5 kVA a 167 kVA %Z

1.2 a 15 25 34.5

1.5 a 3 1.5 a 3.25 1.5 a 3.5

Trifásicos 15 kVA a 150 kVA 225 kVA 500 kVA %Z %Z 2a3 2 a 3.5 2 a 3.5

Tabla No. 6.1.1 Valores de % Z para transformadores de distribución.

2.5 a 5 2.75 |a 5 3 a 5.75

Se puede determinar una ecuación que permita calcular la impedancia equivalente del transformador en función de su potencia y voltaje nominales. Para ello se parte de la ecuación de corriente nominal dada por: 𝑆 𝐼𝑁 = 𝑁 𝑉𝑁

(6.1.16)

Donde: 𝐼𝑁 - corriente nominal del transformador (A) 𝑆𝑁 – Potencia nominal del transformador (VA) 𝑉𝑁 - Voltaje nominal de transformador (V) Se sustituye la ecuación (6.1.16) en la (6.1.11) y queda: 2 %𝑍𝑉𝑁 𝑍𝑒 = 100𝑆𝑁

(6.1.17)

Si expresan los valores de voltaje en kV y la potencia en kVA, la ecuación (6.1.17) queda como: 2 %𝑍𝑘𝑉𝑁 𝑍𝑒 = 10 𝑘𝑉𝐴𝑁

(6.1.18)

De acuerdo con la ecuaciones (6.1.17) o (6.1.18) para un dado por ciento de impedancia y un voltaje nominal, la impedancia equivalente varía inversamente con la potencia del transformador. La impedancias del transformador también pueden ser expresadas en por unidad (p.u.), para ello, el % de impedancia debe ser dividido por 100. Así un transformador que presente un 3 % de impedancia equivale a 0.03 en p.u. En el apéndice I, es trato el sistema en por unidad.

Ejemplo 6.1.1 Determine el valor de la impedancia equivalente de un transformador referida a los lados de baja y alta si se conocen los siguientes datos. 𝑆𝑁 = 100000 𝑉𝐴 = 100 𝑘𝑉𝐴 𝑉1𝑁 = 2400 (𝑉) 𝑉2𝑁 = 240 (𝑉) Resolución.

%Z=3 %

De la ecuación (6.1.17) queda: Por el lado de baja: (3)(2402 ) 𝑍𝑒 = = 0.01728𝑂ℎ𝑚 (100)(100000) Por el lado de alta: (3)(24002 ) 𝑍𝑒 = = 1.728 (100)(100000) Si se emplea la ecuación (6.1.18) se obtienen iguales resultados, es decir: Por el lado de baja: 𝑍𝑒 = 10

(3)(0.242 ) = 0.01728 𝑂ℎ𝑚 100

Por el lado de alta: 𝑍𝑒 = 10

(3)(2.42 ) = 1.728 𝑂ℎ𝑚 100

Ejemplo 6.1.2 Un transformador monofásico tiene los siguientes datos. S= 50 kVA 𝑉1 2400 = 𝑉2 240 𝑍𝑒′ = 3.456 𝑂ℎ𝑚 (Referido al lado de alta) Calcule: a) Por ciento de impedancia. b) Voltaje a aplicar por el lado de alta para que circule la corriente nominal durante la prueba de cortocircuito. c) Corriente de cortocircuito con el devanado de baja cortocircuitado, si se alimenta el transformador por el lado de alta con su voltaje nominal.

Resolución a) La corriente nominal por el lado de alta se determina a partir de las ecuaciones (2.7.4)

𝐼1𝑁 =

(50)(1000) = 20.83 (𝐴) 2400

De la ecuación (6.1.11) se obtiene: %𝑍 =

(20.83)(3.456) . 100 = 3% 2400

De igual forma, la corriente nominal por el lado de baja se determina de la ecuación (2.7.3): 𝐼2𝑁 =

(50)(1000) = 208.3 240

La impedancia equivalente referida al lado de bajo voltaje se determina mediante la ecuación (2.9.30): 3.456 𝑍𝑒′′ = = 0.03456 𝑂ℎ𝑚 (10)2 Así, empleando los parámetros referidos al lado de baja, el porciento de impedancia se determina, según la ecuación (6.1.11): %𝑍 =

(208.3)(0.03456) . 100 = 3% 240

De los resultados anteriores, se comprueba que el %Z tiene el mismo valor si todos los parámetros son referidos al lado de alta o al de baja. b) De la ecuación (6.1.13), queda:

𝑉𝑒 =

(3)(2400) 100

= 72 (𝑉).

Igual resultado se obtiene aplicando la ecuación (6.1.12). c) Se aplica la ecuación (6.1.15) y se obtiene: 𝐼1𝑐𝑁 =

100 𝐼 = (33.33)(20.83) = 694.33 (𝐴) 3 1𝑁

Puede comprobarse que para el valor de %Z que presenta el transformador, la corriente de cortocircuito es 33.33 veces la nominal. En resumen el dato de placa % de impedancia permite determinar:

 La impedancia equivalente del transformador  El voltaje de impedancia

 La corriente de cortocircuito en función de la nominal, con el voltaje nominal aplicado. También como será analizado posteriormente, el % de impedancia resulta de gran utilidad para el estudio de la operación en paralelo de los transformadores.

6.2Prueba de circuito abierto.(Prueba de vacío) Con esta prueba se obtienen la impedancia de la rama de magnetización, las pérdidas magnéticas y la corriente de vacío o de excitación del transformador. Mediante esta prueba se puede verificar que tanto la corriente de vacío como las pérdidas magnéticas cumplan con los valores especificados por diseño. También si se requiere determinar la eficiencia del transformador a partir del valor de las pérdidas, mediante esta prueba, se halla la componente constante de las mismas. Para realizar esta prueba, se alimenta el transformador con su voltaje y frecuencia nominal, con el secundario sin carga (abierto) y se toman lecturas de potencia, corriente y voltaje, como se muestra en la figura 6.2.1 Po

Io

I2 = 0

Vo

Figura 6.2.1: Diagrama de conexiones para realizar la prueba de circuito abierto En el estado de circuito abierto, el circuito equivalente mostrado en la figura 2.9.8 se convierte en el de la figura 6.2.2, si se abre el secundario.

Io

Z2’

Z1

Po Vo

Zm

Figura 6.2.2: Circuito equivalente del transformador durante la prueba de circuito abierto Durante la prueba de circuito abierto, puesto que el transformador no suministra ninguna carga, la lectura del wattímetro mostrado en la figura (6.2.1) será igual a las pérdidas magnéticas más las correspondientes a las eléctricas debido a la corriente Io, por ello se cumple:

Po  Io 2 R 1  Pmag

(6.2.1).

De la ecuación (6.2.1) se obtiene:

Pmag  Po  Io2  R1

(6.2.2)

Halladas las pérdidas magnéticas de la ecuación (6.2.2) se puede determinar la parte resistiva de la impedancia Zm, si se emplea la ecuación (1.15.33), la cual por conveniencia se repite seguidamente: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 𝐼2 𝑜 𝑅𝑚

(6.2.3)

De las ecuaciones (6.2.3) y (6.2.2) se obtiene:

Pmag Po - Io 2  R 1 Rm   Io 2 Io 2

(6.2.4)

En el circuito de la figura (6.2.2) se cumple: Vo Zm  Z1  Io

(6.2.5). Como Zm>>Z1 se obtiene, sin cometer un error apreciable:

Vo (6.2.6). Io La componente reactiva de la impedancia de magnetización está dada por: Zm 

2  Vo   Po - Io  R 1  Xm  Zm  Rm      Io 2  Io    2

2

2

2

(6.2.7).

Puede observarse que los parámetros de la rama de magnetización pueden determinarse conociendo la lectura de los instrumentos y aplicando las ecuaciones (6.2.4), (6.2.6) y (6.2.7). Debe destacarse que para aplicar estas ecuaciones debe conocerse el valor de la resistencia R1. Lo cual se obtiene mediante la medición de corriente directa. Para transformadores trifásicos, en las ecuaciones de la (6.2.1) a la (6.2.7), deben ser sustituidos los valores de potencia, corriente y voltajes de fase. Durante esta prueba debe aplicarse el voltaje nominal, de modo que las pérdidas magnéticas obtenidas correspondan con las nominales (Ver ecuación 4.15). Por ello se recomienda realizarla alimentando el transformador por el lado de bajo voltaje, por cuestiones de seguridad para el personal que realiza la prueba. Para llevar a cabo la prueba de vacío, los instrumentos deben ser colocados, según se muestra en la figura (6.2.1), lo cual obedece a que esta prueba se realiza con relativamente pequeños valores de corriente y grandes de voltaje.

6.3. Prueba de relación de transformación Esta prueba conocida como prueba de TTR por sus siglas en Inglés, permite determinar en forma aproximada la relación de vueltas de los devanados. Como fue explicado en el capítulo II, la relación de transformación se define como la relación de vueltas o de fuerzas electromotrices entre los devanados (ver ecuación 2.3.5). Para determinar esta relación, se miden los voltajes de primario y secundario, con el transformador operando en vacío, de modo que el error por caídas de voltajes sea mínimo, según se muestra en la figura 6.3.1.

Figura 6.3.1. Esquema para realizar la prueba de relación de transformación

Puesto que el transformador opera en vacío, en el primario se cumple:

V1  IoZ1   E1 

(6.3.1)

Sin cometer un error considerable se puede suponer: V1  E 1

(6.3.2)

En el secundario se cumple, en vacío sin cometer ningún error: (6.3.3)

V2  E 2

Mediante la ecuación (2.3.5) se definió la relación de transformación, ésta por conveniencia se repite a continuación: 𝐸1 𝑁1 = =𝑎 𝐸2 𝑁2

(6.3.4)

De las ecuaciones (6.3.2), (6.3.3) y (6.3.4) se obtiene: a

N1 V1  N 2 V2

(6.3.5)

De acuerdo con la ecuación (6.3.5), sustituyendo las lecturas del voltímetro colocado en el primario y en el secundario, se obtiene la relación de transformación. Debe destacarse que mediante las pruebas de cortocircuito y de circuito abierto se obtienen los parámetros del circuito equivalente aproximado, ya que no es posible obtener separadamente las reactancias de dispersión, aunque en forma aproximada puede suponerse que X1 = X2’. Así obtenida la reactancia Xe’ de las ecuaciones (6.1.9) o (6.1.10) queda:

X1  X 2 ' 

Xe' 2

(6.3.6)

También puede suponerse aproximadamente R1 = R2’ así queda:

R1  R 2 ' 

Re' 2

(6.3.7)

6.4. Prueba de resistencia Ohmica Esta prueba se realiza para determinar la resistencia de los devanados. Permite determinar la resistencia propia de los devanados y además conocer si existe una resistencia elevada de contacto en las conexiones. Esta prueba puede ser realizada mediante el método de medición con voltímetro y amperímetro, aplicando una fuente de corriente directa, tal como se muestra en la figura 6.4.1. La resistencia se determina mediante:

𝑉 𝑅𝑐𝑑 = 𝑐𝑑 𝐼𝑐𝑑

(6.4.1)

Donde: 𝑅𝑐𝑑 - Resistencia a corriente directa (Ohm) 𝑉𝑐𝑑 –Voltaje de corriente directa aplicado (V) 𝐼𝑐𝑑 - Corriente directa (A) El valor de resistencia de los devanados obtenida mediante la ecuación (6.4.1) debe ser corregida a corriente alterna por lo que aproximadamente debe ser multiplicada por un factor igual a 1.15, tal como se expresa en la ecuación (6.4.2). Con este factor se toma en consideración el aumento que experimenta la resistencia por el efecto de desplazamiento de las corrientes. 𝑉 𝑅𝑐𝑎 = 1.15 𝑐𝑑 𝐼𝑐𝑑 Donde:

(6.4.2)

𝑅𝑐𝑎 – Resistencia a corriente alterna (Ohm) También la resistencia debe ser corregida a la temperatura de operación mediante la ecuación (6.4.3) y (6.4.4) para devanados de cobre y aluminio respectivamente. 𝑅𝐶 = 𝑅𝐹 (

234.5 + 𝑇𝐶 ) (6.4.3) − 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑣𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 234.5 + 𝑇𝐹

𝑅𝐶 = 𝑅𝐹 (

225 + 𝑇𝐶 ) (6.4.4) − 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑣𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 225 + 𝑇𝐹

Donde: 𝑅𝑐 – Resistencia en caliente o a la temperatura de operación (Ohm) 𝑅𝐹 – Resistencia en frío o la temperatura a la que se realiza la prueba (Ohm) 𝑇𝐶 – Temperatura de operación del transformador (°C) 𝑇𝐹 - Temperatura a la que se realiza la prueba (°C) La resistencia de los devanados también puede ser medida con un puente de medición de corriente directa. Durante la prueba de resistencia Ohmica, la corriente no debe exceder de su valor nominal, de modo que no se presenten daños térmicos por calentamiento.

Figura 6.4.1: Esquema para realizar la prueba de resistencia Ohmica. Ejemplo 6.4.1 Un transformador monofásico de 25 kVA 2400/240 V fue sometido a pruebas, arrojando los siguientes resultados. Prueba de vacío. (Alimentado por el lado de baja, figura 6.4.2) 𝑃𝑜 = 115 (𝑊) 𝐼𝑜 = 2.1 (𝐴) 𝑉𝑜 = 240 (𝑉)

Figura 6.4.2: Esquema para realizar la prueba de vacío Prueba de cortocircuito. (Alimentado por el lado de alta, figura 6.4.3) V𝑐 = 72 (𝑉) 𝐼𝑐 = 10.4 (𝐴) Pc = 300 (W)

Figura 6.4.3: Esquema para realizar la prueba de cortocircuito De una medición mediante un puente, la resistencia del devanado de baja dio como resultado 𝑅 = 0.01 (𝑂ℎ𝑚). Determine: a) Las pérdidas del transformador. b) Los parámetros del circuito equivalente referidos al lado de alto voltaje.

c) d)

El % de impedancia La eficiencia nominal del transformador para un factor de potencia de la carga igual 0.8 Se conoce que las pruebas fueron realizadas a la temperatura de operación, por lo que no es necesario hacer las correcciones en este sentido. Resolución a) De acuerdo con la ecuación (6.2.2) las pérdidas magnéticas están dadas por: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 115 − (2.1)2 (0.01) = 114.96 (𝑊) Del resultado obtenido, si se hubieran despreciado las pérdidas en la resistencia, no se cometería prácticamente ningún error. La corriente nominal por el lado de alto voltaje está de acuerdo con la ecuación (2.7.4): 𝐼1𝑁 =

25000 = 10.4 (𝐴) 2400

Puede comprobarse que durante la prueba de cortocircuito se ha hecho circular la corriente nominal igual a 10.4 (A), por lo que la lectura del wattímetro da directamente las pérdidas eléctricas nominales, o sea: 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑁 = 300 (𝑊) b) De la ecuación (6.2.4) se obtiene: 𝑅𝑚 ′′ =

114.96 = 26.068 (𝑂ℎ𝑚) (2.1)2

De las ecuaciones (6.2.6) y (6.2.7) se obtiene: Zm ′′ =

240 = 114.29 (Ohm) 2.1

𝑋𝑚 ′′ = √(114.29)2 − (20.068)2 = 112.51 (𝑂ℎ𝑚) Puesto que la prueba de vacío fue realizada alimentando el transformador por el lado de baja, para referir los parámetros al lado de alta es necesario multiplicar los parámetros hallados, por la relación de transformación al cuadrado. De los valores de voltaje dados se tiene que la relación de transformación está dada por: 𝑎=

2400 = 10 240

Los parámetros de la rama de magnetización referidos al lado de alta están dados por:

𝑍𝑚 = (114.29)(10)2 = 11429 (𝑂ℎ𝑚) 𝑅𝑚 = (26.068)(10)2 = 2606.8 (𝑂ℎ𝑚)

Referidos al lado del alta

𝑋𝑚 = (112.51)(10)2 = 11251 (𝑂ℎ𝑚)

De la ecuación (6.1.7) se obtiene la resistencia equivalente: 𝑅𝑒′ =

300 = 2.7737 (𝑂ℎ𝑚) (10.4)2

De la ecuación (6.1.8) se obtiene la impedancia de dispersión: 𝑍𝑒′ =

72 = 6.9231 (𝑂ℎ𝑚) 10.4

La reactancia equivalente se obtiene aplicando la ecuación (6.1.9): 𝑋𝑒′ = √(6.9231)2− (2.7737)2 = 6.3432 (𝑂ℎ𝑚) Puesto que la prueba de cortocircuito fue realizada con los instrumentos colocados por el lado de alta, los parámetros de dispersión obtenidos ya están directamente referidos a este lado. En la figura 6.4.4 se muestra el circuito equivalente del transformador

c) De la ecuación (6.1.11), el % de impedancia está dado por:

%Z 

(6.9231 )(10.4)  100  3% 2400

d) La eficiencia se puede determinar aplicando la ecuación (4.2.11) la cual por conveniencia se repite a continuación. 𝐸𝑓 =

𝑆. 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) 𝑆

𝑆. 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) + 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝑃𝑒𝑙𝑁 (𝑆 )

2

. 100

𝑁

Sustituyendo valores en la ecuación anterior queda:

𝐸𝑓 =

(25000)(0.8) (25000)(0.8) + 114.96 + (300)(1)2

. 100 = 97.9647 %

Figura 6.4.4: Circuito equivalente del transformador correspondiente al ejemplo 6.4.1 Ejemplo 6.4.2 Un transformador trifásico de 1000 kVA 24000/240 conectado en estrella delta fue sometido a pruebas arrojando los siguientes resultados. Se conoce que la potencia fue obtenida por el método de los tres wattímetros. Prueba de vacío. (Alimentado por el lado de baja, figura 6.4.5) 𝑃𝑜 = 2100 (𝑊) (Potencia trifásica: P1+P2+P3) 𝐼𝑜 = 36 (𝐴) (Corriente de línea) 𝑉𝑜 = 240 (𝑉) (Voltaje de línea) Prueba de cortocircuito. (Alimentado por el lado de alta, figura 6.4.6) V𝑐 = 800 (𝑉) 𝐼𝑐 = 24 (𝐴) Pc = 10000 (W) (Potencia trifásica: P1+P2+P3) Determine: a) Las pérdidas del transformador. b) Los parámetros del circuito equivalente referidos al lado de alto voltaje. c) La eficiencia nominal del transformador para un factor de potencia de la carga igual a 1

Figura 6.4.5: Esquema para realizar la prueba de vacío

Figura 6.4.6: Esquema para realizar la prueba de cortocircuito. Resolución. a) Para determinar las pérdidas magnéticas se aplica la ecuación (6.2.2), pero en este caso se van a despreciar el efecto de la resistencia por lo que se obtiene: 𝑃𝑚𝑎𝑔 = 2100 (𝑊)

La corriente nominal por el lado de alto voltaje está dada por, de acuerdo con la ecuación (2.7.4) aplicada para una conexión trifásica: 𝐼1𝑁 =

1000000 = 24 (𝐴) √3(24000)

Puede comprobarse que durante la prueba de cortocircuito se ha hecho circular la corriente nominal igual a 24 (A), por lo que la lectura del wattímetro da directamente las pérdidas eléctricas nominales, o sea: 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑁 = 10000 (𝑊) b) La resistencia de la rama de magnetización se obtiene de la ecuación (6.2.4). Puesto que los parámetros del circuito equivalente deben ser los correspondientes a cada fase y las pérdidas magnéticas dadas como dato son las totales trifásicas y los voltajes y corrientes se dan en línea, deben ser realizadas las conversiones correspondientes, o sea, la potencia debe ser dividida por tres, y la corriente por raíz de tres, ya que el secundario estás conectado en delta. Así se obtiene:

Rm' ' 

2100/3  1.6165 () (36/1.73) 2

De las ecuaciones (6.2.6) y (6.2.7) se obtiene: ′′ Zm =

240 36

= 11.533 (Ω)

1.73

𝑋𝑚 ′′ = √(11.533)2 − (1.6165)2 = 11.4192 (Ω) Puesto que la prueba de vacío fue realizada alimentando el transformador por el lado de baja, para referir los parámetros al lado de alta es necesario multiplicar los parámetros hallados, por la relación de transformación al cuadrado. De los valores de voltaje dados se tiene que la relación de transformación está dada por: 𝑎=

24000/1.73 = 57.8 240

𝑍𝑚 = (11.533)(57.8)2 = 38530 (𝑂ℎ𝑚) 𝑅𝑚 = (1.6165)(173)2 = 5400(𝑂ℎ𝑚)

Referidos al lado del alta

𝑋𝑚 = (11.4192)(173)2 = 38150(𝑂ℎ𝑚) De la ecuación (6.1.7) se obtiene la resistencia equivalente: 10000/3 = 5.787 (𝑂ℎ𝑚) (24)2 Obsérvese que en la ecuación anterior se ha sustituido la corriente de línea puesto que el devanado primario está conectado en estrella. 𝑅𝑒′ =

De la ecuación (6.1.8) se obtiene la impedancia de dispersión:

𝑍𝑒′ =

800/1.73 = 19.2678 (𝑂ℎ𝑚) 24

Obsérvese que en la ecuación anterior, el voltaje fue dividido por raíz de tres, ya que el devanado primario está conectado en estrella. La resistencia equivalente se obtiene aplicando la ecuación (6.1.9): 𝑋𝑒′ = √(19.2678)2− (5.787)2 = 18.378 (𝑂ℎ𝑚) Puesto que la prueba de cortocircuito fue realizada con los instrumentos colocados por el lado de alta, los parámetros de dispersión obtenidos ya están directamente referidos a este lado. En la figura (6.4.7) se muestra el circuito equivalente del transformador

Figura 6.4.7: Circuito equivalente del transformador correspondiente al ejemplo 6.4.2. c) De la ecuación (6.1.11), el % de impedancia está dado por:

%Z 

(19.2678 )(24)  100  3.33% 24000/1.73

d) La eficiencia se puede determinar aplicando la ecuación (4.2.11) la cual por conveniencia se repite a continuación. 𝑆. 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 )

𝐸𝑓 =

𝑆

𝑆. 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 ) + 𝑃𝑚𝑎𝑔 + 𝑃𝑒𝑙𝑁 (𝑆 )

2

. 100

𝑁

Sustituyendo valores en la ecuación anterior queda:

𝐸𝑓 =

(1000000)(1) (1000000)(1) + 2100 + (10000)(1)2

. 100 = 98.81 %

Ejemplo 6.4.3. Confeccione un programa en Matlab que permita determinar los parámetros del circuito equivalente del transformador a partir de los datos de las pruebas de circuito abierto y de cortocircuito.

Resolución A continuación se muestra el código del programa elaborado. Debe observarse que el programa se ha salvado con el nombre: Circuito equivalente. % % % % % % % % %

PROGRAMA: CIRCUITO EQUIVALENTE EJEMPLO: 6.4.3 PROGRAMA PARA DETERMINAR LOS PARÁMETROS DEL CIRCUITO EQUIVALENTE A PARTIR DE LAS PRUEBAS DE CIRCUITO ABIERTO Y DE CORTOCIRCUITO SE CONSIDERA V1 COMO EL VOLTAJE DEL LADO DE ALTA Y V2 COMO EL DE BAJA LA PRUEBA DE VACIO SE SUPONE ALIMENTANDO POR EL LADO DE BAJA LA PRUEBA DE CORTOCIRCUITO SE SUPONE ALIMENTANDO POR EL LADO DE BAJA PARA TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS TODOS LAS LECTURAS DEBEN SER INTRODUCIDAS COMO VALORES DE FASE. ESTO EVITA TENER QUE DAR EL TIPO DE CONEXION

clear all

disp('PRUEBA DE VACIO') disp('*****************************************') a=input ('Relación de transformacio V1/V2 a='); Po=input ('Lectura del wattimetro (W)Po='); Io=input ('Lectura del Amperímetro(A)Io='); Vo=input ('Lectura del Voltimetro (V)Vo='); disp('**********************************************') disp('PRUEBA DE CORTO CIRCUITO') Vc=input ('Lectura del Voltimetro (V)Vc='); Pc=input ('Lectura del wattimetro (W)Pc='); Ic=input ('Lectura del Amperímetro(A)Ic='); %**************************************************** % PARAMETROS DE LA RAMA DE MAGNETIZACION Rm=Po/(Io^2)*a^2; Zm=Vo/Io*a^2; Xm=sqrt(Zm^2-Rm^2); %******************************************************** % PARAMETROS DE LA RAMA DE DISPERSIÓN Re=Pc/(Ic^2); Ze=Vc/Ic; Xe=sqrt(Ze^2-Re^2); % ******************************************************** clc % PARA MOSTRAR RESULTADOS EN LA VENTANA DE COMANDOS formatshortg disp('PARAMETROS DE LA RAMA DE MAGNETIZACION REFERIDOS AL LADO DE ALTA (Ohm)') disp('') disp('') disp(' ZmRmXm') [ ZmRmXm ] disp('PARAMETROS DE LA RAMA DE DISPERSIÓN REFERIDOS AL LADO DE ALTA (Ohm)') disp('

Ze

Re

Xe')

[

Ze

Re

Xe

]

Datos: De acuerdo con la forma de pedir los datos mediante la instrucción INPUT, los mismos aparecen como se muestra a continuación. Obsérvese que se han introducido los datos correspondientes al ejemplo 6.4.1 PRUEBA DE VACIO ***************************************** Relación de transformación V1/V2 a=10 Lectura del wattimetro (W)Po=115 Lectura del Amperímetro(A)Io=2.1 Lectura del Voltímetro (V)Vo=240 ********************************************** PRUEBA DE CORTO CIRCUITO Lectura del Voltímetro (V)Vc=72 Lectura del wattímetro (W)Pc=300 Lectura del Amperímetro(A)Ic=10.4 Resultados A continuación se muestra como se presentan los resultados en la ventana de comandos, los cuales coinciden con los del ejemplo 6.4.1 PARAMETROS DE LA RAMA DE MAGNETIZACION REFERIDOS AL LADO DE ALTA (Ohm) Zm 11429

Rm 2607.7

Xm 11127

PARAMETROS DE LA RAMA DE DISPERSIÓN REFERIDOS AL LADO DE ALTA (Ohm) Ze 6.9231

Re 2.7737

Xe 6.3432

6.5 Pruebas para determinar el estado del aislamiento El tiempo de vida de los transformadores es de 25 a 30 años. Durante este tiempo se encuentran sometidos a diferentes estados de carga y transitorios que influyen en el grado de envejecimiento de sus aislamientos. Las estadísticas demuestran que las fallas más frecuentes ocurren en los devanados y aisladores (bushing). Resulta de gran importancia la detección a tiempo de posibles fallas en el sistema de aislamiento, para ello están normadas un conjunto de pruebas. El objetivo de las mismas es determinar el

estado del aislamiento de los transformadores, ya sean del tipo seco como en aceite. Algunas de ellas son realizadas solamente en fábrica y otras en campo. Los ensayos de aislación en transformadores, y en general en cualquier equipo eléctrico, se realizan para verificar que el aislamiento posea características óptimas ya sea en el proceso de fabricación, o bien durante los períodos de mantención del equipo una vez que éste ha entrado en servicio. En el siguiente cuadro se especifican las pruebas de aislamientos más importantes.      

Pruebas de alto voltaje (Prueba de potencial inducido , Prueba de potencial aplicado) Prueba de impulso Prueba de descargas parciales. Prueba de resistencia de aislamiento Prueba de factor de potencia de aislamiento. Prueba de rigidez dieléctrica del aceite.

Debe destacarse que no existe un ensayo único que permita obtener un diagnóstico del estado del aislamiento, salvo en casos muy puntuales, se requiere implementar una serie de controles no necesariamente programados.

6.5.1. Pruebas de alto voltaje Las pruebas o ensayos de alto voltaje se realizan en fábrica o talleres de reparación y consisten en aplicar voltajes de corriente alterna a la frecuencia industrial, de magnitud superior a los nominales del transformador. Estas pruebas permiten verificar la condición del aislamiento, en lo que respecta su capacidad para soportar sobrevoltajes, a frecuencia de operación, o a mayor frecuencia para el caso de la prueba de potencial inducido. El aislamiento se perfora si presenta algún punto débil cuando se somete a este alto voltaje. El voltaje se selecciona de modo que un asilamiento en buen estado pueda pasar el ensayo y un aislamiento dañado no. Es por ello que esta puede resultar en una prueba destructiva. Si el transformador soporta el voltaje aplicado por el tiempo especificado la prueba se considera exitosa. Cada una de estas pruebas, como será mostrado, tiene un propósito específico al verificar los aislamientos menores y mayores de un transformador. Los aislamientos mayores consisten de los aislamientos entre fases y fase a tierra así como del aislamiento que separa el devanado primario del secundario. Los aislamientos menores son los que existen entre capa a capa, vuelta a vuelta y entre secciones. En las pruebas de alto voltaje se distinguen:  

Prueba de potencial inducido. Prueba de potencial aplicado

Prueba de potencial inducido.

La prueba de potencial inducido es una prueba de rutina que se realiza en fábrica o talleres de reparación y se lleva a cabo con el objetivo de determinar si el aislamiento entre vueltas, capas y secciones de los devanados alimentado suportan los sobre voltajes que sufre el transformador durante su operación. Para someter el asilamiento a un esfuerzo eléctrico considerable, se aplica un voltaje igual al doble del nominal. Para evitar la saturación del núcleo al realizar la prueba, debe aumentarse la frecuencia al doble, con ello se mantiene el flujo en su valor nominal, lo cual se obtiene de la ecuación (2.4.1), la que por conveniencia se repite a continuación: 𝜙𝑚 =

𝑉1 4.44𝑓𝑁1

(6.5.1.1)

Lo anterior significa que si el transformador tiene una frecuencia nominal de 60 Hz, la prueba de potencial inducido debe ser realizada con una frecuencia de 120 Hz. Está normado que cuando la prueba se realiza a 120 Hz, el tiempo de la prueba debe ser igual a 60 segundos. Si la frecuencia de prueba es superior a 120 Hz, el tiempo de la prueba debe ser reducir el cual se obtiene por la ecuación (6.5.1.2). También está normado que el tiempo de la prueba no debe ser menor a 15 segundos.

tp =

120fn

(6.5.1.2)

fp

Donde:

𝑡𝑝 −Tiempo de la prueba de voltaje inducido (s) 𝑓𝑝

- Frecuencia del voltaje durante la prueba. (Hz)

𝑓𝑛

- Frecuencia nominal. (Hz)

En la tabla No. 6.5.1.1 se muestran diferentes valores de frecuencia y el tiempo que debe ser aplicado la prueba.

Frecuencia fp del voltaje aplicado (Hz)

Tiempo tp de la prueba (s)

120

60

180

40

240

30

360

20

400

18

Tabla 6.5.1.1: Tiempo y frecuencias correspondientes a la prueba de voltaje inducido

Si se presenta alguno de los siguientes síntomas, significa que el transformador no soporta la prueba. 

Incremento brusco de corriente.

Cuando la corriente se incrementa bruscamente durante la prueba, existe la evidencia de una posible falla en el devanado, ya sea entre vueltas o entre capas.  Ruidos dentro del tanque. Si se presenta un ruido fuerte en el interior del tanque, la posible falla puede deberse a distancias cortas de los devanados o partes vivas contra el tanque. Si el ruido es amortiguado o en forma de zumbido, la causa puede ser por distancias críticas o por la existencia de humedad.  Humo y burbujas. La existencia de humo y burbujas en el aceite es prueba evidencia de falla entre vueltas o entre capas del devanado. Cuando se presentan algunas burbujas sin presencia de humo, no es posible asegurar la existencia de alguna falla, ya que las burbujas pueden haber estado atrapadas en el devanado, en este caso se sugiere repetir la prueba Es recomendable por problemas de seguridad y disponibilidad de la fuente, alimentar el transformador por el lado de bajo voltaje cuando se realiza la prueba de voltaje inducido. En las figuras (6.5.1.1) y (6.5.1.2) se muestran los diagramas de conexiones para la realización de la prueba. En la figura (6.5.5.1) se ha empleado una fuente monofásica y la prueba se realiza por cada fase separadamente. En la figura (6.5.1.2) se ha empleado una fuente trifásica y un transformador de alimentación para ajustar el voltaje al valor requerido.

Figura 6.5.1.1. Circuito para la prueba de potencial inducido. Alimentación con fuente monofásica. Transformador trifásico estrella delta.

Figura 6.5.1.2. Circuito para la prueba de potencial inducido. Alimentación con fuente trifásica. Trasformador trifásico delta-estrella Prueba de potencial aplicado. La prueba o ensayo de potencial aplicado es una prueba de rutina a llevar a cabo en fábrica o en talleres de reparación. Por lo general esta prueba no se realiza en los mantenimientos periódicos, debido a la posibilidad de provocarse un daño en el aislamiento y solamente se emplea como prueba de aceptación. Consiste en someter al aislamiento del transformador a un sobre voltaje a frecuencia industrial (de valor normalizado) durante 1 minuto, y permite comprobar el aislamiento entre los devanados entre sí y con respecto a tierra. El objetivo de la prueba es examinar el aislamiento primario para determinar si es capaz de soportar los sobre voltajes que se provocan debido a inestabilidades en el sistema por operaciones, etc. Esta prueba es también conocida como de “High Pot” o también como prueba de “baja frecuencia”. El voltaje a aplicar durante la prueba depende de la clase de asilamiento y se encuentra normado. En México se aplican las normas NMX-J-116 para transformadores de Distribución y la NMX-J-284 para transformadores de Potencia. En la tabla No. 6.5.1.2 se muestran los valores de voltaje a emplear en las pruebas de fábrica correspondiente a transformadores con enfriamiento en aceite. La prueba se efectúa aplicando una tensión a 60 Hz, durante un minuto, iniciándose con un valor no mayor de un cuarto del establecido como tensión de prueba. Posteriormente se incrementará hasta alcanzar el voltaje requerido. Para suspender el voltaje, se reducirá gradualmente hasta alcanzar por lo menos un cuarto de la tensión máxima aplicada. Si durante la prueba no se daña el aislamiento, el transformador se considera apto. Si se provoca una falla en el aislamiento durante la prueba se provocará un disparo del relé de protección. En este caso es necesario reparar el transformador y posteriormente repetir la prueba. Una falla durante la prueba se manifiesta con un alto valor de corriente y otros indicativos tales como aparición de humo, burbujas y ruidos. Si el voltaje se retira repentinamente por medio de un interruptor, el aislamiento puede ser dañado por un voltaje transitorio mayor que el de prueba. Sólo en caso de falla, el voltaje podrá ser suspendido repentinamente.

En la figura (6.5.1.3) se muestra el circuito para realizar la prueba, correspondiente a un transformador monofásico; en la (6.5.1.4), para trifásicos. Para obtener el voltaje de prueba se ha empleado un transformador elevador TE: Además se incluye de protección Para realizar la prueba, los devanados que no se alimenten deben ser cortocircuitados y conectados a tierra igual que el núcleo.

Figura 6.5.1.3: Circuito para la prueba de potencial aplicado: Transformador monofásico.

Figura 6.5.1.4: Circuito para la prueba de potencial aplicado: Transformador trifásico

Nivel de aislamiento (kV) 1.2 2.5 5 8.7 15 18 25 34.5 46 69

Voltaje a aplicar (kV) 10 15 19 26 34 40 50 70 95 140

Tabla No. 6.5.1.2: Voltajes a aplicar en la prueba de voltaje aplicado para transformadores de distribución en aceite.

Pruebas de impulso. Los transformadores estando en operación, con frecuencia están sometidos a sobre voltajes de corta duración y de un elevado valor, ya sea por maniobras o por descargas atmosféricas Esto puede provocar fallas en el los devanados fundamentalmente en el lado de alta. Los sobre voltajes debido a maniobras se presentan debido a que las líneas largas de alimentación a los transformadores, presentan capacitancias distribuidas y como un todo se forman circuitos resistivos inductivos capacitivos (circuitos RLC). Durante la apertura y cierre de los circuitos pueden presentarse oscilaciones y sobre voltajes peligrosos los cuales se tratan de reducir empleando dispositivos externos de protección, conocidos como descargadores de sobre voltajes. Estos se conectan entre línea y tierra, los mismos presentan una resistencia no lineal que ante la presencia de un alto voltaje su resistencia es muy baja y derivan a tierra las líneas. A voltajes normales de operación presentan una alta resistencia. En los casos más desfavorables, por ejemplo la desconexión de líneas de transmisión largas, la amplitud de la oscilación transitoria puede alcanzar valores del orden de dos o hasta tres veces la tensión normal de operación. Los sobre voltajes de origen atmosféricos se presentan ya sea por descargas directas sobre las líneas o por nubes cargadas las cuales inducen cargas de signos contrarios en las líneas de transmisión y finalmente alcanzan a los transformadores. Para comprobar la capacidad que tienen los aislamientos del transformador ante los fenómenos mencionados anteriormente, se realizan pruebas de laboratorio con fuentes de alimentación que simulan estos efectos. Los ensayos de impulso permiten determinar si el aislamiento es capaz de soportar los esfuerzos eléctricos asociados a los fenómenos descritos anteriormente. Para ello se aplican ondas de alto voltaje de impulso normalizadas (cuya duración es del orden de microsegundos) que tratan de simular los efectos reales. Si la aislación del transformador no sufre rupturas luego de la ejecución de estas pruebas, se dice que el transformador ha superado la prueba de impulso. Estas pruebas están diseñadas para simular los sobre voltajes que pueden experimentar muchas veces el transformador durante su ciclo de vida. Para proteger un transformador de las descargas atmosféricas es necesario ver primeramente que tipo de onda se presenta en estas condiciones. En base a muchas experiencias y años de estudios se ha comprobado que estas descargas son de corta duración. La mayoría de estos transitorios tardan entre 1 a 5 microsegundos en llegar a su valor máximo y entre 10 y 50 microsegundos en descender a un 50 % de su valor pico En la realidad los sobre voltajes producidos por descargas atmosféricas pueden ser

representados por tres tipos básicos de ondas, a saber: onda completa, onda cortada y frente de onda. La más empleada es la denominada de 1.2/50 u onda completa, especificada en las normas internacionales como son IEC (del inglés International Electrotechnical Commission) o IEEE (del inglés International Electrical and Electronic Engineering ). Esta onda es mostrada en la figura (6.5.1.5). De esta onda se derivan las otras que se emplean en la prueba. El valor máximo del voltaje Vmax se suele denominar BIL (del inglés Basic Impulse Level), pero su valor no afecta a la forma de onda, solo a la amplitud. Cada normativa proporciona ciertos valores posibles, en función de la tensión nominal del transformador. Alcanzar esta forma de onda es prácticamente imposible porque cada transformador tiene diferentes características. Por tanto las diferentes normativas proporcionan tolerancias de acuerdo con los dos puntos que identifican la onda: el tiempo de pico o de frente 𝑡𝑓 hasta alcanzar el valor máximo y el tiempo de cola𝑡𝑐 cuando la tensión se reduce al 50% del valor de pico. De esta manera, la forma de onda a obtener se caracteriza por:  

Tiempo de frente: tf= 1.2 μs con tolerancia ±30% Tiempo de cola: tc= 50 μs con tolerancia ±20%

La forma de onda mostrada en la figura (6.5.1.5), puede representarse en función del tiempo mediante la ecuación (6.5.1.3), donde coeficientes k, α y β son constantes y t el tiempo.

𝑉 = 𝑘(𝑒 −𝛼𝑡 − 𝑒 −𝛽𝑡 ) (6.5.1.3)

Figura No. 6.5.1.5 Forma de onda normalizada a aplicar durante la prueba de impulso. En la tabla (6.5.1.3) se muestran los valores máximos de voltajes a aplicar durante la prueba de impulso. Nivel básico de impulso (BIL): Valor de cresta de una onda de sobre voltaje por rayo (impulso de rayo normalizado) que como máximo puede soportar un aislante sin que se perfore.

Tabla No. 6.5.1.3: Valores de voltaje máximo a aplicar durante la prueba de impulso para transformadores de distribución en aceite. En la tabla 6.4.1.4 se muestra el nivel básico de aislamiento ofrecidos por el fabricante para transformadores de diferentes capacidades

Tabla 6.5.1.4: Nivel de impulso básico (NBI o BIL) para transformadores diferentes capacidades y distintos niveles o clases de aislamiento Prueba de Descargas parciales.

Antes de explicar el fenómeno de descargas parciales es necesario definir lo que significa la rigidez dieléctrica y el voltaje de ruptura de un material. Se define la rigidez dieléctrica de un material el valor límite de la intensidad del campo eléctrico en el cual un material pierde su propiedad aislante y se convierte en conductor. Se mide en voltios por metro V/m (en el sistema internacional de unidades) o múltiplos o submúltiplos de estas unidades. También podemos definirla como el máximo voltaje que puede soportar un aislante sin perforarse. A esta tensión se la denomina voltaje de ruptura de un dieléctrico. La descarga parcial es una ruptura de la rigidez dieléctrica muy localizada del aislamiento líquido o sólido. A diferencia del efecto corona, que se manifiesta en los conductores o aparatos de una forma más o menos estable, las descargas parciales tienen una naturaleza mucho más esporádica. Las descargas parciales provocan pequeños arcos eléctricos que ocurren en el aislamiento eléctrico de los cables, los transformadores y las bobinas en los grandes motores eléctricos y los generadores. Debe hacerse una distinción entre efecto corona y descarta parcial, pues en ocasiones estos términos se confunden. Una descarga de corona es una descarga eléctrica producida por la ionización de un fluido que rodea a un conductor que está eléctricamente energizado. La descarga se produce cuando se supera la rigidez dieléctrica del fluido alrededor del conductor formándose una región conductora, pero no lo suficientemente alta como para causar ruptura eléctrica o formación de arco a objetos cercanos. Se ve a menudo como un azulado (o de otro color) brillan en el aire adyacente a conductores metálicos puntiagudos con tensiones elevadas. Si un objeto cargado tiene una punta afilada, o un pequeño radio de curvatura, el aire alrededor de ese punto estará en un gradiente mucho mayor que en otras partes. El aire cerca del electrodo puede llegar a ser ionizado (parcialmente conductora), mientras que las regiones más distantes no. Cuando el aire cerca del punto se hace conductor, tiene el efecto de aumentar el tamaño aparente del conductor. En una región alejada cuando no se ejerce esta superficie en punta, la ionización no puede extenderse más allá de esta región local. Si la geometría y el gradiente son tales que la región ionizada sigue creciendo hasta que llega a otro conductor a un potencial inferior, una ruta de resistencia conductora entre los dos se formará, lo que resulta en un arco eléctrico. La descarga de corona generalmente se forma en las regiones altamente curvadas sobre los electrodos, tales como esquinas agudas, que sobresalen en puntas, bordes de las superficies de metal, o alambres de pequeño diámetro. La alta curvatura provoca un alto gradiente de potencial en estos lugares, de modo que el aire se degrada y formas plasma allí primero. Con el fin de suprimir la formación de corona, los terminales en equipos de alta tensión se diseñan, con suaves formas redondeadas de gran diámetro. En la figura (6.5.1.6) se muestra el fenómeno de efecto corona en tres aisladores de un sistema de alto voltaje, donde se manifiesta el efecto luminoso que se provoca.

Figura No. 6.5.1.6 Descargas corona en aisladores Las descargas parciales ordinariamente comienzan en huecos, grietas o elementos extraños en el aislamiento sólido, en las interfaces entre el aislamiento sólido y líquido (o entre dos materiales aislantes), o entre conductor y aislamiento o en burbujas en el aislamiento líquido. Estas descargas eléctricas afectan sólo a la zona en que se producen, es decir no comprometen toda la aislación, de allí su nombre genérico de descargas parciales Se podría definir entonces las descargas parciales como pequeñas descargas eléctricas que se producen en el seno de cavidades con gas presente en un medio aislante sólido o líquido. Puesto que la rigidez dieléctrica del gas dentro de la cavidad es considerablemente más baja que la del material aislante, en esta se provoca la descarga parcial. Por ejemplo considérese que en un aislante de papel con rigidez dieléctrica de 16 kV /mm y que existe una cavidad de aire cuya rigidez es igual 3 kV/mm. Considerando que el conjunto se somete a un campo de 16 kv/mm, evidentemente se provoca una descarga parcial a través del aire pues está sometido a un campo eléctrico

16 3

= 5.33 veces mayor al que

puede soportar. En la tabla 6.5.1.5 se muestra la rigidez dieléctrica de algunos materiales aislantes. Una vez que inicien las descargas parciales, se produce un deterioro progresivo de los materiales aislantes, pudiendo causar a la postre el fallo del aislamiento. Las descargas parciales se previenen con diseños cuidadosos y buenos materiales. Aislante Aire Papel electrotécnico Aceite mineral de transformadores Vidrio Porcelana Mica Teflón Baquelita

Rigidez (kV/mm) 3 16 20 48 10 65 60 8

Tabla 6.5.1.5: Rigidez dieléctrica correspondiente a diferentes aislantes Por qué surgen las descargas Durante el proceso de fabricación de un aislante, puede darse que queden en pequeñas cantidades de aire aprisionadas en el seno del material, formando cavidades de formas y dimensiones muy diferentes. Por otra parte, al montar un aislante alrededor de piezas conductoras, equipos eléctricos, por descuido, imperfecciones, dificultades constructivas, pudieran quedar cavidades entre el dieléctrico sólido y conductores o entre diferentes capas de aislación sólida. También al usar aislantes plásticos los que se moldean directamente en equipos eléctricos, en el proceso de fraguado, pueden quedar burbujas gaseosas en su interior. En el material aislante, debido a esfuerzos mecánicos o incluso bajo la acción de contracciones térmicas pueden provocar cavidades de tamaño y formas diversas. En el aceite del transformador, la presencia de gases disueltos puede provocar descargas parciales. Estas descargas aceleran los efectos de degradación térmica y aunque para el caso del aceite son auto-regenerables, conducen en algunos casos exponencialmente a la destrucción del transformador. Medición de las descargas parciales En los equipos eléctricos la integridad del aislamiento se verifica mediante el empleo de equipos de detección de descargas parciales tanto durante el proceso de fabricación como periódicamente durante la vida útil de las unidades. La prevención y detección de las descargas parciales es capital para garantizar una operación duradera y fiable de los equipos de alto voltaje. El análisis de descargas parciales es un enfoque del diagnóstico que se utiliza para evaluar la integridad de este equipo. Las mediciones de las descargas eléctricas en campo se pueden tomar de forma continua o intermitente y se detectan en línea o fuera de línea. Los resultados se utilizan para prever de manera fiable si el equipo eléctrico tiene la necesidad de mantenimiento. De igual forma en fábrica permiten determinar si ha existido alguna falla en construcción del equipo. Los principales métodos de detección de descargas parciales se basan en observaciones de las características eléctricas y acústicas del fenómeno. Los sistemas de detección acústica de descargas parciales son más ventajosos que los sistemas de vigilancia de transformadores eléctricos, ya que además de la detección, la medición de la señal observada por varios sensores acústicos permite la localización de estas descargas. La base para la detección de las descargas parciales es que las mismas se caracterizan por pulsos transitorios de corriente de alta frecuencia y aparecen con una duración entre nanosegundos y microsegundos, ocurriendo en forma repetitiva. Las corrientes de descargas parciales son difíciles de medir por su escasa magnitud y duración. El evento puede ser detectado como un cambio minúsculo en la corriente consumida por el equipo a prueba. Las descargas parciales son el fenómeno eléctrico causante de una gran parte de los fallos en el aislamiento. Producen transferencias rápidas de carga en áreas localizadas y, por consiguiente, crean una distorsión eléctrica de alta frecuencia que se propaga a

través del circuito eléctrico. Las técnicas de detección de descargas parciales más empleadas son: • Detección eléctrica: detectando los impulsos eléctricos generados • Detección acústica: con sensores acústicos en el exterior del transformador • Detección química: medida de compuestos surgidos después de una descarga. Detección eléctrica: Cuando la descarga parcial se produce, los pulsos corrientes pasajeros de alta frecuencia aparecerán y persistirán durante nanosegundos a un microsegundo, luego desaparecerán y reaparecerán repetidamente. Las corrientes son difíciles de medir debido a su pequeña magnitud y duración corta. El acontecimiento se puede descubrir cuando se manifiestan pequeños cambios en la corriente en el equipo bajo la prueba. Un método de medir estas corrientes es poner una pequeña resistencia en serie con la muestra y luego ver la caída de voltaje en ella, en un osciloscopio vía un cable coaxial combinado. Detección acústica. El método acústico detecta la descarga parcial empleando sensores instalados en el tanque del transformador. Presentan la ventaja de que además de determinar la magnitud de la falla, permiten determinar la ubicación de la misma. Detección química: El método químico se basa en la información obtenida del análisis de gases del aceite del transformador. Tiene la desventaja de que no permite determinar las descargas incipientes, ya que existe un gran retardo de tiempo entre el inicio de la falla y la alteración de la composición del aceite. Además tiene la desventaja de que no permite determinar con precisión la ubicación de la falla. En este método se realiza un análisis cromográfico del aceite para con ello determinar la composición de los gases disueltos

6.5.2 Prueba de resistencia de aislamiento. El objetivo de la prueba de resistencia de aislamiento, como su nombre lo indica, es comprobar el estado del aislamiento de la máquina. Esta se realiza tanto en fábrica como en campo. En fábrica, esta prueba se realiza después de que al transformado se le haya ha terminado su proceso de secado y básicamente permite determinar la cantidad de humedad e impurezas que contienen los aislamientos del transformador. En campo resulta muy importante llevar a cabo la prueba de asilamiento en periodos establecidos por las normas de mantenimiento. Cuando una máquina eléctrica se encuentra en operación, su aislamiento sufre distintos esfuerzos, pero están diseñados para soportarlos en condiciones normales durante un prolongado tiempo que debe ser alrededor de 20 años. Sin embargo, se pueden degradar bajo condiciones anormales de trabajo, por esto resulta de gran importancia realizar pruebas regularmente para evaluar el estado de envejecimiento del aislamiento y con ello determinar si existe un daño reversible o no. Un aislamiento perfecto o ideal es el que no permite corriente a través del mismo cuando está sometido a una diferencia de potencial. Sin embargo la realidad siempre existe una pequeña corriente a través de éste. Cuando existe deterioro del mismo este

valor de corriente puede presentar valores considerables. La resistencia de aislamiento constituye la oposición que presenta el aislamiento al paso de la corriente. En un devanado esta resistencia existe entre las partes vivas del devanado respecto a tierra o en los devanados entre sí. En el mantenimiento de las máquinas eléctricas la medición de la resistencia de aislamiento forma parte de la rutina. El objetivo de realizar pruebas para la medición de esta resistencia es la de prevenir las posibles averías en aquellas instalaciones eléctricas y sus distintos elementos (transformadores, motores, etc.) que a lo largo de los años están expuestos a factores ambientales adversos tales como el polvo, la grasa, temperaturas extremas, tensiones mecánicas y vibraciones. Estos factores pueden conducir al fallo de los aislamientos y las mediciones realizadas periódicamente nos permiten disponer de un historial para ver cómo evoluciona la condición de aislamiento y determinar su posible degeneración. Circuito equivalente de aislamiento. Para determinar la resistencia de aislamiento de los devanados del transformador es muy conveniente emplear un circuito equivalente, el cual se muestra en la figura 6.5.2.1. Obsérvese que en el mismo se representan las tres posibles resistencias de aislamiento, es decir, resistencia del devanado de alta respecto a tierra, resistencia del devanado de baja respecto a tierra y resistencias entre los devanados de alta y baja. Además para que cada devanado se considere como un todo, se deben cortocircuitar sus terminales. El método más empleado para la medición de la resistencia de aislamiento es alimentando con una fuente de corriente directa el devanado a probar, leer el valor de la corriente y determinar la resistencia mediante la aplicación de la ley de Ohm. Por ejemplo si se desea determinar la resistencia de aislamiento alimentando por el lado de alta del transformador, se emplea el circuito mostrado en la figura 6.5.2.2, donde la fuente se ha alimentado entre el devanado de alta y tierra. La resistencia equivalente del asilamiento se determina aplicando la ley de Ohm, según la ecuación (6.5.2.1): 𝑅𝑎𝑖𝑠 =

𝑉 𝐼

(6.5.2.1)

Debe destacarse que en este caso la resistencia equivalente de aislamiento que se obtiene al emplearse el circuito de la figura 6.5.2.2, está formada por la resistencia 𝑅𝑇𝐻 en paralelo con la combinación en serie de 𝑅𝐻𝑋 y 𝑅𝑋𝑇 . Es decir que al dividir la lectura del voltímetro entre la del amperímetro se obtiene el resultado dado por la ecuación 6.5.2.2.

𝑅𝑎𝑖𝑠 =

𝑉 𝑅𝐻𝑇 (𝑅𝐻𝑋 + 𝑅𝑋𝑇 ) = 𝐼 (𝑅𝐻𝑇 + 𝑅𝐻𝑋 + 𝑅𝑋𝑇 )

(6.5.2.2)

Si se requiere determinar cada una de las resistencias separadamente, debe emplearse un conductor de guarda, lo cual se estudiará posteriormente.

Figura 6.5.2.1: Circuito equivalente de la resistencia de aislamiento de los devanados del transformador

Los valores típicos de resistencia entre bobinados y tierra, en un transformador de potencia se encuentran en el orden de 400 MegaOhms. El circuito para determinar la resistencia de aislamiento mostrado en la figura 6.5.2.2 es apropiado para hacer pruebas de laboratorio. Sin embargo existe una gran cantidad de equipos comerciales, donde tiene incluido la fuente de alimentación de corriente continua y directamente en su escala reflejan el valor de la resistencia de asilamiento. A estos instrumentos comúnmente se les denomina megger debido al primer fabricante de estos equipos, por ello también a la acción de medir la resistencia de aislamiento se expresa mediante el verbo meguear.La medición de la resistencia del aislamiento se lleva a cabo aplicando la tensión continua y comúnmente se aplica entre los devanados y devanados con respecto atierra. A través de las mediciones anteriores se obtiene los valores de las resistencias del aislamiento correspondientes a cada caso. Es decir que se realizan las pruebas de la siguiente forma:   

Alimentando entre el devanado de alta y tierra Alimentando entre el devanado de baja y tierra Alimentando entre el devanado de alta y devanado de baja.

En la figuras 6.5.2.3, 6.5.2.4 y 6.5.2.5 se muestran las conexiones descritas anteriormente y las ecuaciones de la resistencia de aislamiento equivalente que se obtiene en cada caso. Obsérvese que la fuente, el voltímetro y el amperímetro utilizados en la figura 6.5.2.2, han sido sustituidos por el equipo de medición portátil. Para transformadores trifásicos las mediciones de resistencia de aislamiento se realiza de igual manera que para transformadores monofásicos pero se forma con las tres fases

del devanado de alta un solo devanado, cortocircuitando las tres fases, de igual forma se procede con las tres fases del devanado de baja.

Figura 6.5.2.2: Circuito para realizar la prueba de asilamiento

Figura 6.5.2.3: Medición del aislamiento entre el devanado de alta y tierra

Figura 6.5.2.4: Medición del aislamiento entre el devanado de baja y tierra

Figura 6.5.2.5: Medición del aislamiento entre los devanados de alta y baja.

Voltajes recomendados a aplicar en la prueba de aislamiento Como regla, el voltaje a aplicar para realizar la prueba de resistencia de aislamiento no debe superar el valor máximo o pico nominal del devanado según se expresa en la ecuación (6.5.2.3). No obstante en la práctica lo que se aplica son los valores mostrados en la tabla (6.5.2.1) 𝑉𝑝 = √2 𝑉𝑛

(6.5.2.3)

Donde: 𝑉𝑝 – Voltaje de corriente directa a aplicar en la prueba 𝑉𝑛 – Valor eficaz nominal del devanado bajo prueba.

Vn (V)

Vp (V)

< 1000

500

1001-2500

500 - 1000

2501 - 5000

1000 - 2500

5001 - 12000

2500 - 5000

12000 - 64000

5000-12000

>64000

30000

Tabla 6.5.2.1: Valores de voltajes Vp a aplicar en la prueba de aislamiento. Vp- Valor de voltaje de corriente directa Vn- Voltaje nominal eficaz del devanado En el mercado existe un gran número de instrumentos portátiles que permite realizar la prueba de resistencia de aislamiento con gran facilidad. Estos son diseñados para diferentes voltajes acorde con las necesidades de la prueba. En la figura (6.5.2.6) se muestran dos de diferentes fabricantes y diferentes voltajes.

Figura 6.5.2.6: Medidor de aislamiento Megger MIT de 10 kV

Figura 6.5.2.7: Medidor de aislamiento TYP-3125 de 5 kV

Valores mínimos permisible de resistencia de aislamiento Si se realiza una prueba de aislamiento aplicando un voltaje fijo y se mide la corriente, se comprueba que esta es variable a medida que transcurre el tiempo. Esto significa que si se determina el valor de resistencia del aislamiento mediante la ecuación (6.5.2.1), se obtiene que ésta también es variable con el tiempo. Por ello se debe ser cuidadoso para

señalar un valor mínimo permisible de la resistencia de aislamiento. También esta es variable con el tamaño de la máquina, a mayor tamaño menor resistencia. Además mientras mayor sea el voltaje nominal de la máquina mayor debe ser la resistencia de aislamiento pues los aislamientos son de mayor grueso. Puede señalarse también que la resistencia de aislamiento se reduce con el incremento de la temperatura, contrario a lo que ocurre con los materiales conductores. Todo lo señalado anteriormente significa que resulta complicado determinar el valor adecuado de la resistencia de aislamiento. Un criterio que se aplicaba hacia varias décadas es que un buen aislamiento debe tener una resistencia mínima de aislamiento de 1 MΩ por cada kV de voltaje y si el voltaje es superior a 1kV se debe aplicar la ecuación (6.5.2.4) 𝑅𝑎𝑖𝑠 ≥ 1 MΩ(kV) + 1

(6.5.2.4)

Por ejemplo si el devanado tiene un voltaje nominal igual 24 kV la resistencia de aislamiento debe tener el valor: 𝑅𝑎𝑖𝑠 ≥ 1 MΩ(24) + 1 ≥ 25MΩ El Comité Electrotécnico Internacional (CEI) da la expresión (6.5.2.5), más exacta para el cálculo de la resistencia de aislamiento. 𝑅𝑎𝑖𝑠 ≥

𝑉𝑛 𝑆 + 1000

(6.5.2.5)

Donde: 𝑅𝑎𝑖𝑠 – Resistencia de aislamiento mínima (MΩ) S- Potencia nominal de la máquina (kVA) 𝑉𝑛 . Voltaje eficaz nominal (V) Para una máquina de voltaje nominal de 24000 V y 500 kVA debe tener, de acuerdo a la ecuación (6.5.2.5), una resistencia de aislamiento de valor: 𝑅𝑎𝑖𝑠 ≥

24000 ≥ 16 MΩ 500 + 1000

Se supone que los valores de resistencias determinados mediante las ecuaciones (6.5.2.4) y (6.5.2.5) se corresponden con valores de temperatura de operación de la máquina. Cuando se comparan valores de ensayos de medición de resistencia de aislación deben efectuar correcciones por temperatura, las normas dan coeficientes temperatura que permiten corregir aproximadamente como varía la resistencia aislación, en particular este coeficiente se hace igual a 1 para una temperatura base 40 ºC o también de 20°C.

se de de de

En forma aproximada la resistencia de aislamiento se reduce a su valor mitad por cada 10°C de aumento de temperatura. Por ejemplo una resistencia de aislamiento de 400

MΩ a una temperatura de 20 °C se reduce a 200 MΩ a una temperatura a una temperatura de 30 °C. Sin embargo una manera más exacta para determinar el efecto de la temperatura sobre el aislamiento es emplear los factores de corrección mostrados en las tablas (6.5.2.3) y (6.5.2.4) para transformadores en aceite y secos respectivamente. Obsérvese que para los transformadores en aceite la tabla está referida a 20 ° y para los secos, a 40 °C. En la tabla (6.5.2.2) se muestran los valores típicos de resistencia de aislamiento para transformadores de potencia y distribución a una temperatura de 20°C. Si el valor de la resistencia se obtiene a una temperatura deferente de 20°C se emplean los factores de corrección mostrados en las tablas (6.5.2.3) o (6.5.2.4) y la resistencia corregida se determina mediante la ecuación (6.5.2.6) 𝑅𝑎𝑖𝑠𝑐 = 𝑅𝑎𝑖𝑠 𝐾𝑎𝑖𝑠

(6.5.2.6)

Donde: 𝑅𝑎𝑖𝑠𝑐 – Resistencia de aislamiento corregida 𝑅𝑎𝑖𝑠 - Resistencia de aislamiento a cualquier valor de temperatura. 𝐾𝑎𝑖𝑠 – Coeficiente de corrección Por ejemplo supóngase que la resistencia de aislamiento de un transformador en aceite tiene el valor de 16 MΩ obtenida a una temperatura de 85°. Para realizar la corrección a 20°C debe emplearse de acuerdo con la tabla (6.5.2.3), el factor de corrección 𝐾𝑎𝑖𝑠 = 49. La resistencia de aislamiento a la temperatura de 20°C, se obtiene aplicando la ecuación (6.5.2.6): 𝑅𝑎𝑖𝑠 = (16)(49) = 784 MΩ Obsérvese que el valor de resistencia del aislamiento aumentó con la reducción de la temperatura, en vez de reducirse como ocurre en los materiales conductores como por ejemplo el cobre o el aluminio. Voltaje entre fases (kV) 0.115 0.230 0.460 1.2 2.5 5 8.7 15 25 34.5 46

Megohm 10.2 16.2 19.3 32 68 135 230 410 670 930 1240

Voltaje entre fases (kV) 69 92 115 138 161 196 230 287 345 400

Megohm 1860 2480 3100 3720 4350 5300 6200 7750 9300 10850

Tabla 6.5.2.2: Valores mínimos recomendados de resistencia de aislamiento a 20°C y un minuto con un voltaje de prueba de 1000 V.

Temp °C 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45

Kais 89 66 49 38 27 20 15 11 8 6 4.5

Temp °C 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10

Kais 3.3 2.5 1.8 1.3 1 0.73 0.54 0.4 0.3 0.22 0.16

Tabla (6.5.2.3): Factor de corrección Kais a 20°C para la resistencia de aislamiento correspondiente a transformadores en aceite.

Temp °C 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45

Kais 45 32 25 16 12 8.5 7 4.2 2.9 2.02 1,5

Temp °C 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10

Kais 1 0.7 0.52 0.33 0.26 0.19 0.13 0.095 0.065 0.005 0.0025

Tabla 6.5.2.4: Factor de corrección Kais a 40°C para la resistencia de aislamiento correspondiente a transformadores secos.

Componentes de la corriente por el aislamiento Si se aplica un voltaje de corriente directa a un aislamiento y se mide la corriente que circula por el mismo, esta es variable con el tiempo, tal como fue explicado anteriormente. Esta corriente en condiciones normales tiene un carácter decreciente exponencial con el tiempo al comienzo de realizarse la prueba y tiende a estabilizarse a un valor constante al final de la misma. Por ello la resistencia de aislamiento presenta un valor bajo en los instantes de inicio de la prueba y finalmente tiende a adquirir un valor final estable. Esto implica que resulta algo complejo definir cuál es el valor adecuado para determinar si el aislamiento está en buen estado o defectuoso. Veremos posteriormente que métodos son empleados para realizar la prueba de aislamiento, pero primeramente se estudiará el comportamiento de la corriente. La corriente a través del aislamiento presenta las siguientes tres componentes principales:   

Corriente capacitiva Corriente de polarización o absorción Corriente de conducción o de fuga.

I.

Corrientes capacitiva.

Dos polos o partes vivas cargadas, como pueden ser dos devanados o un devanado y tierra, forman un capacitor. Este capacitor junto con la resistencia que siempre existe forman un circuito R-C. Como se conoce de la teoría de circuitos se cumple en este caso la ecuación intregro-diferencial de voltajes (6.5.2.7) y su solución para la corriente, se expresa en la (6.5.2.8), la cual muestra su carácter exponencial con el tiempo. Esta corriente tiene un valor inicial, es decir para t=0 igual 𝑉⁄𝑅 y desaparece en un 𝑐

tiempo aproximadamente igual a 8 veces la constante de tiempo, tal como se muestra en la figura (6.5.2.9). Para el caso de los asilamientos el valor inicial es alto pero la constante de tiempo es pequeña y esta corriente desaparece en unos pocos segundos. 𝑉 = 𝐼𝑐 𝑅𝑐 + 𝐼𝑐 =

1 ∫ 𝐼𝑐 𝑑𝑡 𝐶

𝑉 −𝑡⁄ (𝑒 𝜏 ) 𝑅𝑐

(6.5.2.7) (6.5.2.8)

Donde: 𝐼𝑐 - Corriente de carga del capacitor. (A) 𝜏 = 𝐶𝑅𝑐 Constante de tiempo del circuito (s) V- Voltaje de la fuente (V) C- Capacitancia (F) 𝑅𝑐 - Resistencia del circuito (Ω).

Figura 6.5.2.8: Circuito R-C

Ic V/R c

𝐭 ≈ 𝟖𝛕

t

Figura 6.5.2.9: Corriente de carga de un capacitor en el circuito R-C II.

Corriente de absorción o polarización

Esta componente de la corriente decrece en forma exponencial de igual forma que la componente capacitiva, pero con una constante de tiempo mucho mayor por lo que alcanza su valor final aproximadamente a cero en un periodo de varios minutos o hasta horas, dependiendo del tipo de aislamiento y de su volumen. Sin embargo durante la prueba de aislamiento puede despreciarse su variación después de transcurridos diez minutos. Cuando se prueban equipos de alta capacitancia o con aislamiento contaminado o húmedo, la corriente de absorción tarda mucho tiempo en extinguirse. La corriente de absorción o de polarización está compuesta de hasta tres componentes. La primera componente se debe a la alineación de las moléculas polarizadas dentro del campo eléctrico. Esta alineación es casi aleatoria en estado neutro, pero cuando se aplica el campo, estas se alinean con el campo en un determinado grado. La segunda componente es ocasionada por distorsión molecular por lo que el campo eléctrico impuesto distorsiona la carga negativa de las capas de electrones que circulan alrededor del núcleo hacia el voltaje positivo. Este fenómeno es conocido como polarización del dieléctrico. La tercera componente se debe a que al estar sometido las moléculas al campo eléctrico estas sufren cierto alargamiento. Todo lo anterior significa que el campo externo debe realizar cierto trabajo sobre el aislamiento demandando de la fuente cierta cantidad de energía lo cual se traduce por una circulación de corriente desde las fuente al aislamiento. A la corriente debido a este fenómeno se le denomina corriente de absorción. Debe destacarse que las tres componentes se consideran juntas como una sola corriente. A continuación se presenta una descripción más detallada de cada una de las componentes. Primera componente. Alineación de las moléculas. En los dieléctricos existen moléculas dipolares, es decir dipolos que son cargas iguales y de signos contrarios, según se muestra en la figura (6.5.2.10). Cuando el aislante no está sometido a un campo externo, los dipolos están distribuidos en forma arbitraria, según se muestra en la propia figura. Al someter el material a un campo externo, sobre cada una de las cargas

del dipolo se ejerce una fuerza, apareciendo un par de fuerzas o torque según se muestra en la figura (6.5.2.11). En esta figura se ha considerado que el aislante está sometido a un campo eléctrico E dirigido de izquierda a derecha. Como se conoce la teoría electrostática, sobre la carga positiva se ejerce una fuerza en el sentido del campo; sobre la negativa, en sentido contrario al campo. El par de fuerza provoca un giro de la molécula en el sentido indicado en la figura (a) por lo que el dipolo se orienta con su eje paralelo al campo, según se muestra en la figura (b). Esta última posición constituye el estado de equilibrio ya que en este caso no existe par de fuerza que produzca giro. En la figura (6.5.2.12) se muestran los dipolos alineados al campo, donde se muestra además una fuente de alimentación, la que de acuerdo con la polaridad mostrada, provoca un campo E en el sentido señalado. Normalmente la resistencia medida en los primeros minutos del desarrollo de una prueba es debida principalmente a la corriente de absorción.

Figura 6.5.2.10: Dipolos distribuidos de forma aleatoria.

Figura 6.5.2.11: Par de fuerza sobre un dipolo.

Figura 6.5.2.12: Dipolos alineados con el campo. Segunda componte. Polarización. En un dieléctrico las cargas no pueden moverse con libertad como en el caso de los conductores. Por ello se les denomina cargas ligadas y en los conductores cargas libres. No obstante al estar sometido el dieléctrico a un campo eléctrico externo, las cargas ligadas sufren un desplazamiento formando capas de cargas en cada superficie del aislante. Esto se muestra en la figura (6.5.2.13) donde se indican dos placas de un capacitor cargadas positivamente (placa a) y negativamente (placa b) por el efecto de aplicar una fuente de voltaje V con la polaridad indicada. Se considera que entre las placas del capacitor se ha colocado un aislante. Como se observa en el mismo se han creado cargas inducidas en las superficies del mismo pero de signos contrarios a las placas del capacitor. Es decir se ha producido la polarización del aislante.

Figura 6.5.2.13: Polarización de un dieléctrico. III.

Corriente de conducción o de fuga.

Las corrientes de conducción fluyen a través y sobre el dieléctrico y son constantes en el tiempo. Su efecto se considera empleando un valor de resistencia alto en paralelo con el efecto capacitivo. Esta corriente es la que circula después de haberse culminado el efecto de absorción, permanece constante y constituyen el factor primario para juzgar las condiciones de aislamiento. Aumenta a medida que se deteriora el aislamiento y es la corriente predominante cuando se extinguen las corrientes de absorción y de carga capacitiva. Por ser bastante estable e independiente del tiempo, la medida de la corriente conductiva de fuga es la más adecuada a la hora de establecer la resistencia de aislamiento. La corriente de conducción tiene las siguientes dos componentes.  

Corriente superficial de fuga por la superficie del aislamiento Corriente volumétrica o de fuga por el interior del aislamiento

a) Corriente superficial. Corriente de fuga por la superficie del asilamiento Esta corriente fluye por la superficie de los aislamientos y es constante en el tiempo. Dependen principalmente de la película de humedad, mezclada con polvo, sales y otras sustancias extrañas depositadas sobre la superficie del material. Esta componente a su vez depende de la temperatura. b) Corriente volumétrica. Corriente de fuga por el interior del aislamiento Circula por el interior del cuerpo dieléctrico y al igual que la corriente de fuga superficial, es prácticamente estacionaria con el tiempo.

Circuito equivalente del aislamiento De acuerdo con las tres componentes generales que presenta la corriente a través de un aislamiento, se puede representar el mismo mediante el circuito equivalente mostrado en la figura (6.5.2.14). Obsérvese que tanto la corriente capacitiva como la de absorción son componentes que fluyen por circuitos R-C por lo que de acuerdo con la teoría de circuitos, en el momento inicial de alimentación de la fuente, estas componentes presentan el máximo valor y después decaen con una constante de tiempo que depende del producto de la resistencia por la capacitancia. Finalmente en un tiempo teóricamente infinito alcanzan valor cero. Es necesario destacar que después de realizada una prueba de aislamiento, los capacitores C y CA quedan cargados, por lo que debe procederse a realizar la descargas de los mismos cortocircuitando el aislamiento, para evitar posibles descargas a través de las personas. Según lo explicado, la corriente total 𝐼𝑇 a través del aislamiento y sus componentes, varían con el tiempo según se muestra en la figura (6.5.2.15). Se puede observar el carácter exponencial decreciente de las componentes capacitivas 𝐼𝑐 y de absorción 𝐼𝐴 La primera decae más rápido por presentar una constante de tiempo menor respecto a la

segunda. Después que estos efectos desaparecen, solamente queda la componente de conducción que se mantiene constante con el tiempo. Es importante destacar que si se determina la resistencia de aislamiento como la relación del voltaje aplicado y la corriente total, se obtiene una resistencia variable con el tiempo. La misma presenta un bajo valor en los primeros instantes por tener la corriente un alto valor y después va aumentando a medida que transcurre el tiempo, de haberse aplicado el voltaje de la fuente de alimentación. Se puede comprobar de la figura 6.5.2.15 que la corriente de absorción disminuye con una rapidez relativamente lenta, lo que depende de la naturaleza exacta del aislamiento. Esta energía almacenada, también, debes ser liberada al final de una prueba y requiere un tiempo más largo que la corriente de carga capacitiva

Figura 6.5.2.14: Circuito equivalente del aislamiento.

Figura 6.5.2.15: Componentes de corriente por el aislamiento

Métodos de medición de la resistencia de aislamiento La resistencia de aislamiento de los devanados depende de una serie de factores entre los cuales podemos señalar el tipo de material utilizado y el proceso de fabricación empleado. En general varía directamente con los espesores de la aislación e inversamente con el área de la superficie conductora. Para efecto de las mediciones de resistencia de aislación debe tenerse en cuenta que ésta depende de los siguientes factores:     

Humedad Temperatura Valor de tensión continua de ensayo Tiempo de medición Carga residual de los arrollamientos

El polvo depositado en las superficies aislantes en presencia de humedad puede hacerse parcialmente conductor y reducir el valor de la resistencia de aislación. Si la resistencia de aislación se reduce por causa de la contaminación o excesiva humedad, normalmente puede lograrse un incremento de su valor, procediendo a realizar una adecuada limpieza y secado de la máquina. Aunque la superficie de los devanados se encuentre limpia, si la temperatura de los mismos es igual o menor a la temperatura de rocío del aire, se forma una película sobre el devanado que reduce el valor de la resistencia de aislación. La resistencia de aislación de la mayoría de los materiales varía inversamente con la temperatura.

Cuando se comparan valores de ensayos de medición de resistencia de aislación se deben efectuar correcciones por temperatura, tal como se planteó anteriormente. La medición de la resistencia de aislación debe ser realizada con un valor de tensión continua adecuado el nivel de aislamiento del devanado de acuerdo a lo indicado en el estándar IEE Std 43-2000. El valor de la resistencia de aislamiento puede reducirse algo con el aumento de la tensión de ensayo; sin embargo para aislamientos en buenas condiciones y completamente secos los valores son independientes del valor de tensión de ensayo siempre que no se supere el correspondiente valor máximo admisible para el nivel de aislación del devanado. Una disminución significativa de la resistencia de aislación con la tensión puede poner en evidencia alguna imperfección del aislamiento. El valor de la medición se estabiliza después de uno o dos minutos de aplicada la tensión de ensayo si el devanado está húmedo o sucio. El resultado de los ensayos es erróneo si existen cargas residuales en los arrollamientos. El valor de la resistencia de aislamiento medido es función del tiempo, debido a la variación que experimenta la corriente durante la prueba, según se explicó con referencia a la figura (6.5.2.15). De acuerdo con esto consideremos dos métodos comunes de prueba:  

Prueba de corto tiempo o puntual Tiempo –resistencia. absorción dieléctrica;

Método de corto tiempo o puntual Consiste en aplicar un voltaje de corriente directa constante durante un tiempo corto (se recomienda 1 minuto), al aislamiento bajo prueba Se mide la resistencia de aislamiento al final de este periodo en un punto de la curva de valores crecientes de resistencia, tal como se muestra en la figura 6.5.2.16. Si la resistencia de aislamiento aumenta constantemente durante este periodo, denota que el aislamiento está seco y su superficie se encuentra limpia, sin contaminación. Si por el contrario la resistencia disminuye durante la aplicación del voltaje, el aislamiento denota posible humedad o contaminación superficial. Como una guía el valor de resistencia de asilamiento debe estar cercano a los valores dados en la tabla 6.5.2.2. Como se mencionó anteriormente, la resistencia depende de la temperatura, por ello el valor hallado debe corregirse mediante los factores dados en las tablas 6.5.2.3.y 6.5.2.4.

Figura 6.5.2.16. Curva de resistencias en función del tiempo. Aislamiento en buen estado Método tiempo-resistencia Este método se basa en fenómeno de la absorción por ello también se le denomina con el nombre de método o prueba de absorción dieléctrica .Cuando se aplica un voltaje de prueba a un aislamiento y la intensidad disminuye durante el experimento, aumenta la resistencia aparente del aislamiento, este incremento puede ser bastante rápido al principio, pero pueden pasar varios minutos antes de que llegue a un valor constante particularmente sí el aislamiento está seco .Por otra parte, si el devanado está húmedo o sucio, la corriente de conducción será alta y la corriente de absorción será comparativamente baja. A la curva obtenida al graficar la resistencia de aislamiento vs el tiempo se le denomina curva de absorción y su pendiente es un indicativo del estado del mismo. Si el aislamiento presenta humedad o suciedad o algún deterioro alcanzado un tiempo corto de iniciarse la prueba, la resistencia deja de aumentar y la curva tendrá una pequeña pendiente. Un aumento apreciable de la resistencia de aislamiento durante el tiempo de aplicación de la tensión denota un buen estado de los aislantes de los devanados en caso contrario significa que el aislamiento no es confiable significando que el mismo contiene humedad, suciedad y/o deterioros. En la figura (6.5.2.17) se muestran dos curvas de resistencias de aislamiento en función del tiempo para dos casos. La curva (a) corresponde a la de un aislamiento en buen estado probable. La (b) denota posibilidad de humedad o suciedad ya que en estas condiciones circula una probable alta corriente de fuga superficial

Es evidente que la curva de resistencia de aislamiento vs tiempo o corriente vs tiempo puede servir como indicación del estado del mismo. Sin embargo en la práctica no es necesario trazar toda la curva ya que se emplean dos índices que permiten determinar el estado del asilamiento. Estos reciben el nombre de índice de absorción e índice de polarización, los que se describen seguidamente. Las ventajas de este método son:   

Es independiente de la temperatura, Es independiente del tamaño del equipo bajo prueba, Muestra directamente la condición de aislamiento sin necesidad de referirse a los resultados de pruebas anteriores.

Índice de polarización Se define índice de polarización dieléctrica como la relación entre la resistencia aparente del aislamiento a los 10 minutos y la resistencia aparente del aislamiento a un minuto, de haberse comenzado la prueba de asilamiento. Esto define la tendencia que tienen los aislantes a incrementar sus valores durante el tiempo en que se aplica el voltaje de prueba. Es evidente que una curva ascendente corresponde a un índice más alto y una curva plana a un índice bajo. Esto es ocasionado por la corriente de absorción definida anteriormente; el buen aislamiento se observa en un periodo de tiempo mucho más largo que el tiempo requerido para cargar la capacitancia del aislamiento. Si el aislamiento contiene mucha humedad o contaminantes, el efecto de absorción se enmascara por una corriente de fuga alta que permanece en un valor casi constante, manteniendo baja la lectura de resistencia Puesto que la corriente por el aislamiento varía inversamente proporcional a la resistencia, el índice de polarización puede determinarse mediante la ecuación 6.5.2.9. 𝑅 𝐼 𝑘𝑃 = 𝑎𝑖𝑠10 = 1 𝑅𝑎𝑖𝑠1 𝐼10

(6.5.2.9)

Donde: 𝑘𝑃 - Indice de polarización 𝑅𝑎𝑖𝑠10 - Resistencia de aislamiento medida a 10 minutos 𝑅𝑎𝑖𝑠1 - Resistencias de aislamiento media a 1 minuto 𝐼1 -Corriente medida a un minuto 𝐼10 - Corriente medida a 10 minutos.

Figura 6.5.2.17: Variación de la resistencia de aislamiento en función del tiempo a) Aislamiento probable en buen estado b) Aislamiento con posibilidad de presencia de contaminación o humedad. Índice de absorción Se define índice de absorción dieléctrica como la relación entre la resistencia aparente del aislamiento a un minuto y la resistencia aparente del aislamiento a los 30 segundos, de haberse comenzado la prueba de asilamiento. Este índice se determina mediante la ecuación (5.2.10) 𝑘𝑎 =

𝑅𝑎𝑖𝑠1 𝐼 = 30 𝑅𝑎𝑖𝑠30 𝐼1

(6.5.2.10)

Donde: 𝑅𝑎𝑖𝑠1 - Resistencia de aislamiento medida a 1 minuto 𝑅𝑎𝑖𝑠30 - Resistencia de aislamiento medida a 30 segundos 𝐼30 - Corriente medida a los 30 segundos 𝐼1 -Corriente medida a un minuto Como se señaló anteriormente la resistencia de los materiales aislantes decrece con un incremento en la temperatura. Sin embargo el método tiempo-resistencia es independiente de los efectos de la temperatura ya que los índices expresan valores relativos, es decir que si se lleva a cabo las correcciones por temperatura en el numerador y denominador de la ecuación los efectos se cancelan. La prueba tiempo - resistencia también es independiente del tamaño del equipo. El incremento de resistencia ocurre de la misma manera ya sea que la máquina sea grande o pequeña En la tabla 6.5.3.5 se muestra el criterio empleado en la práctica para determinar el estado del aislamiento en función de los índices de polarización absorción.

Condición del aislamiento

Indice de absorción ka

Indice de polarización kp

Excelente  1.6  4 Bueno 1.4 a 1.6 1.5 a 4 Dudoso 1 a < 1.4 1 a < 1.5 Peligroso <1 <1 Tabla 6.5.3.5: Indicativo de la calidad del aislamiento en función de los índices de polarización y absorción. Empleo del terminal de guarda Como fue mencionado anteriormente, si se desea obtener por separado las tres resistencias de aislamiento RHT RXT y RHX representadas en la figura (6.5.2.1) , que es lo que realmente se hace en la práctica, es necesario el empleo de un terminal de guarda. Este terminal es empleado para la medición de cualquier parámetro por separado, en una red de tres terminales. Para entender cómo se emplea el terminal de guarda, considérese el circuito de tres terminales mostrado en la figura (6.5.2.18). Se supone en general que el mismo presenta tres impedancias Z12 , Z23 , Z31 .Para determinar estos valores se empleará un equipo de medición como el mostrado en la figura (6.5.2.19) el cual está formado por una fuente F, un amperímetro y un voltímetro. Además presenta dos terminales L1, L2 y uno tercero denominado terminal de guarda G. Obsérvese que este terminal sale del punto o entre la fuente y el amperímetro. A continuación se estudiará como determinar cada una de las impedancias del circuito. Para determinar la impedancia 𝑍12 correspondiente al circuito de la figura (6.5.2.18) se realiza la conexión mostrada en la figura (6.5.2.20) donde los terminales L1 y L2 del equipo de medición se han conectado a los puntos 1 y 2 del circuito de tres terminales respectivamente. Además el terminal de guarda se conecta al punto 3. Puesto que la caída de voltaje a través del amperímetro es despreciable, el punto 1 tiene igual potencial que el punto G. Esto significa que la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 3 es igual a cero por lo que la corriente 𝐼31 = 0. También esto se cumple debido a que la impedancia 𝑍31 se encuentra cortocircuitada por el conductor de guarda. De acuerdo con esto por el amperímetro circula solamente la corriente 𝐼12 . Por esto al dividir el voltaje aplicado por la fuente, entre esta corriente, se obtiene la impedancia 𝑍12 . Obsérvese que a esta impedancia se le aplica directamente el voltaje de la fuente. Puede comprobarse que por la fuente circula la corriente 𝐼12 + 𝐼23

Figura 6.5.2.18 Circuito de tres terminales.

Figura 6.5.2.19. Equipo de medición empleando el terminal de guarda.

Figura 6.5.2.20. Circuito para determinar la impedancia Z12 Por un rozamiento igual al seguido anteriormente, si los terminales se rotan cíclicamente se determinan las impedancias 𝑍23 y 𝑍31 según se muestra en los circuitos (6.5.2.21) y (6.5.2.22) respectivamente. Debe destacarse que para llevar a cabo la medición de las impedancias en un experimento de laboratorio, no es necesario emplear un equipo como el mostrado en la figura (6.5.2.19), pues basta con tener la fuente F de alimentación, el voltímetro y amperímetro y conectarlos de igual forma como la indicada en dicha figura.

Figura 6.5.2.21 Circuito para determinar la impedancia Z23.

Figura 6.5.2.22. Circuito para determinar la impedancia Z31. Consideremos ahora de nuevo el circuito equivalente del aislamiento mostrado en la figura (6.5.2.1) y que del mismo se quiere determinar por separado cada una de las resistencias. Obsérvese que se está en presencia de un circuito de tres terminales como el representado en la figura (6.5.2.18), pero en este caso las impedancias deben ser sustituidas por las resistencias de aislamiento correspondientes. Para ello emplearemos el circuito de medición de la figura (6.5.2.19), pero en este caso la fuente F debe ser de corriente directa. Supóngase que se quiere determinar solamente la resistencia entre el devanado de alta y tierra, 𝑅𝐻𝑇 .Para ello se puede emplear el circuito mostrado en la figura (6.5.2.23). Obsérvese que el terminal L1 se conecta con la entrada del devanado de alto voltaje (punto H); el terminal L2 se conecta a tierra (punto T),y el de guarda G al terminal de bajo voltaje (X).Como puede observarse el conductor de guarda cortocircuita la resistencia 𝑅𝑋𝐻 , ya que el amperímetro presenta una resistencia de valor despreciable. Es por ello que la corriente a través de esta resistencia presenta valor cero. Esto puede verse también pues la diferencia de potencial entre los puntos H y X es igual a cero. De acuerdo con esto, por el amperímetro solamente circula la corriente 𝐼𝐻𝑇 . Por ello al dividirse el voltaje de la fuente entre la lectura de corriente del amperímetro se obtiene el valor de la resistencia 𝑅𝑇𝐻 entre el devanado de alta y tierra. Obsérvese que por el conductor de guarda circula la misma corriente 𝐼𝑋𝑇 que pasa por la resistencia 𝑅𝑋𝑇 . Además por el terminal L2 retorna la suma de las corrientes 𝐼𝑋𝑇 + 𝐼𝐻𝑇 El lector puede comprobar que mediante los circuitos mostrados en las figuras (6.5.2.24) y (6.5.2.25) se obtienen las resistencias 𝑹𝑿𝑻 y 𝑹𝑯𝑿 respectivamente

Figura 6.5.2.23: Medición de la resistencia 𝑹𝑯𝑻 con el empleo del terminal de guarda.

Figura 6.5.2.24: Medición de la resistencia 𝑹𝑿𝑻 con el empleo del terminal de guarda.

Figura 6.5.2.25: Medición de la resistencia 𝑹𝑯𝑿 con el empleo del terminal de guarda. Como fue explicado anteriormente con el empleo del terminal de guarda puede determinarse cada una de los elementos de una red de tres terminales. Sin embargo en la práctica para realizar la prueba de aislamiento, por ejemplo en México no se determinan todas las resistencias separadamente. A continuación se describe como se realizan las pruebas de acuerdo con el formato SE-03-01 1. Los devanados de alta se cortocircuitan entre sí. De igual forma se hace con los devanados de baja. 2. La cuba y el núcleo se aterrizan 3. Los devanados que no estén sometidos a prueba se aterrizan 4. La prueba se realiza para cada uno de los devanados por separado Las pruebas se realizan en el siguiente orden: Prueba No.1 Se alimenta el transformador entre el devanado de alta y baja, con el de baja aterrizado, tal como se muestra en la figura (6.5.2.26). En esta prueba se obtiene la resistencia equivalente de aislamiento 𝑅𝐻𝑇 en paralelo con 𝑅𝐻𝑋 dando el resultado:

Figura 6.5.2.26: Circuito correspondiente a la prueba No.1 Prueba No.2 Se alimenta el transformador entre el devanado de alta y baja, con el conductor de guarda conectado a tierra, tal como se muestra en la figura (6.5.2.27). Esta figura coincide con la (6.5.2.25) por lo que se obtiene la resistencia de aislamiento 𝑅𝐻𝑋 Prueba No.3 Se alimenta el transformador entre el devanado de baja y alta con el de alta aterrizado, tal como se muestra en la figura (6.5.2.28). En esta prueba se obtiene la resistencia equivalente de aislamiento 𝑅𝐻𝑋 en paralelo con 𝑅𝑋𝑇 dando el resultado:

Figura 6.5.2.27: Circuito correspondiente a la prueba No.2

Figura 6.5.2.28: Circuito correspondiente a la prueba No.3

Ejemplo 6.5.2.1 Confeccione un programa en Matlab que permita determinar la resistencia de aislamiento de un trasformador a partir de la medición a una temperatura dada. Debe emplearse un método de interpolación para determinar los valores de resistencia corregida, considerando transformadores enfriados por aceite y secos. El programa debe incluir el ploteo de los coeficientes de asilamiento para transformadores en aceite y secos. Resolución A continuación se muestra el código en Matlab del programa elaborado. En las figuras (6.5.2.29) y (6.5.2.30) se muestran en forma gráfica los coeficientes de aislamiento. %RESISTENCIA DE AISLAMIENTO %EJEMPLO 6.1 Ind = menu('Tipo Enfriamiento','Aceite','Seco') % Ind=1 Transformador en aceite

Ind=2 Transformador seco

Rais=input ('Resistencia de aislamiento (MOhm)Rais='); Citap=input ('Temperatura de la prueba (°C) Cita='); clc %********************************************************************* Cita=95:-5:-10; %Temperatura °C KaisA=[89 66 49 38 27 20 15 11 8 6 4.5 3.3 2.5 1.8 1.3 1 0.73 0.54 0.4 0.3 0.22 0.16 ]; % Factor de aislamiento Transformador en aceite KaisS=[45 32 25 16 12 8.5 7 4.2 2.9 2.02 1.5 1 0.7 0.52 0.33 0.26 0.19 0.13 0.095 0.065 0.005 0.0025 ]; % Factor de aislamiento Transformador Seco %********************************************************************* % PLOTEO DE COEFICIENTE DE AISLAMIENTO VS TEEMPERATURA (DATOS DE LA TABLA) plot(Cita,KaisA,'o-') % KaisA vs temperatura para transformador en aceite gridon ylabel('COEFICIENTE DE AISLAMIENTO') xlabel('TEMPEATURA (°C)') title('DATOS A PARTIR DE LA TABLA . TRANSFOFORMADOR EN ACEITE') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause % PLOTEO DE COEFICIENTE DE AISLAMIENTO VS TEEMPERATURA (DATOS DE LA TABLA) plot(Cita,KaisS,'o-') % KaisA vs temperatura para transformador Seco gridon ylabel('COEFICIENTE DE AISLAMIENTO') xlabel('TEMPEATURA (°C)') title('DATOS A PARTIR DE LA TABLA . TRANSFOFORMADOR SECO') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') pause

%********************************************************************* ifInd==1 Kais=interp1(Cita,KaisA,Citap,'cubic'); punto obtenido por interpolacion else Kais=interp1(Cita,KaisS,Citap,'cubic'); punto obtenido por interpolacion end RaisC=Kais*Rais;

% Valores Kais para cada % Valores de Kais para cada

% REsistencia de aislamiento corregida

% PARA MOSTRAR RESULTADOS EN LA VENTANA DE COMANDOS formatshortg disp(' [

R DE AISLMIENTO CORREGIDA(MOhm) RaisCKais]

Kais')

Figura 6.5.2.29: Coeficiente de asilamiento correspondiente a transformadores secos

Figura 6.5.2.30: Coeficiente de asilamiento correspondiente a transformadores en aceite Ejemplo 6.5.2.2 Un transformador trifásico de 1600 kVA conexión delta-estrella V1=21000 V, V2=2400 V, es empleado en una planta de bombeo de agua. Al mismo se le realizó una prueba de resistencia de aislamiento y se desea determinar su comportamiento por el método tiempo resistencia. Para ello se empleó un Megger tipo SI-1052 el cual aplica un voltaje de 10 kV. Los resultados de las mediciones de la resistencia de aislamiento entre los devanado de alta y tierra son mostrados en la tabla (6.5.3.6). Confeccione un programa en Matlab que permita determinar el comportamiento, donde se calculen los índices de absorción y de polarización indicándose el estado del asilamiento. Trace además la característica de resistencia en función del tiempo. Unidades Segundos

Minutos

tiempo 15 30 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R (GΩ) 1.94 2.08 2.18 2.31 2.41 2.45 2.47 2.48 2.5 2.51 2.52 2.52 2.52

Tabla 6.5.3.6: Mediciones de resistencia vs tiempo correspondiente al transformador del ejemplo 6.5.2.2.

Resolución A continuación se muestra el código en Matab elaborado. %PROGRAMA:TIEMPO_RESISTENCIA %EJEMPLO 6.5.2.2 %******************************************************* t=[15/60 30/60 45/60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ]; % Tiempo Rais=[1.94 2.08 2.18 2.31 2.41 2.45 2.47 2.48 2.5 2.51 2.52 2.52 2.52 ]; % Resistencia de aislamiento medida %********************************************************************* % PLOTEO DE LOS VALORES DE RESISTENCIA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO. plot(t,Rais,'o-') % RESISTENCIA DE AISLAMENTO VS TIEMPO gridon ylabel('RESISTENCIA DE AISLAMIENTO (GOhm)') xlabel('TIEMPO(S)') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on') disp('VALOR DEL COEFICIENTE DE ABSORCIÓN') KA=Rais(4)/Rais(2) % Coeficiente de absorción disp('VALOR DEL COEFICIENTE DE POLARIZACIÓN') KP=Rais(13)/Rais(4) % Coeficiente de polarización disp('ESTADO DEL AISLAMIENTO') if KA> 1.6 & KP>4 disp('EXCELENTE') end if (KA>=1.4

&

KA

<=1.6

&

KP>=1.5 &

disp('BUENO') end if KA>=1 & KA<1.4 disp('DUDOSO') end if KA<1 | KP< 1 disp('PELIGROSO') end

& KP>=1

& KP

<1.5

KP

<=4)

Figura 6.5.2.30: Gráfico de resistencia vs tiempo correspondiente al ejemplo 6.5.2.2. De la corrida el programa so obtuvieron los siguientes resultados. Puede observarse que para los coeficientes de absorción y de polarización se considera que la resistencia de aislamiento presenta un carácter dudoso. RESULTADOS DE LA CORRIDA AL PROGRAMA VALOR DEL COEFICIENTE DE ABSORCIÓN KA = 1.1106 VALOR DEL COEFICIENTE DE POLARIZACIÓN KP = 1.0909 ESTADO DEL AISLAMIENTO DUDOSO

6.5.3 Prueba de factor de potencia. La prueba de factor de potencia se realiza alimentando el devanado con una señal de corriente alterna con un valor de voltaje no mayor al nominal (normalmente se aplica un voltaje de 10 kV), con frecuencia de 60 HZ y se determina la relación entre las componentes activa y reactiva de la corriente a través del asilamiento y con ello se obtiene las condiciones del mismo. En la prueba se mide la corriente total por el aislamiento, la potencia activa demandada y la capacitancia.

Para realizar la prueba se tomará como base el circuito equivalente del asilamiento con alimentación alterna mostrado en la figura 6.5.3.1 el cual está formado por un capacitor en paralelo con una resistencia. La capacitancia C corresponde al efecto capacitivo entre las partes del aislamiento que se considere y la resistencia R representa las pérdidas debido a la corriente de fuga. A este modelo equivalente le corresponde el diagrama fasorial que se muestra en esta figura, donde se muestra que a través del aislamiento la corriente presenta dos componentes. Una componente activa a través de la resistencia, que se encuentra en fase con el voltaje aplicado y otra reactiva adelantado 90°, a través del capacitor. De este diagrama fasorial se cumple. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝐹. 𝑃 =

𝐼𝑟 𝐼𝑡

(6.5.3.1)

Donde: 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝐹. 𝑃- Factor de potencia del aislamiento La medición del factor de potencia dado en la ecuación (6.5.3.1) permite determinar la calidad del aislamiento. Un factor de potencia de valor alto (ángulo θ pequeño) significa que la componente resistiva de la corriente es alta respecto a la total, lo que implica un alto valor de corrientes de fuga y por tanto un aislamiento defectuoso. El envejecimiento del material aislante es causa del aumento de sus pérdidas en el dieléctrico En vez de utilizar el factor de potencia del aislamiento como un indicativo del estado del aislamiento, también puede tomarse la tangente del ángulo δ, denominado factor de disipación dado por la ecuación (6.5.3.2) 𝑡𝑎𝑛(𝛿) = 𝐹. 𝐷 =

𝐼𝑟 𝐼𝑐

(6.5.3.2)

Donde: 𝑡𝑎𝑛(𝛿) = 𝐹. 𝐷- Factor de disipación del aislamiento. Un valor de 𝑡𝑎𝑛(𝛿) alto significa de igual forma un aislamiento con alta corriente de fuga respecto a la componente capacitiva y por tanto un aislamiento en mal estado.

Figura 6.5.3.1: Circuito equivalente del aislamiento con alimentación alterna. El valor de la capacitancia del aislamiento depende de las dimensiones del transformador. Está determinada por la forma y distancias entre devanados, entre capas de devanado y entre espiras, así como por las distancias al tanque y al núcleo. Por ello no se puede tomar un valor de ésta como norma para indicar el estado del aislamiento, ya que existiría un número muy grande de valores. Sin embargo siguiendo el historial de pruebas con el tiempo si se puede determinar si el transformador ha sufrido daños puesto que la capacitancia refleja la disposición física de los devanados y su aislamiento. Cambios en las propiedades físicas del aislamiento y desplazamientos en los devanados, produce cambios en la capacitancia del equipo. El factor de potencia de un dieléctrico es una indicación de sus pérdidas por unidad de volumen. Este factor se incrementa debido a las siguientes condiciones: envejecimiento, contaminación, fallas, esfuerzos eléctricos, degradación, etc El factor de potencia en un aislamiento en buen estado es un valor muy pequeño por ejemplo 0.005, por ello es más conveniente expresarlo en por ciento. En este caso el valor correspondiente es igual a 0.5 %. Medición de los factores de potencia, de disipación y de la capacitancia. El factor de potencia puede determinarse, para un voltaje aplicado conocido, midiendo la corriente total a través del asilamiento y la potencia demandada. Si cada lado del triángulo que forma la corriente Ir e It en la figura (6.5.3.1), se multiplica por el voltaje aplicado, el ángulo 𝜃 se mantiene constante y se obtiene el triángulo de potencia mostrado en la figura (6.5.3.2). Del mismo se cumple la ecuación (6.5.3.2). Esto significa que el factor de potencia del aislamiento se puede obtener conociendo la

potencia medida con un wattímetro y la potencia aparente obtenida mediante el producto del voltaje la corriente. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝐹. 𝑃 =

𝑃𝑟 (6.5.3.2) 𝑠

Donde: S- Potencia aparente Pr- ¨Potencia activa (Lectura del wattímetro) La potencia aparente se determina mediante la ecuación (6.5.3.3) 𝑆 = 𝑉𝐼𝑡

(6.5.3.3)

Debe destacarse que los valores de corriente y potencia en esta prueba están en el orden de los miliamperes y miliwatts respectivamente. También, de acuerdo con el triángulo de potencia, la potencia reactiva se determina mediante la ecuación (6.5.3.4) 𝑄𝑐 = √𝑆 2 − 𝑃𝑟2

(6.5.3.4)

Determinada la potencia reactiva mediante la ecuación (6.5.3.4), el factor de disipación se determina a partir de la ecuación (6.5.3.5) 𝑡𝑎𝑛(𝛿) = 𝐹. 𝐷 =

𝑃𝑟 (6.5.3.5) 𝑄𝑐

La potencia reactiva y la reactancia capacitiva se pueden expresar en función del voltaje mediante las ecuaciones (6.5.3.6) y (6.5.3.7) respectivamente. 𝑉2 𝑄𝑐 = 𝑋𝑐

(6.5.3.6)

1 𝑋𝑐 = 2𝜋𝑓𝐶

(6.5.3.7)

A partir de las ecuaciones (6.5.3.6) y (6.5.3.7) se obtiene la ecuación (6.5.3.8) que permite determinar la capacitancia del aislamiento. 𝐶=

𝑄𝑐 (6.5.3.8) 2𝜋𝑓𝑉 2

Se sustituye la ecuación (6.5.3.3) en la (6.5.3.4) y este resultado a su vez sustituido en la ecuación (6.5.3.8), permite obtener las expresión (6.5.3.9) para la capacitancia, en función de las lecturas de los instrumentos:

𝐶=

√(𝑉𝐼𝑡 )2 − 𝑃𝑟2 2𝜋𝑓𝑉 2

(6.5.3.9)

𝑆 = 𝑉𝐼𝑡 𝑄𝑐 − 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 en el capacitor

𝛿 𝑄𝑐 = 𝑉𝐼𝑐

𝑃𝑟 − 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎ctiva (Pérdidas en el capacitor) 𝑆 − 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎𝑑𝑎 por el capacitor

𝜃 𝑃𝑟 = 𝑉𝐼𝑟 Figura No. 6.5.3.2: Triángulo de potencia correspondiente al circuito de aislamiento En el mercado existe una gran cantidad de equipos de medición de factor de potencia que dan como resultado el factor de potencia o el factor de disipación, además del valor de la capacitancia correspondiente. Para transformadores que su aislamiento se encuentre en buen estado, el ángulo 𝜃 está próximo al valor de 90° y por tanto 𝛿 cercano a 0°. Esto implica que en estas condiciones los factores de potencia y de disipación son prácticamente iguales. Criterios para la evaluación del factor de potencia. En la tabla 6.5.3.1 se muestran el criterio seguido para dictaminar el estado del transformador en correspondencia con los factores de potencia, como valores indicativos. Si el factor de potencia se encuentra por encima de los valores máximos indicados, el transformador debe ser investigado Tipo de transformador Factor de potencia (%) Transformador nuevo en aceite mayor a 115 0.25 a 1 kV Transformador usado en aceite mayor a 115 0.5 a 1.6 kV Transformador de distribución 1.5 a 3 en aceite Tabla No. Tabla No. 6.5.3.1 Valores de factor de potencia en % para transformadores en aceite a 20 °

Independientemente de los valores de factor de potencia señalados anteriormente, la mejor evaluación posible es siguiendo el historial de pruebas, llevando a cabo una comparación con los resultados iniciales de la unidad especificada y realizando las pruebas con el mismo equipo de medición. A veces, no hay resultados de referencia disponibles, por lo que los resultados se pueden comparar a como unidades ensayadas bajo condiciones similares o con los resultados de prueba de fábrica, si están disponible. Cada vez que se realice la prueba de factor de potencia debe medirse la capacitancia. Si se manifiestan cambios de capacitancia, es un indicativo de un deterioro de la aislación o posiblemente desplazamiento de los devanados. Corrección por temperatura del factor de potencia Los factores de potencia de disipación dependen de la temperatura. Por ello cuando se realiza la prueba debe medirse la temperatura y después se realiza una corrección de temperatura a 20°, denominada temperatura de referencia. Esto permite comparar desviaciones de mediaciones realizadas a lo largo de los mantenimientos periódicos. En la Tabla No 6.5.3.2 se muestran los factores de corrección por temperatura que deben ser aplicados. Para corregir el factor de potencia a una temperatura de 20 °C, se multiplica el valor medido por el factor de corrección correspondiente a la temperatura de la medición indicado en la tabla, según se indica en la ecuación (6.5.3.9) 𝐹𝑃𝑐 = 𝐹𝑃𝐾𝑐 (6.5.3.9) Donde: 𝐹𝑃𝑐 – Factor de potencia del aislamiento corregido 𝐹𝑃 - Resistencia de aislamiento a cualquier valor de temperatura. 𝐾𝑐 – Coeficiente de corrección Debe señalarse que para transformadores secos la temperatura puede afectar el valor del factor de potencia pero existe una gran variedad de tipos de aislamiento, lo que hace difícil de obtener una tabla para realizar la corrección por temperatura. Hay autores que consideran que no es necesario realizar este tipo de corrección ya que al ser el aire el aislamiento principal, su curva característica sufre poca variación ante cambios de temperatura.

Temperatura de prueba Factor de corrección Kc 0 1.56 5 1.45 10 1.38 15 1.20 20 1 25 0.79 30 0.63 35 0.51 40 0.42 45 0.34 50 0.28 60 0.17 Tabla No. 6.5.3.2 Factores de corrección por temperatura para el factor de potencia correspondientes a transformadores en aceite. Circuito equivalente de capacitancias Para determinar las capacitancias y el factor de potencia o de disipación de los devanados del transformador es muy conveniente emplear un circuito equivalente, el cual se muestra en la figura 6.5.3.3. Obsérvese que en el mismo se representan las tres posibles capacitancias de aislamiento, es decir, capacitancia del devanado de alta respecto a tierra, capacitancia del devanado de baja respecto a tierra y capacitancia entre los devanados de alta y baja. Además para que cada devanado se considere como un todo, se deben cortocircuitar sus terminales.

Figura 6. 5.3.3. Circuito equivalente de capacitancias. En la figura 6.5.3.4.se muestra un circuito para realizar la prueba de factor de potencia, considerando un transformado monofásico, donde se comprueba que se miden la corriente, la potencia y el voltaje aplicado. En este caso corresponde con la medición

entre el devanado de alta y tierra. Como resultado se obtiene para la capacitancia, la combinación 𝐶𝐻𝑇 en paralelo con la combinación serie de 𝐶𝐻𝑋 y 𝐶𝑋𝑇 dado por la ecuación (6.5.3.10). Obsérvese que para realizar la prueba se cortocircuito el devanado de alta entre sí, igualmente se hace con el devanado de baja. Si los devanados no se cortocircuitan se introduce un error pues se mediría en la prueba, además de la capacitancia, la inductancia del devanado. Esto implica que el factor de potencia que arroja la prueba sea menor que el correspondiente al del aislamiento, debido a que la componente capacitiva se vería reducida. Para el caso de transformadores trifásicos para realizar la prueba de factor de potencia, se cortocircuitan entre sí las tres fases del devanado de alta, igualmente se lleva a cabo con el devanado de baja. Debe señalarse que si el devanado se encuentra conectado en estrella con el neutro aterrado, es necesario desconectar la conexión a tierra. 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶𝐻𝑇 (𝐶𝐻𝑋 + 𝐶𝑋𝑇 )/(𝐶𝐻𝑋 + 𝐶𝑋𝑇 + 𝐶𝐻𝑇 )

(6.5.3.10)

Figura 6.5.3.4: Circuito para realizar la prueba de factor de potencia. El circuito para determinar el estado del aislamiento mostrado en la figura (6.5.3.4), es apropiado para hacer pruebas de laboratorio. Sin embargo existe una gran cantidad de equipos comerciales, donde tiene incluido la fuente de alimentación de corriente alterna y directamente da como resultado la corriente, potencia, capacitancia y factor de potencia y factor de disipación. Por lo general estos equipos traen un terminal de guarda, tal como se muestra en la figura (6.5.3.5) La figura (6.5.3.3) forma un circuito de tres terminales como el señalado en la figura (6.5.2.18). Por ello, si se quieren determinar cada una de las capacitancias por separado debe emplearse los circuitos mostrados en las figuras (6.5.2.23), (6.5.2.24) y (6.5.3.25) debiendo sustituirse las resistencias por las capacitancias correspondientes y la fuente de alimentación debe ser de alterna.

Figura 6.5.3.5: Equipo de medición del factor de potencia. Sin embargo en la práctica normalmente no se determinan cada una de las capacitancias por separado, sino que se utilizan tres pruebas tipo. A continuación se describen los tres tipos de pruebas. Prueba No.1 Se alimenta el transformador entre el devanado de alta (punto H) y baja (punto X) mediante los terminales L1 y L2 y el terminal de guarda se conecta a tierra (punto T) tal como se muestra en la figura (6.5.3.6). En esta prueba se obtiene la capacitancia 𝐶𝐻𝑋 y el factor de potencia correspondiente. Obsérvese que por el amperímetro y el wattímetro solamente circula la corriente 𝐼𝐻𝑋 Como puede observarse el conductor de guarda cortocircuita la capacitancia 𝐶𝐻𝑇 , ya que el amperímetro presenta una resistencia de valor despreciable. Es por ello que la corriente a través de esta capacitancia presenta valor cero. Esto puede verse también pues la diferencia de potencial entre los puntos H y T es igual a cero. De acuerdo con esto, por el amperímetro solamente circula la corriente 𝐼𝐻𝑋 . Por ello de las lecturas del voltímetro, del amperímetro y del wattímetro se obtiene el comportamiento de la capacitancia 𝑋𝐻𝑇 entre el devanado de alta y tierra. Obsérvese que por el conductor de guarda circula la misma corriente 𝐼𝑋𝑇 que pasa por la capacitancia𝐶𝑋𝑇 . Además por el terminal L2 retorna la suma de las corrientes 𝐼𝑋𝑇 + 𝐼𝐻𝑇

Figura 6.5.3.6: Circuito correspondiente a la prueba No.1. Se obtiene 𝐂𝐇𝐗 Prueba No.2 Se alimenta el transformador por los lados de alta y de baja y el terminal de guarda se conecta a tierra, tal como se muestra en la figura (6.5.3.7). Con esta prueba se obtiene la capacitancia paralelo: 𝐶𝐻𝑋 + 𝐶𝑋𝑇 y el factor de potencia correspondiente. Debe compararse esta figura con la (6.5.3.6) pudiendo comprobarse que en la primera el punto 0 del terminal de guarda se conecta antes del amperímetro; en la segunda, después del amperímetro.

Figura 6.5.3.7: Circuito correspondiente a la prueba No.2. Se obtiene la reactancia equivalente paralelo 𝐂𝐇𝐗 + 𝐂𝐗𝐓

Prueba No.3 Se alimenta el transformador entre el devanado de alta y tierra y el terminal de guarda se conecta al terminal de baja, tal como se muestra en la figura (6.5.3.8). En esta prueba se obtiene la capacitancia 𝐶𝐻𝑇 y el factor de potencia correspondiente.

Figura 6.5.3.8: Circuito correspondiente a la prueba No.3. Se obtiene la reactancia 𝐂𝐇𝐓

Ejemplo 6.5.3.1 Un transformador fue sometido a pruebas, empleando el circuito mostrado en la figura (6.5.3.8), para obtener el comportamiento del aislamiento entre el devanado de alta a tierra, obteniéndose los siguientes resultados de las mediciones realizadas. 𝑃𝑟 = 4 𝑊 (Lectura del Wattímetro)

𝐼𝐻𝑇 = 100 𝑚𝐴 (Lectura del amperímetro)

V=10 kV. (Lectura del voltímetro) Se conoce que la prueba fue realizada a una temperatura de 30°C Hallar: a) b) c) d) e)

La potencia aparente demandada Factor de potencia a la temperatura de prueba y el ángulo 𝜃 correspondiente. Factor de disipación a la temperatura de prueba Capacitancia equivalente Factor de potencia corregido a 20°. Resolución a) De la ecuación (6.5.3.3) la potencia aparente , expresando el voltaje en volt y la corriente en Ampere, presenta el valor:

𝑆 = (10000)(0.1) = 1000 𝑉𝐴 b) De la ecuación (6.5.3.2) el factor de potencia está dado por: 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝐹. 𝑃 =

4 = 0.004 1000

Si se multiplica el valor hallado por 100, se obtiene el factor de potencia expresado en por ciento, obteniéndose: 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝐹. 𝑃 = 0.4 % El ángulo 𝜃 se determina mediante: 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0.004) = 89.7709 ° c) Para determinar el factor de disipación es necesario hallar primeramente la potencia reactiva que demanda el capacitor del aislamiento, mediante la ecuación (6.5.3.4):

𝑄𝑐 = √10002 − 42 =999.992 VAr De la ecuación (6.5.3.5) se obtiene: 𝑡𝑎𝑛(𝛿) = 𝐹. 𝐷 =

4 = 0.004 999.992

Se puede comprobar que los factores de potencia y de disipación tienen el mismo valor, según se expresó anteriormente. El factor de disipación expresado en por ciento presenta el valor: 𝑡𝑎𝑛(𝛿) = 𝐹. 𝐷 = 0.4 % d) La capacitancia se obtiene mediante la ecuación (6.5.3.8): 𝐶𝐻𝑇 =

999.992 2𝜋(60)(100002)

= (2.6528)10−8 𝐹 = 26.528 𝑝𝐹

e) Para corregir el factor de potencia a la temperatura de 20°C se emplea el factor de corrección dado en la tabla (6.5.3.2). Puesto que la prueba se realizó a una temperatura de 30° le corresponde un factor de corrección igual a 0.63. Por tanto el factor de potencia corregido a la temperatura de referencia , de acuerdo con la ecuación (6.5.3.9) es igual a: 𝐹𝑃𝑐 = (0.63)(0.4)=0.252

6.5.4 Prueba de aceite De acuerdo con el tipo de aislamiento, los transformadores pueden clasificarse en secos y en aceite. La compañía Westinghouse Electric Company, en 1886 construyó el primer transformador de uso comercial. Este fue un transformador tipo seco. En 1982 esta compañía desarrolló la primera aplicación conocida de un transformador inmerso en aceite mineral. En los transformadores enfriados por aceite, se emplea una cuba o tanque y el núcleo con los devanados son introducidos en el mismo y se cubren por éste líquido aislante. Debido a las variaciones de temperatura que sufre el aceite con los cambios de carga y de las propias variaciones del medio, el aceite sufre contracciones y dilataciones, por lo que se emplea un tanque de expansión para absorber las variaciones que sufre el volumen del aceite dentro de la cuba. El aceite dieléctrico empleado en los transformadores tiene las dos siguientes funciones, como aislante y como refrigerante. Es decir, sirve como aislante para poder soportar los altos voltajes que se generan internamente dentro del transformador y como trasmisor de calor para poder disipar el calor generado debido a las pérdidas eléctricas en los devanados y a las magnéticas en el núcleo. Desde el punto de vista de transferencia térmica, si un transformador seco es introducido en aceite, para unas mismas condiciones de carga, experimenta una notable reducción en la temperatura de sus partes. Por otro lado, si se quisiera mantener la misma temperatura en sus partes, se puede suministrar una carga mayor. Todo ello es debido a que el enfriamiento mediante aceite, este es capaz de evacuar una mayor valor de perdidas internas con igual diferencia de temperatura entre el foco caliente (parte interna del transformador) y el foco frío (medio ambiente). Esto significa que el transformador con enfriamiento por aceite presenta menos volumen que el seco para iguales condiciones de potencia y temperatura de operación. En la actualidad su precio es del orden de la mitad que el de uno seco de la misma potencia y tensión. También, como puede observarse de la tabla de rigidez dieléctrica (6.5.15) la del aceite de transformador es 20⁄3 = 6.67 veces mayor que la del aire. Esto índica que un transformador en aceite para soportar el mismo nivel de voltaje, la separación entre sus partes aislantes deben ser menores. Debido a las ventajas que presenta el transformador en aceite respecto al seco, las industrias centraron sus esfuerzos en determinar las propiedades del aceite mineral y así producir un fluido de mayor calidad para uso en equipos eléctricos. En el año 1899, se comenzó a producir el aceite de origen mineral derivado del petróleo diseñado especialmente para transformadores. No obstante, el bajo punto de inflamación de este tipo de aceite limita su uso en ciertas locaciones y, en muchos casos, obliga a emplear otras alternativas como por ejemplo el transformador seco. Este presenta menor riesgo de incendio. Es su principal ventaja frente a los transformadores en baño de aceite ya que estos presentan baja temperatura de inflamación y por tanto riesgo de incendio. El valor mínimo admisible de la temperatura de inflamación del aceite para transformadores, es de 140 ºC. Para salvar la dificultad del bajo punto de inflamación

que presenta el aceite mineral, se han ido desarrollando otros tipos de aceite que presentan mejores características, aunque resultan más caros. A continuación se describirán los tipos más empleados en la actualidad

6.5.4.1. Tipos de aceite aislantes empleado en los transformadores. A continuación se describirán los aceites más empleados en la actualidad para el enfriamiento y asilamiento de los transformadores    

Aceite mineral Aceite askarel Aceite de silicona Aceite vegetal

Aceite mineral El aceite mineral es obtenido a base de hidrocarburos, se obtiene por refinamiento y destilación del crudo de petróleo. Su aplicación es generalmente para transformadores ubicados a la intemperie. En la actualidad es el aislante más económico que existe en el mercado. En la tabla 6.5.4.1 se muestran las propiedades del aceite mineral empleado en transformadores. Punto de combustión (°C) *

165°C

Punto de inflamación (°C) **

148 °C

Conductividad térmica (W/mK) a 25 °C ***

0.14

Rigidez dieléctrica (kV /mm ) ( a 20°C)

20

Viscocidad (cST) a 40 °C

12

Calor específico (cal/gr°C)

0.43

Tabla 6.5.4.1: Propiedades de los aceites minerales empleado como aislante en transformadores *El punto de inflamación define la temperatura más baja a la cual los vapores de un líquido calentado, al mezclarse con el aire, pueden encenderse (o destellar) por una llama, chispa u otra fuente de ignición. ** El punto de combustión es la temperatura más baja ala cual los vapores de un líquido calentado se queman continuamente cuando la combustión es apoyada por alguna fuente de ignición como las indicadas anteriormente.

*** El coeficiente de conductividad térmica es la cantidad de flujo calorífico por unidad de tiempo que fluye a través de una muestra de 1 m de longitud, un metro cuadrado de área con una diferencia de potencia de 1°C entre las caras. **** La rigidez dieléctrica es el voltaje máximo voltaje por unidad de longitud que soporta un material a partir del cual hace conductor de la corriente eléctrica ( es lo mismo que el campo eléctrico ).

Aceite askarel . PCB El askarel puede aparecer con los nombres científicos de PolicloroBifenilo. Los PCB's fueron sintetizados por primera vez en la década de 1880. Antes de que esto sucediera, el enfriamiento de los transformadores se lograba con aceite mineral. Este líquido tenía la ventaja de ser menos denso que el agua, buen conductor del calor aislante y biodegradable pero tenía riesgos de combustibilidad y explosión. Después de una serie de experimentos se descubrió, que si se introducía cloro a las partículas de benceno, desaparecía la combustibilidad del aceite y entonces podía ser usado como fluido dieléctrico resistente al fuego. Fue así como surgieron los PCB's. El aceite con bifenilospoliclorados (PCB) y solventes es conocido comúnmente como askarel, es un compuesto químico formado por cloro, carbón e hidrógeno. Son fluidos viscosos, incombustibles no biodegradables. Aunque fue sintetizado por primera vez en 1881, la producción comercial de PCB comenzó en los Estados Unidos en 1929 en respuesta a la necesidad de la industria eléctrica de un líquido refrigerante y aislante más seguro para los transformadores y condensadores industriales Las principales ventajas que hicieron que su uso se difundiera ampliamente en los transformadores son las siguientes: Es un buen dieléctrico, con un periodo de envejecimiento largo. Es ininflamable, pero a partir de los 600 ºC se descompone. Tiene una Constante Dieléctrica alta. Es un buen refrigerante debido a su elevada densidad: 1,65 g/cm3. No es miscible con el agua. El PCB es resistente al fuego, muy estable, no conduce electricidad y tiene baja volatilidad a temperaturas normales. Por sus características anti-inflamables, la mayoría de los aceites dieléctricos con PCB's se usaron fundamentalmente en áreas con alto riesgo de incendio, tales como plantas industriales, en transporte colectivo de tracción eléctrica (tranvías) y en la industria petroquímica. Los transformadores de PCB se conocían en toda la industria como los transformadores que disponían del mejor dieléctrico líquido. Las propiedades del PCB incluían principalmente la no inflamabilidad y un segundo lugar una viscosidad baja. La viscosidad baja de los líquidos de PCB, dan como resultado alta capacidad de sobrecarga y efectos refrigerante. Aquellas cualidades, a su vez, dieron una larga vida a los transformadores. El askarel es un aceite oscuro, similar al aceite quemado de auto, se caracteriza por no ser flamable y poseer hasta un 70 por ciento de PCB, se ha utilizado como aislante o refrigerante en los transformadores y equipos eléctricos debido a su resistencia a temperaturas extremas tanto altas como bajas sin cambiar su estado físico. En la tabla 6.5.4.2 se muestran las propiedades del aceite PBC o askarel

El askarel fue ampliamente utilizado hasta los años 80 principalmente como líquidos refrigerantes en trasformadores eléctricos pero actualmente están prohibidos en casi todos los países, pues se ha comprobado que es uno de los compuestos químicos más peligrosos para la salud que podemos encontrarnos. Los PCBs pueden ingresar en el cuerpo a través del contacto de la piel, por la inhalación de vapores o por la ingestión de los alimentos que contengan residuos del compuesto. Muchos experimentos realizados en laboratorios y diversos estudios han determinado los efectos que producen los PCB sobre la salud humana. Pero éste no es el principal riesgo, sino el que ocurre si el transformador que contiene este aceite explota o se incendia, pues en este caso, el PCB genera un producto químico llamado dioxina. Las dioxinas son las sustancias más dañinas que se conocen, son cinco millones de veces más tóxicas que el cianuro y son cancerígenas. Entre los efectos adversos conocidos en casos de animales, se encuentran los que inducen a la inmunodeficiencia, fallas reproductivas, aumento en la mortalidad, deformaciones congénitas, trastornos metabólicos lesiones tiroideas, etc. En los seres humanos pueden ser causa de disfunciones inmunitarias, neurológicas, reproductivas, alteraciones hormonales y del desarrollo, trastornos neuroconductuales y cáncer. Estos compuestos atraviesan la placenta y contaminan la leche materna. Punto de inflamación (°C) **

250 °C

Conductividad térmica (W/m°C) a 25 °C

0.14

Rigidez dieléctrica (kV /mm ) ( a 20°C)

25

Tabla 6.5.4.2: Propiedades del aceite askarel empleado como aislante en transformadores Estados Unidos emprendió un acelerado programa de eliminación de equipos que contengan PCB. Bajo la actual legislación canadiense, el sistema eléctrico existente que contenga PCB debe reemplazarse cuando complete su vida útil. En tanto, el mantenimiento, el control y la vigilancia de estos productos es muy estricta. Los gobiernos provinciales y federales deben asegurar el uso correcto de estos equipos.

Aceite de silicona El aceite de silicona se obtiene a partir del silicio, éste es uno de los minerales que más abunda en la naturaleza, constituye el 28 % de la corteza terrestre. Después de llevar a cabo un proceso físico químico este puede ser convertido en aceite. El aceite de silicona constituye uno de los productos químicos menos peligrosos de los que existen en la actualidad, no presentan riesgos de contaminación ambiental, por lo cual

resulta el mejor substituto para los askareles a base de PCB, que se utilizaban normalmente en transformadores. Estudios científicos especializados han demostrado que el grado de toxicidad de este producto es muy bajo, tanto para aves y animales acuáticos como terrestres y para el hombre. Estos aceites son empleados en transformadores para aplicaciones donde se exige una elevada seguridad al fuego, por poseer un alto punto de inflamación e ignición Son reconocidos por tener una excelente resistencia a la oxidación. Además presentan

capacidades de funcionamiento en una amplia gama de temperatura .Poseen una mayor resistencia a la oxidación que los aceites minerales, permitiendo alcanzar temperaturas superiores. Es un aceite especial creado para satisfacer la demanda existente de aceites refrigerantes dieléctricos para transformadores de media y alta potencia. En la tabla 6.5.4.3. se muestran las propiedades de este aceite. Aceite vegetal. Los transformadores inmersos en aceite mineral se han empleado durante mucho tiempo pues los mismos poseen ventajas técnico-económicas que lo hacen atractivo para su uso, entre las cuales están su comprobado buen desempeño en servicio y su costo relativamente bajo cuando se compara con otras alternativas presentes en el mercado. Sin embargo, estos fluidos tienen limitantes que pueden ser considerados desventajas. La primera es su baja biodegradación, que ocasión aun alto impacto ambiental a nuestro medio. La segunda limitante de relativa importancia es que presenta bajo punto de inflamación, que puede conducir a la generación de incendios y accidentes, e impedir, por lo tanto, su uso en interiores. Punto de combustión (°C) *

350°C

Punto de inflamación (°C) **

300 °C

Conductividad térmica (W/mK) a 25 °C

-

Rigidez dieléctrica (kV /mm )

35

Viscocidad (cST) a 40 °C

40

Calor específico (cal/gr°C)

0.365

Tabla 6.5.4.3. Propiedades del aceite de silicona Los aceites de origen vegetal comenzaron a desarrollarse como aislantes y refrigerantes para transformadores desde inicios de la década de los noventa, motivado fundamentalmente por una creciente preocupación por el medio ambiente. Estos han sido obtenidos a partir de semillas, como de soja, maíz y girasol. El primer transformador de potencia enfriado con aceite vegetal salió al mercado en el año 2006 construido por la empresa ABB con un voltaje de 145 kV El aceite vegetal presentas una serie de ventajas sobre el mineral entre las que se pueden enumerar las siguientes:     

Son fluidos sumamente biodegradables, por tanto menos nocivos al medio. Tienen mayor punto de inflamación. Incrementan la vida del sistema de aislamiento entre 5 y 8 veces. Permiten un aumento de la sobrecarga admisible y la prolongación de la vida de los aislantes y el transformador. Mayor rigidez dieléctrica. ( Mayor voltaje de ruptura)



Mayor biodegrabilidad.

El aceite vegetal presenta excelentes características térmicas alcanzando los 330 °C como punto de inflamación contra 300 °C para el aceite de silicona y 148 °C para el mineral (ver tabla 6.5.4.4), aportando más seguridad en instalaciones de transformadores en interiores. Además en caso de inflamación el humo que produce no es tóxico, a diferencia del aceite mineral Experimentos reportados referente a pruebas de biodegrabilidad, demuestran que después de un periodo de prueba, degrada en un 97%, el aceite mineral lo hace en un 30% y la silicona sólo en un 5%., lo que indica el bajo efecto nocivo sobre el medio. Debe señalarse que el aceite vegetal presenta una viscosidad de casi cuatro veces la de los aceites de origen mineral. Esto constituye una desventaja desde el punto de vista térmico del trasformador, ya que con mayor viscosidad su velocidad de desplazamiento es menor, lo cual empeora la función de refrigeración. Sin embargo esto es compensado por la mayor conductividad térmica, (1.21 veces mayor) y más alto calor específico (1.32) del aceite vegetal, lo que permite que el calor generado por las pérdidas eléctricas y magnéticas se transfieran con mayor facilidad hacia el aceite y de éste al medio. El aceite vegetal tiene alta capacidad de absorber el agua mucho más que el aceite mineral, por lo que aumenta la extracción de la misma desde el papel aislante, esto permite evitar la degradación de éste y ser mayor su tiempo de vida. El aceite vegetal puede contener más cantidad de agua que el mineral en la relación 1060⁄60 = 17.7 veces Estudios experimentales han demostrado que el transformador sumergido en aceite de origen vegetal presenta mayor vida útil para unas mismas condiciones de carga que los transformadores sumergidos en aceite mineral. Esto indica que para obtener el mismo tiempo de vida con ambos tipos de aceites, el transformador con aceite vegetal puede ser sobrecargado (alrededor de 15%). Cuanto más alto es el calor específico del aceite más baja es su temperatura. También, a medida que la conductividad térmica del aceite es mayor, menor es la temperatura de los devanados. Empleando el aceite vegetal, se logra una reducciones entre un 20% y 30% en su temperatura y entre un 10% y 20% en la temperatura de los devanados. Por último la rigidez dieléctrica del aceite vegetal es 1.6 veces la del mineral. Tal como se refleja en la tabla 6.5.4.4, en la actualidad el costo relativo aproximado de los transformadores con aceite vegetal y con silicona son de 1.18 y 1.24 respectivamente.

6.5.4.2. Relación de las pruebas al aceite. Como fue explicado anteriormente, las funciones principales del aceite dieléctrico de los transformadores son la de refrigerar y aislar. Este fluido es una importante componente para el correcto funcionamiento del transformador, gracias a sus propiedades de movilidad y de absorción de calor. El calor generado debido a las

pérdidas magnéticas y eléctricas, por medio del aceite es llevado mediante la convección a las paredes del tanque y de ahí al exterior, controlando así la temperatura de trabajo del transformador. Durante el funcionamiento normal del transformador, el aceite se va envejeciendo y por ende degenerándose y perdiendo sus cualidades como aislante y refrigerante. Además del envejecimiento natural del aceite, el mismo presenta grandes enemigos que pueden conducir a daños irreversibles en el transformador. Un poderoso enemigo del aceite es el oxigeno ya que al combinarse con éste, acelera el envejecimiento. Debido a los cambios de cargas y de temperatura del medio, la temperatura del aceite varía. Un aumento de temperatura implica que el volumen del aceite aumente, subiendo el nivel en el tanque de expansión, saliendo aire. Cuando la temperatura se reduce, ocurre el efecto contrario, entrando aire trasmitiendo humedad y oxigeno al aceite. Para evitar este efecto se construyen transformadores de distribución herméticos para evitar el contacto del aceite con el aire. El aceite dentro del transformador puede sufrir contaminación, lo que obedece a varios factores entre los que se encuentran: Presencia de humedad (agua). El valor permisible máximo según normas no debe ser mayor de 30 ppm (Partes por millón). Baste señalar que añadiendo 30 gramos de agua a una tonelada de aceite de transformador se reduce la rigidez dieléctrica de 70 kV hasta 20 kV

Aceite Mineral

Aceite Vegetal

Aceite de Silicona

Punto de combustión (°C) *

165 °C

360 °C

350

Punto de inflamación (°C) **

148 °C

330 °C

300 °C

Conductividad térmica (W/m°C) a 25 °C

0.14

0.17

Rigidez dieléctrica (kV /mm )

30

48

35

Calor específico (cal/gr°C)

0.43

0.57

0.365

Viscocidad (cSt) 40°C

12

45

40

Contenido de agua (mg/kg)

60

1060

-

Costo en p.u

1

1.18

1.24

0.15

Tabla 6.5.4.4. Tabla comparativa con las propiedades del aceite mineral, vegetal y de silicona.

Partículas disueltas: Los aislantes sólidos del transformador implica la utilización de papales y celulosa, que pueden desprender pequeñas partes. También por el tanque de expansión penetran partículas de polvo y otros agentes extraños. Se puede comprobar la gran reducción de rigidez dieléctrica que sufre el aceite cuando durante una prueba de rigidez se introduce un dedo con suciedad en la muestra Oxidación: Los esfuerzos debido al trabajo, puntos calientes, degeneración de las partículas y suciedad y descompensaciones provocan la generación de gases disueltos y oxidación del aceite. El aceite aislante en contacto con el aire experimenta reacciones de oxidación que son aceleradas por las temperaturas elevadas. También los procesos de oxidación se producen por actividad de descargas parciales en micro burbujas, las que generan ozono, elemento especialmente activo en los procesos de oxidación.

Con el objetivo de que el aceite cumpla su función de aislante y como medio de enfriamiento, el mismo debe poseer las siguientes propiedades:   

Una rigidez dieléctrica suficiente para resistir las mayores solicitaciones eléctricas que se presentan en el servicio. Una viscosidad adecuada que no afecte la circulación, ni disminuya la transferencia de calor. Una conveniente estabilidad de la oxidación, a fin de asegurar una larga duración en servicio.

Se pueden producir un cambio de color, una formación de sustancias ácidas y / o la producción de lodos en un estado de oxidación avanzado. Además muchos otros agentes contaminantes como puede ser el agua, las partículas sólidas, los productos polares solubles pueden aparecer en el aceite de transformadores durante el servicio y, en consecuencia, pueden alterarse algunas propiedades dieléctricas del aceite de transformadores. La presencia de estos agentes contaminantes y de cualquier otro producto de degradación, se puede determinar estudiando la modificación de una o varias propiedades. Todo lo anterior, conduce a que un transformador debe ser sometido a un riguroso plan de mantenimiento que permita controlar entre otros factores, el estado del aceite, antes de que éste se deteriore y conduzca a la destrucción de la máquina. Debe destacarse que la presencia de humedad en el aceite es un factor de reducción de la rigidez dieléctrica del aceite y por tanto de la pérdida de su capacidad como aislante. Además, los ácidos que por oxidación aparecen en el aceite, conducen a la destrucción de los aislamientos sólidos de los devanados. Con el objetivo de controlar el estado del aceite se realizan una serie de ensayos físico químicos. Los más importantes se relacionan a continuación. 

Rigidez Dieléctrica

      

Contenido de agua Neutralización/Acidez Color Partículas Disueltas Gases Disueltos Tensión Superficial Factor de potencia o factor de disipación

En el presente texto solamente describiremos la prueba de rigidez dieléctrica. Las demás pruebas pueden ser encontradas en textos y manuales dedicados al mantenimiento de los transformadores Prueba de rigidez dieléctrica. Es muy importante determinar la rigidez dieléctrica del aceite tanto antes de poner en servicio un transformador nuevo o durante los mantenimientos. Como se describió anteriormente, la rigidez dieléctrica es el voltaje máximo por unidad de longitud que soporta un material a partir del cual hace conductor de la corriente eléctrica que en realidad es el campo eléctrico máximo permisible. Se puede decir que la rigidez dieléctrica es la capacidad de un aislante de soportar voltaje sin fallar. Debe señalarse que en la práctica se confunde el término rigidez dieléctrica de un material con el voltaje de ruptura, sin embargo, estos términos son diferentes. Por ejemplo la rigidez dieléctrica del aceite de acuerdo con la tabla 6.5.1.5 es igual a 20 kV/mm. Esto significa que una muestra colocado entre dos placas con una separación de 1 mm lo máximo que soporta sin perder sus cualidades de aislamiento es 20 kV y este valor se puede considerar como el voltaje de ruptura. Sin embargo si la muestra se coloca entre dos placas separadas 2 mm, su voltaje de ruptura será de 40 kV. La prueba de rigidez dieléctrica del aceite es una de las más frecuentes, ya que conocer el voltaje de ruptura indica la resistencia de la muestra del aceite al paso de la corriente Este voltaje , es una importante indicación de los esfuerzos dieléctricos que el aceite dieléctrico podrá soportar sin que llegue a fallar . También indica el grado de humedad (agua libre), suciedad sólidos en suspensión y gases disueltos. Estos elementos afectan la rigidez dieléctrica del aceite. Para la realización de esta prueba, se extrae una muestra y con el empleo de equipo conocido como probador de aceite se lleva a cabo el experimento. En su interior posee dos electrodos calibrados, a los cuales se les aplica un potencial variable de corriente alterna. Cuando el voltaje alcance el valor de ruptura del aceite se registra dicho valor. La prueba se puede realizar con electrodos planos o semiesféricos y cuyo diámetro y separación esta normalizados. Se acostumbra a emplear las siguientes dos normas: ASTM D-877 y D-1816 (American Society for Testing and Materials) La norma D-1816 especifica electrodos semiesféricos con una separación igual 1.016 mm; la D-877 especifica electrodos planos con una separación igual a de 2.54 mm Los electrodos y la probeta deben limpiarse perfectamente de preferencia enjuagándolos con gasolina, bencina o algún solvente adecuado, libre de toda humedad. En la figura (6.5.4.1) se muestran los electrodos esféricos de un equipo probador de aceite.

Para realizar la prueba deben seguirse las siguientes indicaciones  

    

La prueba se lleva a cabo llenando el recipiente del probador con aceite hasta que los discos o electrodos queden cubiertos. Al vaciar la muestra de aceite en la copa de prueba, ésta deberá dejarse reposar durante unos tres minutos antes de probarlo, con el objeto de que se escapen las burbujas de aire que puedan contener. A cada muestra se le efectuarán cinco pruebas de ruptura, agitando y dejando reposar la muestra un minuto, después de cada prueba Efectuar una primera prueba aplicando voltaje en incremento de aproximadamente 3 kV/s El incremento de voltaje será gradual hasta detectar la ruptura del aceite. Una segunda se realiza dejando reposar el aceite por al menos de 1min. pero no más de 3 min. Los valores obtenidos se promediarán y el valor obtenido del promedio será representativo de la muestra. Este promedio es válido siempre que ninguna prueba sea diferente en más de 5 kV, si existe una variación mayor deberán efectuarse más pruebas con nuevas muestras.

Los valores mínimos de rigidez dieléctrica para aceites usados es de 23 kV y para los nuevos de 30 kV Con los probadores modernos las pruebas son realizadas de forma automática, brindando los valores medios obtenidos de las cinco pruebas. Cuando el voltaje de ruptura del aceite sea inferior a 23 kV, se aconseja proceder a su acondicionamiento por medio de un filtro prensa y una bomba centrífuga para aceite, o una unidad regeneradora de aceite al vacío. Al filtrar un aceite, éste debe subir su valor de rigidez dieléctrica a un nivel de 23 kV mínimo para transformadores de distribución que ya han estado en uso. Algunas veces, puede suceder que en aparatos que han estado fuera de servicio por mucho tiempo se encuentren húmedos tanto los devanados como el aceite. Si al filtrar este último, no se elimina la humedad de los devanados, en este caso, hay que someter las bobinas a un proceso de secado para evitar una posible falla de aislamiento. Aunque en el filtro prensa se elimine la humedad, así como partículas finas de sedimentos y carbón; puede ocurrir que después de pasar varias veces el aceite por el filtro, no suba su poder dieléctrico al valor deseado, entonces se recomienda sustituirlo por aceite nuevo.

6.5.4.1. Electrodos esféricos de un probador de aceite Debe señalarse que también existe la norma IEC 156 (Comité Electrotécnico Internacional) la que especifica que la prueba de rigidez dieléctrica se realiza empleando electrodos esféricos o semiesféricos a una distancia de 2.5 mm y además la modalidad de realización de la prueba, consiste en incrementar la tensión de ensayo en pasos de 2 kV/s hasta que se produzca la descarga. Esta norma indica que en vez de realizarse cinco pruebas a la muestra de aceite, deben emplearse seis y promediar las lecturas. Esta norma también establece mayores valores de rigidez dieléctrica, la cual indica los valores mostrados en la tabla (6.5.4.5)

Voltaje nominal del transformador

< 72.5 kV

72.5 a 170 kV

> 170 kV

Voltaje mínimo de ruptura

40

50

60

Tabla 6.5.4.5 Rigidez dieléctrica del aceite de acuerdo con la norma IEC 156

CAPÍTULO VII

VII

Operación de transformadores en paralelo

Introducción En ocasiones en la práctica es aconsejable la operación en paralelo de dos o más transformadores, ya sea por razones económicas o de confiabilidad en el suministro eléctrico. Se dice que dos o más transformadores operan en paralelo cuando todos los devanados del primero están conectados en paralelo a una sola fuente de alimentación y los del secundario están conectados en paralelo, obteniéndose de los mismos un único voltaje para ser aplicado a la carga. En la figura (7.1) se muestran dos transformadores monofásicos TI y TII conectados en paralelo, alimentados desde una fuente de voltaje 𝑉1 y suministrando un voltaje 𝑉2 a una carga. En la figura (7.2) se muestra la conexión en paralelo, pero en este caso de dos transformadores trifásicos conectados en delta-delta.

Figura No. 7.1 Conexión de dos transformadores monofásicos en paralelo

Figura No. 7.2Conexión de dos transformadores trifásicos en paralelo 7.1 Necesidad de la operación en paralelo En la práctica la conexión de los transformadores en paralelo obedece a varias causas entre las que se pueden señalar las siguientes.  Incremento de la carga con el tiempo.  Disponibilidad de capacidades en el mercado.  Variación periódica de la carga.  Confiabilidad en el servicio. Incremento de la carga con el tiempo. Supóngase que se tiene una instalación alimentada por un transformador y que la carga a alimentar se incrementa. En este caso pueden tomarse dos opciones. Una de ellas es sustituir el transformador por uno de mayor potencia y la otra es conectar en paralelo un segundo transformador, obteniéndose un banco en paralelo de transformadores. Por lo general la segunda opción resulta la más económica. Disponibilidad de capacidades en el mercado. Considérese que se tiene una instalación que requiere de una potencia de 175 kVA y que en el mercado no se dispone de transformadores de esta capacidad. Sin embargo si se dispone de transformadores de 100 kVA y de 75 kVA con la combinación en paralelo se puede obtener un banco que satisface las condiciones de carga demandada. Variación periódica de la carga. Hay instalaciones que por exigencia de la producción en determinados períodos del año, demandan una determinada carga eléctrica y ésta es diferente en otros periodos. Si se diseña la instalación con un solo transformador, en las condiciones de baja carga puede que el transformador opere con una baja eficiencia. En este caso puede emplearse un banco en paralelo, por ejemplo de dos transformadores para que operen en las condiciones de alta demanda y cuando esta se reduzca emplear un solo transformador.

En realidad esto debe llevar un análisis económico lo cual será presentado en un capítulo posterior. Confiabilidad en el servicio. Hay cargas que requieren de una alta confiabilidad en el servicio, lo cual puede conducir a la operación en paralelo. Considérese que se tiene una instalación que requiere un transformador de 1000 kVA y que dicha instalación es una carga de alta prioridad, es decir, que no puede quedar sin suministro eléctrico. En este caso se puede optar por tener un segundo transformador de 1000 kVA en espera para cuando falle el primero éste sea el sustituto. En este caso la instalación como un todo es de 2000 kVA. Sin embargo si se emplean dos transformadores en paralelo de 500 kVA, se puede tener un tercero de 500 Kva en espera para cuando uno de los que esté instalado falle. En este caso la instalación como un todo es de 1500 kVA, lo cual resulta más económico. En estas condiciones también pueden emplearse cinco transformadores de 250 kVA, operando cuatro en paralelo y uno es espera. Sin embargo cualquiera de las variantes que impliquen transformadores de menor potencia, conlleva a un estudio económico de modo que se seleccione la menos costosa. 7.2 Condiciones a cumplir para la operación en paralelo Cuando se conectan dos o más transformadores en paralelo es necesario cumplir una serie de condiciones, como se describe seguidamente, de modo que la operación sea adecuada. 1. Conexiones adecuadas acorde con la polaridad 2. Iguales voltajes nominales entre sí por primario y por secundario 3. Iguales por cientos de impedancia. 4. Iguales relaciones R/X Conexiones adecuadas acorde con la polaridad Considérese que se quieren conectar en paralelo los dos transformadores monofásicos TI y TII mostrados en la figura (7.1). Para ello se tomará como base la figura (7.2.1) y como se indica por primario los terminales H1 de cada transformador se conectan a la línea A; los H2, a la línea B. Supóngase que por secundario se conectan los puntos x2 y se sacan los terminales 1 y 2 desde los puntos x1. De acuerdo con las polaridades señaladas en los secundarios de los dos transformadores se inducen las fuerzas electromotrices 𝐸𝐼 y 𝐸𝐼𝐼 correspondientes a los transformadores TI y TII respectivamente en los sentidos señalados. Esto significa que entre los puntos 1 y 2 se obtiene como resultante una fuerza electromotriz de valor cero, ya que como se verá a continuación los valores 𝐸𝐼 y 𝐸𝐼𝐼 deben ser iguales y además las mismas se encuentran en fase. Es decir que si el voltímetro da una lectura igual a cero, significa que las conexiones de acuerdo con las polaridades son las adecuadas y los puntos 1 y 2 pueden unirse para formar con ello por secundario la conexión paralelo en forma correcta. Con ello se obtiene la conexión mostrada en la figura (7.2.2) de la cual puede conectarse la carga entre las líneas a y b.

Figura 7.2.1: Comprobación mediante un voltímetro para la conexión en paralelo.

Figura No. 7.2.2: Conexión en paralelo de los transformadores I y II Considérese ahora que los transformadores son conectados según se muestra en la figura (7.2.3) donde se han unido los puntos X1 y X2 por los secundarios. En este caso entre los puntos 1 y 2 se obtiene la suma de las fuerzas electromotrices inducidas en los secundarios. Esto implica que si se unen estos puntos para cerrar la conexión paralelo por secundario, se producirá una alta corriente circulante y la destrucción por efecto térmico de los transformadores, a no ser que se disponga de la protección térmica adecuada. Esta corriente solamente es limitada por la impedancia de dispersión por lo que su valor es del orden de cortocircuito. Es muy importante señalar que para la conexión en paralelo de transformadores trifásicos, debe tenerse en cuenta el índice horario, ya que para cerrar puntos en el circuito debe cumplirse que los voltajes no solamente tengan igual magnitud, sino que los mismos estén en fase. Esto implica que los transformadores deben tener el mismo índice horario. Para ello, la forma práctica de determinar el adecuado cumplimiento antes de realizar las conexiones, es como se señala en la figura 7.2.4. Solo cuando las lecturas de los tres voltímetros presente valor cero es que pueden conectarse los puntos homólogos, es decir, solo en estas condiciones se pueden unir los puntos a-a’, b-b’ y c-

c’. En la figura 7.2.5 se muestra la conexión en paralelo obteniéndose el sistema de voltajes por secundario entre las tres líneas.

Figura 7.2.3: Conexión incorrecta. C

B

A a b T I

c V

V

a’ TII

b ’ c’

Figura 7.2.4 Verificación experimental para determinar la polaridad correcta en conexiones trifásicas Iguales voltajes nominales entre sí por primario y por secundario Considérese que se tiene una instalación que requiere un voltaje por secundario de 240 V y que la línea de alimentación es de 4160 V y que se emplean dos transformadores monofásicos en paralelo tal como se muestra en la figura 7.1.Considermos que el transformador TI tiene un voltaje nominal por primario de 4160 V y el II de 2400 V. Al conectarlos en paralelo a la fuente de 4160 V el transformador TII estaría alimentado con un voltaje prácticamente 73 % por encima de su valor nominal y por tanto experimentaría una alta corriente de saturación y se dañaría térmicamente, a no ser que sea protegido adecuadamente. Si por el contrario si la fuente fuera de 2400 V, el transformador I estaría subutilizado pues cuando entregue su corriente nominal, solamente suministraría 2400/4160=0.5769 de sus kVA nominales. Lo anterior significa que los voltajes nominales por primario deben ser iguales en cada uno de los transformadores para una correcta operación.

V

C

B

A a

a

b T I

c

a’ TII

b ’ c’

Figura 7.2.5: Conexión en paralelo de transformadores trifásicos. Considérese ahora que los voltajes nominales por primario son los adecuados, es decir, 4160 V en cada transformador para una línea de alimentación por primario de este mismo valor y que el transformador TI tenga un voltaje por secundario igual a 240 V. Además supóngase que el transformador TII tenga por secundario un voltaje nominal de 120 V. Al conectar los secundarios en paralelo existirá una alta corriente circulante por los trasformadores lo que debe ser evitado por la protección sino los transformadores se destruyen por el efecto térmico. Para este caso si se empleara el circuito de verificación mostrado en la figura 7.2.1, el voltímetro indicaría una lectura igual a V=240-120=120 V, considerando que las conexiones han sido realizadas con la polaridad correcta. Si la polaridad fuera incorrecta, la lectura del voltímetro sería igual a: V=240+120=360 V. Es importante señalar que para la operación de transformadores trifásicos según se muestra en la figura 7.2.4 solamente los voltímetros indicarán una lectura igual a cero volt, si los voltajes tienen igual magnitud y los mismos se encuentran en fase. Solo en estas condiciones se pueden conectar los puntos homólogos. Esta condición se logra con iguales voltajes entre sí por primario y por secundario y además con el mismo índice horario. Iguales por cientos de impedancia. La condición de iguales porcientos de impedancias no es una condición necesaria para la operación en paralelo de los transformadores, sino que es una condición de operación óptima. Si no se cumple la condición, los transformadores pueden ser operados, pero no se puede aprovechar totalmente sus potencias nominales instaladas. Para demostrar que una óptima operación en paralelo se cumple cuando los transformadores presentan el mismo por ciento de impedancia, es necesario primeramente determinar el circuito equivalente correspondiente a esta operación. En la figura 7.2.6 se muestra en la figura (a) dos transformadores monofásicos conectados en paralelo. Si se parte del circuito equivalente de un transformador referido al

b

c

secundario, mostrado en la figura 2.9.14 del capítulo II, se obtiene para el caso de dos transformadores en paralelo, el presentado en la figura 7.2.6-b. En este circuito se cumple: 𝐼2𝐼 – Corriente por el secundario del transformador 𝑇𝐼 𝐼2𝐼𝐼 – Corriente por el secundario del transformador 𝑇𝐼𝐼 𝐼𝑐 – Corriente entregada a la carga Como puede observarse del circuito equivalente de la figura 7.2. 6-b tanto las impedancias de las ramas de magnetización como las de dispersión quedan conectadas en paralelo por lo que en forma simplificada se puede representar según se muestra en la figura 7.2.7-a. En la 7.2.7-b se ha representado el mismo circuito pero despreciando la rama de magnetización, el que por simplicidad emplearemos en lo que sigue.

Figura 7.2.6: Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo.

Figura 7.2.7: Circuito equivalente de dos transformadores en paralelo. a) Circuito exacto b) Circuito aproximado 7.2.1 Ecuaciones de la operación en paralelo. a) Distribución de la carga en función de las impedancias. Primeramente para comprender el comportamiento de los transformadores operando en paralelo, se expresará la distribución de la carga entre cada unidad en función de las impedancias de dispersión de los mismos. Posteriormente esta distribución de carga se escribirá en función de los porcientos de impedancias. Para obtener las ecuaciones que rigen la operación en paralelo partiremos del circuito equivalente mostrado en la figura 7.2.7, el cual por simplicidad se representará como se muestra en la figura 7.2.8. Puesto que las ramas de dispersión de cada uno de los transformadores TI y TII se encuentran en paralelo, la caída de potencial es igual en cada una de ellas, dada por: ∆𝑉 = 𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼 = 𝐼𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼𝐼

(7.2.1)

Donde: 𝐼𝐼 – Corriente por el secundario en el transformador TI 𝐼𝐼𝐼 - Corriente por el secundario en el transformador TII 𝑍𝑒𝐼 -Impedancia del transformador TI referida el secundario. 𝑍𝑒𝐼𝐼 - Impedancia del transformador TII referida al secundario. De la ecuación (7.2.1) se obtiene: 𝐼𝐼 𝑍 = 𝑒𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼

(7.2.2)

Figura 7.2.8: Circuito equivalente simplificado de dos transformadores en paralelo referido al secundario Puesto que en la operación en paralelo el voltajeV2 de cada uno de los transformadores es el mismo, si el término de la izquierda de la ecuación (7.2.2) es multiplicado por este voltaje, tanto el numerador como el denominador la ecuación queda expresada como: 𝑆𝐼 𝑍 = 𝑒𝐼𝐼 𝑆𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼

(7.2.3)

Donde: 𝑆𝐼 – Potencia aparente del transformador 𝑇𝐼 𝑆𝐼𝐼 - Potencia aparente del transformador 𝑇𝐼𝐼 Ya que la ecuación (7.2.3) estás expresada como una relación, las potencias aparentes pueden estar en cualquier unidad, o sea, en VA , kVA, etc. La corriente que los transformadores le suministran a la carga está dada por la suma aritmética, considerando que las mismas se encuentran en fase, por: 𝐼𝑐 = 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 (7.2.4) Si se multiplica la ecuación (7.2.4) por el voltaje V2 en ambos miembros se obtiene: 𝑆𝑐 = 𝑆𝐼 + 𝑆𝐼𝐼 (7.2.5) Donde: 𝑆𝑐 - Potencia aparente demandada por la carga Como en cualquier circuito con dos ramas paralelas, la ecuación (7.2.2) expresa que la distribución de las corrientes por cada uno de los transformadores es inversa a las

impedancias de cada una de las ramas. Esto significa que si se tienen dos transformadores de igual potencia deben ser seleccionados que la impedancia equivalente de los mismos sean iguales. Con ello, cuando se alimente una carga, cuando por un transformador circule la corriente nominal por el otro ocurrirá lo mismo, lo que implica que se puede aprovechar al máximo la capacidad total del banco. Sin embargo, si un transformador presenta una menor impedancia, por este circula una mayor proporción de la corriente, lo que significa que no se puede aprovechar óptimamente el banco. Esto queda explicado con más claridad en el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.2.1 Dos transformadores𝑇𝐼 y 𝑇𝐼𝐼 presentan los siguientes datos. Transformador 𝑇𝐼 :S=100 kVA V1/V2=2400/240 𝑍𝑒𝐼 = 2 𝑂ℎ𝑚 (Referido al lado de baja) Transformador 𝑇𝐼𝐼 : S= 200 kVA V1/V2=2400/240 𝑍𝑒𝐼𝐼 = 2 𝑂ℎ𝑚 (Referido al lado de baja) Calcule, si los transformadores son conectados en paralelo: a) La corriente nominal de cada uno de los transformadores por el lado de baja. b) La máxima corriente y potencia aparente que se puede alimentar a la carga sin que se sobrecargue ningún transformador. c) Cuáles deben ser los valores de las impedancias para aprovechar toda la capacidad del banco. Resolución a) La corriente nominal por el lado de baja de cada transformador, de acuerdo con la ecuación (2.7.3) está dada por: 𝐼𝐼𝑁 =

(100)(1000) = 416.667 (𝐴) 240

𝐼𝐼𝐼𝑁 =

(200)(1000) = 833.334 (𝐴) 240

b) De acuerdo con la ecuación (7.2.2) puesto que los transformadores tienen el mismo valor de impedancia, la relación entre las corrientes por cada una de las ramas paralelas será la misma, o sea: 𝐼𝐼 =1 ó 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 Esto indica que la máxima corriente que puede circular está limitada por el transformador de menor capacidad, es decir, el de 100 kVA. Es decir que si por el transformador 𝑇𝐼 circula la corriente 𝐼𝐼𝑁 =416.667 (A) simultáneamente por el transformador 𝑇𝐼𝐼 también circulará 𝐼𝐼𝐼 = 416.667 (𝐴) La corriente total que se le puede suministrar a la carga se determina aplicando la ecuación (7.2.4), y considerando que las corrientes están en fase por cada rama (esto se estudiará próximamente) se obtiene: 𝐼𝑐 = 416.6676 + 416.667 = 833.334 (𝐴).

Puede comprobarse que el transformador 𝑇𝐼 limita la operación en paralelo, pues éste entrega su corriente nominal y el 𝑇𝐼𝐼 la mitad de su corriente nominal. Supóngase que se quiere que el transformador 𝑇𝐼𝐼 entregue su corriente nominal de 833.334 (A). En este caso al aplicar la ecuación (7.2.2) el transformador 𝑇𝐼 suministrará simultáneamente también 833.334 que es el doble de su corriente nominal, lo cual no se puede permitir desde el punto de vista térmico. Todo lo anterior significa que por una no adecuada relación de las impedancias de dispersión de los transformadores, no se puede explotar al máximo el banco de transformadores. Es decir que la máxima corriente que se le puede suministrar a la carga es de 833.334 (A) trabajando el transformador𝑇𝐼 a plena carga y el 𝑇𝐼𝐼 subcargado, Si se emplea la ecuación (7.2.3) se obtiene. 𝑆𝐼 =1 𝑆𝐼𝐼

ó

𝑆𝐼𝐼 = 𝑆𝐼

Considerando que el transformador 𝑇𝐼 opera en su condición nominal, de la relación anterior se tiene: 𝑆𝐼𝐼 = 100 𝑘𝑉𝐴 Es decir que cada uno de los transformadores suministra 100 kVA y la máxima carga que se puede suministrar es de 200 kVA. De nuevo se comprueba la subutilización que presenta el banco, pues de 300 kVA instalados, solamente se pueden alimentar 200 a la carga. En la figura (7.2.9) se muestran los resultados obtenidos.

Figura 7.2.9: Corrientes y potencias correspondientes al ejemplo 7.2.1-b c) Para poder suministrar una carga de valor 300 kVA tiene que cumplirse que la relación de impedancias de dispersión de los transformadores sea :

𝑍𝑒𝐼𝐼 1 = 𝑍𝑒𝐼 2

ó 𝑍𝑒𝐼𝐼 = 0.5𝑍𝑒𝐼

Es decir que el transformador que tiene el doble de potencia debe tener la mitad de impedancia, para que se pueda aprovechar al máximo la capacidad del banco. Esta relación garantiza que la corriente o la potencia que entrega el transformador 𝑇𝐼𝐼 sea el doble que la del transformador 𝑇𝐼 , lo cual se puede comprobar de las ecuaciones (7.2.2) o (7.2.3). En estas condiciones se cumple que si el transformador 𝑇𝐼 , entrega 𝑆𝐼 = 100 𝑘𝑉𝐴, simultáneamente el 𝑇𝐼𝐼 entrega 200 kVA y a la carga se le entregan 300 kVA. Por ejemplo esto puede obtener con las siguientes impedancias: 𝑍𝑒𝐼 = 2 𝑂ℎ𝑚

𝑍𝑒𝐼𝐼 = 1 𝑂ℎ𝑚

Distribución de la carga en función de los porcientos de impedancias. Se estudiará a continuación, que para determinar el comportamiento de los transformadores operando en paralelo, resulta más fácil expresar las ecuaciones en función del porciento de impedancia. En general para aprovechar al máximo la capacidad de cada uno de los transformadores, es decir, que todos puedan suministrar su potencia nominal simultáneamente, las expresiones (7.2.2) ó (7.2.3) deben cumplirse para las condiciones nominales, es decir: 𝐼𝐼𝑁 𝑍 = 𝑒𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝑁 𝑍𝑒𝐼 𝑆𝐼𝑁 𝑍 = 𝑒𝐼𝐼 𝑆𝐼𝐼𝑁 𝑍𝑒𝐼

(7.2.6)

(7.2.7)

Donde: 𝐼𝐼𝑁 , 𝐼𝐼𝐼𝑁 - Corrientes nominales de los transformadores 𝑇𝐼 , y 𝑇𝐼𝐼 respectivamente 𝑆𝐼𝑁 , 𝑆𝐼𝐼𝑁 - Potencia aparente nominal de los transformadores𝑇𝐼 , y 𝑇𝐼𝐼 respectivamente Es muy importante señalar que las expresiones (7.2.6) ó (7.2.7) significan que los por cientos de impedancias deben ser iguales. Es decir si dos o más transformadores operan en paralelo para aprovechar al máximo la capacidad del banco debe tener cada uno de ellos igual por ciento de impedancia. Veamos a continuación por qué esto debe cumplirse. Se partirá de la ecuación (7.2.3) que permite determinar la distribución de la carga entre cada par de transformadores. Además de la ecuación (6.1.11) referente a la definición de por ciento de impedancia se tiene que la impedancia de dispersión de un transformador se puede expresar mediante: %𝑍. 𝑉𝑁 𝑍𝑒 = 100𝐼𝑁

(7.2.8)

Se sustituye la ecuación (7.2.8) para los transformadores 𝑇𝐼 , y 𝑇𝐼𝐼 en la (7.2.3) y se obtiene:

𝑆𝐼 𝑆 %𝑍 = ( 𝐼𝑁 ) ( 𝐼𝐼 ) 𝑆𝐼𝐼 𝑆𝐼𝐼𝑁 %𝑍𝐼

(7.2.9)

Donde: %𝑍𝐼 , %𝑍𝐼𝐼 - Por ciento de impedancia de los transformadores 𝑇𝐼 , y respectivamente.

𝑇𝐼𝐼

De acuerdo con la ecuación (7.2.9) si los porcientos de impedancia de los transformadores son iguales, cuando un transformador suministre su potencia nominal, simultáneamente por el otro ocurre lo mismo. Además también se puede comprobar que si los por cientos de impedancias son distintos, el transformador que presente menos por ciento de impedancia alcanza primero el estado de carga nominal y por tanto el otro queda subcargado. Esto significa que el de menor por ciento de impedancia limita la operación en paralelo. Por ejemplo consideremos que los transformadores 𝑇𝐼 𝑇𝐼𝐼 tiene respectivamente los siguientes valores de por ciento de impedancia. %𝑍𝐼 = 2 % y%𝑍𝐼𝐼 = 4 %. Se sustituyen estos valores en la ecuación (7.2.9) y se obtiene: 𝑆𝐼 𝑆 4 𝑆 = ( 𝐼𝑁 ) ( ) = 2 ( 𝐼𝑁 ) 𝑆𝐼𝐼 𝑆𝐼𝐼𝑁 2 𝑆𝐼𝐼𝑁

(7.2.10)

La ecuación (7.2.10) indica la proporción de carga que toma cada trasformador cuando operan en paralelo, en función de su potencia nominal. Si por ejemplo se supone que el transformador 𝑇𝐼 entrega su potencia nominal, de la ecuación (7.2.10) queda: 𝑆𝐼𝑁 𝑆 = 2 ( 𝐼𝑁 ) 𝑆𝐼𝐼 𝑆𝐼𝐼𝑁

(7.2.11)

Obsérvese que en la ecuación (7.211) se cancelan los numeradores obteniéndose: 1 1 1 = 2( ) ó 𝑆𝐼𝐼 = (𝑆𝐼𝐼𝑁 ) (7.2.12) 𝑆𝐼𝐼 𝑆𝐼𝐼𝑁 2 La ecuación (7.2.12) indica que para los % de impedancias dados, cuando el transformador 𝑇𝐼 entrega su potencia nominal; el transformador 𝑇𝐼𝐼 , solamente la mitad. Es decir que el transformador opera subcargado. Si se quisiera obtener del transformador 𝑇𝐼𝐼 su potencia nominal, al sustituir este valor en la ecuación (7.2.9) se obtiene: 𝑆𝐼

𝑆 = 2 ( 𝐼𝑁 ) 𝑆𝐼𝐼𝑁 𝑆𝐼𝐼𝑁

ó

𝑆𝐼 = 2 𝑆𝐼𝑁

(7.2.13)

Es decir que si se quiere que el transformador 𝑇𝐼𝐼 entre su potencia nominal, el transformador 𝑇𝐼 se sometería a una sobre carga igual al doble de su valor nominal. Todo lo anterior indica que en la operación en paralelo de transformadores con diferentes por ciento de impedancias, el que tenga el por ciento más pequeño es el limita la operación. Esto significa que la máxima carga que se puede entregar es con el

transformador de menor por ciento de impedancia entregando su potencia nominal y el segundo suministrando una potencia menor a su valor nominal. De acuerdo con lo explicado anteriormente el algoritmo que debe seguirse para determinar la carga que pueden entregar dos transformadores durante la operación en paralelo conociendo sus por cientos de impedancias y sus potencias nominales, es sustituir la potencia nominal del transformador de menor por ciento de impedancia en la ecuación (7.2.9) y con ello determinar que potencia suministra el segundo transformador. Para el caso de la operación con un mayor número de transformadores, resulta también evidente que el de menor por ciento de impedancias es el que limita la operación. Aplicando la ecuación (7.2.9) se puede determinar la potencia que entrega cualquiera de los otros transformadores, pero siempre sustituyendo la potencia nominal del transformador de menor por ciento de impedancia y con ello se determina la potencia del otro transformador considerado. Ejemplo 7.2.2 Dos transformadores 𝑇𝐼 y 𝑇𝐼𝐼 se conectan en paralelo para formar un banco. Los mismos presentan los siguientes datos. Transformador 𝑇𝐼 : S=1000kVA %𝑍𝐼 = 4 % Transformador 𝑇𝐼𝐼 : S= 250kVA%𝑍𝐼𝐼 = 2 % Calcule: a) La distribución de carga entre cada transformador. b) La máxima carga que se puede suministrar a una carga sin que se sobre cargue ningún elemento del banco. c) Si se demanda una carga de 1250kVA, como se repartiría ésta entre cada uno de los transformadores. d) La carga total y la potencia que suministra el transformador 𝑇𝐼𝐼 , si el 𝑇𝐼 entrega 1000 kVA e) Cuál debe ser el % de impedancia de cada uno de los transformadores para aprovechar al máximo la capacidad instalada en el banco. Considere que los transformadores presentan igual relación (X/R). Este efecto será estudiado posteriormente. Resolución a) Se sustituyen valores en la ecuación (7.2.9) y se obtiene la distribución de carga en cada uno de los transformadores: 𝑆𝐼 1000 2 =( )( ) = 2 𝑆𝐼𝐼 250 4

𝑜´

𝑆𝐼 = 2𝑆𝐼𝐼

El resultado anterior indica que cuando se suministra una carga por el banco, el transformador 𝑇𝐼 entrega el doble de potencia respecto al 𝑇𝐼𝐼

b) Puesto que el transformador 𝑇𝐼𝐼 presenta el menor por ciento de impedancia, es el que limita la operación , por ello se sustituye su valor nominal en la ecuación (7.2.9) y se obtiene: 𝑆𝐼

𝑆 %𝑍 = ( 𝐼𝑁 ) ( 𝐼𝐼 ) 𝑆𝐼𝐼𝑁 𝑆𝐼𝐼𝑁 %𝑍𝐼 En la ecuación anterior se cancelan los valores nominales del transformador 𝑇𝐼𝐼 y queda como resultado: 2 𝑆𝐼 = (1000) ( ) = 500𝑘𝑉𝐴 4 Es decir que en este caso el transformador𝑇𝐼𝐼 de menor por ciento de impedancia suministra su potencia nominal igual a 250 kVA mientras que simultáneamente el transformador 𝑇𝐼 entrega 500kVA. Por tanto a la carga se le entrega, de acuerdo con la ecuación (7.2.5) considerando que los transformadores tienen igual relación X/R, en su impedancia de dispersión: 𝑆𝑐 = 250 + 500 = 750 𝑘𝑉𝐴 Como puede observarse de una capacidad instalada en el banco igual 1250 kVA solamente se puede aprovechar 750 kVA por una incorrecta selección del banco respecto a los por cientos de impedancias. c) Para determinar la distribución de carga entre los transformadores se sustituye el resultado obtenido en el inciso (a) es decir 𝑆𝐼 = 2𝑆𝐼𝐼 en la ecuación (7.2.5) y queda: 𝑆 𝑆𝑐 = 2𝑆𝐼𝐼 + 𝑆𝐼𝐼 𝑆𝐼𝐼 = 𝑐⁄3 = 1250⁄3 = 416.66 𝑘𝑉𝐴 En estas condiciones el transformador suministra: 𝑆𝐼 = 2𝑆𝐼𝐼 = (2)(416.66) = 833.32 𝑘𝑉𝐴 Los resultados anteriores indican que si se demanda una carga igual a la suma de las capacidades de los transformadores, el transformador 𝑇𝐼 opera por debajo de su capacidad nominal y el 𝑇𝐼𝐼 sobrecargado, lo cual no es permisible. d) De acuerdo con los resultados del inciso (a) se tiene: 𝑆𝐼 = 2𝑆𝐼𝐼 Así:

𝑆 𝑆𝐼𝐼 = 𝐼⁄2 = 1000⁄2 = 500 𝑘𝑉𝐴

La carga que se podría suministrar presenta el valor: 𝑆𝑐 = 1000 + 500 = 1500 𝑘𝑉𝐴

En estas condiciones de carga, el transformador𝑇𝐼𝐼 entregaría el doble de su potencia nominal, lo que logicamente no es permisible. e) Si se emplean transformadores que presenten igual por ciento de impedancia , ya sea por ejemplo 2% o 4% se obtiene una operación de modo que cada uno suministre simultáneamente su capacidad nominal y se puede alimentar una carga de 1250kVA, aprovechando al máximo la capacidad del banco, sin que sobrecargue ni se subutilice ningún elemento. Ecuaciones generales para determinar la potencia que entrega transformador para una carga total demanda

cada

Cuando se operan más de dos transformadores en paralelo resulta conveniente obtener ecuaciones generales para determinar el comportamiento del banco. Para ello se tomará como base el circuito equivalente mostrado en la figura (7.2.8), que en forma generalizada para k transformadores se muestra en la (7.2.10). En el mismo se cumplen que la caída de voltaje en la impedancia de dispersión está dada por: 1 ∆𝑉 = 𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼 = 𝐼𝑐 𝑍𝑒𝑞 = 𝐼𝑐 [ ] (7.2.14) 1⁄ 1⁄ 1⁄ + + + ⋯ 𝑍𝑒𝐼 𝑍𝑒𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼𝐼𝐼 De la ecuación (7.2.14) se despeja la corriente por el transformador 𝑇𝐼 y se obtiene:

𝐼𝐼 =

𝐼𝑐 [1⁄

1

1 1 𝑍𝑒𝐼 + ⁄𝑍𝑒𝐼𝐼 + ⁄𝑍𝑒𝐼𝐼𝐼 +⋯

]

𝑍𝑒𝐼

(7.2.15)

Se sustituye la ecuación en (7.2.8) en la (7.2.15) y se obtiene la misma, en función del por ciento de impedancia, o sea:

𝐼𝐼 =

1 ] 𝐼𝐼𝐼𝑁 𝐼 ⁄%𝑍 + 𝐼𝐼𝐼𝑁⁄%𝑍 +⋯ %𝑍𝐼 + 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 %𝑍𝐼

𝐼𝑐 [𝐼𝐼𝑁 ⁄

(7.2.16)

𝐼𝐼𝑁

La ecuación (7.2.16) se puede escribir en forma generalizada el transformador k :

𝐼 1 𝐼𝑘 = ( 𝑘𝑁 ) (𝐼𝑐 ) 𝐼𝐼𝑁 𝐼 𝐼 %𝑍𝑘 ⁄%𝑍 + 𝐼𝐼𝑁⁄%𝑍 + 𝐼𝐼𝐼𝑁⁄%𝑍 + ⋯ 𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 [ ]

(7.2.17)

Figura 7.2.10 Circuito equivalente para k transformadores en paralelo. Donde: 𝐼𝑘 - Corriente que suministra el transformador k 𝐼𝑐 − Corriente demandada por la carga. %𝑍𝐼 , %𝑍𝐼𝐼 , … . %𝑍𝑘 Por ciento de impedancias de los transformadores I, II, … k respectivamente 𝐼𝐼𝑁, 𝐼𝐼𝐼𝑁 , 𝐼𝑘𝑁 ….- Corrientes nominales de los transformadores I, II,……k respectivamente. Al multiplicar las corrientes en la ecuación (7.2.17) por el voltaje V2 común a todos los transformadores y la carga, se obtiene la misma en función de las potencias aparente:

𝑆 1 𝑆𝑘 = ( 𝑘𝑁 ) (𝑆𝑐 ) (7.2.18) 𝑆𝐼𝑁 𝑆𝐼𝐼𝑁 𝑆𝐼𝐼𝐼𝑁 %𝑍𝑘 ⁄%𝑍 + ⁄%𝑍 + ⁄%𝑍 + ⋯ 𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 [ ] La ecuación (7.2.18) se puede escribir en forma compacta mediante: 𝑆 1 𝑆𝑘 = ( 𝑘𝑁 ) (𝑆𝑐 ) [ ] 𝑆𝑛 %𝑍𝑘 ∑𝑘 ( ) 𝑛 = 1 %𝑍

(7.2.19)

𝑛

La ecuación (7.2.19) permite determinar, para una potencia 𝑆𝑐 demandada por la carga, que carga suministra cada uno de los transformadores del banco en paralelo conociéndose sus capacidades nominales y sus por cientos de impedancias. 𝑆𝑘 − Potencia suministrada por el transformador k 𝑆𝑐 − Potencia demandada por la carga.

𝑆𝐼𝑁 , 𝑆𝐼𝐼𝑁 , … 𝑆𝑘𝑁 -Potencias respectivamente n- Variable de conteo

nominales

de

los

transformadores

I,

II,

……k

Ejemplo 7.2.3 Tres transformadores 𝑇𝐼 y 𝑇𝐼𝐼 𝑦 𝑇𝐼𝐼𝐼 se conectan en paralelo para formar un banco. Los mismos presentan los siguientes datos. Transformador 𝑇𝐼 : S=1000 kVA %𝑍𝐼 = 4 % Transformador 𝑇𝐼𝐼 : S= 250 kVA%𝑍𝐼𝐼 = 2 % Transformador 𝑇𝐼𝐼𝐼 : S= 500 kVA%𝑍𝐼𝐼 = 2.5 % Determine la potencia que suministra cada uno de los transformadores si la carga pedida es igual a 𝑆𝑐 = 1200 𝑘𝑉𝐴. Resolución. En este caso como se tienen tres transformadores se cumple que k=3. Primeramente se determinara la siguiente sumatoria con la variable de conteo n=1 hasta 3, o sea: 3 𝑆𝑛 1000 250 500 ∑ = + + = 250 + 125 + 200 = 575 %𝑍𝑛 4 2 2.5 1 Además se cumple: 1 1 (𝑆𝑐 ) [ (1200) ] = = 2.086 𝑆𝑛 575 ∑𝑘 ( ) 𝑛 = 1 %𝑍𝑛 El valor anterior se mantiene constante para el cálculo de la potencia de cualquier transformador. Sustituyendo valores en la ecuación (7.2.19) se cumple: Para el transformador 𝑻𝑰 : 𝑆𝐼 = (

1000 ) (2.086) = 521.5 𝑘𝑉𝐴 4

Para el transformador 𝑻𝑰𝑰 : 𝑆𝐼𝐼 = (

250 ) (2.086) = 260.75 𝑘𝑉𝐴 2

Para el transformador 𝑻𝑰𝑰𝑰 : 500 ) (2.086) = 417.2 𝑘𝑉𝐴 2.5 Puede comprobarse que la suma de los kVA suministrados por cada transformador, es igual a la suma de los kVA demandados por la carga, o sea: 𝑆𝐼𝐼𝐼 = (

𝑆𝐼 + 𝑆𝐼𝐼 + 𝑆𝐼𝐼𝐼 = 521.5 + 260.75 + 417.2 = 1199.45 ≈ 1200 𝑘𝑉𝐴 A pesar de que la carga demandada es inferior a la suma de las potencias nominales de los tres transformadores, el transformador 𝑇𝐼𝐼 se sobre carga, lo cual se debe a un no adecuado valor de los %Z. Ecuaciones generales para determinar la carga máxima que se puede suministrar a partir de los datos de cada transformador. Como se planteó anteriormente, en la operación en paralelo, el transformador que presente menor por ciento de impedancia es el que limita la operación. Par las ecuaciones que se determinarán seguidamente se considera que el transformador 𝑇𝐼 es el de menor por ciento de impedancia, por tanto es el que limita la operación en paralelo, es decir que opera a plena carga y los demás, por tanto subcargados. La potencia total que pueden suministrar dos transformadores se determina mediante la ecuación (7.2.5) la cual generalizada para k transformadores se convierte en: 𝑆𝑐 = 𝑆𝐼 + 𝑆𝐼𝐼 + ⋯ 𝑆𝑘 (7.2.20) Donde: 𝑆𝐼 , 𝑆𝐼𝐼 ,….𝑆𝑘 - Potencia aparente de los transformados I, II,…..k Al considerar el transformador 𝑇𝐼 operando en su condición nominal, los demás transformadores entregarán la siguiente potencia, de acuerdo con la ecuación (7.2.9): %𝑍𝐼 𝑆𝐼𝐼 = 𝑆𝐼𝐼𝑁 ( ) (7.2.21) %𝑍𝐼𝐼 En general, siguiendo igual procedimiento se cumple para el transformador k: %𝑍𝐼 𝑆𝑘 = 𝑆𝑘𝑁 ( ) %𝑍𝑘

(7.2.22)

Donde: 𝑆𝐼𝐼𝑁 - Potencia aparente nominal del transformador II %𝑍𝑘 - Por ciento de impedancia del trasformador k. Se sustituye la ecuación (7.2.22) en la (7.2.20) y se obtiene: %𝑍𝐼 %𝑍𝐼 %𝑍𝐼 𝑆𝑐 = 𝑆𝐼𝑁 + 𝑆𝐼𝐼𝑁 + 𝑆𝐼𝐼𝐼𝑁 + ⋯ 𝑆𝑘𝑁 + ⋯ (7.2.23) %𝑍𝐼𝐼 %𝑍𝐼𝐼𝐼 %𝑍𝑘 𝑘

𝑆𝑛 𝑆𝑐 = 𝑆𝐼𝑁 + %𝑍𝐼 [∑ ] %𝑍 𝑛=2

𝑛

(7.2.24)

Donde n= 2 hasta k Ejemplo 7.2.4: Se quiere formar un banco en paralelo con los tres transformadores dados en el ejemplo 7.2.3. Determine: a) Los kVA máximo que se le pueden suministrar a una carga sin que se sobrecargue ningún transformador. b) Los kVA que suministra cada transformador para las condiciones del inciso anterior. Resolución a) En este caso se tomará como el transformador 𝑇𝐼 el de menor por ciento de impedancia con el objetivo de aplicar la ecuación (7.2.24), o sea, el de 250 kVA. Además como hay tres transformadores, k=3. Como transformadores 𝑇𝐼𝐼 y 𝑇𝐼𝐼𝐼 se pueden considerar cualesquier de los restantes. Organizando los datos se tomarán como se muestran: Transformador 𝑇𝐼 : S= 250 kVA %𝑍𝐼𝐼 = 2 % Transformador 𝑇𝐼𝐼 : S=1000 kVA %𝑍𝐼 = 4 % Transformador 𝑇𝐼𝐼𝐼 : S= 500 kVA %𝑍𝐼𝐼 = 2.5 % Primeramente determinaremos la sumatoria: 𝑘

[∑ 𝑛=2

𝑆𝑛 1000 500 ]= + = 250 + 200 = 450 %𝑍𝑛 4 2.5

Sustituyendo el valor anterior en la ecuación (7.2.24) se obtiene: 𝑆𝑐 = 250 + 2(450)=1150 kVA b) Para calcular la potencia que entrega cada transformador se aplica la ecuación (7.2.19). Para ellos determinaremos de nuevo la siguiente constante conociendo que en este caso la potencia entregada a la carga es igual 1150 kVA: 1 1 (𝑆𝑐 ) [ ] = (1150) =2 𝑆 𝑛 575 ∑𝑘 ( ) 𝑛 = 1 %𝑍𝑛 Con el valor hallado anteriormente, aplicando la ecuación (7.2.19) se obtiene: Para el transformador 𝑻𝑰 : 250 ) (2) = 250 𝑘𝑉𝐴 2 Para el transformador 𝑻𝑰𝑰 : 𝑆𝐼 = (

𝑆𝐼𝐼 = (

1000 ) (2) = 500 𝑘𝑉𝐴 4

Para el transformador 𝑻𝑰𝑰𝑰 : 𝑆𝐼𝐼 = (

500 ) (2) = 400 𝑘𝑉𝐴 2.5

Obsérvese que el transformador 𝑇𝐼 opera en condiciones nominales, según se tomó como punto de partida y los transformadores 𝑇𝐼𝐼 y 𝑇𝐼𝐼𝐼 operan subcargados. Además para la distribución de carga entre cada transformador se comprueba que la suma de los kVA suministrados por cada transformador es igual a la carga pedida, o sea: 𝑆𝐼 + 𝑆𝐼𝐼 + 𝑆𝐼𝐼𝐼 = 250 + 500 + 400 = 1150 𝑘𝑉𝐴 Ejemplo 7.2.5 Confeccione un programa en Matlab que permita determinar el comportamiento de transformadores en paralelo. El programa debe presentar las siguientes dos opciones: a) Determinar la carga a suministrar máxima sin que se sobrecargue ningún elemento del banco. b) Determinar la potencia que suministra cada transformador para una carga dada. Resolución. A continuación se muestra el código del programa confeccionado. El programa se ha salvado en un fichero con el nombre: PARALELO_I CÓDIGO EN MATLAB % TRANSFORMADORES EN PARALELO % TRANSFORMADORES EN PARALELO CON IGUAL RELACION X/R %ARCHIVO: PARALELO_I % EJEMPLO: 7.2.5 OPCIONES=menu('SELECCIONE','POTENCIA DE CADA TRANSFORMAD0R','CARGA A SUMINISTRAR') k=input('Numero de transformadores en parlelo k ='); for n=1:k disp('Potencia del transformador No') n S(n)=input('Potencia del transformador kVA='); PCZ(n)=input('Por ciento de impedancia %Z='); clc end clc switch OPCIONES case1 Sc=input('Potencia aparente demandada por la carga (kVA) Sc=') R=Sc/(sum(S./PCZ)); for n=1:k

Sk(n)=(S(n)/PCZ(n))*R; end for n=1:k disp('Transformador No.') n disp('kVA del transformador') Sk(n) end case 2 clc for n=2:k SS(n)=S(n); PCZZ(n)=PCZ(n); end RR=sum(S(2:k)./PCZ(2:k)); Sc=S(1)+PCZ(1)*RR; disp('La potencia que se puede sumistrar a la carga es igual a (kVA)') Sc R=Sc/(sum(S./PCZ)); for n=1:k Sk(n)=(S(n)/PCZ(n))*R; end for n=1:k disp('Transformador No.') n disp('kVA del transformador') Sk(n) end end Datos de entrada al programa. De acuerdo con el código del programa se observa que se utiliza un menú para seleccionar las dos variantes que se dan en el enunciado. Esto aparece en la ventana de comandos como se nuestra en la siguiente figura (7.2.11), de la cual el usuario debe dar un clic derecho en la opción que desee. Para cualquiera de las dos variantes se piden los datos siguientes, para cada uno de los transformadores. OPCIONES = 1 Numero de transformadores en paralelo k =3 Potencia del transformador No n 0 1 Potencia del transformador kVA=250 Por ciento de impedancia %Z=2

Figura 7.2.11. Menú de selección de las variantes. Para la variante (b) se pide como dato la potencia demandada por la carga. Resultados obtenidos del programa. El programa fue corrido con los datos de los ejemplos 7.2.3 y 7.2.4 Variante a Sc = 1200 Transformador No. N = 1 kVA del transformador ans = 521.7391 Transformador No. N = 2 kVA del transformador ans = 260.8696 Transformador No. N = 3 kVA del transformador ans = 417.3913 Variante b La potencia que se puede sumistrar a la carga es igual a (kVA) Sc = 1150 Transformador No. n = 1 kVA del transformador ans = 250 Transformador No. n = 2 kVA del transformador ans = 500 Transformador No .n= 3 kVA del transformador ans = 400

Ejemplo 7.2.6 Confeccione un programa en Matlab que permita determinar en forma gráfica la potencia que entrega cada uno de los transformadores del ejemplo (7.2.3) considerando como variable independiente la potencia de la carga. Resolución A continuación se muestra el código en Matlab del programa elaborado. El mismo ha sido guardado en un fichero con el nombre de PARALELO_II. CÓDIGO EN MATLAB. %ARCHIVO: PARALELO_II % EJEMPLO: 7.2.6 clearall k=3; SN=[1000 250 500 ];% POTENCIAS NOMINALES DE LOS TRANSFORMADORES PCZ=[4 2 2.5 ] % POR CIENTO DE IMPEDANCIAS DE LOS TRANSFORMADORES. Sc=0:10:1200; R=(sum(SN./PCZ)); for n=1: k for J=1:length(Sc) S(n,J)=Sc(J).*(SN(n)./PCZ(n))./R; end end plot(Sc,S,'-*') title('POTENCIA DE CADA TRANSFORMADOR VS POTENCIA PEDIDA POR LA CARGA.') gridon xlabel ('POTENCIA PEDIDA POR LA CARGA SC (kVA)'); ylabel('POTENCIA POR CADA TRANFORMADOR'); legend(' TRANSFORMADOR TI','TRANSFORMADOR TII','TRANSFORMADOR TIII') set(gca,'color',[1 1 0.7]) set(gca,'XGrid','on','YGrid','on')

RESULTADOS OBTENIDOS En la figura (7.2.12) se muestran los resultados gráficos obtenidos. Como se indica cuando la carga pedida presenta el valor Sc= 1150 kVA el transformador TII de menor porciento de impedancia opera en condiciones nominales y los demás subcargados, lo que coincide con los resultados obtenidos en el ejemplo (7.2.5).

Figura 7.2.12: Resultados del ejemplo 7.2.6 Iguales relaciones X/R La condición de que las relaciones X/R sean iguales en los transformadores a operar en paralelo, es también una condición de operación óptima, lo mismo que se explicó referente a iguales por cientos de impedancias. Es decir que si no se cumple la condición, se pueden operar los transformadores en paralelo, aunque no se puede aprovechar totalmente sus potencias nominales instaladas. Para entender este aseveración se parte del circuito equivalente y su diagrama fasorial correspondiente mostrados en la figura (7.2.13). En este diagrama fasorial se ha tomado como referencia el voltaje 𝑉2 aplicado a la carga, además se ha supuesto relaciones X/R diferentes en los transformadores. Esto implica que las corrientes 𝐼𝐼 e 𝐼𝐼𝐼 estén desfasadas. Los ángulos de cada una de las impedancias están dados por: 𝐗 𝛉𝐈 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( 𝐞𝐈 ) 𝐑 𝐞𝐈 𝐗 𝛉𝐈𝐈 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( 𝐞𝐈𝐈 ) 𝐑 𝐞𝐈𝐈

(𝟕. 𝟐. 𝟐𝟓)

(𝟕. 𝟐. 𝟐𝟔)

Obsérvese que de los triángulos de impedancias de los dos transformadores se obtiene que sus caídas de voltajes por resistencias se encuentran desfasadas un ángulo igual a la diferencia, según se expresa en la ecuación (7.2.27). 𝜃 = 𝜃𝐼 − 𝜃𝐼𝐼

(7.2.27)

Puesto que las corrientes 𝐼𝐼 e 𝐼𝐼𝐼 están en fase con sus caídas por resistencia, entonces las corrientes también está desfasadas el ángulo 𝜃. Esto implica que la corriente que se le suministra a la carga está dada por la suma fasorial de las corrientes por cada uno de los transformadores, lo que indica por el desfasaje que presentan las mismas, que su resultante sea inferior a su suma aritmética, lo que significa un aprovechamiento no óptimo de la capacidad del banco. Por ejemplo si las corrientes nominales de los transformadores presentan los valores 𝐼𝐼 = 50 (𝐴) 𝑒 𝐼𝐼𝐼 = 100 (𝐴) si las mismas se encontraran en fase, la resultante hacia la carga sería igual a 150 (A). Sin embargo si están desfasadas, esta suma es inferior a 150 A. Lo anterior nos indica que para un aprovechamiento óptimo de la capacidad del banco las relaciones X/R de cada transformador deben ser iguales, con ello las corrientes por cada una de las ramas paralela del circuito equivalente no presentan desfasaje. De acuerdo con el diagrama fasorial, la corriente que se le suministra a la carga se determina mediante la ecuación (7.2.28): 2 2 𝐼𝑐 = √(𝐼𝐼 ) + (𝐼𝐼𝐼 ) + 2(𝐼𝐼 )(𝐼𝐼𝐼 )𝑐𝑜𝑠(𝜃)

(7.2.28)

Si la ecuación (7.2.28) se multiplica por el voltaje 𝑉2 en ambos miembros se obtiene la ecuación de potencia (7.2.29) 2 2 𝑆𝑐 = √(𝑆𝐼 ) + (𝑆𝐼𝐼 ) + 2(𝑆𝐼 )(𝑆𝐼𝐼 )𝑐𝑜𝑠(𝜃) (7.2.29) En la tabla (7.2.1) se muestran valores tipos de relación X/R de transformadores, en función de su potencia.

Potencia nominal 5 a 500 kVA 500 a 1000 kVA Relación X/R 1a5 5 a 10 Tabla 7.2.1: Valores tipos de relación X/R

1 MVA a 10 MVA 10 a 30

∆𝑽 = 𝑰𝑰 𝒁𝒆𝑰 = 𝑰𝑰𝑰 𝒁𝒆𝑰𝑰

𝛉𝐈

𝐼𝐼 𝑋𝑒𝐼

V2

𝛉𝟐

𝐕𝟏 𝐚

𝛉𝐈𝐈

𝐼𝐼 𝑅𝑒𝐼

𝐼𝐼𝐼

𝐼𝐼𝐼 𝑋𝑒𝐼𝐼

𝐼𝐼𝐼 𝑅𝑒𝐼𝐼

𝐼𝐼

𝛉 = 𝛉𝐈 − 𝛉𝐈𝐈 𝐼𝑐 𝛉 = 𝛉𝐈 − 𝛉𝐈𝐈

(b)

Figura 7.2.13: (a) Circuito equivalente (b) diagrama fasorial para transformadores con diferente relación X/R

Ejemplo 7.2.7 Repita los incisos a, b ,c y d del ejemplo 7.2.2, considerando que los transformadores tienen las siguientes relaciones X/R: 𝐗 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑇𝐼 : 𝐞𝐈⁄𝐑 = 10 𝐞𝐈 𝐗 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑇𝐼𝐼 : 𝐞𝐈𝐈⁄𝐑 =2 𝐞𝐈𝐈 Resolución a) La distribución de carga entre cada transformador solamente depende de los porcientos de impedancia por lo que se mantiene igual a la obtenida en el ejemplo 7.2.2 , sea: 𝑆𝐼 = 2𝑆𝐼𝐼 b) Puesto que el transformador 𝑇𝐼𝐼 presenta el menor por ciento de impedancia, es el que limita la operación , así al aplicar la ecuación (7.2.9) se obtuvo : 𝑆𝐼𝐼 = 250 𝑘𝑉𝐴𝑆𝐼 = 500 𝑘𝑉𝐴 Estos resultados son independientes de la relación X/R de los transformadores, es decir, la distribución de la carga entre cada transformador solamente depende de sus porcientos de impedancias. Sin embargo la resultante que se le suministra a la carga, en este caso es diferente. Para ello de las ecuaciones (7.2.25), (7.2.26) y (7.2.27) se obtiene: θI = tan−1 (10) =84.29° θII = tan−1 (2) = 63.43 𝜃 = 84.29 − 63.43 = 20.86° La potencia que se le suministra a la carga, se determina de la ecuación (7.2.29): 𝑆𝑐 = √(500)2 + (250)2 + 2(500)(250)𝑐𝑜𝑠(20.86) = 739 𝑘𝑉𝐴 De acuerdo con el resultado anterior la potencia que se le puede suministrar a la carga se reduce de 750 kVA a 738.99kVA. Debe destacarse que la reducción experimentada no es significativa, aunque en este caso se ha considerado una gran diferencia entre las relaciones X/R de los transformadores, mayor a la encontrada en la práctica. Por ello, este efecto puede ser despreciado y por tanto considerar que las corrientes y kVA de cada transformador pueden ser sumados aritméticamente. c) Aplicando la ecuación (7.2.29) y conociendo que 𝑆𝐼 = 2𝑆𝐼𝐼 se obtiene: 2 2 1250 = √(2𝑆𝐼𝐼 ) + (𝑆𝐼𝐼 ) + 2(2𝑆𝐼𝐼 )(𝑆𝐼𝐼 )𝑐𝑜𝑠(20.86) 2 2 1250 = √5(𝑆𝐼𝐼 ) + 3.7378 (𝑆𝐼𝐼 ) = 𝑆𝐼𝐼 √8.7378

𝑆𝐼𝐼 =

1250 √8.7378

= 422.86 𝑘𝑉𝐴

En estas condiciones el transformador 𝑇𝐼 suministra: 𝑆𝐼 = 2(422.86) = 845.72 𝑘𝑉𝐴 Los resultados anteriores indican que para la carga pedida, el transformador TII opera sobrecargado. Ecuaciones generales para determinar la carga de cada transformador para una carga total demanda para transformadores con diferente relación X/R Cuando se operan más de dos transformadores en paralelo resulta conveniente determinar ecuaciones generales para determinar el comportamiento del banco. Para ello se partirá del circuito equivalente de la figura (7.2.10) generalizado para k transformadores En el mismo se cumplen que la caída de voltaje en la impedancia está dada por: ∆𝑉 = 𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼 = 𝐼𝑐 𝑍𝑒𝑞

(7.2.30)

Debe destacarse que en la ecuación (7.2.30) tanto las impedancias como las corrientes corresponden a sus valores modulares independientemente de que las impedancias presenten diferentes relaciones X/R. El valor modular de la impedancia equivalente se determina mediante la ecuación (7.2.31): 1 𝑍𝑒𝑞 = 𝑎𝑏𝑠 [ ] 1⁄ 1⁄ 1⁄ + + + ⋯ 𝑍𝑒𝐼 < 𝜃𝐼 𝑍𝑒𝐼𝐼 < 𝜃𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼𝐼𝐼 < 𝜃𝐼𝐼𝐼

(7.2.31)

Obsérvese que en la ecuación (7.2.31) se determina el valor absoluto o módulo de la impedancia equivalente encerrada dentro de corchetes. De la ecuación (7.2.30) se despeja la corriente por el transformador 𝑇𝐼 y se obtiene:

𝐼𝐼 =

1 ] 1⁄ 1 + 𝑍𝑒𝐼<𝜃𝐼 𝑍𝑒𝐼𝐼<𝜃𝐼𝐼 + ⁄𝑍𝑒𝐼𝐼𝐼<𝜃𝐼𝐼𝐼 +⋯

𝐼𝑐 𝑎𝑏𝑠 [1 ⁄

𝑍𝑒𝐼

(7.2.32)

Se sustituye la ecuación en (7.2.8) en la (7.2.32) y se obtiene la misma en función del por ciento de impedancia, o sea:

𝐼𝑐 𝑎𝑏𝑠 [𝐼𝐼𝑁<−𝜃𝐼 𝐼𝐼 =

%𝑍𝐼

1 +

𝐼𝐼𝐼𝑁 <−𝜃𝐼𝐼 𝐼 <−𝜃𝐼𝐼𝐼 + 𝐼𝑁 %𝑍𝐼𝐼 %𝑍𝐼𝑖𝑖

%𝑍𝐼 𝐼𝐼𝑁

+⋯

] (7.2.33)

La ecuación (7.2.33) se puede escribir en forma generalizada para k transformadores como:

𝐼 1 𝐼𝑘 = ( 𝑘𝑁 ) (𝐼𝑐 )𝑎𝑏𝑠 𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑁 < −𝜃 %𝑍𝑘 𝐼𝑁 < −𝜃𝐼 𝐼𝐼𝐼𝑁 < −𝜃𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼⁄ ⁄ ⁄%𝑍 + %𝑍𝐼 + %𝑍𝐼𝐼𝐼 + ⋯ 𝐼𝐼 [ ]

(7.2.34)

Al multiplicar las corrientes en la ecuación (7.2.34) por el voltaje V2 común a todos los transformadores y la carga, se obtiene la misma en función de las potencias aparente:

𝑆 1 𝑆𝑘 = ( 𝑘𝑁 ) (𝑆𝑐 )𝑎𝑏𝑠 𝑆 𝑆𝐼𝐼𝐼𝑁 < −𝜃 %𝑍𝑘 𝐼𝐼𝑁 < −𝜃𝐼𝐼 𝑆𝐼𝑁 < −𝜃𝐼 𝐼𝐼𝐼⁄ ⁄ ⁄%𝑍 + + %𝑍 %𝑍𝐼𝐼𝐼 + ⋯ 𝐼 𝐼𝐼 [ ]

(7.2.35)

La ecuación (7.2.35) se puede escribir en forma compacta mediante: 𝑆 1 𝑆𝑘 = ( 𝑘𝑁 ) (𝑆𝑐 )𝑎𝑏𝑠 [ ] 𝑆𝑛 <−𝜃𝑛 %𝑍𝑘 ∑𝑘 ( ) 𝑛 = 1 %𝑍

(7.2.36)

𝑛

La ecuación (7.2.36) constituye la forma general de la (7.2.19). La ecuación (7.2.36) permite determinar, para una potencia 𝑆𝑐 demandada por la carga, la que suministra cada uno de los transformadores del banco en paralelo, conociéndose sus capacidades nominales y sus por cientos de impedancias y con diferentes relaciones X/R. Es importante destacar que en las ecuaciones anteriores los ángulos 𝜃𝐼 , 𝜃𝐼𝐼 , … . . 𝜃𝑘 son los correspondientes a las impedancias de cada uno de los transformadores y que éstos son también los que forman las corrientes respecto a la caída ∆𝑉, común a cada uno de los transformadores Ecuaciones generales para determinar la carga máxima que se puede suministrar a partir de los datos de cada transformador con diferentes relaciones X/R Como se planteó anteriormente, en la operación en paralelo, el transformador que presente menor por ciento de impedancia es el que limita la operación. Par las ecuaciones que se determinarán seguidamente se considera que el transformador 𝑇𝐼 es el de menor por ciento de impedancia, por tanto es el que limita la operación en paralelo, es decir que opera a plena carga y los demás, por tanto subcargados. La potencia aparente que se le puede suministrar a la carga se determina mediante la siguiente ecuación. La potencia total que pueden suministrar los k transformadores se determina mediante la ecuación (7.2.20) la cual generalizada para k transformadores y con diferente relación X/R se convierte en: 𝑆𝑐 = 𝑆𝐼 < 𝜃 + 𝑆𝐼𝐼 < 𝜃𝐼𝐼 + ⋯ 𝑆𝑘 < 𝜃𝑘 (7.2.37) 𝐼

Donde: 𝑆𝐼 , 𝑆𝐼𝐼 ,….𝑆𝑘 - Potencia aparente de los transformados I, II, k 𝜃𝐼 , 𝜃𝐼𝐼, … … . 𝜃𝑘 - Angulo de la impedancia de cada transformador. Los ángulos expresados anteriormente, son también los que forman las corrientes respecto a la caída por impedancia ∆𝑉 .Por ello para determinar la suma fasorial de estas corrientes o sus potencias, es necesario emplear estos ángulos, considerando como referencia la caída de voltaje común ∆𝑉 Al considerar el transformador 𝑇𝐼 operando en su condición nominal, los demás transformadores entregarán la siguiente potencia, de acuerdo con la ecuación (7.2.9): %𝑍𝐼 𝑆𝐼𝐼 = 𝑆𝐼𝐼𝑁 ( ) (7.2.38) %𝑍𝐼𝐼 En general, siguiendo igual procedimiento se cumple para el transformador k: %𝑍𝐼 𝑆𝑘 = 𝑆𝑘𝑁 ( ) (7.2.39) %𝑍𝑘 Donde: 𝑆𝐼𝐼𝑁 - Potencia aparente nominal del transformador II %𝑍𝑘 - Por ciento de impedancia del trasformador k. Se sustituye la ecuación (7.2.39) en la (7.2.37) y se obtiene, el siguiente valor modular: 𝑆𝑐 = 𝑎𝑏𝑠 (𝑆𝐼𝑁 < 𝜃 + 𝑆𝐼𝐼𝑁 𝐼

%𝑍𝐼 < 𝜃 %𝑍𝐼 < 𝜃𝑘 %𝑍𝐼 < 𝜃𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 + ⋯ 𝑆 + 𝑆𝐼𝐼𝐼𝑁 𝑘𝑁 %𝑍𝐼𝐼 %𝑍𝐼𝐼𝐼 %𝑍𝑘

+ ⋯ ) (7.2.40) En forma general la ecuación anterior se puede escribir mediante. 𝑘

𝑆𝑛 < 𝜃𝑛 𝑆𝑐 = 𝑎𝑏𝑠(𝑆𝐼𝑁 < 𝜃𝐼 + %𝑍𝐼 [∑ ]) (7.2.42) %𝑍𝑛 𝑛=2

Donde n= 2 hasta k La ecuación (7.2.42) constituye la forma general de la ecuación (7.2.24). Ejemplo 7.2.8 Dos transformadores 𝑇𝐼 y 𝑇𝐼𝐼 se conectan en paralelo para formar un banco. Los mismos presentan los siguientes datos. 𝐗 𝐞𝐈 Transformador 𝑇𝐼 : S= 250 kVA %𝑍𝐼 = 2 % ⁄𝐑 = 2 𝐞𝐈

Transformador 𝑇𝐼𝐼 : S=1000kVA

%𝑍𝐼𝐼 = 4 %

𝐗 𝐞𝐈𝐈 ⁄𝐑 = 10 𝐞𝐈𝐈

Calcule, mediante las ecuaciones generales (7.2.36) y (7.2.42): a) La máxima carga que se puede suministrar sin que se sobre cargue ningún elemento del banco. b) Si se demanda una carga de 1250kVA, como se repartiría ésta entre cada uno de los transformadores. Resolución a) Para que no se sobrecargue ninguno de los elementos del banco, como se explicó anteriormente, se considera que el transformador de menor porciento de impedancia opera en condiciones nominales. De acuerdo con esto, el transformador 𝑇𝐼 operará en condiciones nominales. Los ángulos de las impedancias están dados de acuerdo con las ecuaciones (7.2.5) y (7.2.69): X θI = tan−1 ( eI ) = tan−1 (2) = 63.43° R eI X θII = tan−1 ( eII ) = tan−1 (10) = 84.29° R eI Aplicando la ecuación (7.2.42) conociendo que en este caso k=2 queda: 𝑆𝑐 = 250 < 63.43° +

(1000)(2 < 84.29°) (7.2.42) 4

𝑆𝑐 = 250[cos(63.43 + 𝑗𝑠𝑖𝑛(63.43)] + 500[cos(84.29 + 𝑗𝑠𝑖𝑛(84.29)] 𝑆𝑐 = 111.8227 + 𝑗223.5971 +49.7467+j497.5121=161.5694+j721.11 𝑆𝐶 = √161.59642 + 721.112 = 739 𝑘𝑉𝐴 b) Aplicando la ecuación (7.2.36) se obtiene: Para el transformador TI:

𝑆𝐼 = (

250 1 ) (1250)𝑎𝑏𝑠 [250<−63.43 1000<−84.29] 2 + 2

𝑆𝐼 = 156250𝑎𝑏𝑠 [

4

1 ] 55.9114 − 𝑗111.7986 + 24.8734 − 𝑗248.7596

𝑆𝐼 = 156250𝑎𝑏𝑠 [

1 ] 80.7848 − 𝑗360.5592

1 𝑆𝐼 = 156250𝑎𝑏𝑠 ( ) 369.4985 < −77.37° 𝑆𝐼 = 156250𝑎𝑏𝑠(0.002705 < 77.37°) = (156250 )(0.002705) = 422.7 𝑘𝑉𝐴 Si se aplica la ecuación (7.2.36) se obtiene para el transformador TII: 𝑆𝐼𝐼 = 845.7 𝑘𝑉𝐴 Ejemplo 7.2.9 Confeccione un programa en Matlab que permita determinar el comportamiento de transformadores en paralelo que considere diferentes relaciones X/R. Resolución A continuación se muestra el código en Matlab del programa elaborado. El mismo ha sido guardado en un fichero con el nombre de PARALELO_III. CÓDIGO EN MATLAB TRANSFORMADORES EN PARALELO CON DIFERENTE RELACIÓN X/R %ARCHIVO: PARALELO_III % EJEMPLO: 7.2.9 OPCIONES=menu('SELECCIONE','POTENCIA DE CADA TRANSFORMAD0R PARA UNA CARGA Sc PEDIDA','CARGA A SUMINISTRAR Sc PARA NO SOBRECARGAR NINGUN TRANSFPORMADOR') % OPCION 1: DETERMINACION DE LA DISTTRIBUCIÓN DE POTENCIA QUE ENTREGA CADA TRASNFORMADOR % PARA UNA CARGA DEMANDADA Sc DADA COMO DATO. % OPCION 2: DETERMINACIÓN DE LA CARGA Sc QUE SE PUEDE SUMINISTRAR % A PARTIR DE LA POTENCIA NOMINAL DE CADA TRANSFORMADOR, SIN SOBRECARGAR % NINGÚN ELEMENTO DEL BANCO. k=input('Numero de transformadores en parlelo k ='); for n=1:k disp('Potencia del transformador No') n S(n)=input('Potencia del transformador kVA='); PCZ(n)=input('Por ciento de impedancia %Z=');

XR(n)=input('Relación X/R=') Cita(n)=atand(XR(n)); Scom(n)=S(n)*(cosd(Cita(n))+sind(-Cita(n))*i); % Potencia compleja clc end clc switch OPCIONES case 1 % DISTRIBUCION DE LA CARGA ENTRE CADA TRANSFORMADOR CONOCIENDO Sc Sc=input('Potencia aparente demandada por la carga (kVA) Sc=') R=Sc/(abs(sum(Scom./PCZ))); for n=1:k Sk(n)=(S(n)/PCZ(n))*R; % ECUACIÓN (7.2.36) end for n=1:k disp('Transformador No.') n disp('kVA del transformador') Sk(n) end case 2 % DETERMINACION DE Sc SIN SOBRECARGAR NINGUN TRANSFORMADOR. clc for n=2:k SS(n)=S(n); PCZZ(n)=PCZ(n); Cita(n)=atand(XR(n)); Scom(n)=S(n)*(cosd(Cita(n))+sind(-Cita(n))*i); % Potencia compleja end RR=sum(Scom(2:k)./PCZ(2:k)); Sc=abs(Scom(1)+PCZ(1)*RR); % ECUACIÓN (7.2.42) disp('La potencia que se puede sumistrar a la carga es igual a (kVA)') Sc R=Sc/(abs(sum(Scom./PCZ)));

for n=1:k Sk(n)=abs(S(n)/PCZ(n))*R; end for n=1:k disp('Transformador No.') n disp('kVA del transformador') Sk(n) end end RESULTADOS OBTENIDOS El programa fue corrido con tres transformadores con los siguientes datos. Transformador 𝑇𝐼 : S= 250 kVA%𝑍𝐼 = 2 % X/R=2 Transformador 𝑇𝐼𝐼𝐼 : S= 500 kVA%𝑍𝐼𝐼 = 2.5 % X/R=5 Transformador 𝑇𝐼𝐼𝐼 : S=1000 kVA%𝑍𝐼𝐼𝐼𝐼 = 4 %X/R=10 De la corrida al programa se obtuvieron los siguientes resultados. a) Carga a suministrar sin sobrecargar ningún elemento del banco: Sc=1138.9 kVA SI=250 kVAkVA SII=400 kVAkVA SII=500 kVAkVA b) Distribución de la carga entre cada transformador para una carga pedida igual a: Sc=1600 kVA. SI=351.2 kVA SII=561.9kVA SIII=702.41 kVA 7.3 Regulación de voltaje de transformadores operando en paralelo. Para llevar a cabo los cálculos de caídas de voltajes y la regulación correspondiente, se parte del circuito equivalente y el diagrama fasorial mostrados en la figura (7.2.13), correspondiente a dos transformadores, el cual puede ser generalizado para k transformadores. De esta figura se cumple: V1 = V2 + (Ic < θ2 )(Zeq < θe ) a

(7.3.1)

Donde: 𝑍𝑒𝑞 - Impedancia equivalente paralelo de todos los transformadores. 𝜃𝑒 – Angulo de la impedancia equivalente. 𝐼𝑐 – Corriente por la carga. Ejemplo 7.3.1

Tres transformadores monofásicos 𝑇𝐼 , 𝑇𝐼𝐼 𝑦 𝑇𝐼𝐼𝐼 se conectan en paralelo para formar un banco. Los mismos presentan los siguientes datos. Transformador 𝑇𝐼𝐼 : S= 250 kVA %𝑍𝐼𝐼 = 2 % V1/V2=24000/2400 X/R=2 Transformador 𝑇𝐼𝐼 : S= 500 kVA %𝑍𝐼𝐼 = 2.5 % V1/V2=24000/2400 X/R=5 Transformador 𝑇𝐼𝐼𝐼 : S=1000 kVA %𝑍𝐼𝐼𝐼 = 4 % V1/V2=24000/2400 X/R=10 Determine el voltaje a aplicar por el lado de alta, si se alimenta por el lado de baja una cargas que demanda una potencia a 𝑆𝑐 = 1000 𝑘𝑉𝐴 con un factor de potencia de 0.8 en atraso. Si requiere que el voltaje aplicado a la carga presente el valor V2=2400 V. Resolución. El ejemplo será resuelto con los parámetros referidos al lado de baja. Las impedancias de dispersión de cada uno de los transformadores se puede determinar aplicando la ecuación (6.1.18) obtenida en el capítulo VI. Para el transformador 𝑻𝑰 : (2)(2.42 ) 𝑍𝑒𝐼 = 10 = 0.46 𝑂ℎ𝑚 250 θI = tan−1 (2) = 63.43° Para el transformador 𝑻𝑰𝑰 : 𝑍𝑒𝐼𝐼 = 10

(2.5)(2.42 ) = 0.288 𝑂ℎ𝑚 500

θII = tan−1 (5) = 78.69° Para el transformador 𝑻𝑰𝑰𝑰 : 𝑍𝑒𝐼𝐼𝐼 = 10

(4)(2.42 ) = 0.23 𝑂ℎ𝑚 1000

θIII = tan−1 (10) = 84.29° La impedancia equivalente paralelo de los tres transformadores está dada por: 1 𝑍𝑒𝑞 = [ ] 1⁄ 1⁄ 1⁄ + + 𝑍𝑒𝐼 < 𝜃𝐼 𝑍𝑒𝐼𝐼 < 𝜃𝐼𝐼 𝑍𝑒𝐼𝐼𝐼 < 𝜃𝐼𝐼𝐼 Sustituyendo los valores obtenidos se tiene:

1 𝑍𝑒𝑞 = 1⁄ 1 0.46 < 63.43 + ⁄0.288 < 78.69 + 1⁄ 0.23 < 84.29 [ ] 1 𝑍𝑒𝑞 = [ ] 2.1739 < −63.43 + 3.472 < −78.69 + 4.3478 < −84.29 Expresado en partes reales e imaginarias se obtiene: 1 𝑍𝑒𝑞 = [ ] 0.9724 − 𝑗1.944 + 0.68 − 𝑗3.404 + 0.4319 − 𝑗4.3187 La impedancia equivalente finalmente presenta el valor: 1 1 𝑍𝑒𝑞 = [ = = 0.1011 < 77.835° (𝑂ℎ𝑚)] 2.083 − 𝑗9.6646 9.8866 < −77.835° De la ecuación (7.3.1) se obtiene mediante: Ic =

(1000)(1000) = 416.66 (A) 2400

El ángulo que forma la corriente respecto al voltaje V2 está dado por: 𝜽𝟐 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0.8) = 36.87° De la ecuación (7.3.1) se obtiene: V1⁄ a = 2400 + (416.66 < −36.867)(0.1011 < 77.835) = 2400 + 38.79 < 40.968 V1⁄ a = 2400 + 31.8 − j27.6183 = 2431.8 − j27.6183 = 2432 < −0.65° El voltaje que debe ser aplicado por el lado de alta está dado por: 𝑉1 = 𝑎(2432) = (10)(2432) = 24320 (𝑉) Ejemplo 7.3.2: Confeccione un programa en Matlab que permita determinar el voltaje a aplicar por primario a partir de la potencia de la carga ,su factor de potencia y el voltaje aplicado a la misma, para k transformadores operando en paralelo. Resolución

A continuación se muestra el código en Matlab del programa elaborado. El mismo se ha salvadoen un fichero con el nombre de PARALELO_IV. Para la corrida al programa se han introducido los datos del ejemplo (7.3.1) CODIGO EN MATLAB %ARCHIVO: PARALELO_IV % EJEMPLO: 7.3.2 % PROGRAMA PARA DETERMINAR EL VOLTAJE A APLICAR POR LA FUENTE % PARA OBTENER UN VOLTAJE EN LA CARGA CORRESPONDIENTE A UN BANCO % DE TRANSFORMADORES EN PARALELO % SE CONSIDERA CUALQUIER POR CIENTO DE IMPEDANCIA % Y CUAQUIER RELACIÓN X/R EN LOS TRANSFORMADORES Sc=input('POTENCIA DEMANDADA POR LA CARGA kVA Sc ='); Cita2=input('ANGULO EN GFRADOS QUE FORMA LA CORRIENTE RESPECTO AL VOLTAJE (POSITIVO PARA ATRASO) ='); a=input('RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN DE LOS TRANSFORMADORES a ='); V2=input('VOLTAJE APLICADO A LA CARGA V2(v) ='); V2N=input('VOLTAJE NOMINAL DE LOS TRANSFORMADORES V2(V) ='); kV2=V2N/1000;% PARA CONVERTIR A kV I2=Sc*1000/V2; k=input('NÚMERO DE TRANSFORMADORES EN PARALELO k ='); for n=1:k disp('POTENCIA DEL TRANSFORMADOR No') n SN(n)=input('POTENCIA DEL TRANSFORMADOR kVA='); PCZ(n)=input('POR CIENTO DE IMPEDANCIA %Z='); XR(n)=input('ReLACIÓN R/X DEL TRANSFORMADOR X/R=')

clc end clc for n=1:k Zem(n)=10*PCZ(n)*kV2^2./SN(n);

% MODULO DE LA IMPEDANCIA

Cita(n)=atand(XR(n)); Zec(n)=Zem(n)*(cosd(Cita(n))+sind(Cita(n))*i); % IMPEDANCIA COMPLEJA end Suma=sum(1./Zec); Zeqc=(1/Suma); % IMPEDANCIA EQUIVALENTE PARALELO COMPLEJA Zeqm=abs(Zeqc); Citae=angle(Zeqc)*180/pi; V1c=a*(V2+I2*Zeqm*(cosd(Citae-Cita2)+sind(Citae-Cita2)*i)); V1m=abs(V1c); %MODULO DEL VOLTAJE A APLICAR POR EL LADO DE ALTA. disp('VOLTAJE A APLICAR POR LA FUENTE (V)' ) V1m

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