Trabajo Final Ttrigonometria Angelo.docx

TRABAJO FINAL DE TRIGONOMETRIA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1. Que son las identidades trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). Notación: se define sen2α como (sen α)2. 2. Cuáles son las identidades principales

Identidad Pitagórica: Por el teorema sen x 2 + y 2 = d2 ……( 1) Dividiendo entre d 2 se tiene: 𝑥

𝑦

𝑑

𝑑

𝑥2

𝑦2

𝑑

𝑑2

+ 2

=1

( )2 + ( )2 = 1 , se tiene que: 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏 ….( 2) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 ∶ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 , cos 𝛼 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 En (2) dividimos entre 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 , se tiene: 1+ 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜶 = 𝑪𝒔𝒄𝟐 𝜶 . En ( 2) dividimos entre 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 , se tiene: 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝛂 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝛂 Identidades Reciprocas: 𝑦

1) Sen 𝛼 = 2) Cos 𝛼 = 3) Tan 𝛼 =

𝑑 𝑥

, 𝑆𝑒𝑐𝛼 =

𝑑 𝑦

, 𝐶𝑜𝑡 𝛼 =

𝑥

𝑑

, 𝐶𝑠𝑐 𝛼 =

𝑦 𝑑 𝑥 𝑥 𝑦

Identidad Por División: 1) Tan 𝛼 =

2) Cot 𝛼 =

𝑦 𝑥

𝑦 𝑑 𝑥 𝑑

=

𝑥 𝑦

=

𝑥 𝑑 𝑦 𝑑

=

𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼

=

𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼

.

.

entonces : Sen 𝛼 . 𝐶𝑠𝑐 𝛼 = 1. 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝐶𝑜𝑠𝛼 . 𝑆𝑒𝑐𝛼 = 1 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑡𝑎𝑛 𝛼 . 𝐶𝑜𝑡 𝛼 = 1.

3. Identidades trigonométricas auxiliares

4. Cuáles son las identidades para un ángulo compuesto

SUMA Y RESTA DE ANGULOS. 1. Sen (x+ y) = sen x cos y + cos x sen y 2. Sen (x-y) = senx cosy – cosx . seny 3. Cos (x + y) = cos x cos y – sen x sen y

4. Cos (x –y) = cos x cos y + sen x seny

5. Tan (x + y) =

6. tan(x-y) =

tan 𝑥+tan 𝑦 1−𝑡𝑎𝑛𝑥.𝑡𝑎𝑛𝑦

𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑡𝑎𝑛𝑦 1+tan 𝑥.𝑡𝑎𝑛𝑦

7. cot (x+y) =

cot 𝑥.𝑐𝑜𝑡𝑦−1 𝑐𝑜𝑡𝑥+𝑐𝑜𝑡𝑦

8. Cot (x-y)=

−𝑐𝑜𝑡𝑥.𝑐𝑜𝑡𝑦−1 𝑐𝑜𝑡𝑥−𝑐𝑜𝑡𝑦

9. Sec (x±y) =

1 cos( 𝑥±𝑦)

10. Csc (x±y) =

1 𝑆𝑒𝑛 (𝑥±𝑦)

5. Identidades trigonométricas para un ángulo doble

1. SEN 2X : SEN (X+Y) = SEN X COS Y + COS X SEN Y SI: X = Y SEN (X+X) = SEN X COS X + COS X SEN X

SEN (2X) =2 SEN X COS X

2. COS 2X : COS (X+Y) = COS X COS Y – SEN X SEN Y SI: X=Y COS (X+X) = COS X COS X– SEN X SEN X COS (2X) = 𝐶𝑂𝑆 2 𝑋 − 𝑆𝐸𝑁 2 𝑋 3. TAN ( X+Y) =

𝑇𝐺 𝑋+𝑇𝐴𝑁 𝑌 1−𝑇𝐴𝑁 𝑋 . 𝑇𝐴𝑁 𝑌

SI: X = Y TAN(X+X) =

TAN (2X) =

𝑇𝐴𝑁 𝑋+𝑇𝐴𝑁 𝑌 1−𝑇𝐴𝑁𝑋 . 𝑇𝐴𝑁 𝑋

2 𝑇𝐴𝑁 𝑋 1−𝑇𝐴𝑁2 𝑋

=

2 𝑇𝐴𝑁 𝑋 1−𝑇𝐴𝑁2 𝑋

6. Identidades trigonométricas para el ángulo mitad 𝑋

1−𝐶𝑂𝑆 𝑋

2

2

1. SEN ( ) = √ 2. COS (

𝑋 2

)= √

1+𝐶𝑂𝑆𝑋 2

𝑋

1−𝐶𝑂𝑆 𝑋

2

1+𝐶𝑂𝑆 𝑋

𝑋

1

2

𝑇𝐴𝑁

𝑋

1

2

𝐶𝑂𝑆

𝑋

1

3. TAN ( ) = √

4. COT ( ) =

5. SEC ( ) =

6. CSC ( ) = 2

𝑆𝐸𝑁

𝑋 2

𝑋 2

𝑋 2

7. Identidades trigonométricas del ángulo oblicuángulo

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. Definición Con las transformaciones trigonométricas podemos convertir una suma o diferencia de seno o cosenos en un doble producto de senos o cosenos, alterando los senos y cosenos de la sustracción o adición de estos 2. Cuáles son sus propiedades

3. Formulas A) De suma (o diferencia) a producto:

B) De producto a suma o diferencia:

C) De diferencia de cuadrados a producto:

D) Otras transformaciones:

4. 40 ejercicios para identidades trigonométricas

1)

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Comprobar l as identid ad e s trigonom ét r ic a s :

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34)

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Si mpl i fi car l as f ra cci on e s:

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40)