Trabajo Integral (iii Unidad).docx

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

DOCENTE:

REYES ALVA EDINSON ENRIQUE

CURSO:

CÁLCULO INTEGRAL

TEMA:

INTEGRALES DEFINIDAS

ESTUDIANTE: CHAVEZ HUAMAN EMERSON BAUTISTA DIAZ NILTON COLUNCHE ORRILLO IVAN YOPLAC CHÁVEZ JHOEL ZAMORA TRUJILLO MAYHLEE

CARRERA:

CICLO:

INGENIERÍA CIVIL

III

CHACHAPOYAS, MAYO DEL 2018.

INTRODUCCIÓN El informe que a continuación se desarrolla es referente al curso de cálculo integral; este informe ha sido realizado con el fin de aprender esta ciencia de una manera autodidacta, con el fin de reforzar los temas que el profesor Edinson Enrique Reyes Alva nos enseña día a día. Mientras va transcurriendo el tiempo y nuestra estadía en la universidad, los conocimientos que vamos adquiriendo son cada vez más interesantes e importantes en nuestra formación académica profesional. Hoy nos encontramos en un tema muy importante del cálculo Integral que es: “LA INTEGRAL DEFINIDA”. En el presente informe trataremos de la historia del cálculo integral, de la biografía de dos matemáticos que aportaron a esta ciencia, también trataremos de ejercicios referentes a las propiedades de la integral definida y finalmente ejercicios donde se aplique los métodos de la corteza y el disco. La intención principal y propósito de este informe es que contribuya en desarrollar en nosotros la habilidad de resolver ejercicios, y poder aplicarlas a nuestra carrera y a la vida real.

OBJETIVOS 1. OBGETIVOS GENERALES  Conocer la historia del cálculo integral.  Conocer los aportes que hicieron algunos matemáticos al cálculo integral.  Aplicar la integral definida para resolver problemas de cálculo de áreas por sumatorias, cálculo de volúmenes de sólidos de religión. 2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Entender el segundo teorema fundamental del cálculo como una antiderivada de una función.  Entender la importancia de la integral definida.  Calcular áreas y volúmenes de solidos de revolución como aplicaciones de la integral definida.

1

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 1 OBJETIVOS................................................................................................................................... 1 1. OBGETIVOS GENERALES .............................................................................................. 1 2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................. 1 ÍNDICE ........................................................................................................................................... 2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y EJERCICIOS DE APLICACION .... 10 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................... 3

2

ISTORIA DEL CÁLCULO INTEGRAL a. ANTECEDENTES HISTORICOS La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. i.

INTEGRACIÓN ANTES DEL CÁLCULO

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral. Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos

3

adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación. ii.

NEWTON Y LEIBNIZ

Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema

fundamental

del

cálculo,

realizado

de

manera

independiente

por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz. iii.

FORMALIZACIÓN DE LAS INTEGRALES

Aunque Newton y Leibniz suministraron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de la integral1 basada en la teoría de la medida. También se propusieron otras definiciones de integral, que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue. iv.

NOTACIÓN

Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con

o

, que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil

de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

4

La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675. Para indicar summa (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822. En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido ∫ 𝑑𝑥. b. EL ORIGEN DEL CÁLCULO INTEGRAL El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones. El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo

5

diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J. Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. Los creadores del Análisis Infinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos de sus cálculos. En la teoría de fluxiones de Newton la mutua invisibilidad de los problemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el problema era más complejo: la integral surgía inicialmente como definida. No obstante, la integración se reducía prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La idea de la integración indefinida fue inicialmente la dominante. El Cálculo Integral incluía además de la integración de funciones, los problemas y la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo variacional, la teoría de funciones especiales, etc. Tal formulación general creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandes volúmenes para dar una exposición sistemática de él. Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. Los logros principales en la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por este último hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todavía constituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Integral de Euler y su comparación con los textos actuales.

6

La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo. Tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. c. APORTANTES i.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17

de

septiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20

de

julio de 1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la hipótesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann.

d. IMPORTANCIA DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ACTUALIDAD La importancia del Cálculo Integral en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología moderna sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas e integrales, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta materia aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas técnicas. El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento.

7

Es muy interesante prestar atención a la cantidad de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto, merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajó con los métodos “infinitesimales”. Pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del desarrollo matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. BIOGRAFÍA DE RIEMANN Y ALFRED ROSSEMBLATT I.

BIOGRAFÍA DE RIEMANN

Nació en una aldea cercana a Dannenberg, en el Reino de Hanóver, actualmente parte de Alemania. Su padre Friedrich Bernhard Riemann era pastor luterano en Breselenz y había luchado en las guerras Napoleónicas. Bernhard era el segundo de seis niños, su frágil salud y la temprana muerte de casi todos sus hermanos fueron debidos a la subalimentación en su juventud. Su madre también murió antes de que sus hijos crecieran. En 1840 Bernhard fue a Hanóver a vivir con su abuela y a visitar el Lyceum. Después de la muerte de su abuela en 1842 entró al Johanneum Lüneburg. Desde pequeño demostró una fabulosa capacidad para el cálculo unido a una timidez casi enfermiza. Durante sus estudios de secundaria aprendía tan rápido que enseguida adelantaba a todos sus profesores. En 1846, a la edad de 19, comenzó a estudiar filología y teología en la Universidad de Göttingen, su idea era complacer a su padre y poder ayudar a su familia haciéndose pastor. Acudió a conferencias de Gauss sobre el Método de mínimos cuadrados. En 1847 su padre reunió el dinero suficiente para que comenzara a estudiar matemáticas. En 1847 se trasladó a Berlín, donde enseñaban Jacobi, Dirichlet y Steiner. En 1848 estallaron manifestaciones y movimientos obreros por toda Alemania, Riemann fue reclutado por las milicias de estudiantes, incluso ayudó a proteger al rey en su palacio de Berlín. Permaneció allí por dos años y volvió a Göttingen en 1849.

8

En 1859, al doctorarse en matemáticas ante Gauss, formuló por primera vez la hipótesis de Riemann el cual es uno de los más famosos e importantes problemas sin resolver de las matemáticas. II.

BIOGRAFÍA DE ALFRED ROSSEMBLATT

Nació en Kradow (Cracovia), la ciudad más antigua de Polonia, el 22 de junio de 1880. Su padre fue el Dr. José Rossemblatt, profesor de Derecho penal y miembro de la comisión encargada de confeccionar el Código Penal de Austria. Sus estudios los realizó en la escuela politécnica de Viena y en la facultad de filosofía de la universidad de Cracovia, en la que obtuvo el grado de académico de filosofía presentando como tesis su trabajo: “Las funciones enteras con variables complejas”. Posteriormente estudio en la universidad de Gottingen, en Alemania, y trabajó como profesor de matemáticas en la universidad de Cracovia donde se había graduado. El 10 de agosto de 1936 llega al Perú, contratado por la facultad de ciencias de la Universidad Mayor de San Marcos, gracias a la gestión del decano de entonces el Dr. Godolfredo García Díaz y se hizo cargo de las cátedras de astronomía y geodesia; luego de los cursos de análisis I, II Y III, de cálculo de probabilidades, Geometría proyectiva, Física Matemática, Geofísica y Astrofísica. Fue un destacado investigador científico y publicó más de 225 trabajos en diferentes idiomas (francés, polaco, inglés, alemán, español e italiano), y años más tarde adopto la nacionalidad peruana y permaneció en Lima hasta su fallecimiento. En este largo periodo contribuyó de una manera decisiva en un cambio sustancial del estudio de la matemática de la universidad y dio impulso al renacimiento de la actividad científica en todos los campos. Gracias a el no solo se modernizó la enseñanza de la matemática, si no se intensificó gradualmente la investigación en diferentes campos que hasta entonces se desconocían. Por sus dotes de investigador sustento conferencias en las universidades de Roma, Sofía, Belgrano, en la Sorbona de Paris y diferentes universidades de los Estados Unidos. En el año 1929 participó en los congresos de matemática de Bologna, donde fue presidente de la sección de hidrodinámica, de Lwow, de Cambridge y Zúrich. También fue miembro honorario de la revista de ciencias de la facultad de la Universidad de San Marcos. Sus trabajos versaron principalmente sobre la búsqueda de un método que sirviese a la vez para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones de derivadas parciales.

9

También investigó sobre mecánica e hidrodinámica. Murió en Lima, el 9 de julio de 1947 a la edad de 67 años. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y EJERCICIOS DE APLICACION 1. 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅: 𝒃

𝒃

∫ 𝒌𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒌 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂

𝒂

a) Ejercicio: 2

∫ (8𝑥 3 + 4𝑥 + 2)𝑑𝑥 1

solución 2

2

2

∫ (8𝑥 3 + 4𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫ 2(4𝑥 3 + 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 2 ∫ (4𝑥 3 + 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 1

1

1

2

4𝑥 2 2𝑥 2 2( + + 𝑥)| = 2[(24 + 4 + 2) − (1 + 1 + 1)] = 2(22 − 3) = 𝟑𝟖 4 2 1 b) Ejercicio: 2

∫ (6𝑥 2 − 18𝑥 + 3)𝑑𝑥 1

solución 5

∫

(6𝑥 2

0

5

5

2𝑥 3 6𝑥 2 − 18𝑥 + 3)𝑑𝑥 = ∫ 3(2𝑥 − 6𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 3 ( − + 𝑥)| 3 2 0 0 2

(2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 3𝑥)|50 = (2(5)3 − 9(5) + 3(5)) = 250 − 225 + 15 = 𝟒𝟎 c) Ejercicios 2

2 ∫ 2𝑥√𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 0

solución

2

2 ∫ 2𝑥 √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 0

1 0

2

4√𝑢3 𝑢 = 𝑥 2 + 1 → 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜2 ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = ( )| 3 0 2 4 𝟒 (√(𝑥 2 + 1)3 )| = (√𝟓𝟑 − 𝟏) 3 𝟑 0

2. 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅: 𝒃

𝒃

𝒃

∫ [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 𝒂

𝒂

𝒂

a) Ejercicio: 1

∫ [(𝑥 + 2)2 + sin 𝑥 cos 𝑥] 𝑑𝑥 0

Solución 1

1

1

∫ [(𝑥 + 2)2 + sin 𝑥 cos 𝑥] 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 + ∫ sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 0

0

0

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = sin 𝑥 → 𝑑𝑢 = cos 𝑥𝑑𝑥 1

1

∫ (𝑥 2 + 4𝑥 + 4) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑢𝑑𝑢 = ∫ (𝑥 2 + 4𝑥 + 4) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑢𝑑𝑢 0

0 1

1

(sin 𝑥)2 𝑥3 𝑢3 1 𝟑𝟖 + 𝟑(𝐬𝐢𝐧 𝟏)𝟐 ( + 2𝑥 2 + 4𝑥)| + = +2+4+( )| = 3 2 3 2 𝟔 0 0 b) Ejercicio: 3

∫ [( 2

5𝑥 + 2 ) + 7𝑥] 𝑑𝑥 3

Solución 3

3 3 5𝑥 + 2 5𝑥 + 2 ∫ [( ) + 7𝑥] 𝑑𝑥 = ∫ ( ) 𝑑𝑥 + ∫ (7𝑥)𝑑𝑥 3 3 2 2 2 3

3

3 1 3 1 5(𝑥)2 7𝑥 2 ∫ (5𝑥 + 2)𝑑𝑥 + ∫ (7𝑥)𝑑𝑥 = ( + 2𝑥)| + | 3 2 3 2 2 2 2 2 3

3

5𝑥 2 2𝑥 7𝑥 2 45 20 4 63 57 28 35 ( + )| + | = ( + 2) − ( + ) + − 14 = − + = 𝟐𝟐. 𝟑 6 3 2 2 2 6 6 3 2 6 6 2 c) Ejercicio:

1 1

2

∫ [6𝑥 2 + 2𝑥 2 + 8𝑥] 𝑑𝑥 1

Solución 2

∫

2

[6𝑥 2

2

+ 2𝑥 + 8𝑥] 𝑑𝑥 = ∫

1

2

[8𝑥 2

+ 8𝑥] 𝑑𝑥 = ∫

1 2

[8𝑥 2 ]

2

𝑑𝑥 + ∫ [8𝑥] 𝑑𝑥

1

1

2

8𝑥 3 8𝑥 3 64 8 32 8 56 24 𝟗𝟐 | + | = − + − = + = 3 1 2 1 3 3 3 3 3 2 𝟑

3. 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅: 𝒃

𝒄

𝒃

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 𝒂

𝒂

𝒄

𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒇 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 (𝒂, 𝒃); (𝒄, 𝒃), (𝒂, 𝒃)𝒚 𝒂 ≤ 𝒄 ≤ 𝒃 a) Ejercicio: 4

∫ [𝑥 2 + 𝑥 − 6] 𝑑𝑥 −4

Solución 4

∫ [𝑥 2 + 𝑥 − 6] 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2), [−4, −3] ∪ [−3,2] ∪ [2,4] −4 4

−3

2

4

∫ [𝑥 2 + 𝑥 − 6] 𝑑𝑥 = ∫ [𝑥 2 + 𝑥 − 6] + ∫ [𝑥 2 + 𝑥 − 6]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 2 + 𝑥 − 6] 𝑑𝑥 −4

−4

−3 −3

2 2

4

𝑥3 𝑥2 𝑥3 𝑥2 𝑥3 𝑥2 [ + − 6𝑥]| + [ + − 6𝑥]| + [ + − 6𝑥]| 3 2 3 2 3 2 −4 −3 2 (

−27 9 64 8 9 64 + − 18) − (− + 8 + 24) + ( + 2 − 12) − (−9 + + 18) + ( − 16) 3 2 3 3 2 3 8 − ( − 10) 3 −27 9 8 9 56 𝟏𝟔 ( + − 23) + ( + − 19) + ( − 6) = − 3 2 3 2 3 𝟑 b) Ejercicio: 4

𝑥+1 ∫ | | 𝑑𝑥 −2 𝑥 + 6 Solución 4

𝑥+1 ∫ | | 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 (−2,4), (−2, −1), (−1,4) −2 𝑥 + 6

1 2

4

1 4 𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 ∫ | | 𝑑𝑥 = ∫ | | 𝑑𝑥 + ∫ | | 𝑑𝑥 −2 𝑥 + 6 −2 𝑥 + 6 −1 𝑥 + 6 −1

= − (∫ −2 −1

− (∫

(1 −

−2

4 𝑥+1 𝑥+1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥) 𝑥+6 −1 𝑥 + 6

4 5 5 ) 𝑑𝑥 + ∫ (1 − ) 𝑑𝑥) 𝑥+6 𝑥+6 −1 −1

4

= −(𝑥 − 5)𝑙𝑛|𝑥 + 6||−2 −(𝑥 − 5)𝑙𝑛|𝑥 + 6||−1 4 5 𝟓 1 + 5 ln ( ) + 5 + 5𝑙𝑛 ( ) = 𝟒 − 𝟓𝒍𝒏 ( ) 5 10 𝟖 c) Ejercicio: 3

∫ (𝑥 2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥 0

Solución 3

1

3

∫ (𝑥 2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥 0

0

1

1

3

𝑥 3 4𝑥 2 𝑥 3 4𝑥 2 1 1 ( + − 5𝑥)| + ( + − 5𝑥)| = ( + 2 − 5) + (12 − ) = 𝟏𝟐 3 2 3 2 3 3 0 1 4. 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅: 𝒃

𝒂

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙−= − ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒃 > 𝒂 𝒂

𝒃

a) Ejercicio: 3

∫ (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 2

Solución 3

2

∫ (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 = − ∫ (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 2

3 3

2

2𝑥 2 2𝑥 2 ( + 3𝑥)| = − ( + 3𝑥)| 2 2 2 3 (𝑥 2 + 3𝑥)|32 = −(𝑥 2 + 3𝑥)|23 [(9 + 9) − (4 + 6)] = −[(6 + 4) − (9 + 9)] 𝟖=𝟖 b) Ejercicio: 3

∫ (2𝑥 2 + 4𝑥)𝑑𝑥 1

1 3

Solución 3

∫

1

1

(2𝑥 2

+ 4𝑥)𝑑𝑥 = − ∫

1

(2𝑥 2

3

1

2𝑥 3 4𝑥 2 2𝑥 3 + 4𝑥)𝑑𝑥 = − ( + )| = ( + 2𝑥 2 )| 3 2 3 3 3

2 54 8 108 𝟏𝟎𝟎 ( + 2) − ( + 18) = − ( ) + ( )= 3 3 3 3 𝟑 c) Ejercicio: 2

∫ (𝑥 2 √𝑥 3 + 1) 𝑑𝑥 1

Solución 2

∫ (𝑥 2 √𝑥 3 + 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑥 3 + 1 → 𝑑𝑢 = (3𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜: 1 1

1

1 2 1 √𝑢3 1 √(𝑥 3 + 1)3 2 − ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = − ( )| = − ( )| = − [2√2 − 27] 3 1 3 3 2 3 3 9 2

=

𝟐 (𝟐𝟕 − 𝟐√𝟐) 𝟗

5. 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅: 𝒂

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎 𝒂

a) Ejercicio: 1

∫ 1

𝑑𝑥 𝑥 2 + 4𝑥 + 5

Solución 1

1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫ 2 =∫ = 𝐴𝑟𝑐𝑎𝑡𝑔(𝑥 + 2)11 2 1 𝑥 + 4𝑥 + 5 1 (𝑥 + 2) + 1

𝐴𝑟𝑐𝑎𝑡𝑔(3) − 𝐴𝑟𝑐𝑎𝑡𝑔(3) = 𝟎 b) Ejercicio: 2

∫ (4𝑥 3 + 2𝑥 + 2)𝑑𝑥 2

Solución 2

∫ 2

(4𝑥 3

2

4𝑥 4 2𝑥 2 + 2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ( − + 2𝑥)| = (𝑥 4 − 𝑥 2 + 2𝑥)|22 = 𝟎 4 2 2

c) Ejercicio:

1 4

2

∫ (7𝑥 + 10)𝑑𝑥 2

Solución 2

2

7𝑥 2 ∫ (7𝑥 + 10)𝑑𝑥 = ( + 10𝑥)| = (14 + 20) − (14 + 20) = 𝟎 2 2 2 6. 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅: 𝒃

𝒃+𝒌

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙−= − ∫ 𝒂

𝒇(𝒙 − 𝒌)𝒅𝒙

𝒂+𝒌

a) Ejercicio: 1

𝑥3 𝑑𝑥 −1 𝑥 + 2

∫

Solución 1

1+1 𝑥3 (𝑥 − 1)3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑥 + 1 𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 −1 𝑥 + 2 −1+1 (𝑥 + 1)

∫ ∫

(𝑢 − 1)3 𝑢3 − 6𝑢2 + 12𝑢 − 8 8 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 = ∫ (𝑢2 − 6𝑢 + 12 − ) 𝑑𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 2

2

𝑢3 (𝑥 + 1)3 2 ( − 3𝑢 + 12𝑢 − 8ln(𝑢))| = ( − 3(𝑥 + 1)2 + 12(𝑥 + 1) − 8ln(𝑥 + 1))| 3 3 2 0 2 1 (−3𝑥 3 + 6𝑥 + (𝑥 + 1)3 + 12(𝑥 + 1) − 8 ln(𝑥 + 1))| 3 0

−8 ln(3) + 18 −

28 𝟐𝟔 = −𝟖 𝐥𝐧(𝟑) − 3 𝟑

b) Ejercicio: 2

∫ ((𝑥 + 3)2 + 4𝑥)𝑑𝑥 1

Solución 2

2 2

∫ ((𝑥 + 3) + 4𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 1

(𝑥 2

2+1

+ 6𝑥 + 9 + 4𝑥)𝑑𝑥 = ∫

1

(𝑥 2 + 10𝑥 + 9)𝑑𝑥

1+1 3

3 𝑥 3 10𝑥 2 8 𝟏𝟓𝟐 ∫ ((𝑥 2 + 10𝑥 + 9) − 1)𝑑𝑥 = ( + + 8𝑥)| = (9 − 21) − ( + 36) = 3 2 3 𝟑 2 2

c) Ejercicio: 2

∫ (4𝑥 2 + 3𝑥 + 6)𝑑𝑥 1

Solución 1 5

3

2

3

4𝑥 3 3𝑥 2 ∫ ((4𝑥 + 3𝑥 + 6) − 1)𝑑𝑥 = ∫ (4𝑥 + 3𝑥 + 5)𝑑𝑥 = ( + + 6𝑥)| 3 2 2 2 0 2

2

2

4(2)3 3(2)2 𝟏𝟏𝟗 ( + + 6(2) − 0)| = 3 2 𝟔 0

7. 𝒔𝒊 𝒇 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 [𝟎, 𝒂], 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒂

𝒂

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒂 − 𝒙)𝒅𝒙 𝟎

𝟎

a) Ejercicio: 2

∫ (5𝑥 2 + 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 0

Solución 2

2

2

−5𝑥 3 ∫ [(2) − (5𝑥 + 2𝑥 + 1))𝑑𝑥 = ∫ (−5𝑥 − 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ( − 𝑥 2 + 𝑥)| 3 0 0 0 2

2

(

−5(8) −40 −𝟒𝟔 − 4 + 2) = ( − 2) = 3 3 𝟑

b) Ejercicio: 5

∫ (𝑥 − 3)𝑑𝑥 −2

Solución 5

5

∫ (𝑥 − 3)𝑑𝑥 = ∫ |𝑥 − 3| 𝑑𝑥 = |𝑥 − 3| { −2 3

−2 3

5

𝑥−3 𝑥 ≥3 −(𝑥 + 3) 𝑥 < 3 5

−2𝑥 2 𝑥2 25 𝟐𝟗 ∫ (−𝑥 + 3)𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 − 3)𝑑𝑥 = ( + 3𝑥)| + ( − 3𝑥)| = +2= 2 2 2 𝟐 −2 3 −2 3

8. 𝒔𝒊 𝒇 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒂𝒓 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 [−𝒂, 𝒂], 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒂

𝒂

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 −𝒂

𝟎

a) Ejercicio:

1 6

2

∫ (2𝑥 4 + 𝑥 2 − 7)𝑑𝑥 −3

Solución 2

∫ (2𝑥 4 + 𝑥 2 − 7)𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(−𝑥) = (2(−𝑥)4 + (−𝑥)2 − 7), 𝑓(−𝑥) = 2𝑥 4 + 𝑥 2 − 7 −3 3

3

2𝑥 5 𝑥 3 486 𝟒𝟐𝟔 ∫ (2𝑥 + 𝑥 − 7)𝑑𝑥 = ( + − 7𝑥)| = + 9 − 21 = 5 3 5 𝟓 0 0 4

2

b) Ejercicio: 2

∫ (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 −2

Solución

2

2

𝑥3 2 ∫ (𝑥 + 4𝑥 + 4)𝑑𝑥 = ( + 2𝑥 2 + 4𝑥)| = 2(8 + 8 + 8) = 𝟒𝟖 3 0 0 2

c) Ejercicio: 2

∫ (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 −2

Solución 2

2

𝑥2 4 ∫ (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 4 ( + 𝑥)| = 4(2𝑥 2 + 4𝑥)|20 = 8 + 8 = 𝟏𝟔 2 −2 0 9. 𝒔𝒊 𝒇 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 [−𝒂, 𝒂], 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒂

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎 −𝒂

a) Ejercicio: 1

∫ (𝑥 3 + 2𝑥)𝑑𝑥 −1

Solución 1 𝑥 4 2𝑥 2 ∫ (𝑥 3 + 2𝑥)𝑑𝑥 = ( + ) = (2 − 2) = 𝟎 4 2 −1

b) Ejercicio:

1 7

2

∫ [(𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥)(√1 + 𝑥 4 + 3)] 𝑑𝑥 −2

Solución 2

∫ [(𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥)√1 + 𝑥 4 + 3] 𝑑𝑥 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 −2

𝑓(−𝑥) = [(−𝑥)5 + (−𝑥)3 + (−𝑥)(√1 + (−𝑥)4 + 3)] 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 2

∫ [(𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥)(√1 + 𝑥 4 + 3)] 𝑑𝑥 = 𝟎 −2

c) Ejercicio: 1

∫ (3𝑥 3 + 2𝑥)𝑑𝑥 −1

Solución 1

1

∫

(3𝑥 3

−1

3𝑥 4 2𝑥 2 3 3 + 2𝑥)𝑑𝑥 = ( + )| = + 1 − − 1 = 𝟎 4 2 −1 4 4

10. 𝒔𝒊 𝒇 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 [𝒂, 𝒃]𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒄 ≠ 𝟎 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆: 𝒃

𝒃

𝒃 𝒄 𝟏 𝒃𝒄 𝒙 𝑎) ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇 ( ) 𝒅𝒙 𝑏) ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒄𝒙)𝒅𝒙 𝒂 𝒄 𝒂𝒄 𝒄 𝒂 𝒂 𝒄

a) Ejercicio: 2

∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 1

Solución

C=2 4 1 4𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 4 𝑥 ∫ ln ( ) 𝑑𝑥 → 𝐼 = ∫ ln ( ) 𝑑𝑥 = 𝐼 = ∫ 𝑥 ln ( ) 𝑑𝑥 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

𝑥 1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = ln ( ) 𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑥2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 𝑦 𝑣 = 2

1 8

4 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 2 2 ln ( ) 𝑥 ln ( ) 𝑥 ln ( ) 𝑥 1 1 1 𝑥 𝑥 𝐼= [ 2 − ∫ 𝑥𝑑𝑥] = [ 2 − ]=( 2 − )| 2 2 2 2 2 4 4 8 2

𝐼=

16 ln(2) 16 1 8 ln(2) − 3 − + = 4 8 2 2

Reemplazando I en la integral tenemos: →

1 4𝑥 𝑥 1 8 ln(2) − 3 8 ln(2) − 3 ∫ ln ( ) 𝑑𝑥 = ( )= 2 2 2 2 2 2 4 2 1 4𝑥 𝑥 𝟖 𝐥𝐧(𝟐) − 𝟑 → ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = ∫ ln ( ) 𝑑𝑥 = 2 2 2 2 𝟒 1

b) Ejercicio: 2

∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 1

Solución

1

1

2 ∫ 2𝑥𝑙𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥𝑙𝑛2𝑥𝑑𝑥 1 2

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑙𝑛2𝑥 𝑦 𝑑𝑢 =

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 𝑦 𝑣 =

1 2

1 𝑑𝑥 𝑥

𝑥2 2 1

ln(2𝑥)𝑥 2 1 ln(2𝑥)𝑥 2 𝑥 2 ln(2) 1 1 4[ − ∫ 𝑥𝑑𝑥] = 4 ( − )| = 4 [( − ) + ( )] 2 2 2 4 1 2 4 16 2

8ln(2) − 3 = 4[ ] 16 2

1

→ ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 2 ∫ 2𝑥𝑙𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 1

1 2

𝟖𝐥𝐧(𝟐) − 𝟑 𝟒

1 9

c) Ejercicio: 2

∫ (𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + 𝑥)𝑑𝑥 1

Solución 2 3

2

2 3

3 3𝑥 3 21𝑥 2 3 ∫ (𝑥 2 + 6𝑥 + 9)𝑑𝑥 = ∫ (3𝑥 2 + 21𝑥 + 27)𝑑𝑥 = 3 ( + + 27𝑥)| 1 1 3 2 1 3

3

2 3(3)3 3

+

2 21(3)2 2

2 + 6( ) − 3

3

1 3 3 (3) 3

−

1 21(3)2 2

(

2 3

2 𝟐𝟎𝟑𝟗 − 6 ( ) || = 3 𝟏𝟖 )

1 3

d) Ejercicio: 3

∫ (5𝑥 + 2)𝑑𝑥 2

Solución 3

6

1 6 5𝑥 + 2 1 6 1 5𝑥 2 𝟐𝟕 ∫ (5𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫ ( )𝑑𝑥 = ∫ (5𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ( + 2𝑥)| = 2 4 2 4 4 4 2 𝟐 2 4

2 0

EJERCICIOS DE LAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EJERCICIOS DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 1.

Calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por las curvas alrededor de la recta. 𝑦 = −𝑥 2 − 3𝑥 + 6; 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 = 3

Solución - Vértice de la parábola 𝑦 = −𝑥 2 − 3𝑥 + 6

−𝑦 + 6 +

𝑦 − 6 = −(𝑥 2 + 3𝑥) 2

−(𝑦 − 6) = (𝑥 + 3𝑥) 3 33 𝑉(− ; ) 2 4

−(𝑦 −

9 3 = (𝑥 + )2 4 2

33 3 ) = (𝑥 + )2 4 2

Intersección de puntos −𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 3 − 𝑥 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 𝑥 = −3 ∧ 𝑥 = 1 (−3; 6)(1; 2)

2 1

Encontramos el volumen:

1

𝑉(𝑆) = 2𝜋 ∫ (3 − 𝑥)(−𝑥 2 − 3𝑥 + 6 − 3 + 𝑥) 𝑑𝑥 −3 1

𝑉(𝑆) = 2𝜋 ∫ (3 − 𝑥)(−𝑥 2 − 2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 −3 1

𝑉(𝑆) = 2𝜋 ∫ (𝑥 3 − 𝑥 2 − 9𝑥 + 9) 𝑑𝑥 −3 1

𝑥 4 𝑥 3 9𝑥 2 𝑉(𝑆) = 2𝜋 ( − − + 9𝑥)| 4 3 2 −3 𝑉 (𝑆) =

256𝜋 3 𝑢 3

2. Calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por las curvas alrededor de la recta 𝑦 = √−𝑥, 𝑒𝑗𝑒 𝑥; 𝑥 = −4 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑥 = 3 -

Vértice 𝑉(0; 0)

-

Punto de intersección

−𝑦 2 = −4 𝑦2 = 4 𝑦 = ±2 1

(2; −4)(−2; −4)

-

Encontramos el volumen: 2

2

𝑉(𝑆) = 𝜋 ∫ (−𝑦 2 − (−4)) 𝑑𝑦 0 2

𝑉(𝑆) = 𝜋 ∫ (4 − 𝑦 2 )2 𝑑𝑦 0 2

𝑉(𝑆) = 𝜋 ∫ (16 − 8𝑦 2 + 𝑦 4 ) 𝑑𝑦 0 2

8𝑦 2 𝑦 5 𝑉(𝑆) = 𝜋 (16𝑦 − + )| 3 5 0 𝑉(𝑆) = 𝜋 (32 −

64 32 256 3 + ) = 𝜋( )𝑢 3 5 15

2

EJERCICIOS DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 1. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola 𝑦 = 6 + 4𝑥 − 𝑥 2 y la cuerda que une los puntos (−2, −6), (4,6). Solución: 

Encontramos la ecuación de la cuerda: 𝑦2− 𝑦1 6 + 6 𝑚= = =2 𝑥2− 𝑥1 4 + 2

Entonces: 𝑦 − 𝑦2 = 𝑚(𝑥 − 𝑥2 ) 𝑦 = 2𝑥−2 

PꓵL 𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0 (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 0 𝑥=4 →𝑦=6 𝑥 = −2 → 𝑦 = −6 (−2, −6), (4,6) € ꓵ



𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 + 6 𝑦′ = −2𝑥 + 4 −2𝑥 + 4 = 0 𝑥=2 𝑥 = 2 → 𝑦 = 10

4

4

𝐴 = ∫ [−𝑥 2 + 4𝑥 + 6 − 2𝑥 + 2]𝑑𝑥 = ∫ [−𝑥 2 + 2𝑥 + 8]𝑑𝑥 −2

−2 4

𝑥3 −64 + 48 + 96 8 + 12 − 48 108 𝐴 = (− +𝑥2 + 8𝑥)| = ( = 36𝑢2 )−( )= 3 3 3 3 −2

3

2. Halla el área de la región limitada por las curvas: 𝑌 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 + 2, 𝑦 = −3𝑥 + 8 Solución -

𝑌 = 𝑥 2 … 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑃1: 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉 = (0; 0)

-

𝑦 = 𝑥 + 2 … 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿1

-

𝑦 = −3𝑥 + 8 … 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿2

⦁ 𝑃1 ∩ 𝐿1

⦁ 𝑃1 ∩ 𝐿2

𝑥2 = 𝑥 + 2

𝑥 2 = −3𝑥 + 8

𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0

𝑥 2 + 3𝑥 − 8 = 0

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 → 𝑥 = 2 , 𝑥 = −1

−3±√32 −4(1)(−8) 2(1)

→ 𝑥 = 1.7, 𝑥 = −4.7

 𝑠𝑖 𝑥 = 2 → 𝑦 = 4 ; (2,4)

 𝑠𝑖 𝑥 = 1.7 → 𝑌 = 3 ; (1.7, 3)

 𝑠𝑖 𝑥 = −1 → 𝑦 = 1; (−1, 1)

 𝑠𝑖 𝑥 = −4.7 → 𝑦 =

22;

(−4.7, 22)

𝑌 = 𝑥2

𝑦=𝑥+

2

4

3. Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas: 𝑦=𝑥

2

;

-

Encontramos la intersección:



𝑥2 =

𝑥2 𝑦= ; 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑦 = 2𝑥 2

𝑥2 2

2𝑥 2 − 𝑥 2 = 0 𝑥 = 0 → (0,0) 

𝑥 2 = 2𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 2) = 0 → (0,0)(2,4)

𝑥2 = 2𝑥 2 𝑥 2 − 4𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 4) = 0 → (0,0)(4,8)

-

Encontramos el área 2

4 𝑥2 𝑥2 𝐴 = ∫ (𝑥 − ) 𝑑𝑥 + ∫ (2𝑥 − ) 𝑑𝑥 2 2 0 2 2

1 2 2 1 4 𝐴 = ∫ (𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ (4𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 2 0 2 2 1 𝑥3 2 1 4𝑥 2 𝑥 3 2 𝐴 = ( )| + ( − )| 2 3 0 2 2 3 0 𝐴 = 4𝑢2

2

CONCLUSIONES  Se conoció la historia del cálculo integral.  Se conoció algunos aportes de dos grandes matemáticos.  Se aprendió aplicar la integral definida para resolver problemas de cálculo de áreas por sumatorias, cálculo de volúmenes de sólidos de religión.  Se entendió el segundo teorema fundamental del cálculo como una antiderivada de una función.  Se entendió la importancia de la integral definida.  Se calculó áreas y volúmenes de solidos de revolución como aplicaciones de la integral definida.

BIBLIOGRAFÍA  Espinoza, R. E. (2012). Análisis Matemático II. Lima: Edukperú.  Lázaro, C. M. (2017). Cálculo Integral. Lima: Moshera S.R.L.  Coveñas, N. M. (2009). Matemax 5. Lima: Bruño.  Figueroa, R. (2009). Análisis Matemático II. Lima: R.F.G.  Aguilar, A; Bravo, F; Gallegos, H; Cerón, M; y Reyes, R. (2010). Cálculo diferencial e integral. México: PEARSON EDUCACIÓN, S.A. Mitacc; M; y Toro; L. (2009). Tópicos de cálculo. Vol. II. (3a ed.). Lima: Autores

3