Trabajo_individual_cesar_galvis.docx

MÉTODOS NUMÉRICOS 100401_57

Unidad 2: Tarea 2 - Ecuaciones Lineales e Interpolación

Presentado a: Carlos Alberto Alvarez

Entregado por:

Cesar Augusto Galvis galvis 71.376.214

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Medellín

Parte 1 Ejercicio 1. Construya el sistema de ecuaciones lineales Ax=b, de tamaño 5×5, donde los coeficientes de la matriz A están dados por la siguiente regla: a_ij=(i+j-c)^(-1), con c=1/k (k es el último dígito de su documento de identidad. Si k=0, tome el valor de 1) y el valor del vector de términos independientes está dado por b_i=i

i

1 2 3 4 5

1 0,5714285714 0,3636363636 0,2666666667 0,2105263158 0,1739130435

2 0,3636363636 0,2666666667 0,2105263158 0,1739130435 0,1481481481

j 3 0,2666666667 0,2105263158 0,1739130435 0,1481481481 0,1290322581

b 4 0,2105263158 0,1739130435 0,1481481481 0,1290322581 0,1142857143

5 0,1739130435 0,1481481481 0,1290322581 0,1142857143 0,1025641026

1 2 3 4 5

Ejercicio 2. Con los algoritmos dados en la literatura revisada, resuelva el sistema de ecuaciones lineales Ax=b, dado en el numeral anterior, por los métodos de Eliminación de Gauss y Eliminación de Gauss – Jordan.

Eliminación de Gauss:

i

i

i

i

1 2 3 4 5

1 0,571428571429 0,363636363636 0,266666666667 0,210526315789 0,173913043478

2 0,363636363636 0,266666666667 0,210526315789 0,173913043478 0,148148148148

j 3 0,266666666667 0,210526315789 0,173913043478 0,148148148148 0,129032258065

4 0,210526315789 0,173913043478 0,148148148148 0,129032258065 0,114285714286

5 0,173913043478 0,148148148148 0,129032258065 0,114285714286 0,102564102564

1 2 3 4 5

1 0,571428571429 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,363636363636 -0,020149547422 -0,023331054910 -0,022823858064 -0,021414977937

j 3 0,266666666667 -0,023331054910 -0,028267770876 -0,028515733779 -0,027355907300

4 0,210526315789 -0,022823858064 -0,028515733779 -0,029411389254 -0,028692850138

5 0,173913043478 -0,021414977937 -0,027355907300 -0,028692850138 -0,028362311916

1 2 3 4 5

1 0,571428571429 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,363636363636 -0,020149547422 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

j 3 0,266666666667 -0,023331054910 -0,000025244667 -0,000042074444 -0,000051575125

4 0,210526315789 -0,022823858064 -0,000042074444 -0,000071697686 -0,000089375528

5 0,173913043478 -0,021414977937 -0,000051575125 -0,000089375528 -0,000112886469

1 2 3 4 5

1 0,571428571429 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,363636363636 -0,020149547422 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

j 3 0,266666666667 -0,023331054910 -0,000025244667 0,000000000000 0,000000000000

4 0,210526315789 -0,022823858064 -0,000042074444 -0,000000000040 -0,000000000086

5 0,173913043478 -0,021414977937 -0,000051575125 -0,000000000086 -0,000000000190

b 1 2 3 4 5

b 1 -0,779220779221 -1,447619047619 -2,075187969925 -2,683229813665 b 1 -0,77922077922 -0,01098882586 -0,02402927394 -0,03737887058

b 1 -0,779220779221 -0,010988825862 -0,000000144262 -0,000000376867

i

1 2 3 4 5

1 0,571428571429 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,363636363636 -0,020149547422 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

Despeje 5 4 3 2 1

25661,7334 -52091,12549 34826,63818 -8555,427246 575,0561523

Despeje b1 b2 b3 b4 b5

1 2 3 4 5

j 3 0,266666666667 -0,023331054910 -0,000025244667 0,000000000000 0,000000000000

b 4 5 0,210526315789 0,173913043478 -0,022823858064 -0,021414977937 -0,000042074444 -0,000051575125 -0,000000000040 -0,000000000086 0,000000000000 0,000000000000

1 -0,779220779221 -0,010988825862 -0,000000144262 0,000000000000

Eliminación de Gauss – Jordan.

i

i

i

i

1 2 3 4 5

1 0,571428571429 0,363636363636 0,266666666667 0,210526315789 0,173913043478

2 0,363636363636 0,266666666667 0,210526315789 0,173913043478 0,148148148148

j 3 0,266666666667 0,210526315789 0,173913043478 0,148148148148 0,129032258065

4 0,210526315789 0,173913043478 0,148148148148 0,129032258065 0,114285714286

5 0,173913043478 0,148148148148 0,129032258065 0,114285714286 0,102564102564

1 2 3 4 5

1 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,636363636364 0,035261707989 0,040829346093 0,039941751612 0,037476211389

j 3 0,466666666667 0,040829346093 0,049468599034 0,049902534113 0,047872837775

4 0,368421052632 0,039941751612 0,049902534113 0,051469931195 0,050212487741

5 0,304347826087 0,037476211389 0,047872837775 0,050212487741 0,049634045853

1 2 3 4 5

1 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

j 3 -0,270175438596 1,157894736842 0,002192514085 0,003654190141 0,004479329850

4 5 -0,352402745995 -0,371980676329 1,132723112128 1,062801932367 0,003654190141 0,004479329850 0,006226986005 0,007762316945 0,007762316945 0,009804255971

1 2 3 4 5

1 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

j 3 0,000000000000 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

4 5 0,097889651665 0,179990649836 -0,797101449275 -1,302789465482 1,666666666667 2,043010752688 0,000136669103 0,000296767195 0,000296767195 0,000652936922

b 1 2 3 4 5

b 1,750000000000 1,363636363636 2,533333333333 3,631578947368 4,695652173913

b -22,859375000000 38,671875000000 0,954385964912 2,086956521739 3,246376811594

b 94,746093749999 -465,351562499993 435,292968749994 0,496313246885 1,296556023064

i

i

1 2 3 4 5

1 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

j 3 0,000000000000 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

4 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000

5 -0,032569736637 0,428059395801 -1,576036866359 2,171428571428 0,000008528156

1 2 3 4 5

1 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

2 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

j 3 0,000000000000 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000 0,000000000000

4 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 1,000000000000 0,000000000000

5 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 0,000000000000 1,000000000000

5 4 3 2 1

b -260,739746093571 2429,318847654840 -5617,199707028380 3631,495605467060 0,218847258399

b 575,056152339490 -8555,427246043460 34826,638183422000 -52091,125488057400 25661,733398338800

25661,7334 -52091,12549 34826,63818 -8555,427246 575,0561523

¿Cuál de los dos métodos directos considera que es mejor (computacionalmente), por qué? Al realizar métodos se observa que el resultado que será obtenido es el mismo, sin embargo considero que el método de gauss implica un menor número de acciones para obtener el resultado.

Ejercicio 3. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales Ax=b dado en el numeral 1, por los métodos de Gauss – Seidel y Jacobi. ¿Cuál de los dos métodos iterativos considera que es mejor, por qué? Realice una gráfica de la forma como va convergiendo la solución (Número de iteraciones vs norma del error (escoja la norma de error que mejor considere).

i

1 0,5714285714 0,3636363636 0,2666666667 0,2105263158 0,1739130435

1 2 3 4 5

2 0,3636363636 0,2666666667 0,2105263158 0,1739130435 0,1481481481

j 3 0,2666666667 0,2105263158 0,1739130435 0,1481481481 0,1290322581

b 4 0,2105263158 0,1739130435 0,1481481481 0,1290322581 0,1142857143

5 0,1739130435 0,1481481481 0,1290322581 0,1142857143 0,1025641026

1 2 3 4 5

Criterio No Converge No Converge No Converge No Converge No Converge

La matriz no es convergente para ser resuelta por el metodo

Debido a la falta de convergencia en la matriz no es posible aplicar los métodos solicitados dado que los resultados no serán coherentes, por este motivo no se realiza el procedimiento.

Parte 2 Solucionar el ejercicio numero 1 si su número de cedula termina en digito impar, solucionar el número 2 si su cedula termina en digito par. Si soluciono el ejercicio 1, le corresponda realizar la realimentación a quien haya solucionado el ejercicio 2.

Ejercicio 2. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación:

x y

-6.5 10

-4 2.3

-1.5 -1.2

1 -8.5

3.5 -27

Polinomio de Interpolación de Lagrange, e Interpole en el punto x = -0.5. x y

-6,5 10

a_0 a_1 a_2

-0,09600 1,36000 -2,16000

f(x)

-2,77600

-4 2,3

X_0 -1,5 -1,2 f(x_0)

X_1 1 -8,5 f(x_1)

X_2 3,5 -27 f(x_2)

Interpolación de Diferencias Divididas de Newton, e interpole en el punto x = -0.5. x y

-6,5 10

-4 2,3

f(X_0, X_1) f(X_1, X_2)

-2,92000 -7,40000

a_1

f(X_0, X_1,x_2)

-0,89600

a_2

Pn(x)

-2,77600

X_0 -1,5 -1,2 f(x_0)

X_1 1 -8,5 f(x_1)

X_2 3,5 -27 f(x_2)

Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de Newton e Interpole en el punto x = -0.5. x y

-6,5 10

h_0 h_1

2,50000 2,50000

a_0 a_1

-7,30000 -18,50000

b_0

-11,20000

k y_1

0,40000 -2,77600

-4 2,3

X_0 -1,5 -1,2 f(x_0)

X_1 1 -8,5 f(x_1)

X_2 3,5 -27 f(x_2)

¿Cuál método es el mejor? El mejor método desde mi punto de vista es diferencias finitas de Newton, lo anterior dado que sin importar su número de pasos para llegar al resultado su fórmula final es más fácil de realizar que las de los otros métodos. ¿Cuál método es el más largo? El método más largo es el de diferencias finitas de Newton, lo anterior dado que requiere mayor cantidad de pasos para obtener el resultado final. ¿Cuál es el más óptimo? Con cualquiera de los tres métodos se logra el mismo resultado, sin embargo por facilidad de entendimiento y menor riesgo de errores considero que el más óptimo es el de diferencias finitas de Newton.

Bibliografía

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