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El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría. El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

Ecuación del movimiento Método de Newton[editar] Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico. Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula. La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora). Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

siendo

la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de Lagrange[editar] El lagrangiano del sistema es

donde es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

y obtenemos la ecuación del movimiento es

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

es la

Pequeñas oscilaciones Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:

siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:

Las magnitudes y son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicialdel movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.

Péndulo físico

Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.

El péndulo físico es un sistema con un solo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo (Figura 1). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación. Llamaremos h a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo

,

actúan sobre él dos fuerzas ( y ) cuyo momento resultante con respecto al punto O es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo; i.e., (1) Si es

el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y

llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo: (2) que podemos escribir en la forma (3) que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen sin(θ) ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma (4)

que corresponde a un movimiento armónico simple. El periodo de las oscilaciones es (5)

Longitud reducida[editar] Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir (6) y, por lo tanto, tenemos que (7) Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ.

Oscilaciones amortiguadas www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/amortiguadas/amortiguadas.htm

En esta página, estudiamos las oscilaciones amortiguadas tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k que experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Como aplicación práctica describimos un modelo simplificado que explica la deformación de un balón cuando choca contra una pared rígida.

Oscilaciones amortiguadas

La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad Fr=-v, donde es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se

mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta. La ecuación del movimiento se escribe ma=-kx-λv Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x.

La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión

La características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:   

La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo. La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.

Si el amortiguamiento es grande,  puede ser mayor que 0, y  puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. Condiciones iniciales La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial  . Para t=0, x0=A·sen v0=-A·sen+A·cos

En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y  a partir de los datos de x0 y v0

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Oscilaciones amortiguadas https://edbar01.wordpress.com/about/eventos-ondulatorios/oscilaciones-amortiguadas/

En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra. Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada. En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo. Si la fuerza de amortiguamiento es relativamente pequeña, el movimiento está descrito por:

Ecuación 1. Movimiento Amortiguado

La frecuencia angular de la oscilación ω’ está dada por:

Ecuación 2. Frecuencia Angular

No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación muy grande.)

El movimiento descrito por la ecuación 1 difiere del caso no amortiguado en dos aspectos. Primero, la amplitud Ae–(b/2m)t no es constante, sino que disminuye con el tiempo a causa del factor exponencial decreciente e–(b/2m)t. Para el caso ɸ = 0; muestra que, cuanto mayor sea el valor de b, la amplitud disminuirá más rápidamente. Segundo, la frecuencia angular dada por la ecuación 2, ya no es igual a , sino un poco menor, y se vuelve cero si b es tan grande que:

Ecuación 3

Si se satisface la ecuación 3, la condición se denomina amortiguamiento crítico. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta. Si b es mayor que la condición se denomina sobreamortiguamiento. Aquí tampoco hay oscilación, pero el sistema regresa al equilibrio más lentamente que con amortiguamiento crítico. Si b es menor que el valor crítico, como en la ecuación 1, la condición se llama subamortiguamiento. El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. En un diapasón o cuerda de guitarra que vibra, normalmente queremos el mínimo amortiguamiento posible. En cambio, el amortiguamiento es benéfico en las oscilaciones de la suspensión de un automóvil. Los amortiguadores proveen una fuerza amortiguadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pase por un bache, no siga rebotando eternamente (figura 1). Para optimizar la comodidad de los pasajeros, el sistema debería estar críticamente amortiguado o un poco subamortiguado. Demasiado amortiguamiento sería contraproducente: si la suspensión está sobreamortiguada y el auto cae en otro bache, justo después del primero, los resortes de la suspensión todavía estarán comprimidos un poco por el primer golpe, y no podrán absorber plenamente el impacto.

Fuentes: Física Universitaria – Sears – Zemansky – 12ava Edicion – Vol1 – Cap 13 http://www.eumus.edu.uy/eme/ensenanza//acustica/apuntes/materialviejo/fisica_r/ http://www.eumus.edu.uy/docentes/maggiolo/acuapu/osc.html

Variación de la presión con la profundidad www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/ecuacion/ecuacion.htm

Consideremos una porción de fluido en equilibrio de altura dy y de sección S, situada a una distancia y del fondo del recipiente que se toma como origen.

Las fuerzas que mantienen en equilibrio a dicha porción de fluido son las siguientes:   

El peso, que es igual al producto de la densidad del fluido, por su volumen y por la intensidad de la gravedad, ( S·dy)g. La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara inferior, pS La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara superior, (p+dp)S

La condición de equilibrio establece que ( S·dy)g+pS=(p+dp)S dp=-·g·dy

Integrando esta ecuación entre los límites que se indican en la figura

Situamos el punto B está en la superficie y el punto A a una profundidad h. Si p0 es la presión en la superficie del fluido (la presión atmosférica), la presión p a la profundidad h es p=p0+ gh

Medida de la presión. Manómetro Para medir la presión empleamos un dispositivo denominado manómetro. Como A y B están a la misma altura la presión en A y en B debe ser la misma. Por una rama la presión en B es debida al gas encerrado en el recipiente. Por la otra rama la presión en A es debida a la presión atmosférica más la presión debida a la diferencia de alturas del líquido manométrico.

p=p0+ gh

OBJETIVO  Encontrar la relación funcional entre la presión y la profundidad en un flujo en reposo.  Determinar la densidad del fluido en el tanque.

METODO EXPERIMENTAL MATERIALES Procedimiento 1 -

Manómetro Tanque con líquido (agua) Regla milimétrica Sonda manométrica Jeringa Liquido manométrico (alcohol) Juego de mangueras Densímetro

Procedimiento 2 -

Sensor de presión de gas Tanque con líquido (agua) Sonda manométrica Regla milimétrica Liquido manométrica Densímetro Jeringa Interfaz y programa loggerPro

PROCEDIMIENTO EXPERMIENTAL 1 1. Se midió la densidad del líquido manométrico con un densímetro apropiado en este caso fue un densímetro de alcohol. 2. Se nivelo el recipiente de vidrio con los tornillos de este 3. Se instalo la sonda manométrica al tanque 4. Con la regla del tanque se estableció el nivel de referencia que en este caso era de 10,3 cm 5. Se coloco la sonda manométrica en el nivel superior del líquido del tanque 6. Se introdujo la sonda manométrica a una profundidad de 2cm en 2cm hasta llegar al límite del medidor en la escala del manómetro. PROCEDIMIENTO EXPERMIENTAL 2 1. Se repitió los pasos anteriores solo que en este caso no se usó el manómetro ya que se conectó de la sonda manométrica al sensor de presión de gas y esta interfaz, y la interfaz la computadora 2. Se abrió el programa LoggerPro,y se preparó para la toma de datos 3. Se introdujo la sonda manométrica a una profundidad de 2cm en 2cm del cual el programa ya nos da el valor de presión directamente. 4. Se repitió el paso anterior para diferentes profundidades.

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CUESTIONARIO # 2

+++++++++++++++++++++++++ Péndulo simple

A medida que la altura del objeto sobre la superficie de la tierra aumenta, la distancia del objeto medida desde el centro de la tierra se hace mayor y la fuerza de atraccion gravitacional disminuye

A medida que el valor del angulo de latitud se hace mayor, el radio del circulo de revolucion del punto con respecto al eje de la tierra se hace menor y por lo tanto, la fuerza centrifuga disminuye +++++++++++++++++++++ Péndulo físico PÉNDULO FÍSICO 1. OBJETIVOS - Determinar el valor del radio de giro respecto del centro de masa y la aceleración de lagravedad en Cochabamba. 2. FUNDAMENTO TEORICO Cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por el centro de masa recibeel nombre de péndulo físico. En la Figura A se muestra un cuerpo de forma irregular, quese encuentra en su posición de equilibrio, donde el centro de masa C y el eje de oscilación O se encuentra sobre la misma línea vertical. En la Figura B el cuerpo a partir de esa posición empezara a oscilar formando un péndulo físico donde: la distancia del centro demas al eje de oscilación en b , además I es el momento de inercia del cuerpo con respecto aleje O

La fuerza restauradora del movimiento oscilatorio se debe a la componente tangencial de lafuerza gravitacional, que está dada por el troqué:La ecuación (1) no cumple la condición del movimiento armónico simple, pero si seconsidera desplazamientos angulares pequeños es valida la aproximación sin θ ≈ θ, demanera que la ecuación será:Además el troqué para un sólido esta dado por θ τ sin Mgb

−= θ τ Mgb −= ατ I = () 1 () 2 ()

++++++++ el mismo otro documento Fundamento teórico Cuando un cuerpo rígido suspendido por un eje O a una distancia, b, de su centro de masas, C, se separa de su posición de equilibrio (ver Figura 1) y se deja libre, efectúa un movimiento de oscilación alrededor del eje, cuya ecuación de movimiento viene dada por: ! "Mgb #sin($) = I d2 $ dt 2 (1) siendo I el momento de inercia del cuerpo respecto al eje O. Esta expresión, en el caso de pequeñas oscilaciones, toma la forma más sencilla: ! "Mgb #$ = I d2 $ dt 2 (2) Fig 1 Práctica M1 Página 2 de 4 la cual corresponde a un movimiento armónico simple de período: ! T = 2" I Mgb (3) Si llamamos Io al momento de inercia del cuerpo por un eje paralelo al eje O que pasa por C, la ecuación anterior se expresa ! T = 2" I0 + Mb2 Mgb (4) o bien ! T = 2" k 2 + b2 gb (5) donde k es el llamado radio de giro del cuerpo alrededor del eje que pasa por C y viene dado por: ! k = I0 M

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

++++++++++++++++++++++ Oscilacioners amortiguadas

Porque se hace siempre la aproximación de “pequeños” desplazamientos para que el movimiento sea armónico. Ejemplos:

♦ Péndulo pesado simple : Em = Ep + Ec = m.g.h + m.V²/2 = cste > m.g.L.(1 - cos θ) + m.L².(dθ/dt)²/2 = cste > g.(dθ/dt).sin θ + L.(dθ/dt).(d²θ/dt²) = 0 ---------θ << 1 rad ----> sin θ ≃ θ dθ/dt ≢ 0 ---------> g.θ + L.(d²θ/dt²) = 0 De la ecuación diferencial del oscilador armónico que se escribe d²X/dt² + ω².X = 0 se extrae naturalmente la pulsación ω = √(g/L) y el período T = 2π/ω = 2π.√(L/g) ♦ Péndulo que pesa J: momento de inercia en torno al eje m: masa g: aceleración de la gravedad L: distancia del centro de gravedad al eje momento del peso con relación al eje y'Oy C = (OG↑ ∧ mg↑).ey↑ = - m.g.L.sin(θ) θ << 1 rad C ≈ - m.g.L.θ J.d²θ/dt² + m.g.L.θ = 0 ← Newton 1 d²x/dt ² + ω².x = 0 ← oscilador armónico ω² = (2π/T)² = m.g.L/J T = 2π √[J/(m.g.L)] ♦ Péndulo simple: J = m.L² T = 2π √[m.L²/(m.g.L)] = 2π.√(L/g) ♦ Oscilador elástico: F = - k.x > m.d²x/dt² + k.x = 0 > ω² = k/m Pero k sólo es un constante más que dentro del límite de elasticidad, por lo tanto para bajas amplitudes.

++++++++++++++++++++++ Variación de la precion de