Trabajo Verano 4º Eso Opción B 2008 - 2009

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS I.E.S. LA SERNA

TRABAJO DE MATEMÁTICAS B

4º ESO

CURSO 2008/09

Operaciones con números 1º) Realiza las siguientes operaciones, simplificando el resultado: 1 4  3  1 1 − ⋅  −  3 −  −1 2 5 2 3  2  2 − (3 − 4) 2 ⋅ a) − 3 ⋅ b) 1 3 2 1 2+ 3 3 2 0 2  1  2 1  1 +  −   − 3   −3  5  4 9 6 2   c) d) : ⋅ =  1 1 3 6 9 1 −  ⋅ 3 + ⋅2 2 2 2   − 1 −1  1 5 1   2  0  1 3  1  1 1  2  e) 1 − ⋅  −   + 3 − :  −  f) 1 + ⋅  +   − 3 : 1 −  + 3  2  4  2  2  3  3    6  6 3    3  Clasificación y ordenación de números 2º) a) Clasifica en su conjunto numérico mínimo: 4 ; π ; 15 3 b) Ordena de menor a mayor los tres primeros, utilizando el símbolo de orden − 16

; -3´21111... ;

3 ⋅ 10−3 ;

3

64

; -2´25 ;

Operaciones con potencias 3º) Simplifica utilizando las propiedades de las potencias, transformando las potencias de forma que las bases sean números primos. Expresa el resultado con exponentes positivos. 8

 12  49 y 5  x    = b) 7 1 3 3  ( − 28)  −  x  2 −3

a)

10 −5 ⋅ 50 400 ⋅ 20 −3

−3  7   ( − 5)   c)   ·  −3 5  7  −2

−2

 5 : −   7

−1

=

−3

5   2 9  d)  −  :    3   4  

−

3 2

   

−2

=

Aproximaciones y errores 4º) Un granjero quiere cercar un terreno circular de 12 m de radio. Si compra 75,5 m de valla, ¿tendrá bastante? Aproxima la cantidad de metros de valla necesaria a las centésimas. 5º)

Los lados iguales de un triángulo isósceles miden el doble que la base, cuya longitud es de 3 m. Calcula el perímetro del triángulo, su altura y su área. Los resultados deben estar simplificados y expresar el valor exacto.

1

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6º)

Calcula el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular que tiene por cara lateral un triángulo equilátero de lado 6 cm .

7º)

En un cubo de arista 1 cm., calcula el valor exacto de: a) La diagonal de una cara (k) b) La diagonal del cubo (d) c) El área y el perímetro del rectángulo sombreado.

Intervalos 8º)

Escribe el menor intervalo cerrado que, conteniendo al número −

4π , tiene sus 3

extremos en Z. Dibuja el intervalo y expresa su inecuación. Operaciones con radicales 9º) Opera y simplifica: 1 180 − 18 a) 20 − 2 98 + 2 125 c) 5 45 − − 3 80 2

b)

1 1 125 − 3 3 + 20 − 3 5 2

d)

4

25 − 80 + 3 6 125

f) 2 12 − 4 50 +

e) 2 50 − 18 + 147 + 34 144

1 147 − 2 18 = 2

10º) Expresa en un único signo radical, sin exponentes negativos ni fraccionarios y extrayendo al máximo:

( 3) a) 6

3

3

3

35

3

=

b)

( ) 6

55

4

e)

3

5

i)

4 ⋅ 4 64 ⋅  3  3 16

5

2

5

3 2

−

2 2 2 +3

=

6

18

24

3

16 ⋅ 6 2

c)

3

3

g)

(

d)

2

3 45 ⋅ 5 3 3 12 5

32 2 7 ⋅  7 2

3

h)

2 ⋅ ( 3 2)

 2 5   7  

)

5

3

−1

5

2

2   =

11º) Racionaliza y simplifica: −7 5 a) b) 3+ 3 1+ 2 e)

⋅ 5

32 ⋅

f)

x5 x3 =

54

f)

a ⋅ b

j) 3

c)

4

a3 ⋅ b2

6

b5 = a7

3

d)

2−3 5

3− 3 3− 3 − = 2− 3 2 3

g)

7 3− 2

−

6 2 3 −3 2

1 3− 2

+

1 2− 3

=

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Notación científica 12º) El Uranio 238 tarda 1,4·1017 segundos en desintegrarse. ¿Cuántos siglos son esos segundos? Expresa el resultado en notación científica. 13º) El valor aproximado de la masa de la Tierra es 5,98·1024 Kg y la masa del Sol 1,98·1030 Kg ¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra? 14º) El cabello humano crece, más o menos, un centímetro en un mes. Calcula la velocidad de crecimiento del cabello humano, expresando el resultado en km/h. 15º) Cuatro ciudades se encuentran en los vértices de un cuadrado. La distancia entre dos ciudades situadas en vértices contiguos es de 1,25 · 108 mm. Calcula la superficie de ese cuadrado. Operaciones con polinomios 16º) Opera y simplifica:

1 1 2 − x ⋅ ( x 2 + x − 2) 2 2 2 2  2 1  1 3 2 3  1 2  c) (1 − 2 x ) ⋅  x + x − 3  − x + x + 2 d)  − − x  e)  x −  2   2  3 5  5 x  x  f) 2 (x 2 − 3x + 1) − (−5x + 2) · (−2x2 + 5) = g)  2 +  ⋅  2 −   2  2 a) ( 5 x − 7 ) 2 − ( 5 x − 7 ) ( − 2 x 3 + 7 x − 5) =

(

x  h)  + 2  2 

2

1  i)  − 2 x  2 

b) 3x 2 +

)

2

17º) Calcula 2 A( x) − B( x) ⋅ C ( x ) , C ( x) = x 2 − 2

2  x 1  x 1  1  + ⋅ −    k)  − + 3x  j)   2   2 3  2 3

B ( x) = − x + 3

siendo A( x ) = 2 x 2 − 3x + 1 ,

y

Teorema del resto 18º) Calcula k para que al dividir x 4 − 2 x 2 + kx + 1 entre x + 2 tenga de resto 10 19º) Halla el valor de “m” para que el polinomio P(x) = − x 3 + 2mx 2 − 12x + 4 , tenga por resto –13 al dividirlo entre x + 3. 20º) Calcula el valor de “m” para que el polinomio P(x) = − x divisible por x+2. 21º) Calcula el valor de “m” del polinomio P(x) = x 4 − 7x dividirlo entre x+2 tenga de resto − 40.

3

2

− (m+1) x + 8 sea

− m x + 2 para que al

22º) Calcula el valor de “m” del polinomio P(x) = x 4 − m x 2 + 3x − 2 para que sea divisible por x+2.

3

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Factorización de polinomios 25º) Factoriza y calcula las raíces del polinomio: a) P(x) = x 3 − x 2 − 5x − 3 c) P(x) = −3x 2 +

3 x 2

b) P ( x ) = 2 x 4 + 3x 3 − 6 x 2 − 13 x − 6 d) P ( x ) = x 4 − 2 x 3 − 3x 2 + 4 x + 4

e) q ( x) = 8 x 3 − 16 x 2 − 6 x + 18

f) P(x) = x 4 + 3x 3 − x 2 − 3x

g) P(x) = x 3 − 6x 2 − x + 30

h) Q(x) = x 4 + 2x3 + 3x2 + 20x + 28

i) Q(x) = 2x4 – 10x2

j) P( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 8 x + 12

k) q ( x) = 4 x 3 − 6 x 2 − 4 x + 6

l) p ( x) = 4 x 3 − 16 x 2 + 13x − 3

m) P(x) = 4x3 + 8x2 + x − 3

n) Q(x) = x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 24x + 63

26º) Calcula en m.c.m. y el M.C.D. de los polinomios: a) x 3 − 9x , x 2 − 6x + 9 , x 2 − 3x b) x 3 − 4x , x 2 + 4x + 4 , x 2 +2x Fracciones algebraicas 27º) Opera y simplifica, al máximo: a)

x x x − − = 2x − 4 2x − 2 x2 − 3x + 2

e)

b)

3x 2 + x − 2 x 2 − 1 · = 6x − 4 x2 − 1

1   1   f)  x − 2  .  x + 2  = x   x  

c)

3− x 2x x −1 + − 6x 3x − 3 2x

d)

x−2 x−2 3− x − + 6x + 6 2x + 2 4x + 4

4  x −5  3 − : g)   x − 2 x −1  4x

x +1 2+ x + 2 = x − 2 x − 4x + 4

2x  x  1 − 2 : =  x −1 x −1  x +1

h) 

Problemas de polinomios 28º) Escribe en forma de polinomio, cada uno de los enunciados siguientes, simplificando la expresión al máximo: a) Área del rectángulo de base x, y altura 5 cm más que la base. b) Área del triángulo equilátero de lado x. 29º) Escribe una ecuación polinómica de grado tres cuyas soluciones sean 0, 1 y 2.

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Ecuaciones de primer grado 30º) Resuelve las siguientes ecuaciones: 15 − 2 x  x  6x − 1 + 3 x −  = a) 4 2 6  Ecuaciones de segundo grado 31º) Resuelve las siguientes ecuaciones: ( x − 9) 2 = 5 + 1 a) 14 2 ( x − 1) ⋅ ( x + 1) − x − 5 = 2( x + 1) b) 2 6 3 Ecuaciones bicuadradas 32º) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 9 x 4 − 6 x 2 + 1 = 0 b) x 4 − 7 x 2 − 18 = 0 Ecuaciones con la x en el denominador 33º) Resuelve las siguientes ecuaciones: 5x − 2 6 − 2 x + 2 = x +1 a) x x − 3x x2 x3 −1 1 b) − 2 = − x +1 x −1 x −1

b)

x - 1 2x + 3 x − = − ( x + 1) 3 2 3

x − 2 ( x − 3) ⋅ x 2 − = x− 2 3 3 2 9  2x 3  d)  +  − =0 4  3 2 c)

c) x 4 + 3 x 2 − 10 = 0 d) 2 x 4 − 5 x 2 = 2 x 2 + 4

c) d)

Ecuaciones radicales 34º) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 + 3 x − 6 = x c) 2 2 − x + x = −1 d) 3 x − x − 1 = 5 b) x 2 − 2 x − 1 = 2 x − 5

2 9 − = −9 x −1 x +1 2

3x − 5 2 − 6x 6 − 2 = x − 2x + 1 x − 1 x − 1 2

e) 2x − 2 + 3x = 11 f) 2 x + 3 − x = 10 + 3 x

Ecuaciones que se pueden factorizar 35º) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x( x − 3)( x + 2 ) = −6 Sistemas de ecuaciones lineales 36º) Resuelve los siguientes sistemas:

b) 8 x 3 − 16 x 2 − 6 x + 18 = 0

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x +1  = −1 3  a)  x+y y−x 3  − =  3 2 2   3x + 6 y + 3  2 − 3 = −1   2 x − 1 − 3 y − 2 = −1  4 8 Sistemas de ecuaciones no lineales 37º) Resuelve los siguientes sistemas: 2( y − 1) −

 x + 3 3y + 6  3 − 2 = 1 b)   3x − 2 − 2 y − 1 = 1  8 4

y2 − x2 = 5   10  b) 10 x + 8 = 2y +  3 3 Problemas de ecuaciones y sistemas xy + 2 = 4 x  a)  y − x =1 

c)

y = x 2 − 3x  c)  y − 2 x + 6 = 0

38º) Dos pares de zapatos y tres pares de deportivas cuestan 170€. Me han hecho un descuento del 25% en los zapatos y del 20% en las deportivas, así que sólo he pagado 132€ por todo. ¿Qué costaba cada par? 39º) En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 2cm más que el otro y la hipotenusa mide 2cm más que el cateto mayor. Calcula la longitud de los tres lados del triángulo. 40º) En un triángulo isósceles la altura mide 2 cm más que la base. Sabiendo que el área es de 60 cm2, halla la medida de los lados. 41º) Se tiene un cuadrado cuyo lado es 3 cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados tienen 149 cm2 de área, calcula el área de cada uno de ellos. 42º) Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2500 € y los vende, después de algún tiempo, por 2157,5 €. Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada objeto? 43º) Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si a los tres segmentos les añadimos una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Hallar dicha longitud. 44º) En un triángulo rectángulo el lado mayor es 4 cm más largo que el mediano, el cual, a su vez es 4 cm mas largo que el pequeño. Calcula la longitud de sus lados. 45º) Marta quiere hacer el marco de un cuadro con un listón de madera de 2 metros sin que sobre ni falte madera. Si el cuadro es rectangular y tiene una superficie de 24 dm2, ¿de qué longitud deben ser los trozos que debe cortar?

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46º) Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 13 metros de diámetro para convertirlo en una piscina rectangular, de forma que un lado tenga 7 metros más que el otro y que la diagonal del rectángulo coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles serían las dimensiones de la piscina? 47º) Halla las dimensiones de un rectángulo que tiene 16 cm. de perímetro y de diagonal.

34 cm.

48º) El área de un jardín rectangular mide 900 m2 y está rodeado por un paseo de 5 m de ancho, cuya área es de 850 m2. Calcula las dimensiones del jardín. 49º) Un grupo de estudiantes organiza una excursión para lo cual alquilan un autocar cuyo precio es de 540 €. Al salir, no se presentan 6 estudiantes y esto hace que cada uno de los otros pague 3 € más. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno. 50º) La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más que uno de los lados. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de 14 cm.

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Inecuaciones primer grado 51º) Resuelve las siguientes inecuaciones: 1 x +1 3( x − 1) 1  53º) b) x − ≤ 1 − − 4x < 1 −  x +  a) 2 3 2 2  52º) Inecuaciones segundo grado 54º) Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x 2 + 3 x − 6 > 8 − 2 x

55º) b) 2 x + 5 ≤ x 2 − 2 x − 16

Sistemas de inecuaciones 56º) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:  ( x + 2) 2 − ( x − 3) 2 ≤ 1 x+3  2x - 1 x + 2 − <5−   3 2 a) b)  6    x x +1 3( x − 2) − 4 x ≤ 15 − ≥ 1 + 6x  2 3   2 x − x( x + 3) ≤ 7 − x 2  ( x − 1) 2 − ( x + 2 ) 2 ≤ 1   c) d)  2 x − 3 x + 1  x +1 − > 5−  2 x − 1 3x + 1 x + 1 3 6  2 − > 1− 2 6 3  Dominio de definición de una función 57º) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f ( x) = b) f ( x) =

−6 x − 4x

f) y =

3x

g) y =

2

x 2 − 5x + 6 x2 + 2x − 3 c) f ( x) = 3 x − 2x 2 − x − 2

− 6x − 7x + 5 d) f ( x) = x 2 − 25 2

e) f ( x) = 2 − x − x 2

3 5x + 2 x 2 x 2 − 3x + 2

h) y = − x 2 − 10 i) f ( x ) =

j) f ( x ) =

− 6x2 − 7x + 5 x2 − 6x + 9 −6 x 2 − 4x

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Interpretación gráfica de una función 58º) Indica las siguientes propiedades de las funciones: a) Dominio b) Recorrido c) Puntos de corte con los ejes d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento e) Máximos y mínimos relativos y absolutos f) lím + f ( x) = lím − f ( x) = x → −3

x→ 0

f (x) = lím f (x) = g) xlím x → −∞ →∞ h) i) j) k)

Asíntotas horizontales y verticales Continuidad f(−4), f(3) Si f(x) = 4, ¿cuánto vale x?

a) b) c) d)

Dominio Recorrido Puntos de corte con los ejes Intervalos de crecimiento y decrecimiento e) Máximos y mínimos relativos y absolutos f ( x) = f) x →lím− 2+ f ( x) = x →lím −2 −

g) xlím → 6+

f ( x) = lím− f ( x) = x→ 6

f (x) = lím f (x) = h) xlím x → −∞ →∞ i) j) k) l)

Asíntotas horizontales y verticales Continuidad. Tipo de discontinuidad. f(−2), f(6) Si f(x) = 1, ¿cuánto vale x?

a) b) c) d)

Dominio Recorrido Puntos de corte con los ejes Intervalos de crecimiento y decrecimiento e) Máximos y mínimos relativos y absolutos f ( x) = f) x →lím− 2+ f ( x) = x →lím −2 −

g) xlím → 0

+

f ( x) =

lím f ( x ) =

x→ 0 −

f (x) = lím f (x) = h) xlím x → −∞ →∞ i) j) k) l)

Asíntotas horizontales y verticales Continuidad. Tipo de discontinuidad. f(−2), f(0), f(2) Si f(x) = 2, ¿cuánto vale x?

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a) b) c) d)

Dominio Recorrido Puntos de corte con los ejes Intervalos de crecimiento y decrecimiento e) Máximos y mínimos relativos y absolutos f)

g) xlím → 0+ h) i) j) k) l)

f ( x) =

lím

x → − 2+

lím f ( x) =

x → −2 −

f ( x) = lím− f ( x ) = x→ 0

lím f (x) = lím f (x) =

x→∞

x → −∞

Asíntotas horizontales y verticales Continuidad. Tipo de discontinuidad. f(−2), f(0), f(2), f(−4), f(4), f(3) Si f(x) = 1, ¿cuánto vale x?

a) b) c) d)

Dominio Recorrido Puntos de corte con los ejes Intervalos de crecimiento y decrecimiento e) Máximos y mínimos relativos y absolutos f) g) h) i) j) k)

lím

x → − 2+

f ( x) =

lím f ( x) =

x → −2 −

lím f (x) = lím f (x) =

x→∞

x → −∞

Asíntotas horizontales y verticales Continuidad. Tipo de discontinuidad. f(−2), f(0), f(2), f(−4), f(4), f(3) Si f(x) = 1, ¿cuánto vale x?

Parábolas 59º) Representa gráficamente las siguientes parábolas: a) y = 5 x 2 − 5 x − 10 c) y = − x 2 − 4 x + 5 b) y = −3x 2 − 3 x − 6 d) y = − x 2 + 2 x + 8

e) y = − x 2 + 6 x − 8 f) y = −2 x 2 − 5 x + 3

Funciones definidas a trozos 60º) Representa las siguientes funciones definidas a trozos: 1  2 − 2 x − 5 x + 3 , si x < 2 a) f ( x) =  − 1 x + 1 , si x ≥ 1  2 4 2

− x 2 − 4 x + 5, si x < 1 f ( x ) = b)   2 x − 1, si x ≥ 1

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− x 2 − x + 6, si x ≤ 2  c) f ( x) =  2 14 − x + , si x ≥ 3 3  3

 x2 3  + x − , si x < 1 d) f ( x) =  2 2 − 2 x 2 + 8 x − 6, si x ≥ 1

Funciones elementales 61º) Relaciona la expresión algebraica de las siguientes funciones con su gráfica correspondiente: FUNCIÓN C: 1 y=− x

FUNCIÓN D: x 3 y =  2

FUNCIÓN G:

FUNCIÓN H:

y = x2 − 1

y = 2x + 2

GRÁFICA 1

FUNCIÓN F: x 2 y=  3 GRÁFICA 2

GRÁFICA3

GRÁFICA 4

GRÁFICA 5

GRÁFICA 6

GRÁFICA 7

GRÁFICA 8

FUNCIÓN A: 1 y= x

FUNCIÓN B:

FUNCIÓN E:

y = − x2 + 1

y = −2x + 2

Ecuaciones exponenciales 62º) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 2 − x − 4 = 0 b)

4 =8

c) 4

x

x +3

x +2 3

1 =  2

3x+1

x

x

2 =4 d) 2 5 2 2x e) 2 4 x − 12 = 2 2 x

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f)

5 2 x +1 − 5 x + 2 = 2500

g)

9 x − 6 ⋅ 3 x +1 = −81

h)

2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 112

x −x i) 2 + 2 =

j)

4

x -2

65 8

- 2 x+1 = - 12

k) 2 2− x − 2 − x + 2 = 2 3

12

C

3

A

γ

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α Triángulos rectángulos β 62º) En el siguiente triángulo rectángulo calcula: B a) sen γ c) sen (α+β)

b) sen β d) cos (90º − γ)

e) tg γ

f) tg β

63º) Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo con un ángulo de 34º si la hipotenusa mide 16 cm. 64º) Mirando un mapa topográfico averiguamos que las cotas de las cimas de dos montes son de 567 m y 648 m respectivamente. Desde el más bajo de los dos, se ve la cima del otro bajo un ángulo de 12º, ¿cuál es la distancia (en línea recta) que separa las dos cimas? (Sol: 389,59 m) 65º) Colocados a cierta distancia del pie de un árbol vertical, se ve bajo un ángulo de 60º. ¿Bajo qué ángulo se verá el árbol si nos colocamos a una distancia triple? 66º) Una escalera de 4 metros está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 metros de la pared? (Sol: 60º) 67º) Un camino forestal tiene una pendiente de 16º. ¿Qué altura vertical ascenderemos al recorrer 83 m de camino? (Sol: 22,87 m) 68º) Una persona de 1,76 m proyecta una sombra de 1,21 m. Calcular el ángulo que forma el sol con el horizonte. En ese mismo instante la sombra de un árbol mide 2,37 m. ¿Cuánto mide el árbol? (Solución: 3,45 m) Estrategia de la altura (doble visual) 69º) Se quiere montar un tendido eléctrico como el señalado en el dibujo. Necesitamos saber cuántos metros de cable son necesarios para conectar B y C y salvar el barranco. Para ello sólo conocemos la distancia entre las torres A y B, que es de 200 m; con ayuda de un goniómetro, desde el punto A, medimos el ángulo que forma la visual a C con la horizontal: 30º. Repitiendo la medida en B, el ángulo que forma ahora la visual a C con la horizontal es de 60º. ¿Cuántos metros de cable se necesitan para unir B y C? (Solución: 200 m)

C

A

B

70º) Desde el punto medio de la distancia entre dos torres A y B, se ven los puntos más altos de cada uno, bajo ángulos de 30º y 60º respectivamente. Si A tiene una altura de 40 m, halla la altura de B y la distancia entre ambas torres. (Solución: 120 m; 138,56 m)

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71º) La chimenea de una fábrica mide 10 m y está situada sobre el tejado del edificio. Nos situamos frente a éste, a una cierta distancia. Desde ahí, se observa la base de la chimenea bajo un ángulo de 53º y su extremo superior bajo un ángulo de 63º. ¿A qué distancia estamos del edificio? ¿Cuál es su altura total? 72º) Determina la altura de un árbol si desde un punto situado a una cierta distancia de su base se observa su copa con un ángulo de 65º, y si nos alejamos 100 metros se ve la copa con un ángulo de 54º 73º) Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la figura. Calcula: a) La altura de la antena b) La longitud de los cables ˆ c) El valor del ángulo B

ˆ B

Cˆ = 60º

 = 30º 126 m

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 74º) Dibuja el ángulo y calcula el valor exacto de todas sus razones trigonométricas, sabiendo que: 1 2 5 5 a) cos α = sec α = 5 y 0º < α < 90º (Sol: sen α = , cos α = , 5 5 5 tg α = 2) b) tg α =

1 3π 5 2 5 yπ<α< (Sol: sen α = − , cos α = − ) 2 2 5 5

c) cos α = −

4 3 3 y sen α < 0 (Sol: sen α = − , tg α = ) 5 5 4

d) tgα = −

1 1 17 4 17 y cos α < 0 (Sol: sen α = , cos α = − , tg α = − ) 4 4 17 17

e) sen α =

1 y α∈I cuadrante 5

f) tg α = 3 y sen α < 0 g) sen α =

2 2 2 y 90º < α < 180º (Sol: sen α = , cos α = − , tg α = 1) 2 2 2

Cambio de cuadrante 75º) Calcula el valor exacto de: 1 a) ⋅ sen 120º + cos2 225º − tg 315º 2 300º

b)

1 ⋅ sen 210º + cos2 135º − 2

3 · tg

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76º) Expresa las siguientes razones trigonométricas en función de razones trigonométricas de ángulos situados en el primer cuadrante: a) b) c) d)

cos 124º cos 236º tg 304º sen 250º

f) g) h) i) j)

e)

cos 340º cos 108º sen 108º sen 250º

k) l) m) n) o)

cos 340º tg 110º tg 290º sen 1.555º

p) q) r) s)

sen 249º cos 2.315º cos (− 210º) sen (− 40º)

Problemas 77º) Calcula el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. (Solución: 237,84 cm2) 78º) En una circunferencia de 12 cm de radio, se traza una cuerda de 13 cm. Calcula el valor del ángulo central que abarca dicha cuerda. Variable estadística cualitativa 79º) Se ha hecho una encuesta sobre el tipo de programas de ordenadores que prefieren los alumnos de un instituto, resultando: Juegos: 280 alumnos Diseño: 200 alumnos Educativos: 120 alumnos Representa estos datos en un diagrama de sectores. Variable estadística discreta 80º) En una determinada autoescuela han ido anotando el número de veces que se han tenido que examinar sus alumnos de la parte práctica hasta obtener el permiso de conducir. La siguiente tabla resume la información: Nº DE EXÁMENES Nº DE ALUMNOS

1 12

2 25

3 28

4 16

5 8

6 6

7 4

8 3

a) Representa gráficamente la distribución b) Calcula la media, mediana, moda, recorrido y desviación típica c) Calcula Me, Q1, Q3 y p90. 81º) Las notas de los alumnos de dos clases vienen dadas por sus correspondientes tablas: CLASE A

xi fi

0 0

1 0

2 0

3 0

4 5 12 13

6 5

7 2

8 2

9 0

10 0

CLASE B

xi fi

0 6

1 5

2 3

3 0

4 2

6 2

7 0

8 1

9 4

10 8

5 1

Haz la tabla de frecuencias para cada clase, y dibuja los diagramas de barras. Calcula la media, mediana, moda, recorrido y desviación típica de cada clase.

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Observando los diagramas de barras ¿cuál de las dos distribuciones es la más dispersa? ¿Podrías haber llegado a la misma conclusión observando sus desviaciones típicas? 82º) El peso medio de 5 chicas es 56,2 kg y el peso medio de 7 chicos es 62,8 kg. Hallar: a) El peso total de las 5 chicas. b) El peso total de los 7 chicos. c) El peso medio de todo el grupo. 83º) El tiempo medio empleado por el tren en recorrer un cierto trayecto es de 25 minutos, con una desviación típica de 5 minutos. Haciendo el mismo trayecto en coche, el tiempo medio ha sido de 35 minutos, con una desviación típica de 15 minutos. Calcula el coeficiente de variación y di en cuál de los dos casos hay mayor variación relativa. Variable estadística continúa 84º) Las edades de los jóvenes que han asistido a un campamento de verano vienen reflejadas en la siguiente tabla: EDAD Nº DE PERSONAS

[10, 12) 10

[12, 14) 23

[14, 16) 31

[16, 18) 19

[18, 20] 7

a) Representa adecuadamente la variable estadística b) Calcula la media y la desviación típica de esta distribución. c) En otra actividad programada también para ese verano, la edad media de los participantes fue de 13 años, con una desviación típica de 3,2 años. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos. 85º) Midiendo el peso, en kilogramos, de los niños y las niñas de un determinado grupo, todos ellos de la misma edad, hemos obtenido los siguientes resultados: PESO (Kg) Nº DE NIÑOS/AS

[10, 13) 6

[13, 16) 50

[16, 19) 32

[19, 22) 9

[22, 25] 3

a) Representa adecuadamente la variable estadística b) Calcula la media y la desviación típica. c) En cuanto al peso, ¿es un grupo homogéneo o es disperso? Probabilidad experimentos sencillos 86º) Introducimos en una bolsa 9 bolas numeradas del 1 al 9. Extraemos una al azar y anotamos el número obtenido. Consideramos los sucesos: A = "Obtener un número par" B = "Sacar más de 6" a) Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, A , B, B , A ∩ B y A ∪ B. b) Calcula las siguientes probabilidades: P (A); P ( A ); P (B); P ( B ); P (A ∪ B); P (A ∩ B) Probabilidad experimentos compuestos 16

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87º) Escribimos cada una de las letras de la palabra LÁPIZ en un papel y las ponemos en una bolsa. Si extraemos dos letras a la vez, calcula la probabilidad de sacar: a) Dos vocales. b) Una vocal y una consonante. 88º) En una urna hay 6 bolas blancas, 5 rojas y 9 negras. Sacamos dos bolas sin reemplazamiento, es decir, sin devolverlas a la urna en cada caso. Calcula la probabilidad de obtener: a) Dos bolas blancas. b) Dos bolas de distinto color. 89º) Tenemos una urna con 4 bolas blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas a la vez. Calcula la probabilidad de obtener: a) Dos bolas blancas. b) Dos bolas de distinto color. (Repite el ejercicio sacando las dos bolas con reemplazamiento) Probabilidad condicionada 90º) En una clase de 25 alumnos de 4º ESO hay 15 chicas y 10 chicos. Aprueban el área de matemáticas 20 de ellos; de entre los cuales, hay 8 chicos. a) Haz con los datos una tabla de contingencia. b) Si elegimos un alumno al azar, calcula las siguientes probabilidades: P [chica], P [aprueba], P [chica que aprueba], P [aprueba/chica]

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