Transfer En Cia De Calor_omar Gelves

1

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Introducción

TABLA DE CONTENIDO

1.

TRANSFERENCIA DE CALOR .........................................................................................3

1.1

Sistemas situados dentro del mismo material.............................................................................................. 4

1.2

Sistemas situados en materiales diferentes .................................................................................................. 4

1.3 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN ............................................................................... 5 1.3.1 Procesos básicos de intercambio de calor radiante ................................................................................... 10 1.4

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN ......................................................................... 10

1.5 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ......................................................................... 13 1.5.1 PROCESOS BÁSICOS DE INTERCAMBIO DE CALOR CONVECTIVO .......................................... 14 1.5.2 MÉTODOS PARA DETERMINAR EL h................................................................................................ 14 1.5.3 DETERMINACIÓN DE Q CONVECTIVO ............................................................................................ 15 1.6

CONVECCIÓN Y RADIACIÓN COMBINADAS................................................................................... 17

Capitulo 1 Introducción

1.

TRANSFERENCIA DE CALOR

El calor es una forma de energía que se manifiesta cuando se transfiere parte de la Energia Interna de un sistema a otro debido a la existencia de una diferencia de temperatura entre los dos. La ciencia que se ocupa del análisis de la velocidad de transferencia de energía que puede ocurrir entre cuerpos materiales, como resultado de una diferencia de temperaturas, se denomina transferencia de calor. Esta ciencia busca predecir:

Termodinámica

E = mCp (T f − Ti ) Transferencia Calor

de

Como puede ser transferida la energía calórica. La rapidez a la que se realizará éste intercambio bajo ciertas condiciones especificadas. El cambio de la temperatura en un medio como función del tiempo. La transferencia de calor es una ciencia complementaria de la termodinámica en la solución de problemas prácticos de ingeniería, tales como: La determinación del tiempo requerido para calentar o enfriar cuerpos de masa fija, tales como aves o carne en canal que se enfrían para conservación o láminas de acero que se calientan para algún trabajo de laminación. La termodinámica solo esta interesada en la determinación de la energía (Joul) que debe aportarse o retirarse del cuerpo para llevarla de un estado a otro, mientras que la determinación de la rapidez de transferencia de energía por cada metro cuadrado de superficie del cuerpo en cualquier instante permite predecir el tiempo que durara el proceso.| La determinación del tamaño de un equipo para calentar, enfriar, evaporar o condensar un flujo de masa de un fluido (una caldera o un condensador o el enfriador de agua de un automovil). Mediante la termodinámica se podrá establecer el flujo de calor (Watios) que el fluido debe recibir o ceder para pasar de un estado a otro, pero la cantidad de área que se requiere para que el fluido reciba o ceda efectivamente dicha cantidad de flujo de calor solo podrá ser establecida a través de las herramientas derivadas de un análisis de la transferencia de calor que pasa por la superficie del equipo que realiza el proceso.

1.1

Figura 1-1 Determinación del tiempo requerido para calentar o enfriar cuerpos de masa fija

Termodinámica .

Q = m Cp (T f − Ti ) Transferencia de Calor

Q = qA = UA (Tt − Ta )

MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Si consideramos que el flujo de calor se establece desde un sistema a otro por la diferencia de temperatura (diferencia de niveles de energía interna) entre los mismos, en la determinación del flujo de calor se puede, en forma generalizada, considerar dos factores que lo determinan:

Figura 1-2 Determinación del tamaño de un equipo utilizado para la transferencia de calor.

Transferencia de Calor

La diferencia de temperaturas Los sistemas entre los que se establece el flujo de calor. De acuerdo a este ultimo factor, podemos considerar las siguientes posibilidades: 1.1.1 Sistemas situados dentro del mismo material

Figura 1-3 Sistemas situados en el mismo material.

En el caso que los sistemas se encuentren en el mismo material, entonces la única posibilidad que existe para que parte de la energía del sistema 1 se transfiera al sistema 2, es la interacción a nivel atómico o molecular ( en la suposición que las partículas de ambos sistemas no se trasladen en el espacio, como sucede efectivamente en los sólidos o en los fluidos en reposo), en este caso esta forma o mecanismo de transferencia de calor se denomina CONDUCCIÓN del calor 1.1.2 Sistemas situados en materiales diferentes

En este caso pueden considerarse dos situaciones generales

Figura 1-4 Transferencia de calor por convección en sistemas situados en materiales diferentes

Los dos sistemas de materiales diferentes están en contacto directo y además uno de los materiales puede fluir ya sea de manera forzada o de manera natural, como sucede en la interacción del agua del sistema de enfriamiento de un motor de automóvil con las paredes del cilindro que quiere enfriar o el aire que esta en contacto con la paredes de un edificio. En este caso la transferencia de energía (calor) de un sistema a otro esta determinada por la combinación de dos efectos: El contacto directo (Conducción) más la colaboración que da la posibilidad del movimiento de uno de los materiales, esta combinación se denomina mecanismo de transferencia de calor por CONVECCIÓN. Los dos sistemas materiales diferentes no están en contacto directo, pudiéndose presentar acá adicionalmente dos situaciones:

Figura 1-5 Dos sistemas donde hay un medio físico transparente

a.

Entre los dos sistemas hay un medio físico transparente, por ejemplo en la interacción térmica existente entre un bombillo de luz incandescente y la pared del cuarto donde funciona, existe un ambiente de aire que puede servir de vehiculo para llevar el calor desde la bombilla hasta la pared.

b.

Entre los dos sistemas no existe un medio físico particular, por ejemplo en la interacción entre el sol y la tierra, en la cual la energía se transporta desde sol hacia la tierra a través del vació.

4

Transferencia de Calor

MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Entre dos sistemas dentro del mismo material

CONDUCCION Sistemas adjuntos

Entre dos sistemas ubicados en diferentes materiales

Sistemas separados

Uno de los materiales se puede mover

CONVECCION

No hay fluido intermedio (vacío)

RADIACION

Hay fluido intermedio

RADIACION + CONVECCION

Figura 1-6 Transferencia de calor en una resistencia eléctrica debido a la diferencia de temperaturas.

1.2

TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACIÓN

El termino RADIACION, es un termino genérico que describe todos los mecanismos de transporte de energía asociado a la emisión de Ondas Electromagnéticas. Se conocen diferentes manifestaciones de esta forma de transporte de energía como son : Los rayos X, las ondas de radio, los rayos de las bombas atómicas y el calor emanado desde todos los cuerpos debido a su nivel de temperatura. Todas estas formas de emisión son una manifestación diferente del mismo fenómeno, flujo de energía asociado al movimiento de ondas electromagnéticas, que se diferencian entre si solo en la manera como son producidos y el nivel de energía de cada uno de ellos, 5

Transferencia de Calor

así sabemos que los rayos β y γ son emitidos por la fisión de núcleos …. y presentan un gran nivel energético el cual esta relacionado con la longitud de onda de dichos rayos ( del orden de λ= 10 -13 a 10 -10 m), o que los rayos X son producidos por el choque de electrones sobre placas metálicas con niveles de energía un poco menores correspondientes a longitudes de onda del orden de 10 -8 a 10 -10 m. P

P

P

P

P

P

P

P

La forma particular mediante la cual se emite energía en forma de ondas electromagnéticas solo debido al nivel de temperatura de los cuerpos, se conoce como radiación térmica, y es el objeto de nuestro estudio. El mecanismo de emisión de este tipo de energía esta asociado a los cambios de la configuración tanto energética como oscilatoria de los electrones que componen la materia y esta caracterizada porque el nivel energético de las ondas emitidas corresponde principalmente al de longitudes de onda comprendidas entre 0.1 y 100 μ . La radiación térmica es un fenómeno volumétrico y los sólidos, líquidos y gases emiten, absorben ó transmiten radiación en diversos grados, sin embargo, suele considerarse como un fenómeno superficial en sólidos que son opacos a la radiación térmica, como metales, madera y roca, ya que la radiación térmica emitida por las regiones internas nunca pueden alcanzar la superficie y la incidente suele ser rápidamente absorbida por esta.

Figura 1-7 Calentador de agua solar.

Todos los cuerpos a una temperatura por encima del cero absoluto emiten radiación térmica. La energía radiante que sale de una superficie se distribuye mas o menos uniformemente en el espacio que rodea la superficie, pudiéndose, para efectos de cuantificación, discriminarse de acuerdo a: La cantidad de superficie emisora W/m 2 . P

P

El ángulo sólido y la dirección de interés de la radiación emitida W/m 2 . Sr (Sr corresponde a un SteroRadian de ángulo sólido) P

6

P

Transferencia de Calor

La longitud de onda en particular en que se emita la radiación. La efectividad para captar o emitir radiación de la superficie. De acuerdo a este último factor, se puede razonar que para una temperatura dada existirá una superficie cuya característica determina que se emita o se absorba la mayor cantidad de energía térmica radiante, la cual se podrá tomar como base para referenciar todas las demás superficies, esta superficie se denomina superficie negra y la cantidad de energía que emite a un nivel de temperatura dado será el máximo y su valor por cada metro cuadrado de superficie emisora se denomina Poder emisivo total del cuerpo negro E b (total puesto que se consideran todas la direcciones de emisión y todas las longitudes de onda de emisión). Mediante la teoría quántica y la comprobación experimental puede demostrarse que la relación entre el poder emisivo total y la temperatura esta expresado por la relación: B

Figura 1-9 Cuerpo emitiendo radiación térmica, esta energía es llamada PODER EMISIVO

B

⎡W ⎤ σ es la constante de Boltzman, equivalente a ⎢⎣ m 2 ⎥⎦ 5,67 *10 −8 W / m 2 K 4 y la relación se denomina Ley de Stefan-Boltzman. Eb = σ .T 4

La mayoría de las superficies no emiten o absorben, a una temperatura dada, la misma cantidad de energía que la superficie negra, para cuantificar la energía que absorben o emiten realmente se puede definir una variable que exprese el comportamiento relativo de cada superficie respecto de la superficie negra, asi: Respecto de la emisión, se denomina emisividad la relación entre el poder emisivo de la superficie en cuestión respecto del poder emisivo de la superficie negra.

ε=

Poder emisivo de la sup erficie E = Poder emisivo del cuerpo negro Eb

Respecto de la absorción de la energía radiante incidente por la superficie, se denomina absortividad la relación entre la energía realmente absorvida por esta con relación la energia incidente. a=

energia absorvida por la sup erficie G = Energia incidente Gi

Se puede demostrar que el cuerpo que mejor absorve a = 1 es también el cuerpo que mejor emite ε=1, relación que se denomina ley de Kirchoff, la cual establece que la emisividad de un cuerpo es igual a su absortividad (ε = a) si esta se miden a la misma temperatura. 7

Figura 1-10 Poder emisivo monocromático de un cuerpo negro a diferentes temperaturas, Predicho, Observado. T

T

Transferencia de Calor

Si la energía que sale o se emite se especifica en una longitud de onda en particular la cantidad correspondiente se denomina como poder emisivo espectral E λ (W/m 2 μ ). La relación entre el poder emisivo espectral monocromático de un cuerpo negro y la longitud de onda en la cual se emite se muestra en la figura 1.6 para diferente niveles de temperatura del cuerpo B

B

P

P

Si la energía que sale o se emite se especifica en relación con la dirección espacial y un cierto ángulo de visión la magnitud resultante se denomina Poder emisivo Direccional o Intensidad. Esta magnitud es útil cuando se quiere establecer la cantidad efectiva de radiación que dos cuerpos intercambian, magnitud que depende de la cantidad de energía que saliendo de un cuerpo efectivamente impacte el otro. Cuando dos cuerpos intercambian calor por radiación, el intercambio de calor neto es proporcional a las diferencias en T 4 , de tal forma que la tasa de radiación máxima que puede emitirse desde una superficie a una temperatura absoluta: Qemit ,max = σAT 4 [W ] donde A es el área de superficie y σ es la P

P

constante de Boltzman, equivalente a 5,67 *10 −8 W / m 2 K 4 . La superficie idealizada que emite radiación a esta tasa máxima recibe el nombre de cuerpo negro. La radiación emitida por superficies reales es menor que la radiación emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura y se expresa como: Qemit = εσAT 4 [W ] donde ε es la emisividad de la superficie y varía entre cero y uno, para un reflector ideal ε = 0 y para un cuerpo negro ε = 1 . No todas las radiaciones que dejan una superficie alcanzarán la otra superficie. Figura 1-11

Por ejemplo, un cuerpo negro de área superficial A y temperatura absoluta T s está dentro de un recinto de temperatura absoluta T p . El cuerpo emitirá energía radiante en cantidad AσTs4 y absorberá energía radiante en cantidad B

B

B

B

AσT p4 , así que la energía radiante neta que sale del cuerpo será

(

)

Q R Neto = Aσ Ts4 − T p4 .

Figura 1-12 Diagrama de radiación entre el cuerpo 1 y el recinto 2

Si ninguno de los dos cuerpos es un radiador perfecto y si ambos guardan una relación geométrica entre sí la energía radiante neta que sale del cuerpo será Q R Neto = AFσ (Ts4 − T p4 ) donde F es una magnitud adimensional menor que la unidad, que modifica la ecuación para los radiadores perfectos de manera que tengan en cuenta las emitancias y la posición relativa de las superficies. La determinación de la cantidad real de calor radiante intercambiado depende de varios factores: Relación geométrica entre los cuerpos (factor de visión).

8

Transferencia de Calor

La presión o no de gas absorbente. Receptividad de la superficie. El factor de visión permite determinar cuanta energía llega a una superficie con respecto a lo que salió de la otra, este factor también varía entre cero y uno. Comportamiento de los cuerpos a la energía radiante incidente

Figura 1-13 Comportamiento de los cuerpos a la energía radiante

Donde se tiene que: Cuerpo opaco: (a + r) = 1 Cuerpo negro (Hipotético): a = 1 Stefan, Josef

(Sankt Peter, 1835-Viena, 1893) Físico austríaco. Estudió la difusión de los gases, la conductividad calorífica y, sobre todo, la radiación de un cuerpo negro, cuya ley, que enunció, fue posteriormente demostrada por Boltzmann, por lo que lleva el nombre de ambos científicos. Boltzmann, Ludwig

(1844-1906) Físico austriaco, n. en Viena y m. en Duino. Hizo sus estudios en Linz y se graduó en la Universidad de su ciudad natal. Fue profesor de física en Graz, Munich, Viena y Leipzig. Publicó numerosos trabajos sobre termodinámica y propuso una explicación molecular, aceptada universalmente, del concepto de la entropía, a la que define mediante la 9

Transferencia de Calor

probabilidad termodinámica del sistema. La ley de Stefan-Boltzmann relativa a la radiación y la llamada constante de Planck-Boltzmann, k, han contribuido a inmortalizarle entre los físicos más eminentes de todos los tiempos. Son notables, entre otras obras fundamentales, sus Vorlesungen über die Gastheorie (1899), Vorlesunger über die Principien der Mechanik (1904) y muchos trabajos sobre la teoría cinética de los gases y de Maxwell. Ha sido miembro prominente del Instituto de Física Teórica de Viena, que ha tenido un continuador no menos ilustre en su compatriota Erwin Schrödinger. 1.2.1 Procesos básicos de intercambio de calor radiante Tabla 1 procesos básicos de intercambio de calor

CASOS

SUPERFICIE NEGRA

(

Q1, 2 = σT14 − σT24 A

A1 → ε 1

Q1, 2 = σ T14 − T24 A

Q1, 2 = ε 1 A1σ T14 − T24

(

(

)

)

(

)

(

)

Q1, 2 = σT14 − σT24 A

A1 → ε 1

Q1, 2 = σ T14 − T24 A

Q1, 2 = ε 1 A1σ T14 − T24

(

)

(

1.3

)

SUPERFICIE GRIS

)

Q1, 2 = A1σ T14 − T24 F12

Q1, 2 = A1σ (w1 − w2 )

F12 → factor de visión

w → radiosidad

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN

La conducción es la forma de transferencia de calor en la cual el intercambio de energía ocurre de la región de mayor a la de menor temperatura por el movimiento cinético ó el impacto directo de las moléculas como en el caso de los fluidos en reposo o por el arrastre de los electrones como en el caso de los metales. La ley básica de la conducción del calor basada en observaciones experimentales, se conoce con el nombre del físico matemático francés J.

10

Transferencia de Calor

Fourier quien la aplicó en su teoría analítica del calor, la cual establece que la tasa de conducción de calor en una dirección dada es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección. q = − kA

Definiendo un diferencial de área en una de las isotermas, la dirección del flujo de calor es perpendicular a esta.

∂T ∂x

Donde k es una constante de proporcionalidad llamada conductividad térmica del material y es función de la temperatura, además: Indica la relativa facilidad con que el calor se mueve en el material. Indica la aplicabilidad de un material en un sistema térmico. El signo menos nos indica que el calor fluye de un medio caliente a uno frío, A es el área de transferencia de calor perpendicular al eje X (m2 ), la derivada parcial es el gradiente de temperatura en la dirección X (K/m) y k es la conductividad térmica. P

Demostración dQ = qdA

[W ]

⎛ ∂T ˆ ∂T ˆ ∂T ˆ ⎞ r q = − k ⎜⎜ i+ j+ k⎟ ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂T ˆ ∂T ˆ ∂T ˆ ⎞ ˆ dQ = − k ⎜⎜ i+ j+ k ⎟⎟. Ai i + A j ˆj + Ak kˆ x y z ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎝

(

⎛ ∂T ∂T ∂T ⎞ ∂T dQ = − k ⎜⎜ Ai + Aj + Ak ⎟⎟ = − k An ∂y ∂z ∂n ⎝ ∂x ⎠ ∂T ∂T Ax = −k An sen 2θ ∂n ∂x ∂T ∂T Q y = −k Ay = − k An cos 2 θ ∂y ∂n ∂T Qx + Q y = −k An ( sen 2θ + cos 2 θ ) ∂n ∂T Qx + Q y = −k An = Qn ∂n Qx = −k

11

)

P

Figura 1-14 Transferencia de calor por conducción.

Transferencia de Calor

Ejemplo 1-1

Un ejemplo es el caso de dos paredes de espesores diferentes, con el mismo tipo de material, la transferencia de calor por unidad de área en la pared A de la figura es mayor que en B, debido a que esta depende de la diferencia de temperatura con respecto a la distancia. ΔT ⎛ − 50 ⎞ 2 = −k ⎜ ⎟ = 10k W / m Δx 5 ⎝ ⎠

Q1 = − k

Q2 = − k

ΔT ⎛ − 50 ⎞ 2 = −k ⎜ ⎟ = 5k W / m Δx 10 ⎝ ⎠

Q 1 > Q 2 a pesar de que ΔT 1 = ΔT 2 = 50°C B

B

B

B

B

B

B

B

Figura 1-15 Transferencia de calor en dos paredes del mismo material y espesores difenertes.

El valor numérico de la conductividad nos indica qué tan rápido fluirá el calor en un material dado y varía según el material (W/mK). El mayor valor lo tienen los metales puros y el menor los gases y vapores; los materiales aislantes amorfos y los líquidos inorgánicos tienen conductividades térmicas intermedias entre éstos valores. La conductividad térmica varía también con la temperatura. La de la mayoría de los metales puros disminuye con la temperatura, mientras que la de los gases y la de los materiales aislantes aumentan con ella. El mecanismo de conductividad térmica en un gas es simple, se identifica la energía cinética de una molécula con su temperatura, en una región de alta temperatura la velocidad es alta. Si una molécula se mueve de una región de alta temperatura a una región de baja temperatura, transporta energía cinética a la parte de baja temperatura y transfiere ésta energía a través de colisiones con moléculas de temperatura más baja, la condición depende de la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. En los líquidos, cualitativamente, igual que en los gases, pero más complejo ya que las moléculas se encuentran más cerca unas de otras y los campos de

12

Transferencia de Calor

fuerza molecular ejercen una fuerte influencia sobre el intercambio de energía en el proceso de colisión. En los sólidos se identifican dos modos: por vibración de red y por el transporte por medio de electrones libres. En buenos conductores eléctricos un gran número de electrones libres se mueven en la estructura de la red del material transportando carga eléctrica y energía térmica, como un gas de electrones. En materiales aislantes a altas temperaturas puede ser por conducción a través de material sólido poroso ó fibroso, por conducción a través del aire atrapado en los espacios huecos ó por radiación a temperaturas suficientemente altas. Baron Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830).

Fourier fue educado en el clero pero no tomó sus votos. En lugar de eso tomó el estudio de las matemáticas (1794) y más tarde enseñaba matemática en la Escuela Normal. En 1798 se unió al ejército de Napoleón en su invasión a Egipto como guía científico. Ayudó a establecer las facilidades educacionales en Egipto y llevaba las exploraciones arqueológicas. Regresó a Francia en 1801 y fue nombrado prefecto del departamento de Isere por Napoleón. Publicó "La teoría analítica del calor" en 1822 seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor. Estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. En esto introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier. T

T

El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales.

1.4

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN

Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido ó fluye dentro de un canal y si las temperaturas del fluido y del sólido o del canal son diferentes, habrá transferencia de calor entre el fluido y la superficie sólida debido al movimiento relativo entre el fluido y la superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se da el nombre de Convección, que implica los efectos combinados de la conducción en la primera capa de fluido y del movimiento del fluido. 13

Figura 1-16 Transferencia de Calor por Concevección

Transferencia de Calor

El gradiente de temperatura depende de la rapidez a la que el fluido conduce el calor, es decir, del campo de flujo. Se dice que la transferencia de calor es por Convección Forzada si el movimiento es inducido artificialmente, digamos con una bomba ó un ventilador que impulse el fluido sobre la superficie; y que la transferencia de calor es por Convección Libre (o Natural), si el movimiento del fluido es ocasionado por fuerzas de empuje debidas a diferencias de densidad causadas por diferencias de temperaturas en el fluido. Por ejemplo, una placa caliente suspendida verticalmente en aire frío en reposo, produce un movimiento en la capa de aire adyacente a la superficie de la placa, debido a que el gradiente de temperatura en el aire da lugar a un gradiente de densidad que a la vez pone el aire en movimiento. La rata de transferencia de calor por convección depende de la conductividad térmica, el calor específico, la densidad del fluido, su viscosidad y de las temperaturas. Puede presentarse en diferentes formas: Interno, en el cual el fluido está confinado por la superficie. Externo, en el cual el fluido se encuentra fuera de la superficie. 1.4.1 PROCESOS BÁSICOS CONVECTIVO

DE

INTERCAMBIO

DE

CALOR

Tabla 2 Procesos básicos de intercambio de calor convectivo

CASO

CONFIGURACIÓN

T ref B

B

COEFICIENTE

Confinado

Interno Natural

Tm

Forzado

h=

qc Ts − Tm

h=

qc Ts − T∞

Externo No Confinado

Figura

Natural

T∞

Forzado

1.4.2 MÉTODOS PARA DETERMINAR EL h.

1. Analítico (infinitesimal). Permite determinar coeficientes LOCALES.

14

Transferencia de Calor

Requiere la determinación de los gradientes de T° del fluido en la frontera, para lo cual se necesita la distribución de la T° T(r) o T(y), que se puede calcular mediante Balance de energía. ∂T = ? → T ( y ) → Ec. diferencial del balance de energia ∂y

qC = − k −k hx =

∂T ∂y

y =0

∂T ∂y

y =0

= h(Ts − TRef )

(Ts − TRef )

coeficiente LOCAL

2. Empírico (finito). Aplicado para calcular coeficientes PROMEDIOS

h=

qc mCpΔT→ = Ts − Tref AT (Ts − Tref )

ΔT↓ = Ten − Ts h=

ρum A flujoCpΔT AT ΔT↓

A ΔT h = flujo → (adimensional ) → St ρCpum AT ΔT↓

Figura 1-17 Temperatura de referencia en flujos internos y flujos externos

St ≅ Stanton. 1.4.3 DETERMINACIÓN DE Q CONVECTIVO

La determinación analítica del perfil de temperatura para T(r) ó T(y) es bastante complicado ya que depende de: 3. Patrón de flujo: laminar, turbulento o en transición. 4. Forma de la frontera. 5. Propiedades físicas del fluido. 6. La temperatura del fluido de referencia.

15

Transferencia de Calor

Tabla 3 Temperatura de referencia

Caso

T ref

Flujo Interno

T ref = T m

Flujo Externo

T ref = T

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Para tuberías existe una temperatura media del fluido. E = dmCpT (r ) = ρvr 2πr (e)drCp (Tr ) R

E = ∫ ρvr 2πr (e )CpT (r ) = m& CpTm 0

R

∫ ρv 2πr (e)CpT (r ) r

Tm =

0

m& Cp R

∫ ρv 2πr (e)CpT (r ) r

Tm =

0

ρvπr 2Cp

Para volver (1) igualdad: q c = h(Ts − Tref h=

)

qc Ts − Tref

Donde h es variable y depende de muchos factores. Unidades: Tabla 4 Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor por convección

⎛ W ⎞ h⎜ 2 ⎟ ⎝ m ºC ⎠ 5-15 15-300 50-1700 5000-12000 3000-55000 5500-100000

CONDICIÓN Aire convección libre Aire convección forzada Aceite convección forzada Agua convección forzada Vaporización de agua Condensación de agua

16

Transferencia de Calor

⎡ Btu ⎤ ⎡ w ⎤ h=⎢ 2 0 ⎥ ; ⎢ ⎥ 2 ⎣m C ⎦ ⎣ hr ft F ⎦

1.5

CONVECCIÓN Y RADIACIÓN COMBINADAS

Cuando las transferencias por convección y por radiación son del mimo orden de magnitud y ocurren simultáneamente, es muy complicado hacer un análisis de transferencia de calor considerando la interacción entre las dos formas de transferencia. Por otro lado, bajo condiciones muy restringidas, puede determinarse en forma aproximada la transferencia de calor por convección y radiación simultáneas, mediante la superposición lineal de los flujos de calor debidos a estas dos formas de transferencia. Consideremos por ejemplo, el fluido de los productos calientes de combustión a una temperatura T g , a través de un ducto frío cuyas paredes se mantienen a una temperatura T w . Los productos de la combustión tales como el CO 2 , CO y H 2 O absorben y emiten radiación. Entonces, la transferencia de calor del gas a las paredes del conducto se realizan tanto por convección por radiación y un análisis apropiado de este problema de transferencia de calor requiere de una solución simultánea de las ecuaciones de convección y radiación; lo cual es muy complejo. Si la componente radiante del flujo de calor no es muy apreciable, se puede calcular aproximadamente el flujo total de calor q desde el gas hasta la superficie de la pared, sumando el flujo de calor por convección q c y el flujo de calor por radiación q r como: B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

q = qc + qr B

B

B

Cuando en esta ecuación se reemplazan las relaciones de los flujos de calor por convección y radiación se obtiene: q = hc (Tg − Tw ) + hr (Tg − Tw ) = (hc + hr )(Tg − Tw ) o′

q = hcr (Tg − Tw )

En donde se define el coeficiente combinado de transferencia de calor por convección y radiación como:

hcr = hc + hr

17

2

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Ecuación General de Conducción

TABLA DE CONTENIDO

2.

ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN......................................................... 20 2.1.1 2.1.2 2.1.3

2.2

Flujo de calor a una diferencia de temperatura:.....................................................................................21 Flujo neto de calor conducido ..............................................................................................................21 Relaciones de transformación...............................................................................................................22 ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS ...23

19

Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción

2. ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN Se pretende obtener una ecuación que relacione el flujo de calor con la distribución de las Temperaturas en el cuerpo, T(x, y, z, t), esta distribución de temperatura en un medio puede determinarse a partir de la solución de la ecuación diferencial de la conducción de calor cuando se somete a condiciones apropiadas de frontera. 1. Debe cumplirse la 1ª Ley de la Termodinámica, para un balance de energía en un volumen de control (V.C).

2. q = − K ×

∂T ∂n

(Relación de transformación)

Ecuación Finito

Diferencial

3. Resolver la ecuación diferencial T=T(x, y, z)

Figura 2-1 Volumen de control

Se mira el cambio de gradiente en todas las direcciones, se debe hacer el balance de energía teniendo en cuenta:

20

Transferencia de Calor

Flujo de calor conducido Flujo de calor que se Flujo de calor a través de la superficie de genera en el interior almacenado en el elemento Qa del elemento Qg control

2.1.1

Flujo de calor a una diferencia de temperatura:

Ecuación de balance de calor Qkx + Qky + Qkz + Q g = Qk ( x + ∆x ) + Qk ( y + ∆y ) + Qk (z + ∆z ) + Qa

(Q

kx

(

)

− Qk (x + ∆x ) )+ (Q y − Qk ( y + ∆y ) )+ Qk (z + ∆z )+Qkz + Q g = Qa

2.1.2

Flujo neto de calor conducido

La función Qx se puede aproximar por una Serie de Taylor f (x + ∆x ) = f (x ) +

∂f ∂2 f ∆x + 2 ∂x x ∂x

x

∆x 2 ⋅⋅⋅⋅ 2

∂Q x Qk (x + ∆x ) = Qkx ∆x ∂x ∂Q Qkx − Qk (x + ∆x ) = − x ∆x ∂x

De la misma manera hacemos aproximaciones para Qy y Qz. Reemplazando en la ecuación del balance de calor:

−

∂Q y ∂Q x ∂Q z ∆y − ∆z + Q g = Qa ∆x − ∂y ∂z ∂x

21

Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción

Es decir: Tasa neta de calor que entra por conducción al elemento ∆x∆y ∆z + Tasa de energía generada en el elemento ∆x∆y ∆z = Tasa de incremento de energía interna del elemento ∆x∆y ∆z

2.1.3

Relaciones de transformación

La tasa neta de calor que entra por conducción al elemento de volumen se determina sumando las entradas netas de calor por conducción en las direcciones x, y, z. Si en la posición x el flujo de calor en dirección x es −k (∂T / ∂x ) , la tasa de flujo de calor que entra al elemento de volumen a través de la superficie en dirección x es Qx = − k

∂T ∆y∆z ∂x

Q y = −k

∂T ∆x∆z ∂y

Q z = −k

∂T ∆y∆x ∂z

Si en el medio hay fuentes distribuidas de energía que generan calor a una tasa g (x, y, z, t) por unidad de tiempo y por unidad de volumen, la tasa de energía generada en el elemento esta dada por Q g = q g ∆V

En el caso de sólidos y líquidos lo calores específicos, a presión y volumen constante, son iguales, esto es, Cp ≅ Cv ≡ C . Entonces la tasa de incremento de la energía interna se refleja en la tasa de almacenamiento de energía en el elemento de volumen y esta dada por, Qa = mCp

donde

∂T ∂t

y Cp no varían con el tiempo.

 ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2 T  ∂T k∆V  2 + 2 + 2  + q g ∆V = ρCp ∆V ∂t ∂y ∂z   ∂x

Realizando las simplificaciones y dividiendo por k, obtenemos la ecuación diferencial parcial de la conducción de calor.

22

Transferencia de Calor

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q g ρCp ∂T + + + = k k ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Donde

α=

k ρCp

→ Difusividad térmica (m2/seg)

Una difusividad alta indica elevada rapidez de transferencia de energía o valor bajo de la capacidad calorífica, lo que significa que se absorberá dentro del material una cantidad menor a la de la energía en movimiento y será utilizada para aumentar la temperatura del material, por tanto habrá mas energía disponible para transferencias ulteriores. Generalizando: ∇ 2T +

g 1 ∂T = k α ∂t

Donde ∇ 2T es el operador laplaciano y se define como ∂ 2T ∂ 2 T ∂ 2T ∇ T= 2 + 2 + ∂x ∂y ∂Z 2 2

En la ecuación general el primero y segundo término del lado izquierdo de la ecuación representa respectivamente las ganancias del calor del sólido por conducción y generación, y el lado derecho representa la tasa de variación de la temperatura con el tiempo en el sólido.

2.2

ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

En el análisis precedente derivamos la ecuación de conducción del calor para un sistema de coordenadas rectangulares, esta ecuación se utiliza para analizar la conducción de calor en sólidos tales como la placa, un medio semi-infinito, un rectángulo ó un paralelepípedo. Por otra parte, para analizar la conducción de calor en cuerpos tales como un cilindro o una esfera se 23

Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción

debe expresar la ecuación de conducción de calor en el sistema de coordenadas cilíndricas ó esféricas respectivamente; el propósito de emplear diferentes sistemas de coordenadas es asegurar que las superficies coordenadas coincidan con las superficies que delimitan la región. Coordenadas cilíndricas: ∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T g 1 ∂T + + + + = ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂z 2 k α ∂t Coordenadas esféricas: 1 ∂2 1 1 ∂  ∂T  ∂ 2T g 1 ∂T ( ) θ + + + = rT sen   ∂θ  r 2 sen 2θ ∂φ 2 k α ∂t r ∂r 2 r 2 senθ ∂θ  Tabla 2-1 ecuación general de conducción

CASO

COORDENADAS

ECUACION GENERAL

Rectangulares

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q g ρCp ∂T + + + = k k ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T g 1 ∂T + + + + = ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂z 2 k α ∂t

Cilíndricas

1 ∂2 1 ∂ 1 ∂2T g 1 ∂T ∂T  (rT) + 2 + =  senθ  + 2 2 ∂θ  r sen θ ∂φ2 k α ∂t r ∂r 2 r senθ ∂θ 

Esféricas

24

Transferencia de Calor

Existen otros sistemas de coordenadas ortogonales para resolver las ecuaciones de conducción del calor en cuerpos que tienen otras formas geométricas. Por ejemplo, se puede utilizar coordenadas cónicas, elipsoidales, parabólicas, etc. Para nuestro caso la solución de la ecuación de conducción en tales sistemas de coordenadas no las tendremos en cuenta. Algunos casos prácticos: 1. Flujo de calor unidimensional en el estado estable sin generación de calor,

∂ 2T =0 ∂x 2 2. Flujo de calor unidimensional en coordenadas cilíndricas

∂ 2T 1 ∂T + =0 ∂r 2 r ∂r 3. Flujo de calor unidimensional en estado estacionario con fuentes de calor

∂ 2T g + =0 ∂x 2 k 4. Conducción bidimensional en estado estacionario sin fuentes de calor ∂ 2T ∂ 2T + =0 ∂x 2 ∂y 2 En la siguiente tabla se presentan los casos particulares de la ecuación general de la conducción teniendo en cuenta si hay o no variación en el tiempo, así como también las diferentes coordenadas espaciales y si se produce o no generación en la superficie analizada.

25

Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción

Tabla 2-2 Resumen ecuación de conducción

TIEMPO ESPACIO Estado estable

∂T =0 ∂t

Transitorio

∂T ≠0 ∂t

qg = 0

∂ 2T =0 ∂x 2

1 ∂T ∂ 2T = 2 ∂x α ∂t

qg ≠ 0

∂ 2T qg + =0 ∂x 2 k

1 ∂T ∂ 2T qg + = 2 ∂x k α ∂t

qg = 0

∂ 2T ∂ 2T + 2 =0 ∂x 2 ∂y

∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T + 2 = 2 ∂x ∂y α ∂t

qg ≠ 0

q ∂ 2T ∂ 2T + 2 + g =0 2 k ∂x ∂y

q ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T + 2 + g = 2 ∂x ∂y k α ∂t

qg = 0

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T + 2 + 2 =0 ∂x 2 ∂y ∂z

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T + 2 + 2 = 2 ∂x ∂y ∂z α ∂t

Unidimensional

Bidimensional

Tridimensional qg ≠ 0

q qg ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T + + + = 0 + 2 + 2 + g = 2 2 2 2 k ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z k α ∂t

26

3

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Conducción Unidimensional Estado Estable

27

TABLA DE CONTENIDO

3.

CONDUCCION UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACION 29

3.1

CONDICIONES DE FRONTERA ...........................................................................................................29

3.2

TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACIÓN 32

3.3 RESISTENCIA TÉRMICA ......................................................................................................................32 3.3.1 Pared Compuesta...................................................................................................................................35 3.3.2 Paredes en serie ......................................................................................................................................36 3.3.3 Resistencia Térmica Despreciable...........................................................................................................36 3.4 CONDUCCION UNIDIMENSIONAL, ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION CON CONDICIONES DE FREONTERA DE TERCERA CLASE: ..............................................................................39 3.4.1 Coeficiente global de transferencia de calor.............................................................................................40 3.4.2 Paredes en paralelo. Estado estable unidimensional sin generación. .........................................................41 3.4.3 Consideraciones Especiales para la Aplicación de Analogía Térmica.......................................................41 3.4.4 Determinación del espesor de aislamiento requerido (Radio Óptimo).......................................................49 3.4.5 Formulas de Valor Presente de:...............................................................................................................49

3.

CONDUCCION UNIDIMENSIONAL ESTADO ESTABLE SIN GENERACION

EN

A continuación discutiremos las aplicaciones de la conducción del calor en una placa, en un cilindro y una esfera, en estado estable y en una dimensión, considerando diferentes condiciones de frontera; discutiremos la determinación del flujo de calor a través de una placa cuya conductividad térmica depende de la temperatura; estudiaremos el análisis de la transferencia de calor en capas paralelas compuestas, el concepto de resistencia térmica por analogía con la resistencia eléctrica, derivaremos la ecuación de una aleta en una dimensión, determinando la transferencia de calor proveniente de superficies provistas de aletas. Cuando se dice que el flujo es unidimensional significa que la temperatura es función de una única “dimensión” o coordenada espacial. Estacionario significa que las temperaturas no varían con el tiempo, por lo tanto, el flujo de calor también es constante en el tiempo. La conducción sin generación hace referencia a que no se produce calor dentro del cuerpo analizado. El objetivo del estudio de la conducción en un cuerpo tiene por objeto determinar el perfil de temperaturas que se desarrolla en este y además cuantificar el flujo de calor que pase a través de cualquier sección de área.

3.1

CONDICIONES DE FRONTERA

En los problemas de conducción de calor que se encuentran en la practica intervienen regiones adyacentes que pueden ser muy distintas, para estudiar estos problemas es necesario conocer las condiciones térmicas en cada una de las superficies de contacto; en general se requiere que tanto el flujo de calor por unidad de área como la temperatura sean continuas a través de la interfaz; así las soluciones de la ecuación de conducción en cada región deben estar ligadas. En el estudio de problemas de transferencia de calor más complejos, a menudo es conveniente desligar las regiones y considerarlas por separado. Así, la condición de contorno o de frontera es simplemente una temperatura conocida. Se pueden plantear cuatro clases de fronteras:

1. Primera clase: Se especifica el valor de la temperatura en dos puntos del cuerpo, ( x=0 ; x=e ) 29

Figura 3-1 Condición frontera de Primera clase

Especificar →

Tx = 0 = T1 Tx = e = T2

2. Segunda clase: Especifica el flujo de calor en una posición dada. Donde el flujo de calor es igual al producto de la conductividad térmica k del material por la derivada de la temperatura normal a la superficie.

qx = 0 = q0

∂T ∂x

dT q0 = −k dx

= q0 x =0

3. Tercera clase: Esta condición se da cuando se somete la superficie limite a una transferencia de calor por convección con un medio de temperatura conocida. Consideremos una placa qc = qk qc = h1 (T∞ − T1 ) = − k

h1 (T∞1 − Tx=0 ) = −k

dT dx

x =0

∂T ∂x x=0

−k

∂T = h2 T x=e −T∞2 ∂x x=0

(

)

Figura 3-2 Condición frontera tercera clase

4. Frontera móvil: qc = q fusion

Se llaman condiciones de frontera móvil a las condiciones de problemas de radiación, convección que producen fusión, solidificación o ablación porque en ellos la formación o eliminación de materia en la frontera hace que exista una transitoriedad respecto de la posición, que hace que el análisis de los problemas de Transferencia de calor sometidos a condiciones de frontera móvil tengan un nivel de complejidad superior.

Tabla 3-1 Condiciones de frontera

TIPO

ESQUEMA

ECUACIÓN

Primera clase

Tx=0 = T1

Segunda clase

q = −k

dT dx

⇒

dT q =− dx k

h (T∞ − Ts ) = − k

Tercera clase

Fronteras móviles

QT = Qfusion + Q2

31

dT dx

3.2 TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACIÓN Pared Plana

Cilindros

d 2T =0 dx 2

1 ∂  ∂T  r =0 r ∂r  ∂r 

SUPERFICIE

Ecuación diferencial Condiciones de frontera

T(x) = C1 x + C2

T1 = C1 * 0 + C2 T2 = C1 e + C2 T2 T1 = C1 * e T −T C1 = 2 1 C 2 = T1 e T −T T( x ) = 2 1 x + T1 e

Función particular

3.3

r = r1 r = r2

T = T1 T = T2 dT = C1 dx

Pendiente de la temperatura Función general de la temperatura

Resistencia Térmica

x=0 x=e

r

dT = C1 dr

T r = T1 T r = T2 ⇒

C dT = 1 dr r

T(r) = C1 ln r + C2 T1 = C1 ln r1 + C2 T2 = C1 ln r2 + C2 T1 T2 = C1 ln r1 - C1 ln r2 T1 T2 = -C1 ln (r2 / r1) T −T C1 = − 1 2 ln (r2 / r1 ) C2 = T1 +

T1 − T2 ln r1 ln (r2 / r1 )

T −T

r

1 2 1 RESISTENCIA TÉRMICATr = ln (r / r ) ln r + T1 2 1

e R= kA

r2 ) r1 R= 2πkL ln(

Existe una analogía entre la transmisión de calor y la carga eléctrica. De la misma manera que se asocia una resistencia eléctrica con la conducción de electricidad, se asocia una resistencia térmica con la conducción de calor. Al definir la resistencia como la razón de un potencial de transmisión a la transferencia de calor correspondiente. La resistencia térmica para la conducción es: Rt , cond ≡

Ts,1 − Ts,2 qx

=

e kA

De manera similar, para la conducción eléctrica en el mismo sistema, la ley de Ohm proporciona una resistencia de la forma: R=

∆V L = I σA

En muchos casos prácticos en la determinación del flujo de calor se deben incluir no sólo el análisis de la variación de la temperatura si no también el análisis de variación de la conductividad térmica o la variación del área transversal al flujo. Si se toma en cuenta estas posibles variaciones se podrían analizar dos casos específicos: 1. Conductividad térmica variable k(T) y área transversal constante A= C En algunos sólidos las temperaturas son tan grandes que la conductividad térmica varía sustancialmente. En tales casos es necesario incluir en el análisis la variación de la conductividad térmica con la temperatura. Los efectos de la variación de la conductividad térmica se pueden incluir directamente en el análisis de flujo estable de calor en una dimensión, en un sólido sometido a condiciones de frontera de temperaturas conocidas. Área variable A(x) y conductividad térmica constante y k = C La gran mayoría de los cuerpos analizados en la práctica tienen áreas transversales no uniformes y por ello se debe tener en cuenta esta variación en el análisis para determinar el flujo de calor a través de ella.

33

Tabla 3-3-2 Derivación de las funciones de perfil de t y flujo de calor

Flujo de Calor

Forma el Cuerpo que Conduce

Casos

k(T) y A = Constante

A(x) y k = Constante

Pared Plana

Cono Truncado Aislado

k = k0 ( 1 + βT) A = constante

r  A( x ) = π  0 x   rx 

2

Primera ley para el volumen de control ∂Qx ∂(Qx ) =0 = 0 para 0 ≤ x ≤ e ∂x ∂x ∂T ∂   T = To en x = 0 A(x)  = 0 Si −k ∂x ∂x   T = T1 en x = e ∂T ∂   A(x)  = 0 −k entonces e = espesor  ∂x ∂x   ∂  ∂T  Luego Si A  = 0 entonces − k ∂x  ∂x  ∂T    − k ∂x A(x)  = Q ∂T −k A = Q con k = k0 (1 + T) ∂x dx 1 entonces - k dT = A(x) Q Reemplazando: k 0 (1 + T) T1

∫ A k (1 + 0

T0

∂T A=Q ∂x

r0 rx = x0 x

e

T)dT = ∫ Cdx 0

T 2 T 2  A k0 (T1 − T0 ) + A k0  1 − 0  = Qe 2   2

 Q =  k0 + 

(T1 + T0 ) (T1 − T0 ) A 2



e

Despejando

y reemplazando r A( x ) = = π rx 2 = π  0  x0

Sustituyendo en (1): 2

−k

T x 1 dT = 0 2 ∫ Q T0 πr0

x

dx

∫x

x0

2

 x  

2

rx =

r0 x x0

Continuación tabla 3.2 Definiendo:

Flujo de Calor

k m = k0 +

(T1 + T0 ) 2

2

x 1 1 − k (T − T0 ) = 0 2 como un k promedio evaluado a la Q πr0 x temperatura promedio entre las dos superficies. (T − T0 )πr0 2 x Q = −k 2 (T − To) T − To x0 Qx = km 1 ⋅A= 1 e e Donde Q representa el flujo de calor km A

Perfil de Temperatura

Ecuación análoga a la ecuación de finida por la Ley de Fourier. T 2 T 2  A k 0 (T x − T0 ) + A k 0 β  x − 0  = Cx 2   2

1 x (T2 − T1 ) = 0 2 Q πr0

donde C es:

donde:

(T + T ) (T − T )  C = k0 + β 1 0  1 0 A e 2  

Q=

(T2 − T1 )πr0 2 x0

2

4

T ( x ) = T1 +

β <0

3.3.1

2

x0 1 2 4 π r0 (T2 − T1 ) x

β >0

Pared Compuesta

Los circuitos térmicos también sirven para sistemas más complejos, como las paredes compuestas. Estas paredes incluyen cualquier número de resistencias térmicas en serie y en paralelo debido a capas de diferentes materiales.

35

3.3.2

Paredes en serie

Si se tiene una pared compuesta, cada una de ellas se puede analizar por separado, ya que dado que se tiene un proceso de estado estable el flujo de calor que pasa por cada pared debe ser el mismo (Qpared 1=Qpared2=Q). Las temperaturas T1 , T2 ,...Tn serán fijas en el tiempo. Los calores son iguales por que no hay generación ni almacenamiento Q=

Q=

Figura 3-3 Conducción en paredes en serie

3.3.3

T1 − T2 e1 k1 A T2 − T3 e2 k2 A

Q*

e1 = T1 − T2 k1 A

Q=

e Q * 2 = T2 − T3 k2 A  e e  T1 − T3 =  1 + 2 Q  k1 A k2 A 

T1 − T3 e1 e + 2 kA1 k 2 A

Resistencia Térmica Despreciable

La caída de la Temperatura en cada componente de una pared compuesta en e serie esta relacionada con el valor de la Resistencia correspondiente, así k A

Q=

Figura 3-4 Resistencia térmica despreciable

T1 − T2 T2 − T3 = e2 e1 k2 A k1 A

Se observa que para mantener la relación valores elevados de la resistencia

e k A

∆T e k. A

constante e igual a Q a

le corresponderán valores elevados

de ∆ T

Ejemplo 3-1 Para la pared compuesta mostrada determinar los ∆ T correspondientes a cada tramo de pared.

PARED 1

PARED 2

e1= 0.2 m

e2= 0.1 m

k1= 20 W/mºC

k1= 5 W/mºC

A= 1 m2

A= 1 m2

R1 =

e1 = 0.01 k1 × A

R2 =

e2 = 0.02 k2 × A Figura 3-5 Ejemplo 3-1

Q=

T12= Q*R1= 50ºC

200 − 50 150 = = 5000W 0.01 + 0.02 0.03

T23= Q*R2=100ºC

Figura 3-6 Perfil de temperaturas

Se observa que la caída de temperatura en cada sección de la pared esta en correspondencia con la resistencia térmica así: en la Pared 2 cuya resistencia es de 0.02 ºC/W la caída de temperatura es el doble (100ºC) que en la primera donde la resistencia es de solo 0.01 ºC/W.

37

Ejemplo 3-2 RESISTENCIA TERMICA DESPRECIABLE. En concordancia con la situación anterior en el caso que la resistencia sea muy pequeña la caída de temperatura podrá despreciarse. Ejemplo ilustrativo PARED 1

PARED 2

e1 = 0.2 m

e2= 0.01 m

k1 = 20 W/mºC

k1= 5 W/mºC

A = 1 m2

A= 1 m2

R1 =

e1 = 0, 01 k1 A

Q=

R2 =

e2 = 0, 000025 k2 A

200 − 50 150 = = 14962,59W 0, 01 + 0, 000025 0, 010025

Figura 3-7 Ejemplo 3-2

T12= QR1= 149,63ºC

T23= QR2=0,37ºC

Figura 3-8 Perfil de temperaturas

Se observa que en segundo caso (B) que la variación de Temperatura se puede despreciar ya que el valor de la resistencia R2 se puede despreciar frente a la resistencia R1.

3.4 CONDUCCION UNIDIMENSIONAL, ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION CON CONDICIONES DE FREONTERA DE TERCERA CLASE: Para cuando la estimación de la transferencia de calor a través de una pared se debe estimar no como función de las temperaturas de las caras de dicha pared sino en relación con las condiciones ambientales T∞1 y T∞ 2 . En este caso existiran unas temperaturas en las caras de la pared T1 y T2 tales que la cantidad de calor que de los ambientes van a la pared deberá ser igual a la estimada de acuerdo a la diferencia de temperatura (T1-T2) dividida por la resistencia especifica de la pared e k. A

Qc = Qk = Q donde: Qc = h1 A(T∞1 − T1 ) T − T2 e kA Qc = h2 A(T2 − T∞ 2 ) Qk =

Figura 3-9 Conducción unidimensional, condiciones de frontera de tercera clase

Despejando las diferencias de temperaturas:

39

Q = T∞1 − T 1 h1 A e = T1 − T2 kA Q = T2 − T∞ 2 h2 A

Q

 1 T ∞ 1 − T∞ 2 e 1  Q + + ⇒ Q=  = T∞ 1 − T∞ 2 ∑R  h1 A kA h2 a  T∞ 1 − T∞ 2 1 Q= = Re istencia global ; siendo 1 UA UA U = Coeficiente global de transferencia de calor

3.4.1

Coeficiente global de transferencia de calor

El coeficiente global de transferencia de calor se define con una expresión análoga a la Ley de Enfriamiento de Newton y se relaciona con la resistencia térmica total.

UA = Q=

Q T ∞1 − T ∞ 2

T ∞1 − T ∞ 2 e 1 1 + + h1 A kA h2 A

  1 UA = 1 e 1  + + h1 A kA h2 A 

En conclusión, U < el menor de los h.

Figura 3-10 Resistencia térmica

2

Para un área A = 1 m , tenemos: Tabla 3-3 Variación del coeficiente global de transferencia de calor

e k

h1 10 1 200 1000 200 1000

0.01 0.01 0.01 0.01 0.001 0.01

h2 100 100 100 100 100 500

U 8.33 0.98 40 47.61 62.5 76

3.4.2 Paredes en paralelo. Estado estable unidimensional sin generación.

Figura 3-11 Conducción unidimensional, paredes en paralelo

1) Q1 =

T1 − T2 e1 k1 A

2 ) Q2 =

T2 − T3 e2 k2 A

T − T3 3) Q3 = 2 e2 k3 A

Generalizando: Q =

Q1 = Q2 + Q3 1 1 T1 − T2 e e = T2 − T3  +  donde R2 = 2 ; R3 = 2 e1 k2 A k3 A  R2 R3  k1 A  1  T −T T2 − T3  = 2 3 R  e1  eq  k1 A T2 − T3 → Req

1 1 1 = + Req R1 R2

3.4.3 Consideraciones Especiales para la Aplicación de Analogía Térmica

Si existe una situación que perturbe el flujo de calor de un lado a otro del sistema en análisis por la existencia de un ∆T = T∞1 - T∞2 NO SE PODRA aplicar el método de analogía térmica.

41

Ejemplo 3-3 Analicemos el siguiente ejemplo radiación:

de una pared plana con calor de

Figura 3-12 Conducción en una pared plana con incidencia de radiación.

•

Q=

Si no existiera la radiación el flujo de calor a través de la pared seria: T∞ 1 − T∞ 2 RC1 + R k + RC2

Figura 3-13 Conducción en una pared plana.

•

Si se presenta la radiación la superficie izquierda donde incide la radiación determinaría el punto de discontinuidad para el flujo de calor. Un volumen de control en la superficie requerida permite obtener el Balance de Energía:

Qr = rQr + Q + Q k C 1 Qr (1 − r ) = Q + Q k C 1

donde: T − T∞ 2 Q = 1 k R +R k C 2 T − T∞ 1 Q = 1 C R 1 C 1

Caso donde la radiación propia de la pared es despreciable: Se desprecia el calor de radiación producida por el cuerpo si es relativamente pequeño comparado con los calores producidos por convección y conducción. Caso donde la radiación propia de la pared es tenida en cuenta: Caso contrario al anterior, aquí el valor del calor por radiación producido por el cuerpo es considerable con respecto a los calores por convección y conducción.

43

Tabla 3-4 Casos típicos de transferencia de calor por conducción Caso

Perfil de temperaturas

Flujo de calor

Pared Plana

T( x ) =

T2 − T1 x + T1 e

T( x ) =

T2 − T1 x + T1 e1

Q=

T1 − T2 e/k A

Paredes en Serie

T( x )

Q=

T −T = 3 2 x + T2 e2

Paredes compuestas (paralelo)

T1 − Tn +1 n

∑R k =1

Q1 =

T1 − T2 e k1 A1

k

Q2 =

T1 − T2 e k 2 A2

1 1 QT = Q1 + Q2 = (T1 − T2 )  +   R1 R2  T −T 1 1 1 QT = 1 2 ⇒ = + Req Req R1 R2 Pared cilíndrica condición de frontera Primera Clase

T( r ) = T1 − (T1 − T2 )

Q=

ln r / r1 ln r2 / r1

T1 − T2 ln r2 / r1 2π k L

Pared Cilíndrica Condición de Frontera Tercera Clase A1 = 2 π r1 L

Q=

A2 = 2 π r2 L

T∞1 − T∞ 2 1 ln r2 / r1 1 + + h1 A1 2 π k L h2 A2

Ejemplo 3-4 Determinar el valor de U y el porcentaje de incremento en cada uno de los casos establecidos a continuación: Tabla 3-5 Coeficientes de transferencia de calos

h1

h2

10

100

10

400

100

10

400

10

100

40

Tabla 3-6 Como resultado se obtiene

Figura 3-14 Ejemplo 3-4

h1

h2

U

%h

%U

10 10 100 400 100

100 400 10 10 40

8.33 8.88 8.33 8.88 22.22

h2 400%

6.2%

h1 400%

6.2%

400%

68.75%

De la anterior tabla se puede se concluye: 1. El coeficiente global de transferencia de calor U es menor que los valores menores de h. 2. Para mejorar la transferencia de calor apreciablemente debemos mejorar el coeficiente de transferencia de calor, del lado que tenga el menor h. Con base en las anteriores conclusiones se puede deducir que se quiere: 1. Disminuir la transferencia de calor ⇒ U ↓ (debe aumentarse la resistencia total al paso del calor). Q = U (T∞1 − T∞ 2 ) A =

T ∞1 − T ∞ 2 1 1 + Rp + h1 A1 h2 A2

Aumentar la transferencia de calor ⇒ U ↑ (Tomar en cuenta que U< hmin).

45

Q = U (T∞1 − T∞ 2 ) A

T ∞1 − T ∞2 1 1 + Rp + hi Ai he Ae

Tabla 3-7 Disminución de la transferencia de calor colocando una resistencia adicional.

CASO

SITUACION

ECUACIÓN

Pared plana

Qsin =

Sin resistencia adicional

Qcon =

Con resistencia adicional

Pared cilíndrica Sin resistencia adicional

Con resistencia adicional

Qsin =

Qcon =

T∞ 1 − T∞ 2 1 1 e + + h1 A kA h2 A

T ∞1 − T ∞ 2 e e 1 1 + + + h1 A kA k a A h2 A

T∞ 1 − T∞ 2 1 1 + Rp + h1 2πr1 L h2 2πr2 L

T∞ 1 − T∞ 2 Ln r2 r1 1 1 + Rp + + 2πk a L h2 2πr2 L h1 2πr1 L

Podría parecer a simple vista que al colocar una capa de material adicional disminuirá la perdida de calor. Esto se cumple cuando el aislante se coloca sobre paredes planas, pero no para cuando la pared es curva, en cuyo caso el efecto del aumento del radio exterior del aislamiento disminuye la resistencia convectiva exterior, disminución que debe ser compensada por la resistencia adicional aportada por el aislamiento, lo cual no es cierto en todos los casos. Ejemplo 3-5 Considerar el tubo de la figura que se quiere aislar con un material de k=10. Determinar el valor de la Resistencia Total a medida que el radio exterior se va incrementando.

Datos: r1 = 0,3 m r2 = 0,4 m h2 = 20 W/m2°C k = 50 W/m2°C ka = 10 W/m2°C La Ri y Rp son constantes y solo varian la Ra y Rconvectiva externa. La Tabla siguiente muestra los valores que van tomando la resistencia del aislamiento y la resistencia total a medida que el rExt (espeso)r se aumenta. Tabla 3-8 Variación de la resistencia de aislamiento

Ln r r1 2πk a L

1 h2 2πrL

∑R

0.4

0

0.0198943

0.0198943

0.45

0.0018745

0.0176838

0.0195583

0.5

0.0035514

0.0159154

0.0194668

0.6

0.0064532

0.0132629

0.0197161

r (m)

Se observa que la resistencia total R disminuye hasta que el r3 = 0.5 y luego en r3= 0.6 vuelve a aumentar La razon de la disminución de la resistencia total estriba en que la resistencia adicional del material de aislamiento no compensa la disminución de la resistencia convectiva exterior 1 . h2 2πrL

∑ R = Ri + R p +

Ln

r

r2

2πk a L

+

1 h2 2πrL

La localización de la resistencia mínima y la perdida de calor máximo, se obtiene cuando las derivados de la suma de la resistencia R con respecto al radio r se hace igual a cero.

d∑ R dra

=

1  r2 1 1 1  1 1 = − =0  ∗ ∗ − 2 2π L  ra r2 ka h2 ra  k a h2 ra h2 ra = ka

47

Figura 3-15 a) Tubo sin aislar b) Tubo aislado

En otras palabras, la máxima pérdida de calor por una tubería tiene lugar cuando el radio se igual a:

rc =

ka h2

Este radio se denomina RADIO CRITICO y nos da una idea del valor que debe tener el ka para que verdaderamente se presente una disminución de la transferencia de calor.

Figura 3-16 Variación de las resistencias

Es de desear mantener el radio crítico tan pequeño como sea posible, de manera que la aplicación del aislante proporcione una reducción y no un aumento en la perdida de calor por una tubería. Lo cual se puede lograr usando un material aislante de baja conductividad. Para aumentar la transferencia de calor rcritico > rexterior (tubería) Para disminuir la transferencia de calor rcritico < rexterior (tubería) Tabla 3-9 Criterio para utilizar material aislante

CRITERIO PARA UTILIZAR MATERIAL AISLANTE Sí

r2 < rcrit

Sí

r2 > rcrit

No sirve colocar el aislamiento

Si sirve colocar el aislamiento

3.4.4 Determinación del espesor de aislamiento requerido (Radio Óptimo). Si queremos determinar cuanto aislamiento poner, entonces se debe realizar un análisis económico. El espesor económico se define como el valor mínimo anual de la suma de los costos correspondientes a la pérdida de calor más los del aislante. Cuando el espesor de un aislamiento es bajo, el costo anual amortizado de aislante es mínimo, pero el costo anual de energía que se pierde es alto y por consiguiente, a mayor espesor, el costo del aislante se incrementa, pero se reduce el costo de perdida de energía. Mas allá del punto mínimo, el costo total aumenta, debido a que el costo del aislante supera al de la energía, como se aprecia en la figura Cc Vs ra

Figura 3-17 Optimización del espesor del material aislante

Cc = Costo del combustible. ra = Radio de aislamiento. r2 = Radio exterior del materia sin aislamiento. Cmin = Costo total mínimo.

3.4.5 Vp =

Formulas de Valor Presente de: F ; donde i es el interés. (1 + i ) n

49

 1 − (1 + i ) − n Vp =  i  Factor 1− pn Vp = Ai   i−k

  A = 

( SPWF ) A ; donde SPWF es Series Present Worth

 1+ k ; donde p = 1+ i 

k=

A2 A1

=

A3 .......... A2

Los factores que deben ser tenidos en cuenta para el cálculo del aislamiento requerido son: El costo del aislamiento. Costo del material:

(

)

 $  %  2 2 C a =   × π ra − r2 × L × ρ a  × Wa =  Kg Kg     Wa= Peso especifico del material. El costo del calor perdido: Costo del combustible, inversión de capital, interés, depreciación de los equipos, mantenimiento, numero de horas de operación. Costo del calor perdido:

 $  CQ = (Q × horas ) ×    Kw − h  Donde:

Q=

T ∞1 − T ∞ 2 r Ln a r2 1 Ri + R p + + 2π k a L he 2π ra L

El costo total esta determinado por

CT = C a + C Qp Cap= Es el valor presente de los costos anuales del combustible.

4

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Conducción Unidimensional Estado Estable Con Generación 51

TABLA DE CONTENIDO

4.

CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTABLE CON GENERACIÓN ....................53

4.1 CASOS ...................................................................................................................................................53 4.1.1 Placa plana: .........................................................................................................................................53 4.1.2 Cilindro hueco:....................................................................................................................................57 4.2 SUPERFICIES EXTENDIDAS .............................................................................................................63 4.2.1 Clasificación de las superficies extendidas: ..........................................................................................64 4.2.2 Balance de energía sobre el volumen de control diferencial. .................................................................65 4.3 Calor de aleta:........................................................................................................................................67 4.3.1 Efecto del parámetro h/km y de la longitud de la aleta: .........................................................................68 4.3.2 Longitud corregida: .............................................................................................................................69 4.3.3 Aleta de aguja:....................................................................................................................................72 4.3.4 Calor absoluto perdido por una aleta: ...................................................................................................72 4.4

EFICIENCIA DE ALETAS...................................................................................................................74

4.5 ALETA ÓPTIMA ..................................................................................................................................76 4.5.1 Determinación de la longitud optima de la aleta: ..................................................................................76 4.5.2 Mejor uso del material.........................................................................................................................76 4.5.3 Costo mínimo del sistema:...................................................................................................................77 4.5.4 Aletas con área de sección transversal variable.....................................................................................80 4.5.5 Eficiencia global de la superficie..........................................................................................................82 4.5.6 Eficiencia de la superficie: ...................................................................................................................83

4. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTABLE CON GENERACIÓN En algunas circunstancias, el comportamiento térmico se ve afectado por la producción o adsorción de energía térmica. Ejemplos típicos: Las resistencias de calentadores, los embobinados eléctricos, los reactores nucleares y la combustión del combustible en el hogar de una caldera. La disipación del calor, procedente de fuentes internas, constituye otro aspecto importante para juzgar la potencia de régimen de motores eléctricos, generadores y transformadores. Un proceso común de generación de energía térmica implica la conversión de energía eléctrica a térmica en un medio conductor de corriente. La rata a la que se genera energía al pasar una corriente I a través de un medio de resistencia eléctrica Re es E& g = I 2 Re

Si esta generación de potencia (W) ocurre de manera uniforme a lo largo del medio de volumen V, la rata de generación volumétrica (W/m3) es

q≡

Eg V

=

I 2 Re V

La generación de energía también ocurre como resultado de la desaceleración y absorción de neutrones en el elemento combustible de un reactor nuclear o reacciones químicas exotérmicas que ocurren dentro de un medio.

4.1 4.1.1

CASOS Placa plana:

Considerar una placa plana en la cual el calor se genera uniformemente. Esta placa podría ser un elemento de calentamiento tal como una barra plana de un cuadro de distribución en la cual se genera el calor al pasar una corriente eléctrica a través de ella. Si suponemos la existencia de un estado estable, que el material es homogéneo y que la placa es lo suficientemente larga para poder pasar por alto los efectos de los extremos, se puede expresar una ecuación de energía para el elemento diferencial como: Q x + Q g = Q x + ∆x donde Qg es la intensidad de la fuente de calor por unidad de volumen.

53

Figura 4-1 Placa plana con generación

∇ 2T =

d 2T qg + =0 dx2 k

qg k

=0

Ecuación que debe cumplirse en cualquier punto del cuerpo.

Por dos integraciones sucesivas se obtiene la solución de esta ecuación, la primera de ellas conduce al gradiente de temperatura y la segunda proporciona la distribución de la temperatura, qg dT =− x + C1 dx k

⇒ T(x ) = −

qg k

x 2 + C1 x + C 2

Donde C1 y C2 son constantes de integración cuyos valores están determinados por las condiciones de frontera de primera clase. Por facilidad dT se toma T1 y la posibilidad de un punto x0 donde =0. dx x=0

→ Tx = 0 = T1

⇒ C 2 = T1

x = x0

→

dT dx

⇒ C1 =

=0 x = x0

qg k

x0

Reemplazando estas expresiones se obtiene la distribución de la temperatura: T(x ) = −

qg 2k

x2 +

q g x0 k

x + T1

Si se tienen los valores de T1 Y T2, puedo calcular a x0. Se tiene que mirar el flujo de calor en una dirección transversal: q q x q dT = − g x + g 0 = g ( x0 − x ) dx k k k qg dT  dT  Calculando x0 ⇒   = dx  x = 0 dx  x = 0 k qg dT   = ( x0 − e ) dx  x = e k

q dT  = −k g x0 = −qg x0  dx  x =0 k qg dT  = −k  = − k (e − x0 ) = qg (e − x0 ) dx  x = e k

entonces : q x= 0 = − k qx =e Generalizando:

Q1 = − q g Ax0 Q2 = qg A (e − x0 )

Si se quiere determinar el balance global o calor generado por la pared, puede realizarse una tabla de “mas por menos” (+ x -). Q2 = q g (e − x0 ) Q2 − Q1

x0

Q1 = − q q x 0

-, xo < 0

+

+

qge

+, xo < e

-

+

qge

+, xo > e

-

-

qge

Tabla 4-1 Evaluación de la transferencia de calor en una pared plana con generación

CASO

PERFIL DE TEMPERATURA

d 2T q g + =0 k dx 2

La ecuación de flujo de calor es:

integrando, tenemos

Q x = − kA

dT − q g = x + C1 dx k

E integrando tenemos:

T=

− qg x 2 2k

+ C1 x + C 2

Aplicando C.F. tenemos

d 2T q g + =0 k dx 2

C1 =

Condición de Frontera x=0

T(x =0 ) = T1

1

x=e

T(x =e ) = T2

2

q g x0 k

T(x =0 ) = T1

x = x0

dT =0 dx

1

dT dx

 − qg x qg x0  Qx = − kA  +  k   k

Y evaluando para cada valor de x , tenemos:

y C 2 = T1

En x = 0 : Evaluando la ecuación para las condiciones de frontera, tenemos Q1 = − q g Axo que Para cualquier x :

O x=0

FLUJO DE CALOR

T(x ) =

− qg x 2 2k

+

q g xo k

En x = e : x + T1

Para x = e 2 T2 =

− qg e 2 2k

55

+

q g xo k

e + T1

Q2 = q g A[e − x o ]

Ejemplo 4-1 Calcular el calor en cada una de las fronteras y el punto máximo de una pared cuyas temperaturas son T1= T2 = 100°C , espesor e =0.2 m, conductividad térmica k = 40 w/m.K, la pared tiene una generación uniforme qg = 105 w/m3 Suposiciones:

Figura 4-3 Ejemplo 4-1

•

Condiciones de estado estable.

•

Conducción unidimensional en la dirección x.

•

Propiedades constantes para la pared.

Las condiciones de frontera son simétricas, por lo tanto el gradiente de dT  temperatura es cero,  = 0 , en consecuencia no hay transferencia de dx  x =0 calor a través de este plano. Calculo del punto máximo: T2 = − qg 2k

qg

e2 +

2k

e2 =

q g x0 k

q g x0

e

k

e + T1

→ x0 =

como T1 = T2

e 2

Calculo de la temperatura máxima en e = xo: q g 2 q g x0 Tmax = − x0 + x0 + T1 2k k Figura 4-3 Distribución de temperaturas

Tmax Tmax

T1 (ºC)

x0 (m)

25

0.25

50

0.2

100

0.1

150

0

200

-0.1

Tabla 4-2 Variación T1

105 (0.1) =− x0 + T1 = − + 100 2k 2 ∗ 40 = 112.5º C qg

2

2

Calculo de calores:

Q1 = −q q x0 = −105 ∗ 0.1 Q1 = −10 4 w

m2 Q2 = q g (e − x 0 ) = 10 5 ∗ (0.2 − 0.1)

Q2 = 10 4 w

m2

Conservando la Temperatura T2 = 100 ºC se varia la T1= como muestra la siguiente tabla y se determina el valor de x0.

En nuestro caso a medida que la temperatura T1 aumenta la ubicación del valor máximo de Temperatura se va desplazando hacia la izquierda. Como se observa en la siguiente tabla. Tabla 4-3 Desplazamiento del valor máximo de la temperatura

4.1.2

Cilindro hueco:

Para condiciones de estado estable, la razón a la que se genera calor dentro del cilindro debe ser igual a la rapidez con que se transmite calor por convección de la superficie del cilindro a un fluido en movimiento. Esta condición permite que la temperatura de la superficie se mantenga en un valor fijo Ts = T1. A fin de determinar la distribución de temperaturas en el cilindro, comenzamos con la forma apropiada de la ecuación de calor, para una conductividad térmica k, constante: 1 d  dT  q g =0 + r r dr  dr  k

Tabla 4-4 Transferencia de calor en un cilindro hueco con generación

Al separar variables y suponer generación uniforme, esta expresión se integra para obtener: r

qg 2 dT =− r + C1 dr 2k

Si el procedimiento se repite, la distribución general para la distribución de temperaturas se convierte en:

T(r ) = −

qg 4k

r 2 + C1 Lnr + C 2

Las constantes C1 Y C2 se determinan aplicando las condiciones de frontera: r = r0

→

dT =0 dr

57

; r = r1

→ T = T1

Aplicando el desarrollo para este caso como se hizo para la pared plana, se obtiene:

(r 4k qg

T(r ) =

2 1

)

− r2 +

qg 2k

r02 Ln

r + T1 r1

Calores:

(

)

Q1 = q qπL r12 − r02

Q 1 = q q π L (r1 − r

y

)

Tabla 4-5 Resumen conducción unidimensional, estado estable con generación

CASO

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS

FLUJO DE CALOR

Pared plana

T(x ) = −

qg 2k

x2 +

q g x0 k

x + T1

Q1 = − q g Ax0

Q2 = q g A(e − x 0 )

Cilindro hueco

T(r ) =

(r 4k

qg

2 1

)

− r2 +

qg 2k

r02 Ln

r + T1 r1

(

)

(

)

Q1 = q qπL r12 − r02 Q2 = q qπL r22 − r02

Ejemplo 4-2 Para una pared de espesor e = 0.2 m , generando calor a qg = 105 con un k = 20

w y m3

w . Determinar: m oC

1. El punto de máxima temperatura. 2. Los flujos de calor al ambiente para los siguientes casos: Haciendo uso de la tabla anterior, tenemos las siguientes ecuaciones: 1) T

2

=

− qg e

2

2k

+

q g xo k

e + T1

2) Q1 = − q g Axo

[

3) Q2 = q g A e − x o

]

Ahora contamos con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Y analizando la condición ambiental, con h = 50

w , tenemos: m oC

− 10000 = h(T∞1 − T1 ) X0 [m]

Caso

Q1 [w]

Q2 [w]

T∞1 [oC]

A

0.1

- 104

104

100

B

0.08

- 8000

12000

140

C

0

0

20000

300

D

- 0.02

2000

22000

340

En algunos casos los datos del problema varían y este es el caso donde conocemos las temperaturas del ambiente, T∞1 y T∞ 2 , y desconocemos las temperaturas de las superficies de la pared, T1 y T2 .

59

CASO

T1 T2 [OC] [OC]

A

300

300

B

300

280

C

300

200

D

300

180

Tabla 4-6 Graficas

GRAFICAS CASO

A

CASO B

CASO

C

CASO D

Tabla 4-7 Pared cilíndrica

CASO

PERFIL DE TEMPERATURA 2 ∂T − qg r r = + C1 ∂r 2k

T(r ) =

4k

 − q g r 2 q0 r0 2  Qr = −2π l k  +  2k   2k

+ C1 ln r + C2

1 ∂T  ∂T  qg =0 r + r ∂r  ∂r  k

C1 =

C.F. de 1er orden:

reemplazando, tenemos

r = r1 r = r0

T = T1 dT =0 dr

T2 =

2

y

2k

[r 4k

qg

1

2

[ = q π .l [r

Q1 = q g π .l r1 − r0 2

aplicando C.F. tenemos:

q g r0

dT dr

Qr = −2πrkl

dT − q g r C1 = + dr 2k r − qg r 2

FLUJOS DE CALOR

]

− r2 + 2

C2 = T1

2

r  ln 2  + T1 2k  r1 

qg ro

Q2

g

2

2

2

− r0

] 2

]

Tabla 4-8 Pared cilíndrica, condiciones de frontera de 3er orden

CASO

PERFIL DE TEMPERATURA

FLUJOS DE CALOR

Q1 = h1 2πr1l (T∞1 − T1 )

(

Q1 = q gπl r1 − r0

T2 =

[r 4k qg

2 1

− r0

2

]

r  ln  2  + T1 + 2k  r1  q g r0

2

2

Q 2 = h2 2πr2l (T2 − T∞ 2 )

(

 ∂T r  ∂r

 qg =0 +  k

Ejemplo 4-3 Para pruebas de determinación del coeficiente de transferencia de calor entre un fluido que se mueve dentro de un tubo se construyó un tubo aislado externamente de cuatro (4) cm. de radio interior y un (1) mm de espesor. (Noten el pequeño espesor). El material del tubo tiene una K=45W/m°C y genera calor a una rata de 106 W/m3. Por dentro del tubo circula un flujo másico de agua de 0.01 kg/seg. Cp del agua= 4180 Joul/kg °C. 1.

Determinar las temperaturas de salida del agua y de la superficie interior del tubo a una distancia de

0.5 m de la entrada si en x=0 la temperatura del tubo generador es de 45°C y la temperatura media del fluido en la entrada Tb1 es de 20 °C en el siguiente caso: •

La evolución de la temperatura del cilindro generador varia linealmente en la dirección del flujo.

•

El coeficiente de transferencia de calor por convección es numéricamente igual en cualquier punto del tubo.

2.

Determinar los coeficientes de transferencia de calor en x=0, x= 0.25 y x= 0.5 m si el flujo de calor 61

)

Suponer que Q1 es positivo.

Q2 = q gπl r2 − r0 1 ∂T r ∂r

2

2

2

)

efectivo desde la superficie del tubo generador al agua en cualquier sección dx del tubo es el 97% del calor generado en esa misma sección dx. Se sabe además que la temperatura del tubo generador en x= 0.5 m es de 54°C y en x=0 se dan las mismas condiciones del caso anterior. Dado el pequeño espesor de la pared del tubo se puede asumir que la temperatura del cilindro generador es aproximadamente constante en la dirección radial aunque esto no es cierto en la realidad (como en las aletas) Datos:

kg s

Tb1 = 20oC

r1 = 40mm

w m oC

TS = 45o C

r2 = 41mm

m& = 0,01 k = 40

qg = 106

w m3

Consideraciones: 1. Se conoce que la evolución axial de la temperatura del tubo es LINEAL. 2. Sí hX = cte A continuación haremos un Balance de Energía del tubo y del fluido. 1. Balance de Energía del Tubo Q X + Qg = Q X + ∆X + QC = QX +

∂Q X ∆x + QC ∂x QX = −k

Figura 4-4 Balance de energía del tubo.

dT 2π r1 e dx

∂QX ∆x ∂x 2 d T q g 2πr1 e∆x + k 2πr1 e 2 ∆x = h 2πr1 ∆x (TSX − T∞x ) = qC 2πr1 ∆x dx QC = Q g −

qg e + k

d 2T = qC dx 2

dT = cte dx

Todo lo que se genera se conduce hacia el fluido, o sea se convierte en qC . Esto quiere decir que NO existe flujo de calor dentro del tubo. qC = 103

2. Balance de Calor en el Agua.

w . m2

Tb 2

0 ,5

∫q

C

2πr1 ∆x =

0

Cp = 4180

Tb 2 =

qC 2πr1 0,5 + 20 0,01 • 4180

∫ m& Cp dT

bx

20

j kg oC

Tb 2 = 20 + 3,08 = 23,08o C

qg e = qC x = 0 = h (45 − 20)

qg e = qC x = l = h (TS 1 − 23,08)

Ejemplo 4-4 Asuma que el 97% del Qg ,( Qg = qg ∆V ), se va al agua. q g 2πr1 ∆x e + k 2πr1 e

d 2T ∆x = qC 2πr1 ∆x dx 2

0,97 qg 2πr1 ∆x = qC 2πr1 ∆x

La evolución de la temperatura en el agua seguirá siendo una recta porque es el 97% del Qg y este valor es siempre constante a lo largo de todo el tubo.

4.2

SUPERFICIES EXTENDIDAS

Aunque hay muchas situaciones diferentes que implican efectos combinados de conducción y convección, la aplicación mas frecuente es aquella en la que se usa una superficie extendida de manera especifica para aumentar la rapidez de transferencia de calor entre un sólido y un fluido contiguo, esta superficie extendida se denomina aleta. Las aletas se usan cuando el coeficiente de transferencia de calor por convección hc es pequeño. Los ejemplos mas comunes son las aletas de enfriamiento de componentes electrónicos, o de cilindros de los motores de motocicletas y podadoras, así como de los tubos del condensador de un refrigerador domestico. Las aletas se agregan para aumentar el producto hcA y así disminuir la resistencia térmica por convección 1/hcA

63

Figura 4-5 Superficie extendida

4.2.1

Clasificación de las superficies extendidas:

Según su relación con el elemento base pueden ser Integrada

Separados

Según su posición relativa a la superficie base Longitudinales

Transversales

Según la forma de la sección transversal al flujo de calor de la aleta. Sección constante

Sección variable

Deter minación del flujo de calor y el perfil de temperatura en aletas de sección transversal constante, condiciones y simplificaciones. 1) 2) 3)

Flujo unidimensional. Coeficiente de transferencia de calor externo de; hext = corriente. La temperatura ambiente es constante; t∞ = constante

4)

El estado es estable.

El análisis cuantitativo de las aletas se puede abordar considerando que aunque la distribución de temperatura en ella es bidimensional, el hecho que normalmente el espesor de las aletas es relativamente separado, permite que se pueda considerar que la distribución de temperatura es una sección transversal es constante. Esto no reduce la bidimensionalidad del proceso, pues en el balance de energía se considera la bidimensionalidad del flujo de calor.

Figura 4-6 Determinación del flujo de calor

4.2.2 Balance de energía sobre el volumen de control diferencial. ⇒ Qx = Qx +∆x + Qcx ∂Qx dx d  dT −k 0= dx  dx

Qx = Qx +

∆x + Qcx

 A  ∆x + h( P∆x)(Tx − T∞ )  d  dT  A + hP (Tx − T∞ ) −k 0= dx  dx   d 2T  0 =  − kA 2  + hP (Tx − T∞ ) dx    d 2T  d 2T hP kA hP T T ( ) 0 (Tx − T∞ ) − − = ⇒ − =0 ∞ x  2  2 dx dx kA   144424443 Ecuación General de aletea

65

Figura 4-7 Balance de energía

Introduciendo las variables:  2 hp h (2b + 2t ) h2b 2 h 2 m = KA = k (bt ) ≅ kbt = kt = m  θ x = T x − T∞

La ecuación se transforma en: ⇒

d 2θ ( x ) dx

2

− m 2θ = 0 ;

La solución de esta ecuación es dependiente de las condiciones de frontera:

− X = 0 ⇒ θ ( x =c ) = θ 0  dT  −X = L ⇒ − k   = hθ L  dx  X = L CASOS •

T( X = L ) = T∞

La solución de la ecuación diferencial en este caso será: a ) θ ( x ) = c1e mx + c 2 e − mx como ⇒ senh mx = cosh mx =

Se aplica la ecuación a)

e mx − e − mx ; 2

e mx + e − mx 2

se puede transformar en :

QC ( X = L ) = 0

‚

b) ⇒ θ ( x ) = c 3 senh mx + c 4 cosh mx ⇒ solución alterna :

Se aplica la ecuación b) ƒ

QC ( X = L )

dT = −K ⋅A dx

c ) θ ( x ) = c5 senh m( L − X ) + c6 cosh m( L − X )

dθ = − mC 5 cosh m(L − x ) − mC 6 senh m(L − x ) dx

Aplicando la primera condición de frontera. 1. X = 0 ⇒ θ 0 = c5 senh mL + c6 cosh mL 2. X = L ⇒

(1)

− k [− mc5 cosh(0) − mc6 senh(0)] = h [c5 senh(0) + c6 cosh(0)] Kmc5 = hc6 ⇒ c5 = en 1. θ 0 = c 6

h c6 km

(2)

h senh mL + cosh mL ⇒ km

Se aplica la ecuación c) θ0

c6 =

h senh mL + cosh mL km h θ0 km c5 = h senh mL + cosh mL km

Los resultados numéricos a) = b) = c) Cambian las constantes C1, C2, C3,….,C6

 h  ⇒ θ ( x ) = c6  senh m( L − X ) + cosh m( L − X )   km  θ ( x) =

θ0

 h   km senh m( L − X ) + cosh m( L − X )  h  senh mL + cosh mL km

Solución Distribución de Temperatura En una aleta

Hay que tener en cuenta que el gradiente de temperatura disminuye al aumentar x. Esta tendencia es una consecuencia de la reducción en la transferencia de calor por conducción con el aumento de x debido a las perdidas por convección continuas de la superficie de la aleta.

4.3

Calor de aleta:

El calor total transferido por la aleta se puede evaluar en dos formas alternativas, que implican el uso de la distribución de temperaturas. El procedimiento mas simple, y el que usaremos, implica aplicar la ley de Fourier a la base de la aleta. Es decir:

Qa = − k

dT  dT   ∗ A= − k  ∗A dx  x =0 dx  x =0

Qa = − k [− m h km C 6 cosh mL − mC 6 senhmL]A Qa = kAmC 6 [h km cosh mL + senhmL ]

67

Qa = kAmθ 0

h

cosh hmL + senhhmL h km senhmL + cosh mL

km

→ Calor de aleta

Una manera alterna de presentar esta ecuación para un análisis más práctico, es dividiendo por cosh (mL):

Qa = kAmθ 0

4.3.1

taghmL + h km 1 + h km tan ghmL

Efecto del parámetro h/km y de la longitud de la aleta:

El objetivo es mirar como varia el calor de aleta (Qa) al variar la relación h/km, en una aleta particular en donde la longitud de la aleta es tal que la taghml=0.3 con relación a una superficie sin aleta L=0.

h/km

mL = 0

TaghmL = 0.3

2

Qa = 2kAmθ 0

Qa = 1.4375kAmθ 0

1

Qa = kAmθ 0

Qa = kAmθ 0

0.5

Qa = 0.5kAmθ 0

Qa = 0.69kAmθ 0

0.1

Qa = 0.1kAmθ 0

Qa = 0.388kAmθ 0

0.01 Qa = 0.01kAmθ 0 Qa = 0.309kAmθ 0 Observaciones: •

Para que la transferencia de calor aumente la relación

•

Si la relación h/km < 1, se ponen aletas para aumentar el calor transferido.

•

Es indiferente poner aletas cuando h/km = 1, por que el calor transferido no cambia.

h/km <1

Desde el punto de vista práctico se colocan aletas cuando h/km → 0 en estas condiciones la pérdida de calor en la aleta se puede aproximar a: Qa = kAmθ 0 taghmL Para disminuir el error cometido por despreciar la perdida de calor en el extremo (aleta), se debe “corregir” la longitud de la aleta.

h km

Qa ( mL = 0)

Qa ( mL = 2 )

0.5

0.5kAmθ 0

0.987 kAmθ 0

1

kAmθ 0

kAmθ 0

2

2kAmθ 0

1.01kAmθ 0

4.3.2

Qa ( mL = 5)

Aumenta el calor kAmθ 0 Disminuye el calor

Longitud corregida:

Para hacer la corrección de la longitud, se parte de la suposición de que la perdida de calor en el extremo (Área = t × b) se daría en un elemento de área lateral equivalente. Lc = L + δ = Lc = L +

t 2

t 2

Qa = kAmθ 0 ⋅ taghmLC A = b⋅t

; m=

2h kt

Al resolver la ecuación general para aletas de sección transversal uniforme, es posible encontrar la distribución de temperatura, sometiéndola a condiciones apropiadas de frontera. En general se conoce la temperatura en la base x=0 de la aleta, pero hay varias situaciones físicas posibles en el extremo x=L de la aleta: a)

Aletas con flujo de calor despreciable en el extremo (adiabáticas)

En este caso el área del extremo o borde de la aleta es muy pequeña en comparación con el área lateral de la aleta y el calor transferido por el extremo de la aleta es despreciable con respecto al transferido por las superficies laterales, entonces la condición de frontera que caracteriza esta situación en el extremo o borde de la aleta es dθ

dx

x= L

=0.

La siguiente es la formulación matemática del problema

69

Figura 4-8 Longitud corregida

d 2θ (x ) para − m 2θ (x ) = 0 2 dx θ (x ) = T0 − T∞ ≡ θ 0 en x = 0 dθ (x ) =0 dx

0≤x≤L

en x = L

Resolviendo

θ (x) = C1 cosh m(L − x) + C2 senh m(L − x ) Aplicando las condiciones de frontera se obtiene θ (x ) T (x ) − T∞ cosh m(L − x ) = = T0 − T∞ cosh mL θ0

El calor transferido por la aleta se obtiene sustituyendo la solución dada por la ecuación anterior, en la ecuación general Q = − Ak

dθ (x ) dx x = 0

Obteniendo así, Q = Akθ0 m tanh mL = θ0 phkA tanh mL

b.

Aletas con flujo de calor

Aletas con convección en el extremo

Es una condición de frontera físicamente mas real en el borde de una aleta, se considera que por el borde ó extremo de la aleta se transfiere calor por convección al fluido que lo rodea.

d 2θ (x ) − m2θ (x ) = 0 para 2 dx θ (x ) = T0 − T∞ ≡ θ 0 en x = 0 k

dθ (x ) + heθ (x ) = 0 dx

0≤ x≤L

x=L

En donde k es la conductividad térmica de la aleta y he es el coeficiente de transferencia de calor entre el extremo de la aleta y el fluido circundante. Se escoge la siguiente solución de la ecuación diferencial.

θ (x ) = C1 cosh m(L − x ) + C2 senh m(L − x )

Las constantes de integración C1 y C2 se determinan aplicando las condiciones de frontera dadas anteriormente, de donde se obtiene respectivamente θ 0 = C1 cosh mL + C2 senh ml − kC2 m + heC1 = 0

Como dθ dx

= −mC1 senh m(L − x ) − mC2 cosh m(L − x ) x = L = −mC2 x=L

Cuando se hallan C1 y C2 se encuentra la distribución de temperatura en la aleta θ (x ) = θ0

h senh m(L − x ) cosh m(L − x ) +  e  km   he   cosh mL +  senh mL  km 

c. Aleta larga (infinita) En una aleta suficientemente larga se puede suponer razonablemente que la temperatura en el extremo o borde de la aleta es aproximadamente igual a la temperatura T∞ del medio circundante, además se considera que se conoce la temperatura To en la base de la aleta. d 2θ (x ) para − m 2θ (x ) = 0 dx 2 θ (x ) = T0 − T∞ ≡ θ 0 en x = 0 θ (x ) → 0

0≤x≤L

cuando x → ∞

donde m 2 ≡

ph kA

La solución es de la forma

θ (x ) = C1 e − mx + C 2 e mx Las constantes de integración se determinan aplicando las condiciones de frontera, donde C 2 = 0 y C1 = θ 0 , y la solución será

θ (x ) − mx =e θ0 71

4.3.3

δ = δ=

Aleta de aguja:

Aarea lateral equivalente

π r2 2π r

p ⇒ δ=

r 2 Figura 4-9 Aleta de aguja

CASO

4.3.4

Lc = L + δ

δ

δ =

t 2

Lc = L +

δ =

r 2

L +δ =

t 2

r 2

Calor absoluto perdido por una aleta:

En la medida en que se incremente L, el calor de aleta ( Qa ) aumenta hasta un punto donde mL = 4. Teóricamente se puede decir que Q L→∞ ≈ Q L→(mL→4 ) . De mL = 4 en adelante mL → ∞ el termino kAmθ 0 es

constante, independiente de L ya que la tagh (mL ) = 1

⇒

Q a = kAm θ 0

Desde el punto de vista “relativo” la mejor aleta es la mas corta.

Tabla 4-9 Resumen superficies extendidas aletas

d 2θ − m 2θ = 0 dx 2

Ecuación diferencial

x = 0 ⇒ θ x = 0 = θ 0 = Tb − T∞  dθ  X = L ⇒ − k  A = hAθ L  dx  X = L

Condiciones de frontera

θ (x)

θ ( x ) = c 5 senh m( L − X ) + c 6 cosh m( L − X )

dθ dx

dθ = − m cosh m( L − X ) − mc 6 senh m( L − X ) dx

Perfil de temperaturas

θ ( x)

θ (x)

h senh m( L − x ) + cosh m( L − x ) = θ 0 km h senh mL cosh mL + km

Flujo de calor

 dθ  Qaleta = − k   A  dx  x =0

Qaleta

Qaleta

Efecto de la perdida en el extremo Lc = L + ∆ t ∆ = para aletas rectangulares 2 D ∆ = para aletas circulares 4

h cosh mL km = kAmθ 0 h senh mL cosh mL + km h = kAmθ 0 tanh mL; si <<<, se desprecia km senh mL +

Q aleta = kAmθ 0 tanh mLc (2) compensación

Qa = kAmθ 0

Ecuación simplificada cosh m (L − x ) θ x = θ0 cosh mL

taghmL + h km 1 + h km tan ghmL

Otra forma de expresar el calor de aleta teniendo en cuenta la eficiencia: Qa = hpLcθ0

73

tagh (mLc ) mLc

4.4

EFICIENCIA DE ALETAS

Se debe recordar que las aletas se utilizan para aumentar la transferencia de calor de una fuente. Sin embargo, la aleta misma representa una resistencia de conducción para la transferencia de calor de la superficie original. Por esta razón no hay seguridad de que la transferencia de calor aumente a través del uso de aletas. Una apreciación de este caso se obtiene evaluando la efectividad de la aleta η a. Si θ0 se mantuviera constante como una diferencia de temperaturas entre la superficie de la aleta y el ambiente, entonces tendríamos: Qmax = Qideal Partiendo de:

Qaideal = h( pLc )θ 0 = hA f θ 0

Qideal:

Af = área superficial total de la aleta Si se toma: m 2 =

Qa = Qreal =

hp kA

Calor que disiparía la aleta con la suposición de que la T° de la base se mantiene constante a lo largo de la aleta.

Qx = Qo

kAm2θ0tagh (mLc ) mLc

Generalizando:

Qa = hpLcθ 0

tagh(mLc ) mLc

Haciendo una extensión del concepto de eficiencia de aleta, podemos manejar todo tipo de aleta (de sección constante o variable) como: Qa = Qidealη aleta Figura 4-10 Área frontal de aleta

Qa = h A f θ 0η aleta { ↓

A f = A1 + A2 + A3 + A4 + A5

Af = Área frontal de aleta Donde la eficiencia para diferentes formas se calcula por medio de la tabla 3.5, del libro Incropera. ¿Que pasaría si la temperatura de la base de la aleta se mantuviera constante en toda la longitud de ella? O lo que seria lo mismo que tanh (mL ) ≈ mL , ósea mL <<
ηa =

Qreal ⇒ tagh (mL c ) Qideal ηa = mL c

Llamaremos parámetro de la aleta al producto mL , cuando este producto es pequeño, el valor de ηa esta cerca de la unidad; cuando mL es mayor que aproximadamente 4, tagh(mL ) ≅ 1 . Un valor pequeño de mL corresponde a aletas relativamente cortas y gruesas de alta conductividad térmica, mientras que valores altos de mL corresponden a aletas relativamente largas y delgadas de baja conductividad térmica. Tabla 4-10 Partiendo de la ecuación (2)

Eficiencia aleta

Q ηa = a Qi

Qa = hAlateralθ0

Es la relación del calor transmitido por la aleta (Qa) y del que se transmitiría si la superficie total de la aleta se mantuviese a la misma temperatura de la base (Qi )

ηa =

tanh mLc = Qideal η a mLc

tanh mLc mLc

Qa = Qideal ηa

QT = h(Tb − T∞ )( AL + Af η a ) = [ h(Tb − T∞ ) AT

Eficiencia superficial

(Q + Qa ) QT ηs = L = Qi Qi

QT =

Es la relación del calor total transmitido (el calor de la aleta más el de la parte libre sin aletas Qa + QL) y del que se transmitirá si la superficie total de la aleta se mantuviese a la misma temperatura de la base (Qi ) Calor total de las superficies aleteadas QT

]ηs

Tb − T∞ 1 hATηs

ηs = 1 −

Af AT

(1 − ηa )

QT = Qal + QL = h(Tb − T∞ ) N ( ALi + Afiηa ); N = N º aletas QT = Qal + QL = h(Tb − T∞ )( AL + Af η a ) QT = Qal + QL =

(Tb − T∞ ) (T − T∞ ) = b 1 1 h( AL + Af ηa ) h ATη s

Resistencia en las aletas

Q=

75

T∞1 − T∞ 2 1 1 e + + h1 A1 kA h2η s AT

4.5

ALETA ÓPTIMA

4.5.1

Determinación de la longitud optima de la aleta:

Con respecto a la longitud óptima se usan dos criterios: 1. El mejor uso del material gastado en construir la aleta. 2. El costo mínimo del sistema.

4.5.2

Mejor uso del material

Ac = tL t=

A = bt

Ac L

A b

t=

Tabla 4-11 Mejor uso del material

Ac A = L b

⇒

A=

Acb L

Maximizar el flujo calórico (calor de aleta), para una Ac constante, ¿cuál será la longitud optima de la aleta?

Qa dQ Beneficio = = a costo costo fijo aleta dL

Para determinar el L optimo se maximiza la relación beneficio / costo Qa = kAmθ 0 taghmL

;

m=

Qa = k (bt )

2h kt 2h 2h θ 0tagh L kt kt

Qa = kb

2h 2h 3 2 θ 0 t ∗ tagh L k kAc

Qa = kb

Ac 2h 2h 3 2 L θ0 ∗ tagh kAc k L

dQa =0 dL

Ac dQa 2h  θ 0 − = kb ∗ tan ghmL + dL k  2 L L

 Ac 2h 3 ∗ sec 2 hmL ∗ L = 0 L KAc 2 

dQa 2h 3 2 = −taghmL + sec 2 hmL ∗ L =0 kAc dL 3 sec 2 hmL − taghmL = 0

El valor de mL que hace que esta ecuación se cumpla es mL = 1.419 y es el valor que hace máxima la relación beneficio- costo y es cierto, solo para aletas de sección transversal constante. mL = 1.419 Corresponde a una ηa = 0.62 → 62% Cuando los catetos sean mL y Q iguales entonces ese es el punto optimo.

Si se colocan aletas mas largas que mL = 1.419 , entonces el incremento de calor que va a disipar (dQ1 ) es muy poco en comparación con el aumento del material. L relación beneficio/costo para una aleta a partir del valor mL =1.419 no es aceptable.

4.5.3

Figura 4-11 El punto óptimo no es el punto de mayor transferencia de calor

Costo mínimo del sistema:

Este tipo de análisis se basa en la determinación del costo mínimo, por un proceso similar al requerido para determinar el espesor de aislamiento óptimo. En este caso el incremento de la longitud de la aleta incrementa los costos de inversión, pero esto significa un mayor valor de calor disipado, considerándose que por cada unidad de longitud de aleta que se coloca se obtiene un beneficio equivalente al calor que se dejaría de transferir si no s e colocara.

Figura 4-12 Curva de costos Cqp=Costo de calor perdido; Ca= Costo de aislamiento.

77

Tabla 4-12

Aleta óptima de espesor constante

Condición : dQ = 0 para Ac = cte; si Ac = tL dt Q = kAmθ 0 tanh mL dQ → Q alcanza un máximo cuando : dt   2h  2h 2h tanh  Ac = 3 Ac sec h 2  Ac 3  3  kt  kt kt 3   la cual se satisface para : →

  

 2h   Ac  = 1.4192 ⇒ mL = 1.4192 kt 3   por consiguiente : topt

 2hAc2 2h  = ; con Q = θ 2 htk tanh Ac   0  k (1.4192) 2 kt 3  

topt

0.6321  Q  =   hk  θ0 

2

3

Acopt

0.5048  Q  = 2   ; como Ac = tL h k  θ0 

⇒ Lopt =

Aleta óptima triangular

Q=

0.7979  Q    k  θ0 

( (

) )

ktθ 0 pI1 2 PL1 / 2 ;p= L1 / 2 I 0 2 PL1 / 2

Q = θ0

Q = θ0

2hL kt

 2h   I1  2 L kt  tL  2hkt ; como Ac =  2 2h   I 0  2 L  kt    2h   I1 4 Ac kt 3   2hkt  2h   I 0  4 Ac 3  kt  

derivando con respecto a t , tendremos para Q un máximo cuando :    2h    I1  4 Ac  kt 3  2h    = 4 Ac 1 − kt 3    2h   I 4 Ac    0 kt 3     Re solviendo nos da el valor de :  I1  4 Ac 4  3  I 0  4 Ac 

2h tL = 2.6188 ⇒ 4 3 kt 2

4 Ac

2 2h     kt 3     2h      kt 3    

2h = 2.6188 kt 3

las dimensiones óptimas en función de h, k, Q,

0

son:

2

topt =

0.8273  Q    ; hk  θ 0 

Acopt

0.3483  Q  = 2   ; h k  θ0 

3

Lopt = Comparación de las aletas de espesor constante y las triangulares

0.8420  Q    h  θ0 

( Ac) triangular ( Ac) cons tan te Ltriangular Lcons tan te t triangular t cons tan te

=

0.3483 = 0.6899 0.5048

=

0.842 = 1.0551 0.7979

=

0.8273 = 1.3087 0.6321

La aleta triangular de dimensiones óptimas es algo más larga y gruesa en la base que la correspondiente de espesor constante.

79

Tabla 4-13 Distribución de temperatura y pérdidas de calor para aletas de sección transversal uniforme

Caso

Condición aleta (x = L)

Adiabática

distribución de temperatura θ /θb transferencia de calor de la aleta qa θ = T − T∞ θ b = θ (0) = Tb − T∞

dθ

dx

Temperatura Establecida x=L

=0

cosh m(L − x ) cosh mL

Aleta infinita

θ (L ) = θ L

(L → ∞ ) θ (L ) = 0

( ) senh m (L − x ) cosh mL + ( ) senh mL

cosh m ( L − x ) +

he km he km

 cosh mL − θ L   θ b  M senh mL

M tanh (mL ) m 2 ≡ hp

kAL

e − mx

M

Sección transversal uniforme

M ≡ θ 0 hpkAC

4.5.4

Aletas con área de sección transversal variable

Muchas de las aletas que se encuentran en la práctica tienen una sección transversal cuya área Ac varía entre la base y el extremo, por lo que hace más complejo su análisis ya que la solución no presentara la forma de funciones exponenciales o hiperbólicas simples. Como caso especial considere la aleta anular de espesor t.

Figura 4-13 Aletas de sección trasversal variable.

Estas aletas tienen muchas aplicaciones en intercambiadores de calor liquido-gas, como los evaporadores de sistemas de refrigeración enfriados por aire. Aunque el espesor de la aleta es uniforme (t es independiente de r), el área de la sección transversal, Ac = 2πrt varía con r; el área superficial

(

)

A f = 2π r2 − r1 , por tanto la forma general de la ecuación de la aleta se reduce a: 2

1

d 2T 1 dT 2h + − (Tb − T∞ ) = 0 dr 2 r dr kt

;

d 2θ 1 dθ + − m 2θ = 0 dr 2 r dr

θ = Tb − T∞

donde

m=

2h kt

La expresión anterior es una ecuación de Bessel modificada de orden cero, y la solución general tiene la forma: θ (r ) = C1 I 0 (mr ) + C 2 K 0 (mr ) donde I0 y K0 son funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase, respectivamente. Si la temperatura en la base de la aleta se establece, θ (r ) = θ b , y se supone la superficie adiabática, dT dr r = 0 , C1 y C2 2

se pueden evaluar para dar una distribución de temperaturas según la forma : θ (r ) I 0 (mr )K 0 (mr2 ) + K 0 (mr ) + I 1 (mr2 ) = θ0 I 0 (mr1 )K1 (mr2 ) + K 0 (mr1 ) + I1 (mr2 )

Las funciones de Bessel se tabulan según el apéndice B del libro de Mills. Si la transferencia de calor de la aleta se expresa como: Q a = − kAc

dT dr

r = r1

dθ = −kA(2πr1t ) dr

81

r = r1

y por lo tanto Qa = 2πkr1tmθ 0

4.5.5

K1 (mr1 )I 1 (mr2 ) − I 1 (mr1 )K 1 (mr2 ) K 0 (mr1 )I 1 (mr2 ) + I 0 (mr2 )K1 (mr2 )

Eficiencia global de la superficie

En contraste con la eficiencia de la aleta, que caracteriza el rendimiento de una sola aleta, la eficiencia global de la superficie ηs caracteriza un arreglo de aletas y la superficie base a la que se le une en cada caso la ηs , se define como: ηs =

QTotal Qmax

Donde QT es la transferencia de calor total del área de la superficie AT asociada con las aletas y la parte expuesta de las aletas, si hay N aletas en el arreglo, cada una de las áreas superficiales Af, y el área de la de la superficie primaria AL, el área total de la superficie es AT = AL + A f . La transferencia de calor máxima posible resultara si toda la superficie de la aleta, así como la base expuesta, se mantuviera en Tb. La transferencia de calor total esta dado por QT = ∑ Qmod ulo = N (Qai + QLi ) Donde Qai = calor de aleta por un modulo y QLi =calor total de un modulo aleteado. Si aceptamos condiciones de flujo unidimensional, Qai = hA fiθ 0 ∗ η aleta Q Li = hALiθ 0

el calor total de calor por convección de las aletas y de la superficie principal (sin aletas) se expresa como

QT = N (hAfiθ 0ηa + hALiθ 0 ) QT = hA f θ0ηa + hALθ0 QT = hθ 0 ( AL + η a Af

)

QT = h (Tb − T∞ ) ( AL + ηa Af

4.5.6

)

⇒

QT =

Tb − T∞ 1 h ( AL + ηa A f )

Eficiencia de la superficie: QT = hθ 0 (AL + η a A f ) = η sup hθ 0 AT AL + η a A f = η sup AT η sup = 1 − (1 − η a )

Af AT

Que dando de esta manera la resistencia para un sistema aleteado

QT =

θ0 1 hATη sup

Figura 4-14 Eficiencia de la superficie

Q=

T∞1 − T∞ 2 e 1 1 + + h1 A kA η sup h2 ATot

ATot = Alibre + Aaleta

83

Qa = η a ⋅ Qideal Qa = η a ⋅ hA f (T0 − T∞ ) ηa →

Se encuentra por medio de las graficas (Incropera) o por medio de las ecuaciones (Mills Pág. 102)

LC

3

(h / kA )

1

2

2

m

Figura 4-15 Eficiencia de aletas rectangulares y triangulares

t    r0 + − ri  2  

3/ 2

2h / kt (r0 − ri )

Figura 4-16 Eficiencia de aletas circulares

Tabla 4-14 Eficiencia de aletas continúas

CASO

η

Re/r

M Re = 1,28 r r

 L   − 0,2  M 

1

2

η=

tg h(mrφ ) (mrφ )

 Re    Re  φ = − 1 1 + 0,35 ln    r   r  Busca aleta circular equivalente.

M L Re  = 1,27  − 0,3  r r M 

85

1

2

5

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Conducción Bidimensional Estado Estable Sin Generación 86

TABLA DE CONTENIDO

5.

CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACIÓN.. 75

5.1 SOLUCIÓN ANALÍTICA .....................................................................................................................75 5.1.1 Balance de Energía ..............................................................................................................................75 5.2 SOLUCIÓN GRAFICA .........................................................................................................................81 5.2.1 METODOLOGÍA................................................................................................................................82 5.3

DETERMINACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR............................................................83

5.4

FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCIÓN........................................................................83

5.5 RECOMENDACIONES PARA EL USO DE LA TABLA DE FACTORES DE FORMA ..................86 5.5.1 Recomendaciones prácticas para la solución grafica .............................................................................86 5.5.2 Método práctico para determinar gráficamente la distancia entre 2 líneas isotermas ..............................86 5.6

SOLUCIÓN NUMÉRICA......................................................................................................................87

5.7 PROCEDIMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS ............................................................................89 5.7.1 NODOS INTERNOS...........................................................................................................................89 5.7.2 NODOS FRONTERA..........................................................................................................................89

87

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

5. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE SIN GENERACIÓN 5.1

SOLUCIÓN ANALÍTICA

Para este análisis se toma un sistema cartesiano y un elemento con sus 4 caras expuestas al flujo de calor. Se realiza un balance de energía y teniendo la temperatura en función de X y Y se pueden obtener los gradientes de temperatura en X y Y ( ∂T / ∂x y ∂T / ∂y ) y los calores conducidos.

5.1.1

Balance de Energía

∂ 2T ∂ 2 T + = 0 Esta es una Ecuación diferencial de tipo Lineal homogénea ∂X 2 ∂Y 2 parcial. Esto permite que si la ecuación es valida para T, también lo es para una (cte)X T, esto es un caso particular de la linealidad. Donde a , b , c , d son condiciones de frontera. Al solucionar esta ecuación se encuentran cuatro constantes de integración y se necesitan 4 condiciones de frontera, las cuales se pueden clasificar en homogéneas y no homogéneas. Las no homogéneas se pueden convertir en homogéneas haciendo un cambio de variable.

Figura 1-1 Conducción bidimensional

El caso más sencillo que podemos abordar es cuando tenemos a, c, d homogéneas y b no homogénea. El método analítico que se aplica a la solución se llama SEPARACIÓN DE VARIABLES. θ (x,y) = f (x,y) ⇒

θ (x,y) = A(x) . B(y)

⇒

θ (x,y) = T(x,y) - T α

Ejemplo 5-1 Se tiene un sólido con las siguientes condiciones de frontera: 1. 2. 3. 4.

(a) (c) (d) (b)

T(0,y) = T0 T( w ,y ) = T0 T(x,0) = T0 T(x,h) = T0 + θ msen X.

La solución es de la form : θ (x,y) = A(x) . B(y)

∂ 2T ∂ 2 T + =0 es: Para la ecuación ∂X 2 ∂Y 2 ∂ 2 ( A( x ) . B( y ) ∂ 2 ( A( x ) . B( y ) ) + = 0 ∂X 2 ∂Y 2 75

Figura 1-2

Transferencia de Calor

B(y)

∂ 2 ( A( x)) ∂X 2

+ A(x)

1 ∂ 2 ( A( x)) A( x) ∂X 2

∂ 2 ( B( y) ) =0 ∂Y 2

Dividimos entre A(x) . B(y) y resulta

1 ∂ 2 ( B( y) ) + =0 B( y) ∂Y 2

1 ∂ 2 ( A( x)) 1 ∂ 2 ( B( y) ) − = = ± λ2 2 2 A( x) ∂X B( y) ∂Y La única manera para que el termino de la izquierda F(x) sea igual al termino de la derecha F(y) es que ambos sean iguales a una constante, por ejemplo λ 2 > 0. Tomamos la negativa para A y para B la positiva así:

1 ∂ 2 ( A( x)) 1 ∂ 2 ( A( x)) 2 = + λ 2 A(x) = 0 ⇒ λ ⇒ A( x) ∂X 2 A( x) ∂X 2 1 ∂ 2 ( B( y) ) 1 ∂ 2 ( B( y) ) 2 = -λ 2 = 0 ⇒ λ ⇒ 2 2 B( y) ∂Y B( y) ∂Y

(sin Senoidal)

(sin Exponencial)

La solución será de la forma: A(x) =C1sen λ X + C2cos λ X Y

B(y) =C3

Y

+ C4

La solución completa será el producto A(x) B(y) θ (x,y) =( C1sen λ X + C2cos λ X )*( C3

Y

+ C4

Reemplazando las condiciones de frontera: 1. θ (0,y) = 0 Y

+ C4

+ C4

Y

0 = ( C1sen0 + C2cos0)( C3 0 = ( 0 + C2 ) ( C3 C2 = 0

Y

Y

)

)

3. θ (x,0) = 0 0 = ( C1sen λ X + C2cos λ X )*( C3 0 + C4 0 = ( C1sen λ X + C2cos λ X )*( C3 + C4 ) 0 = ( C1sen λ X )*( C3 + C4 ) C3 = -C4

0

)

La ecuación general reemplazando los valores de las constantes

76

Y

)

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

θ (x,y) = C1sen λ X( C3 θ (x,y) = C1C3 Csen λ X( θ (x,y) = 2C1C3 Csen λ X(

Y

+ C3 Y

+ Y

+

Y

)

Y

) por 2/2 Y

)

2. θ (x,y) = C sen λ X senh λ Y 3. θ (w,y) =0

0 = Csen λ W senh λY

λ W = 0, π , 2 π , 3 π , 4 π ,

.n π

λ nW = n π

n → entero

Se obtienen n soluciones. (Independiente de n, el valor de sen λ W es siempre cero).

∂ 2T ∂ 2 T + =0 es lineal, la suma de las soluciones ∂X 2 ∂Y 2 particulares es también una solución, de esta forma como se tienen n soluciones (infinitas) θ (x,y) puede escribirse como la suma de una serie infinita así:

Como la ecuación

∑

∞ n =1

C nsen λnX senh λnY ;

λn = n π / W

Se deben encontrar los valores de Cn de la solución general que dependen de la 4 condición de frontera. 4. θ (x,H) = θ msen π X θ msen ( π X)/W =

∑

∞ n =1

C nsen (n π X)/w senh(n π H)/w

Como Cn es la combinación de otras constantes, esta igualdad existe cuando C2=C3 =C4 = 0= Cuando n=1 θ msen ( π X)/W = C1 sen (1 ( π X)/W) senh( π H )/W  πY  πX  θ m senh   sen   W   W  C1 = πH  senh    W 

PRINCIPIO DE ORTOGONALIDAD: Principio aplicado a las funciones como la seno(x) (llamadas funciones propias).

∫ senλ nX

sen λ mX dX =

{0 si n ≠ m , valor propio si n = m.

Un caso particular es cuando F(X) = θ c = cte.

77

Transferencia de Calor

Ejemplo 5-2 Encontrar la distribución de temperatura en una placa con las condiciones de frontera especificadas. θ ( x , y ) = A( x ) × B( y )

B( y )

∂2 A ∂2B + A =0 ( x) ∂x 2 ∂y 2

∂2 A + λ2 A = 0 ∂x 2

1 ∂2 A 1 ∂2B = − = ± λ2 2 2 A ∂x B ∂y ∂2B − λ2 B = 0 ∂y 2

θ ( x , y ) = (C1 Senλx + C 2 Cos λx)(C 3 Senhλ y + C 4 Coshλy ) Figura 1-3 Ejemplo 6-2

x=0

B( y ) × (C1 × 0 + C 2 × 1) = 0

C2 = 0

y=0

C1 Senλx × (C 3 × 0 + C 4 × 1) = 0

C4 = 0

x=w

C × Senλw × Senhλy = 0

Senλw = 0

θ ( x , y ) = ∑ C n Senλ n xSenhλ n y θ 0 = ∑ C n Senλ n xSenhλ n H w

∫θ

0

0

Senλ n xdx = C n Senhλ n H × ∫ Sen 2 λ n xdx w

λ θ θ θ 0 ∫ Senλn xdx × n = 0 (Cosλn x) = 0 1 − (−1) n  λn λn λn 0 0 w

1 − Cos 2λ n x w dx = 2 2 0

w

2 ∫ Sen λn xdx = ∫

[

]

θ0 w w 1 − (−1) n = C n Senhλ n H × nπ 2

Cn = Así:

2θ 0 1 − (−1)n  nπ Senhλn H

θ (x,y) =

∑

Cn sen λ nX senh λ nY.

78

λ w = nπ

λn =

nπ w

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

Ejemplo 5-3 Demuestre que el calor disipado por una aleta recta rectangular de espesor 2t y condiciones de frontera T=TB en x=0 y flujo de calor en x=L, tomando en cuenta que el flujo de calor es Bidimensional, esta dado por: Q2 D = 8k [TB − T∞ ] ∑

nimpar

Bi =

(

Tanh nπt

2L

(

)

)

nπt   nπ 1 + Tanh nπt 2 L   2 BiL

ht k

Figura 1-4 Ejemplo 6-3

Si hacemos

θ x = T( x , y ) − TB , entonces:

Condición de frontera superior 4 C.F ⇒

−K

∂θ ∂y

[

]

= h Ty=t − TB − (T∞ − TB ) = h(θ x,t − θ ∞ ) y =t

Ecuación Diferencial ∂ 2θ ∂ 2θ + =0 ∂x 2 ∂y 2

;

∂2 A + λ2θ = 0 ∂x 2

⇒

A( x ) = C1 Senλx + C 2 Cosλx

∂2B − λ 2θ = 0 2 ∂y

⇒

B( y ) = C 3 Senhλy + C 4 Coshλ y

θ = A( x ) × B( y )

79

Transferencia de Calor

Figura 1-5 Condiciones de frontera

Primera condición de frontera 0 1 1ª C.F ⇒ θ ( 0, y ) = 0 = (C1 Sen0 + C 2 Cos 0) × B( y )

⇒

C2 = 0

Segunda condición de frontera 2ª C.F ⇒

∂θ ∂y

1

0

= 0 = (C 3 λCosh 0 + C 4 λSenh0)

⇒

C3 = 0

y =0

Tercera condición de frontera 3ªC.F ⇒

∂θ ∂x

= 0 = (C1λ Cosλ L) × B( y ) ⇒ Cosλ L = 0 ⇒ λ L = x= L

nπ 2

n ≥1

θ ( x , y ) = ∑ C n Senλ n X × Cosh λ nY

Cuarta condición de frontera 4ªC.F ⇒ K  ∑ C n Sen λn X × λ n Senhλ n t  = h (θ ( x ,t ) − θ ∞ ) = h  ∑ C n Senλn X × Cosh λ n t − θ ∞ 

∑C

∑C ∑C

n

n

n

Senλ n X [hCoshλ n t + Kλ n Senhλ n t ] = hθ ∞

  1 multiplico X    hCoshλ n t 

hθ ∞  Kλ n t  Senλ n X 1 + Tanghλ n t  = ht   hCoshλ n t θ∞  λt  Senλ n X 1 + n Tanghλ n t  = Bi   Coshλ n t

⇒

Bi =

ht K

Aplicando el principio de ORTOGONALIDAD de las funciones propias, multiplicamos a ambos lados por Senλn xdx e integramos entre 0 y L. De la serie solo quedara valido el termino de Cn 80

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

θ∞  λn t  ∫0 C n Sen λn xdx1 + Bi Tanghλn t  = ∫0 Coshλn t Senλn xdx L

L

2

Cn

θ∞ L  λn t  1+ Tanghλ n t  =  2 Bi  λ n Coshλ n t

Cn =

Cn =

2θ ∞ 1 × Lλn Coshλn t  λn t  1 + Bi Tanghλn t   

⇒

λn =

nπ 2L

4θ ∞ 1 × nπCoshλ n t  λ n t  1 + Bi Tanghλ n t   

θ ( x, y ) = ∑

4θ n Senλn X × CoshλnY  λn t  nπCoshλn t 1 + Tanghλ n t  Bi  

Para la determinación del flujo de calor en esta aleta bidimensional se deberá: t

Q x =0 = ∫ − k 2D

0

dθ dx

t

x =0

× 2dy = −k ∫ ∑ C n Cosλ n × 0 × (λ n Coshλ n y × 2dy ) 0

Q x =0 = −2k ∑ C n Senhλ n t = −8θ ∞ k ∑ 2D

Q2 D = 8[Tb − T∞ ]K ∑

5.2

Tanghλn t  λt  nπ 1 + n Tanghλn t  Bi  

Tanghλ n t  λt  nπ 1 + n Tanghλ n t  Bi  

SOLUCIÓN GRAFICA

El principio básico de la solución por este método es que las líneas isotermas son perpendiculares a las líneas de flujo de calor en un punto específico. De esta manera se toma el elemento de análisis y se trata de dibujar sobre él un sistema de cuadrados curvilíneos compuesta por líneas de flujo de calor y líneas isotermas.

81

Transferencia de Calor

5.2.1

METODOLOGÍA

Figura 2-1 Metodología para la solución grafica.

2. Identificar todas las líneas de simetría relevantes. Estas líneas se determinan por condiciones térmicas. Estas líneas se determinan por condiciones térmicas así como por condiciones geométricas. Como se muestra en la fig. 1.(a). ,estas líneas incluyen las verticales, horizontales y diagonales que se designan. Por tanto, para este sistema es posible considerar sólo un octavo de la configuración, como se muestra en la fig 1.(b). 3. Las líneas de simetría son adiabáticas en el sentido que quizá no haya transferencia de calor en una dirección perpendicular a las líneas. Por tanto, son líneas de flujo de calor y deben tratarse como tales. 4. Después de que todas las líneas conocidas de temperatura constante asociadas con las fronteras del sistema hayan sido identificadas, debe hacerse un intento de dibujar líneas de temperatura constante dentro del sistema. Las isotermas siempre deben ser perpendiculares a las adiabáticas. 5. Las líneas de flujo de calor deben dibujarse con la finalidad de crear una red de cuadrados curvilíneos. Esto se logra haciendo que las líneas de flujo de calor y las isotermas se intersequen en ángulos rectos y que todos los lados de cada cuadrado sean aproximadamente la misma longitud. En la fig 1. (c) al asignar la coordenada (X) a la dirección del flujo de calor y la coordenada (Y) a la dirección normal de este flujo, el requerimiento se expresa como: ∆X ≡

ab + cd ac + bd ≈ ∆Y ≡ 2 2

82

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

5.3 DETERMINACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR Si la grafica de flujo se construye de forma apropiada, el valor de qi será el mismo para todas las bandas y la transferencia de calor se expresa como: M

q = ∑ qi = Mqi i =1

Donde M es el número de bandas asociado con la grafica. A partir del cuadro curvilíneo y aplicando la ley Fourier obtenemos qi ≈ kAi

∆Ti ∆T ≈ k (∆Y )(l ) i ∆x ∆x

Donde ∆ Ti es la diferencia de temperaturas entre isotermas sucesivas, Ai es el área de transferencia de calor por conducción para la banda y l es la longitud del canal normal a la página. Sin embargo, si la grafica de flujo esta construida de forma apropiada, el incremento de temperatura es el mismo para todas las isotermas contiguas y la diferencia global de temperaturas entre las fronteras ∆ T1-2 se expresa como: N

∆ T1-2 = ∑ ∆T j = N∆T j j =1

Donde N es el número total de incrementos de temperatura. AL combinar las ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta que ∆ X ≈ ∆ Y para cuadros curvilíneos obtenemos: q≈

Ml k∆T1− 2 N

Para la figura 1. N=6 y M=5, por supuesto que conforme la red de cuadros curvilíneos se hace más fina, M y N aumentan y la estimación de M/N se hace más exacta.

5.4

FACTORES DE FORMA PARA LA CONDUCCIÓN

En muchos problemas de conducción multidimensional intervienen flujos de calor entre dos superficies, cada una de las cuales tiene una temperatura uniforme; las superficies restantes, si las hay, son adiabáticas. EL factor de o

forma para la conducción, S, se define de manera ue el flujo de calor, Q entre las superficies sea: o

Q = kS∆T

83

Transferencia de Calor

Donde K es la conductividad térmica y ∆ T es la diferencia de temperatura entre las superficies; vemos que S tiene dimensiones de longitud. Los resultados obtenidos antes para la conducción unidimensional también pueden expresarse en función del factor de forma. Tabla 5-1 Factores de Forma CONFIGURACION

FACTOR DE FORMA

Pared Plana

Cilindros Concéntricos

A L

2πL ln( r2 / r1 )

L ≥ r2

Nótese que no existe una solución en régimen

estacionario para r2 → ∞ es decir, para un cilindro en un medio infinito. Esferas Concéntricas

a.

4π 1 / r1 − 1 / r2

b. 4πr1 Cilindros Excéntricos

Prismas Cuadrados Concéntricos

para r2 → ∞ 2πL

 r 2 + r1 2 − e 2 Cosh −1  2 2r1 r2 

   

2πL a 〉 1. 4 para 0.93 ln( a / b) − 0.052 b 2πL a 〈1.4 para 0.785 ln( a / b) b L 〉〉 a

84

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

Continuación factores de forma CONFIGURACION

FACTOR DE FORMA

Cilindro Circular y Prisma Cuadrado Concéntricos Esfera Enterrada La temperatura del medio en el infinito también es T2

2πL ln( 0.54a / r ) 4πr1 1 − r1 / 2 L

Para h → ∞ se obtiene de nuevo el resultado del apartado 3(b)

Cilindro Enterrado

2πL Cosh −1 (h / r1 )

La temperatura del medio en el infinito también es T2

2πL ln( 2h / r1 )

Viga Rectangular Enterrada La temperatura del medio en el infinito también es T2 Arista de Dos Paredes Adyacentes

a〉 2r

para h 〉 3r1

Para h / r1 → ∞, S → 0 puesto imposible el flujo estacionario

  h  2.756 ln 1 +     a  L 〉〉 h, a, b

0.54W

−0.59

h   b

−0.078

para W 〉 L / 5

(W es la arista interna de un cubo)

Esquina de Tres Paredes Adyacentes

0.15 L

85

para W 〉 L / 5

que

es

Transferencia de Calor

5.5 RECOMENDACIONES PARA EL USO DE LA TABLA DE FACTORES DE FORMA o

No existe generación de calor interna: Q ′′′ = 0. La conductividad térmica K es constante. Ambas superficies deben ser isotérmicas. Debe tenerse cuidado en los casos en que el medio es infinito. Por ejemplo en el punto 7 tanto la superficie plana como el medio infinito deben estar a la T2. El apartado 8 a menudo se usa incorrectamente para calcular la pérdida o la ganancia de calor de tuberías subterráneas. Es esencial que la tierra que rodea a la tubería se encuentre a la misma temperatura que las superficies, lo que rara vez ocurre en la realidad. Además, el problema de las tuberías subterráneas con frecuencia hay conducción transitoria.

5.5.1

Recomendaciones prácticas para la solución grafica

El trazado del sistema de cuadrados curvilíneos es útil si las fronteras son isotermas. Si el cuerpo tiene simetría, las líneas de flujo de calor son los ejes de simetría. La distancia entre líneas isotermas aumenta con el aumento del área de transferencia. Las líneas isotermas son perpendiculares a las líneas de flujo de calor.

5.5.2 Método práctico para determinar gráficamente la distancia entre 2 líneas isotermas Se desarrolla basado en la conducción de calor en el caso particular de un tubo: Cuando h determinado N=3 Para saber cuanto es el valor de r1 y r2 se aplica la analogía De TC con las resistencias eléctricas. Figura 5-1 Tubo anular

Entonces:

86

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

T0 − T3 T0 − T2 T0 − T1 = = = R3 R2 R1 Ln Ln Ln R0 R0 R0 2πKL 2πKL 2πKL

Q=

Como se sabe que T0 – T1 = ∆ T y T0 – T2 = 2 ∆ T

N∆T 3∆T 2∆T ∆T = = = = R3 R2 R1 RN Ln Ln Ln Ln R0 R0 R0 R0 2πKL 2πKL 2πKL 2πKL

Q=

R3 R R R Ln N Ln 2 Ln 1 R0 R0 R0 R0 = = = = 3 2 1 N

Ln

Si se relacionan los 2 últimos términos: Ln R1/R0 = (1/N) * Ln Rn/R0 (Ln rn/r0)1/N

Ln r1/r0 e

= e

(R1/ R0) N = (Rn / R0)

Rn = R0 FN

donde: F = factor gráfico

Ejemplo 5-4 Donde: R0 = 10 Cm

R3 = 20 Cm

y N=3

F=(rn/r0)1/N = ( R3/R0)1/3 = ( 2)1/3 = 1.26 R2 = R0 F2 = 10 (1,26)2 = 15,87 Cm R1 = 10 (1,26) = 12,6Cm.

5.6

SOLUCIÓN NUMÉRICA

El objetivo de este método es convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas (o numéricas ), lo cual se puede hacer por un procedimiento analítico o por un balance de energía sobre un elemento finito. Procedimiento analítico → Partiendo de la ecuación que gobierna el proceso en el interior del cuerpo, producto de un balance de energía infinitesimal:

87

Transferencia de Calor

∂ 2T ∂ 2 T + =0 ∂X 2 ∂Y 2 ∂ 2T Donde: → Flujo neto de calor por conducción en la dirección x. ∂X 2 Al aplicarle un mecanismo de aproximación analítico como es la serie expansión Taylor puede convertir la ecuación en una algebraica (reemplazando x+ ∆ x por m+1).

∂ 2T 2 Caso Unidimensional ∂X = 0 → Línea recta. Figura 6-1 Variación de la pendiente de la temperatura en la dirección de x.

Caso Bidimensional → con T(x,y) → Función continua. En forma de series de Taylor tenemos:

∂T ∂ 2T 2 Tm+1 = Tm + ∂X ∆ x + ∂X ∆ x2 ………….+ ( se desprecian) ∂T ∂ 2T 2 Tm-1 = Tm - ∂X ∆ x + ∂X ∆ x2 ………….+ ( se desprecian) --------------------------------------------------------------------------------------

∂ 2T 2 Tm+1 + Tm-1 = 2 Tm + ∂X ∆ x2 ∂ 2T ∂X 2

m, n

Tm + 1,n + Tm-1,n - 2 Tm,n ∆X 2 =

Para un procedimiento similar obtenemos:

∂ 2T ∂Y 2

m,n

Tm + 1,n + Tm-1,n - 2 Tm,n ∆Y 2 =

El Balance de energía en un nodo debe ser igual a cero: siempre la subdivisión se hace de tal forma que ∆ x = ∆ Y ⇒ Reemplazando : Tm + 1,n + Tm-1,n - 2 Tm,n ∆X 2

Tm + 1,n + Tm-1,n - 2 Tm,n ∆Y 2 =

88

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n = 0 Ecuación nodos internos Esta ecuación solamente se cumple para los nodos internos de un cuerpo conduciendo calor en forma bidimensional. Se puede plantear una ecuación de este tipo para cada uno de los nodos internos del cuerpo. Para n nodos tengo n ecuaciones con n incógnitas. Por éste método analítico NO se puede analizar los nodos frontera. * F(x+ ∆ x) = F(x) +F` (x) ∆ x + F” (x) ∆ x2 0.5

5.7

PROCEDIMIENTO POR ELEMENTOS FINITOS

Este método puede aplicarse a conducción bidimensional con generación. Para obtener la ecuación de relación de temperaturas se hace un balance de energía sobre un elemento finito Vc → nodo.

5.7.1

NODOS INTERNOS

Balance de Energía: Q1 + Q2 = Q3 + Q4 Si aplicamos Fourier: Q1 = K ( ∆Yl ) Q2 = K ( ∆Xl ) Q3 = K ( ∆Yl ) Q4 = K ( ∆Xl )

(Tm−1,n − Tm ,n ) ∆X (Tm ,n−1 − Tm ,n ) ∆Y (Tm ,n − Tm+1,n ) ∆X (Tm ,n − Tm,n+1 ) ∆Y

Reemplazando: Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n = 0

Ecuación nodos internos

Este método si se puede utilizar para nodos de frontera.

5.7.2

NODOS FRONTERA

Cuando las fronteras coinciden exactamente con el sistema X,Y (ejes de coordenadas). Existen 5 tipos de nodos así: Nodo frontera convectivo en superficie vertical

89

Transferencia de Calor

Las condiciones de frontera pueden ser de 2 tipos: a)

Cuando se conoce la temperatura del nodo.

b)

Cuando la frontera es convectiva.

Q1 = K (∆X l) Q2 = K (∆Y l)

0 = Kl

(Tm ,n − Tm ,n+1 ) 2∆Y (Tm ,n − Tm+1,n ) ∆X

(Tm ,n − Tm ,n+1 ) 2

Q3 = K (∆X l)

;

QC = h( ∆Y l )(Tm ,n − T∞ )

+ K l(Tm ,n − Tm+1,n ) + K l

2∆Y

(Tm ,n − Tm ,n−1 ) 2

0 = Tm ,n − Tm ,n+1 + 2Tm ,n − 2Tm+1,n + Tm ,n − Tm ,n−1 + 2h (∆Y )

Figura 7-1 Nodo frontera tipo 1

(Tm ,n − Tm ,n−1 )

;

+ h(∆Y l)(Tm ,n − T∞ )

(Tm , n − T∞ ) K

2h∆Y  T∞   4 + K  Tm,n − Tm,n +1 − 2Tm+1, n − Tm, n−1 = 2h(∆Y ) K Nodo tipo 1 Nodo frontera convectivo en superficie horizontal

Q1 = K ( ∆Y l)

Q2 = K (∆Y l) Kl

(Tm−1,n − Tm ,n ) 2∆X

(Tm+1,n − Tm ,n )

(Tm−1,n − Tm ,n ) 2

2∆X

(Tm,n−1 − Tm ,n )

;

Q3 = K ( ∆X l)

;

QC = h(∆X l)(Tm,n − T∞ )

+ K l(Tm ,n−1 − Tm,n ) + K l

(Tm+1,n − Tm ,n ) 2

Tm−1,n − Tm,n + Tm+1,n − Tm ,n + 2Tm ,n−1 − 2Tm ,n = 2h( ∆X )

∆Y

= h (∆X l)(Tm,n − T∞ )

(Tm ,n − T∞ )

Figura 7-2 Nodo frontera tipo 2

K

2h∆X  T∞   4 + K  Tm ,n − 2Tm, n−1 − Tm−1, n − Tm +1,n = 2h(∆X ) K Nodo tipo 2 Nodo frontera convectivo en esquina interna

Q1 = K (∆Y l)

(Tm−1, n − Tm ,n ) ∆X

;

Q3 = K (∆Y l)

90

(Tm ,n − Tm+1,n ) 2∆ Y

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

Q2 = K (∆X l)

(Tm ,n − Tm,n+1 )

 ∆X Q4 = K   2

;

∆Y

 (T − T ) l  m,n m ,n−1 ∆Y 

 ∆X ∆Y  + QC = h   l(T∞ − Tm,n ) 2   2 K l(Tm−1,n − Tm ,n ) + h( ∆X l)(T∞ − Tm ,n ) = K l(Tm ,n − Tm ,n+1 ) + K l

−6Tm−1,n − 2Tm ,n +

(Tm ,n − Tm+1,n ) 2

+ Kl

(Tm,n − Tm ,n−1 ) 2

2h 2h (∆XT∞ ) − (∆X )Tm ,n = 2Tm,n − 2Tm ,n+1 − Tm+1,n + 2Tm,n − Tm ,n−1 K K

T∞  2h∆X   6 + K  Tm,n − 2Tm−1,n − 2Tm,n+1 − Tm+1,n − Tm ,n −1 = 2h(∆X ) K Nodo tipo 3

Figura 7-3 Nodo frontera tipo 3

Nodo frontera convectivo en esquina externa Balance de Energía: Q1 + Q2 = Qc Q1 = K (∆X l) Q2 = K (∆Y l)

(Tm,n − Tm, n+1 )

;

2∆ Y (Tm ,n − Tm+1, n )

2 ∆X  ∆X ∆Y  + QC = h   l(T∞ − Tm, n ) 2   2

Kl

(Tm ,n − Tm ,n −1 ) 2

+ Kl

(Tm ,n − Tm +1, n ) 2

Figura 7-4 Nodo frontera tipo 4

= h(∆Xl)(T∞ − Tm, n )

Tm, n − Tm , n−1 + Tm, n − Tm , n − Tm +1, n = 2h(∆X )

(T∞ − Tm , n ) K

2h∆X  T∞   2 + K  Tm ,n − Tm+1, n − Tm,n −1 = 2h(∆X ) K Nodo tipo 4 Nodo Adiabático Balance de Energía: Q1 = Q2 + Q3

Figura 7-5 Nodo frontera tipo 5

91

Transferencia de Calor

Q1 = K (∆Y l)

(Tm−1,n − Tm,n )

Q2 = K (∆X l) Q3 = K (∆X l)

∆X (Tm, n − Tm, n +1 ) 2∆Y (Tm, n − Tm, n −1 ) 2∆Y

Nodo tipo 5 -T 4Tm,n m,n+1 - Tm,n-1 - 2Tm-1,n = 0

92

Capitulo 5 Conducción bidimensional en estado estable sin generación

Tabla 5-2 Resumen las situaciones anteriormente descritas. ECUACION NODAL PARA INCREMENTOS IGUALES EN X y Y

SITUACION FISICA 6. Nodo Interior

Tm+1,n + Tm-1,n + Tm,n+1 + Tm,n-1 - 4Tm,n = 0

7. Nodo de frontera de convicción

2h∆X  T∞   4 + k  Tm, n − 2Tm, n−1 − Tm−1, n − Tm +1, n = 2h( ∆X ) k

8. Vértice exterior con frontera de convicción T∞ 2 h∆X    2 + k  Tm ,n − Tm +1,n − Tm ,n −1 = 2h (∆X ) k

9. Vértice interior con frontera de convicción T∞  2h∆X   6 + k  Tm ,n − 2Tm−1, n − 2Tm, n+1 − Tm+1, n − Tm, n−1 = 2h( ∆X ) k  

93

Transferencia de Calor

ECUACION NODAL PARA INCREMENTOS IGUALES EN X y Y

SITUACION FISICA 10. Frontera aislada

4Tm,n -Tm,n+1 - Tm,n-1 - 2Tm-1,n = 0

11. Nodo interior cerca de una frontera curva

2 2 2 T2 + Tm +1, n + Tm, n−1 b(b + 1) a +1 b +1 +

12. Nodo frontera con convección a lo largo de una frontera curva nodo 2 para (f) arriba

95

b

T1 +

b

2  1 1 T1 − 2 + Tm, n = 0 a(a + 1) a b

T3 a +b c +1 a +1 h∆x + Tm, n + ( c 2 + 1 + a 2 + b 2 )T∞ b k  b b a +1 h∆x  − + + + ( c2 + 1 + a2 + b2 )  T2 = 0 2 2 2 b k  c +1  a +b 2

2

2

6

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Conducción Transitoria

TABLA DE CONTENIDO

6. 6.1

CONDUCCIÓN TRANSITORIA ..............................................................................98 SOLUCIÓN ADIMENSIONAL O RELATIVA............................................................................. 98

6.2 SIMPLIFICACIONES PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CONDICIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL....................................................................................................... 101 6.2.1 Capacidad calórica concentrada (resistencia interna despreciable) .............................................. 101 6.2.2 BIOT Grande Bi > 100 .............................................................................................................. 110 6.2.3 BIOT Mediano 0.1 < B i < 100 .................................................................................................. 117 6.3

CONDUCCIÓN TRANSITORIA, BI-TRIDIMENSIONAL SIN GENERACIÓN ..................... 131

6.4 Conducción transitoria unidimensional Sin generación............................................................... 134 6.4.1 Solución Numérica ..................................................................................................................... 134 6.4.2 Procedimiento por Elementos Finitos .......................................................................................... 135

97

Transferencia de Calor

6. CONDUCCIÓN TRANSITORIA Muchos problemas de transferencia dependen del tiempo, este tipo de problemas no estables o transitorios, normalmente surgen cuando cambian las condicione de frontera de un sistema. En la conducción transitoria, la temperatura es función tanto del tiempo como de las coordenadas espaciales. Para determinar la dependencia temporal de la distribución de temperaturas dentro de un sólido en un proceso transitorio, se comienza por resolver la forma apropiada de la ecuación de calor (Ecuación de Fourier).

0 q 1 ∂T ∇ 2T + g = ⋅ k α ∂t

∂ 2T 1 ∂T = ∂x 2 α ∂t

(Sin generación)

Sometida a las condiciones de Frontera: 1)

2) 3)

∂T ∂x −k

=0 x =0

∂T ∂x

= h (Tx = L − T∞ ) x=L

Condición Inicial → T(x=0) = Ti

6.1 SOLUCIÓN ADIMENSIONAL O RELATIVA La teoría de la semejanza de los fenómenos físicos permite obtener soluciones independientes de los valores absolutos de las variables que gobiernan las relaciones entre los diferentes factores que caracterizan el fenómeno; en este caso por ejemplo estamos interesado en determinar la Historia de T = (x, t) en puntos particulares de un cuerpo conduciendo calor en forma transitoria, la relación buscada será: T(x, t) = T (x, t, h, F,……), en lugar de abordar el problema en términos de las variables absolutas (x, t, h, k, …) utilizamos variables relativas para cada una de las variables que determinan el fenómeno, la solución que obtendremos será GENERALIZADA e independiente del tamaño, tiempo y propiedades absolutas del cuerpo. Parámetros Relativos Básicos Para el caso de la conducción transitoria podemos definir: Posición Relativa:

98

Figura 6-1 Conducción transitoria

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Para Placa η=

Para Cilindro

x L

η=

r R

Temperatura Relativa: θ (η ,t ) =

T(x ,t ) − Tα T0 − Tα

Parámetros Relativos Derivados En la ecuación que gobierna el proceso de conducción interior, partiendo de la ecuación básica: Figura 6-2

∂ 2T 1 ∂T = ∂x 2 α ∂t

α=

Recuerde que

k ρ ⋅ CP

e introduciendo las variables relativas η y θ (η ,t )

x =η × L

T( x ,t ) − T∞ = θ ( x ,t ) (Ti − T∞ )

dx = L dη ∂T ∂ 2θ = (Ti − T∞ ) 2 T( x ,t ) − T∞ ∂x ∂x θ= Ti − T∞

y

∂T ∂θ = (Ti − T∞ ) ∂t ∂t

Se obtiene ∂ 2θ 1 ∂θ = 2 α ∂t L ∂η

∂ 2θ 1 ∂θ (Ti − T∞ ) 2 = (Ti − T∞ ) ∂t α ∂x ∂ 2θ 1 ∂θ = L2 ∂Χ 2 α ∂t

2

∂ 2θ ∂θ = 2 ∂η ∂ tα

( L) 2

donde tα se define como el tiempo adimensional o parámetro relativo L2 adimensional, llamado Numero de Fourier Fo =

αt L2

=

t tc

donde

tc =

L2 α

Característico de los problemas de conducción transitoria. También es llamado constante de tiempo ξ . El comportamiento de la solución dependerá del valor de t respecto de tc, es decir, de si Fo es mucho menor que la unidad.

99

Transferencia de Calor

∂ 2θ ∂θ = → θ = C × f ( Fo,η ) 2 ∂η ∂Fo integración.

donde C es una constante de

Condición de frontera en forma relativa: − k (Ti − T∞ )

−k

∂θ L∂η

Donde

∂θ ∂x

= h(Ti − T∞ )θ ( L ,t ) x= L

= hθ ( L,t ) x =1

hL k

−

∂θ hL θ ( L ,t ) = ∂η k

se define como el Número de Biot (Bi).

Figura 6-3 Condiciones de frontera relativas

Parámetro

adimensional, que establece una relación entre la resistencia a la conducción y la resistencia a la convección. Una resistencia térmica pequeña tiene siempre asociada una caída de temperatura pequeña cuando se transfiere una determinada cantidad de calor, así, si la resistencia de conducción es pequeña en relación con la resistencia de la convección, (lo cual significa un numero de Biot pequeño) las caídas de temperatura en el sólido son pequeñas en relación con la caída de temperatura en el fluido que rodea el sólido. Jean-Baptiste Biot (París, 1774- id., 1862) Físico francés. Se dedicó también al estudio de la química, la matemática y la astronomía. Elaboró una teoría matemática sobre la propagación del sonido en los sólidos y estudió la polarización rotatoria, la conductibilidad calorífica y el origen de los meteoritos. Miembro de la Academia de Ciencias y de la Royal Society, dejó constancia de su ideología republicana en su obra Ensayos sobre la historia general de las ciencias durante la Revolución. La ley de Biot y Savart permite calcular el valor de la intensidad del campo magnético creado por una corriente eléctrica. Para números de Biot pequeños, es razonable suponer una distribución de temperaturas uniforme a través de un sólido en cualquier momento durante el proceso transitorio. Simplificando:

L hL hLA Bi = = = kA = 1 k kA hA

Re sistencia conducción Re sistencia convección

100

Figura 6-4Resistencia de convección es mucho mayor que la resistencia de conducción

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Valores de Biot: 1. Pequeños Bi < 0.1 significa resistencias de conducción pequeñas 2. Normales 0.1 < Bi < 100 3. Grandes Bi > 100 significa resistencia de convección pequeña Tabla 6-1 Parámetros relativos Parámetros Relativos

η=

θ ( x,t ) =

Significado

x L

Posición Relativa

T( x,t ) − T ∞

Temperatura Relativa

T0 − T ∞

F0 =

αt L2

Tiempo Relativo

Bi =

hL k

Condición de Frontera Relativa

6.2 SIMPLIFICACIONES PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE LA CONDICIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL. Figura 6-5 Resistencia de conducción es mucho mayor que la resistencia de convección.

6.2.1 Capacidad

calórica

concentrada

(resistencia

interna

despreciable) Bi < 0.1 Si el número de Biot es pequeño, el gradiente de temperatura es pequeño, lo que implicaría que la conductividad térmica tendería al infinito, aunque esto es imposible, esta condición se acerca mucho al caso en el que la resistencia a la conducción dentro del sólido es pequeña comparada con la resistencia a la transferencia de calor entre el sólido y sus alrededores. “La energía que se pierde o se gana sirve para calentarlo o para enfriarlo”.

Qg + Qc = Qalmacenado

T(t ) −T∞−

qg∀ h As qg ∀

θ(t ) = dT To −T∞− & qg∀+ h As (T∞− T(t) ) = mCp h As dt qg ∀  qg∀  dθ  ρ∀ Cp  qg∀ & mCp dT +T∞−T(t ) = To −T∞−  ×θ(t ) = − To −T∞−  h As  h As  h As  dt h As h As dt  θ t qg∀ ρ∀ Cp dT (t ) dθ hA =− T(t ) −T ∞− = − ∫ ρ∀ Cspdt h As h As dt ∫ θ(t) 1 0 Figura 6-6

101

Transferencia de Calor

Condiciones Iniciales θ (t ) = T0 t =0 Lnθ (t) = − θ(t) = e

−

h As t ρ Cp ∀

Con Generación

θ (t ) =

qg ∀

T (t ) − T∞ − To − T∞ −

h As t ρ Cp ∀

Sin Generación

T (t ) − T∞ hAs θ (t ) = qg ∀ To − T∞ hAs

Esta ecuación es independiente si hay o no hay generación de calor. Tabla 6-2

CASOS

HISTORIA DE TEMPERATURAS T (t ) − T

Con generación

θ = T

o

−T

θAdimensional

∞

∞

− −

q

g hA

q

g hA

∀

s ∀

= e

− B iF

− o = e

hA ρC

s

p

∀

×t

s

T(t). Enfriamiento

T(t). Calentamiento

h As

Sin generación

− ×t T (t ) − T∞ ρ C p∀ − B iFo = e = e θ = To − T∞

θAdimensional

T(t). Enfriamiento

102

T(t). Calentamiento

Capitulo 6 Conducción Transitoria

ENERGÍA E(t). Relativo o Aportado (Sin Generación) hAs − ×t   ρC p∀  E (t ) = ∫ Q ( x ) dt = E máx  1 − e 0     t

donde

Emáx = ρCp∀(To − T∞ )

Cálculo del calor perdido o suministrado Flujo instantáneo: Q(t ) = hAs (Tt − Tα )

= hAs (θt (To − T α )) = hAs (To − T α )e− BI

Fo

La energía hasta un tiempo t: t

Figura 6-7 Flujo instantáneo de calor

t

E( t ) = ∫ Q( t ) dt = hAs (To − T∞ ) ∫ e − Bi o

Fo

dt

o

t

= hAs (To − T∞ )∫ e

−

hAs t ρ C p∀

dt

o

E ( t ) = − h A s (T o − T ∞ )

E (t )

ρ C p∀ h As

t

∫e

−

h As t ρC p∀

dt

o

h As −  − ρ hCAs∀ t θ ρ C p∀ p  = − (T o − T ∞ ) ρ C p ∀ e −e    − ρ hCAs∀ t  p = − (T o − T ∞ ) m C p  e − 1     h As t  −  ρC p∀  = (To − T ∞ ) m C p  1 − e    

103

   

Transferencia de Calor

en t = 0, no hay pérdida de calor en t = α , el calor perdido es Eo = mCp(To - T )

Figura 6-8

Máximo calor que se puede perder.

E = 1 − e− Bi Fo Eo E = f ( Bi . Fo) Eo E (t ) =1−e − BiFo E0

Eo ⇒ máximo calor que se puede perder. Ejemplo 6-1 Aplicación del análisis de C.C.C. al calentamiento (o enfriamiento) de una lamina de metal que se mueve con velocidad V [m/sg] en un horno a temperatura T∞ .

Figura 6-10 Lámina de metal que pasa por un horno Figura 6-9 Balance de energía para un proceso de enfriamiento.

El balance de energía de un elemento diferencial de lámina de espesor 2.r y longitud dx

104

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Ejemplo 6-2 Un cuerpo cilíndrico que genera calor a una rata de 104 e inicialmente está a una temperatura de 400ºC se somete repentinamente a una temperatura T ∞ =25ºC, calcular la temperatura del cuerpo al cabo de 1 hora si la conductividad térmica del material → α. Datos:

ρ = 5800

kg ; m3

qq = 104

Si k→ ∞ entonces Bi =

w ; m3

Cp = 400

J ; kg º C

h = 20

w m ºC 2

hL < 0.1 se utiliza el método de Capacidad k

Calórica Concentrada. El calor fluirá del cuerpo al ambiente: Se aplica: T( t ) - T¥ T0 - T¥ qg " h As

=

qg " hA

s t h As = e ρ Cp " qg "

h As

104 × π × (0.1)2 × 0.4 = 20º C 20 × π × 2 × 0.1× 0.4 + 2 × (0.1) 2 

(

)

20 × 2π × 0.1 × 0.4 + 0.12 h As = ρ Cp " 5800 × 400 × π × 0.12 × 0.4 T(t ) - 25 - 20 = e-0.7758 400 - 25 - 20 T(t ) = 208.4

Ejemplo 6-3 Un elemento cilíndrico de 0.2m de diámetro y 0.4m de largo se somete a un proceso en el cual mientras él genera calor a una rata uniforme por unidad de volumen y estando a una temperatura inicial de 10ºC, se pone primero en un ambiente de aire, el cual se encuentra a una Tº de 25ºC, alcanzando en este ambiente una temperatura de equilibrio de 45ºC. Luego se pone (partiendo de la misma temperatura inicial) dentro de un gran volumen de agua a 20ºC, alcanzando en este caso una Tº de equilibrio de 24ºC. Determinar el tiempo requerido en cada caso, para que el elemento alcance la Tº del ambiente que la rodea. Asumir que el coeficiente de transferencia de calor por convección en la segunda prueba es de hW = 100w/m2 ºC;

105

Figura 6-11Cilindro con generación.

Transferencia de Calor 3

δ elemen = 5800 kg/m ; Cp = 400 Joul/Kg ºC

Solución: Asumimos conductividad alta:

φ = 0.2 m L= 0.4 m To = 10 ºC T ∞ 1 = 25 ºC Teq1 = 45 ºC En el equilibrio con el primer ambiente Qa = φ Qq = h1 As (Teq1 − T∞1 ) q g AT L =h1 As (45 − Tα 1 )⇒ h1 =

Qq AT L As (45 − T∞1 )

(1)

En el equilibrio con el segundo ambiente Qa = φ

Qq = h2 As (Teq 2 − T∞ 2 ) qq AT L =h2 As (24 − T∞ 2 ) ⇒ qq =

h2 As (24 − Tα 2 ) AT * L

(2)

As = 2 π rL + π r2 2 = 2 π (0.1)(0.4)+2 π (0.1)2 = 0.31416 m2 h 2 = 100 w/m2 ºC AT = π r2 = π (0.1)2 = 0.3142 m2 T α 2 = 10 ºC L = 0.4 m Reemplazando en 2: Qq = 9998.727 w/m3 Reemplazando en 1: h1 = 20 w/m2 ºC Haciendo un balance de energía sobre el elemento, y suponiendo K grande: Estado transitorio: Figura 6-12 Cilindro con generación a) Condición inicial, b) ambiente a, c) sumergido en agua.

Qq = Qa + Qc Qg = q q ∀ ;

Qa = ρ∀C`P

∂T ∂t

;

QC = h As (T (t ) − T∞ )

106

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Para el primer caso:

∂T + h1 As (T (t ) − T∞1 ) ∂t qq∀ hA ∂T + − 1 s (T (t ) − T∞1 ) ∂t ρ CP ∀ ρ C P∀

qq ∀ = ρ∀CP

qq∀ Ah ∂T + − s 1 (T (t ) − T∞1 ) − =φ ∂t ρ C P∀ ρ C P∀

qq∀  Ah  ∂T + − s 1 T (t ) − T∞1 −  =φ h1 As  ∂t ρ CP ∀  Para resolver esta ecuación tomamos o hacemos un cambio de variable: qq∀

θ = T (t ) − Tα 1 −

h1 As

⇒

∂θ ∂T = ∂t ∂t

∂θ Ah + s 1 θ =φ ∂t ρ CP ∀ Resolviendo esta ecuación en θ : ∀ = π (0.2) 2 0.4 = 0.0126 m3

Ah ∂θ =− s 1 θ ∂t ρ CP ∀ ∂θ = X1 θ ∂t

⇒ X1 = −

As h1 W = −0.000215 J ρC P ∀ θ1

Integrando :

Lnθ − Lnθ o = xt

∂θ 1 ∫θ 0 θ = t∫ x∂t 0

→ Ecuación

t

que gobierna

θ ⇒ t1 1 = ( Lnθ1 − Lnθ o ) / x1 = Ln( 1

θo

el

proceso

) / x1

En el tiempo t, la T(t) = 25ºC entonces Tº del ambiente qq ∀   θ1 = T (t ) − Tα 1 −  h1 As   qq ∀   θ1 = T (φ ) − Tα 1 −  h1 As  

θ = −20.0509º C θ ⇒ t1 = Ln( 1

θ0

;

qq ∀ h1 As

= 20.0509º C

θ 0 = −35.0509º C

) / x1 = Ln (0.572) / − 0.000215

t1 = 2597.801 seg ≈ 0.722 horas Para el segundo caso : x2 = −

As h2 = 5 x1 ρC p∀

θ t2 = Ln ( 2

θ0

) / x2

= − 0.001075 s −1

En el tiempo t la T(t) = 20ºC, Tº del ambiente ⇒

107

h2 = 5h1

Transferencia de Calor

Tα 2 = 20º C

;

TO = 10º C

;

qq ∀ h2 AS

= 4.01019º C

θ2 = 0.2863 θO

θ 2 = 20 − 20 − 4.0109 = −4.0109 θO = 10 − 20 − 4.0109 = −14.0109 ⇒ t2 = Ln( −0.2863) / − 0.001075 t2 = 1163.55 seg ≈ 0.323 horas

Ejemplo 6-4 Un esfera de aluminio cuyo peso es m = 7kg y cuya temperatura inicial es de 260ºC se sumerge súbitamente en un fluido cuya temperatura es de 10ºC. Suponiendo que h = 50w/m2 ºC, determine el tiempo que se requiere para enfriar el aluminio a 90ºC.

Figura 6-13Esfera de aluminio que se sumerge súbitamente en agua

To = 260ºC T1 = 90ºC Te = 10ºC h = 50w/m2 ºC t = ? To → T1 Datos aluminio supuestos ctes: K = 204 w/m2 ºK, J/Kg ºK ρ=

P = 2707 Kg/m3

;

Cp = 900

m m 7 Kg m3 ⇒∀= = = 0.002586 m3 ∀ ρ 2707 Kg

4 3∀ ∀ = π ro 3 ⇒ ro = 3 = 0.0852 m 3 4π Para el cálculo de Bi se necesita la longitud característica Lc = ∀ sólido / Asup erficie ⊥c = ro / 3

Bi =

h ⊥c 50w 0.0852 m m º C = 2 = 0.0069 < 0.1 K m ºC 3 204w

108

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Se trata como un problema de capacidad calórica concentrado o (Resistencia Interna Despreciable) − ρC p∀  T −T   T −T ⇒ Ln  1 α Ln  1 α  = Ln e  T0 − Tα   T0 − Tα Ln (T1 − Tα ) − LnT0 − Tα ρC p∀ t= − As h Ash

 As h t =− ρC p ∀ 

A = 4π ro2 = 4π (0.0852) 2 = 0.09122 m2 ⇒ t = 1573.941 seg ≈ 0.437 horas

NB: [Kar/ckar: para fines prácticos se dice que un sistema alcanza un estado estacionario después que transcurre un tiempo igual o 4 constantes de tiempo: donde la constante de tiempo 1/b = Ash / ρCP∀

⇒ (T − Tα ) = 0.018 (TO − Tα ) ⇒ Estado

Estacionario

Lo que se usa en el cálculo de Bi: ⇒L Pared plana espesor 2L Cilindro largo de radio ro ⇒ ro / 2 ⇒ ro / 3 Esfera de radio ro ⇒ a/6 Cubo de lado a Ejemplo 6-5 Determinar el tiempo requerido para que un elemento cilíndrico de 0.1m de φ y L = 0.2m, ρ = 4500 kg/cm3 ; Cp = 400 Joul / kg ºC y k >>>. Alcance la Tº ambiente que lo rodea, si se sabe que genera calor a una rata qq w/m3 y la Tº de equilibrio condicho ambiente es de 120ºC, la Tº del ambiente es 80ºC, h = 50 w/m2ºC. Análisis La ecuación diferencial del comportamiento transitorio de este cuerpo es: Qentra + Qgenerada = Qalmacenada. hA2 (Tα − T (t )) + qq ∀ = ρ∀C p Tα − T (t ) +

qq ∀ hAs

=

ρ∀C p

∂T ∂t

∂T ∂t

hAs

Se define θ : θ = Tα − T (t ) + θ=−

ρ∀C p ∂θ hAs ∂t

⇒

qq ∀ hAs

⇒

∂T ∂θ = − ∂t ∂t

θ

hAs t ∂θ = − ∂t ∫θ ρ∀C p ∫o θo hAs

Ln θ − Lnθ o = −

− t hAs ρ∀C p t ⇒ e Ln (θ / θo ) = e ρ∀C p

109

Figura 6-14

Transferencia de Calor

En el equilibrio se supone que el tiempo es grande ⇒ el término e- xt  φ Þ θ = 0 Teq = 120º C θo θ =φ

θ = T α − T (t ) +

θ = 80 − 120 +

qq ∀ hAS

qq ∀ hAS

⇒ qq =

(120 − 80)hAS ∀

(2π r 2 + 2π rL ) = 40 50 50 π r2L qq = 105 w / m3 qq =40 50

para cuando T(t) = 80ºC

θ = 80 - 80 +

qq " hAS

Þ θ o = 80 - 20 +

qq " hAS

hAS 50w (2π (0.05)2 + 2π (0.05)0.2)m3 m3 kg º C = 2 ρ C p " m º C 4500kg 400 Joulπ (0.05)2 0.2m 2 hAS = 0.001388 = a ρC p "

qq ∀ hAS ⇒

= 105

w 0.001571 m3 m2 º C = 40.0051º C m3 50 w − 0.07854 m 2

Lnθ − Lnθ o Ln 401 − Ln100 θ = e− at → t = = θo −a −0.001388

t = 660.152 seg ≈ 0.18 horas

6.2.2

BIOT Grande Bi > 100

“Sólido Semi-infinito”. Condiciones de frontera para sólido semi-infinito

Figura 6-15 Condiciones de frontera para un sólido semi-infinito.

Para este caso en que la resistencia convectiva en la frontera es muy pequeña, comparada con la resistencia interna, debida a la conducción. Se asume que la temperatura de la superficie cambia casi inmediatamente a T α , al entrar en contacto con un ambiente a dicha temperatura (T α ), es decir, la frontera se independiza del tiempo → “el calor se concentra en la superficie y NO penetra”. Es así como el elemento fuera infinitamente grueso. En el interior se presentan grandes caídas de temperatura, y en el exterior pequeñas.

110

Capitulo 6 Conducción Transitoria

a)

b)

c)

Figura 6-16 Distribución transitoria de temperaturas en un sólido semi-infinito en tres condiciones superficiales: a) temperatura superficial constante, b) flujo de calor superficial constate ,c) convección superficial

“Todo el cuerpo se encuentra a la temperatura To y en el tiempo t = 0, la temperatura de la cara en x = 0 se eleva instantáneamente a la temperatura Ts”. Balance de Energía:

∂ 2T 1 ∂T = ∂X 2 α ∂t

si definimos la temperatura adimensional θ=

T ( x, t ) − T α T ( x, t ) − Ts ∂ 2θ 1 ∂θ = ⇒ 2 = TO − Tα TO − Ts ∂x α ∂t

Lo anterior es una ecuación parcial de 2 variables, y para solucionarla la metodología se reduce a buscar una variable η función de x1t; que haga que θ( x1t ) se pueda expresar como una función de una sola variable, x ⇒ la ecuación diferencial se transforma en: dicha variable η ( x1t ) = 2 αt

∂ 2θ ∂θ + 2η =θ 2 ∂η ∂η de la siguiente manera (demostración):

∂ 2θ 1 = ∂x 2 α ∂θ ∂θ = ∂x ∂η

x ∂θ η= ∂t 2 αt ∂η ∂θ 1 = . ∂x ∂η 2 α t

⇒

111

∂η 1 = ∂x 2 α t

Transferencia de Calor

1  ∂η 1  ∂η ∂ 2θ ∂  ∂ θ  ∂  ∂θ ∂  ∂θ . . = =  =    2 ∂x ∂ x  ∂ x  ∂ x  ∂ η 2 α t  ∂ η ∂η  ∂ η 2 α t  ∂ x 1 1 1 ∂ 2θ ∂ 2θ ∂ 2θ . . = = = 2 2 2 4 ∂x ∂η ∂ η α t 2 αt 2 αt ∂θ ∂θ ∂η ∂θ x . = =− ∂t ∂η ∂ t ∂η 4 αt t Re emplazando en la ecuación diferencial 1 1 ∂ 2θ ∂θ x . =− = 4α t ∂η 2 ∂η 4t α t α ∂ 2θ + ∂η 2

∂θ x = θ ∂ αt η

⇒

∂ 2θ ∂θ + 2η =θ∴ ∂η 2 ∂η

Si introducimos la variable p = ∂θ / ∂η para poder integrar:

⇒

∂P + 2η P = θ ∂η

⇒

η

∂P = − ∫ 2η∂η P O

2 2 P e Ln   = e−η ⇒ P = Ce −η C Volviendo a la var iable anterior

θη

η

2 2 ∂θ = Ce−η ⇒ − ∫ ∂θ = − ∫ Ce −η dη ∂η θo O

Las condiciones de frontera iniciales eran: T (o, t ) = Ts ≈ T α T ( x, o) = To

⇒

T (α , t ) = To

⇒

φ =φ 2 αt x η ( x, o ) = =α 2 αφ

Tα − Tα =φ To − T α To − T α θ ( x, o ) = =1 To − T α To − T α θ (α , t ) = =1 To − T α θ (o, t )

=

η (o, t ) =

η (α , t ) =

α =α 2 αt

Al hacer la integración tenemos: η

θη = C ∫ e−η dη + θ o 2

θ o = θ ( o, t ) = φ º

o

112

Capitulo 6 Conducción Transitoria

para hallare la constante C, se reemplaza alguna condición frontera, ejemplo la 2ª α

θα = C ∫ e

−η 2

dη = θ ( x, o ) = 1

α

;

o

1= C

π 2

∫e o

θ ( x, t ) = θη =

dη =

π 2

2 π

⇒ C

2

−η 2

η

∫e π

−η 2

dη = erf (η )

Temperatura Función de x y t

o

erf erf ( η ) Función error de η La integral de la ecuación anterior se puede hacer pero ese trabajo ya esta hecho y se puede encontrar los valores de la función error de η en tablas o en gráficas. Como η es función de x y de t, entonces pueden existir diferentes combinaciones de x y t que den el mismo η . Lo que quiere decir que podemos tener dos posiciones del cuerpo que tengan la misma temperatura, pero en tiempos diferentes. Figura 6-17

T − T1  x  = fer   T1 − T1  4α t 

x/ 4α t Figura 6-18 Gráfica de la función error de η

113

Transferencia de Calor

Tabla 6-3 Tabla de la función error

η

erf η=

η

erf η=

η

erf η=

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

0.00000 0.02256 0.04511 0.06762 0.09008

0.76 0.78 0.80 0.82 0.84

0.71754 0.73001 0.74210 0.75381 0.76514

1.52 1.54 1.56 1.58 1.60

0.96841 0.97059 0.97263 0.97455 0.97635

0.10 0.12 0.14 0.16 0.18

0.11246 0.13476 0.15695 0.17901 0.20094

0.86 0.88 0.90 0.92 0.94

0.77610 0.78669 0.79691 0.80677 0.81627

1.62 1.64 1.66 1.68 1.70

0.97804 0.97962 0.98110 0.98249 0.98379

0.20 0.22 0.24 0.26 0.28

0.22270 0.24430 0.26570 0.28690 0.30788

0.96 0.98 1.00 1.02 1.04

0.82542 0.83423 0.84270 0.85084 0.85865

1.72 1.74 1.76 1.78 1.80

0.98500 0.98613 0.98719 0.98817 0.98909

0.30 0.32 0.34 0.36 0.38

0.32863 0.34913 0.36936 0.38933 0.40901

1.06 1.08 1.10 1.12 1.14

0.86614 0.87333 0.88020 0.88079 0.89308

1.82 1.84 1.86 1.88 1.90

0.98994 0.99074 0.99147 0.99216 0.99279

0.40 0.42 0.44 0.46 0.48

0.42839 0.44749 0.46622 0.48466 0.50275

1.16 1.18 1.20 1.22 1.24

0.89910 0.90484 0.91031 0.91553 0.92050

1.92 1.94 1.96 1.98 2.00

0.99338 0.99392 0.99443 0.99489 0.99532

0.50 0.52 0.54 0.56 0.58

0.52050 0.53790 0.55494 0.57162 0.58792

1.26 1.28 1.30 1.32 1.34

0.92524 0.92973 0.93401 0.93806 0.94191

2.10 2.20 2.30 2.40 2.50

0.99020 0.99814 0.99886 0.99931 0.99959

0.60 0.62 0.64 0.66 0.68

0.60386 0.61941 0.63459 0.64938 0.66278

1.36 1.38 1.40 1.42 1.44

0.94556 0.94902 0.95228 0.95538 0.95830

2.60 2.70 2.80 3.00 critico 3.10

0.99976 0.99987 0.99992 0.99996 0.99998

0.70 0.72 0.74

0.67780 0.69143 0.70468

1.46 1.48 1.50

0.96105 0.96365 0.96610

3.20 3.40 3.60

0.999994 0.999998 1.000000

“Se considera que erf ( η ) es casi ⊥ cuando η esté entre 2.5 y 3.6”.

114

Capitulo 6 Conducción Transitoria

ZONA DE CAMBIO: La zona límite hasta donde To empieza a cambiar, la determina la X crítica. Antes de la zona de cambio θ( x, t ) = θ(η) < 1 después siempre es ⊥ . La zona de cambio se establece cuando η = 3 ⇒ θ (η ) = 1. Esta zona de cambio también funciona con paredes delgadas. X critico = 3 x 2. αt

θ (η , t ) = 0,99999 ⇒ η =

Al despejar tenemos que:

x = 3 Donde x = e = ancho de pared 2 α ⋅t

tcr =

e2 36 ⋅ α Figura 6-19 Variación de la temperatura interna.

x Teniendo que η = 2 α ⋅t De la grafica podemos obtener la siguiente relación:

X1 X2 X3 = = 2 α ⋅ t1 2 α ⋅ t 2 2 α ⋅ t 3

Ejemplo 6-6

kacero (Ti − 25) k piel (Ti − 37) = α acero α piel

kmadera (Ti − 25) k piel (Ti − 37) = α madera α piel

Cálculo del calor suministrado a la pared.

Flujo instantáneo:

115

Transferencia de Calor

∂ϑ  ∂T  Q(t ) = − K  A = −K (To − T α ) A  ∂x  ∂x  x = o ∂ϑ ∂ϑ ∂η 2 −η 2  1  = = e  .  ∂x ∂η ∂x π  2 αt 

** θ (η ) =

2 π

∫e

−η 2

dη

η = x / 2 αt ⇒ Q (t ) = − KA

(To − T α ) KA (T α − To) = πα t πα t

Energía total suministrada a un tiempo t: t kA (Tα −T0 ) t − 1 ⋅ ∫ t 2 dt E ( t ) = ∫ Q ( t ) dt = π ⋅ α 0 0

E (t ) =

kA(Tα −T0 ) π ⋅α

t1 2 ⋅ 12

kA(T − T ) t1 2 α 0 ⋅ E (t ) = 12 π ⋅α

Energía total suministrada

Historia de la temperatura en un sólido semi – infinito con convección en la superficie

1.0 0.5

T ( x, t ) − To T − To 0.1

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05

0.05

1

4 3 2

0.01 0.0

0.5

1.0

1.5

x 1 = 2 α r cuando 2 Fose tiene en cuenta la La gráfica anterior se utiliza como solución, convección en la frontera, es decir, T α se considera un poco diferente de Ts para determinar θ ( x, t ) .

Si el coeficiente convectivo de transferencia de calor tiende a infinito, entonces la temperatura de la superficie se eleva instantáneamente a una 116

Capitulo 6 Conducción Transitoria

nueva temperatura T α , entonces la solución de la gráfica anterior con h / k αt = α es igual a la del uso de la gráfica de función error.

6.2.3

BIOT Mediano 0.1 < B i < 100

“Sólido infinito” Para este caso la resistencia conectiva en la frontera y la resistencia interna debida a la conducción son ambas considerables. El cuerpo, estando inicialmente a una temperatura se expone bruscamente a la transferencia de calor por convección con un ambiente a temperatura T y se asume que todos los puntos del cuerpo alcanzan a cambiar su temperatura con el espacio y el tiempo. PLACA CONVECTIVA “Se estudia analíticamente un caso particular, el cual puede someterse a tratamiento matemático debido a las condiciones de frontera escogidas”: “la geometría, las condiciones de frontera y la distribución de temperatura SIMÉTRICAS” Figura 6-20 Placa convectiva

Variables Adimensionales (Relativas): θ ( x, t ) =

η=

x L

T ( x, t ) − T∞ To − T∞

Fo =

αt L2

La ecuación diferencial se transforma en: ∂ 2θ

=

∂θ ∂Fo

∂η Condición de Fronteras : 2

1. η = 0

Figura 6-21

∂θ =0 ∂η

∂θ = h θη =1 ∂η Condición Inicial : Fo = 0 ⇒ θ = 1 2. η = 1

−k

MÉTODO ANALÍTICO VARIABLES

APLICANDO

117

SEPARACIÓN

DE

Transferencia de Calor

θ (η , Fo) = H (η ) Z ( Fo ) remplazando (1) : Z ( Fo) ∂2H

∂2H ∂η 2

= H (η )

+ λ 2H = 0

y

∂Z ∂Fo

→

dividimos HZ

∂Z = −λ 2∂Fo Z

Z  → Ln   = −λ 2 Fo C

∂η 2 H (η ) = C1 cos λη + C2 senλη

Z = Ce−λ Fo Aplicación de las Condiciones de Frontera: 2

1.

2 ∂θ = 0 = Ce −λ Fo [−λC1senλ (0) + λC2 cos λ (0) ] ∂η C2 = 0

θ (η , Fo) = A ⋅ cos λη ⋅ e−λ 2. η = 1 −k

2

Fo

∂θ = h ⋅θη =1 ∂η η =1

Reemplazando k ⋅ e−λ

2

Fo

⋅ An ⋅ λn ⋅ senλn = h ⋅ cos⋅ λn ⋅ e −λ

λnTanλn = Bi

o

Tanλn =

1 ∂ 2 H 1 ∂Z = = −λ 2 H ∂η 2 Z ∂Fo

Bi λn

Figura 6-22

118

2

Fo

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Tabla 6-4 Coeficientes de la aproximación de un término para el enfriamiento por convección de placas, cilindro y esferas.

Placa Bi 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Cilindro Bi 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Esfera Bi 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

λ1

A1

B1

Bi

(radianes)

0.1410 0.1987 0.2425 0.8826 0.9838 0.4328 0.5932 0.7051 0.7910 0.8603

λ1

λ1

1.0033 1.0066 0.0098 0.130 1.016 0.031 0.058 1.081 1.102 1.119

0.9967 0.9934 0.9902 0.9871 0.9839 0.9691 0.9424 0.9192 0.8989 0.8811

A1

B1

2 4 6 8 10 20 30 40 50 100 ∞ Bi

B1

1.0770 1.2649 1.3494 1.3979 1.4290 1.4960 1.5202 1.5235 1.5398 1.5553 1.5706 λ1

1.180 1.229 1.248 1.257 1.262 1.270 1.272 1.272 1.273 1.273 1.273 A1

0.8176 0.7540 0.7229 0.7047 0.6928 0.6665 0.6570 0.6521 0.6490 0.6429 0.6366 B1

(radianes)

1.0051 1.010 1.015 1.020 1.025 1.049 1.094 1.135 1.173 1.208

0.9950 0.9896 0.9844 0.9804 0.9749 0.9526 0.9112 0.8753 0.8430 0.8147

A1

B1

2 4 6 8 10 20 30 40 50 100 ∞ Bi

(radianes)

0.2445 0.3449 0.4246 0.4860 0.5423 0.7592 1.0526 1.2645 1.4321 1.5706

A1

(radianes)

(radianes)

0.1995 0.2814 0.3438 0.3959 0.4417 0.6170 0.8690 1.0183 1.1489 1.2558

λ1

1.5994 1.9081 2.0489 2.1286 2.1794 2.2880 2.3261 2.3454 2.3571 2.5824 2.4050 λ1

1.338 1.470 1.526 1.553 1.568 1.593 1.598 1.600 1.601 1.602 1.602 A1

0.7125 0.6088 0.5589 0.5306 0.5125 0.4736 0.4598 0.4527 0.4485 0.4401 0.4317 B1

(radianes)

1.0060 1.012 1.018 1.024 1.030 1.059 1.116 1.171 1.224 1.273

0.9940 0.9881 0.9823 0.9766 0.9710 0.9435 0.8935 0.8490 0.8094 0.7740

119

2 4 6 8 10 20 30 40 50 100 ∞

2.0288 2.4556 2.6536 2.7653 2.8363 2.9856 3.0372 3.0631 3.0188 3.1101 3.1415

1.479 1.720 1.834 1.892 1.925 1.978 1.990 1.994 1.996 1.999 2.000

0.6445 0.5133 0.4516 0.4170 0.3952 0.3500 0.3346 0.3269 0.3223 0.3131 0.3040

Transferencia de Calor

3. 1 = ∑ An cos(λnη ) ⋅ e−0 1

1

2 ∫ cos(λnη )∂η = ∫ An cos (λnη )∂η 0

0

1

sen (λnη ) 1 + cos 2λnη  = An ∫   ∂η 2 λn  0 0 1

η sen 2λnη sen (λnη ) = An  + 4λn λn 2

1

Cuando Fo > 0,2 solamente se tiene en cuenta el primer termino de la sumatoria

θ (η , Fo ) = A1e −( λ1 )

2 ⋅Fo

⋅ cos(λ1 ⋅η )

0

 1 senλn cos λn  sen (λnη ) = An  +  2λn λn 2  2 senλn An = λn + senλn cos λn SOLUCIÓN GRÁFICA La solución analítica puede ser expresada (tabulada y graficada) en términos de parámetros adimensionales tales como Bi, Fo, y Χ ; esta solución se encuentra plasmada en las gráficas de Heisler, las cuales se presentan para 3 casos particulares: •

Placa infinito de espesor 2L

•

Cilindro largo de radio ro.

•

Esfera de radio ro.

Condiciones en la frontera convectiva 1ª carta:  T( o,t ) − T ∞   To − T ∞  vs Fo

Fo =

αt Lc 2

α=

k ρC P

T(o,t): Temperatura en la línea central en el tiempo t. T ∞ : Temperatura del fluido de los alrededores (cte). To: Temperatura inicial en la pared (cte) /: Razón de temperaturas sin dimensiones. Lc: ½ del espesor de la pared = L 2ª carta:  T( x,t ) − T ∞  1  T( o,t ) − T ∞  vs Bi  

x / L Parámetro

120

1 amt Bi

Capitulo 6 Conducción Transitoria

T(x,t): Temperatura en x, en el tiempo t. X/L: Posición adimensional. Calor “potencial”: Uo

Uo = ρ C p∀(To − T ∞) Bi: Parámetro 3ª carta: 2  U   h αt  vs Uo   k 2   

U: calor perdido o ganado durante el tiempo t. el método de los gráficos de Heisler sirve también para una placa aislada en una cara: base: x = 0 d T/dx = φ . X = φ : en la superficie aislada. X = L: en la superficie convectiva.

121

Transferencia de Calor

122

Capitulo 6 Conducción Transitoria

123

Transferencia de Calor

124

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Tabla 6-5 Conducción transitoria 0. 1 < bi < 100

125

Transferencia de Calor

CASO Placa simetría convectiva

HISTORIA DE TEMPERATURAS θ ( Fo,η ) = e − λ

2

Fo

FLUJO DE CALOR SUPERFICIAL

( A cos λη + Bsenλη )

Bi = λnTanλn ∞ 2 2 senλn T − T∞ x =∑ e− λn Fo cos πλn To − T∞ n =1 λn + senλn cos λn L

en X = 1 C1 senλn ⋅ λn = Bi C1 Cot λn Tanλn =

t

∫ q dt s

Bi λn

φ=

0

ρ C p L (To − Te )

φ = 1 − ∑ e − λn Fo 2

senλn 2 senλn ⋅ λn + senλn cos λn λn

∂θ =0 ∂X ∂θ = hθ L X =1 − k L∂X Fo = 0 θ = 1 X =0

Cilindro largo convectivo

T(0, x ) − T∞ To − T∞

∞

= ∑ eλn Fo n =1

2

2 J1 (λn )

 r J 0  λn  λn  J (λn ) + J (λn )  R  2 0

2 1

Condición para λn : λn J1 (λn ) − Bi J 0 (λn ) = 0

J0 y J1 son las funciones de Bessel de Primer Tipo de Orden 0 y 1.

126

2 2 J1 (λn ) e− λn Fo Bn 2 2   ( ) ( ) + J1 λn  n =1 λn J 0 λn  2 J (λ ) Bn = 1 n λn

∞

φ = 1− ∑

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Tabla 6-6 Forma generalizada de la solución ∞

θ (η , Fo ) = ∑ An e− λn ⋅Fo ⋅ f n (λnη ) 2

n =1

Φ = 1 − ∑ An e− λn ⋅Fo ⋅ Bn 2

CASO

VALORES An (λ n ) CARACTERÍSTICOS

Placa

Bi = λnTanλn

Cilindro

Bi =

Esfera

λn J1 (λn ) J 0 (λn )

Bi −1 = −

λn cos(λn ) sen(λn )

2 sen λ n λ n + sen λ n cos λ n

2 J1λn λn  J (λn ) + J 02 (λn )  2 0

2( senλn − λn cos λn ) λn − senλn cos λn

127

B n (λ n ) senλ λ n

f ( λ n ,η )

n

c o s λ nη

2 J 1λ n λn

 r J0 λn ⋅   R

3( senλn − λn cos λn ) λn3

 r senλn ⋅   R r λn    R

Transferencia de Calor

Tabla 6-7 Funciones de Bessel de primera y segunda especies, de órdenes 0 y 1 x J0(x) J1(x) Y0(x) Y1(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0

1.00000 +0.99002 +0.96039 +0.91200 +0.84629 +0.76520 +0.67113 +0.56686 +0.45540 +0.33999 +0.22389 +0.11036 +0.00251 -0.09680 -0.18503 -0.26005 -0.32019 -0.36430 -0.39177 -0.40256 -0.39715 -0.37656 -0.34226 -0.29614 -0.24042 -0.17760 -0.11029 -0.04121 +0.02697 +0.09170 +0.15065 +0.20175 +0.24331 +0.27404 +0.29310 +0.30007 +0.29507 +0.27859 +0.25160 +0.25541 +0.17165 +0.12222 +0.06916 +0.01462 -0.03923 -0.9033 -0.13675 -0.17677 -0.20898 -0.23227 -0.24594

0.00000 +0.09950 +0.19603 +0.28670 +0.36884 +0.44005 +0.49830 +0.54195 +0.56990 +0.58152 +0.57672 +0.55596 +0.52019 +0.47082 +0.40971 +0.33906 +0.26134 +0.17923 +0.09547 +0.01282 -0.06604 -0.13864 -0.20278 -0.25655 -0.29850 -0.32760 -0.34322 -0.34534 -0.33433 -0.31103 -0.27668 -0.23292 -0.18164 -0.12498 -0.06252 -0.00468 +0.05432 +0.10963 +0.15921 +0.20136 +0.23464 +0.25800 +0.27079 +0.27275 +0.26407 +0.24531 +0.21471 +0.18163 +0.13952 +0.09284 +0.04347

-∞ -1.0811 -0.60602 -0.30851 -0.08680 +0.08825 +0.22808 +0.33790 +0.42043 +0.47743 +0.51038 +0.52078 +0.51042 +0.48133 +0.43591 +0.37685 +0.30705 +0.22962 +0.14771 +0.06540 -0.01694 -0.09375 -0.16333 -0.22345 -0.27230 -0.30851 -0.33125 -0.34017 -0.33544 -0.31775 -0.28819 -0.24830 -0.19995 -0.14523 -0.08643 -0.02595 +0.03385 +0.09068 +0.14243 +0.18722 +0.22352 +0.25011 +0.26622 +0.27146 +0.26587 +0.24994 +0.22449 +0.19074 +0.15018 +0.10453 +0.05567

128

-∞ -3.3238 -1.7809 -1.2604 -0.97814 -0.78121 -0.62113 -0.47915 -0.34758 -0.22366 -0.10703 +0.00149 +0.10049 +0.18836 +0.26355 +0.32467 +0.37071 +0.40101 +0.41539 +0.41411 +0.39792 +0.36801 +0.32597 +0.27374 +0.21357 +0.14786 +0.07919 +0.01013 -0.05681 -0.11923 -0.17501 -0.22228 -0.25955 -0.28575 -0.30019 -0.30267 -0.29342 -0.27315 -0.24280 -0.20389 -0.15806 -0.10724 -0.05348 -0.00108 +0.05436 +0.10431 +0.14911 +0.18714 +0.21706 +0.23789 +0.24902

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Ejemplo 6-7 Un sistema de endurecimiento de bolas de acero para cojinetes consta de un horno de calentamiento que tiene una temperatura ambiente de 900 ºC, a través del cual pasan 50.000 bolas de 2 cm de radio por hora (K=43 W/mºC; =7800 Kg/m3 y C=473 J/KgºC) las cuales entran a 27 ºC y permanecen durante 180 seg dentro del horno. El coeficiente de transferencia de calor efectivo es en esta etapa función de la temperatura en grados centígrados de las bolas, asi: h=0.06T+148 [w/m2ºC ]. Una vez salen las bolas del horno, ruedan hacia un baño de agua, que es mantenida a una temperatura constante mediante el retiro de 998160.9 W correspondientes al flujo de calor aportado por las bolas que pasan por el baño. Las bolas deben salir con una temperatura superficial de 90 ºC. Determinar la temperatura del baño para que se cumplan las condiciones impuestas, si el coeficiente de transferencia de calor entre las bolas y el agua es e 900 W/m2ºC.

Figura 6-23

1. CALENTAMIENTO EN EL HORNO Determinación si este es de capacidad calórica concentrada, el valor máximo de h es, en la supocisión que la ºT de las bolas se iguala a 900 ºC:

h = 0, 06 ⋅ 900 + 148 = 202 Bi =

202 R 202 ⋅ 0, 02 = = 0, 03 < 0,1 3k 3 ⋅ 43

O.K

Calentamiento de la bola: dT hAs (900 − T(t ) ) = ρVCP = (0.06T + 148) As (900 − T(t ) ) dt ρ C p R dT 7800 × 473 × 0.02 dT = (0.06T + 148)(900 − T( t ) ) = 3 dt 3 dt dT 0.06(T + 2466.66)(900 − T(t ) ) = 24596 dt

129

Figura 6-24 Balance de energía

Transferencia de Calor

2.439421×10−6 dT =

  dT A B = dT  +  (T + 2466.66)(900 − T(t ) )  T + 2466.66 900 − T(t ) 

900 A + 2466.66 B = 1 A=

A= B

1 = 2.727273 × 10−4 3366.66

1 1   + 2.439421×10−6 dt = 2.727273 × 10−4 dT   T + 2466.66 900 − T 

dT dT   8.944542 ×10−3 dt =  +  T + 2466.66 900 − T  8.944542 × 10−3 t

1.610075 = ln

180 0

= ln(T + 2466.66) − ln(900 − T )

T + 2466.66 900 − T

Tf

900 − T f

T f + 2466.66

27

1, 610075 + ln 2,85643298 = ln T f + 2466, 66

= ln

900 − T f

T f + 2466.66 900 − T f

= 14, 291266

− ln

Tf 27

2493.66 873

= 2.659643

12862,14 − 2466,66 = 15.291266T f

T f = 679.83 º C ≈ 680 º C

2. ENFRIAMIENTO EN EL AGUA # de Biot = Bi2 =

900 × 0.02 = 0.13954 > 0.1 3 × 43

⇒ Bi 〉 0.1

Para el caso de que la temperatura T=90 ºC, sea uniforme en toda la bola, es decir que sea independiente de r. Eb= calor retirado de cada bola= mCp(679.83-90) 4 Eb = 7800 × 473 × π (0.02) 3 × (589.83) = 72922.3793 Joul 3 Potencia aportada al agua por 50.000 bolas/hora 72922,3793 × 50000 Q&b = = 1012810,82 W 3600

130

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Para el caso en que T(r,t)

1.

T( r ,t ) − T∞ To − T∞

 2( senλ1 − λ1 cos λ1 )  −λ12 Fo senλ1 ( r / R) = e sen cos − λ λ λ λ1 (r / R) 1 1   1

Suponiendo la aproximación para Fo > 0.2 2. φ =

E( t ) Eo

=

Qw 3600 seg / hora 50000 ρ CpV (680 − T∞ )

3. φ = 1 − A1e− λ1 Fo B1 2

Para Bi =

hr 900 × 0, 02 = = 0, 4186 k 43

λ12 = 1,153663 λ1 = 1,074087 A1 = 1,121115 B1 = 0,8893615 SOLUCION: Asumimos

Fo =

α ×t R2

t 73.28

T∞

φ

(1)

(2)

40 O.K

0.90823

φ (3)

2.1354

0.90823 O.K

6.3 CONDUCCIÓN TRANSITORIA, BI-TRIDIMENSIONAL SIN GENERACIÓN Para este caso se tienen las siguientes restricciones: Simetría: Los 2 ambientes deben ser iguales El elemento que conduce calor, está a una T inicial uniforme To y repentinamente el ambiente que lo rodea se cambia a Tα. La solución analítica a estos casos se basa en que la ecuación diferencial que gobierna estos procesos es: ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T + = ∂x 2 ∂y 2 α ∂t

T ( x, y,z )

Si se introduce la variable θ (x,y,z) ⇒ θ( x,y ,t ) =

131

T( x ,y ,t ) − T∞ To − T∞

=

T( x ,y ,t ) − T∞ T( x,y ,0 ) − T∞

Transferencia de Calor

La ecuación diferencial de 2º orden en T se convierte en: ∂ 2 θ ∂ 2 θ 1 ∂θ + = ∂x 2 ∂y 2 α ∂t

θ ( x, y,z )

Utilizando el método de separación de variables: θ( x, y,t ) = θ1 ( x,t ). θ 2 ( y,t )

Si se reemplaza la solución en la ecuación diferencial, entonces a 2 ( θ1( x,t ) θ 2 ( y,t ) a 2 ( θ1( x,t ) θ2 ( y,t ) 1 ∂( θ1 ⋅ θ2 ) + = ∂x 2 ∂y 2 α ∂t

θ2

∂ 2 θ1 ∂ 2 θ2 1  a θ2 ∂θ  + θ1 =  θ1 + θ 2 1  ÷ θ1 ⋅ θ2 2 2 ∂x ∂y α  ∂t ∂t 

1 ∂ 2 θ1 1 ∂ 2 θ 2 1  1 ∂θ 2 1 ∂θ1  + =  +  θ1 ∂x 2 θ2 ∂y 2 α  θ2 ∂t θ1 ∂t   1 ∂ 2 θ2 1 ∂θ 2  1 ∂ 2 θ1 1 1 ∂θ1 − =−  −  2 θ1 ∂x 2 α θ1 ∂t α ∂t   θ2 ∂y No puede existir una “función” que sea función de x y t que otra función de y y t: tiene que ser igual a una constante constante debe ser cero. Entonces tanto para θ1 como para θ2 mismo tipo de solución; entonces tendríamos 2 independientes:

sea igual a λ ± y esa debe ser el ecuaciones

∂ 2θ1 1 ∂θ1 1 ∂ 2θ1 1 1 ∂θ1 − = φ ⇒ = θ1 ∂x 2 α θ1 ∂t ∂x 2 α ∂t ∂ 2θ 2 1 ∂θ2 1 ∂ 2 θ2 1 1 ∂θ 2 − =φ⇒ = θ2 ∂y 2 α θ 2 ∂t ∂y 2 α ∂t Se concluye que la solución de θ1 es la solución de un proceso unidimensional al igual que para θ2 . La solución gráfica, de θ ( x, y, t ) = θ1 ( x, t ) θ 2 ( y, t )

la

misma

manera

Casos particulares: 1. Columna Si quiero encontrar la T en un punto x, y ≠ centro: θ1( x,t ) = θ1( c,t ) Fcorrección θ 2 ( y,t ) = θ2 ( c,t ) Fcorrección 132

se

obtiene

de

Capitulo 6 Conducción Transitoria

θ( x, y,t ) =

T( x, y,t ) − T ∞  T( 0 , y,t ) − T ∞  =  To − T ∞  To − T ∞ 

 T( x,0 ,t ) − T ∞     To − T ∞ 

 T( x, y,t ) − T ∞     T( 0 , y,t ) − T ∞ 

 T( x, y,t ) − T ∞     T( x,o,t ) − T ∞ 

Para el punto central (0, 0, t): θ (0,0,t ) = θ1(0,t ) ⋅ θ 2( y =0,t ) T(0,0,t ) − T∞ T0 − T∞

 T −T   T −T  T −T   T −T  =  (0,t ) ∞   (0,t ) ∞   (0,t ) ∞   (0, t ) ∞    T −T  To − T∞   T(0,t ) − T∞  1444 0 ∞   T0 − T∞  424444 3 1444424444 3 PLACA

PLACA

2b ( x )

2a

( y)

Para el punto (0, a, t):

θ (0, a,t ) = θ1( x= 0,t ) θ 2( y = a,t ) T(0,a,t ) − T∞ T0 − T∞

 T −T   T − T  T − T   T −T  =  (0,t ) ∞   (0,t ) ∞   (0,t ) ∞   ( a,t ) ∞  T0 − T∞   T(0,t ) − T∞   T0 − T∞   T (0,t ) −T∞  1444 424444 3 1444424444 3 PLACA

2b ( x )

PLACA

2a

( y)

Para el punto (b, a, t):

θ (b, a ,t ) = θ1( x =b,t ) θ 2( y = a ,t ) T(b ,a ,t ) − T∞ T0 − T∞

 T − T  T − T   T − T   T − T  =  (0,t ) ∞  ( b ,t ) ∞   (0,t ) ∞   ( a ,t ) ∞  T0 − T∞  T(0,t ) − T∞   T0 − T∞   T(0,t ) − T∞  1444 424444 3 1444424444 3 PLACA

2b ( x )

PLACA

2a

( y)

2. Cilindro Corto

Figura 6-26 Intersección deun cilindro infinito con una placa.

Para encontrar la temperatura de un punto ≠ del centro:

133

Figura 6-25 Columna

Transferencia de Calor

θ( x,r ,t ) = θ1( x ,t )θ2( r ,t ) θ1 pared ∞ θ 2 cilindro ∞  T − T   T − T   T − T  T − T  θ( x,r ,t ) =  ( 0 ,t ) ∞   ( x ,t ) ∞   ( 0 ,t ) ∞  ( r ,t ) ∞  T0 − T∞   T( 0 ,t ) − T∞   T0 − T∞   T( 0 ,t ) − T∞  1444 424444 3 14444244443 PLACA

CILINDRO λ ( r )

2L ( x )

3. Extremo de una Barra θ( x ,y ,z ,t = θ1( y ,t ) θ2( z ,t )θ3( x ,t ) θ1 Pared α

Figura 6-27 Extremo de una barra.

θ2 Pared α

θ3

Sólido semi-infinito

erf ( η )

La conducción transitoria sirve para estimar propiedades térmicas de un elemento tales como la conductividad térmica K y el calor específico Cp. Un problema típico es: Dado un θ (x,t) dimensiones físicas L, coeficiente convectivo h, encontrar Cp. si no conocemos k ⇒ prueba y error asumo k → Bi → Fo y despejo k → kasum = khallado

6.4 Conducción transitoria unidimensional Sin generación 6.4.1

Solución Numérica

Existen 2 alternativas para obtener la ecuación algebraica. Una a partir de un Balance de Energía sobre un elemento diferencial y otra sobre un elemento finito. Cuando se toma un elemento diferencial se aplica la serie de aproximación de Taylor para obtener la ecuación algebraica. Elemento Diferencial: Procedimiento Analítico:

∂ 2T ∆x 2 ∂T ⋅ = ⋅ ∆x ∂x ∂x 2 2 Figura 6-28

Ventajas de utilizar el método numérico:

Elimina las restricciones en cuanto a:

Se puede considerar la generación fácilmente

Simetría

134

T = cte hext = cte T(x,y,t) = To

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Balance de Energía:

∂ 2T 1 ∂T = ∂x 2 α ∂t

La aproximación de Taylor nos da el valor de las funciones antes y después de un nodo y nos permite aproximar una segunda derivada a valores específicos de la temperatura. ∂T ∂ 2T ∆x 2 ∆x + 2 + ....... ( Despreciables) 2 ∂x ∂x ∂T ∂ 2T ∆x 2 ∆x + 2 + ....... ( Despreciables) Tn −1 = Tn − ∂x ∂x 2 ∂ 2T Tn +1 + Tn −1 = 2T + 2 ∆x 2 ∂x 2 ∂ T  Tn +1 + Tn −1 − 2Tn ⇒  = ∂x 2  n ∆x 2 Tn +1 = Tn +

⇒

∂T Tni +1 − Tni = ∂t ∆t

Reemplazando en la ecuación diferencial: Tni+1 + Tni−1 − 2Tni 1 Tni +1 − Tni = ∆ x2 ∆t α En el método explícito aparecen dos discretizaciones, en el tiempo y en el espacio; la temperatura en un tiempo cualquiera depende del tiempo y el espacio anterior:

α∆ t T i + Tni−1 − 2Tni ) = Tni +1 − Tni 2 ( n +1 ∆x Tni +1 = r (Tni+1 + Tni−1 − 2Tni )

Tni +1 = r (Tni+1 + Tni−1 )Tni (1 − 2r )

r=

α∆ t ∆x 2

Ecuación Nodos Internos

Por este método no se pueden tratar nodos convectivos.

6.4.2

Procedimiento por Elementos Finitos

1. Discretizamos el espacio de tal forma que las distancias sean las mismas. 2. Definimos el elemento finito de control 3. Identificamos los flujos de calor sobre el elemento: conducido, almacenado, generado, convectivo. 4. Hacer el Balance de Energía 5. Discretizar en el tiempo. 135

Transferencia de Calor

Elemento Finito: Método Universal NODOS INTERNOS: Método

Ventajas

Explicito

Solución inmediata

Implícito

No oscilatorio

Desventajas No siempre es valida (Oscilación de la solución) Solución con muchos cálculos

Presente 64 4744 8 Futuro } i i QK1 + Qg = QKi 2 + Qa ⇒ Explicito Futuro Presente 6447448 } i +1 i +1 i +1 QK1 + Qg = QK 2 + Qa ⇒ Implícito Balance de Energía: Qk1 + Qg = Qk2 + Qa Figura 6-29 Balance de energía de nodos internos.

 Tn-1-Tn  Qk1 = kA   X  

Qk2 = kA Qa = xAC p Qg = qg xA

Reemplazando los calores en la fórmula de Balance de Energía:

k

Tni − 1 − Tni Tni − Tni + 1 Tni +1 − Tni +qg x = k + ρ∆xCp : ρ xC p ∆x ∆x ∆t

q ∆t k ∆t k ∆t Tn i − 1 − Tni ) − Tn i − Tn i + 1) + g = Tni+1 - Tni; 2 ( 2 ( ρ Cp∆x ρ Cp∆x ρC p α=

K α ⋅ ∆t ; Fo = ρ Cp ∆x 2

Tni+1 = Fo(Tni-1 - Tni - Tni + Tn +1) +

q g ∆t ρC p

Tni+1 = Fo(Tni-1+Tn+1i) - 2 Tni Fo + Tni +

+ Tni

q g ∆t ρC p

Tni+1 = (1-2Fo) Tni + Fo(Tni -1 + Tni +1) +

q g ∆t ρ Cp

Tni+1 = (1-2Fo) Tni + Fo (T(ni -1) + T(ni + 1)) NODOS INTERNOS SIN GENERACIÓN

Para aplicar el método explicito en nodos internos se debe cumplir que: Fo < 0,5 136

Capitulo 6 Conducción Transitoria

NODOS FRONTERA: Balance de Energía:  Tni + 1 - Tni   Q = AC  a p   ∆t Qk1 + Qg = Qc + Qa   i i i  Tn − 1 − Tn  Qc = hA(Tn - T∞ ) Qk1 = kA   ∆X   Q = q ∆x A g g 2

Reemplazando los valores de los calores en la formula de Balance de energía tenemos: Tni − 1 − Tni ∆x ∆x  Tni +1 − Tni  i + qg = h (Tn − T∞ ) + ρ Cp  k  2 2  ∆x ∆t  ρ∆xC p y 2t ⇒ α =

k α∆t ⇒ Fo = 2 ∆x ρ Cp

Figura 6-30 Balance de energía nodos frontera

q g ∆t h 2 ∆t 2 k ∆t i i i 1 Tn − − Tn + T − Tn + = Tni +1 + Tni ( ) ( ) ∞ 2 ρ C p ∆x ρ C p ∆xk ∆x ρC p 2 FoT( n i −1) − 2 FoTn i + 2 Fo

h ∆ xTni q g ∆ t h ∆xT α − 2 Fo + + Tni = Tn i +1 k k ρ Cp

 h∆x  h∆x     q ∆t Tni +1 = Tni 1 − 2 Fo 1 + Tα  + g   + 2 Fo T( n−1) + k  k    ρCp 

h∆x   h ∆x     Tni +1 = Tni 1 − 2Fo 1 + Tα    + 2Fo T( ni −1) + k  k     NODO FRONTERA CONVECTIVO, SIN GENERACIÓN Para aplicar el método explicito en nodos frontera se debe cumplir que el factor (1-2Fo) > 0 NODO INTERFASE: 2 Materiales

137

Transferencia de Calor

Figura 6-31 Balance de energía nodos internos de una pared compuesta.

Balance de Energía: Qk1 + Qq1 + Qq2 = Qk2 + Qa1 + Qa2  Tni − 1 − Tn i  Qk1 = k1 A   ∆x    Tni − T i n + 1  Qk 2 = k2 A   ∆x   Qa1 = ρ1C p1

Qa 2 = ρ2 C p 2

∆x 2

 Tn i +1 − Tni  A  ∆t  

∆x A 2 ∆x = qg 2 A 2

Qg 1 = qg

∆x  Tn i +1 − Tni  Qg 2 A  2  ∆t 

Reemplazando en la ecuación de Balance de Energía: ∆x  Tn i +1 − Tni  ∆X  Tni +1 − Tn i    + ρ1C p 2   2  2  ∆t ∆t    Tni − 1 − Tni k1  ∆x 

 qg 1∆x qg 2 ∆x  Tni − Tni + 1  + + = k   + ρ1Cp1 2 2 2 ∆X   

 Tni − 1 − Tni k1  ∆x 

 ∆x  Tni − Tni + 1  + + q + q − k   = ρ1Cp1 + ρ 2Cp2 g1 g2 2 ∆x  2  

∆x  Tni +1 − Tni    2  ∆t 

(*) 2 ∆ t

(

y

( ρ 1Cp1 + ρ 2Cp2) ∆ x

2∆tk1 Tni − 1 − Tni

) + (q

( ρ1Cp1 + ρ2Cp2 ) ∆x

2

g1

+ q g 2 ) ∆t

ρ1Cp1 + ρ2Cp2

−

138

(

) + Tn

2∆tk2 Tn i − Tn i + 1

( ρ1Cp1 + ρ2Cp2 ) ∆x 2

i

= Tn i +1

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Si definimos m = ρ 1Cp1 / ρ 2Cp2:

En las siguientes ecuaciones r = Fo

2k1∆t 2 k2 ∆t Tni − 1 − Tn i ) ( (Tni − Tn + 1) q g1 + qg 2 ) ∆t ( ρ1Cp1 ρ2Cp2 + − + Tni = Tn i +1 2 2 1 1/ ( ) ( 1) + ∆ + + ∆ m x ρ Cp ρ Cp m x ( ) 1 1 2 2

(

2r1 Tn i − 1 − Tn i (1 + 1/ m)

) + (q

g1

+ q g 2 ) ∆t

( ρ1Cp1 + ρ2Cp2 )

−

(

2r2 Tn i − 1 − Tn i (m + 1)

) + Tn

i

= Tni +1

2r1m (Tni − 1) 2r1mTni 2 r2Tni (q g 1 + q g 2 ) ∆t Tn +1 = − − + Tni + (m + 1) (m + 1) (m + 1) ( ρ1Cp1 + ρ 2Cp2 ) i

( q g 1 + q g 2 ) ∆t  2r m 2r2  2r1mTni − 1 2r2Tn + 1 Tni +1 = Tni 1 − 1 − + + +  (m + 1) (m + 1) ( ρ1Cp1 + ρ 2Cp2 )  (m + 1) (m + 1)  (qg1+qg2 ) t   2r m (Tn-1) 2r2 2 Tni +1=Tni 1(mr1+r2) + 1 + tn+1+ (m+1) (m+1) ( 1Cp1+ 2 Cp2 )  (m+1)    2r m 2 2r2 (mr1 + r2 )  + 1 (Tn − 1) + Tn i +1 = Tni 1 − (Tn + 1) (m + 1)  ( m + 1)  ( m + 1)

NODO INTERFASE SIN GENERACIÓN CRITERIO DE CONVERGENCIA: Se debe tener especial cuidado con la medida de los ∆ X y ∆ t debido a que si estos son muy grandes se pueden obtener resultados no muy confiables.

139

Transferencia de Calor

Ejemplo 6-8 Si se tienen una placa cuyo espesor de 40 cm. es muy pequeño en comparación de las otras dimensiones y repentinamente una de sus caras (solo una) sufre un cambio brusco en su temperatura desde 28º C hasta 300º c; calcular analíticamente el tiempo máximo que transcurre antes de que en la cara opuesta se sienta dicho cambio. SOLUCIÓN: Se analiza por sólido

semi

infinito

DATOS:

Figura 6-32

α = 1,2 X 10-6 m2/seg. k = 80 W/ m ºC e = 0.4 m t =? (X = 0.4)

θ ( x ,t ) = θ ( n ) =

T( x ,t ) − T∞ T0 − T∞

=

T( x ,t ) − Ts T0 − T∞

El valor de n que hace que esa relación sea ⊥ es:

η = 25 ⇒ 2,5 =

T (0.4, t ) − 300 x = 1 = 1 = θ (η ) → η = 28 − 300 4α t

0.4 Despejando el tiempo t: 2 αt

0, 42  m 2 seg  1 0.42 = = 88,888 min t = (2,5 ⋅ 2)2 α 25(1, 2 ⋅10−6 )  m2  60

Ejemplo 6-9 Determinar la capacidad calórica y la conductividad de un elemento cilíndrico de 0.2 m φ y 0.4m de longitud cuya Densidad es 5800 Kg / m3 mediante los resultados obtenidos en 2 pruebas diferentes. 1ª PRUEBA: El elemento genera calor a una rata de qq = 104 W/m3 y alcanza una temperatura de 271.3º C después de dejarlo una hora en un ambiente de 25º C estando él a una temperatura inicial de 400º C. Durante esta prueba el coeficiente de transferencia de calor por convección es de sólo 20 W/m2 oC la cual determina una resistencia a la convección muy alta frente a la resistencia de la conducción. 2ª PRUEBA: El elemento se deja enfriar sin generar calor estando inicialmente a 400º C en un ambiente de 25º C y alcanza una temperatura de 51.25º C al cabo de 400 seg. Durante esta 2ª prueba el coeficiente de Transferencia de calor por convección es de 800 W/ m2 oC

140

Capitulo 6 Conducción Transitoria

la cual determina una resistencia a la convección similar (no igual) a la resistencia a la conducción.

SOLUCIÓN:

Figura 6-33 Volumen de control.

δ = 5800 Kg/m3 As = 0.3142 m2 ∀ = 1.25664

h =20 W/m2oC q g = 104 w/m3 T (3600) = 271.3º C To = 400º C T α =25º C

Asumiendo Bi < 0.1 à ∀ C es el elemento

Balance de energía: Qg = Qa + Qc q g ∀ = mCp

qg ∀ mCp

−

∂T + hA = (T( t ) − T∞ ) ∂t

hAs ∂T (T( t ) − T∞ ) = mCp ∂t

qg ∀ ∂T hAs + (T( t ) − T∞ − ) =θ ∂t mCp hAs Define: θ(t) = (T(t) -T ) −

→

qg ∀ hAs

⇒

∂θ ∂T = ∂t ∂t

∂θ hAs ∂θ hAs hAs + θ(t ) = θ ⇒ =− θ; x = − ∂t mCp ∂t mCp mCp

x=

−20 ⋅ 2π (0,1)2 + 2π ⋅ 0,1 ⋅ 0, 4 −8, 62069 ⋅10−2 = Cp 5800 π (0,1) 2 ⋅ 0,4 Cp

(

)

141

Transferencia de Calor

→

θ

∂θ ∫θ 0 θ = x ∫0 dt ⇒ Lnθ − Lnθ0 = xt t

 10 4 ⋅ 1,26x10 -2  Ln(θ/θο) =  271,3-25 =226.3 20 ⋅ 0,31416    10 4 ⋅1, 26 ⋅10−2  =  400 − 25 −  = 355 20 ⋅ 0,31416  

Ln(0,6375) = + 0,45026 = +

8, 62069 ⋅10−2 3600 Cp

Cp = 68,263 J/kg oC Para la 2ª prueba: como dice que la resistencia convectiva es similar (no igual a la conductivadad) è esta cerca de ⊥ è 0.1 < Bi < 100 se soluciona por cartas de Heisler: se supone cilindro α T(0.400) = 51,25ºC Figura 6-34

T(0,t ) − T∞ T0 − T∞

=

h = 800w/m2o C

51.25 − 25 = 0.07 400 − 25

Asumo un k:à Bi = 2 à Bi =

ka =

hro hr àk= o 2k 2 Bi

800 x0.1 = 20 De las tablas con ½ Bi como parámetro: Fo = 0,08 2x2

Fo =

Fo ρ Cpro 2 kt αt = ⇒ k = ro 2 ρ Cpro 2 t

kh = 7,9955 Ejemplo 6-10

Figura 6-35

Para determinar el calor específico de un material se hizo una prueba sobre una placa construida de dicho material, que consistió en someterla a un cambio brusco de la temperatura de los ambientes que rodean la placa elevándolos igualmente a 240ºC. La placa está a una temperatura inicial de 20ºC y tiene una conductividad térmica k = 26 W/moC. El coeficiente de transferencia de calor de la placa a los ambientes es de 100 W/m2oC.

142

Capitulo 6 Conducción Transitoria

Durante la prueba se encontró que las temperaturas en puntos situados sobre la superficie exterior y en el punto medio entre el eje de la placa y la superficie al cabo de 2,11 horas fue de 209º C y 199.5º C respectivamente. δ placa = 7850 Kg/m3. EXPLICAR DETALLADAMENTE el proceso de solución.

DATOS: To = 20º C k = 26 w/mº C h = 100 w/m2º C δ = 7850 Kg. / m3 Posición Relativa de P con respecto al centro:

X/L =

Pared plana solución por cartas: hL Bi = = 3,846 Lc k

L/2 = 0.5 L

X/L = 0.5 k = 26

Para Bi = 1,0 à asumimos Lc = 0,2600 En la tabla 2 : 1/Bi = 1,0 à

T(x,t) = 199,5º C T∞ = 240ºC

T( x ,t ) − T∞ T(0,t ) − T∞

à T(0,t ) =

= 0,92

199,5 − 240 + 240 0,92

T(0,t) = 195,978 ºC

Posición relativa de S con respecto al centro: X/L = 1

k = 26

Bi = 3,846 Lc

En la tabla 2: 1/Bc = 1.0 à

T(x,t) = 209º C

T( x ,t ) − T∞ T(0,t ) − T∞

à T(0,t ) =

Lc = 0,2600

= 0, 64

209 − 240 + 240 0, 64

T∞ = 240º C T(0,t) = 191,563 º C Iterando con Bi para 1/Bi = 2,0:

X/L = 0,5 à 0,95

143

Transferencia de Calor

X/L = 1 à 0,795 L = 0,52 T (0 ,t) = 197,368 T (0 ,t) = 201,006 1/Bi = 2,5 ; 2,1 ; 1,5 ; 1,2 ; 1,3 SI para i/Bi = 1.3 à x/L = 0,5 à 0,915 Lc = 0,34 x/L = 1 T (0 ,t) =

T (0 ,t) =

T( x ,t ) − T∞ 0,915 T( x ,t ) − T∞ 0, 70

à 0,70

+ 240 = 195, 74º C

T(x,t) = 199,5 ºC

+ 240 = 195, 714º C

T(x,t) = 209 ºC

Vamos a la tabla 1 con T(0 ,t) y Bi T(0,t ) − T∞ 195, 74 − 240 = = 0, 2012 T0 − T∞ 20 − 240 hallamos Fo: Fo = 2,2 =

αt kt = 2 L ρ CpL2

Bi =

hL k

Cp =

kt 26 ⋅ 2,11⋅ 3600 = 2 2, 2 PL 2, 2 ⋅ 7850 ⋅ (0,338) 2

→

⊥= 0,338m

Cp = 100.0996

Joul Kg º C

Ejemplo 6-11 Una barra cilíndrica (aislada por un extremo) de 4 cm. de diámetro y 30 cm. de largo, que genera calor a una rata de 6.75x105 W/m3, se sumerge verticalmente en un baño de aceite a 25°C después de que ha alcanzado su equilibrio térmico en el aire a 20°C. Determinar la historia de la temperatura de la barra que esta dentro del aceite a partir del momento que empieza a sumergirse en el baño. Considere lo siguiente: 1. Densidad de la barra = 2500kg/ m3 2. Calor especifico = 400J/Kg. °C 3. kbarra = 30 W/m °C

144

Capitulo 6 Conducción Transitoria

4. h de la barra con el aire = 67.5 W/m2 °C 5. h de la barra con el aceite = 120 W/m2 °C 6. La cantidad de aceite en el baño es muy grande. 7. La variación radial de la temperatura en la barra es despreciable.

è 1° PARTE: La barra alcanza el equilibrio con el aire (estado estable)

Figura 6-36 Balance de energía

L = 0.3 m; D = 0.04m ; r = 0.02m Balance de energía:

qAC y + qg AC ∆y = qAC

y +∆y

+ h(π D)(T − T∞ )

d (qAC ) + qg AC = h(π D)(T − T∞ ) dy kAC

d 2T + q g AC = h(π D)(T − T∞ ) dy 2

qg q g AC  d 2T hπ D d 2T hπ D  T T T T − ( − ) + = 0 ⇒ − − −  =0 ∞ ∞ dy 2 kAC k dy 2 kAC  hπ D { 1442443 θ β2 ⇒

d 2T − β 2θ = 0 ⇒ θ ( y ) = C1senhβ y + C2 cosh β y 2 dy

1° C.F:

145

Transferencia de Calor

y=0

dθ dy

y =0

= 0 ⇒ 0 = β C1 cosh β (0) + β C2 senhβ (0) ⇒ C1 = 0 1424 3 1424 3 1 0

2° C.F: y = 0 T( y ) = T0

⇒ T0 − T∞ −

⇒ C1 = T0 − T∞ −

q g AC hπ D

qg AC hπ D

= C2 cosh β (0) 1424 3 1

6, 75 ⋅105 π (0, 02)2 = T0 − 120 67,5π 2(0, 02)

= T0 − 20 −

3° C.F:

y = L −k

dθ = h(TL − T∞ ) ⇒ −k β (T0 − 120) senhβ L = h(TL − 20) dy

67.5 ⋅ 2 = 15 ⇒ −30 ⋅15(T0 − 120) senh (15 ⋅ 0,3) = 67,5(TL − 20) 30 ⋅ 0.02 ⇒ −300(T0 − 120) = TL − 20 ⇒ TL = −300T0 + 36020 β=

4° C.F: y = L T( y = L ) = TL

⇒ TL − T∞ −

qg AC hπ D

= (T0 − 120) cosh(4,5)

TL − 20 − 100 = 45,01T0 − 5401, 7

⇒ TL = 45, 01T0 − 5281, 7

−300T0 + 36020 = 45, 01T0 − 5281, 7

⇒ T0 = 119, 71

Remplazando: Ty = (119,71-120) cosh(15y)+120= - 0,29cosh(15y)+120 Ty = 0,55cosh (15y)+120 (con el origen de y arriba) è 2° PARTE: El cilindro se introduce gradualmente al aceite (estado transitorio) ojo nuevo origen de y abajo

146

Capitulo 6 Conducción Transitoria

y = 0.03m) Figura 6-37 Balance de energía de la barra

Análisis (1): Qg + QK1 = Qa + QCr + QCa q g ∆y (π r 2 ) + k (π r 2 ) q g ∆y + k

T1 − T0 ∆T 2  = ρ C P ∆y(π r 2 ) + ha (T0 − Ta )  π r 2 ∆y + π r 2  ∆y ∆t r 

∆T T1 − T0 2  = ρ CP ∆y + ha (T0 − Ta )  ∆y + 1 ∆y ∆t r 

∆y 2 ∆T ha ∆y ρ 2  + T1 − T0 = CP ∆y 2 + (T0 − Ta )  ∆y + 1 k k ∆t { k r  βi Análisis (2): Qg + QK2 = Qa + QCr + QK1 qg

⇒ qg

;

1 30 ρ C P ∆y 2 = = k ∆t Fo ∆t

∆y 2 T i +1 − T0i 2  + T1i − T0i = 0 + Bi (T0i − Ta )  ∆y + 1 k Fo r 

   ∆y 2 2   ⇒ T0i +1 = T0i + Fo  q g + T1i − T0i − { Bi (T0i − Ta )  ∆y + 1  = T0i + Fo  20, 25 + T1i − 1, 48T0i − 0, 48Ta  k  123 1r4243  0,12  20, 25  4 ∆T ha T i −T i k + 2π r 2 ∆y (T1i − Ta ) + q g ∆y (π r 2 ) + k (π r 2 ) 2 1 = ρ CP ∆y(π r 2 ) (π r 2 )(T1i − T0i ) ∆y ∆t ∆y r ∆y 2 ρ CP ∆y 2 ∆T ha 2 ∆y i + T2i − T1i = + (T1 − Ta ) + (T1i − T0i ) ∆t k k rk i +1 i 2 ∆y T − T1 2 Bi∆y i + T2i − T1i = 1 + qg (T1 − Ta ) + T1i − T0i k Fo r qg

   ∆y 2  ∆y i T1i +1 = T1i + Fo  qg + T2i − 2T1i +147 T0i − 2 Bi (T1 − Ta )  = T1i + Fo  20, 25 + T2i − 2,36T1i + T0i + 0,36Ta  k r  123  123  20, 25  0,36

Transferencia de Calor

Análisis para (3): Qg = Qa + QCr + QKn-1

q g ∆y (π r 2 ) = ρ CP ∆y(π r 2 ) Figura 6-38 Balance de energía, último nodo inmerso

qg

∆T ha k + 2π r 2 ∆y (Tni − Ta ) + (π r 2 )(Tni − Tni−1 ) ∆t ∆y r

∆y 2 T1i +1 − T1i 2 Bi∆y i = + (Tn − Ta ) + Tni − Tni−1 k Fo r i +1 n

⇒T

  2 ∆y i  ∆y  i i = T + Fo  qg − Tn + Tn −1 − 2 β i (Tn − Ta )  = Tni + Fo  20.25 − 1.36Tni + Tni−1 + 0.36Ta  k r 123  123  0.36 20.25 i n

Criterios de estabilidad (determinación de Fo y t)

[ = T (1 − 2.36 Fo ) + Fo[20.25 + T = T (1 − 1.36 Fo ) + Fo[20.25 + T

(1) T0i +1 = T0i (1 − 1.48Fo ) + Fo 20.25 + T1i + 0.48Ta (2) T1i +1 i +1 n

(3) T

tomo este por ser el menor →

]

− T0i + 0.36Ta

i 1

i 2

i n

i n −1

+ 0.36Ta

]

]

(1) Fo < 1/1.48 = 0.675

→ 0.65 = t/30

→ t = 19.5 seg.

(2) Fo < 1/2.36 = 0.424

→ 0.4 = t/30

→ t = 12 seg.

(3) Fo < 1/1.36 = 0.735

→

→ t = 21

0.7 = t/30

Remplazando encontramos la ecuación para cada nodo inmerso

148

seg.

Capitulo 6 Conducción Transitoria

( ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.056) + 0.4(29.25 + T − T ) = T (0.456) + 0.4(29.25 + T )

n=0→ y =0

→ T0i +1 = T0i (0.408) + 0.4 32.25 + T1i

n = 1 → y = 0.03

→ T1i +1

n = 2 → y = 0.06

→ T2i +1

n = 3 → y = 0.09

→ T3i +1

n = 4 → y = 0.12

→ T4i +1

n = 5 → y = 0.15

→ T5i +1

n = 6 → y = 0.18

→ T6i +1

n = 7 → y = 0.21

→ T7i +1

n = 8 → y = 0.24

→ T8i +1

n = 9 → y = 0.27

→ T9i +1

n = 10 → y = 0.3

→ T10i +1

i 1

i 2

i 0

i 2

i 3

i 1

i 3

i 4

i 2

i 4

i 5

i 3

i 5

i 6

i 4

i 6

i 7

i 5

i 7

i 8

i 6

i 8

i 9

i 7

i 9

i 10

i 8

i 10

i 9

Tabla 6-8 Historia de las temperaturas

t

y

T0

T1

T2

0

0

106,946

111,675

114,689

12

0,03 101,204

111,675

114,689

24

0,06 98,861

23,348

114,689

36

0,09 62,575

19,339

48

0,12 46,166

60

T3

T5

T6

T8

T9

116,61 117,833

118,609

119,099

116,61 117,833

118,609

119,099

119,403

119,584

119,68 119,71

119,403

119,584

119,68 119,71

116,61 117,833

118,609

119,099

119,403

119,584

119,68 119,71

55,427

116,61 117,833

118,609

119,099

119,403

119,584

119,68 119,71

9,924

53,713

43,192 117,833

118,609

119,099

119,403

119,584

119,68 119,71

0,15 35,705

15,274

28,015

39,767 48,465

118,609

119,099

119,403

119,584

119,68 119,71

72

0,18 33,578

9,479

23,066

84

0,21 30,391

8,026

18,043

22,107 45,951

46,596

119,099

119,403

119,584

119,68 119,71

22,092 24,069

43,569

47,493

119,403

119,584

119,68 119,71

96

0,24 28,510

7,210

18,337

15,348 21,638

23,509

44,693

47,223

119,584

119,68 119,71

108

0,27 27,416

8,034

15,982

13,880 16,176

22,238

23,688

44,301

47,379

119,68 119,71

120

0,3

27,300

7,576

14,933

12,555 15,949

15,950

21,851

23,657

44,505

47,334 119,71

134

0,3

27,069

7,178

14,528

12,809 13,951

14,954

16,007

22,086

23,663

44,433 85,221

149

T4

T7

T10

7

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Transferencia de Calor Por Convección

150

TABLA DE CONTENIDO

7.

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ............................................ 149

7.1

FACTORES QUE DETERMINAN LA TRANSFERENCIA DE CALOR .......................................150

7.2

DEFINICIÓN DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR ......................................151

7.3

DEFINICIÓN DE LA TEMPERATURA DE REFERENCIA...........................................................151

7.4 Flujo externo (no confinado) ................................................................................................................152 7.4.1 Temperatura de referencia para Flujo interno: ....................................................................................152 7.4.2 Determinación del perfil de temperatura (para casos particulares; flujo laminar, perfil de temperaturas completamente desarrollado) ..........................................................................................................................153 7.4.3 Solución analítica (absoluto) ..............................................................................................................154 7.4.4 Solución empírica..............................................................................................................................156 7.5 SEMEJANZA DE FENÓMENOS FISICOS .......................................................................................156 7.5.1 Semejanza hidrodinámica ..................................................................................................................158 7.5.2 Semejanza térmica.............................................................................................................................158 7.6 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ENTRE UN FLUIDO Y UNA PLACA PLANA 161 7.6.1 Condiciones de desarrollo hidrodinámico del flujo T∞.........................................................................161 7.6.2 Solución analítica (casos: régimen laminar y flujo turbulento) ............................................................162 7.6.3 Solución hidrodinámica .....................................................................................................................163 7.7 FACTOR DE FRICCION Y COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR PARA UNA PLACA PLANA FLUIDO EN REGIMEN LAMINAR.................................................................................165 7.7.1 Flujo turbulento .................................................................................................................................169 7.7.2 Capa límite de una superficie plana larga, con un borde de ataque afilado...........................................170 7.7.3 Determinación de h para flujo interno en régimen laminar ..................................................................172 7.7.4 Desarrollo analítico............................................................................................................................173 7.7.5 Ecuación de la energía .......................................................................................................................176 7.7.6 Determinación de la temperatura de salida promedio de un fluido que se mueve dentro de un tubo......178 7.8 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN TUBOS CIRCULARES REGIMEN TURBULENTO .................................................................................................................................................181

151

Transferencia de Calor

7. TRANSFERENCIA CONVECCIÓN

DE

CALOR

POR

El proceso de la transferencia térmica de una superficie de un sólido a un líquido se llama intercambio de calor por convección. En este caso la transferencia de calor se realiza debido a la acción simultánea de la conductibilidad térmica y el movimiento del fluido. El fenómeno de la conductibilidad térmica en los líquidos y gases, al igual que en los sólidos, lo determina de modo completo el coeficiente de conductibilidad térmica y el gradiente de temperatura El fenómeno de convección que es segunda forma elemental de propagación del calor tiene otro aspecto. En este caso el proceso de transferencia térmica está ligado inseparablemente con la transferencia de masa fluida. Por eso la convección es posible solamente en los líquidos y gases cuyas partículas son capaces de desplazarse con facilidad. Según la naturaleza de su surgimiento se distinguen dos formas de movimiento: libre y forzado. El movimiento libre se llama también convección libre. Se conoce como forzado el movimiento que surge bajo la acción de un agente externo, por ejemplo, una bomba, un ventilador, etc. En caso general a la par con el movimiento forzado puede desarrollarse también el libre Flujo de calor por convección a partir de la frontera sólido-fluido

Figura 7-1 Flujo de calor por convección a partir de la frontera sólido -líquido

Además de existir contacto íntimo entre sólido y fluido (conducción), la transferencia de calor se ve mejorada por el movimiento del fluido (natural o 149

Transferencia de calor por convección

forzado) Convección: Conducción + Movimiento

7.1 FACTORES QUE DETERMINAN LA TRANSFERENCIA DE CALOR

.

Propiedades del fluido Patrón de flujo (laminar o turbulento) Forma de la frontera

Condiciones de flujo

Figura 7-2 Condiciones de flujo

El flujo de calor por convección esta definido por la evolución de la temperatura del fluido en las cercanías de la interfaz sólido-fluido, y considerando que en esta interfaz el fluido se encuentra en reposo relativo al sólido (velocidad del fluido cero) el mecanismo de transferencia en esta primera capa de fluido es de conducción y se puede aplicar la relación de Fourier, de tal manera que: 150

Transferencia de Calor

qc = − K f

∂T   ∂x  X =0

De esta relación se observa que para determinar qc se requiere conocer la función de temperatura con x, lo cual normalmente no es tan sencillo de establecer, debido a la complejidad del movimiento del fluido, principalmente en los casos en que el flujo es turbulento. Es así, que para simplificar la cuantificación del flujo de calor convectivo qc se ha ideado una forma de involucrar en un único factor (el coeficiente de transferencia de calor h) todos los parámetros que podrían afectar su valor (propiedades del fluido, régimen de flujo, forma de la frontera etc.) y que mediante una relación mas sencilla permita cuantificar el flujo de calor por convección como producto de una diferencia de temperatura entre la superficie del sólido y alguna temperatura representativa del fluido denominada Tref (ya dijimos que la temperatura es variable en las cercanías de la frontera).

7.2 DEFINICIÓN DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR ∂T  = h (TS − Tref )  ∂x  X =0 − k f ∂T / ∂x )x = 0 qc = h= TS − Tref TS − Tref qc = −k f

.

Donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección h [W/m2 °C]

h=f(

1,

2,

3...

n)

De la ecuación anterior se deduce que para establecer el valor de h se requiere: Definir la temperatura de referencia en el fluido Tref Determinar el perfil de T en el fluido para poder calcular el ∂T / ∂x )x=0

7.3 DEFINICIÓN DE LA TEMPERATURA DE REFERENCIA •

Para flujos externos

•

Para flujos internos

Temperatura ambiental para la transferencia de calor por convección.

151

.

Transferencia de calor por convección

En los flujos externos la temperatura cambia bruscamente en los puntos más cercanos a la superficie pero en los más alejados no lo hace, por eso usamos T como temperatura de referencia.

7.4

Flujo externo (no confinado) h=

Q A(TS − Tamb ) { ↓

Flujo Externo no confinado

Figura 7-3 Flujo externo de calor

qC = −u f

−k h=

7.4.1

dT f   = h(TS − Tamb ) ⇒ dy  y = 0 dT f   dy  y =0

TS − Tamb

q x = x1   h local = T − T S1 amb      q h promedio = TS − Tamb 

Temperatura de referencia para Flujo interno: (confinado)

En los flujos internos la temperatura está cambiando tanto en x como en dirección radial, tomaremos en este caso la temperatura media o temperatura “bulk” como de referencia.

152

Transferencia de Calor

Tbulk = Tm =

∫ dmC T p

& p mC

Entonces Tm =

∫

R

0

donde dm = ρU (r )2π r dr

ρU (r )2π r drC pT (r ) & p mC

Figura 7-4 Flujo confinado

Como la Tm cambia a lo largo del tubo, existen por lo tanto diversos h, si sabemos que el flujo de calor es constante.

7.4.2 Determinación del perfil de temperatura (para casos particulares; flujo laminar, perfil de temperaturas completamente desarrollado) Para determinar el perfil de temperatura de la convección el proceso convectivo se puede analizar por dos diferentes métodos:

153

Transferencia de calor por convección

7.4.3

Solución analítica (absoluto)

Obtener relación matemática

T = T(x)

1. Conocer el perfil de velocidades U = U(x). Esto se puede obtener a partir de la Ecuación de balance de fuerzas sobre un elemento de fluido. Ecuación de conservación del momentum denominada ecuación hidrodinámica. 2. Necesitamos determinar un balance de energía Ecuación

Flujo neto por conducción = Q almacenado m& = c p ∆T Flujo neto de calor por conducción Qc ∂Q   Qx − Qx +∆x = Qx -  Qx + x ∆x  ∂x   ∂Q ∂  ∂T  − ∆x = −  − k  ∆x ∆y ∆z ∂x ∂x  ∂x  ∂Q ∂ 2T − ∆x = k 2 ∆V ∂x ∂x

 ∂ 2T ∂ 2T  Flujo neto por conducción k  2 + 2  ∆V ∂y   ∂x

Rata de almacenamiento de calor Cp

z

∂ ∂U ∂T (UT ) = T + U ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ϑ ∂T (UT ) = T + ϑ ∂y ∂y ∂y

dmC pT +

∂ ∂ ∂mC pTx ) + ( ρU ∆y ∆zC pTx ) ∆x ( ∂x ∂x

calor almacenado en  ∂ (UT ) ( ρ C p ∆V )  la direccion de x  ∂x ∂ (ϑT ) ρ C p ∆V ∂y

El análisis anterior se resume en las siguientes graficas anexas (*)

154

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ENERGÍA EN LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Ex = · u · ( y · z) · Cp · T Ey = · v · ( x · z) · Cp · T

Momentum en x :

Balance de Conducción :

∂τ yx  ∂u ∂σ ∂u  ρ u + v  = Fx + x + ∂y  ∂x ∂y  ∂x Momentum en y : ∂σ y ∂τ xy  ∂v ∂v  ρ  u + v  = Fv + + ∂y  ∂y ∂x  ∂x

∂Qy  ∂Q  −  X ∆x + ∆y  ∂y  ∂x  Balance asociado con la energía del fluido:

BALANCE DE FUERZAS

BALANCE DE FUERZAS

ECUACIÓN DEL LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA UN FLUIDO

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Transferencia de Calor

∂E y  ∂Ex  ∆x + ∆y   ∂y  ∂x  ∂T ∆y ∆z ∂x ∂T Qy = −k ∆x∆z ∂y

 ∂u ∂v  τ xy = τ yx = µ  +   ∂y ∂x  ∂u σ x = − p + 2µ ∂x ∂v σ y = − p + 2µ ∂y

RELACIONES DE TRANSFORMACION

RELACIONES DE TRANSFORMACION

Qx = −k

Ex = u ( y z) Cp T Ey = v ( x z) Cp T ∂ (uT ) ∂T ∂u =u +T ∂x ∂x ∂x ∂ (vT ) ∂T ∂v =v +T ∂y ∂y ∂y u

ECUACION DEFERENCIAL

ECUACION DEFERENCIAL

Momentum en x :

 ∂u ∂u  ∂p ρ u + v  = Fx − ∂ x ∂ y ∂x    ∂ 2 u ∂ 2u  +µ  2 + 2  ∂y   ∂x Momentum en y :

 ∂v ∂v  ∂p ρ  u + v  = Fy − ∂y  ∂y  ∂x  ∂2v ∂2v  +µ  2 + 2  ∂y   ∂x

155

 ∂u ∂v  ∂T ∂T +v +T  +  ∂x ∂y  ∂x ∂y 

∂T   ∂T +v ρ ⋅Cp u ∂y   ∂x  ∂ 2T ∂ 2T   +φ =k +  ∂x 2 ∂y 2    144424443 Ana log ía 64444744448  ∂u ∂u  ∂p ρ u + v  = Fx − ∂ x ∂ y ∂x    ∂2v ∂2v  +u  2 + 2  ∂y   ∂x

Transferencia de calor por convección

7.4.4

Solución empírica

Tiene como objetivo encontrar los parámetros adimensionales que gobiernan la solución de las ecuaciones básicas. El número de Reynolds gobierna la solución de la ecuación del balance de fuerzas (perfil de

Encontrar la relación funcional entre los parámetros Significado físico: Re =

ρVD flujo fuerzas de inercia = fuerzas viscosas µ

Lo que se busca es un numero adimensional que contenga h: Nadim(h) = f(h) Osborne Reynolds (Belfast, 1842-Watchet, 1912) Ingeniero británico. Profesor en la Universidad de Manchester, estudió las turbinas hidráulicas y la propulsión por hélices y perfeccionó los frenos hidráulicos. Se especializó en el estudio del movimiento de los fluidos, en particular de los fluidos viscosos, en los que destacó la importancia de un coeficiente adimensional, conocido como número de Reynolds, que relaciona las fuerzas de inercia y de viscosidad de un fluido.

7.5

Figura 7-5 Semejanza geométrica entre dos triángulos.

SEMEJANZA DE FENÓMENOS FISICOS

La teoría de la semejanza es la ciencia que estudia la similitud de los fenómenos. En la geometría, de donde se tomó este término por primera vez nos encontramos con el concepto de la semejanza. Como se conoce las figuras semejantes geométricamente, por ejemplo, los triángulos expuestos en la figura, son semejantes cuando poseen la propiedad de que sus ángulos respectivos son iguales y los lados homólogos, proporcionales. El concepto de semejanza se puede extender a cualquier fenómeno físico. Se puede hablar, por ejemplo, acerca de la semejanza cinemática en el movimiento de dos flujos de un líquido, semejanza dinámica; semejanza de distribución de temperaturas y flujos caloríficos, la semejanza calorífica, etc. En caso general el concepto de semejanza entre los fenómenos físicos se reduce a los postulados siguientes: 1. El concepto de semejanza en cuanto a los fenómenos físicos es aplicable solamente a fenómenos de un mismo género con igual calidad, y que se describen analíticamente con ecuaciones que tienen tanto iguales la forma, como el contenido. Si la descripción matemática de dos fenómenos cualesquiera tiene forma igual, pero su contenido físico es diferente, dichos fenómenos se denominan analógicos. Tal analogía se

156

Transferencia de Calor

da, por ejemplo, entre los procesos de la conductibilidad térmica, electroconductibilidad y difusión. 2. La premisa obligatoria para la semejanza entre los fenómenos físicos ha de ser su semejanza geométrica. Para que exista esta última es necesario que los fenómenos en mención siempre se desarrollan en sistemas geométricamente semejantes. 3. Al llevar a cabo el análisis de los fenómenos semejantes pueden compararse únicamente las magnitudes homogéneas sólo en los puntos homólogos del espacio y en los momentos homólogos del tiempo.

Llámense homogéneas a las magnitudes que tienen un mismo sentido físico e igual dimensión. Se denominan homólogos a los puntos de los sistemas geométricamente semejantes cuyas coordenadas son proporcionales.

Figura 7-6 Puntos homólogos en una caída de agua

En resumen las condiciones para la semejanza son: 1. Fenómenos con el mismo contenido no analógicos 2. Debe existir semejanza geométrica 3. debe establecerse siempre en puntos homólogos 4. Existir proporcionalidad entre todas las magnitudes del caso A y el caso B Lista de constantes de semejanza CL =

X A YA = X B YB

;

Cρ =

ρA ρB

;

Ccp =

CU =

U A ϑA = U B ϑB

;

Cµ =

µA µB

;

C∆T =

CPA CPB ∆TA ∆TB

El valor numérico de estas constantes de semejanza no es arbitrario.

157

Transferencia de calor por convección

7.5.1

Semejanza hidrodinámica

Teniendo la ecuación de momento para el caso A: F Ia

=

Fνa

 ∂U A  ∂ 2U ∂ϑ  ∂ 2ϑ  + ϑA A  = µ a  2 A + 2 A  ρ a U A ∂xA ∂yA  ∂y A    ∂x42444 A 1444 424444 3 144 3 Finerciales Fviscosas

Remplazando en función de las constantes y parámetros del caso B:   C dU   C dU    C d 2U B CV d 2U B  Cρ ρ B CV U B  V B  + CV ϑB  V B   = Cµ µ B  V +  CL dyB   CL dxB   CL dyB    CL dxB  Cρ

CV2 CL

  ∂U B CV   ∂ 2U B ∂ 2U B   ∂U B   U C ρ ϑ + = +  B B µ B  µ   B CL2   ∂xB 2 ∂yB 2   ∂xB ∂yB    

Fia F ... = ... va FIb Fvb Como vemos lo que esta entre las dos “llaves” {} es la ecuación de para el caso B, por lo tanto para que no se altere la ecuación se debe cumplir que: Cρ

CV2 C = Cµ V2 CL CL

por lo tanto

C LC ρ CV Cµ

=1

La condición necesaria para la semejanza hidrodinámica es:

x AU A ρ A xBU B ρ B = µA µB

7.5.2

o sea igualdad de Reynolds ReA = Re B

Semejanza térmica

En dos procesos que producen calor además de moverse de la misma forma tenemos:  ∂T  ∂ 2T ∂ 2TA  ∂T  ρ ACPA U A A + ϑ A A  = k A  A2 +  ∂y A  ∂y A 2   ∂x A  ∂x A

Introduciendo Ck = kA/kB y remplazando en función de B

158

Transferencia de Calor

 C U C ∂T C ϑ C ∂T   C ∂ 2T C ∂ 2T  Cρ ρ BCcpC pB  V B ∆T B + V B ∆T B  = Ck k B  ∆T2 2B + ∆T2 B2  CL ∂xB  CL ∂xB   CL ∂xB  C L ∂xB   ∂TB ∂T   C + ϑB B   = CK ∆T2  ρ B C pB U B ∂yB   CL   ∂xB C C CV C ρ Ccp ∆T = Ck ∆T2 CL CL CV C ρ Ccp

  ∂ 2TB ∂ 2TB    kB  2 +  ∂yB 2     ∂xB

C∆T CL

Ck =1 CV C ρ CcpC L Cα =1 CV CL

introduciendo

Cα =

Ck constante de difusividades térmicas Cρ Ccp

si multiplicamos y dividimos por Cυ =

υA υB

⇒

CV CL = 1 Reynolds Cυ

La condición para que se cumpla la semejanza térmica es la igualdad en los números de Prant. Cυ υ A /υB =1 ⇒ =1 Cα α A /α B # Pr =

El número de Prandtl gobierna la solución de la ecuación del balance de energías.

υ A υ B viscosidad cinemática = = αA αB difusividad térmica

Gobierna la solución = f ( Re, Pr )

Figura 7-7 Capa límite

Condición de frontera

−K

∂T   = h(TS − T∞ ) ∂y  y =0

Semejanza de las condiciones de frontera

Ck

C∆T = Ch C∆T CL

entonces

⇒

Ch CL =1 Ck

hA x A hB xB = = # de Nusselt KA KB

Nu = f ( Re, Pr ) es una relación adimensional y depende de cada caso.

159

Transferencia de calor por convección

Se pueden presentar los siguientes tres casos:

Figura 7-8 Capa límite hidrodinámica y capa límite

Ludwig Prandtl Nació en Freising, Alemania el 4 de febrero de 1875. Estudió ingeniería mecánica en Munich. Como pocos, fue dotado con una gran visión para comprender fenómenos físicos y con una capacidad inusual de expresarlos en forma matemática simple. Prandtl era uno de los investigadores y tutores más capaces, convirtiéndose en profesor de mecánica en la universidad de Hannover en 1901. Desde 1904 hasta 1953 se desempeñó como profesor de mecánica aplicada en la universidad de Gottingen, donde estableció una escuela de aerodinámica e hidrodinámica que alcanzó gran reconocimiento a escala mundial. El descubrimiento de Prandtl, en 1904, en relación con la capa del límite, condujo a una comprensión de la fricción y de su reducción a través de la aerodinámica. Su trabajo inicial sobre la teoría del ala, conocido como la Teoría del ala de Lanchester-Prandtl, siguió un trabajo similar al de Frederick Lanchester pero fue realizado independientemente, aclarando el proceso del flujo para una superficie de sustentación finita. Posteriormente, Prandtl hizo avances decisivos en cuanto al concepto de la capa límite y teorías del ala y su trabajo se convirtió en la materia prima de la aerodinámica. Mas adelante contribuyó con la regla de PrandtlGlaubert para la circulación de aire subsónico, que describiera efectos en la compresibilidad del aire a las altas velocidades; Asimismo hizo avances importantes en teorías para flujos supersónicos y turbulencia. Prandtl dio a la teoría moderna del ala su forma matemática práctica. Es considerado el padre de la teoría aerodinámica, pues la mayoría de sus conceptos fundamentales se originaron en su mente fértil y sólo una parte no es atribuible a sus estudios. Ludwig Prandtl murió en Gottingen, Alemania el 15 de agosto de 1953.

Ernst Kraft Wilhelm Nusselt Nació el 25 de noviembre, 1882, en Nürnberg, Alemania. Estudió ingeniería mecánica en el Technische Hochschulen de Berlin-Charlottenburg y Manchen, se graduó (como un Diplom-Ingenieur) en 1904. Condujo altos estudios en las matemáticas y los medicamentos y se convirtió en un asistente para O. Knoblauch en el Laboratory para el Técnico Physics en Munchen. Completó su tesis doctoral en la "conductividad de Materiales Aislantes en 1907, usando al "Nusselt Sphere" para sus experimentos. De 1907 a 1909 trabajó como un asistente para Mollier en

160

Transferencia de Calor

Dresden, y capacitado p un Professorship con su trabajo de adelante "se calienta y Momentum Trasládese en Tubes".

En 1915, Nusselt publicó su escrito pionero: Las Leyes Básicas de Transferencia de calor, en el cual derivó los números adimensionales ahora conocido como los parámetros principales en la teoría de similitud de calor Nusselt fue profesor en el University de Karlsruhe luego Technische Hochschule de Karlsruhe de 1920-1925 y en Munchen de 1925 hasta su jubilación en 1952. Fue recompensado con el Gauss Medal y el Grashof Commemorative Medal. Nusselt murió en Munchen en 1 de septiembre, 1957.

7.6 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ENTRE UN FLUIDO Y UNA PLACA PLANA 7.6.1Condiciones de desarrollo hidrodinámico del flujo T∞

Figura 7-9 Capa límite en una placaplana

Cuando un fluido se mueve a lo largo de una superficie plana tiene lugar la formación de una zona cercana a la superficie en donde son notorios los efectos de una fricción viscosa manifestados en una variación de la velocidad de fluido. Esta zona (normalmente muy delgada) se denomina la Capa Límite Hidrodinámica. Ecuaciones gobernantes:  ∂u  ∂ 2u ∂u  ∂ 2u  ρ u + v  = µ u 2 + v 2  ∂y  ∂y   ∂x  ∂x

La fuerza de presión no actúa puesto

que la variación de esta fuera de la capa limite es nula. Además el esfuerzo cortante viscoso debido al gradiente de velocidad es despreciable, así :

161

∂u ∂x

Transferencia de calor por convección

∂ 2u =0 ∂x 2 quedando :

∧

∂ 2T =0 ∂x 2

 ∂u ∂u  ∂ 2u ρ u + v  = µ 2 ∂y  ∂y  ∂x

7.6.2 Solución analítica turbulento)

∧

 ∂T ∂T  ∂ 2T ρ C P u +v =K 2  ∂y  ∂y  ∂x

(casos:

régimen

laminar

y

flujo

La determinación de los perfiles de velocidad y temperatura fue desarrollada por Blasius y Pohlhausen respectivamente mediante la transformación de las ecuaciones de la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía utilizando la variable de semejanza y Re x → Parámetro de transformación η= x Solución matemática: si introducimos las variables g ( ) y U = g (η ( x, y)) U∞

U = U ∞ g ( x, y)

U = g (η ) U∞

De una manera semejante a la que se produce una capa límite hidrodinámica por la interacción friccional entre las diferentes capas de fluido debido a la viscosidad (µ) de este, si la Temperatura de superficie TS es diferente a T∞ se producirá una variación continua de la Tº del fluido en la zona cercana a la pared desde TS hasta T∞. La zona hipotética donde se produce esta variación se denomina Capa Límite Térmica dentro de ella el Balance de energía de un elemento diferencial de fluido se estable mediante la ecuación:  ∂ 2T  ∂T ∂T  ∂ 2T  +v = + ρ C p u k v  2  ∂y  ∂y 2   ∂x  ∂x

La forma final de la ecuación de momento

Analogas

∂ 2 g 1 ∂g + f =0 ∂η 2 2 ∂η

donde f = ∫ g (η )dη

y de la ecuación de energía,

considerando

T − TS = θ (η ) T∞ − TS

∂ 2θ 1 ∂θ + f Pr =0 2 ∂η 2 ∂η

162

Transferencia de Calor

7.6.3

Solución hidrodinámica g = U /U∞

g (0) = 0 g (∞ ) = 1 g (5) ≅ 1

y Re x x Figura 7-10

η=

Podemos hallar el espesor de la capa límite hidrodinámica: η =5=

y x

Re x

⇒ y=

5x Re x

Cuando Pr =1 las capas hidrodinámica y térmica coinciden.

Pr > 1 mejoran la transferencia de calor

Figura 7-11

Ejemplo 7-1 En un fluido de Pr = 15 que se mueve sobre una placa plana de L = 1m a una T = 50°C y U = 2m/seg. Calcular el espesor de capa limite δH y δT en x = 0.5m. El problema a hacerse es calcular δ T para fluidos en diferentes números de Pr, si Rex<5x105 η=

y Re x x

donde

Re x =

U ∞ x 2 ⋅ 0,5 = = 0, 2 ⋅105 −5 v 5 ⋅10

Como el Rex = 0.2x105 < 5x105 el flujo es laminar δH = YH cuando U(x,y)=U 163

Transferencia de calor por convección

Y U = 1 entonces n = 5 = H x U∞ 5x

δH =

5 x 0.5

= 0.0176m 0.2 x10 5 Y T ( x, y ) − TS = 1 obtenemos η = 2.02 = T δT = θ n = T∞ − TS x YT =

Re x

=

Re x

2.02 x 0.5 0.2 x105

Re x

= 0.00714m

a partir de una regresión lineal

δH = f (Pr) ≅ Pr1/ 3 δT

YH = YT Pr1/3 η=

YH x

Re x =

Pr

YT 1/ 3 Pr Re x x

δT

nθ =1

1

5

15

2,02

50

1,36

5×

2, 02 ×

x Re x x

Re x x 1, 36 × Re x

δH

δH x Re x x 5× Re x x 5× Re x 5×

En resumen se puede observar que la relación equivalente Pr1/3.

δT

Pr1/3

1

1

2,47

2.466

3,676

3.684

δH/δT es más o menos

δH = Pr1/ 3 ⇒ δ H = δ T ⋅ Pr1/ 3 . Si reemplazamos esta relación en la Figura T δ 1 podremos obtener una abscisa generalizada YH Re x = YT Pr1/3 Re x que x

x

sirve no solo para análisis Hidrodinámico ( Pr = 1) sino también para análisis Térmico.

Este comportamiento es valido mientras el régimen sea laminar.

Es decir Rex < 5 x 105

Figura 7-12 Solución Generalizada Capas Límites de Velocidad y Tº en una Placa Plana.

164

Transferencia de Calor

7.7 FACTOR DE FRICCION Y COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR PARA UNA PLACA PLANA FLUIDO EN REGIMEN LAMINAR

Figura 7-13

Por definición los factores de fricción de transferencia de calor son: Hidrodinamica

Térmica h =

Cf =

q = TS − T∞

µ ∂U / ∂y )y =0 τ f = = 1 4 1 ρU 2 ρU ∞2 ∞ 2 2 − k ∂T / ∂y )y =0 TS − T∞

Como se ve en la definición si se quiere determinar ∂T ∂y

∂U ∂y

el y =0

utilizando la solución generalizada de las capas límites de velocidad y y =0

Tº en una placa plana se obtiene:

PERFIL DE VELOCIDAD

PERFIL DE TEMPERATURA

165

Transferencia de calor por convección

∂ (U / U ∞ ) = 0.332 y  Re x  ∂ x  U∞ ∂u  Re x  = 0.332 x ∂y  y = 0 Remplazando en ec. hidrodinámica: f 0.332µ (U ∞ / x) Re x = 1 4 ρU ∞2 2 0.664 Re x Cf = ρU ∞ x µ ρ UU ∞ x donde = Re x µ Cf =

Cf =

0.664 Re x

 T − TS  ∂   T∞ − TS  = 0.332 y  ∂  Pr1/3 Re x  x  T∞ − TS 1/3 ∂T  Pr Re x  = 0.332 ∂y  y = 0 x Remplazando en ec. témica: h=

−0.332 K (T∞ − TS ) Pr1/ 3 Re x x(T∞ − TS )

k hx = 0.332 Pr1/ 3 Re x x Usando Nusselt:

Nu x =

hx = 0.332 Pr1/ 3 Re x K

No es bueno permitir que las capas limites se crezcan puesto que el hx se disminuye.

VALORES PROMEDIOS DE h ( Nu ) y C f Q = hA(TS − T∞ ) Q = cte ∫

⇒ Q = ∫ dQ = ∫ hx (bdx)(TS − T∞ ) = b(TS − T∞ ) ∫ hx dx

x1/ 2 = cte = 2cte x 1/ 2 x

dx

Q = 0.664b(TS − T∞ )k Pr1/ 3 Re x

⇒ Q = 2b(TS − T∞ )k ⋅ 0.332 Pr1/ 3

U∞ x υ

⇒ En x = L ; Re = ReL sucede:

Q = 0.664b(TS − T∞ )k Pr1/ 3 Re L = hLb(TS − T∞ )

Despejando:

166

Transferencia de Calor

hL = Nu = 0.664 Pr1/ 3 Re L K y

h = 0.664

⇒ si C f = 0.664 / Re x y C f = 2C f ) x = L ⇒ C f =

1.328 Re x

K 1/ 3 Pr Re L L

Analogía entre la transferencia de calor y la fricción Si relacionamos C f y Nu obtenemos: Cf Nu Cf 2 Cf 2

= =

1.328 / Re x = L 0.664 Pr

1/3

Re x= L

=

2 Re L Pr1/ 3

Nu Nu Nu Pr 2 / 3 donde = = St Re L Pr1/ 3 Re L Pr Re L Pr

= St Pr 2 / 3 analogia de Colburn

El número de Stanton (St) nos sirve para calcular el coeficiente de transferencia de calor por convección h:

St =

Nu hL / k hk h = = = Re L Pr U ∞ L ⋅ υ KU ∞ ρCp ρ CpU ∞ υ α

Recordemos que si el flujo es laminar f = 64/Re, pero si es turbulento usamos el diagrama de Moody para hallar el valor de f

167

Transferencia de calor por convección

Coeficiente de fricción Cf

Solución Analítica

Coeficiente de transferencia de calor h

Analogías

∂ 2 g 1 ∂g + f =0 ∂η 2 2 ∂η U =g U∞

C fx

=

2

∂g   = 0.232 ∂η η =1

Local

Hidrodinámica

Caso Laminar

C fx =

0.664 Re x

Nux f Pr 2 / 3 = Re x Pr 8

f = St x Pr 2 / 3 = J 8 hx St x = ρ CpU ∞

k hx = 0.332 Pr1 / 3 Re x x

Cf Cf =

1.328 Re L

2

k h = 0.664 Pr1/ 3 Re L L L = long placa

Casos

δH

f 8

St =

h ρ CpU ∞

δT

5x

1.36 x Re x1

Pr = 50

Re x1

5x

2.02 x Re x1

Pr = 15

Re x1

5x

Pr= 1 Coeficiente de fricción Cf

5x Re x1

Re x1

Coeficiente de Transferencia de Calor h

Analogías

Local

C Tfx

Promedio

Caso Turbulento

0.0576 C = Re 0x.2 T fx

Nu Tx = 0.0288 Pr 1 / 3 Re 0x.8

Nu x Pr 2 / 3 2 Re Pr h = Pr 2 / 3 ρ CpU ∞ Cf

Nu

T,L

= St Pr 2 / 3 = J

J =

y Re x x

Combinada

η=

U∞ X ≤ 5 x105 υ

∂ 2θ 1 ∂θ + f Pr =0 2 ∂η 2 ∂η T − TS θ (η ) = T∞ − TS

Promedio

Re x =

Térmica

Régimen Laminar

= (0.036 Re 0L.8 − 850) Pr1 / 3

2

=

= St Pr 2 / 3 = J =

St =

f 8

h ρ CpU ∞

168

Transferencia de Calor

Ejemplo 7-2 Determinar la longitud de una placa cuyo Ts = 180°C, se mueve un fluido con una velocidad no perturbada de 2 m/seg y una temperatura no perturbada de 30°c, calor transferido de 7888W/m de anchura, y una F = 210.9N, =780Kg/m3, K=0.14W/m°C Y un # Pr desconocido que presenta espesor capa limite cuando 1 ρU ∞2 L = 210.9 Nw (1) 2 Q = hA(TS − T∞ ) = h (t ⋅1)(TS − T∞ ) (2) F = τ ( L⋅1) = C f

si sabemos que C f =

U L 1.328 que Re = ∞ υ Re L

las ecuaciones quedan:

1.328 1 ⋅ ρU ∞2 L Re L 2

(1)

210.9 =

(2)

7888 = 0.664

δH =

5L Re L

K Re L Pr1/ 3 L (TS − T∞ ) L δH 2.5 L y δT = = Pr1/3 = 2 entonces δ Re L T

despejando de (2): L = 1.8 metros

7.7.1

Flujo turbulento

Que sucede cuando la capa limite se vuelve turbulenta.

169

= 2.5

Transferencia de calor por convección

7.7.2 Capa límite de una superficie plana larga, con un borde de ataque afilado Xc: Longitud crítica en que el # Re vale 5x105 ó más

Cfx 0.332 ≠ Para régimen turbulento no se cumple que : 2 Re x

Figura 7-14

Según análisis experimentales: 0.0576 Re1/5 C fx 0.0288 Nu = = Pr 2 / 3 1/ 5 2 Re Re⋅ Pr Nu Tx = 0.0288 Re 0.8 Pr1/ 3

C f Tx =

Para h promedia en una placa cuya L > Xc, existen 2 funciones para hallarla: Q = Qlaminar + Qturbulento Xc

L

L T ∫ hx (dx ⋅1)(TS − T∞ ) + ∫ hx (dx ⋅1)(TS − T∞ ) = hA(TS − T∞ )

Q=

0

hL =

Xc

Xc

∫ h dx + ∫ h dx 0

hL =

L

Xc

τ x

τ x

Xc

k

∫ 0.332 x 0

L

k Re x Pr1/ 3 dx + ∫ 0.0288 Re x 0.8 Pr1/ 3 dx x Xc

 hL = Pr1/ 3 k 0.036 Re0.8 L − 850 

Nu

T ,L

= 0, 036 Re 0.8 − 850 Pr

1

3

Como las propiedades físicas de los fluidos, cambian con la temperatura (Nu, Re, Pr) se deben evaluar los parámetros a la temperatura fílmica Tf que es un promedio entre las temperaturas superficial y ambiental. Tf =

TS + T∞ 2

La analogía de Colburn sirve para cualquier tipo de flujo:

Cf 2

= St Pr 2 / 3

170

Transferencia de Calor

Ejemplo 7-3 De cual de las resistencias que se muestran en la figura se debe suministrar más calor en la placa para que Ts sea constante.

Figura 7-15

Cada placa es de 1x1 [m2] y cada elemento de 4 cm

 k f = 0.03447W / m°C 250 + 28  Tf = = 139°  Pr f = 03687 2 υ = 26.61x10−6 m 2 / seg  f Primer paso: determinamos xc para ver si en un metro alcanza a sucederse flujo turbulento. U ∞ xc = 5 x10 5 υf

⇒

xc =

5 x10 5 ⋅ 26.61x10 −6 = 0.2661m 50

Segundo paso: analizamos las celdas críticas: 1, 7 y 8 h1 = 0.664

Celda 1:

K Re L1 Pr 1 / 3 L1

50 ⋅ 0.04 = 0.75 x10 5 26.61x10 −6 h1 = 138.42 Re L1 =

flujo laminar

Q1 = 138.42(0.04)1(250 − 28) = 1239.15W

171

Transferencia de calor por convección L7

L7

L6

0

L6

h = ∫ h x d x = ∫ hx d x − ∫ h x d x

(

0

)

hL = 0.036 Re − 850 Pr 1 / 3 K − 0.664 Re 0L.65 Pr 1 / 3 K

Celda 7:

0.8 L7

sabiendo que L7 = 0.28

y L6 = 0.24

h7 (0.04 x1)(TS − T∞ ) = Q7 = 425W

Q7 = Q1− 7 − Q1−6 = h1−7 (0.28 ⋅1)(222) − h1− 6 (0.24 ⋅1)(222) = Pr  50 ⋅ 0.24  −0.664    υ f  

1/ 3

0.28     0.036  50 ⋅ 0.28  − 850  K (0, 28 ⋅1)(2  υ    0.28 f    

0.5

Pr1/ 3

K (0.24 ⋅1)(222) = 425W 0.24

Celda 8: Q8 = QT 8 − QT 7 = h8 ( L8 ⋅1)(TS − T∞ ) − h7 ( L7 ⋅1)(TS − T∞ )

[

]

Q8 = 0.036 Re 0L.88 − 850 Pr 1 / 3

[

]

K K L8 (TS − T∞ ) − 0.036 Re 0L.78 − 850 Pr 1/ 3 L7 (TS − T∞ ) L8 L7

Q8 = 1035W Q8 = Q1−8 − Q1−7 0.8 0.8   k   k  50 ⋅ 0.32   50 ⋅ 0.28  = Pr1/ 3  0.036  − 850  − 850  (0.32 ⋅1)(222) − Pr1/ 3  0.036  (0.28 ⋅1)(222)         0.32   0.28  υf   υf     

= 1035W

Como vemos de la celda 1 hay que suministrar más energía a la placa para mantener Ts cte.

7.7.3 Determinación de h para flujo interno en régimen laminar Condiciones: 1. Flujo intratubular. 2. Régimen laminar. 3. Zona de flujo totalmente desarrollado térmica e hidrodinámicamente. A diferencia del flujo externo, las capas limite de velocidad y de temperatura dentro de un tubo no pueden crecer indefinidamente, máximo lo pueden hacer hasta que su espesor alcanza un valor igual al radio del tubo, a partir de ese punto se dice que el flujo se ha desarrollado completamente. La zona de entrada de la Capa limite hidrodinamica se considera mientras que los cambios de velocidad inducidos por la interacción viscosa tubo172

Transferencia de Calor

fluido alcanzan el centro del tubo y la zona de entrada de la capa limite Térmica cuando los cambios de temperatura del fluido que entra al tubo por razón de la diferente temperatura de la superficie del tubo alcanzan el centro del tubo. Las longitudes requeridas para una y otra dependen de la velocidad de difusión del esfuerzo cortante y del calor dentro del flujo, caracterizadas en el caso del esfuerzo por la razón de la viscosidad absoluta del fluido del fluido a la densidad o sea la denominada viscosidad cinemática (m2/sg) y en el caso de la penetración del calor por la difusividad térmica (m2/sg)

Figura 7-16 Flujo intratubular

si =

las 2 zonas de entrada serán iguales.

No necesariamente la longitud hidrodinámica es igual a la longitud térmica: LH = LT Pr < 1

7.7.4

si Pr = 1 ;

LH < LT

si

Pr > 1 ;

LH > LT

Desarrollo analítico

Flujo laminar completamente desarrollado:

yr = 0 ; du/dx = 0

La ecuación de momento:  1 ∂  ∂U ∂U   ∂U +v =µ ρ U r  ∂r   ∂x  r ∂r  ∂r 1 ∂P 1  ∂u  =  r  = C1 , µ ∂x ∂r  ∂r 

2  ∂ U  ∂P + −  2   ∂x  ∂x

porque f ( x) = f (r )

173

si

Transferencia de calor por convección

∂  ∂u  ∂u C1r 2 = + C2  r  = C1r si integramos r 2 ∂r  ∂r  ∂r ∂u = 0 para r = 0 ⇒ C2 = 0 como ∂r ∂u C1r C r 2 C R2 = int egramos u(r) = 1 − 1 ∂r 2 4 4  C1 R 2  r 2 − 1  parabola u (r ) =  4  R2  R

Velocidad media: A ⋅ um = ∫ U (r )2π rdr ; um = 0

umax C1 R 2 = 2 8

f τ dU  ; τ =µ =  2 dt r =0 4 (1/ 2) ρVm

Factor de fricción:

f =

64 Re

Con base en el análisis del perfil de velocidades para flujo totalmente desarrollado hidrodinámicamente podemos analizar lo térmico Figura 7-17

Hidrodinámica:

∂ (U / U m ) = 0 ∂x

Figura 7-18 Perfil de velocidades en un flujo intratubular

Térmicamente:

h=

− K ⋅ ∂T / ∂r )r = R q = TS − Tm TS − Tm

Figura 7-19 Perfil de temperaturas en un flujo intratubular

174

Transferencia de Calor

Tabla 7-1

TOPICO

HIDRODINAMICA

Ecuación Diferencial

 ∂ 2u 1 ∂  ∂u   ∂u  ∂p  ∂u +v  = − +µ 2 + ρ u  r  ∂r  ∂x r ∂r  ∂r    ∂x  ∂x

Ecuación de flujo laminar totalmente

TERMICA  ∂ 2T 1 ∂  ∂T   ∂T   ∂T ρ ⋅ C p u +v  = k  2 + r  ∂r  r ∂r  ∂r    ∂x  ∂x

1 ∂p 1 ∂  ∂u  =  r  = C1 µ ∂x r ∂r  ∂r 

ρ ⋅ Cp ⋅u

∂u 1 ∂p r = ∂r µ ∂x 2

r2  ∂T U max ∂T  r = −   ∂r α ∂x  2 4 R 2 

∂T k ∂  ∂T  = r  ∂x r ∂r  ∂r 

desarrollado Derivadas de Campo

u( r ) = −

2 1 ∂p R 2   r   1 −    = U max µ ∂x 4   R  

Valores Promedios

Um = −

1 ∂p R 2 µ ∂x 8

Coeficientes

∂u  ∂p R 2  ∂r r = R f 16 ∂x 2 = = = 2 1 ∂ p R 4 1 Re 2 ρU m ρU m2 2 µ ∂x 8

Ecuaciones de Campo

  r 2  1 −      R  

Tm = Tc +

Adimensio

f =

U max ∂T  r 2 r4   −  α ∂x  4 16 R 2 

7 U max ∂T 2 R 96 α ∂x

∂T   ∂r r = R h= = TS − Tm −k

µ

Parámetros

T( r ) = Tc +

64 Re

k Tc +

U max ∂T R α ∂x 4

3 U max ∂T 2 7 U max ∂T 2 R − Tc + R 16 α ∂x 96 α ∂x

hl = Nu = 4.364 k

Tabla 7-2

Caso

Flujo Laminar on. zona de entrada

Flujo totalmente desarrollado

Flujo de calor constante en la pared Nu D = 4.36

Temperatura de superficie constante Nu D = 3.66 0.0668( D / x) Re Pr

Nu D = 4.36 +

0.023( D / x) Re Pr 1 + 0.0012( D / x) Re Pr

Nu D = 3.66 +

Nu D = 4.36 +

0.036(D / x) Re Pr 1 + 0.011( D / x) Re Pr

Nu D = 3.66 +

175

1 + 0.04 [( D / x) Re Pr ]

2/3

0.104( D / x ) Re Pr 1 + 0.016( D / x) Re Pr

Transferencia de calor por convección

Efecto del concepto de perfil de temperatura totalmente desarrollado sobre h: 1. Primer Caso: Ts cte

h=

− k ⋅ ∂T / ∂r )r = R q = Tm − TS Tm − TS

(disminuye ) = cte (disminuye )

Figura 7-20 Temperatura superficial constante

Disminuye a la misma rata por lo que el coeficiente convectivo no varía 2. Segundo Caso: Q(pared) = cte

La curva se mantiene pues

h=

∂T   = cte ∂r  r = R

q cte = = cte Tm − TS cte

∂ (Tm − TS ) = 0 ∂x Figura 7-21

Cualquiera que sea la condición de frontera siempre se da un coeficiente convectivo de calor cte.

7.7.5

Ecuación de la energía

 ∂ 2T 1 ∂  ∂T   ∂T  ∂ 2T  ∂T ρ ⋅ C p u k r v + vr = + = 0 ≡0 r  ∂x 2 r ∂r  ∂r   ∂r  ∂x 2  ∂x    ∂T 1 ∂  ∂T  ∂T T = TS (en r = R ) ; ⇒ ρ ⋅Cp ⋅u =k =0 r =0 r  r ∂r  ∂r  ∂x ∂r

176

Transferencia de Calor

Basados en la expresión

∂  T (r , x) − TS  ∂x  Tm − TS

  = 0 

, buscamos la ecuación

diferencial térmica Derivando tenemos:

dT dTS TS − T  ∂TS ∂Tm  = − −   dx dx TS − Tm  ∂x ∂x 

∂TS Cuando Ts es cte tenemos =0 ⇒ ∂x Cuando q es cte tenemos

Para q = cte

⇒

∂T = cte ⇒ ∂x

∂T TS − T  ∂Tm  =   ∂x TS − Tm  ∂x  ∂T ∂TS ∂Tm = = ∂x ∂x ∂x

u ∂T u ∂Tm 1 ∂  ∂T  = = r  α ∂x α ∂x r ∂r  ∂r 

Flujo totalmente desarrollado laminar

q

cte ==> Nu = 4.364

Ts cte ==> Nu = 3.66 Analizando el cambio del fluido a totalmente desarrollado a Ts cte

Figura 7-22

177

Porque h = cte en el flujo totalmente desarrollado

h= de

q TS − Tm

si

∂  T − TS  ∂x  Tm − TS

q = cte   = 0 

∂T ∂TS ∂Tm = = = cte ∂x ∂x ∂x ⇒ TS − Tm = cte

Transferencia de calor por convección

7.7.6Determinación de la temperatura de salida promedio de un fluido que se mueve dentro de un tubo PRIMER CASO q cte

Figura 7-23

Balance de energía: ∂T   mC pTm + qπ D∆x = mC p  Tm + m ∆x  ∂x   dT h(Tsx − T )π D = qπ D∆x = mC p m ∆x dx L

Tm 2

0

Tm1

∫ qπ Ddx = ∫

mC p dTm

ó

x

Tm 2

0

Tm1

∫ qπ Ddx = ∫

mC p dTm

qπ Dx = mC p (Tmx − Tm1 ) qπ DL = mC p (Tm 2 − Tm1 )

Calor ganado a través de la pared = calor ganado por el movimiento SEGUNDO CASO Ts cte (por efecto de vaporización o condensación externa)

Figura 7-24

178

Transferencia de Calor

dT   mC pTmx + h(TS − Tmx )π D∆x = mC p  Tmx + mx ∆x  dx   dT hπ D∆x(TS − Tmx ) = mC p mx ∆x dx Tm 2 L − dT − hπ Ddx − hπ DL Tm 2 ∫Tm1 Ts − Tmxmx = ∫0 mC p ⇒ ln(TS − Tmx ) Tm1 = mC p ln

TS − Tm 2 − hπ DL = TS − Tm1 mC p

⇒

TS − Tm 2 =e TS − Tm1

− hπ DL mC p

<

1

Otra forma de presentar la ecuación, multiplico por un factor:

ln

TS − Tm 2 − hπ DL Tm 2 − Tm1 = ⋅ TS − Tm1 mC p Tm 2 − Tm1

mC p (Tm 2 − Tm1 ) = hπ DL

mC p (Tm 2 − Tm1 ) = hπ DL

mC p (Tm 2 − Tm1 ) = hA

Tm 2 − Tm1 + TS − TS T −T ln S m 2 TS − Tm1 (TS − Tm 2 )(TS − Tm1 ) T −T ln S m 2 TS − Tm1

(TS − Tm 2 )(TS − Tm1 ) T −T ln S m 2 TS − Tm1

Si definimos LMTD =

∆Tentrada − ∆Tsalida ∆T ln entrada ∆Tsalida

mC p (Tm 2 − Tm1 ) = hA ⋅ LMTD Donde LMTD es la diferencia de temperaturas media logarítmica Características típicas de LMTD: El valor típico de LMTD siempre estará entre el valor de la entrada y la salida Tsalida < LMTD < Tentrada Cuando Tsalida = Tentrada el LMTD resulta en una indeterminación 0/0 que por L’hopital LMTD = Tsalida = Tentrada Casos prácticos Determinación del área de Transferencia de Calor requerida para calentar (ó 179

Figura 7-25

Transferencia de calor por convección

enfriar) un fluido desde T1 hasta T2 Tabla 7-3

Flujo de calor constante

Ts constante

qπD∆x = m& c p (Tx + ∆x − Tx )

dT (Tx+ ∆x − Tx ) dx dT q xπD = m& c p dx dT hx (TS − Tx )πD = m& c p { dx tomamas h

dT dx

qπD = m& c p

dT qπD = =C dx m& c p

∫

T2

T1

dT = ∫

L

0

qπD dx m& c p

qπD T2 − T1 = L m& c p qπDL = m& c p (T2 − T1 ) q = hx = L (TS 2 − T2 ) hx = L = 4.36

kf D

q xπD∆x = m& c p

−∫

TS −T2

TS −T1

L hπD dT dx = −∫ 0 mc Ts − Tx & p

 T − T2  hπD  = − L ln  S m& c p  TS − T1  hπD

 TS − T2  − m& c p L   = e T T −  S 1 ⇒ m& c p (T2 − T1 ) = hπDL ⋅ LMTD

180

Transferencia de Calor

Para un conducto anular se trabaja con el diámetro hidráulico

DH = D - d

7.8 COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN TUBOS CIRCULARES REGIMEN TURBULENTO En el régimen laminar la transferencia de calor por convección se debe exclusivamente a la interacción molecular de una capa de fluido con otra y no de la posibilidad de mezcla cruzada de partículas macroscópicas de fluido, esta aseveración esta sustentada en el hecho ya demostrado que el coeficiente de transferencia de calor para el régimen laminar totalmente desarrollado es independiente del número de Reynolds, asi para una condición frontera de temperatura de superficie constante el numero de Nusselt totalmente desarrollado vale 3.66 y por lo tanto el coeficiente de transferencia de calor h vale: h = Nu

k D

= 3, 66

k D

h tendrá el mismo valor mientras el numero de Re se menor que 2100, lo cual hace inocuo que para flujos con valores de Reynold menores a este valor, se aumente la velocidad del fluido para lograr una mejor transferencia de calor. En el régimen turbulento la mezcla cruzada de partículas macroscópicas de fluido genera la posibilidad de incrementar la capacidad de transferencia de calor de o desde el fluido al aumentar la velocidad media del flujo, pero en principio ya sea que el calor o el efecto viscoso se transfiera a nivel molecular o a nivel macroscópico se puede establecer una similitud o analogía entre ambos procesos.

181

Transferencia de calor por convección

Flujo Laminar

Flujo Turbulento

u

v’ u

ℑ du = −ν ρ dy ,

dF d m du ρ v´dAdu ℑ= = = dA dA dA ℑ du du = v ´ l = − (v´l ) ρ dy dy ℑ du = −ε m ρ dy

La viscosidad cinemática como propiedad molecular de un fluido y que determina la fricción en el régimen laminar equivale a una propiedad ficticia m, que expresa una cierta difusividad turbulenta del momento que genera los esfuerzos cortantes a nivel macroscópico en el régimen turbulento. Esta difusividad turbulenta del momento se define como el producto de la componente transversal de velocidad de las partículas de fluido v, por la longitud de mezclado lh, que recorre dicha partícula antes de ceder su momento relativo a las capas de fluido adyacentes. El proceso de transferencia de calor en el régimen turbulento es muy similar al proceso anterior, en donde una partícula de flujo con una temperatura superior en dT° a la de las capas adyacentes también tiene que recorrer una distancia lt o longitud de mezclado térmico antes de ceder esta energía relativa, determinándose un proceso de transferencia de calor q.

182

Transferencia de Calor

v’ q

q

T+dT

T+dT

q dT = −α ρ Cp dy ,

dQ d m CpdT ρ v´dACpdT = = q= dA dA dA q dT du = v ´ lt = − (v´lt ) ρ Cp dy dy q du = −ε t ρ Cp dy

183

Transferencia de calor por convección

RESUMEN DE CORRELACIONES DE CONVECCION PARA FLUJO EN UN TUBO CIRCULAR.

Donde

T m ≡ (Tmin + Tmout ) 2

184

8

Transferencia de Calor

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Banco de Tubos

TABLA DE CONTENIDO

8. 8.1

BANCO DE TUBOS ...................................................................................................... 185 FLUJO EXTERNO TRANSVERSAL A UN CILINDRO ..................................................................185

8.2 CORRELACIONES PARA HALLAR COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR DE FLUJO TRANSVERSAL A UN TUBO ............................................................................................................186 8.2.1 Según los investigadores Churchill y Bernstein .................................................................................186 8.2.2 Según los investigadores Nakai y .Okzaki ........................................................................................187 8.2.3 Según el investigador Zhukauskas......................................................................................................187 8.2.4 Según los investigadores Hilpert, Knudsen y Katz..............................................................................188 8.2.5 Según Fand........................................................................................................................................188 8.2.6 Según Eckert y Drake. .......................................................................................................................188 8.3 BANCOS DE TUBOS ..........................................................................................................................189 8.3.1 Clasificación de bancos de tubos ........................................................................................................190 8.3.2 Arreglos estandarizados .....................................................................................................................192 8.4 NÚMERO DE REYNOLDS................................................................................................................192 8.4.1 Área de flujo mínima .........................................................................................................................192 8.4.2 Velocidad máxima de flujo ................................................................................................................194 8.5 DETERMINACIÓN DEL EFECTO DE CAMBIO DE TEMPERATURA EN LAS PROPIEDADES DEL FLUIDO ....................................................................................................................................................194 8.6 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE . TRANSFERENCIA DE CALOR INTERNO ..................195 8.6.1 Casos: ...............................................................................................................................................196 8.7 COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN BANCO DE TUBOS ..............................197 8.7.1 Método Mills:....................................................................................................................................198 8.7.2 Método Incropera: .............................................................................................................................199 Arreglo ...........................................................................................................................................................200 8.7.3 Método Holman:................................................................................................................................200

187

Transferencia de Calor

8. BANCO DE TUBOS 8.1 FLUJO EXTERNO TRANSVERSAL A UN CILINDRO Debido a la naturaleza compleja del flujo a través de cilindros, de los procesos de separación de flujo, no es posible calcular analíticamente los coeficientes de transferencia de calor en el flujo transversal, es por esto que los investigadores se ven obligados a utilizar fórmulas empíricas producto de muchas investigaciones y experimentos. Tabla 8-1 Principales regímenes de flujo para el flujo alrededor de un cilindro.

NÚMERO DE REYNOLDS

ReD < 5

PATRÓN DE FLUJO

Flujo laminar no separado

5-15 < ReD < 40

Par de vórtices fijos en la estela

40 < ReD < 150

Trayectoria de vórtices laminar

150 < ReD < 3×105

La capa límite es laminar hasta el punto de separación; la trayectoria de vórtices es turbulenta y el campo de flujo de estelas es cada vez más tridimensional.

3×105< ReD < 3,5×106

La capa límite laminar se transforma en una capa límite turbulenta antes de la separación; la estela se vuelve cada vez más angosta y desorganizada

3,5×106 < ReD

Se reestablece una trayectoria de vórtices turbulenta, pero en este caso es más angosta que en el caso anterior, 150< ReD<3*105

Para un flujo transversal en un cilindro se ha determinado que el coeficiente de transferencia de calor depende en gran medida del número de Reynolds, el cual se halla en base a la velocidad de flujo libre y con longitud característica el diámetro del tubo, esta dependencia se puede observar en el grafico de la Figura 1. Para determinar el número de Nusselt promedio (Nud) en un flujo transversal alrededor de un cilindro, se tiene las siguientes correlaciones encontradas en los libros de Holman, Mills e Incropera.

8.2

CORRELACIONES PARA HALLAR COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR DE FLUJO TRANSVERSAL A UN TUBO

Debido a la gran cantidad de variables en la transferencia de calor por convección, muchos investigadores han dedicado gran parte de sus investigaciones a encontrar correlaciones matemáticas que se aproximen a los datos experimentales, con el fin de que los ingenieros tengan herramientas para calcular el calor transferido por medio de fluidos, aquí se enumeran algunas de estas correlaciones según sus autores:

8.2.1 Según los investigadores Churchill y Bernstein Las siguientes correlaciones son usadas muy frecuentemente, debido a que encierran la mayoría de los rangos del numero de Reynolds en las formulas lo cual las hace muy manejables cuando se utiliza un software matemático. Se tienen las siguientes ecuaciones: Para: Pr > 0,5 NUD = 0,3 +

4

Re < 10

2×104 < Re < 4×105

4×105 < Re < 5×106

186

NUD

NUD

0,62 RED 0.5 ⋅ Pr

)

(

1

3

0,25

2/3   0, 4 1 +   Pr   1 0,5 0.3  0,62 RED ⋅ Pr 3   RED  = 0,3 + + 1    0,25  2/3     282000   0,4 1 +  Pr  

)

(

  RED  5 / 8  = 0,3 +   + 1 2 / 3 0,25  282000     0,4  1 +  Pr   0,62 RED 0.3 ⋅ Pr

(

)

1

3

4/5

En donde:

Nud = Número Nusselt promedio Re = Número de Reynolds

8.2.2 Según los investigadores Nakai y .Okzaki Para bajos Re se tiene Nu =

1 0.8237 − ( Ln (Re ⋅ Pr ))

0.3

→ R e Pr < 0,2

Para utilizar las dos fórmulas anteriores en un flujo transversal en un cilindro se deben evaluar las propiedades del fluido a la temperatura fílmica que es la media aritmética de la temperatura de la superficie y de la temperatura de corriente libre: Tf = Temperatura fílmica Tf = 0,5 (Ts + T∞)

De donde:

T∞= Temperatura de corriente libre Ts = Temperatura de la superficie del tubo

8.2.3

Según el investigador Zhukauskas

Se tienen las siguientes correlaciones para el número de Nusselt 1/ 4

 Pr  Nud = C ⋅ Rem Prn    Pr s 

0,7 < Pr < 500 →  1 < Re < 106

Pr > 10 ⇒ n = 0.37 Pr

10 ⇒ n = 0.36

Re

C

m

1- 40

0,75

0,4

40 - 1000

0,51

0,5

1000 – 2×105 0,26

0,6

2×105 - 106

0,076 0,7

Todas las propiedades se deben evaluar a la temperatura del fluido T∞ solo el número de Prandtl será evaluada a la temperatura de superficie, Ts. del tubo. La constante C y m se encuentran en la tabla 8-2.

187

Tabl8-8-2 Constantes de la ecuación 3 para el cilindro circular en flujo cruzado.

8.2.4 Según los investigadores Hilpert, Knudsen y Katz La siguiente relación fue determinada por los investigadores nombrados

Nud = C ⋅ Re m Pr1/3 Todas las propiedades se evalúan a la temperatura fílmica. Tf = 0,5 (Ts + T∞). Según la tabla 8-4 se pueden determinar los coeficientes C y m de la formula anterior Tabla 8-3 Constantes de la ecuación 4 para el cilindro circular en flujo cruzado

Re

C

m

0,4 - 4

0,989 0,330

4 - 40

0,911 0,385

40 - 4000

0,683 0,466

4000 - 40000

0,193 0,618

40000 - 400000 0,027 0,805

8.2.5

Según Fand.

}

NUD = (0,35 + 0,56 Re0,52 ) Pr 0,3 → Para: 0,1 < Re < 105

8.2.6 NUD

Según Eckert y Drake.

 Pr  = (0, 443 + 0,5 Re ) Pr    Pr s 

NUD = 0, 25 Re

0,5

0,6

Pr

0,38

0,3

 Pr     Pr s 

0,25

0,25

  → 1 < Re <103 

  → 103 < Re < 2 × 105 

Todas las propiedades se evalúan a la temperatura fílmica, solo Prs se evalúa a la temperatura de superficie. Para los gases se puede omitir la razón del Pr. De todas estas ecuaciones, la menos engorrosa es la de Hilpert y por lo tanto es buena para obtener datos para inspección, pero la ecuación desarrollada por Churchill y Bernstein es una de las mas completas ya que encierra todos 188

los rangos del número de Reynolds en una sola ecuación con algunas modificaciones, además esta ecuación se puede introducir dentro de una computadora para obtener los resultados, mientras que las otras necesitan de una base de datos.

8.3

BANCOS DE TUBOS

Un banco de tubos es un arreglo de tubos que tiene como fin transferir calor entre dos fluidos, cuya característica principal es la de presentar tanto flujo interno como un flujo externo. Normalmente, en los bancos de tubos, un fluido se mueve sobre los tubos, mientras que un segundo fluido a temperatura diferente corre por el interior de los tubos, permitiendo la transferencia de calor por convección, tanto interna como externa en los tubos. Una de las principales razones por la cual son muy empleados los bancos de tubos es debido a su gran área para la transferencia de calor en espacios reducidos, esto se puede explicar con el siguiente ejemplo: Tenemos dos tubos concéntricos por los cuales fluyen dos fluidos, un fluido caliente entre el tubo de mayor diámetro (D) y el de menor diámetro (d); y uno fluido frío que circula por el interior del tubo de menor diámetro como se observa en la figura 8-1.

Figura 8-1 Intercambiador de calor con un solo tubo en el interior

De la anterior figura observamos que el área de transferencia de calor es por tanto:

A = π dL Siendo L la longitud de los tubos en la cual hay intercambio de calor.

Ahora si por el mismo tubo de diámetro D hacemos pasar varios tubos mas pequeños tenemos la siguiente disposición:

189

Ahora para una misma cantidad de caudales de los fluidos frío y caliente tenemos la siguiente área para la transferencia de calor:

A =π ⋅d ⋅L⋅n Donde n es el número de tubos que hay en la figura 8-3. Figura 8-2Intercambiador de calor con varios tubos en su interior, que hacen que aumente el área para la transferencia de calor.

Por lo tanto de aquí se deduce que los bancos de tubos mejoran la transferencia de calor debido a su disposición. Otra ventaja que presenta esta disposición, es que se puede transportar fluidos a una mayor presión, debido a que los espesores en tuberías con diámetros pequeños en recipientes a presión son mas chicos a medida que disminuye el diámetro de sus dimensiones, esta deducción se obtiene de resistencia de materiales y se expresa en la siguiente formula: P⋅R σ

t=

Donde: t

es el espesor de la tubería.

P

es la presión que hay en la tubería.

σ

es el esfuerzo admisible de la tubería.

R

es el radio medio de la tubería.

8.3.1 a)

Clasificación de bancos de tubos Según la relación de movimiento del flujo respecto del banco de tubos

Se deben considerar las siguientes definiciones para tener una idea clara de lo que se va ha tratar: a) Bancos de tubos ideales: Son aquellos bancos a los que se las hacen algunas idealizaciones con el fin de observar el comportamiento global de la transferencia de calor en los bancos de tubos. Estas idealizaciones son: •

Flujo totalmente transversal a los tubos

•

La transferencia de calor es homogénea

•

Se desprecia la transferencia de calor por radiación

190

•

Se desprecian las corrientes de bypass

b) Bancos de tubos reales: son los bancos de tubos que se encuentran en la realidad. La dirección del flujo influye mucho en la transferencia de calor ya que se cambia el área de transferencia de calor o la cantidad de flujo que entra en contacto con los tubos. En la figura 8-4a se presenta un arreglo de tubos cuyo flujo externo es perpendicular al flujo interno de los tubos que difiere de la figura 8-4b porque su flujo se podría dividir en dos clases de movimiento (tiene 2 componentes de velocidad), uno perpendicular al flujo interno y otro paralelo, dependiendo si este ultimo va en contracorriente o en el mismo sentido que el flujo interno, el intercambiador será mas efectivo o no. Este análisis se llevara a cabo mas adelante. b) Según la efectividad de la transferencia de calor La efectividad con la que puede ocurrir la transferencia de calor depende de que tan uniforme reciba calor el fluido, ya que puede haber un espaciamiento mayor entre la cubierta y las hileras de tubos extremas , que entre las hileras de tubos, por donde el fluido puede no tener un buen contacto con los tubos y entonces no tiene una transferencia de calor igual que el resto del flujo, este tipo de bancos se denominan bancos de tubos con baypass (Figura 85a); mientras que si los tubos tienen un igual espaciamiento entre ellos y con la cubierta, la transferencia de calor será uniforme en todo el fluido, ya que tendrá igual contacto con los tubos a través de todo el banco y la transferencia de calor se hace con mejor efectividad. (Figura 8-5b)

Figa 8-3 Bancos de tubos con diferentes direcciones de flujo a) flujo cruzado perpendicular. b) flujo cruzado oblicuo.

c) Según el arreglo de los tubos en el banco Debido a que no se pueden hacer infinidad de arreglos para los bancos de tubos, estos se encuentran estandarizados de acuerdo a una geometría estándar, que son el cuadrado y el triángulo equilátero, ya que son de fácil fabricación y estos se acomodan de tal forma para dar los diferentes arreglos. Las filas de tubos de un banco tienen dos tipos de arreglos principales: alineados y alternados como se muestra en la figura 8-6.

Figura 8-4 a) Banco de tubos con Baypass. b) Banco de tubos sin Baypass

Figura 8-5 Tipos de arreglos de bancos de tubos a) alineados b) alternados

191

De la figura 8-6 a y b tenemos Ltp = paso longitudinal St = separación transversal entre diámetros Figura 8-6Arreglo cuadrado St / Sl = 1

Sl = separación longitudinal entre diámetros, es el mismo paso longitudinal. α = ángulo de inclinación entre el paso longitudinal y la línea de dirección del flujo

8.3.2

Figura 8-7 Arreglo escalonado de 30°

Arreglos estandarizados

El arreglo alineado esta estandarizado con la siguiente relación: ST / SL = 1 al cual se le denomina arreglo cuadrado o arreglo a 90°, ya que el ángulo entre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos es 90°. Su forma básica es el cuadrado, figura 8-7 El arreglo escalonado tiene estandarizado los arreglos de 30°, 45° y 60°. El arreglo de 30° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos igual a 30°. Su forma básica es el triángulo equilátero, figura 8-8 El arreglo de 45° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos igual a 45°. Su figura básica es el cuadrado. Figura 8-9

Figura 8-8 Arreglo escalonado a 45°

El arreglo de 60° es aquel que tiene el ángulo entre la dirección del flujo y el paso longitudinal de los tubos igual a 60°. Su figura básica es el triángulo equilátero, figura 8-10.

8.4

NÚMERO DE REYNOLDS

De igual forma que en un flujo transversal a un cilindro, el Reynolds influye en gran medida sobre la transferencia de calor y este debe calcularse con la velocidad máxima que pueda tener el fluido dentro del banco de tubos, es decir, cuando este pasa por el área de flujo mínima. Figura 8-9 Arreglo escalonado 60°

8.4.1

Área de flujo mínima

Esta área de flujo mínima depende del arreglo que tenga el banco de tubos, ya que esta puede ser el área vertical (A1) o las dos áreas diagonales (A2) (ver figura 11). Se deben tomar las dos áreas diagonales ya que después que

192

el flujo pasa por el área vertical A1, este flujo se divide en dos y pasa por cada área diagonal A2 Si el área vertical es menor que las dos áreas diagonales se debe cumplir la siguiente relación.

(St − D) ≤ 2(Ltp − D) En donde: St

es la distancia que hay entre los centros de dos tubos de una misma fila.

Ltp es la distancia mas corta que hay entre los centros de dos tubos de diferente fila. D

es el diámetro del tubo.

Sino se cumple la relación anterior, el área de flujo mínima son las áreas diagonales

Figura 8-10 Posibles áreas de flujo mínimas para bancos de tubos alineados y escalonados

Las áreas mínimas de los bancos de tubos estandarizados son los siguientes: Para bancos de tubos de arreglo escalonado de 30° y alineados St/Sl=1: A mín. = (H - NTF×D) ×L = NTF (Ltp - D) ×L Donde H es la altura total del banco de tubos, NTF el número total de tubos por fila, D es el diámetro del tubo, L el largo del tubo y Ltp es la distancia entre los diámetros cruzados (Ver figuras 8-8,8- 9 o 8-10) Para bancos de tubos de arreglo escalonado de 45° y 60°:

Amin = (Ltp − D )× L(1 + 2(NTF − 1)) Entonces ya determinada el área mínima de flujo determinamos el número de Reynolds

193

Re =

8.4.2

M ×D Amin × µ

Velocidad máxima de flujo

Otra relación importante que se puede usar para determinar el número de Reynolds es la relación de velocidades, esta relación no incluye el número de tubos del intercambiador la cual es muy útil cuando no se posee esta información Para los bancos de tubos tenemos la siguiente relación para hallar la velocidad máxima: ρ×Vmáxima×Amínima = ρ×V∇×A donde ρ es la densidad, Amínima puede ser al área A1 o A2 de acuerdo a lo visto en la parte anterior (ver figura 9), A es el área a la entrada del banco y V es la velocidad de entrada del fluido. Debido a que los bancos trabajan a presión constante, se pueden tomar los fluidos como incompresibles. Por lo tanto se obtiene la siguiente relación: Vmáxima A = Vα Am í n ima

la cual conlleva a dos posibles valores dependiendo del arreglo del banco:

St 2

Vmáxima St = máx , 2  Vα St − D  St   2  St +    − D   2   

en donde el valor que sea mayor será la razón máxima entre velocidad máxima de flujo y Vα . De aquí se procede a obtener Re: Re =

8.5

Vma × D υ

DETERMINACIÓN DEL EFECTO DE CAMBIO DE TEMPERATURA EN LAS PROPIEDADES DEL FLUIDO

ebido a la no uniformidad de las temperaturas dentro del banco de tubos, se hace necesario buscar una temperatura promedio global para determinar las

194

propiedades del fluido. Por lo cual se ha tomado como esta temperatura global a la temperatura fílmica: Tf =

T∞ + TS 2

T∞ =

Donde :

T∞1 + T∞ 2 2

Figura 8-11 Diferentes temperaturas que se encuentran en un banco de tubos

T∞ = temperatura promedio del aire T∞1 = temperatura del aire a la entrada T∞2 = temperatura del aire a la salida Y Ts (temperatura de superficie promedio) se evalúa globalmente Para la figura 8-12 se tienen que Ts1, Ts2,..Tsn son las temperaturas superficiales de los tubos de cada fila, y T T son las temperaturas de entrada y de salida del flujo al banco de tubos, respectivamente. Para evaluar la temperatura de la superficie se considera que el calor que se transfiere del fluido interno es aproximadamente igual al que se transfiere al fluido externo, es decir se desprecia la resistencia de la pared, como se muestra en la figura 8-13: Q

Tm Ts 1 Aihi

Rp

Q

Ts

Figura 8-12 . Transferencia de calor presentada en la sección transversal de uno de los tubos.

Tα 1

heAe

Donde

Tm

Tm1

Tm2 2

Tm1 y Tm2 es la temperatura media del fluido interno la entrada y la salida del tubo respectivamente. Con esto quedan analizadas las propiedades, se evalúa el Re y se calcula el Nud.

8.6 CÁLCULO DEL COEFICIENTE TRANSFERENCIA DE CALOR INTERNO

DE

El cálculo del hinterno se realiza con los conceptos ya vistos de flujo dentro de tubos. Para el cálculo del mismo hay que tener en cuenta la repartición del flujo en los tubos ya que esto interviene en la rata de masa que pasa por cada tubo y afecta así al Reynolds interno En la figura 8-14a la masa se reparte por igual en cada fila de tubos, por lo que para calcular la masa que pasa por cada tubo se divide la mas total por el número de filas que hay en el banco (esto ocurre cuando los tubos se 195

Figura 8-13 Distribución de la masa que va por dentro de los tubos: a) repartido por igual en cada fila (serpentín); b) repartido por igual en cada tubo.

encuentran en forma de serpentín); mientras que en la figura 8-14b la masa se reparte por igual en cada tubo del banco, por lo que para calcular la masa que pasa por cada tubo se divide la mas total por el número total de tubos que hay. Para determinar el hinterno se debe tener en cuenta la forma como se distribuye el flujo dentro de los tubos

8.6.1

Casos: a) El flujo se reparte uniformemente dentro de todos los tubos.

•

m tubo Vtubo = π ⋅d2 NTT ⋅ ⋅ρ 4 NTT = NTF × NF

NTT NF NTF

Número Total de bos Número de Filas Número de tubos de Tubos por Fila

Figura 8-14 Banco de tubos donde el fluido se reparte uniformemente dentro de todos los tubos

b)

El flujo recorre los tubos en varios pasos

•

Vtubo

NPT

mtubo = NTT π ⋅ d 2 ⋅ ⋅ρ NPT 4

Número de Pasos por Tubo

Figura 8-15 Banco de tubos donde el flujo recorre los tubos en varios pasos

196

c)

El flujo se reparte entre los tubos de una fila

•

Vtubo

m tubo = π ⋅d2 NTF ⋅ ⋅ρ 4

Figura 8-16 Banco de tubos en el que el flujo se reparte entro los tubos de una fila

En un intercambiador de bancos de tubos tenemos: •

Q = m casco ⋅ Cpcasco ⋅ (Tcascoin − Tcascoout ) •

Q = m tubos ⋅ Cptubos ⋅ (Ttubosout − Ttubosin )

El hecho de que la diferencia de temperatura entre un elemento de fluido dentro de los tubos y el fluido del casco sea variable en los diferentes sitios del intercambiador hace que la relación entre Q y las Ts de entrada y salida de los fluidos se relacionan de la siguiente forma: Q = U ⋅ A ⋅ F ⋅ LMTD

Donde F es el factor de corrección de la LMTD y depende de (T1, T2, t1,t2)

UA =

1 r ln 2 r1 1 1 + + hi Ai 2π kLT he Ae

8.7 COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN BANCO DE TUBOS Al analizar de manera experimental la transferencia de calor en los bancos de tubos, se ha encontrado que el coeficiente de transferencia de calor tiene aumentos apreciables desde la primera hasta la quinta fila después de esta 197

los aumentos son cada vez menores , por lo cual el Nud promedio del banco de tubos se vuelve uniforme a partir de décima fila. Esto es debido a que cuando el flujo atraviesa la primera fila de tubos se genera una turbulencia que se incrementa a medida que el flujo se sigue desplazando por las demás filas de tubos, esto propicia a que el coeficiente de transferencia de calor aumente, pero llegara un momento en el cual el flujo se estabiliza y por ende el coeficiente de transferencia de calor no aumentara infinitamente, esto se puede ilustrar en la figura 8-18.

Figura 8-17 Condiciones de flujo para tubos: a) alineados y b) escalonados. c) Variación del coeficiente de transferencia de calor en los bancos de tubos

De manera empírica se han determinado varias correlaciones para hallar el coeficiente de transferencia de calor externo en bancos de tubos:

8.7.1 Método Mills: El Nud promedio para un banco de tubos con 10 o más filas se calcula a partir de la relación: Nud >10 fila = φ Nud 1 fila

Donde φ es un factor de arreglo y el Nud1fila es el Nusselt de la primera fila, el cual se determina con las correlaciones encontradas por Churchill y Bernstein.

198

St

φalineado = 1 +

φalternado

 Sl  ψ 1,5  + 0, 7   St  2 =1+ 3 Pt

ψ

Π 4. Pt

1

Donde ψ

2

Si Pl

Π 4. Pt. Pl

1

Si Pl

1

1

Donde Pl es Sl/D (paso longitudinal adimensional) y Pt es ST/D (paso transversal adimensional). Si el banco tiene menos de 10 filas

Nud =

1 + ( N − 1)φ Nud 1 fila N

Donde Nud 1 fila es el Nud para la primera fila de tubos, el cual se toma como si fuese el de un solo tubo, N es el número de filas y φ es el factor de arreglo.

8.7.2 Método Incropera: La correlación utilizada es la de Zhukauskas: 1/4

 Pr  Nud = C⋅ Re Pr    Prs  m

n

 1000 < Remáx < 2 ⋅106  → 0,7 < Pr < 580 

Valores de las constantes C y m de penden del Re máximo y el arreglo, (tabla 8-4) Los valores de las propiedades se hallan a temperatura fílmica, solo Prs se determina a la temperatura de superficie del tubo. Si el cambio de temperaturas T 1 y T es muy grande, resultaría un error significativo de la evaluación de las propiedades en la temperatura de entrada. Por ello se aplica un factor de corrección tal que: Nud= C2 *Nud 199

Donde C2 depende del arreglo y del número de filas en el banco, (tabla 4) Tabla 8-4 Constantes de la ecuación 18 para el banco de tubos en flujo cruzado

Arreglo

ReD máx

C

m

Alineado

10-100

0.80

0.40

Escalonado

10-100

0.90

0.40

Alineado

100-1000

Se aproxima como un

Escalonado

100-1000

cilindro único aislado

Alineado(Sl/St<0.7)* 103-2*105

0.27

0.63

Escalonado (St/Sl<2) 103-2*105

0.35(St/Sl)1/5

0.60

Escalonado (St/Sl>2) 103-2*105

0.40

0.60

Alineado

2*105-2*106 0.021

0.84

Escalonado

2*105-2*106 0.022

0.84

*Para Sl/St<0.7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineados no se deben usar. Tabla 8-5 Factor de corrección para la ecuación 19 para número de filas menor de 20 Numero de filas 1

8.7.3

2

3

4

5

7

10

13

16

Alineado

0.70 0.80 0.86 0.90 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99

Escalonado

0.64 0.76 0.84 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99

Método Holman:

Para bancos de 10 filas o más se usa la correlación de Grimson: Nud = C*RenPr1/3 Donde C y n depende del arreglo, (tabla 5) Para bancos de menos de 10 filas se utiliza el resultado de la fórmula anterior, pero se debe multiplicar por un factor que depende del arreglo y del número de filas (tabla 8- 6)

200

Tabla 8-6Constantes par la ecuación 20 para a transferencia de calor para bancos de tubos de 10 hileras o más. St/D 1.25

1.5

2

3

Sl/D C

n

C

N

C

n

C

n

Alineados 1.25

0.348 0.592 0.275 0.608 0.100 0.704 0.0633 0.752

1.5

0.367 0.586 0.250 0.620 0.101 0.702 0.0678 0.744

2

0.418 0.570 0.229 0.602 0.229 0.632 0.198

0.648

3

0.290 0.601 0.357 0.584 0.374 0.581 0.286

0.608

Escalonados 0.5

-

-

-

-

-

0.213

0.636

0.9

-

-

-

-

0.446 0.571 0.401

0.581

1

-

-

0.497 0.558 -

1.125 -

-

-

-

-

-

-

-

0.478 0.565 0.518

0.560

1.25

0.518 0.556 0.505 0.554 0.519 0.556 0.522

0.562

1.5

0.451 0.568 0.460 0.562 0.452 0.568 0.488

0.568

2

0.404 0.572 0.416 0.568 0.482 0.556 0.449

0.570

3

0.310 0.592 0.356 0.580 0.440 0.562 0.428

0.574

Tabla 8-7 Factor de arreglo para la ecuación 20 cuando son menos de 10 filas Numero de filas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Escalonado

0.68 0.75 0.83 0.89 0.92 0.95 0.97 0.98 0.99

Alineado

0.64 0.80 0.87 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 0.99

Método grafico de Incropera: Intercambiadores Compactos

201

jH = St Pr2/3; St = h/G cp; Re = G DH ; G m’/ Afr

Donde: D0 = Diámetro exterior del tubo 202

Vmax = VAfr/Aff = m’/Aff =

= Espaciado de aletas Dh = Diámetro hidráulico = Área de flujo libre / área frontal = Área de T.C. / volumen total Af /At = Área de aleta / área total t = Espesor de aletas jH = Factor de Colburn Ai = Área interior del banco Afr = Área frontal al aire Amin = Área mínima de flujo para el fluido externo Nota: El área mínima de flujo libre es transversal al flujo en espacios.

203

9

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Intercambiadores de Calor

TABLA DE CONTENIDO

9.

INTERCAMBIADORES DE CALOR.......................................................................... 204

9.1 Clasificación por tipos de aplicación....................................................................................................205 9.1.1 Calderas ............................................................................................................................................205 9.1.2 Condensadores ..................................................................................................................................206 9.1.3 Intercambiadores de calor de coraza y tubos .......................................................................................207 9.1.4 Torres de enfriamiento.......................................................................................................................208 9.1.5 Regeneradores...................................................................................................................................209 9.2

Clasificación según la relación térmica entre los fluidos .....................................................................210

9.3

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR GLOBAL....................................................214

9.4 INTERCAMBIADORES DE CALOR FORMAS DE ANÁLISIS ......................................................214 9.4.1 Análisis del intercambiador de calor, uso de la LMTD (Diferencia de temperatura media logarítmica.) 216 9.4.2 Intercambiador de calor de flujo paralelo............................................................................................217 9.4.3 Intercambiador de calor en contracorriente.........................................................................................219 3.4.3 Intercambiadores de pasos múltiples y de flujo cruzado..........................................................................222 9.5 ANÁLISIS DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR, MÉTODO DE LA EFICIENCIA NUT...232 9.5.1 Eficiencia ..........................................................................................................................................232 9.6

METODOLOGÍA DEL CÁLCULO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR.............................240

205

Transferencia de Calor

9. INTERCAMBIADORES DE CALOR Se han desarrollado muchos tipos de intercambiadores de calor para ser usados en varios grados de tamaños y de sofisticación tecnológica, como plantas de potencia de vapor, plantas de procesamiento químico, calefacción y acondicionamiento de edificios, refrigeradores domésticos, radiadores de automóviles, radiadores de vehículos espaciales, etc. En los tipos comunes, tales como intercambiadores de coraza y tubos y los radiadores de automóvil, la transferencia de calor se realiza fundamentalmente por conducción y convección desde un fluido caliente a otro frío, que están separados por una pared metálica. En las calderas y los condensadores, es de fundamental importancia la transferencia de calor por ebullición y condensación. En ciertos tipos de intercambiadores de calor, como torres de enfriamiento, el fluido caliente (es decir agua) se enfría mezclándola directamente con el fluido frío (es decir aire) o sea que el agua se enfría por convección y vaporización al pulverizarla o dejarla caer en una corriente (o tiro) inducida de aire. En los radiadores de las aplicaciones espaciales, el calor sobrante, transportado por el líquido refrigerante, es transferido por conducción y convección a la superficie de las aletas y de allí por radiación térmica al espacio vacío. En consecuencia en los diseños térmicos de los intercambiadores de calor es un área donde tiene numerosas aplicaciones los principios de transferencia de calor que se discutieron a través de la materia de transferencia de calor. El diseño real de un intercambiador de calor es un problema mucho mas complicado que el análisis de la transferencia de calor porque en la selección del diseño final juegan un papel muy importante los costos, el peso, el tamaño y las consideraciones económicas. Así por ejemplo, aunque las consideraciones de costos son muy importantes en instalaciones grandes, tales como plantas de fuerza y plantas de tratamiento químico las consideraciones de peso y tamaño constituyen un factor predominante en la selección del diseño en el caso de aplicaciones espaciales y aeronáuticas. En el presente trabajo se pretende resumir los aspectos básicos que se tienen en cuenta para el diseño de diferentes tipos de intercambiadores. La mayoría de los intercambiadores de calor se pueden clasificar en base a la configuración de las trayectorias del fluido a través del intercambiador, la aplicación que se les va a dar o la relación térmica entre los fluidos trabajados. Examinaremos ahora la clasificación de los intercambiadores de calor de acuerdo a estas diferentes consideraciones.

204

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

9.1

Clasificación por tipos de aplicación.

Para caracterizar los intercambiadores de calor en base a su aplicación se utilizan en general términos especiales. Los términos empleados para los principales tipos son calderas (o generadores de vapor), condensadores, intercambiadores de calor de coraza y tubos, torres de enfriamiento, intercambiadores compactos, radiadores para plantas de fuerzas especiales y regeneradores. En seguida se describirán algunos aspectos típicos de estos intercambiadores de calor.

9.1.1

Calderas

Las calderas de vapor son una de las primeras aplicaciones de los intercambiadores de calor. Con frecuencia se emplea el término generadores de vapor para referirse a las calderas en las que la fuente de calor es unas corrientes de un flujo caliente en vez de los productos de la combustión a temperatura elevada. La principal función de la caldera es la de ceder calor a algún fluido de trabajo por medio del aprovechamiento de la energía química de un combustible. Las calderas generalmente se clasifican en calderas piro tubular y calderas acuotubulares, esta clasificación depende de la disposición de los fluidos.

Figura 9-1 Caldera

205

Transferencia de Calor

9.1.1.1 Las calderas pirotubulares Consisten de una serie de tubos que transportan los gases residuales de una combustión que se encuentran a elevada temperatura, estos tubos que se encuentran rodeados de una determinada masa de agua, que al ganar calor de los gases se evapora y se transporta a donde se requiera el vapor de agua para algún trabajo especifico (realizar potencia o hacer limpieza de equipos alimenticios), el tanque que contiene la masa de agua se va llenando continuamente para que mantenga su nivel. 9.1.1.2 Las calderas acuotubulares El fluido de trabajo es transportado a través de tubos, los cuales atraviesan una cámara de combustión esto hace que el fluido dentro de los tubos se evapore (casi siempre se evapora agua pero existen otros procesos que requieren otros fluidos de trabajo) debido a que los gases de la combustión a altas temperaturas rodean la superficie exterior de los tubos y le transfieren calor al fluido de trabajo.

9.1.2

Condensadores

La función principal del condensador es retirar el calor de algún fluido de trabajo y transportar ese calor al ambiente.

Figura 9-2. Condensador

206

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Los tipos principales de condensadores son los condensadores de superficie, los condensadores de chorro y los condensadores evaporativos. El tipo mas común es el condensador de superficie, que tiene la ventaja de que el condensado se recircula a la caldera por medio del sistema de alimentación. La figura 17 muestra una sección a través de un condensador de superficie típico, de dos pasos, de una gran turbina de vapor de una planta de fuerza. Como la presión de vapor a la salida de la turbina se de solo 1 a 2 pulg. De Hg., la densidad es muy pequeña y la tasa de flujo volumétrico es extremadamente alta. Para reducir la perdida de presión al transferir el vapor de la turbina al condensador, normalmente se coloca este ultimo debajo de la turbina y acoplado a ella. El agua de enfriamiento fluye horizontalmente dentro de los tubos en tanto que el vapor fluye verticalmente hacia abajo desde la gran abertura superior pasando transversalmente sobre los tubos. Obsérvese que se puede purgar el aire que existe en las regiones situadas sobre el centro del depósito de agua caliente. Esto es muy importante porque la presencia de un gas no condensable en el vapor reduce el coeficiente de transferencia de calor para la condensación.

9.1.3 Intercambiadores de calor de coraza y tubos Las unidades conocidas con este nombre están compuestas en esencia por tubos de sección circular motados dentro de una coraza cilíndrica con sus ejes paralelos al aire de la coraza. Los intercambiadores de calor liquido – liquido pertenecen en general a este grupo y también en algunos casos los intercambiadores gas a gas son muy adecuados en las aplicaciones en las cuales la relación entre los coeficientes de transferencia de calor de los dos fluidos son del orden de 2 a 3 de tal forma que no hay necesidad de emplear superficies extendidas. En el caso de las aplicaciones gas a gas, la relación de los coeficientes de transferencia de calor de las dos superficies o lados opuestos es generalmente de la orden de 3 a 4 y los valores absolutos son en general menores que los correspondientes a los intercambiadores de calor liquido – liquido en un factor de 10 a 100; por lo tanto se requiere un volumen mucho mayor para la transferir la misma cantidad de calor. Existen muchas variedades de este tipo de intercambiador; las diferencias dependen de la distribución de la configuración de flujo y de los aspectos específicos de la construcción. Un factor muy importante para determinar el número de pasos del flujo por el lado de los tubos es la caída de presión permisible. El haz de tubos esta provisto de deflectores para producir de este modo una distribución uniforme del flujo a través de él. Ver figura 9-3

207

Transferencia de Calor

Figura 9-3 intercambiador de coraza y tubos

9.1.4

Torres de enfriamiento.

Las torres de enfriamiento se han utilizado ampliamente para desechar en la atmósfera el calor proveniente de los procesos industriales en vez de hacerlo en el agua de río, un lago o en el océano. Los tipos más comunes de torres de enfriamiento son por convección natural y por convección forzada. 9.1.1.3

Torre De Enfriamiento Por Convección Natural.

Figura 9-4 Torre de enfriamiento de tiro natural.

208

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

En este tipo de torre el agua se pulveriza directamente en la corriente de aire que se mueve a través de la torre de enfriamiento por convección térmica. Al caer, las gotas de agua se enfrían tanto por convección ordinaria como por evaporación. La plataforma de relleno situada dentro de la torre de enfriamiento reduce la velocidad media de caída de las gotas y por lo tanto aumenta el tiempo de exposición de las gotas a la corriente de aire en la torre. Se han construido grandes torres de enfriamiento del tipo de convección natural de más de 90m de altura para desechar el calor proveniente de las plantas de fuerza. Ver figura 9-4. 9.1.1.4 Torre de enfriamiento por convección forzada. En una torre de enfriamiento de convección forzada se pulveriza el agua en una corriente de aire producida por un ventilador el cual lo hace circular a través de la torre. El ventilador puede estar en la parte superior de la torre aspirando el aire hacia arriba, o puede estar en la base por fuera de la torre obligando al aire que fluya directamente hacia dentro. La figura 20 muestra una sección a través de una torre de enfriamiento de circulación forzada de tiro inducido por un ventilador. Al aumentar la circulación del aire aumenta la capacidad de transferencia de calor de la torre de enfriamiento.

Figura 9-5Torre de enfriamiento de tiro inducido

9.1.5

Regeneradores

En los diversos tipos de intercambiadores que hemos discutido hasta el momento, los fluidos frío y caliente están separados por una pared sólida (exceptuando las torres de enfriamiento) en tanto que un regenerador es un intercambiador en el cual se aplica un tipo de flujo periódico. Es decir, el 209

Transferencia de Calor

mismo espacio es ocupado alternativamente por los gases caliente y frío entre los cuales se intercambia calor. En general los regeneradores se emplean para precalentar el aire de las plantas de fuerza de vapor, de los hornos de hogar abierto de los hornos de fundición o de los altos hornos y además muchas otras aplicaciones que incluyen la producción de oxigeno y la separación de gases a muy bajas temperaturas. Ver figura 21.

Figura 9-6 Regenerador

9.2

Clasificación según la relación térmica entre los fluidos

Los intercambiadores con superficie de separación se pueden clasificar así: Por una única diferencia de temperaturas: De un solo paso: Los fluidos se encuentran térmicamente una vez, por lo que existe un única diferencia de temperatura local. (Ver figura 9-7) Por múltiples diferencias de temperatura:

210

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

De múltiples pasos y de flujo cruzado: Existen múltiples diferencias de temperatura localmente por sección de intercambiador. (Ver tabla 9-1)

Paso simple Paso múltiple Flujos cruzados

Múltiples diferencias de temperatura

Análisis global

Única diferencia de temperaturas

Tabla 9-1 Clasificación de los intercambiadores de calor según las relaciones térmicas entre los fluidos.

211

Transferencia de Calor

Flujo paralelo Flujo contracorriente

Una corriente sin mezclar Ambas corrientes sin mezclar

Dos corrientes en flujo mezclado

Dos corrientes

Una solo corriente

Tabla 9-2 Clasificación según las configuraciones geométricas del flujo

Tabla 9-3 Esquemas de configuraciones geométricas de flujo comunes para intercambiadores de calor Dos corrientes a contra flujo cruzado

Dos corrientes a pasos múltiples

212

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Las más importantes son: Una sola corriente: es un intercambiador en el que cambia sólo la temperatura de un fluido; la dirección del flujo carece de importancia. (Ver figura 23a) Dos corrientes en flujo paralelo: los dos fluidos fluyen en direcciones paralelas y en el mismo sentido. Su forma más simple consta de dos tubos concéntricos. En la práctica, un gran número de tubos se colocan en una coraza para formar lo que se conoce como intercambiador de coraza y tubos. El intercambiador tipo placa consiste en varias placas separadas por juntas y resulta mas adecuado para bajas presiones. (ver figura 23b) Dos corrientes en contracorriente: los fluidos se desplazan en direcciones paralelas perro en sentidos opuestos. Los intercambiadores de coraza y tubos o de placas también son los más comunes. la efectividad de estos es mayor que la de flujos paralelos. ( ver figura 23 c) Dos corrientes en flujo cruzado: las corrientes fluyen en direcciones configuraciones. Una o ambas corrientes pueden estar sin mezclar .tiene una efectividad intermedia entre en intercambiador contracorriente y uno de flujo paralelo, pero su construcción es más sencilla. (Ver figura 23 d) Dos corrientes en contraflujo cruzado: son intercambiadores en donde los tubos pasan varias veces por la coraza. El número de veces que pasa por la coraza se indica con el número de pasos y entre mayor es el número de pasos aumenta su efectividad. (Ver figura 23e)

Flujos paralelos Flujos cruzados

Contracorriente

Una sola corriente (condensador)

Tabla 9-4 Curvas característica de la temperatura de los fluidos para intercambiadores de diferentes configuraciones.

213

Transferencia de Calor

En la tabla 9-4 se muestran las diferentes variaciones de temperaturas que pueden experimentar un fluido al ingresar a un intercambiador de calor.

9.3

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR GLOBAL

Este coeficiente se define en términos de la resistencia térmica total para la transferencia de calor entre dos fluidos:

1 1 1 = + UA U c Ac U h Ah Donde los subíndices h y c denota caliente y frío respectivamente. Reemplazando los valores de Uc y Uh dependiendo de si esta del lado externo o interno tenemos:

ln (r0 / ri ) 1 1 1 = + + UA hi 2Πri 2Πk h0 2Πr0 El cálculo del coeficiente depende de si se basa en el área de la superficie fría o caliente. Si en la superficie se hallan impurezas sus resistencias deben incluirse y por lo tanto la ecuación 21 se modifica de la siguiente manera:

ln (r0 / ri ) 1 1 1 = + + +R impurezas UA hi 2Πri 2Πk h0 2Πr0 Las impurezas encontradas en diferentes materiales se pueden extraer de la tabla 9-5.

9.4

INTERCAMBIADORES DE CALOR FORMAS DE ANÁLISIS

Para analizar intercambiadores de calor, existen dos métodos que se aplican de acuerdo a la relación térmica entre los fluidos: •

El método de la diferencia media logarítmica de temperatura (LMTD siglas en ingles) que consiste en determinar una diferencia media de temperatura entre los fluidos del intercambiador de calor.

•

El método del las eficiencias (relación ε vs. NTU) que consiste en determinar la razón entre la máxima transferencia de calor que puede ocurrir en un intercambiador de calor y la transferencia de calor que ocurre realmente.

214

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Tabla 9-5 Valores recomendados para la resistencia por ensuciamiento en el diseño de intercambiadores de calor RESISTENCIA POR ENSUCIAMIENTO Rf

FLUIDO

[W/m2K]-1 Aceite combustible

0.05

Aceite para transformadores

0.001

Aceites vegetales

0.003

Gasóleo ligero

0.002

Gasóleo pesado

0.003

Asfalto

0.005

Gasolina

0.001

Keroseno

0.001

Soluciones cáusticas

0.002

Líquidos refrigerantes

0.001

Fluido hidráulico

0.001

Sales fundidas

0.0005

Gas de escape de un motor

0.01

Vapor (sin aceite)

0.0005

Vapor (con aceite)

0.001

Vapores refrigerantes

0.002

Aire comprimido

0.002

Gas ácido

0.001

Vapore solventes

0.001

Agua marina

0.0005-0.001

Agua salada

0.001-0.003

Agua de torre de enfriamiento (tratada)

0.001-0.002

Agua de torre de enfriamiento (sin tratar)

0.002-0.005

Agua de río

0.001-0.004

Agua destilada o condensada de un ciclo cerrado

0.0005

Agua tratada de alimentación de calderas

0.0005-0.001

215

Transferencia de Calor

Lo anterior se puede esquematizar en la figura 9-7.

Figura 9-7 Formas de análisis para los intercambiadores de calor según las relaciones térmicas entre los fluidos.

9.4.1 Análisis del intercambiador de calor, uso de la LMTD (Diferencia de temperatura media logarítmica.) Es esencial relacionar en la transferencia de calor las temperaturas de entrada y salida de los fluidos con el U y el área superficial total para transferir el calor. Estas relaciones se pueden obtener haciendo balances de energía globales a cada fluido (figura 26):

216

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Q = mCpC(T1 T2),

para el fluido caliente.

Q = mCpf(t2

para el fluido frío.

t1),

Al producto de la masa con el Cp (m*Cp) se le llamara C de ahora en adelante, modificando las ecuaciones anteriores tenemos: Q = Cc(T1 Q = Cf(t2 Figura 9-8 Volumen de control en el intercambiador de calor

T2), t1),

para el fluido caliente. para el fluido frío.

Se puede obtener otra expresión útil al relacionar la transferencia de calor con la diferencia de temperatura ∆T entre los fluidos, ∆T = Tc – Tf. Sin embargo como ∆T varia con la posición en el intercambiador, es necesario trabajar con la diferencia de temperatura media adecuada.

9.4.2

Intercambiador de calor de flujo paralelo

Se hace un balance de energía para cada fluido, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones (figura 27): •

La única transferencia de calor es entre los dos fluidos.

•

La conducción axial a lo largo de los tubos es insignificante.

•

Los calores específicos se toman constantes.

•

El producto UA es constante.

•

Se trabajan con valores promedios de U y Cp

Figura 9-9 Distribuciones de temperatura para un intercambiador de calor de flujo paralelo

Para un diferencial de área dA tenemos el siguiente balance de energía: ∂q = −Cc∂T ∂q = −Cf∂t

∂T = ∂t =

− ∂q Cc

(1)

−∂q Cf

(2)

δq = U (T t)δA

(3) 217

Transferencia de Calor

Restando las dos primeras ecuaciones anteriores:  1 1 ∂ (T − t ) = − + Cc Cf 

 ∂q 

y reemplazando dq de la ecuación (3):  1 1 ∂ (T − t ) = − + Cc Cf 

 U (T − t )∂A 

reordenando la ecuación anterior  1 ∂ (T − t ) 1 = − + (T − t )  Cc Cf

 U∂A 

e integrando:  1 1   T −t  dA +  = ∫ U  ∫ − d  − T tt C C   F   C T −t Ln 2 2  T1 − t1

  1 1  = −UA +   Cc Cf 

  

Al sustituir Cc y Cf de las ecuaciones del balance de energía global, Cc = (T1 – T2)/q y Cf = (t2 – t1)/q, tenemos : T −t  ((T − t ) − (T1 − t2 )) Ln 2 1  = UA 2 2 Q  T1 − t 2 

Despejando Q: Q = UA

((T2 − t 2 )− (T1 − t1 ))  (T − t )  Ln 2 2   (T1 − t1 ) 

Q = UA×∆TLMTD Por lo tanto el LMTD es la temperatura media adecuada. A menudo no es conveniente suponer que el UA es constante a lo largo del intercambiador, lo que puede deberse a los efectos de entrada (mientras se desarrolla la capa límite) y a variaciones de las propiedades del fluido. Si sólo interesa la región de entrada entonces podemos reemplazar U por un valor medio de U:

218

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

L

Q=UA∆Tlm;

1 U = ∫ Udx L0

Si las variaciones de las propiedades del fluido también son importantes entonces es necesario integrar la ecuación 22 en forma numérica, ya que U, Cc y Cf varían a lo largo del intercambiador.

9.4.3

Intercambiador de calor en contracorriente

Figura 9-10Distribuciones de temperatura para un intercambiador de calor de flujo a contracorriente.

Con el mismo análisis del intercambiador anterior se puede demostrar que la ecuación anterior también se aplica a este caso, pero la diferencia de temperatura en los flujos extremos la hace variar un tanto: Vamos a suponer que el coeficiente global de transferencia de calor u, se toma constante sobre la línea.

((T2 − t2 )− (T1 − t1 ))  (T − t )  Ln 2 2   (T1 − t1 ) 

Como

∆TLMTD =

Entonces:

Q = UA × LMTDcc

Advierta que con las mismas temperaturas de entrada y salida se tiene, LMTDcc>LMTDu Ejemplo 9-1 Efecto de la dirección relativa de los flujos para las mismas temperaturas terminales: Calcular LMTD

219

Transferencia de Calor

Figura 9-11ª) Flujo unidireccional b) Flujo contracorriente

LMTDu =

(T1 − t1 ) − (T2 − t2 ) 80 - 10 (t − T ) − (t2 − T1 ) 40 - 50 = = = 33,66 LMTDcc = 1 2 = 44,5 (T1 − t1 ) (t1 − T2 ) 80 40 ln ln ln ln (T2 − t2 ) (t 2 − T1 ) 10 50

Q U ⋅ LMTDu è LMTDcc>LMTDu è 44.5 > 33.66 (ok) Au =

80 > LMTDu > 10

è 80 > 33.66 > 10

50 > LMTDcc > 40

è 50 > 44.5 > 40

Acc =

Q U ⋅ LMTDcc

Ejemplo 9-2 Efectos de la relación de los productos (m · Cp ) de cada fluido: Para los siguientes datos de contracorriente: Agua è m& w = 5kg / seg

Aceite è m& a = variable

Cpw = 4000 J/kg ºC

Cpa = 2000 J/kg ºC

Tl = 100 ºC

tl = 20 ºC

T2 = 70 ºC

t2 = ?

220

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

1) Q = m& wCpw (100 -70) = m& wCpw .30 (t - 20) m& wCpw 5× 4000 2) Q = m& a Cpa (t2 - 20) Þ 2 = = R= 100 -70 m& a Cpa m& a × 2000

t2 - 20 =

m& wCpw 10 (30)= 30R= 30 m& aCpa m& a

para un Tw = 30 ºC m& a

R

t2-20 t2

5

2

60

80

observaciones Aceite menor mcp 60>30

20

0.5 15

35

0

20

Agua menor mcp 15<30

0

è En un intercambiador el fluido con el producto (m · Cp ) menor, será el m& Cp min que sufra una mayor diferencia de temperatura, por tanto R = m& Cp max

221

Transferencia de Calor

3.4.3 Intercambiadores de pasos múltiples y de flujo cruzado

Figura 9-12 Intercambiador de múltiples pasos

Para ese tipo de intercambiadores se tienen las siguientes suposiciones: 1. La temperatura del fluido en la coraza está a una temperatura isotérmica promedio en cualquier sección transversal. 2. El área de calentamiento en cada paso es igual. 3. El coeficiente total de transferencia de calor es constante. 4. La razón de flujo de cada uno de los fluidos es constante. 5. El calor específico de cada fluido es constante. 6. No hay cambios de fase de evaporación o condensación en una parte del intercambiador. 7. Las perdidas de calor son despreciables. Haciendo un balance de energía para un diferencial (dx) y haciendo un desarrollo similar al que se hizo en el análisis del intercambiador de un solo paso encontramos la siguiente ecuación para el calor Q = UA t = UA(MTD)real

Donde FT =

MTD real = f(R,S) = FT(LMTDcc)

R 2 +1ln [(1 - S)/(1 - RS)]

( 2 - S ( R +1+

) R +1 )

2 - S R+1 - R 2 +1

(R - 1)ln

2

222

; R=

T1 - T2 t2 - t1

; S=

t2 - t1 T1 - t1

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Ejemplo 9-3 Valor relativo de la diferencia de temperaturas (MTD)real de un intercambiador de múltiples pasos en relación a la diferencia media de intercambiadores de paso simple para cuando se tienen las mismas temperaturas terminales. Dado que un intercambiador de paso múltiple se comporta simultáneamente como de flujo unidireccional y de flujo en contracorriente, se espera que el valor numérico de la diferencia media de temperatura este entre el valor máximo determinado por el arreglo en contracorriente y el valor mínimo determinado por el arreglo en flujo unidireccional, asi que es posible relacionar la (MTD) real con la LMTDcc mediante un factor que lógicamente sera menor que 1.

F=

MTDreal LMTDcc

Para el caso particular en donde las temperaturas terminales sean: T1=100 t1= 20

T2=60 t2= 50

Para flujo unidireccional: LMTDu =

(T1 - t1 ) - (T2 - t2 ) (100 - 20 ) - (60 - 50 ) 80 - 10 = = = 33,66 T1 - t1 ) 100 - 20 ) ( ( ln (80/10 ) ln ln (T2 - t2 ) (60 - 50 )

Para flujo contracorriente: LMTDcc =

(T2 - t1 ) - (T1 - t2 ) (60 - 20 ) - (100 - 50 ) 40 - 50 = = = 44,81 T2 - t1 ) 60 - 20 ) ln (40/50 ) ( ( ln ln (T1 - t2 ) (100 - 50 )

Para flujo de pasos múltiples: MTD real = FT(LMTDcc)

R=

100 - 60 50 - 20 = 1,33 ; S = = 0,375 50 - 20 100 - 20

Donde FT =

(1,33)2 +1ln [(1- 0,375)/(1- 1,33×0,375)]

(1,33 - 1)ln

( 2 - 0,375 (1,33+1+

) (1,33) +1 )

2 - 0,375 1,33+1- (1,33)2 +1

223

2

= 0,891

Transferencia de Calor

MTD real = 0,891(44,81) = 39,92 * Como podemos observar para las mismas temperaturas terminales se cumple que LMTDu < MTD real < LMTDcc 33,66 < 39,92 < 44,81 Aunque las condiciones de flujo son mas complicadas que las anteriores, se pueden usar las mismas ecuaciones si se hace la siguiente modificación al LMTD: ∆TLMTD = F×∆TLMTD Donde F es un factor de corrección que se puede determinar de graficas, para varias configuraciones de intercambiadores de calor en función de las temperaturas.(Figura 28)

* *

*

* c) Intercambiador de calor de flujo cruzado donde los dos fluidos están mezclados CARACTERÍSTICAS: 1. El parámetro P tiene un límite para un R dado. 2. En la misma medida P aumenta (R dado) Fn disminuye. 224

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Ejemplo 9-4 m1 = 5 Kg/sg Cp2 = 2000 T1 = 100ºC

m2 = 20Kg/sg Cp1 = 4000 t1 = 20ºC

Buscar el Fn para diferentes valores de T2 R=

T1 - T2 m2Cp2 = =2 t2 - t1 m1Cp1

P=

t 2 - t1 t - 20 = 2 T1 - t1 100 - 20

5× 4000(100 - T2 )= 20× 2000(t2 - 20) t2 =

5× 4000 (100 - T2 )+ 20 20× 2000 T2

t2

P

Fn(1 shell)

Fn(2shell)

90

25

0,0625

0,999

0,999

80

30

0,125

0,98

0,98

50

45

0,3125

0,86

0,975

40

50

0,375

0,5

0,92

Si queremos aumentar t2 entonces, debemos disminuir el R, para lo que se tienen las siguientes opciones: Bajamos m2 → disminuimos R Subimos m1 → disminuimos R 1. Elevar T1

0,375 =

t2 - 20 → t2 = 68,75 150 - 20

Poner un intercambiador de doble paso por el casco. Criterios de selección de intercambiador de calor 1. Para un intercambiador de un casco (1 Shell): no debe haber cruce de temperatura, equivale a decir que Fn ≥ 0,85. 2. Si existe un cruce de temperatura colocamos un intercambiador de 2 Shell.

225

Transferencia de Calor

d) Intercambiador de calor de flujo cruzado de dos pasos por tubos (sin mezclar) y un paso por coraza (mezclado)

Figura 9-13 Factor de corrección según el método LMTD para diferentes intercambiadores

226

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Figura 9-14Factor de corrección según el método de la LMTD para un intercambiador de calor de un paso por coraza y 2, 4,6.... Pasos por tubos.

227

Transferencia de Calor

228

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Ejemplo 9-5 Diseñar un intercambiador de banco de tubos aleteado para enfriar 20.6 kg/sg de aire que se mueve por el exterior desde 80° hasta 60° C con agua a 10° C que se distribuye igualmente por el interior de todos los tubos del banco. El aire tiene una velocidad antes de entrar al banco de 5 m/sg. Características físicas del banco: a) El área frontal es un cuadrado b) El arreglo de los tubos es cuadrado con relación St/de= SL/de= 1.5 c) Los tubos son de de/di = 0.024 / 0.02 mt. d) Los parámetros de relación modular del banco son: Ai/At = 0,1 Afr/Amin = 1,8 Ai/V = 360 m2/m3 Af/At = 0,92 Dh = 0,006 m donde: Ai = Área interior del banco Af =Área de aletas At = Área total externa (Libre + aletas) Afr = Área frontal al aire Amin = Área mínima de flujo para el aire V = Volumen Dh = Diámetro hidráulico para calculo de Re y Nu externos y las siguientes condiciones. 1. La resistencia de la pared de los tubos representa el 12% de la resistencia total al flujo de calor 2. La eficiencia de las aletas se puede tomar como 0,8 3. Si en lugar de enfriar el aire con agua a 10° se utilizara un liquido que se vaporizara a los mismos 10° utilizando el mismo tamaño de intercambiador el aire saldría a 38° en lugar de 60° entrando a los mismos 80° y se determinaría un coeficiente global de transferencia U1, 1.9 veces mas grande que el U del caso con agua. 4. El coeficiente de transferencia de calor (para el aire) es función del número de Reynolds según el siguiente gráfico. Solución:

229

Transferencia de Calor

Para resolver este problema se requiere analizar primero la transferencia de calor del intercambiador de calor con los flujos de aire y vapor y luego con los flujos de aire y agua

Figura 9-15 a) Análisis de intercambiador Aire

Vapor: b)Aire agua

(1) QA−V = m& a c p ∆Ta (2)T a = (80 + 38) / 2 = 59 ⇒ c p = 1007 kJ / kg ⇒ (1) Q = 20.6 ⋅1007(80 − 38) = 871256.4 (3) Q = (UA) A−V ⋅ F ⋅ LMTDCC (4) P =

t2 − t1 10 − 10 = =0 T1 − t1 80 − 10

(5) R =

T1 − T2 80 − 38 = =∞ t2 − t1 10 − 10

⇒ de graficas F = 1 (T − t ) − (T1 − t2 ) (80 − 10) − (38 − 10) 42 (6) LMTDCC = 1 2 = = = 45.838 ln[(T1 − t2 ) /(T1 − t2 )] ln[(80 − 10) /(38 − 10)] ln(70 / 28) ⇒ 45.84 (UA) A−V = 871256 ⇒ (UA) A−V = 19006 (7) (UA) A−V = 1.9(UA) A−W Análisis de intercambiador Aire

Agua (w):

⇒ (UA) A−W = 10003 230

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

(8) Q A−W = 20.6 ⋅ c pA (80 − 60 ) (9)T a = (80 + 60 ) / 2 = 70 ⇒ c p = 1007

(20) Re i =

⇒ (8) Q = 20.6 ⋅ 1007 ( 20) = 414884 (10 ) 414884 = m& w c p w (t 2 − 10 )

(21) he =

4m& w NTF ⋅ NFπ (0.02) µ w

Jeρ w c pwU max

Pr 2 / 3 Je → tabla intercambi adores compactos

(11) Q = 10003 ⋅ F ⋅ LMTD CC t 2 − 10 80 − 10 80 − 60 (13) R = t 2 − 10

(24) A fr = 20.6 /( ρ 80 ⋅ 5)

(14 ) de graficas F

(25) A fr = H 2

(22)U max = 20.6 /( Amin ρ a )

(12 ) P =

(15) LMTD CC =

(23) Amin = A fr / 1.8

(80 − t 2 ) − (50) ln[( 80 − t 2 ) / 50 ]

(26) Re e =

(16 ) (UA) A−W = 1 / RT

(27) NTF = H / S L = H /(1.5 ⋅ 0.024)

R + Re (17 ) RT = Ri + 0.12 RT + Re ⇒ RT = i 123 0.88

(28) Q A−W =

RP

⇒ (16 ) 10003 = (18)η s = 1 −

Af AT

20.6 ⋅ 0.006 Amin µ f

1 [1 /( hi Ai )] + [1 /(η s he AT )]

T S −T w [1 /( hi Ai )] + [0.12 / 10003]

(29) T f = (T s + 70) / 2

(1 − η a ) = 1 − 0.92(1 − 0.8) = 0.816

K (19 ) hi = 0.023 Re 0.8 Pr 0.4 ( Dittus − Boltern ) 0.02

(30) V = A fr L (31) Ai / V = 360 (32) L = NF ⋅ 1.5 ⋅ 0.024

1° Parte (8) (15)

(8) Q

(A)t2

414884

43

414884

42

(12)P

(13)R

(14)F

(15)LMTD

(11) Q

3

0.47

0.61

0.95

43.17

410278

3.1

0.46

0.62

0.95

43.72

415520

(10)w

2° Parte

(24) Afr = 4.11 (25) H = 2.02 (27) NTF = 56.11 (23) Amin = 2.28

56

(A)NF (20)Rei (19)hi (32)L (30)V (31)Ai (28)Tse (29)Tf (26)Ree (T)Je (22)Um (21)he (16)UA 4 10

993.05 359.65 0.144 0.6 397.22 172.79 0.36 1.48

216 533

36.32 35.48

53.16 2792 52.74 3051

231

0.017 8.24 0.017 7.65

175466 721

Transferencia de Calor

9.5 9.5.1

ANÁLISIS DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR, MÉTODO DE LA EFICIENCIA NUT Eficiencia

Para definir la eficiencia de un intercambiador de calor, debemos determinar la transferencia de calor máxima posible q máx, para el intercambiador. Esta transferencia se puede alcanzar en principio en un intercambiador de calor en contraflujo de longitud infinita.(Ver figura 9-16) En tal intercambiador uno de los fluidos obtiene el ∆T máximo posible, (la temperatura de entrada del fluido caliente debe ser igual T1 a la temperatura de salida del fluido frío o viceversa). Para ilustrar este punto, considere una situación en que Cf < Cc, en cuyo caso, de los balances de energía globales a cada fluido Q = Cc( T1 – T2) y Q= Cf(t1 – t2), | dt | > | dT|. El fluido frío experimentaría entonces el cambio de temperatura más grande y como L→ϖ, se calentaría a la temperatura de entrada del fluido caliente(t2 = T1). En consecuencia del balance de energía global al fluido Q = Cc(T1 – T2) obtenemos entonces: Cf < Cc Qmax = Cf ×( T1- t1) De manera similar, si Cf > Cc, el fluido caliente experimentaría el cambio de temperatura más grande y se enfriaría a la temperatura de entrada del fluido frío (T2 = t1), del balance de energía global Q = Cc(T1– T2), obtenemos entonces Cc > Cf Qmax = Cc × ( T1 - t1) A partir de los resultados anteriores podemos escribir la siguiente expresión general Qmax = Cmin × ( T1 - t1) Análisis de intercambiadores por el método de la efectividad ( ε , p ó s) Ahora se puede definir la eficiencia como la razón entre la transferencia real de calor para un intercambiador de calor y la transferencia de calor máxima posible:

232

Figura 9-16 Variaciones de las temperaturas de los fluidos a lo largo de un intercambiador de calor de corrientes paralelas y otro de contracorriente

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Efectividad = ε=

Calor realmente transferido Calor máximo

Qreal Qmáx

Qmax: calor absorbido (ó retirado)del fluido que tenga el mCpmin y el cual sufre la máxima diferencia de temperatura (T1-t1). Para un caso dado el flujo que tiene menor mCp es el que sufre mayor diferencia de temperatura, por lo tanto: QMax. = mCpMin. (T1 − t1 ) Qreal = C ⋅ Cpmin. (t2 − t1 )

ε =

Qreal mCp min (t 2 − t1 ) = Qmax . mCp min (T1 − t1 )

Si el fluido frío es el que posee el mCpmin entonces:

Si el fluido caliente es el que tiene el mCpmin entonces:

ε=

(t2 − t1 ) (T1 − t1 ) ε=

(T1 − T2 ) (T1 − t1 )

Para un intercambiador de flujo paralelo unidireccional en donde el fluido frío es el que tiene menor Cp , encontrar la ecuación de la eficiencia. Q = ε Qmax

;

Definiendo

ε=

Q = UA ⋅ LMTD

(t2 − t1 ) (T1 − t1 )

Cp min . (t 2 − t1 ) = Q = UA =

; R=

mCp min T1 − T2 = mCp max t 2 − t1

(T1 − t1 ) − (T2 − t2 ) Ln

233

T1 − t1 T2 − t 2

Transferencia de Calor

Ln

T1 − t1 UA (T1 − T2 ) + (t2 − t1 ) = T2 − t2 mCpmin t2 − t1

Reagrupando las temperaturas y simplificando tenemos Ln

  T1 − T2  + 1   t 2 − t1

T2 − t 2 UA =− T1 − t1 mCp min

Ln

Entonces:

T2 − t2 UA =− (1 + R ) T1 − t1 mCpMin

−UA

(1+R ) T2 − t2 = e mCpmin T1 − t1

Tomando el término de la izquierda de la numerador restamos y sumamos t1 obtenemos:

ecuación anterior y en el

T2 − t1 + t1 − t2 (T2 − t1 ) − (t2 − t1 ) T2 − t1 = = −ε T1 − t1 T1 − t1 T1 − t1 Despejando T2 en función de R:

T2 = T1 − R(t2 − t1 ) La ecuación (A) quedaría:

T1 − R(t2 − t1 ) − t1 = −ε = 1 − R ∗ ε − ε T1 − t1 Despejando la efectividad:

ε (1 + R ) = 1 − e

ε =

1− e

−

−

UA mCp Min

(1+ R )

UA (1+ R ) mCp Min

1+ R

UA Si definimos: NTU = mCpMin

1 − e − NTU (1+ R ) entonces, ε = 1+ R

234

(A)

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Los calores en cada fluido quedan: Q frío = Qcaliente m2Cp2 (t2 − t1 ) = m1Cp1 (T1 − T2 )

Donde:

R=

m2Cp2 T1 − T2 = m1Cp1 t2 − t1

Qreal: mCp/ ∆ T → si mCp min (T1 − T2 ) T1 − T2 ε = = mCp min (T1 − t1 ) T1 − t1

el

→

si

ε =

mCp min (t 2 − t1 ) t 2 − t1 = mCp min (T1 − t1 ) T1 − t1

mCpmin

el

es

mCpmin

el

es

caliente

el

frío

Relación de capacidades calóricas:

R=

mCpmin mCpmax

mCpcal t −t = 2 1 Cuando el fluido caliente es el mismo → R = mCp frio T1 − T2    Cuando el fluido frío sea el mínimo → R = mCp frio = T1 − T2  mCpcal t2 − t1

9.1.1.5 Número de unidades de transferencia de calor NTU El número de unidades de transferencia de calor NTU es un parámetro adimensional que se usa ampliamente para el análisis de un intercambiador de calor y se define como, queda demostrado que ε es función del NTU y del R Si definimos: NTU =

UA mCp min

entonces, ε =

1 − e − NTU (1+ R ) 1+ R

Los calores en cada fluido quedan: Q frío = Qcaliente m2Cp2 (t2 − t1 ) = m1Cp1 (T1 − T2 )

Donde:

R=

m2Cp2 T1 − T2 = m1Cp1 t2 − t1

235

Transferencia de Calor

Cuando tenemos área infinita en un intercambiador, el NUT se hace infinito, por lo que en un intercambiador de flujo paralelo la efectividad tiende a cero Para cualquier intercambiador se puede demostrar que ε = f(NTU,Cmin/C max) donde estas relaciones, ε vs. NTU se pueden encontrar en gráficas o en las tablas (ver tabla 9-6) Tabla 9-6

CASO Intercambiador de paso simple unidireccional

Formulas analíticas

GRAFICA DE EFECTIVIDAD

mCpmin = frio R=

T1 − T2 t2 − t1

Ntu =

; ε=

t2 − t1 T1 − t1

Asíntota

1 R= 0

0,5

UA & min mCp

ε lim ite → A

R=1

NTU

mCpmin = caliente R=

t1 − ti T1 − T2

Ntu = Intercambiador de paso simple y contracorriente

Análisis

; ε=

T1 − T2 T1 − t1

ε=

− NTU (1− R )

1− e 1 − R ⋅ e− NTU (1− R )

NTU → ∞ ε lim ite =

1 1+ R

UA & min mCp

mCpmin = frio R=

T1 − T2 t2 − t1

; ε=

t2 − t1 T1 − t1

1

ε =

UA Ntu = & min mCp El análisis para este caso se realiza igual al caso unidireccional

236

1 − e −∞ 1 − R ∗ e − NTU (1− R )

ε LIMITE = 1

ε=

1 − e− NTU (1− R) 1 − R ⋅ e− NTU (1− R )

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Tabla 9-7 Relaciones de eficiencia de un intercambiador de calor R = C mínimo /C máximo

Arreglo de flujo

Relación Tubos concéntricos ε=

Flujo paralelo

ε=

1 − exp(− NUT (1 + R )) 1+ R

1 − exp[− NUT (1 − R )] 1 − R * exp(− NUT (1 − R )) ;

R<1

Contraflujo

ε =

NUT 1 + NUT ;

R=1

Coraza y tubos

  − NUT (1 + R 2 )1/ 2   1 exp + 1/ 2 Un paso por la coraza(2,4,...     ε 1 = 2 1 + R + (1 + R 2 )  1/ 2 pasos de tubos) 1 − exp  − NUT (1 + R 2 )        N pasos por la coraza (2n,4n,.. pasos por la coraza)

 1 − ε1R  n   1 − ε1R  n  ε =   − 1   − R   1 − ε1    1 − ε1 

−1

Flujo cruzado (un solo paso) Ambos fluidos sin mezclar Cmáx (mezclado)

{ [

ε=

Cmín (sin mezclar) Cmín (mezclado)

] }

 1   0.78 ε = 1 − exp   NUT 0.22 exp − R (− NUT ) − 1   R   1 (1 − exp{− R [1 − exp (NUT )]}) R

(

)

ε = 1 − exp − R −1 {1 − exp[− R(NUT )]}

Cmáx (sin mezclar) Todos los

ε = 1 − exp (− NUT )

intercambiadores n (Cr=0)

237

−1

Transferencia de Calor

Tabla 9-8 Relaciones del NUT de un intercambiador de calor

Arreglo de flujo

Relación Tubos concéntricos

NUT =

Flujo paralelo

NUT =

− ln{1 − ε(1 + R )} 1+ R

1  ε −1  ln   R −1  ε * R −1 ;

R<1

Contraflujo

NUT =

ε ε −1 ;

R=1

Coraza y tubos

(

NUT = − 1 + R 2 Un paso por la coraza(2,4,... pasos de tubos)

)

−1 / 2

 E − 1 ln   E + 1

2 / ε1 − (1 + R )

E=

(1 + R )

2 1/ 2

Use las ecuaciones del intercambiador anterior con

ε1 =

N pasos por la coraza (2n,4n,.. pasos por la coraza)

F −1 F −R

 ε R −1  F =   ε −1  Flujo cruzado (un solo paso) Cmáx (mezclado)

 1  NUT = − ln 1 + ln (1 − ε R )  R 

Cmín (sin mezclar) Cmín (mezclado)

NUT = −

Cmáx (sin mezclar) Todos los intercambiadores con Cr=0

1 ln  R (ln (1 − ε R )) R 

NUT = − ln(1 − ε )

238

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

239

Transferencia de Calor

9.6

METODOLOGÍA DEL CÁLCULO INTERCAMBIADOR DE CALOR

DE

UN

Se han analizado dos métodos para realizar un análisis en un intercambiador de calor el método del LMTD y el método de la eficiencia, ambos métodos se pueden usar y se obtendrán resultados equivalentes, pero dependiendo de lo que se conoce y lo que se desea hallar un método puede resultar más efectivo que el otro. El método LMTD se facilita con el conocimiento de las temperaturas de entrada y salida de los fluidos calientes y fríos, pues el LMTD se puede calcular fácilmente, es decir si se conocen las temperaturas, el problema consiste en diseñar el intercambiador de calor (número de tubos por fila o números de filas por tubos, material de los tubos, etc.). Normalmente se tiene las temperaturas de entrada y salida del fluido y su velocidad con lo que solo queda seleccionar un tipo de intercambiador apropiado, es decir determinar el área superficial de transferencia de calor. De manera alternativa se puede conocer el tipo de intercambiador y el tamaño mientras el objetivo es determinar la transferencia de calor y la temperatura de salida del fluido para la circulación del fluido y temperatura de entrada establecidas. Con esto podemos calcular el rendimiento de un intercambiador, pero los cálculos serían muy tediosos y requerirían iteración. La naturaleza iterativa de la solución anterior se podría eliminar usando el método Nut. A partir del conocimiento del tipo de intercambiador y del tamaño y las velocidades del flujo, los valores del Nut y de Cmin/Cmax se podrían calcular y ε se podría determinar entonces de la tabla o ecuación apropiada. Como qmax también se puede calcular es fácil calcular la transferencia real de calor a partir del requisito que q = ε*qmax y ambas temperaturas de salida del fluido se pueden determinar.

240

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

TABLA DE CORRELACIONES PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR EXTERNO EN BANCO DE TUBOS Tabla 9-9para determinar el coeficiente de transferencia de calor dentro de un ducto se pueden usar cualquiera de las siguientes correlaciones:

TUBOS LISOS FLUJO TURBULENTO FORMULA

CONDICIÓN

f =(0.79*ln(ReD)-1.64)

-2

NuD = 0.023ReD0.8*Prn

NUD

5

10 < ReD < 5*10

ReD > 2600

f )(R − 1000 )P ( 8 = 1 + 12.7(f )  P − 1 8   EB

4

OBSERVACIONES Si f no se encuentra dentro del rango de ReD, f se determina del diagrama de Moody n = 0.4 para calentamiento n = 0.3 para enfriamiento.

r

1

2

2

3

3000 < ReD < 106

r

TUBOS RUGOSOS FLUJO TURBULENTO

   f = − 2 Log  e r − 5.02 R Log  e r + 13 R   − 2 ; * 7 . 4 * 7 . 4 eD eD       ReR = ReD*e/De*(f/8)0.5; ReR es el Reynolds rugoso 0 < ReR < 5 flujo hidrodinámicamente liso 0 < ReR < 60 flujo rugoso en transición 60 < flujo totalmente rugoso

St =

f 8

0.5 0.5 2   0.9 +  f 8  0.55 Re R h e   Pr 3 − 1 + 1.85        

;

ha se determina de la tabla 4.8 Pág. 350 del libro Mills

Para un flujo a través de un tubo de cualquier forma se trabaja con las formulas anteriores bajo las mismas condiciones pero el Reynolds se evalúa con el diámetro hidráulico. Dhid = 4×A/P 4π

4(

De2 − Di 2 )

π ( De + Di )

Siendo A el área de la sección transversal y P el perímetro mojado por el fluido.

241

Transferencia de Calor

Tabla 9-10Para determinar el valor del coeficiente de transferencia de calor externo en un flujo transversal a un cilindro se pueden usar cualquiera de las siguientes formulas:

FORMULAS

NuD = C*ReDm*Pr1/3

CONDICIONES

OBSERVACIONES

0.4 < ReD < 4*105 Pr>0.7

Se obtiene errores de hasta un 20% las propiedades son evaluadas a Tf los valores de Con y m se toman de la tabla 7.2 de la Incropera

1 < ReD < 106 NuD = C*ReDmPrn(Pr/Prs)1/4 0.7 < Pr < 500

las propiedades se evalúan a la temperatura media del fluido Prs se evalúa a la temperatura de superficie F=1

Para 2 1   3  0, 62 ( RED ) Pr  F   = 0.3 + 1

NUD

  0, 4  1 +   Pr   

2

3

  

1

4

ReD < 104 2*104 < ReD < 4*105

(

F = 1 + Re d

) 282000

1

  Re d  5 8   F = 1 +    282000    

4*104 < ReD < 5*106 Nud = (0.8237 ln(RePr)1/2)-1

RePr < 0.2

para flujos con un Reynolds bajo

Para determinar el valor del coeficiente global de transferencia de calor en un flujo transversal externo en tubos de diferentes formas (triangular, hexagonal, cuadrado, etc) se determina con la siguiente relación: Nud=C*RenPr1/4, los coeficientes Con y n se obtienen de la tabla 6-3 del libro de Hollman o la tabla 7.3 de la Incropera. El ReD es evaluado con el diámetro característico D encontrado en las tablas anteriormente nombradas. ReD = V*D/ν En un banco de tubos el ReD se determina con el área mínima, ya que aquí se presentara la velocidad máxima de flujo, para tal efecto se tiene la siguiente relación: 242

2

4

5

Capitulo 9 Intercambiadores de Calor

Vmax

    St  St  2 , = V∞ max  ; 1  St − D  Sl 2 + St 2  2 − D     2  

( )

FORMULA

ReDmax = VmaxD/ν

OBSERVACIONES Para determinar el Nud1fila se utilizan las correlaciones para el Nud en un flujo externo a un cilindro.

Nu+10filas = ΦNu1fila

PL=SL/De , PT=St/De Ψ = 1-π/(4PT) si PL≤10 Ψ = 1-π/(4PTPL) si PL≥10

SL es la distancia longitudinalmente.

entre

tubos

ST es la distancia transversalmente.

entre

tubos

D es el diámetro externo del tubo.

Φ alineado = 1 +

 Sl − 0.3  0.7  St  2 1.5  Ψ Sl + 0.7   St 

(

Φ alternado Nud <10 filas =

)

2 = 1+ 3Pt

1 + (N − 1)Φ Nud 1 fila N

Φalineado es el factor para un arreglo de tubos alineados Φalternado es el factor para un arreglo de tubos alternado

Nud<10filas se utiliza cuado el banco de tubos tiene menos de 10 filas.

Nud>10filas = CReDnPr1/3

n y Con se evalúan de la tabla 6-4 Pág. 283 del libro de Holman

Nud<10filas=C2Nud>10filas

C2 se evalúa de la tabla 6-5 Pág. 284 de la Holman

243

9

Capitulo 2 Transferencia de Calor por conducción

Capítulo

TRANSFERENCIA DE CALOR

Notas de Clase

Problemas

Capítulo 9 problemas de Aplicación

Problema 1 Aun precalentador de aire llegan 16 kg/seg de gases a 500°C y 15 kg/seg de aire a 30°C. El precalentador tiene un área de 400m2 y un coeficiente de transferencia de calor global de 1000W/m2 °C. Después del precalentador los gases pasan a un economizador en donde por dentro de sus tubos pasa agua a 20°C a una rata de 8 kg/seg. Los tubos se encuentran doblados en forma de serpentín de tal forma que quedan 14 filas, tienen un diámetro externo de 2”, un espesor de 0.05” y un largo de 2 m. El economizador tiene 6 tubos por filas, un arreglo de 45° y Ltpd =1.2Dext Hallar el número de filas adicionales que se deben colocar para que se extraiga el 50% más de calor del gas en el economizador. Tomar las propiedades del gas como 1.2 las propiedades del aire a la temperatura correspondiente.

245

Transferencia de Calor

Correlación Correlación Correlación de Variable de Churchill y de Bernstein Grimson Zhukauskas

PROCEDIMIENTO

PRECALENTADOR Asumo Tg2

Tg2

427

427

427

Con Tg2 hallo Cpg

Cpg

1306

1306

1306

Q

1.525*106

1.525*106

1.525*106

Cpa

1009

1009

1009

Ta2

130.8

130.8

130.8

Ta

80.4

80.4

80.4

Cpa

1009

1009

1009

LMTDcc

382.3

382.3

382.3

P

0.155

0.155

0.155

Z

1.381

1.381

1.381

F

1

1

1

Q

1532*106

1532*106

1532*106

Haciendo balance e energía al gas en el precalentador tenemos

16. Cpg. ( 500

Q

Tg2 )

Suponemos Cpa Del balace de energía para el aire en el precalentador tenemos

Q 15. Cpa

Ta2 Ta

Ta2

30 30

2

Con Ta vuelvo a calcular Cpa, hasta que este no cambie

Calculamos la LMTDcc

( 500

LMTDcc

Ta2 ) ( Tg2 500 Ta2 ln Tg2 30

30 )

Hallamos los valores de P y Z

P

Tg2 500 470 Cpg. 16 Z Cpa. 15

F es encontrado en gráficas con los valores de P yZ Se recalcula el calor transferido con la ecuación de la LMTD y se corrobora con el que se obtuvo anteriormente

Q

UA. LMTDcc . F

246

Capítulo 9 problemas de Aplicación

ECONOMIZADOR Asumimos Tg3

Tg3

354

367.55

378

Tg

390.5

397.15

404

Cpg2(Tg)

Cpg2

1278

1281

1282

Haciendo balance de energía para el gas en el economizador tenemos

Q2

1.186*106

1.218*106

1005*106

Cpw

4179

4179

4178

Tw2

64.65

56.4

50

Tw

42.3

38.2

35

Cpw

4179

4179

4178

Prw

4.16

4.252

4.252

µw(Tw)

µw

631*106

682*106

682*106

Kw(Tw)

Kw

0.634

0.63

0.63

Rei

5.75*104

51580

51580

f

0.02

0.021

0.021

Hallamos la temperatura media del gas en el economizador

Tg

Tg2

Tg3 2

16. Cpg2. ( Tg2

Q2

Tg3 )

Suponemos Cpw Con el balance de energía al agua en el

Q2 8. Cpw

Tw2 economizador tenemos

20

Hallamos la temperatura media del agua

Tw

Tw2 20 2

Con Tw vuelvo a calcular Cpw, hasta que este no cambie Con Tw buscamos las propiedades del agua Prw(Tw)

Con las propiedades del agua hallamos el Reynolds interno

Rei

f

8. 4 π. 1.9 . 0.0254 . 6. µw

( 0.79 . ln( Rei)

1.64 )

2

247

Transferencia de Calor

Hallamos el Nud interno dependiendo del valor del Rei

f. ( Rei 8

Nudi

1000 ) . Prw 1

12.7 .

1

f 8

2

288.345

272.583

272.583

Hi

5223

4906

4906

Ts

60

60

50

2

. Prw 3

1

Kw Nudi. 0.035

Hi

Nudi

Asumimos Ts Hallamos la temperatura fílmica

Ts

Tg

Las propiedades se evaluan a Tg

Tf

229

228.6

Prg

0.8208

0.8208

0.828

Kg(Tf)

Kg

0.04884

0.04884

0.616

µ g(Tf)

µg

324*10-7

324*10-7

398*10-7

Ree

22840

22840

18590

Nud1

100.3

Tf

2

Con Tf buscamos las propiedades del gas Prg(Tf)

Con las propiedades calculamos el Reynolds externo

Ree

0.74 µg

y con este hallamos el Nud externo con las diferentes relaciones CORRELACIÓN DE CHURCHILL Y BERNSTEIN

Nud1

0.3

1 0.62. Ree0.5. Prg3

1

1 2 4 0.4 3

. 1

Ree

0.

282000

Prg

Φ=1+2/3Pt

Φ

248

1.38

Capítulo 9 problemas de Aplicación

Φ. Nud1

Nudg

Nudg

Correlación de Grimson C(St/d, Sl/d) en tablas n(St/d, Sl/d) en tablas

138.4

C

0.495

n

0.571

Nudg

142

1

Nudg

n 3 C. Ree . Prg

Correlación de Zhukauskas C(Ree, alernados St/Sl>2) en tablas m(Ree, alernados St/Sl>2)en tablas

C

0.6

m

0.4

Nudg

91.6

1

Nudg

He

m 0.36 Prg C. Ree . Prg . Prgs

4

Kg Nudg. 0.0508

He

133.1

137.332

111

RP

9.66*10-6

9.66*10-6

9.66*10-6

Ts

58.27

58.89

53.16

UA2

3310

3410

2786

Hallamos la resistencia de la pared

2 1.9 2. π. K. 2. NTF . NF ln

RP

Evaluando globalmente la temperatura superficial con el balance de energía para los tubos tenemos

Tg. Ts

1 Hi. 25.33 1 Hi. 25.33

RP RP

1 He. 26.38 1 He. 26.38

Tw .

y corroboramos con el valor asumido antes Hallamos el coeficiente global de transferencia de calor para el economizador

UA2

1 1 He. 26.38

RP

1 Hi. 25.33

249

Transferencia de Calor

Calculamos la LMTDcc

LMTDcc

( 425

Tw2 ) ( Tg3 425 Tw2 ln Tg3 20

20 )

LMTDcc

359

359.165

366.6

P

0.088

0.088

0.082

Z

1.381

1.381

1.381

F

1

1

1

Q2

1.189*106

1.218*106

1021*106

Q3

1.783*106

1.828*106

1.531*106

Tg4

340

337.5

351

Tw3

73.3

74.7

65

LMTD

335.4

333.6

345

P

0.03

0.155

0.08

Calculamos Py Z

Tw2 20 425 20 Cpw. 8 Z Cpg. 16

P

El factor de corrección F se encuentra en gráficas, con los valores de P y Z Hallamos el valor del calor transferido en el economizador y lo corroboramos con el obtenido anteriormente

UA2. LMTDcc . F

Q2

Para hallar el nuevo calor Q3=Q2*1.5 Con el balance de energía al gas en el economizador

Tg4

425

Q3 16. Cpg

Con el balance de energía al agua en el

Tw3 economizador

Q3 8. Cpw

20

Hallamos la LMTD

LMTD

( 425

P

Tw3 ) ( Tg4 425 Tw3 ln Tg4 20

20 )

Tw3 Tw2 Tg3 Tw2

250

Capítulo 9 problemas de Aplicación

Z

Cpg. 16 Cpw. 8

Z

0.625

0.625

0.625

F

1

1

1

UA

5317

5478

4343

NF

41

39

41

Ts

70

70

70

Tg

354

352.5

364

Tf

202

211.25

215

Kg

0.0468

0.0468

0.0468

µg(Tf)

µg

312.*10-6

321*10-6

321*10-6

Prg(Tf)

Prg

0.685

0.685

0.685

Ree

7804

7441

6353

F(P,Z) Hallamos el coeficiente de transferencia de calor global con la ecuación del LMTD

UA

Q3 LMTD . F

Asumimos el número de tubos por fila NF suponemos Ts para hallar la nueva temperatura fílmica Hallamos la temperatura media del gas

Tg3

Tg

Tg4 2

Tf

Ts

Tg 2

Con Tf hallamos las propiedades del gas Kg(Tf)

Con las propiedades del gas hallamos el Reynolds externo

Ree

( 0.09

16 . 2. 0.0254 2. 0.0254 ) . 2. NF µg

Y con esto hallamos el Nud externo con cada correlación

251

Transferencia de Calor

Correlación de Churchill y Bernstein

1

Nud1

0.3

0.62 . Ree

0.5.

Prg 1

2

1

Nudg

0.4 Prg

3

. 1

Ree 282000

0.5 53.37 Nud1

4

3

Φ. Nud1

Nudg

Correlación de Hilpert C(st/d, Sl/d) de tablas n(st/d, Sl/d) de tablas

73.7

C

0.495

n

0.571

Nudg

75.3

1

Nudg

n 3 C. Ree . Prg

Correlación de Zhukauskas

C

0.446

m(st/d, Sl/d) de tablas

m

0.571

Prgs(Ts)

Prgs

0.84

Nudg

48

C(st/d, Sl/d) de tablas

1

Nudg

m 0.36 Prg C. Ree . Prg . Prgs

He

4

Kg Nudg. 0.0508

He

70.8

72.38

58

RP

4.15*10-7

3.955*10-7

4148*10-7

Tw

64.8

65.55

µw(Tw)

µw

439*10-6

439*10-6

439*10-6

Kw(Tw)

Kw

0.657

0.657

0.657

Prw(Tw)

Prw

2.792

2.792

2.792

Hallamos la resistencia de la pared

2 1.9 2. π. 40. 2. 6. NF ln

RP

Hallamos la temperatura media del agua

Tw

Tw3

Tw2

57

2

252

Capítulo 9 problemas de Aplicación

8. 4 π. 1.9 . 0.0254 . 6. µw

Rei

f

( 0.79 . ln( Rei)

1.64 )

2

Rei

80130

80130

80130

f

0.019

0.019

0.019

Nudi

324.4

324.4

324.4

Hi

4416

4416

4416

Hallamos el Nud interno

f. ( Rei 8

Nudi

1000 ) . Prw 1

1 Hi

12.7 .

f 8

Nudi.

2

2

. Prw 3

1

Kw 0.04826

Evaluando globalmente la temperatura superficial de los tubos Tg . Ts

1 . ) . NF Hi. ( π . 1.9. 0.02546 1 . ) . NF Hi. ( π . 1.9. 0.02546

RP RP

Tw.

1 . . 6 ) . NF He. ( π . 0.05082 1

. . 6 ) . NF He. ( π . 0.05082

Y con este corroboramos el valor asumido anteriormente Ts

74

75.4

66

Hallamos el número de filas de la ecuación del UA con las resistencias térmicas totales ln NF

1 . .6) He. ( π . 0.05082

1 . ) Hi. ( π . 1.9. 0.02546

2

1.9 . UA 2. π . 40. 2. 6

Y corroboramos con el valor supuesto NF

40.6

38.8

40.8

Los valores en rojo son han sido asumidos para comenzar a iterar, los que están en verde son los que se han supuesto e inmediatamente obtenidos y los valores en azul son los valores con los que se corrobora la iteración, es decir aquellos valores que deben ser iguales para obtener el resultado final.

253

Transferencia de Calor

Problema 2 Se tiene un banco de tubos alineados con St/Dext= 1.5 en donde entran 10 kg de aire a 560°C y sale a 400°C y una cantidad de aire esta recirculando por el banco de tubos. Los tubos tienen un diámetro externo de 0.04 m y un diámetro interno de 0.035 m, longitud de 2 m y un K de 40 W/m°C, pueden soportar una temperatura máxima de 390°C, en el interior fluye 6 kg/seg de agua que se reparte uniformemente en cada tubo y tiene una temperatura de 40°C. Hallar la fracción de aire que recircula y el número de tubos por fila que hay.

254

Transferencia de Calor

CORRELACIÓN ROCEDIMIENTO

VARIABLES

DE CHURCHILL Y BRESTEIN

Asumimos Tw2

CORRELACIÓN CORRELLACIÓN DE

DE

GRIMSON

ZHUKAUSKAS

Tw2

82

79

80

Twprom

61

59.5

61

Cpw(Tw)

Cpw

4186

4186

4186

Con el balance de energía total al agua en los tubos tenemos Q 6. Cpw. ( Tw2 40)

Q

1055*106

8539*106

1005*106

Kw(Tw)

Kw

0.68

0.68

0.68

Cpw(Tw)

Cpw

4186

4186

4186

Prw(Tw)

Prw

2.88

2.88

2.88

µw(Tw)

µw

4.53*10-4

4.53*10-4

4.53*10-4

Suponemos Cpa (Ta1)

Cpa

1075

1075

1075

Ta1

402.2

402

402.2

Cpa

1075

1075

1075

Ta

401

401

401

Cpag

4187

4187

4187

µa(Ta)

µa

322*10-7

322*10-7

322*10-7

Ka(Ta)

Ka

0.495

0.495

0.495

Pra(Ta)

Pra

0.65

0.65

0.65

Hallamos la temperatura promedio del agua Twprom

40

Tw2 2

Con Tw buscamos las propiedades del agua

Combinando las ecuaciones de balance de energía para el gas en el Intercambiador y el balance de energía en la cámara de mezcla, eliminamos F (siendo F =masa de recirculación/ masa de aire que entra) y obtenemos Ta1

400. Cpa . 10. ( 1106.26. 560 400. 1057.71) 400. 1057.71. Q . 10. Cpa. ( 1106.26560 400. 1057.71) Q. Cpag

Hallamos el Cpa del aire a la temperatura de entrada y corroboramos con el que supusimos antes Cpa (Ta1) Hallamos la temperatura promedio del aire Ta

Ta1

400 2

Con la temperatura de entrada de los gases Cpag(Tag) Con la temperatura promedio del aire

255

Capitulo 9 Problemas deAplicación

Haciendo balance de energía a todo el aire que pasa por el banco de tubos ( 1096. 560) ( Ta1. Cpag ) F ( Cpag . Ta1 ) ( 400. 1057.71)

F

41.25

44.7

43.5

NTF

51.5

51

51.5

RP

6.477*10-7

6.46*10-7

6.448*10-7

REi

1169

1172

1169

f

0.064

0.064

0.064

Nudi

1.81

1.836

1.813

Hi

35.2

35.7

35.2

Ai

90.6

90.4

90.6

LMTD

339.6

341

340.5

Ae

103

103.3

103

UA

3106

2872

2950

siendo F =masa de recirculación/ masa de aire que entra Asumiendo NTF Hallamos la resistencia de la pared 0.04

ln

0.035 2. π . 40. 2. 8. NTF

RP

Hallamos el Reynolds interno 6

REi π.

. 0.035

2

0.035 . . 8 NTF . µw 4

( 0.79. ln( REi)

f

1.64)

2

Hallamos el Nud interno f.

( REi 1000) . Prw

8

Nudi

1 2

f 12.7. 8

1

Nudi.

Hi

2

. Prw3

1

Kw 0.035

Calculamos el área interna π . 0.035. 8. 2. NTF

Ai

Hallamos la LMTD LMTD

( 400 Tw2) ln

( Ta1

40)

400 Tw2 Ta1

40

Calculamos el área externa Ae

π . 0.04. 2. 8. NTF

Hallamos el UA con la LMTD UA

Q LMTD

Con las propiedades del aire y el numero de tubos por fila supuestos

256

Transferencia de Calor

hallamos el RE externo 10. ( 1 F ) . 0.04 REe NTF. 0.02. µa

REe

50880

Nud1

701

ψ

0.476

Φ

1.516

NudA

1017

55110

53630

y con él calculamos los Nud externos con cada correlación Correlación de Churchill y Berstein 4 1

Nud1

0.3

5

0.5 3 0.62. REe . Pra . 1 1 2

8

282000

4

3

0.4

1

REe

5

Pra

ψ Φ

π 4. 1.5

1 1

1

1.5 .

ψ

1

NudA

0.3

(1

. 0.7

0.7)

7. Φ .

2

Nud1

8

Correlación de Grimson C(St/d, Sl/d)

C

0.386

n(St/d, Sl/d)

n

0.592

NudA

852

1 n 3 C. REe . Pra

NudA

Correlación de Zhukauskas C( alineado, Ree)

C

0.27

m ( alineado, Ree)

m

0.63

Pras(Ts)

Prs

0.84

NudA

931

1

NudA

m 0.36 Pra C. REe . Pra . Pras

He

NudA .

4

Ka 0.04

Hallamos el coeficiente de transferencia de calor global con las resistencias totales 1 UA 1 1 RP . He Ae Hi. Ai y corroboramos con el hallado anteriormente

257

He

1264

1062

1157

UA

3106

3128

3135

Capitulo 9 Problemas deAplicación

Se halla el Nud externo de la primera fila de tubos 4 1

Nud1

0.3

0.5 3 0.62. REe . Pra . 1 1 2

1

0.4

5

REe

5

8

282000

Nud1

701

747

747.3

Tw2

86.6

79.55

79.37

4

3

Pra

Con la evaluación de la temperatura superficial en el lugar donde alcanzará la mayor temperatura (a la salida de los tubos de la primera fila) ( Ta1 Tw2

390) . Nud1.

Ka 0.04

390 Hi

Los valores en rojo son han sido asumidos para comenzar a iterar y los valores en azul son los valores con los que se corrobora la iteración , es decir aquellos valores que deben ser iguales para obtener el resultado final.

258

Transferencia de Calor

Problema 3 ¿Qué ancho debe tener un intercambiador de aletas en donde se enfría aire de 30°C a 10°C a una rata de 5kg/seg si por dentro de los tubos pasa Refrigerante R134A a 10°C y con un coeficiente de transferencia de calor de 600 W/m2°C?. La velocidad del aire a la entrada del intercambiador es de 6 m/seg.

Características geométricas modulares del equipo Ai/At=0.1 Afrontal/Amínima=1.87 Ai/V=400 m2/m3 Condiciones La resistencia de la pared es el 12% de la resistencia total La eficiencia de la aleta es 80 % El diámetro equivalente es 0.004m Con las temperaturas de entrada y salida del aire y la temperatura del refrigerante podemos calcular la eficiencia:

ε

Ta1 Ta2 Ta1 TR134

ε = 0.5

Como podemos considerar el intercambiador como un evaporador, el Cmín/Cmáx es igual a cero y tenemos entonces la siguiente relación para NUT(ε,0):

NUT

ln( 1

ε)

NUT = 0.693

259

Capitulo 9 Problemas deAplicación

Teniendo en cuenta que el fluido con el Cmín es el aire (Cpa=1011.3):

UA

NUT. ma. Cpa

UA= 3504 RT

y UA = 1/RT donde

RT

1

1

Hi. Ai

UA

1

1

Hi. Ai

He. At. ηs

RP

. 1

He. At. ηs 0.88

ηs

0.88 1

1

Hi. Ai

He. At. ηs

Ecuación A

Ai

1

Af. (1 At

ηa )

0.1. At

Ai + Af =At Af = 0.9At

ηs=0.82

Para hallar He debemos usar la gráfica J vs Remáx

REmax

Amín

ma. Dequiv Amín. µa

Af =ma / ρa* u =0.888 m

Af 1.87

Amín =0.475m2 µa =218.94*10-7 Re máx = 1992 Con Remáx hallo J de las gráficas que dependen del tipo de intercambiador (la disposición y tipo de las aletas –se pueden encontrar en la Incropera, Mills, Holman)

260

Transferencia de Calor

J = 0.008

con J = 0.008 tenemos: St

J 2

Pr

3

St = 0.01 = He/(u*Cpa*ρa) He=57.5 W/m2°C Entonces despejando de la ecuación de UA, Ai: Ai= 15.1 m2 V = Ai/400 = 15.1/400 = 0.038m3

L = V/ Af = 0.038/0.888 = 0.043 m

261

Capitulo 9 Problemas deAplicación

Problema 4 Del sistema mostrado en la figura calcular la longitud del primer intercambiador, al área de transferencia de calor en el banco de tubos y el flujo másico que circula en el sistema. Sabiendo que el intercambiador consume el 50% de la carga

Contenedor Tw2 20° Leche

Tw1

Intercambiador

1Kg/s Banco de

0.05

Tas Tubos

K=40w/m2K Tw=82 Tmax = 115 0.06 0.08

Tomar las propiedades de la leche como las propiedades del agua a la temperatura indicada. Debido a que el intercambiador absorbe el 50% de la carga se puede decir que el calor absorbido por la leche al ingresar por primera vez al intercambiador el igual a la absorbida en el banco de tubos, de lo cual podemos deducir la siguiente expresión. Cp1(Tw1-20) = Cp2(82-Tw1), en donde los Cp son evaluados a la temperatura media del fluido a la entrada y salida de la leche del intercambiador y el banco de tubos respectivamente. por lo tanto se hace necesario hacer una iteración de tal forma que se tenga una temperatura de leche inicial se evalúen las propiedades y se obtenga una nueva temperatura, hasta que se encuentre el Tw1 que cumpla con la igualdad. Tw1=50.1 es la respuesta a esta iteración. Para determinar el flujo másico de leche que atraviesa el banco de tubos se asume que esta saldrá a la temperatura máxima, par tal efecto es necesario que el área para la transferencia de calor sea muy grande. con la relación de entrada para flujo cruzado , un flujo mezclado

262

Transferencia de Calor

(aire con Cpa ma) y otro sin mezclar (leche con Cpw mw) y con Cpa ma < Cpw mw (del libro de Mills Pág. 773 tabla 8.3ª inciso 7) se hallo la siguiente correlación.

ε = 1− e

[

−1 1− e − RNtu R

]

el área de transferencia de calor se toma bien grande lo que conlleva a reducir la formula anterior a:

ε = 1− e

−

1 R

haciendo balances de energía para el agua y para el aire: Q = ma Cpa(150 - Tas) Q = mw Cpw (115 – 51.1) otras relaciones encontradas son: R=

maCpa mwCpw

Tas = 150 - ε (115 – 51.1) para resolver las 5 incógnitas anteriores se resuelve por iteración, las propiedades se evalúan a la temperatura media de los fluidos aire y agua respectivamente. Ta

Cpa

Que

mw

R

ε

Ta

89.43

1007.24

6.101*104

0.229

1.055

0.612

89.43

Debido a que solo hay una cantidad de masa que cumple con esta condición, esta es la cantidad de masa de leche que fluye por el sistema. Para determinar la verdadera Tas y el área de transferencia de calor se tienen las siguientes correlaciones: Qreal = mw Cpw (115 – 51.1) Qreal = 29735.7 w haciendo un balance de energía para el aire: Tas = 150 - Qreal /(ma Cpa) Tas = 120.53°C para Cpa = 1009j/Kg°K 263

Capitulo 9 Problemas deAplicación

de la correlación encontrada inicialmente se tiene:

ε=

150 − Tas = 0.3 150 − 51.1

R=

maCpa = 1.04 mwCpw

Nut = −

1 ln [R ln (1 − ε ) + 1] = 0.44 R

Despejando el área de transferencia de calor tenemos: A = Nut*Cpa*ma/U A = 4.44 m2 para determinar la longitud del intercambiador se le hace un balance de energía a ambos flujos. Qr = mw Cpw (51.1 - 20) = 29862.3 W Tw2 = 82 – Qr/(Cpw mw) = 51.1°C Según el método de la temperatura media logarítmica se tiene: LMTD =

(51.1 − 20) − (82 − 51.1)  51.1 − 20  ln    82 − 51.1 

LMTD = 31 UA = Qr / LMTD UA = 963.3w/°K Se tiene ahora de la definición del coeficiente global de transferencia de calor que: UA = 1 + hiAi

1 0 . 06 ln(

) 0.05 + 1 2πKL heAe

De donde La se puede despejar, pero aun así nos hacen falta los coeficientes de transferencia de calor tanto interno como externo.

264

Transferencia de Calor

Propiedades de la leche son: −4

µ := 6.9⋅ 10

mw := 0.23

Pr := 4.6

D := 0.05

K := 0.628

Para el Reynolds en el interior del tubo tenemos: Re := 4⋅

mw

3

Re = 8.488 × 10

π⋅ 0.05⋅ µ

f := ( 0.79⋅ ln( Re) − 1.64)

−2

f = 0.033

las correlaciones encontradas para flujo interno son dos y son las siguientes

 f  ⋅ ( Re − 1000) ⋅Pr    8

NUD :=

NUD = 58.196

1

 2  2  f  3  1 + 12.7  ⋅  Pr − 1   8 0.8

Nud2 := 0.023Re hiUD := NUD⋅

0.4

Nud2 = 58.869

Pr

K

hiUD = 730.941

D

hiud2 := Nud2⋅

K

hiud2 = 739.394

D

Para el flujo externo hay que tener en cuenta que es un flujo anular, para el cual se debe trabajar la longitud característica del Reynolds con el diámetro hidráulico. Este se determina con la relación Do-Di = 0.08 – 0.06 = 0.02 m y se procede a hallar Re. −4

µ := 4.31⋅ 10 Re := 4⋅

(

mw⋅ D 2

mw := 0.23

Pr := 2.7

K := 0.661

D := 0.02 3

Re = 4.853× 10

)

2

π⋅ 0.08 − 0.06 ⋅ µ f := 0.023

f fue determinado del diagrama de Moody.

265

Capitulo 9 Problemas deAplicación

NUD:=

 f  ⋅(Re − 1000)⋅Pr  8   1



2

NUD= 18.245



 3  f 1 + 12.7  ⋅ Pr − 1  8 2

0.8 0.4

Nud2:= 0.023Re heUD:= NUD⋅

K D

heud2 := Nud2⋅

K D

Pr

Nud2 = 30.416 heUD = 602.991

hiUD:= 730.941

3

heud2 = 1.005× 10

hiud2:= 739.394

Determinados los coeficientes de transferencia de calor por convección, se determina la longitud del intercambiador con la siguiente relación: UA := 963.3 0.06    ln    1 1  0.05  + L := UA⋅  +  2⋅ π⋅ 40 π⋅ 0.06⋅ heUD   hiUD⋅ π⋅ 0.05

0.06    ln    1 1  0.05  + L2 := UA ⋅  +  2⋅ π⋅ 40 π⋅ 0.06⋅ heud2   hiud2 ⋅ π⋅ 0.05

266

L = 17.564

L2 = 14.077

Transferencia de Calor

Problema 5 Un intercambiador de banco de tubos de 10 filas (tubos de 2 m de largo, K=40 W/mªC, de/di de 0.022/0.018 m, arreglo a 90º, con relación Ltpd/de=1.25)se utiliza para calentar agua desde 20ºC hasta 52ªC, mediante 6 Kg/sg de aire disponibles a 160ºC. El agua se mueve por el interior de los tubos repartiéndose uniformemente entre los NTF que forman una fila y pasando sucesivamente hacia las demás filas mediante codos de 180 ª que hay en cada extremo de los tubos(despreciar la transferencia de calor que existe en estos codos ya que no se ponen en contacto térmico con el aire). Si l numero de filas de este banco fuera muy grande, bajo las mismas condiciones de flujo y de temperatura de entrada de los fluidos el agua podría salir a una temperatura de 96 ªC. Asuma que la relación de (efectividad como función de R y NTU) para este tipo de intercambiador es la siguiente:  1− e − R×NTU   −   R    ε = 1− e    

Determinar la temperatura de salida del aire en el caso básico (NF=10) y el área total del intercambiador.

SOLUCION:

160 T2

52

20

267

Capitulo 9 Problemas deAplicación

Para el banco de tubos de tamaño infinito:

Asumo m& w

T2lim (2)

mCpw

mCpa

R

2

55ºC

8357.2

6048.3

0.723

ε lim

(5) 0.75

 1−e− R× NTU    −  R   = 1 − e    

(1) Si NTU → ∞

⇒

ε lim = 1 − e

−

1 R

(2) Qlim = 6 × Cp a × (160 − T2 lim ) (3) Qlim = m w × Cp w × (96 − 20) (4) R =

m × Cp min m × Cp max

(5) ε =

∆Tmin 160 − 20

De (1)

=0.7488

O.K

20 + 96 = 58º C = 331K 2

⇒

Cp w = 4178.6 J / KgK

Qlim = 635147.2 = 6 × Cp a × (160 − T2 lim )

Asumo T2=56ºC

⇒ T2 = 160 −

⇒

Ta =

160 + 56 = 103º C = 381K 2

635147.2 = 55º C 6Cpa

m& w = 2 Kg / seg

268

⇒

Cp a = 1008.10

Transferencia de Calor

Para el banco de tubos finito: Amin = NTF (1.25d e − d e ) L 1. Q = 2Cpw (52 − 20) 2. Q = 6Cpa (160 − T2 ) 3. ε = 4. R =

∆TmCpmin 160 − 20 mCpmin mCpmax

 1− e − R× NTU    −  R    5. ε = 1 − e    

6. NTU =

7. UA =

8. Rei = 9. hi =

UA mCp min

2 × 10 NTFπ 22 ln 1 1 + 18 + hi di 2 × 40 he d e

4 × 2di NTFπ di 2 µw

K f (Re, Pr) di

10. Q =

11. T f =

2 × 10 NTFπ 20 + 52 × (Ts − ) 22 2 ln 1 + 18 hi d i 2 × 40 Ts +

160 + T2 2 2

12. Amin = NTF 0.25d e L

269

Capitulo 9 Problemas deAplicación

6de Amin µa

13. Rei =

14. he10 filas = φ he1 fila 15. φ = 1 +

16. he1 fila

0.7 1 − 0.3 = 1.7482 ϕ 1.5 (1 + 0.7)2

   1  0.62 Ree Pr 3 k =  0.3 + 1 de  2 4   3   1 +  0.4      Pr     

⇒

ϕ = 1−

  4 5 5    8  1 +  Ree      282000        

De la ecuación (1)

Q = 2 × 4174.4(52 − 20) = 267161.6 W De la ecuación (2)

T2 = 160 −

267161.6 267161.6 = 160 − = 115.9 K 6 × Cp a 6 × 1009.8

mCp w = 2 × 4172.4 = 8348.8 mCp a = 6 × 1009.8 = 6058.8 De la ecuación (4)

R=

mCpmin 6058.8 = = 0.7257 mCpmax 8348.8

De la ecuación (3)

ε=

∆TmCpmin 160 − 20

=

160 − 115.9 = 0.315 160 − 20

De la ecuación (5)

270

π de = 0.3716 4 ×1.25d e

Transferencia de Calor

 1− e− R×NTU   −   R    = 1 − 0.315 = 0.685 ε = 1− e    

1 − e − R× NTU = 0.378336 R

e −0.7257× NTU = 0.72544

NTU = 0.442 De la ecuación (6)

UA = 2679.79

Asumo NTF

O.K

Rei

hi

Ts

Tf

Ree

he1fila

he1fila

(8)

(9)

(10)

(11)

(13)

(16)

(14)

271

Compruebo UA (7)

Capitulo 9 Problemas deAplicación

CONCLUSIONES

El cálculo de los coeficientes de transferencia de calor de manera analítica es muy complejo, por lo que se ha tenido que estudiar de forma empírica las posibles correlaciones que estos puedan tener con diferentes parámetros adimensionales (los cuales tienen interpretaciones físicas) que hagan semejantes unos sistemas de otros. En este trabajo recopilamos algunas de estas correlaciones para flujo externo, banco de tubos e intercambiadores de calor y aplicamos varias de ellas en un mismo problema para comparar los resultados y tener una idea de que tan grande es la incertidumbre que podemos tener de los resultados que nos dan cada una de ellas. La correlación de Chuirchill y Bernstein es una relación muy completa y debe ser preferible para planteamientos con computadoras, debido a la amplia gama de fluidos y números de Reynolds que cubre. Las correlaciones de Grimson y Zhukauskas son más sencillas y son muy parecidas por lo que sus resultados son más concordantes. Algunas tienen en cuenta de manera un poco más precisas la variación de las propiedades con respecto a como varía la temperatura, lo que involucra mayor número de correcciones con factores a las correlaciones y tratan de dar una solución más exacta. En la solución de los problemas pudimos percibir que en el resultado final, hay diferencias pero en algunos no es tan grande y cabe dentro de la incertidumbre prevista que es muy grande, ya que estas correlaciones son obtenidas empíricamente y por más que se trate no serán igual de precisa que los modelos. Por tanto la elección de la correlación queda sujeta a criterio por las facilidades de cálculo que se tengan.

272