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La Transformada de Laplace CAPÍTULO 4 ※Read Me First

Contenidos • 4.1 Definición de la transformada de Laplace • 4.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas • 4.3 Propiedades operacionales • 4.4 Propiedades operacionales adicionales • 4.5 La función delta de Dirac • 4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Definición de la Transformada de Laplace • Transformadas integrales Si f(t) está definida para t  0, entonces





0

b

K ( s, t ) f (t )dt  lim  K ( s, t ) f (t )dt b 

0

(1)

K : Nucleo de la tranformacion DEFINICIÓN

Transformada de Laplace Si f(t) está definida para t  0, entonces 

L{ f (t )}   e 0

 st

f (t )dt  F s 

es la Transformada de Laplace de f.

(2)

Ejemplos Evaluar: a) L{1} b) L{t}

c) L{e-3t}

d) L{sen 2t}

Ejemplo 1 Evaluar L{1} Solución: Aquí tenemos en cuenta que los límites de integración son 0 y . De la definición   st

b  st

L (1)   e (1)dt  lim  e dt b 0

0

 st b

Como

e-st

e  lim b s

0

 e  sb  1 1  lim  b s s

 0 cuando t , para s > 0.

Ejemplo 2 Evaluar L{t} Solución

 te L {t}  s

 st 

0

1   st   e dt s 0

1 11 1  L{1}     2 s ss s

Ejemplo 3 Evaluar L{e-3t} Solución

  st 3t

  ( s  3) t

0

0

L {e }   e e d t   e 3t

( s 3) t 

e  s3

0

1  , s  3 s3

dt

Ejemplo 4 Evaluar L{sin 2t} Solución   st

L {sin2t}   e 0



e

 st

sin 2t dt 

sin 2t 2   st   e cos 2t dt 0 s s 0

2  st   e cos 2t dt , s  0 s 0

Ejemplo 4 (2) lim e  st cos 2t  0 , s  0

t 

Transformada de Laplace de sin 2t

↓    st   2  e cos 2t 2  st     e sin 2t dt  0 s s s  0 

2 4  2  2 L{sin 2t} s s 2 L {sin 2t}  2 ,s0 s 4

TEOREMA 4.1

Transformadas de algunas Funciones básicas (a)

(b)

(d)

(f)

1 L {1}  s n! n L {t }  n1 , n  1, 2, 3,  s k L {sin kt}  2 s  k2 k L {sin kt )  2 s  k2

(c)

1 L {e }  sa at

s L {cos kt}  2 s  k2 s L {cosh kt}  2 (g) s  k2 (e)

T.L. es Lineal L{ f (t )   g (t )}   L{ f (t )}   L{g (t )}   F (s)   G(s)

DEFINICIÓN

Orden Exponencial Se dice que f(t) es de orden exponencial, Si existen constantes c, M > 0, y T > 0, tales que |f(t)|  Mect para todo t > T. |t | e

t

| 2 cos t |  2et

t 2 no es de orden exponencial e

TEOREMA

Condiciones Suficientes para la Existencia

Si f(t) una función continua por partes en [0, ) y de orden exponencial c, entonces existe L{f(t)} para s > c.

Ejemplo 5 Hallar L{f(t)} para

0 , 0  t  3 f (t )   2 , t  3

Solución 3  st

  st

0

3

L { f (t )}   e 0dt   e 3dt 2est  s

 3

2e3s  ,s  0 s

Ejercicios Usando la definición, hallar la transformada de Laplace de:

1)

2) 3)

4)

5)

Usando las propiedades, hallar la transformada de Laplace de:

4.2 Transformadas inversas y Transformadas de derivadas TEOREMA 4.3

Algunas transformadas inversas (a)

(b)

(d)

(f)

11 

1 L   s 

1

n!  t  L  n1  , n  1, 2, 3,  s  n

1

k  sin kt  L  2 2 s  k 

(e)

1

k  sinh kt  L  2 2 s  k 

L-1 también es lineal:

(c)

(g)

1

1  e L   s  a  at

1

s  cos kt  L  2 2 s  k  1

s  cosh kt  L  2 2 s  k 

L 1{F ( s )  G ( s )} 1

1

 L {F ( s)}  L {G ( s )}

Ejemplos Hallar las transformadas inversas de 1

1 (a)L  5  s 

1  1  2 s  6  (b) L  2  (c) L  2   s 4  s  7 1

2   s  6s  9 (d) L 1  ( s  1)( s  2)( s  4) 

Ejemplo 1 Hallar las transformadas inversas de 1 1  1 (a) L  5  (b) L  2  s  7 s  1

Solución (a) L 1 15   1 L 1 45!   1 t 4 s 

(b)

4!

s 

24

1  1 1 7  1 L  2 L  2 sin 7t   7 7 s  7 s  7 1

Ejemplo 2 1  2 s  2

 6 Hallar L   s 4 

Solución 1  2 s  2

 6 6  1  2 s L  2 L  2   s 4  s  4 s  4 s  6 1 2  (2) 1  2 L  2  L  2  s  4 2 s  4  2 cos 2t  3sin 2t

Ejemplo 3 Hallar

2   s  6s  9 1 L   ( s  1)( s  2)( s  4) 

Solución Usando fracciones parciales s 2  6s  9 ( s  1)(s  2)(s  4)

A B C    s 1 s  2 s  4

Luego

s  6s  9 2

 A( s  2)( s  4)  B( s  1)( s  4)  C ( s  1)( s  2)

Si ponemos s = 1, 2, −4, entonces

(3)

Ejemplo 3 (2) A  16/5, B  25/6, c  1/30

(4)

Así 2   s  6s  9 1 L   ( s  1)( s  2)( s  4) 

16 1 1  25 1 1  1 1 1   L   L   L   5  s  1 6  s  2  30 s  4

16 t 25 2t 1 4t  e  e  e 5 6 30

(5)

Transformadas de Derivadas •

L { f (t )}   st

 e 0

f (t )dt e

 st

  f (0)  sL { f (t )}



  st

0

0

f (t )  s  e

f (t )dt

L { f (t )}  sF ( s )  f ( 0 )

•

(6)

L { f (t )}   st

 e 0

f (t )dt  e

 st



  st

0

0

f (t )  s  e

f (t )dt

  f (0)  sL { f (t )}  s[ sF ( s)  f (0)]  f (0) L { f (t )}  s 2 F ( s )  sf ( 0 )  f ( 0 ) L { f (t )}  s 3 F ( s )  s 2 f ( 0 )  sf ( 0 )  f ( 0 )

(7) (8)

TEOREMA 4.4

Transformada de una derivada

f , f ' ,  , f ( n1) Si son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0, ), entonces:

L{ f

( n)

donde

(t )}  s F (s)  s n

n 1

f (0)  s

F ( s)  L { f (t )}.

n2

( n 1)  f (0)    f (0)

Solución de EDO lineales dny d n1 y • an dt n  an1 dt n1    a0 y  g (t ) y (0)  y0 , y(0)  y1 , y ( n1) (0)  yn1

Luego d n y   d n1 y  an L  n   an1L  n1     a0 L { y}  L {g (t )}  dt   dt 

(9)

an [ s nY ( s)  s n1 y(0)    y ( n1) (0)]  an1[ s n1Y ( s )  s n2 y (0)    y ( n2) (0)]    a0Y ( s )  G( s)

(10)

Tenemos

P( s)Y ( s)  Q( s)  G( s) Q( s ) G ( s ) Y ( s)   P( s) P( s)

donde

P( s)  an s n  an1s n1    a0

(11)

Proceso de solución de ED mediante la tranformada Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y condiciones iniciales

Solución de la Ecuación diferencial y(t) = L -1 {Y(s)}

L {y(t)}

L

-1

{Y(s)}

Resolver:

dy a)  3 y  13 sin 2t , y(0)  6 dt b) y"3 y'2 y  e4t , y(0)  1, y' (0)  5

Ecuación algebraica para Y(s) = L {y(t)}

Solución de la Ecuación algebraica Y(s)

Ejemplos Resolver: dy a)  3 y  13 sin 2t , y(0)  6 dt b) y"3 y'2 y  e4t , y(0)  1, y' (0)  5

Ejemplo 4 Resolver Solución

dy  3 y  13sin 2t , y (0)  6 dt

dy   L    3L { y}  13L {sin 2t}  dt  26 sY ( s)  6  3Y ( s)  2 s 4 26 ( s  3)Y ( s)  6  2 s 4 6 26 6s 2  50 Y ( s)    2 s  3 ( s  3)( s  4) ( s  3)( s 2  4)

(12)

(13)

Ejemplo 4 (2) 6s  50 A Bs  C   2 2 ( s  3)( s  4) s  3 s  4 2

6s  50  A( s  4)  ( Bs  C ) 2

2

Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6 Así 6s 2  50 8  2s  6 Y ( s) 

( s  3)( s  4) 2



s3

1



s2  4

1  s  1 1 2  y (t )  8L    2L  2   3L  2   s  3 s  4 s  4

y (t )  8e 3t  2 cos 2t  3 sin 2t

Ejemplo 5 Resolver y"3 y'2 y  e4t , y(0)  1, y' (0)  5 2  d y dy   Solución L  3L  2L { y}  L {e4t }  2  dt 

   dt 

1 s Y ( s)  sy (0)  y(0)  3[ sY ( s)  y (0)]  2Y ( s)  s4 1 2 ( s  3s  2)Y ( s)  s  2  s4 2

s2 1 s 2  6s  9 Y ( s)  2  2  s  3s  2 ( s  3s  2)( s  4) ( s  1)( s  2)( s  4)

Así

16 t 25 2 t 1  4 t y (t )  L {Y ( s )}   e  e  e 5 6 30 1

(14)

RESOLVER USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.3 Propiedades operacionales TEOREMA 4.5

Comportamiento de F(s) cuando s → 

Si f continua por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces lims L{f} = 0.

Demostración

  st

L {f}  e 0

 M

| f (t ) | dt

e ( s c ) t e e dt   M sc

  st ct

0

M  sc

s 

0

 0

TEOREMA 4.6

Primer teorema de traslación

Si L{f} = F(s) y a cualquier número real, entonces L{eatf(t)} = F(s – a),

Demostración L{eatf(t)} =  e-steatf(t)dt =  e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a) at L {e f (t )}  L{ f (t )}s  s  a

Ejemplos Hallar las T.L. de (a) L {e5t t 3} (b) L {e2t cos 4t}

Ejemplos Hallar las T.L. de 5t 3 (a) L {e t } (b) L {e2t cos 4t} Forma inversa del Primer Teorema de Traslacion L 1{F ( s  a)}  L 1{F ( s) ssa }  eat f (t ) f (t )  L 1{F ( s)}.

Hallar la T.L. inversa de

(a) L 1 2s  5   2 ( s  3) 

(b) L 1 s/2  5/3  2

 s  4s  6 

Ejemplo 1 Hallar las T.L. de (a) L {e5t t 3} (b) L {e2t cos 4t} Solución (a) L {e t }  L {t }ss5 5t 3

3

3! 6  4  s ss 5 ( s  5)4

(b) L {e2t cos 4t}  L {cos 4t}ss( 2) s s2  2  s  16 ss 2 ( s  2) 2  16

Forma inversa del Primer Teorema de Traslacion L 1{F ( s  a)}  L 1{F ( s) ssa }  eat f (t )

donde: f (t )  L 1{F ( s)}. Hallar la T.L. inversa de 1

 2 s  5 (a) L  2 ( s  3) 

s/2  5/3  (b) L  2   s  4s  6  1

Solución (a) 2s  5

A B   2 2 s  3 ( s  3) ( s  3) 2s  5  A( s  3)  B

teenmos A = 2, B = 11

2s  5 2 11   2 s  3 ( s  3) 2 ( s  3)

Ejemplo 2 (2) And 1

2s  5  1  1 1  1 L   2L    11L  2 2  s  3 ( s  3)  ( s  3) 

Tenemos 1

2s  5  3t 3t L   2 e  11 e t 2 ( s  3) 

Ejemplo 2 (3) s / 2  5/3 s / 2  5/3  2 s  4s  6 ( s  2)2  2

(b)

s / 2  5/3  L  2   s  4s  6  1

 1 1 s  2  2 1 1  L   L   2 2 2 ( s  2)  2  3 ( s  2)  2   1 1 s 2 2  1  L  2 L  2   2  s  2 s s  2  3 2  s  2 s s  2  1 2t 2 2t  e cos 2t  e sin 2t 2 3

Ejemplos Resolver: 1) y"6 y'9 y  t 2e3t ,

2) y"4 y'6 y  1  et ,

y(0)  2 ,

y(0)  0 ,

y' (0)  6

y' (0)  0

Ejemplo 3 Resolver y"6 y'9 y  t e , Solución 2 3t

y(0)  2 ,

y ' (0)  6

2 s Y ( s)  sy(0)  y(0)  6[ sY ( s)  y(0)]  9Y ( s)  ( s  3)3 2 2 ( s  6s  9)Y ( s)  2s  5  ( s  3)3 2 2 ( s  3) Y ( s)  2s  5  ( s  3)3 2s  5 2  Y (s)  2 ( s  3) ( s  3)5 2

Ejemplo 3 (2) 2 11 2 Y ( s)    2 s  3 ( s  3) ( s  3)5

y (t )

1  2 1 4!   1  1  2L   L    11L  2 5  s  3  ( s  3)  4!  ( s  3)  1

1  4 3t  1 4! 3t L  2 t e   te , L  5  s ss 3   s ss 3  1

1 4 3t y (t )  2e  11te  t e 12 3t

3t

(8)

Ejemplo 4 Resolver y"4 y'6 y  1  et , Solución

y(0)  0 ,

y' (0)  0

1 1 s Y ( s)  sy(0)  y(0)  4[ sY ( s)  y (0)]  6Y ( s)   s s 1 2s  1 2 ( s  4s  6)Y ( s)  s ( s  1) 2s  1 Y (s)  s ( s  1)( s 2  4s  6) 2

1/ 6 1/ 3 s / 2  5 / 3 Y ( s)    2 s s  1 s  4s  6

Ejemplo 4 (2) 1 11  1 1 1  Y (s)  L    L   6 s  3  s  1  1 1 s  2  2 2 1  L  L    2 2 2 ( s  2)  2  3 2 ( s  2)  2  1 1 t 1 2t 2 2t   e  e cos 2t  e sin 2t 6 3 2 3

EDFINICIÓN 4.3

Función escalón unitario

La función escalón unitaria U(t – a) se define como

0 , 0  t  a U (t  a )   ta 1 , Fig 4.11.

Fig 4.11

Fig 4.12

Fig 4.13

• Fig 4.12 muestra la gráfica de (2t – 3)U(t – 1). Considerando la Fig 4.13, es la misma que f(t) = 2 – 3U(t – 2) + U(t – 3)

También una función del tipo

 g (t ), 0  t  a f (t )   ta  h(t ),

(9)

es la misma que

f (t )  g (t )  g (t )U(t  a)  h(t )U(t  a)

(10)

De manera similar, una función del tipo 0t a 0,  f (t )   g (t ), a  t  b 0, t b 

(11)

f (t )  g (t )[ U (t  a)  U (t  b)]

(12)

puede escribirse como

Ejemplo 5 Expresar

20t , 0  t  5 f (t )   0 , t  5

en términos de U(t). Fig 4.14. Solución De (9) y (10), con a = 5, g(t) = 20t, h(t) = 0 f(t) = 20t – 20tU(t – 5)

Fig 4.14

• Cosidere la función 0t a 0, f (t  a) U (t  a)   ta  f (t  a),

Fig 4.15.

(13)

Fig 4.15

Ch4_50

TEOREMA 4.7

Segundo teorema de traslación

Si F(s) = L{f}, y a > 0, entonces L{f(t – a)U(t – a)} = e-asF(s)

• Demostración

L { f (t  a) U (t  a)} a  st

  st

 e

f (t  a) U (t  a)dt   e

 e

f (t  a)dt

0   st

0

a

f (t  a) U (t  a)dt

Sea v = t – a, dv = dt, entonces L{ f (t  a)U(t  a)}  s (va )

 e 0

f (v)dv  e

as   sv

0

e

f (v)dv  eas L { f (t )}

Si f(t) = 1, entonces f(t – a) = 1, F(s) = 1/s, e  as L {U (t  a )}  s

por ejemplo: La T.L. de la Fig 4.13 es

(14)

L { f (t )}  2L {1}  3L {U (t  2)}  L {U (t  3)} 1 e2 s e3s  2 3  s s s

Forma inversa del Teorema 4.7 1

L {e

 as

F ( s )}  f (t  a ) U (t  a )

(15)

Ejemplo 6 Hallar la T.L. inversa de (a) L 1 1 e2 s  (b) L 1 2 s es / 2  s  4

s  9





Solución 1 4t a  2 , F ( s )  1 /( s  4 ), L { F ( s )}  e (a) luego 1 1 2 s  4(t 2) L  e s  4

e 

U (t  2)

2 1 a   / 2 , F ( s )  s /( s  9 ), L {F ( s)}  cos 3t (b)

luego

s     s / 2  L  2 e   cos 3 t   U  t   s  9   2  2 1

Forma alternativa del Teorema 4.7 • Como t 2  (t  2)2  4(t  2)  4 , entonces L {t 2 U (t  2)}  L {(t  2) U (t  2)  4(t  2) U (t  2)  4U (t  2)} 2

Lo anterior se puede resolver. Sin embargo, lo enfocamos de otra manera. Sea u = t – a,  

L {g (t ) U (t  a)}   est g (t )dt   es (u a ) g (u  a)du a

0

Esto es,

L { g (t ) U (t  a )}  e  as L { g (t  a )}

(16)

Ejemplo 7 Hallar L {cos tU (t   )} Solución Con g(t) = cos t, a = , entonces g(t + ) = cos(t + )= −cos t Por (16), L {cos tU (t   )}  e

s

s s L {cos t}   2 e s 1

Ejemplo 8 Resolver

y' y  f (t ) ,

y(0)  5

0t  0 , f (t )   3 sin t , t  

Solución Hallamos f(t) = 3 cos t U(t −), luego

s s sY ( s)  y(0)  Y ( s)   3 2 e s 1 3s s ( s  1)Y ( s)  5  2 e s 1 5 3  1 s 1 s s s  Y (s)    e  2 e  2 e  s 1 2  s 1 s 1 s 1 (17)

Ejemplo 8 (2)

Se sigue desde (15) con a = , entonces 1

1 s  (t  ) 1 1 L  e e U (t   ) , L  2 es   sin(t   )U (t   ) s  1  s  1  s L 1 2 es   cos(t   )U (t   ) Así s  1 

3 3 3 y (t )  5et  e(t  ) U (t   )  sin(t   ) U (t   )  cos(t   ) U (t   ) 2 2 2 3 (t  ) t  5e  [e  sin t  cos t ]U (t   ) 2 5et , 0t    t (18) ( t  )  3 / 2 sin t  3 / 2 cos t , t  5e  3 / 2e

Fig 4.16

Fig 4.16

Vigas • Recuerde que la ED de una viga es d4y EI 4  w( x) dx

Fig 4.17.

(19)

Fig 4.17

Ejemplo 9 Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos como se ilustra en la Fig 4.17. Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por:   2  w0 1  x  , 0  x  L / 2 w( x)    L  0, L/2  x  L Solución Tenemos las condiciones en la frontera: y(0) = y(L) = 0, y’(0) = y’(L) = 0. Por (10), 2  2   L   w( x)  w0 1  x   w0 1  x  U  x   2  L   L   2w0  L L  L     x   x   U  x    L 2 2  2  

Ejemplo 9 (2) Transformando (19) en





EI s 4Y ( s)  s3 y(0)  s 2 y(0)  sy(0)  y(0) 2w0  L 2 1 1  Ls 2     e 2 2  L  s s s 2w0  L 2 1 1  Ls 2  4 ( 3) s Y ( s )  sy" (0)  y (0)    e 2 2  EIL  s s s c1 c3 2w0  L 2 1 1  Ls 2  Y (s)  3  4   6  6e 5   EIL  s s s s s

donde c1 = y”(0), c3 = y(3)(0)

Ejemplo 9 (3) Así y ( x) c1 1 2!  c2 1 3!   L  3  L  4 2!  s  3! s 

2w0  L / 2 1 4!  1 1 5!  1 1 5!  Ls / 2   L  5 L  6 L  6 e   EIL  4!  s  5!  s  5! s  5  c1 2 c2 3 w0 5L 4 L  L   5  x  x   x  x   x   U  x   2 6 60 EIL  2 2  2  

Ejemplo 9 (4) Aplicamos y(L) = y’(L) = 0, entonces 2

3

4

L L 49w0 L c1  c2  0 2 6 1920 EI L2 85w0 L3 c1L  c2  0 2 960 EI

Así

c1  23w0 L2 / 960 EI , c2  9w0 L / 40 EI 23w0 L2 2 3w0 L 3 y ( x)  x  x 1920 EI 80 EI 5  w0 5L 4 L  L   5   x  x   x   U  x   60 EIL  2 2  2  

4.4 Propiedades Operacionales Adicionales • Multiplicando una función por tn dF d  st   e f (t )dt ds ds 0     st  st  [e f (t )]dt    e tf (t )dt   L {tf (t )} 0 s 0 d esto es, L {tf (t )}   L { f (t )} ds

De manera similar,

L {t 2 f (t )}  L {t  tf (t )}   L {tf (t )} 2 d d d     L { f (t )}  2 L { f (t )} ds  ds  ds

TEOREMA 4.8

Derivadas de una transformada

Si F(s) = L{f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entonces n d n n L {t f (t )}  ( 1) F (s) n ds

Ejemplo 1 Hallar L{t sen kt} Solución Con f(t) = sen kt, F(s) = k/(s2 + k2), luego d L {t sin kt}   L {sin kt} ds d k  2ks   2  2 2 ds  s  k  ( s  k 2 ) 2

Enfoques diferentes • Teorema 4.6: L {te }  L {t}st 3 3t

1 1  2  s st 3 ( s  3) 2

• Teorema 4.8: d d 1 1 3t 2 L {te }   L {e }    ( s  3)  2 ds ds s  3 ( s  3) 3t

Ejemplo 2 Resolver x"16 x  cos 4t , x(0)  0 , x' (0)  1 Solución s 2 ( s  16) X ( s )  1 

ó

s 2  16 1 s X (s)  2  2 s  16 ( s  16) 2 1 

2ks  Del ejemplo 1, L  2 2 2   t sin kt ( s  k )   1 1  4  1 1  8s x ( t )  L  L Así  2   2 2 4 8 s  16 ( s  16 )     1 1  sin st  t sin 4t 4 8

Convolución • Un producto especial, f * g se define mediante al integral t f * g  0 f ( ) g (t   )d (2) y se llama convolución de f y g. La convolución es una función de t, por ejemplo: t  t e  sin t   e sin(t   )d 0 1 t  (sint  cost  e ) 2

• Observación: f * g = g * f

(3)

TEOREMA 4.9

Teorema de convolución

Si f(t) y g(t) son continuas por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces

L { f  g }  L { f (t )}L { g (t )}  F ( s )G ( s )

Demostración

F ( s )G ( s ) 



 e

  s

0

   s (   )

0

0 e

f ( )d

 e

  s

0

f ( )g (  )dd }



 (   )

0

0

  f ( )d  e

g (  )d

g (  )d



manteniendo fija, let t =  + , dt = d 

  s

F ( s)G ( s)   f ( )d  e 

0

g (t   )dt

Se realiza al integración en la región sombreada de la Fig 4.32. Cambiando el orden de integración:   st

t

F ( s )G ( s )   e dt  f ( ) g (t   )d 0

  st

 e 0

 f ( ) g (t   )d dt 0

t

0

 L { f  g}

Fig 4.32

Ejemplo 3



t 

Hallar L  e sin(t   ) d 0 Solución Original statement = L{et * sin t} 1 1 1   2  s  1 s  1 ( s  1)( s 2  1)



Forma inversa del Teorema 4.9 •

L-1{F(s)G(s)} = f * g

(4)

Mire en la tabla del Apéndice III, 2k 3 L {sin kt  kt cos kt}  2 ( s  k 2 )2

(5)

Ejemplo 4 1

 1 Hallar L  2 2 ( s  k2 ) 

Solución Sea F ( s)  G( s) 

1 s2  k 2 1 1  k  1 f (t )  g (t )  L  2  sin kt 2 k s  k  k

entonces 1 

 1 t 1 L  2  2  sin k sin k (t   )d 2 2 ( s  k )  k 0

(6)

Ejemplo 4 (2) Ahora recordamos que sen A sen B = (1/2) [cos (A – B) – cos (A+B)] Si ponemos A = k, B = k(t − ), entonces 1 

 1 1 t L  2  2  [cos k (2  t )  cos kt ]d 2 2  ( s  k )  2k 0 t

1 1  2  sin k (2  t )   cos kt  2k  2k 0 sin kt  kt cos kt  2k 3

Transformada de una Integral • Cuando g(t) = 1, G(s) = 1/s, entonces L t



t

0



F (s) f ( ) d  s

0 f ( )d  L

1  F ( s ) 

   s 

(7) (8)

Eejmplos: 1 

1  t L  2   0 sind  1  cos t  s ( s  1)  1 

 t 1 L  2 2   0 (1  cos )d  t  sin t  s ( s  1)  1 

 t 1 1 2 L  3 2   0 (  sin )d  t  1  cos t 2  s ( s  1) 

Ch4_80

Ecuación Integral de Volterra t

f (t )  g (t )   f ( ) h (t   ) d 0

(9)

Ejemplo 5 t

Resolver f (t )  3t  e   f ( )et  d for f (t ) 0 Solución Primero, h(t-) = e(t-), h(t) = et. 2 1 1 De (9) F ( s)  3  3   F ( s)  s 1 s s 1 Resolviendo para F(s) y empleando fracciones parciales 6 6 1 2 F ( s)  3  4   s s s s 1 1  2!  1  3!  1 1  1  1  f (t )  3L  3   L  4   L    2L   s  s  s   s  1 2

 3t 2  t 3  1  2et

t

Circuitos en Serie • De la Fig 4.33, tenemos di 1 t L  Ri (t )  0 i ( ) d  E (t ) dt C

(10)

la cual se llama ecuación integrodiferencial. Fig 4.33

Ejemplo 6 Determine i(t) en Fig 4.33, cuando L = 0.1 h, R = 2 , C = 0.1 f, i(0) = 0, y E(t) = 120t – 120tU(t – 1) Solución Usando los datos, (10) se convierte t di 0.1  2i (t )  10 i ( )d  120t  120U (t  1) 0 dt

Y entonces

I ( s) 1 1 s 1 s   0.1sI ( s)  2 I ( s)  10  120 2  2 e  e  s s  s s

Ejemplo 6 (2)  1 1 1 s s  I ( s )  1200  e  e  2 2 2 ( s  10)  s ( s  10) s ( s  10)  1/100 1 / 100 1 / 10 1 / 100  s  1200    e 2 s  10 ( s  10) s  s  1 / 100  s 1 / 10  s 1  e  e  2 s  10 ( s  10) ( s  10) 2 e  s  i (t )  12[1  U (t  1)]  12[e10(t 1) U (t  1)]  120te10t  1080(t  1)e10(t 1) U (t  1)

Ejemplo 6 (3) Escrita como una función definida por partes: 12  12e10t  120te10t , 0  t 1 i (t )   10t 10 ( t 1) 10t 10 ( t 1)  12 e  12 e  120 te  1080 ( t  1 ) e , t 1 

(11)

Fig 4.34

Periodic Function •

f(t + T) = f(t)

TEOREMA 4.10

Transformada de una función periódoca

Si f(t) is una función periódica con período T, entonces 1 L { f (t )}  1  e  sT

T

0

e  st f (t ) dt

• Demostración T

L { f (t )}   e

 st

0

  st

f (t )dt   e T

f (t )dt

Use el mismo método de transformación   st  sT  e f (t )dt  e L { f (t )} T

T

L { f (t )}   e  st f (t )dt  e  sT L { f (t )} 0

1 L { f (t )}  1  e  sT

T

0 e

 st

f (t )dt

Ejemplo 7 Halle la T. L. de la función en Fig 4.35. Solución 1, 0  t  1 Hallamos T = 2 y E (T )   0, 1  t  2

Del Teorema 4.10,





1  st 1 L {E (t )}  e  1dt  0  2 s 0 1 e 1 1  es 1   2 s s 1 e s (1  e s )

(12)

Fig 4.35

Ejemplo 8

La ED

di L  Ri  E (t ) dt

(13) Hallar i(t) donde i(0) = 0, E(t) es como ilustar la Fig 4.35. 1 Solución LsI ( s )  RI ( s )  s ó Porque y

s (1  e ) 1/ L 1 I (s)   s ( s  R / L) 1  e  s 1 s 2 s 3 s  1  e  e  e  -s 1 e 1 L/ R L/ R   s ( s  R / L) s s  R/L

(14)





1 1 1  s 2 s I ( s)    1  e  e  ...  R s s  R L

Luego i(t) se esribe de la siguiente manera y se ilustra en la Fig 4.36:

1  et ,  t ( t 1) ,  e  e i (t )   t ( t 1) ( t  2 ) 1  e  e  e ,   e  y  e (t 1)  e (t 2)  e (t 3) , 

0  t 1 1 t  2 2t 3

(15)

3t  4 Ch4_93

Fig 4.36

4.5 La función delta de Dirac • Impulso Unitario Observe la Fig 4.43(a). Está función se define por 0  t  t0  a 0, 1  a (t  t0 )   , t0  a  t  t0  a  2a 0, t  t0  a  donde a > 0, t > 0. 0

(1)

• Para un valor pequeño de a, a(t – t0) es una función constante de gran magnitud. El comportamiento de a(t – t0) cuando a  0, se llama impulso unitario, porque posee la  propiedad 0  (t  t0 )dt  1 . Fig 4.43(b).

Fig 4.43

Ch4_96

La función delta de Dirac • Esta función se define como (t – t0) = lima0 a(t – t0) Las dos propiedades importantes son: , t  t0 (1)  (t  t0 )    0, t  t0 x

(2) 0  (t  t0 )dt  1

, x > t0

(2)

TEOREMA 4.11

Transformación de la función delta de Dirac

Para t0 > 0, L { (t  t0 )}  e  st0

• Demostración 1  a (t  t0 ) 

2a

[ U (t  (t0  a)  U (t  (t0  a))]

La Transformada de Laplace es

1  e  s ( t0  a ) e  s ( t0  a )  L { a (t  t0 )}     2a  s s 

sa  sa   e  e  st0   e   2 sa 

(4)

Cuando a  0, (4) es 0/0. Use la regla de L’Hopital, entonces (4) tiende a 1 cuando a  0. Así , L (t  t0 )  lim L a (t  t0 ) a 0

sa  sa    st0 e  e  st0   e  e lim  a 0  2sa 

Ahora cuando t0 = 0, tenemos

L  (t )  1

Ejemplo 1

Resolver y" y  4 (t  2 ), sujeta a (a) y(0) = 1, y’(0) = 0 (b) y(0) = 0, y’(0) = 0 Solución (a) s2Y – s + Y = 4e-2s s 4e2s Y (s)  2  2 s 1 s 1

Así

y(t) = cos t + 4 sen(t – 2)U(t – 2) Como sen(t – 2) = sen t, enonces 0  t  2 cos t , y (t )   t  2 cos t  4 sin t ,

Fig 4.44.

(5)

Fig 4.44

Ejemplo 1 (2) (b)

4e2s Y ( s)  2 s 1

Así y(t) = 4 sen(t – 2)U(t – 2) y y (t )  4 sin(t  2 ) U (t  2 ) 0  t  2 0,  t t 4 sin t ,

(6)

Fig 4.45

4.6 Sistemas Eds Lineales • Resortes acoplados En el ejemplo 1 trabajaremos con m1 x1   k1 x1  k 2 ( x2  x1 ) m2 x2   k 2 ( x2  x1 )

(1)

Ejemplo 1 Use T.L. para resolver x1  10 x1

 4 x2  0

4 x1  x2  4 x2  0

(2) donde x1(0) = 0, x1’(0) = 1, x2(0) = 0, x2’(0) = −1. Solución s2X1 – sx1(0) – x1’(0) + 10X1 – 4X2 = 0 −4X1 + s2X2 – sx2(0) – x2’(0) + 4X2 = 0 Recolocando: (s2 + 10)X1 – 4X2 = 1 −4X1 + (s2 + 4)X2 = −1 (3)

Ejemplo 1 (2) Resolviendo (3) para X1:

s2 1/ 5 6/5 X1  2  2  2 2 ( s  2)( s  12) s  2 s  12

2 3 x1 (t )   sin 2t  sin 2 3t 10 5

Usamos X1(s) para obtener X2(s)

s 6 2/5 3/ 5 X2   2  2  2 2 ( s  2)( s  12) s  2 s  12 2

2 3 x2 (t )   sin 2t  sin 2 3t 5 10

Ejemplo 1 (3) Luego

2 3 x1 (t )   sin 2t  sin 2 3t 10 5 2 3 x2 (t )   sin 2t  sin 2 3t 5 10

(4)

Redes • De la Fig 4.47, tenemos di L  Ri2  E (t ) dt di2 RC  i2  u1  0 dt

(5)

Fig 4.47

Ejemplo 2 Resolver (5) donde E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 ohm, C = 10-4 f, i1(0) = i2(0) = 0. Solución Tenemos di1  50i2  60

dt  4 di2 50(10 )  i2  i1  0 dt

Entonces sI1(s) + 50I2(s)= 60/s −200I1(s) + (s + 200)I2(s)= 0

Ejemplo 2 (2) Resolviendo lo anterior:

60s  12000 6 / 5 6/5 60 I1     2 s s  100 ( s  100) 2 s ( s  100) 12000 6/5 6/5 120 I2     2 s s  100 ( s  100) 2 s ( s  100)

Así

6 6 100t 100t i1 (t )   e  60te 5 5 6 6 100t i2 (t )   e  120te100t 5 5

Péndulo Doble • De la Fig 4.48, tenemos ( m1  m2 )l121  m2l1l2 2  ( m1  m2 )l1 g 1  0 2 m2l2 2 



m2l1l21  m2l2 g  2  0

(6)

Fig 4.48

Ejemplo 3 • Compruebe que cuando m1  3, m2  1, l1  l2  16, 1 (0)  1, 2 (0)  1, 1 ' (0)  0,2 ' (0)  0 la solución de (6) es 1 2 3 1 (t )  cos t  cos 2t 4 3 4 (7) 1 2 3  2 (t )  cos t  cos 2t 2

Fig 4.49

3

2

Fig 4.49