Trabajo Integral Definida Final 2.docx

Integral Definida

DEDICATORIA

Dedicamos este trabajo en primera instancia : A NUESTROS PADRES: ejemplo de inspiración para nosotros por sus sacrificios, esfuerzos, amor incondicional y por su confianza en nosotros. A NUESTRO DOCENTE: por el tiempo incondicional que nos brinda transmitiendo sus conocimientos hacia nosotros y por su desempeño en la enseñanza. A NUESTROS COMPAÑEROS DE AULA: que son los más interesados en conocer este tema, que nos va a servir en el futuro. AL GRUPO: por el desempeño demostrado en la realización del trabajo y el esfuerzo por la culminación de este. Para darle mejor entendimiento a cada uno de ustedes.

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RESUMEN

El presente trabajo tiene como objetivo principal dar a conocer todo lo referido a la integral definida, sus propiedades y sus distintas aplicaciones. Conoceremos su historia, su concepto, elementos; veremos algunas propiedades de la integral definida y sobre el teorema fundamental del cálculo, la cual no s permitirá diferenciarla de la derivación dado que son operaciones inversas. También hablaremos sobre la suma de riemann, acompañado de su única fórmula, de su condición necesaria para poder aplicarla y de su interpretación geométrica. Por último, veremos que la integral definida no se aplica solamente en el cálculo de áreas sino también en la física como por ejemplo en el cálculo del trabajo. Expuestos los puntos principales de este trabajo de investigación esperamos que les sirva para entender todo lo r eferido a la integral definida.

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OBJETIVOS 

El alumno podrá calcular áreas bajo una curva mediante el acotamiento de sumas infinitas y superiores.



Conocerá y podrá aplicar las propiedades de la integral definida.



El alumno podrá avanzar en el concepto de integral definitiva y conocerá sus propiedades, asimismo, podrá profundizar en el teorema fundamental del cálculo.



Ser capaz de relacionar los problemas de cálculo de áreas con la integral definida.



Conocer y manejar el concepto de integral definida de una función.

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INTRODUCCION

Dentro del estudio del cálculo integral, un tema que tiene bastante importancia y es necesario recalcar es la integral definida, debido a sus aplicaciones y su misma concepción, esencial para el entendimiento de diversos términos matemáticos. En este tema estudiaremos la Integral Definida o Integral de Riemann, un concepto matemático que esencialmente puede describirse como el límite de una suma cuando el número de sumandos tiende a infinito y cada uno de ellos tiende a cero. Desde el punto de vista histórico la construcción del concepto riguroso de integral está asociado al cálculo de áreas.

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ÍNDICE INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVOS…………………………………………………………………………….3 INTRODUCCION……………………………………………………………………...4 1. HISTORIA .................................................................................................................. 7 2. CONCEPTO ............................................................................................................... 8 3. ELEMENTOS ........................................................................................................... 9 4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA .............................................. 10 5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO ................................................ 11 6. TEOREMA DE LA MEDIA O DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES 12 7. APLICACIONES: .................................................................................................... 13 7.1 Cálculo de áreas.................................................................................................. 13 7.1.1 Integración de Riemann ........................................................................... 13 7.1.1.1 Definición formal ................................................................................. 14 7.1.1.2 Partición de un intervalo y su norma ............................................. 14 7.1.1.3 Suma de riemann ................................................................................. 15 7.1.1.4 Integrabilidad de riemann................................................................. 15 7.1.1.5 Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de riemann ................................................................................................... 17 7.1.1.6 Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann......... 17 7.1.2 Interpretación geométrica ...................................................................... 18 7.2 ÁREA DE UNA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS ....... 21 7.3 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN ...................................... 23 7.4 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN ........................................ 26 7.4.1 Rotaciones alrededor de los ejes coordenados ....................................... 27 7.5 LONGITUD DE CURVAS PLANAS ............................................................... 36 7.6 CÁLCULO DE TRABAJO CON AYUDA DE LA INTEGRAL DEFINIDA. ......... 38 8. APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS EN LA INGENIERÍA CIVIL . 39

5 5

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8.1 Método de integración directa: ..................................................................................... 40 CONCLUSIONES..................................................................................................................... 43 BIBLIOGRAFIA....................................................................................................................... 44 WEBGRAFIA ........................................................................................................................... 45

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1. HISTORIA La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto , cerca de 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhaución de Eudoro (cerca 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral. Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhaución. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación Hasta el último tercio del siglo XVII existían en el ambiente matemático europeos una serie de métodos infinitesimales para resolver problemas determinados de muy diversa índole: cálculo de áreas, volúmenes, centros de gravedad, etc., que representan una etapa embrionaria del cálculo actual. Fueron tanto Newton como Leibniz quienes se dieron cuenta que tras todos

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estos procesos aparentemente distintos latían los mismos conceptos esenciales, los cuales consiguieron sintetizar independientemente de la casuística de sus diferentes aplicaciones. Así, el modelo del cálculo actual es una mezcla de las mejores partes que aportaron tanto Newton como Leibniz, siendo el primero a quien se le atribuye la jerarquía bien diferenciada entre, primero los conceptos de fluente y fluxión(análogos, respectivamente, a la integral y diferencial en la terminología de Leibniz) con entidad propia, como elementos de una teoría, con unas reglas algorítmicas de fácil uso para calcularlos; mientras que al segundo aporto además, la notación usada actualmente, conocida como “Notación de Leibniz” así mismo el nombre “derivación” e “integración” al igual que sus símbolos, son tomados de su estudio. Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas, y en la actualidad es también usada para el cálculo de volúmenes, centros de gravedad y en física se corresponde con el concepto de trabajo, y es también usada para calcular la distancia recorrida de un cuerpo teniendo su velocidad. 2. CONCEPTO La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a, y x = b.

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También es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aun cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje (x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el x.

3. ELEMENTOS

𝑏

∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 𝑎 La integral definidad se representa por símbolo integral definida  ∫ es el signo de integración  a límite inferior de la integración  b límite superior de la integración  f(x) es el integrando o función a integrar  dx diferencial de x e indica cual es la variable de la función que se integra.

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4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA La integral definida cumple las siguientes propiedades: 

Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos): 𝑏

𝑐

𝑐

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎



𝑏

𝑎

Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎



𝑎

El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.



Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

} 

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. 𝑏

𝑐

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎

10 10

𝑐

Integral Definida



La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales· 𝑏

𝑏

𝑏

∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎



𝑎

𝑎

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 𝑏

𝑏

∫ 𝑘. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

𝑎

5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la

integración

son operaciones inversas. Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original. Si f es continua en [𝑎, 𝑏] , la función F está definida por: 𝑏

𝐹(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ,

𝑎≤𝑥≤𝑏

→ 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) El teorema demuestra que la función integral que da las áreas entre a y x para cada valor 𝑥

de x, F(x) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 es una función cuya derivada es la función f(x).

11 11

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6. TEOREMA DE LA MEDIA O DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Si una función es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] , existe un punto c en el interior de este, tal que: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎). 𝑓(𝑐) 𝑎

12 12

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7. APLICACIONES:

7.1 CÁLCULO DE ÁREAS Sea f una función cuyo dominio está en el intervalo cerrado [a, b], tal que f(x) ≥ 0 para x ∈ [a, b]. Sea R la región plana limitada por las gráficas de las ecuaciones: y = f(x), y = 0 (eje x), x = a, x = b.

Nota: Se define el área bajo la curva como: “El límite de la sumatoria de Riemann cuando N→∞ 7.1.1 INTEGRACIÓN DE RIEMANN En la rama de la Matemáticas conocida como análisis real, la integral de Riemann, creada por Bernhard Riemann en un artículo publicado en 1854, fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo. Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede ser evaluada por el teorema fundamental del cálculo o aproximada por integración numérica.

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La integral de Riemann es inadecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann se pueden remediar con la integral de Riemann-Stieltjes, y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue. La integral de Riemann de una función real de variable real se denota usualmente de la siguiente forma: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

7.1.1.1 DEFINICIÓN FORMAL Se van a definir cuatro conceptos, el último siendo el que nos interesa: el primero una partición de un intervalo [a, b], el segundo la norma de una partición, el tercero una suma de Riemann y el último que una función acotada sea Riemann integrable en un intervalo [a, b]. 7.1.1.2 PARTICIÓN DE UN INTERVALO Y SU NORMA Sea [a, b] un intervalo cerrado sobre los números reales. Entonces una partición de [a, b] es un subconjunto finito P={𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 = 𝑏} tal que 𝑥𝑖 > 𝑥𝑖−1, con i=1, . . . ,n . La norma de la partición es la longitud del intervalo más grande: ‖𝑝‖ = {𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1 , 𝑖 = 1, . . . , 𝑛} Ejemplo: El conjunto P = {0, 0.2, 0.6, 1, 1.5, 2} es una partición de [0,2]. Hay 5 subintervalos de [0, 0.2], [0.2, 0.6], [0.6, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]

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Las longitudes de los subintervalos son: ∆𝑥1 = 0.2, ∆𝑥2 = 0.4, ∆𝑥3 = 0.4, ∆𝑥4 = 0.5, ∆𝑥5 = 0.5, de manera que la norma de la partición es ‖𝑝‖ = 0.5 7.1.1.3 SUMA DE RIEMANN Sea f una función en [a, b] y tomemos una partición del intervalo [a, b] ,

que

denotaremos

por

P={x0 = a, x1 , . . . , xn = b} entonces

llamamos suma de Riemann a una suma de la forma: 𝑛

∑ 𝑓(𝑡𝑘) (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 ), 𝑐𝑜𝑛 𝑥𝑘−1 ≤ 𝑡𝑘 ≤ 𝑥𝑘 𝑘=1

7.1.1.4 INTEGRABILIDAD DE RIEMANN Una función acotada f, definida en un intervalo [a .b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todo número real positivo x existe una z positiva tal que si P es una partición de [a, b] con ‖𝑝‖ < 𝑧 𝑦 𝑆(𝑃, 𝑓) es cualquier suma de Riemann entonces |𝑆(𝑃, 𝑓) − 𝐼| < x Usualmente para funciones conocidas que sabemos que son integrables, se toma una partición regular del intervalo y se toman los 𝑡𝑘 como alguno de los puntos extremos de cada intervalo. Notar que si no supiéramos que la función es integrable entonces no podríamos tomar

15 15

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cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos. En este caso en que no sabemos que es integrable, tendríamos que revisar que para cualquier valor 𝑡𝑘 que tomáramos en cada intervalo [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] la suma de Riemann menos algún número real I es menor en valor absoluto que cualquier x que hubiéramos tomado. En caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es integrable según Riemann en [a, b] y habríamos hallado su valor; en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto. Cuando llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral: 𝑛

𝑏

(𝑏 − 𝑎) (𝑏 − 𝑎) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑎 + 𝑘 ) 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑎 𝑘=1

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como, por ejemplo, las continuas. Podemos demostrar que toda función que es continua en un intervalo [a, b], es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral. Por supuesto, si ya estamos familiarizados con el Segundo Teorema Fundamental

del

Cálculo entonces

basta

hallar

una

función F(x) (denominada primitiva de f(x)) cuya derivada nos dé nuestra función original f(x) y entonces el valor de la integral es F(b)-F(a). No siempre podemos hallar una función primitiva de la que estamos integrando. En esos casos, se recurre a una expresión como la anterior o a métodos de aproximación.

16 16

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7.1.1.5 CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA INTEGRABILIDAD DE RIEMANN En este apartado nos referiremos a funciones acotadas en un intervalo cerrado [a, b] (igual que en los apartados anteriores). Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann (no obstante, esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones con un número no numerable de discontinuidades pueden ser integrables. El siguiente teorema establece que una función es integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras puede hacerse arbitrariamente pequeña. 7.1.1.6 CRITERIO DE LEBESGUE PARA LA INTEGRABILIDAD DE RIEMANN Sea f una función definida y acotada en [a, b] y sea D el conjunto de las discontinuidades de f en [a, b]. Entonces f∈ 𝑅 (con R el conjunto de las

funciones

Riemann

si, D tiene medida cero.

17 17

integrables)

en [a,

b] si,

y

solo

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7.1.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

En Análisis real, la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área localizada bajo la curva de la función. Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a,b], tal que para todo x, f(x)≥ 𝟎 (es decir, tal que f es positiva). Sea 𝑺𝒇 = {(𝒙; 𝒚)/𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝒇(𝒙)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir. Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de una curva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.

El área de cada rectángulo, es el producto de la función en un punto, por el ancho del intervalo

18 18

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Al

aumentar

el

número

mejor aproximación.4

19 19

de

rectángulos

se

obtiene

una

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

Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20

de

julio de 1866)

fue

un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la hipótesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann. Ejemplo: Sea f(x)=𝑥2 -3x+2, hallar el área bajo esa curva en el intervalo [0,2]

20 20

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Solución: 2

Integrando: ∫0 (𝑥 2 − 3x + 2)dx Por el teorema fundamental del cálculo: 𝟐𝒙𝟑

[𝟑 −

𝟑𝒙𝟐 𝟐

𝟏𝟔

+ 𝟐𝒙] 𝟐𝟎= ( 𝟑 −

𝟏𝟐 𝟐

𝟏𝟎

+4) - (0-0+0) = 𝟑

7.2 ÁREA DE UNA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS

El área com pr endi da ent re dos funci on es es i gual al ár ea de l a funci ón que est á si t u ada por en ci m a m en os el áre a de l a fun ci ón que es t á si t uada por deb aj o.

𝑏

∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎

Ejemplo: Calcular el área limitada por la curva :

y = x 2 − 5x + 6 y la recta y = 2x.

21 21

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Solución:

En primer lugar, hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

22 22

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7.3 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN 

Girando en torno a OX: Dada una función positiva y derivable f: [a, b] →R, con f ' continua en [a, b], generamos una superficie de revolución girando 360º la gráfica de f entre los puntos x=a y x=b en torno al eje OX. El área de la superficie resultante viene dada por la fórmula: 𝑏

2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 𝑑𝑥 𝑎

Ejemplo: Hallar el área de la superficie de revolución engendrada al girar la curva: 𝑦 = √1 − 𝑥 2 alrededor del eje OX entre x=0 y x=1 Solución: f(x) = √1 − 𝑥 2

−𝑥

→ f”(x)=√1−𝑥 2 −𝑥

2

1

1+[𝑓′(𝑥)]2 = 1+((√1−𝑥2 ) ) = 1−𝑥 2

𝑏

1

1

S=2𝜋 ∫𝑎 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 𝑑𝑥 → S=2𝜋 ∫0 √1 − 𝑥 2 (√1−𝑥 2 𝑑𝑥 1

𝑆 = 2𝜋 ∫0 1 𝑑𝑥 → 𝑆 = 2𝜋[𝑥] 10= 2𝜋𝑢2

23 23

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

Girando en torno a OY: Dada una función derivable f: [a, b] →R, donde a > 0 y con f ' continua en [a, b], generamos una superficie de revolución girando 360º la gráfica de f entre los puntos x=a y x=b en torno al eje OY. El área de la superficie resultante viene dada por la fórmula 𝑏

2𝜋 ∫ 𝑥√1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 𝑑𝑥 𝑎

Ejemplo: Dada la función y = x2 en los puntos (1,1) y (2,4) que rota alrededor del eje y. Calcule el área de la superficie generada.

24 24

Integral Definida

Tenemos: y’=2x 𝑏

S=2𝜋 ∫𝑎 𝑥√1 + (𝑦 ′ )2 𝑑𝑥 𝑏

S=2𝜋 ∫𝑎 𝑥√1 + (2𝑥)2 𝑑𝑥 𝑏

S=2𝜋 ∫𝑎 𝑥√1 + 4𝑥 2 𝑑𝑥 Aplicamos el cambio de variable: u=1+4𝑥 2 ,

du=8xdx→

Cambiamos a y b por la función dentro de la longitud del arco: a=1+4(1)2 =5 y b=1+4(4)2 =17 17 2𝜋𝑥

S=∫5

𝜋

8𝑥

1

𝑢2 𝑑𝑢

3

S=[ 6 𝑢 𝑒 ] 17 5 𝜋

3

3

S=6 [(17)2 − (5)2 ] S=30.846𝑢2

25 25

𝑑𝑢 8𝑥

= 𝑑𝑥

Integral Definida

7.4 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Durante el siglo anterior se desarrollaron técnicas para calcular áreas y volúmenes. Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyo a estos desarrollos. Estudió como calcular áreas y volúmenes de diferentes cuerpos, especialmente de cuerpos de revolución. El método de Kepler consiste en diseccionar un sólido en un numero infinito de piezas de una forma y tamaño conveniente. Y al final se suma el total de secciones para obtener el volumen total. Los elementos infinitesimales de Kepler tienen las mismas dimensiones que el cuerpo que quiere medir. Volumen: es la cantidad que contiene un envase Sólido de revolución: cuerpo que se genera al girar una región plana alrededor de una recta ubicada en el mismo, los cuales pueden o no cruzarse, dicha recta se denomina eje de revolución.

26 26

Integral Definida



Métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución

Rotaciones alrededor de los ejes coordenados  Rotación paralela al eje “x”: el volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [𝑎, 𝑏] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente formula genérica: 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 ( [𝑓(𝑥) − 𝐾]2 − [𝑔(𝑥) − 𝐾]2 )𝑑𝑥 , siempre que K< 𝑋 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 ( [𝐾 − 𝑓(𝑥)]2 − [𝐾 − 𝑔(𝑥)]2 )𝑑𝑥 , siempre que K> 𝑋



En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula: 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥



Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del

volumen

mayor menos el volumen menor: 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2 ]𝑑𝑥 Ejemplo: Se tiene un sólido de revolución generado por la curva f(x)=x 2 y x está comprendida entre 0 y 3, calcular su volumen

27 27

Integral Definida

Pero f(x)=r, entonces:

 Rotación paralela al eje “y”: este método permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera f(x) y g(x), en un intervalo [𝑎, 𝑏], con f(x)>g(x) en el intervalo [𝑎, 𝑏], alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión en x=K

28 28

Integral Definida

siendo K constante positiva . La fórmula general del volumen de estos sólidos es: 𝑏

V=2𝜋 ∫𝑎 (𝑥 − 𝐾)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0 x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por: 𝑏

V=2𝜋 ∫𝑎 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Ejemplo: Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x 2 + 25y 2 = 400, al girar:

Alrededor de su eje mayor.

Como la elipse es simétrica respecto de los dos ejes, el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

29 29

Integral Definida

Alrededor de su eje menor.



Método del disco: consiste en interpretar el volumen como límite de la suma de los volúmenes de los discos que se obtienen al cortar la figura por planos perpendiculares al eje de giro. Podemos distinguir dos casos:

 El eje de giro forma parte del contorno de la región plana. Si consideramos la región plana limitada por la curva y = f(x), el eje de giro y las rectas x = a, x = b, las secciones perpendiculares al eje de giro son círculos con lo que debemos integrar la función que corresponda al área de los mismos en el intervalo correspondiente.

30 30

Integral Definida

Así, si el eje de giro es el eje OX, tenemos la fórmula: 𝑏

V = π∫𝑎 [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 Si el eje de giro es la recta y = r, el radio del círculo en un punto de abscisa x es |f(x) − r| y el volumen queda entonces: 𝑏

V = π∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑟]2 𝑑𝑥  El eje de giro no forma parte del contorno de la región plana. Consideramos ahora la región limitada por las curvas y = f(x), y = g(x) y dos rectas perpendiculares al eje de giro, siendo ´este exterior a la región. En este caso, las secciones perpendiculares al eje de giro son coronas circulares. Debemos pues restar el área del círculo exterior menos el área del círculo interior.

Si el eje de giro es el eje OX:

31 31

Integral Definida 𝑏

V = π∫𝑎 ([𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 ) 𝑑𝑥 Ejemplo: Calcular el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por la curva f(x) = senx + cosx y el eje X en el intervalo [0, π] alrededor del eje X.

Si aplicamos el método de los discos, resulta: 𝜋

V = π ∫0 (sen x + cos x) 2 𝑑𝑥 = π[ x −

1 2

cos 2x] 𝜋0= 𝜋 2

La siguiente figura da una idea de la forma del sólido obtenido.

Análogamente, si el eje de giro es la recta y = r: 𝑏

V = π∫𝑎 ([𝑓(𝑥) − 𝑟]2 − [𝑔(𝑥) − 𝑟]2 ) 𝑑𝑥

32 32

Integral Definida

Será necesario conocer la posición relativa de las funciones f y g para lo cual es fundamental tener una idea de las gráficas de las mismas. Ejemplo: Calcular el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por las gráficas de f(x) = x2 − 4x + 4 y g(x) = 4 − x alrededor de y = −1. Solución: Los extremos de integración serán los puntos de intersección de las curvas. Estos son: y =𝑥 2 − 4x + 4, y = 4 − x =⇒ 𝑥 2 − 3x = 0 =⇒ x = 0, x =3.

Si aplicamos el método de los discos, teniendo en cuenta que el radio exterior es 𝑟𝑒 = 𝑦𝑟 + 1 = 4−x+ 1 y el radio interior es 𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 + 1 = 𝑥 2 − 4x + 4 + 1, resulta: 3

V=𝜋 ∫0 [(4 − 𝑥 + 1)2 − (𝑥 2 − 4x + 4 + 1)2 ]𝑑𝑥 3

V=𝜋 ∫0 [(𝑥 2 + 25 − 10𝑥) − (𝑥 4 + 26𝑥 2 + 25 − 8𝑥 3 − 40𝑥)]𝑑𝑥 3

V=𝜋 ∫0 (−𝑥 4 +8𝑥 3 − 25𝑥 2 + 30𝑥)𝑑𝑥 V=𝜋 [ V=

−𝑥5 5

+ 2𝑥 4 −

25𝑥 3 3

+ 15𝑥 2 ] 30

117𝜋 5

Una sección del sólido obtenido tiene la forma de la figura adjunta.

33 33

Integral Definida



Método de los tubos: Este método consiste en interpretar el volumen como límite de la suma de los volúmenes de los tubos obtenidos al girar alrededor del eje de giro las franjas de espesor infinitesimal que determina en la región una partición del intervalo. Este método será apropiado cuando al intentar aplicar el método de los discos se deba descomponer la integral en varios sumandos.

Como el volumen de cada uno de estos tubos es 2π· radio medio · altura, el volumen obtenido al girar la región comprendida entre la función y = f(x), el eje X y las rectas x = a, x = b tiene las siguientes fórmulas. 

Cuando el eje de giro es el eje OY:

34 34

Integral Definida

𝑏

V = 2π∫𝑎 𝑥. 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Ejemplo: Hallar el volumen generado por la rotación del área limitada por y = −𝑥 2 − 3𝑥 + 6, x + y − 3 = 0, alrededor de la recta x = 3.

La recta x = 3 es exterior a la región que gira. Aplicamos en este caso el método de los tubos. La altura de un cilindro genérico es 𝑦𝑝 − 𝑦𝑟 = (−𝑥 2 − 3x + 6) − (3 − x) = −𝑥 2 − 2x + 3 y el radio es 3 − x (distancia del eje de giro a un punto de la región). El volumen es pues: 1

V=2𝜋 ∫−3(3 − 𝑥)(− 𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 1

V=2𝜋 ∫−3(𝑥 3 − 𝑥 2 − 9𝑥 + 9) 𝑑𝑥

V= =

256𝜋 3

35 35

Integral Definida

7.5 LONGITUD DE CURVAS PLANAS Dada la función y = f(x), definida en un intervalo [a, b], a cada partición P = {𝑥0 = a, 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛−1 , 𝑛 = b} de [a, b] le corresponde una poligonal de vértices 𝑃𝑘 = (𝑥𝑘 , f(𝑥𝑘 )), k = 0, 1, . . . , n, como indica la figura.

La longitud del arco de la curva entre los puntos A y B de abscisas x = a y x = b se define como el supremo de los perímetros de todas las poligonales. Si es finito, se dice que la curva es rectificable (es finita); si no, la curva no es rectificable (tiene longitud infinita). El resultado fundamental que aplicaremos en esta sección es el siguiente: Teorema. Si una función y = f(x) tiene derivada de primer orden continua en [a, b], entonces es rectificable y la longitud del arco viene dada por la fórmula: 𝑏

l=AB=∫𝑎 √1 + [𝑓′(𝑥)]2 Ejemplo: Hallar la longitud del arco de la parábola 𝑥 2 = 2py, con p > 0, comprendida en el intervalo [0, a]. Solución: Si calculamos la derivada de la función, tenemos:

36 36

Integral Definida 𝑥 2

y’ = x/p =⇒ √1 + 𝑦′2 = √1 + (𝑝) =

√𝑝2 +𝑥 2 𝑝

.

La longitud del arco pedido queda entonces: 𝑎

1

l = 𝑝 ∫0 √𝑝2 + 𝑥 2 𝑑𝑥 2 2 𝑝 [𝑎√𝑎 +𝑝 ]

l= 2 [

𝑝2

+ ln |

[𝑎+√𝑎2 +𝑝2 ] 𝑝

|]

Si la función viene expresada en coordenadas paramétricas x = x(t), y = y(t), la fórmula queda de la forma: 𝑡

l = ∫𝑡 1 √[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2 dt 0

Siendo 𝑡0 y 𝑡1 los parámetros correspondientes a los puntos inicial y final de la curva. En la mayoría de los casos no es posible encontrar expresiones explícitas de la longitud de un arco de curva. Por ello se deben crear nuevas funciones, como es el caso de las integrales elípticas (que expresan longitudes de arcos de elipses), o utilizar métodos aproximados para calcular arcos de curva. Ejm: Hallar la longitud de un lazo de la cicloide: x = a(t − sent), y = a(1 − cost).

37 37

Integral Definida

Como un lazo de la cicloide es el arco de curva comprendido en el intervalo t ∈ [0, 2π], la longitud es: 2𝜋

L = ∫0 √[𝑥′(𝑡)2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2dt 2𝜋

L = ∫0 𝑎√(1 − cos 𝑡) 2 + (sin 𝑡) 2dt 2𝜋

L = 𝑎√2 ∫0 √(1 − cos 𝑡)dt 2𝜋

L = 𝑎√2 ∫0 √2 sin(𝑡⁄2)dt L=8a 7.6 CÁLCULO DE TRABAJO CON AYUDA DE LA INTEGRAL DEFINIDA. Si una fuerza F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza F por el camino recorrido. Es decir: W=F.x Cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se estira un resorte, el trabajo no se puede expresar de forma tan simple. Consideremos una partícula P que se desplaza sobre el eje X, desde el punto (a, 0) al punto (b, 0) por medio de una fuerza f=F(x), x∈[a, b]. Dividamos el segmento [a,b] en n partes arbitrarias de longitudes ∆𝑥1 , ∆𝑥2 , . . . , ∆𝑥𝑖 , . . . ∆𝑥𝑛 y tomemos en cada subintervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]un punto arbitrario 𝑡𝑖 como se muestra a continuación:

38 38

Integral Definida

Se tiene entonces que:

W=

lim

max ∆𝑥𝑖 →0

𝑏

∑𝑛𝑖=1 𝐹(𝑡𝑖 ). ∆𝑥𝑖 = ∫𝑎 𝐹(𝑥)𝑑𝑥

Siendo F(x) la fuerza aplicada a la partícula cuando esta se encuentra en el punto cuya abscisa es x. Si la unidad de fuerza es el newton(N), y la unidad de distancia es el metro(m), entonces la unidad de trabajo es N.m(J). Ejemplo: determinar el trabajo efectuado al alargar un resorte de 6cm, sabiendo que se necesita una fuerza de 15N para alargarlo 1cm. Solución: 𝑁

Según la ley de Hooke F=kx, por lo que 15N=k.(0.01m), de donde k=1500𝑚 Luego, F=1500x y el trabajo efectuado para alargar el resorte 0.06m está dado por: 0.06

W=∫0

1500𝑥𝑑𝑥

W=2.7 J 8. Aplicación de las Integrales definidas en la Ingeniería Civil 

El centro de gravedad es el punto donde se concentran la masa del cuerpo, de tal forma que se afirma que este es el punto de equilibrio del objeto. Las integrales definidas nos ayudan a buscar el punto exacto donde se encuentra el centro de gravedad.



Por medio de la integral definida se puede concluir cual es el peso máximo que puede alcanzar una estructura al someterla a diferentes cargas.

39 39

Integral Definida

Método de integración directa:

Para calcular el centroide de una figura plana que está limitada por arriba, por la función f(x, por debajo, por la función g(x), por la izquierda por la recta x=a y por la derecha, la recta x=b, se utilizan las siguientes fórmulas:

𝑏

∫ 𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑥= 𝑥 𝐴

1 𝑏 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2 ]𝑑𝑥 2 𝑦= 𝐴 “A” representa el área de la figura plana a la que se le está calculando el centroide: 𝑏

A=∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 Ejemplo: calcular la ubicación del centroide de la región acotada por “y=𝑥 2 ” e “y=x”

40 40

Integral Definida



Hallando la intersección de ambas funciones: 𝑥2 = 𝑥 𝑥2 − 𝑥 = 0 x(x-1)=0, entonces x=0 v x=1



Calculando el área de la región acotada: 1

A=∫0 (𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 𝑥2

A= [ 2 −

𝑥3 1 ] 3 0

1

A=6 

Calculando las coordenadas del centroide: b

∫ x[f(x) − g(x)]dx x= x A 1 𝑥(𝑥−𝑥 2 ) 𝑑𝑥 1⁄ 6

x=∫0 1

x=2

41 41

Integral Definida

1 𝑏 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)2 − 𝑔(𝑥)2 ]𝑑𝑥 2 𝑦= 𝐴 1 𝑏 2 ∫𝑎 [𝑥 − (𝑥 2 )2 ]𝑑𝑥 2 𝑦= 1⁄ 6 2

y=5 El centroide estará ubicado en el punto: (0.5, 0.4)

42 42

Integral Definida

Conclusiones: Las integrales definidas son indispensables para poder mejorar las cosas ya existentes e incluso crear nuevas, ya que son los principios fundamentales en los que se basa todo lo desarrollado en las distintas ingenierías. Es imprescindible conocer el cálculo integral para poder tener bases para resolver los futuros problemas que se presenten, un claro ejemplo de esto es agilizar diferentes procesos y a determinar datos importantes para la proyección de construcciones en las diferentes ramas de la ingeniería.

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Integral Definida

BIBLIOGRAFIA

Calculus Vol. 1Apostol, Tom M.

Calculo Integral y sus aplicaciones Moisés Lázaro Carrión

Análisis Matemático II Eduardo Espinoza Ramos

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Integral Definida

WEBGRAFIA https://prezi.com/wkhpym6yunkr/calculo-de-trabajo-con-ayuda-de-la-integral-definida/ https://www.hiru.eus/es/matematicas/la-integral-definida https://www.ecured.cu/Integral_definida https://prezi.com/ftbfkica_buf/integral-definidahttps://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf

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