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CÁLCULOS Y RESULTADOS: Para hallar el periodo promedio usamos: 𝑇=

𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 3 ∗ #𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

1. Llene la tabla con las siguientes características:

# de hueco

L (cm)

t1 (s)

t2 (s)

t3 (s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

50.1 45.1 40.1 35.1 30 24.9 20 15.1 10.2 5.1

33.92 33.12 32.20 28.97 28.63 24.19 24.75 26.66 16.07 20.97

33.46 32.92 29.09 28.75 28.95 24.09 24.77 26.88 16.22 21.40

32.85 33.01 29.21 28.94 28.79 24.23 24.97 26.91 16.31 21.18

# de oscilaciones 20 20 18 18 18 15 15 15 8 8

Periodo T (promedio) 1.6705 1.65083 1.675925 1.60481 1.59944 1.61133 1.65533 1.78777 2.025 2.64791

2. a. Grafique T vs L

b.

T vs L 3 2.5

T (s)

2 1.5 1 0.5 0 0

10

20

30

L (cm) Encuentre el valor de L para que el periodo tenga mínimo valor. De las ecuaciones 𝐼

1 𝑇 = 2𝜋√𝑀𝑔𝐿

y

𝐼1 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝐿2

40

50

60

Además, sabemos para una placa rectangular 𝐼𝐺 =

1 𝑀(𝑎2 + 𝑏 2 ) 12

Despejamos T en función de L Reemplazamos a=longitud de la barra= 1.1 m, b=ancho de la barra=0.038 m, g=9.81m/s2 0.010291 𝑇 = 2𝜋√ + 0.10194𝐿 𝐿 Para que T sea mínimo el radicando debe ser mínimo como L es una longitud siempre será positiva. Entonces podemos usar 𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐺 0.010291 + 0.10194𝐿 0.010291 𝐿 ≥√ × 0.10194𝐿 2 𝐿 0.010291 + 0.10194𝐿 ≥ 0.06478 𝐿 𝑇𝑚𝑖𝑛 = 2 × (3.14) × 0.064781÷2 𝑇𝑚𝑖𝑛 = 1.5992 𝑠. Aproximadamente L=0.3177 m. =31.77 cm. c) Compare el valor de L obtenido en b) con a). En a) para Tmin L=30 cm. En el cálculo L=31.77 cm. d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia? Para L=31.77 cm: Tmin=1.5992 s. e) De su gráfico ¿Puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo? Para L=35.1 cm y L= 24.9 cm. T es aproximadamente 1.6 s.

3. Llene la tabla 2 con las siguientes características # de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8

Eje de oscilación L (cm) 50.1 45.1 40.1 35.1 30 24.9 20 15.1

(Periodo)2 T2(s2) 2.79 2.725 2.8087 2.575 2.558 2.5964 2.74 3.196

Momento de Inercia I1 (kg*m2) 0.64351 0.5658 0.5185 0.4161 0.3533 0.2976 0.2523 0.2222

L2 (cm2) 2510.01 2034.01 1608.01 1232.01 900 620.01 400 228.01

9 10

10.2 5.1

4.1 7.0114

0.1925 0.1646

104.04 26.01

4.Haga el gráfico I1 vs L2 0.7 y = 0.0002x + 0.1749 R² = 0.9935

0.6

I1 (Kg*m2)

0.5 0.4 0.3

0.2 0.1 0 0

500

1000

1500

L2

2000

2500

3000

(cm)

5.Del gráfico anterior, determine IG y M 𝐼1 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝐿2 Cuando 𝐿2 = 0 𝐼1 = 𝐼𝐺 = 0.1749 𝑘𝑔 ∗ 𝑚2 𝑀 ≅ 2𝑘𝑔 6.Compare el valor obtenido en el paso 5 con el valor de la forma analítica 𝐼𝐺 =

1 𝑀(𝑎2 + 𝑏 2 ) 12

¿Qué error experimental obtuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa? Solución: 𝐼𝐺 =

1 1.8527(1.12 + 0.0382 ) 12

𝐼𝐺 = 0.187𝑘𝑔 ∗ 𝑚2 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =

0.187 − 0.1749 ∗ 100% 0.187

%𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 6.47% En la masa hubo un mayor porcentaje de error que se podría deber a la no completa uniformidad de la barra. 7.Halle la longitud del péndulo simple equivalente para este cálculo solicite al profesor que le asigne un número de hueco.

En el laboratorio el ingeniero nos asignó el tercer hueco. T (tercer hueco) = 1.675925 s. Resolvemos la ecuación del péndulo: 𝑙 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔 𝑙 1.675925 = 2 × 3.14 × √ 9.81 𝑙 = 0.6986 𝑚 8.Demuestre en forma analítica las relaciones: 𝐼

1 𝑇 = 2𝜋√𝑀𝑔𝐿

a)

El peso mg causa un momento de torsión de restitución:

M o  (mg )(sen ) El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsión  es proporcional a sen, no a  , pero si  es pequeño podemos aproximar sen por  en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S Quedando: M o  (mg)( ) Pero la ecuación de movimiento es: ∑ 𝑀 = 𝐼𝜃̈ Remplazando:

 mg(  )   𝐼𝜃̈ + 𝑚𝑔ℓ𝜃 = 0

𝜔=√

ecuación diferencial

𝑚𝑔.𝑙

Pero  

𝐼

2 

𝐼

1  𝑇 = 2𝜋√𝑀𝑔𝐿

b) 𝐼1 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝑑2 El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas. El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa. Quedando: