Trabajo Final Calculo Integral

  • June 2020
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Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montenegro Gutiérrez Macol Liliana

TRABAJO FINAL CÁLCULO INTEGRAL Macol Liliana Montenegro Gutiérrez 507091015

Resumen-Este trabajo muestra la forma de cómo hallar el volumen de un toro por el método de las arandelas, que es uno de los tantos procedimientos que se pueden hacer por el cálculo integral.

La formulación del problema: Al obtener la grafica de un toro con R exterior y r interior el cual se encuentra limitado por r y 0. Se debe aplicar el

Palabras claves- Método de las arandelas, integración, sustitución, volumen, toro.

método

más

conveniente

para hallar su volumen. y

INTRODUCCIÓN En este trabajo se muestra como hallar el volumen de un toro con R y

R

r

X

r por el método de arandelas. Para lograr

esto,

se

debe

tener

conocimiento de la ecuación de una

-

La solución del problema:

circunferencia los puntos de corte o

Aplicando el método de las

de evaluación; que en este caso

arandelas

fueron r y 0.

función

nos que

queda hace

la más

volumen menos la función Al tener planteada la integral se

que hace menos. Pero para

resuelve, teniendo en cuenta los

poder obtener la integral,

pasos por arandelas y aplicando

debo aplicar la formula de la

algebra.

circunferencia.

integrar

Finalmente por

el

se

método

debe mas

adecuado, y evaluarlo, de esta manera se obtiene el volumen de un

𝑥²+y²+= 𝑅² Donde la primera ecuación será:

toro. F 𝑥 =

𝑟²-𝑥² + 𝑅

Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montenegro Gutiérrez Macol Liliana

Para la segunda ecuación será g(x)

Para integrar se utilizara el método

quedando:

de sustitución trigonométrica de la siguiente manera.

g 𝑥 = 𝑅 − 𝑟 ²-𝑥² 8𝑅 Ahora planteamos nuestro método de arandelas ya que el diferencial

𝑟 0

8𝑅𝑟²

𝑟² cos² 𝛳. d 𝛳 𝑟 0

es perpendicular al eje de rotación. Donde se multiplicara por 2 debido a que solo tome la mitad y al multiplicarlo por 2 me da el volumen

cos² 𝛳 . 𝑑 𝛳

𝑟

1 + cos2𝛳 𝑑𝛳 2

8𝑅𝑟² 0

8 𝑅𝑟² 2

completo del toro.

𝑟

1 + cos2 𝛳 . 𝑑 𝛳 0 𝑟

𝑣=2𝜋

𝑟 [ 0

𝑣=2𝜋

𝑟 (𝑟²-𝘹2) +2 0

𝑟²-𝑥²+ 𝑅]²-[(R- 𝑟²-𝑥²]² dx. 𝑟²-𝑥²∗ 𝑅+ 𝑅²- [(R²-

2R 𝑟²-𝑥²+(𝑟 2 -𝑥 2 )] dx. 𝑟 (𝑟²-𝘹2 )+2𝑅 0

𝑣=2𝜋

𝑟²-𝑥²∗+ 𝑅²-

R²+2R 𝑟²-𝑥²-(𝑟 2 -𝑥 2 )] dx. 𝑟 0

𝑣=2𝜋 +𝜋

𝑟 0

𝑣=𝜋8𝑅

2𝑅 𝑟²-𝑥²dx 2R 𝑟²-𝑥²] dx. 𝑟 0

𝑟²-𝑥 ²dx

𝑥= 𝑟 sin 𝛳

Integramos 𝑣=𝜋4𝑅𝑟²(𝛳 + En esta parte

2

)

sin 2𝛳 2 sin 𝛳 cos 𝛳

=

2

2

𝑣 = 𝜋4𝑅𝑟²(𝛳 + sin 𝛳 cos 𝛳) 𝑥

𝑥

𝑟

𝑣=𝜋4𝑅𝑟² sin−1 𝑟 +(𝑟 ∗ 𝑟² − 𝑥²)⃒ 0 0 0

𝑣=𝜋4𝑅𝑟²( 2 +𝑟 𝑟² − 𝑟²)- (2+𝑟 𝑟² − 0²) 𝑣=2𝑅𝜋²𝑟²

 El método de las arandelas se

𝑟²-𝑟² sin² 𝛳. 𝑟 cos 𝛳. d 𝛳

basa en que el diferencial debe ser

X

sin 2𝛳

CONCLUSIONES

dx= 𝑟 cos 𝛳. d 𝛳 𝑟 0

1 + cos2 𝛳 . 𝑑 𝛳 0

𝜋 𝑟

Desarrollo la integral:

8𝑅

4𝑅𝑟²

r 𝑟² − 𝑥²

perpendicular

rotación.

al

eje

de

Fundación Universitaria Konrad Lorenz. Montenegro Gutiérrez Macol Liliana

 El

cálculo

integral

fundamental volúmenes

para y

es hallar

encontrar

la

solución exacta, del ejercicio planteado.

REFERENCIAS [1] Stewart James, 2001, 2 edición, sólidos de revolución pág. 453.

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