Transformada De Laplace.pdf

La Transformada de Laplace

Contenidos • Definición de la transformada de Laplace • Transformadas inversas y transformadas de derivadas • Propiedades operacionales • Propiedades operacionales adicionales • Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

4.1 Definición de la Transformada de Laplace • Definición básica Si f(t) está definida para bt  0, entonces 

0

K ( s, t ) f (t )dt  lim  K ( s, t ) f (t )dt b

0

(1)

EDFINICIÓN 4.1

Transformada de Laplace Si f(t) está definida para t  0, entonces   st L { f (t )}   e f (t ) dt 0

es la Transformada de Laplace de f.

(2)

Ejemplo 1 Evaluar L{1} Solución: Aquí tenemos en cuenta que los límites de integración son 0 y . De la definición   st

b  st

L (1)   e (1)dt  lim  e dt b 0

0

 st b

Como

e-st

e  lim b s

0

 e  sb  1 1  lim  b s s

 0 cuando t , para s > 0.

Ejemplo 2 Evaluar L{t} Solución

 te L {t}  s

 st 

0

1   st   e dt s 0

1 11 1  L{1}     2 s ss s

Ejemplo 3 Evaluar L{e-3t} Solución

  st 3t

 ( s 3) t

0

0

L {e }   e e d t   e 3t

( s  3) t 

e  s3

0

1  , s  3 s3

dt

Ejemplo 4 Evaluar L{sin 2t} Solución   st

L {sin2t}   e 0



e

 st

sin 2t dt 

sin 2t 2   st   e cos 2t dt 0 s s 0

2  st   e cos 2t dt , s  0 s 0

Ejemplo 4 (2) lim e  st cos 2t  0 , s  0

t 

Transformada de Laplace de sin 2t

↓    st   2  e cos 2t 2  st     e sin 2t dt  0 s s s  0 

2 4  2  2 L{sin 2t} s s 2 L {sin 2t}  2 ,s0 s 4

T.L. is Linear • Podemos comprobar fácilmente que L { f (t )   g (t )}  L { f (t )}  L {g (t )}   F ( s)  G ( s)

(3)

TEOREMA 4.1

Transformadas de algunas Funciones básicas (a)

(b)

(d)

(f)

1 L {1}  s n! n L {t }  n1 , n  1, 2, 3,  s

k L {sin kt}  2 s  k2 k L{sinh k t )  2 s  k2

(c)

1 L {e }  sa at

s L {cos kt}  2 2 s k s L {cosh kt}  2 (g) s  k2 (e)

TEOREMA 4.2

Condiciones Suficientes para la Existencia

Si f(t) una función continua por partes en [0, ) y de orden exponencial c, entonces existe L{f(t)} para s > c.

Ejemplo 5 Hallar L{f(t)} para

0 , 0  t  3 f (t )   2 , t  3

Solución 3



L{ f (t )}   e 0dt   e 2dt  st

0

 st

2e  s

 3

3

3 s

2e  ,s  0 s

 st

4.2 Transformadas inversas y Transformadas de derivadas TEOREMA 4.3

Algunas transformadas inversas (a)

(b)

(d)

(f)

11 

1 L   s 

n! t  L  n1  , n  1, 2, 3,  s  n

1

1

k  sin kt  L  2 2 s  k  1

k  sinh kt  L  2 2 s  k 

(c)

(e)

(g)

1  e L   s  a  at

1

1

s  cos kt  L  2 2 s  k  1

s  cosh kt  L  2 2 s  k 

Ejemplo 1 Hallar las transformadas inversas de 1 1  1 (a) L  5  (b) L  2  s  7 s  1

Solución (a) L 1 15   1 L 1 45!   1 t 4 s 

(b)

4!

s 

24

1  1 1 7  1 L  2 L  2 sin 7t   7 7 s  7 s  7 1

L -1 también es lineal • Podemso comprobar fácilmente que L 1{F ( s )  G ( s )}  L 1{F ( s )}  L 1{G ( s )}

(1)

Ejemplo 2 1  2 s  2

 6 Hallar L   s 4 

Solución 1  2 s  2

 6 6  1  2 s L  2 L  2   s 4  s  4 s  4 s  6 1 2  (2) 1  2 L  2  L  2  s  4 2 s  4  2 cos 2t  3sin 2t

Ejemplo 3 Hallar

2   s  6s  9 1 L   ( s  1)( s  2)( s  4) 

Solución Usando fracciones parciales s 2  6s  9 ( s  1)(s  2)( s  4)

A B C    s 1 s  2 s  4

Luego

s  6s  9 2

 A( s  2)( s  4)  B( s  1)( s  4)  C ( s  1)( s  2)

Si ponemos s = 1, 2, −4, entonces

(3)

Ejemplo 3 (2) A  16/5, B  25/6, c  1/30

(4)

Así 2   s  6s  9 1 L   ( s  1)( s  2)( s  4) 

16 1 1  25 1 1  1 1 1   L   L   L   5  s  1 6  s  2  30 s  4

16 t 25 2t 1 4t  e  e  e 5 6 30

(5)

Transformadas de Derivadas •

L { f (t )}   st

 e 0

f (t )dt e

 st

  f (0)  sL { f (t )}



  st

0

0

f (t )  s  e

f (t )dt

L { f (t )}  sF ( s )  f ( 0)

•

(6)

L { f (t )}   st

 e 0

f (t )dt  e

 st



  st

0

0

f (t )  s  e

f (t )dt

  f (0)  sL { f (t )}  s[ sF ( s)  f (0)]  f (0) L { f (t )}  s 2 F ( s )  sf (0)  f (0) L { f (t )}  s 3 F ( s )  s 2 f (0)  sf (0)  f (0)

(7) (8)

TEOREMA 4.4

Transformada de una derivada

Si f , f ' ,  , f ( n1) son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0, ), entonces

L { f ( n ) (t )}  s n F ( s )  s n1 f (0)  s n2 f (0)    f ( n1) (0) donde F ( s)  L { f (t )}.

Solución de EDO lineales dny d n1 y • an dt n  an1 dt n1    a0 y  g (t ) y (0)  y0 , y(0)  y1 , y ( n1) (0)  yn1

Luego d n y   d n1 y  an L  n   an1L  n1     a0 L { y}  L {g (t )}  dt   dt 

(9)

an [ s nY ( s)  s n1 y (0)    y ( n1) (0)]

 an1[ s n1Y ( s )  s n2 y (0)    y ( n2) (0)]    a0Y ( s )  G(s)

(10)

Tenemos

P( s)Y ( s)  Q( s)  G( s) Q( s ) G ( s ) Y ( s)   P( s) P( s)

donde

P( s)  an s n  an1s n1    a0

(11)

Find unknown y (t ) that satisfies a DE and Initial

Apply Laplace transform L

Transformed DE becomes an algebraic equation In Y (s )

Apply Inverse transform L 1

Solve transformed equation for Y (s )

condition

Solution y (t ) of original IVP

Ejemplo 4 Resolver Solución

dy  3 y  13sin 2t , y (0)  6 dt

dy   L    3L { y}  13L {sin 2t}  dt  26 sY ( s)  6  3Y ( s)  2 s 4 26 ( s  3)Y ( s )  6  2 s 4 6 26 6s 2  50 Y (s)    2 s  3 ( s  3)( s  4) ( s  3)( s 2  4)

(12)

(13)

Ejemplo 4 (2) 6s  50 A Bs  C   2 2 ( s  3)( s  4) s  3 s  4 2

6s  50  A(s  4)  ( Bs  C )(s  3) 2

2

Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6 Así 6s 2  50 8  2s  6 Y ( s) 

( s  3)( s  4) 2



s3

1



s2  4

1  s  1 1 2  y (t )  8L    2L  2   3L  2   s  3 s  4 s  4

y (t )  8e 3t  2 cos 2t  3 sin 2t

Ejemplo 5 Resolver y"3 y'2 y  e4t , y(0)  1, y' (0)  5 2  d y dy   Solución L  3L  2L { y}  L {e4t }  2  dt 

   dt 

1 s Y ( s)  sy (0)  y(0)  3[ sY ( s)  y (0)]  2Y ( s)  s4 1 2 ( s  3s  2)Y ( s)  s  2  s4 2

s2 1 s 2  6s  9 Y ( s)  2  2  s  3s  2 ( s  3s  2)( s  4) ( s  1)( s  2)( s  4)

Así

16 t 25 2t 1  4t y (t )  L {Y ( s )}   e  e  e 5 6 30 1

(14)

4.3 Propiedades operacionales TEOREMA 4.5

Comportamiento de F(s) cuando s → 

Si f continua por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces lims L{f} = 0.

Demostración

  st

L {f}  e 0

 M

| f (t ) | dt

e ( s c ) t e e dt   M sc

  st ct

0

M  sc

s 

0

 0

TEOREMA 4.6

Primer teorema de traslación

Si L{f} = F(s) y a cualquier número real, entonces L{eatf(t)} = F(s – a), Fig 4.10.

Demostración L{eatf(t)} =  e-steatf(t)dt =  e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a) L {e at f (t )}  L{ f (t )}s  s  a

Fig 4.10

Ejemplo 1 Hallar las T.L. de (a) L {e5t t 3} (b) L {e2t cos 4t} Solución (a) L {e t }  L {t }ss5 5t 3

3

3! 6  4  s ss 5 ( s  5) 4

(b) L {e2t cos 4t}  L {cos 4t}ss( 2) s s2  2  s  16 ss  2 ( s  2) 2  16

Forma inversa del Teorema 4.6 •

L 1{F ( s  a)}  L 1{F ( s) ssa }  eat f (t )

donde

f (t )  L 1{F ( s)}.

(1)

Ejemplo 2 Hallar la T.L. inversa de 1

(a) L  2s  52  ( s  3) 

s/2  5/3  (b) L  2   s  4s  6  1

Solución (a) 2s  5

A B   2 s  3 ( s  3) 2 ( s  3) 2s  5  A( s  3)  B

teenmos A = 2, B = 11

2s  5 2 11   2 2 s  3 ( s  3) ( s  3)

(2)

Ejemplo 2 (2) And 1

2s  5  1  1 1  1 L   2L    11L  2 2  s  3 ( s  3)  ( s  3) 

(3)

De (3), tenemos 1

2s  5  3t 3t L   2 e  11 e t 2 ( s  3) 

(4)

Ejemplo 2 (3) s / 2  5/3 s / 2  5/3  2 s  4s  6 ( s  2) 2  2

(b)

(5)

s / 2  5/3  L  2   s  4s  6  1

 1 1 s  2  2 1 1  L   L   2 2 2 ( s  2)  2  3 ( s  2)  2   1 1 s 2 2  1  L  2 L  2   2  s  2 s s  2  3 2  s  2 s s  2 

(6)

1 2t 2 2t  e cos 2t  e sin 2t 2 3

(7)

Ejemplo 3 Resolver y"6 y'9 y  t e , Solución 2 3t

y(0)  2 ,

y ' (0)  6

2 s Y ( s)  sy(0)  y(0)  6[ sY ( s)  y(0)]  9Y ( s)  ( s  3)3 2 2 ( s  6s  9)Y ( s)  2s  5  ( s  3)3 2 2 ( s  3) Y ( s)  2s  5  ( s  3)3 2s  5 2  Y (s)  2 ( s  3) ( s  3)5 2

Ejemplo 3 (2) 2 11 2 Y ( s)    2 s  3 ( s  3) ( s  3)5

y (t )

1  2 1 4!   1  1  2L   L    11L  2 5  s  3  ( s  3)  4!  ( s  3)  1

1

1   4 3t 3t 1 4! L  2   te , L  5 t e  s ss 3   s ss 3 

1 4 3t y (t )  2e  11te  t e 12 3t

3t

(8)

Ejemplo 4 Resolver y"4 y'6 y  1  et , Solución

y(0)  0 ,

y' (0)  0

1 1 s Y ( s)  sy(0)  y(0)  4[ sY ( s)  y (0)]  6Y ( s)   s s 1 2s  1 2 ( s  4s  6)Y ( s)  s ( s  1) 2s  1 Y (s)  s ( s  1)( s 2  4s  6) 2

1/ 6 1/ 3 s / 2  5 / 3 Y ( s)    2 s s  1 s  4s  6

Ejemplo 4 (2) 1 11  1 1 1  Y (s)  L    L   6 s  3  s  1  1 1 s  2  2 2 1  L  L    2 2 2 ( s  2)  2  3 2 ( s  2)  2  1 1 t 1 2t 2 2t   e  e cos 2t  e sin 2t 6 3 2 3