Transformadas-de-laplace5656.docx

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TRANSFORMADAS DE LAPLACE DemostraciΓ³n de algunas transformadas de Laplace 1. 𝑓(𝑑) = 𝑒(𝑑) Sabiendo que: 𝑒(𝑑) = 0, 𝑠𝑖 𝑑 < 0 Λ„ 𝑒(𝑑) = 1, 𝑠𝑖 𝑑 > 0 Entonces: ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑓(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑒(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 1. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0

𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ ∞ | 𝑠 0

1 𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [ lim 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘ (0) ] 𝑠 π‘‘β†’βˆž 1 𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [0 βˆ’ 1] 𝑠 𝔏 {𝑓(𝑑)} =

1 𝑠

2. 𝑓(𝑑) = 𝑒 π‘Žπ‘‘

∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑓(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0

∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑒 π‘Žπ‘‘ . 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑒 (π‘Žπ‘‘βˆ’π‘ π‘‘) 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑒 (π‘Žβˆ’π‘ )𝑑 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑒 (π‘Žβˆ’π‘ )𝑑 𝑑𝑑 0

𝔏 {𝑓(𝑑)} =

𝔏 {𝑓(𝑑)} =

𝑒 (π‘Žβˆ’π‘ )𝑑 ∞ | π‘Žβˆ’π‘  0

1 [ lim 𝑒 (π‘Žβˆ’π‘ )𝑑 βˆ’ 𝑒 (π‘Žβˆ’π‘ )(0) ] π‘Ž βˆ’ 𝑠 π‘‘β†’βˆž

𝔏 {𝑓(𝑑)} =

1 [0 βˆ’ 1] π‘Žβˆ’π‘  1 π‘ βˆ’π‘Ž

𝔏 {𝑓(𝑑)} = 3. 𝑓(𝑑) = π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘

∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑓(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0

Usando integraciΓ³n por partes, sabiendo que:

∫ 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 βˆ’ ∫ 𝑣 𝑑𝑒

Entonces:

𝑒 = 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) β†’ 𝑑𝑒 = πœ”π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑑𝑣 = 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑑𝑑 β†’ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 β†’ 𝑣 = βˆ’ 𝑠

Reemplazamos:

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)(βˆ’ )βˆ’βˆ« βˆ’ πœ”π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑠 𝑠

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘)

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” + ∫ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑠 𝑠

Aplicando por segunda vez integraciΓ³n por partes: 𝑒 = π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘ β†’ 𝑑𝑒 = βˆ’πœ”π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑑𝑣 = 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 β†’ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 β†’ 𝑣 = βˆ’

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘)

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ + [π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘(βˆ’ )βˆ’βˆ« βˆ’ (βˆ’ πœ”π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘)𝑑𝑑)] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘)

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑠

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ + [βˆ’π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘ βˆ’βˆ« πœ” 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)𝑑𝑑] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” πœ”2 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘) βˆ’ 2 π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘. 𝑒 βˆ’ 2 ∫ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ . 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑠 𝑠 𝑠

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 +

πœ”2 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” βˆ’π‘ π‘‘ ∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 𝑑𝑑 = βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘) βˆ’ 2 π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑠2 𝑠 𝑠

𝑠 2 + πœ”2 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” βˆ’π‘ π‘‘ ∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 𝑑𝑑 = βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘) βˆ’ 2 π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 2 𝑠 𝑠 𝑠 ∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘)

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” 𝑠 2 + πœ”2 βˆ’ 2 π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ ( ) 𝑠 𝑠 𝑠2

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” 𝑠2 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = (βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘) βˆ’ 2 π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘. 𝑒 ) ( 2 ) 𝑠 𝑠 𝑠 + πœ”2

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

(𝑠)𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ”cos(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’ βˆ’ 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2

Con lo obtenido resolvemos la transformada: ∞

(𝑠)𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ”cos(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [ + ] 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2 0

(𝑠)𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ (𝑠)𝑠𝑒𝑛(0)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ”cos(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ + lim ] + [ π‘‘β†’βˆž π‘‘β†’βˆž 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2

𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [lim

πœ”cos(0)𝑒 βˆ’π‘ (0) + ] 𝑠2 + πœ”2 (𝑠)𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ (𝑠)𝑠𝑒𝑛(0)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ”cos(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [lim + lim ] +[ π‘‘β†’βˆž π‘‘β†’βˆž 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2 πœ”cos(0)𝑒 βˆ’π‘ (0) + ] 𝑠2 + πœ”2 𝔏 {𝑓(𝑑)} = 0+ [0 + 𝔏 {𝑓(𝑑)} =

𝑠2

πœ”(1)(1) ] 𝑠2 + πœ”2

πœ” + πœ”2

4. 𝑓(𝑑) = π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘ ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑓(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0

Usando integraciΓ³n por partes, sabiendo que:

∫ 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 βˆ’ ∫ 𝑣 𝑑𝑒

Entonces: 𝑒 = π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) β†’ 𝑑𝑒 = βˆ’πœ”π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑑𝑣 = 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑑𝑑 β†’ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 β†’ 𝑣 = βˆ’ 𝑠

Reemplazamos:

∫ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)(βˆ’

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ )βˆ’βˆ« βˆ’ (βˆ’ πœ”π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘))𝑑𝑑 𝑠 𝑠

∫ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” βˆ’ ∫ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑠 𝑠

Aplicando por segunda vez integraciΓ³n por partes: 𝑒 = π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘ β†’ 𝑑𝑒 = πœ”π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑑𝑣 = 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 β†’ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 β†’ 𝑣 = βˆ’

∫ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)

∫ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑠

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ βˆ’ [π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘(βˆ’ )βˆ’βˆ« βˆ’ ( πœ”π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑑𝑑)] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) βˆ’ [βˆ’π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘ +∫ πœ” π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑑𝑑] 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠

∫ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)

∫ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 +

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” πœ”2 + 2 π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ βˆ’ 2 ∫ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ . π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑑𝑑 𝑠 𝑠 𝑠

πœ”2 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” βˆ’π‘ π‘‘ ∫ π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) 𝑒 𝑑𝑑 = βˆ’π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) βˆ’ 2 π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑠2 𝑠 𝑠

𝑠 2 + πœ”2 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” βˆ’π‘ π‘‘ ∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 𝑑𝑑 = βˆ’π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) βˆ’ 2 π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑠2 𝑠 𝑠 ∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” 𝑠 2 + πœ”2 βˆ’ 2 π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ ( ) 𝑠 𝑠 𝑠2

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ” 𝑠2 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = (βˆ’π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘) βˆ’ 2 π‘ π‘’π‘›πœ”π‘‘. 𝑒 ) ( 2 ) 𝑠 𝑠 𝑠 + πœ”2

∫ 𝑠𝑒𝑛(πœ”π‘‘) 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

(𝑠)π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ (πœ”)sen(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’ βˆ’ 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2

Con lo obtenido resolvemos la transformada: ∞

(𝑠)π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ”sen(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [ + ] 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2 0

(𝑠)π‘π‘œπ‘ (πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ (𝑠)π‘π‘œπ‘ (0)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ πœ”π‘ π‘’π‘›(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ + lim ] + [ π‘‘β†’βˆž π‘‘β†’βˆž 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2 𝑠2 + πœ”2

𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [lim

πœ”π‘ π‘’π‘›(0)𝑒 βˆ’π‘ (0) + ] 𝑠2 + πœ”2 𝔏 {𝑓(𝑑)} = 0+ [ 𝔏 {𝑓(𝑑)} =

𝑠(1)(1) + 0] 𝑠2 + πœ”2 𝑠 𝑠2 + πœ”2

5. 𝑓(𝑑) = 𝑑𝑒(𝑑) ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑓(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑑𝑒(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑑. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0

Usando integraciΓ³n por partes, sabiendo que:

∫ 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 βˆ’ ∫ 𝑣 𝑑𝑒

Entonces:

𝑒 = 𝑑 β†’ 𝑑𝑒 = 𝑑𝑑 𝑑𝑣 = 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑑𝑑 β†’ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 β†’ 𝑣 = βˆ’ 𝑠

Reemplazamos:

βˆ«π‘‘.𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = 𝑑 (βˆ’ )βˆ’βˆ« βˆ’ 𝑑𝑑 𝑠 𝑠

∫ 𝑑 . 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’π‘‘

𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ +∫ 𝑑𝑑 𝑠 𝑠

𝑑 1 ∫ 𝑑 . 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ + ∫ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 𝑠 𝑠

βˆ«π‘‘.𝑒

βˆ’π‘ π‘‘

𝑑 βˆ’π‘ π‘‘ 1 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’ 𝑒 + 𝑠 𝑠 βˆ’π‘ 

𝑑 1 ∫ 𝑑 . 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ βˆ’ 2 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑠 𝑠 1 1 ∫ 𝑑 . 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 = βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ (𝑑 + ) 𝑠 𝑠 Con lo obtenido resolvemos la transformada: ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑑. 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0

1 1 𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ (𝑑 + ) |∞ 𝑠 𝑠 0 1 1 1 1 𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [ lim (𝑑 + ) 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ βˆ’ (0 + ) 𝑒 βˆ’π‘ (0) ] π‘‘β†’βˆž 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠

𝔏 {𝑓(𝑑)} = βˆ’ [0 βˆ’ (0 +

𝔏 {𝑓(𝑑)} =

1 ) 1] 𝑠2

1 𝑠2

6. 𝑓(𝑑) = 𝑑 𝑛 𝑒(𝑑) ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑓(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑑 𝑛 𝑒(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑑 𝑛 . 𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0

Usamos cambio de variable: 𝑒 = 𝑠𝑑 β†’ 𝑑 =

𝑒 𝑠

𝑑𝑒 = 𝑠. 𝑑𝑑 β†’ 𝑑𝑑 =

𝑑𝑒 𝑠

TendrΓ­amos la integral con valores de β€œu”: ∞

𝑒 𝑛 𝑑𝑒 𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ ( ) . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑠 𝑠 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 0

𝑒 𝑛 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 .𝑒 𝑠𝑛 𝑠

𝑒𝑛 . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 𝑠 𝑛+1

𝔏 {𝑓(𝑑)} =

𝔏 {𝑓(𝑑)} =

1

𝑠

∞

∫ 𝑒𝑛 . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 𝑛+1 0

1 𝑠 𝑛+1

∞

∫ 𝑒𝑛 . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 0

Resolvemos la integral: ∞

∫ 𝑒𝑛 . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 0

DΓ‘ndole valores a β€œn” obtenemos: n=1 ∞

= ∫ 𝑒1 . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 0

IntegraciΓ³n por partes:

∫ 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 βˆ’ ∫ 𝑣 𝑑𝑒

Entonces: 𝑒 = 𝑒 β†’ 𝑑𝑒 = 𝑑𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 β†’ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 β†’ 𝑣 = βˆ’π‘’ βˆ’π‘’

= 𝑒(βˆ’π‘’ βˆ’π‘’ ) + ∫ βˆ’π‘’ βˆ’π‘’ 𝑑𝑒

βˆ’π‘’ = βˆ’π‘’π‘’ βˆ’π‘’ |∞ 𝑑𝑒 0 βˆ’ βˆ«π‘’

βˆ’π‘’ = βˆ’π‘’π‘’ βˆ’π‘’ |∞ 𝑑𝑒 0 βˆ’ βˆ«π‘’

βˆ’π‘’ ∞ = βˆ’π‘’π‘’ βˆ’π‘’ |∞ |0 0 βˆ’π‘’

= lim βˆ’π‘’π‘’ βˆ’π‘’ + 0𝑒 βˆ’0 βˆ’ lim 𝑒 βˆ’π‘’ + 𝑒 βˆ’0 π‘’β†’βˆž

π‘’β†’βˆž

= 0+0βˆ’0+1 = 1 = 1! n=2 ∞

= ∫ 𝑒2 . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 0

IntegraciΓ³n por partes:

∫ 𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒𝑣 βˆ’ ∫ 𝑣 𝑑𝑒

Entonces: 𝑒 = 𝑒2 β†’ 𝑑𝑒 = 2𝑒. 𝑑𝑒 𝑑𝑣 = 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 β†’ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 β†’ 𝑣 = βˆ’π‘’ βˆ’π‘’

= 𝑒2 (βˆ’π‘’ βˆ’π‘’ ) βˆ’ ∫ βˆ’π‘’ βˆ’π‘’ 2𝑒𝑑𝑒

βˆ’π‘’ = βˆ’π‘’2 𝑒 βˆ’π‘’ |∞ 𝑒𝑑𝑒 0 + 2βˆ«π‘’

Del ejercicio anterior ∫ 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑒𝑑𝑒 = 1, entonces reemplazamos: = βˆ’π‘’π‘’ βˆ’π‘’ |∞ 0 + 2(1) = 0 + 2(1)

= 2! Y asΓ­ podemos concluir que para un valor β€œn” el resultado de la integraciΓ³n es n!: ∞

∫ 𝑒𝑛 . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 = 𝑛! 0

Aplicando lo demostrado en la transformada:

𝔏 {𝑓(𝑑)} =

∞

1

𝑠

∫ 𝑒𝑛 . 𝑒 βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 𝑛+1 0

𝔏 {𝑓(𝑑)} =

1 𝑠 𝑛+1

𝔏{𝑓(𝑑)} =

𝑛!

𝑛! 𝑠 𝑛+1

7. 𝑓(𝑑) = 𝑑 π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘ ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑓(𝑑)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0 ∞

𝔏 {𝑓(𝑑)} = ∫ 𝑑 cos(πœ”π‘‘)𝑒 βˆ’π‘ π‘‘ 𝑑𝑑 0

Por propiedad:

𝔏 {𝑑𝑓(𝑑)} = βˆ’

𝑑[𝐹(𝑠)] 𝑑𝑠

Entonces sabiendo que 𝑓(𝑑) = π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘, y ademΓ‘s que la transformada de tal funciΓ³n es: 𝑠 𝑠2 + πœ”2 Podemos reemplazarla en la propiedad, obteniendo:

𝔏 {π‘‘π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘} = βˆ’

𝔏 {π‘‘π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘} = βˆ’

𝔏 {π‘‘π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘} = βˆ’

𝑑[

𝑑[

𝑠 ] + πœ”2 𝑑𝑠

𝑠2

𝑠 ] 𝑠2 + πœ”2 𝑑𝑠

[𝑠 2 + πœ”2 βˆ’ 𝑠(2𝑠)] (𝑠 2 + πœ” 2 )2

[𝑠 2 + πœ”2 βˆ’ 2𝑠 2 )] 𝔏 {π‘‘π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘} = βˆ’ (𝑠 2 + πœ” 2 )2 [πœ”2 βˆ’ 𝑠 2 )] 𝔏 {π‘‘π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘} = βˆ’ 2 (𝑠 + πœ” 2 )2

𝔏 {π‘‘π‘π‘œπ‘ πœ”π‘‘} =

𝑠 2 βˆ’ πœ”2 (𝑠 2 + πœ” 2 )2

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