Trabajo Final A

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

Facultad de Ingeniería de Sistemas

Probabilidad y Estadística

Trabajo Final

Danny Alexander Arias Mauricio Felipe Hincapié William Izquierdo

3 de Junio de 2009

INDICE

1. Introducción 2. Ejercicio utilizando los diferentes estadígrafos 3. Conclusiones

1. INTRODUCCIÓN Con el presente trabajo daremos un recorrido por todos los tipos de mediadas utilizadas en la estadística y que hemos estudiado durante el curso, seremos lo mas precisos posible, con el fin de que este sea exacto y convincente.

2.

Los siguientes datos muestran el estudio realizado en un hospital de Bogotá con los pesos de 300 bebes recién nacidos , estos se encuentran dados en Kg. Estos datos fueron tomados en un intervalo de 2 meses 2,55 3,75 4,30 2,50 2,40 3,50 3,81 3,10 2,65 2,40 3,30 4,00 2,83 3,10 4,47 3,50 3,10 2,64 3,90 3,50 3,80 2,84 3,70 4,00 2,87 4,58 3,80 3,64 2,80 4,31

4,00 3,24 3,98 2,50 4,33 3,70 3,00 4,46 3,90 3,64 4,13 2,50 3,99 4,30 3,39 4,40 3,00 4,55 3,20 2,58 2,40 3,68 2,50 2,24 3,50 2,50 4,33 2,10 3,10 2,42

3,70 3,55 3,60 4,00 4,10 2,84 4,00 3,60 2,82 3,20 4,30 4,00 2,82 3,80 4,00 2,50 4,34 3,00 4,50 3,50 2,40 3,23 3,60 2,10 3,31 4,00 3,72 3,00 3,89 4,10

4,17 3,30 2,66 3,50 3,80 4,11 3,50 4,40 2,60 4,58 3,70 3,50 2,56 2,57 3,54 4,40 3,58 2,62 4,39 2,80 4,55 4,40 2,60 3,52 4,50 2,54 4,20 2,18 2,80 4,10

Determinamos la muestra: Muestra Teórica: N = 300 z = 1,95 E = 0,05

q = 0,05 p = 0,95

3,80 3,20 4,33 3,20 2,52 3,50 4,00 2,50 4,30 3,27 4,00 2,56 2,50 4,17 3,30 4,00 3,00 4,30 3,70 2,47 2,50 2,27 3,70 3,20 4,06 2,22 3,20 3,63 4,40 3,56

3,38 2,40 3,14 4,30 3,00 3,70 3,15 3,60 2,47 3,70 2,60 3,84 4,23 3,00 4,00 4,10 2,64 3,71 3,80 3,30 4,36 3,10 3,00 2,26 4,00 2,59 4,30 2,14 3,12 4,10

4,00 3,60 2,30 2,60 3,80 3,20 4,00 4,20 2,87 3,60 4,00 3,10 2,50 2,43 2,85 4,00 3,65 2,50 4,00 2,80 3,53 2,40 2,63 2,20 3,24 4,20 4,49 3,00 3,80 4,00

4,43 3,30 3,57 4,00 2,56 3,70 4,40 2,50 4,38 3,70 2,22 3,29 4,20 2,82 3,00 2,20 3,70 4,54 3,20 4,40 2,59 4,30 3,70 3,55 4,00 4,52 3,00 3,69 3,70 4,34

3,84 2,30 4,22 2,60 3,82 4,30 3,33 4,20 3,59 3,58 2,60 3,74 4,20 2,56 4,00 4,45 3,55 2,48 2,50 3,30 2,26 3,83 2,40 3,20 2,25 2,58 4,20 3,26 2,10 3,50

3,77 3,20 4,58 3,00 2,35 3,50 4,20 2,51 3,98 4,19 3,10 4,40 3,31 2,40 4,30 2,50 3,76 4,10 3,90 4,54 3,20 3,00 3,66 3,50 4,11 4,20 3,86 3,00 3,71 4,10

 

z n o= E

2

p.q

 

n o=

1, 95 0, 05

2

0, 95∗0, 05=72 , 2475

Muestra Teórica 72,2475 Muestra Real: n=

no 1

n=

no N

72 , 2475 =58 . 22 72 , 2475 1 300

Muestra Real 59 Para tomar la muestra tomamos los datos de 5 en 5 , lo que nos daría como resultado 2,40 2,40 4,47 3,50 2,87 4,31

4,33 3,64 3,39 2,58 3,50 2,42

4,10 3,20 4,00 3,50 3,31 4,10

3,80 4,58 3,54 2,80 4,50 4,10

2,52 3,27 3,30 2,47 4,06 3,56

3,00 3,70 4,00 3,30 4,00 4,10

3,80 3,60 2,85 2,80 3,24 4,00

2,56 3,70 3,00 4,40 4,00 4,34

3,82 3,58 4,00 3,30 2,25 3,50

2,35 4,19 4,30 4,54 4,11

2,40 3,00 3,50 3,70 4,06 4,34

2,42 3,00 3,50 3,80 4,10 4,40

2,47 3,20 3,50 3,80 4,10 4,47

2,52 3,24 3,50 3,82 4,10 4,50

2,56 3,27 3,54 4,00 4,10 4,54

2,58 3,30 3,56 4,00 4,11 4,58

2,80 3,30 3,58 4,00 4,19

Organizamos los datos: 2,25 2,80 3,30 3,60 4,00 4,30

2,35 2,85 3,31 3,64 4,00 4,31

2,40 2,87 3,39 3,70 4,00 4,33

Rango Número de clases Unidad Intervalo de clases Límite inferior Límite superior

(4,58-2,25=2,33) (33-64) 2 .33 0 . 01 = 0,39 6

2,25+0,39-0,01=2,63

2,33 6 0,01 0,39 2,25 2,63

Tabla de Frecuencias

Pesos

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58 Total

9 6 8 13 14 9 59

0,1525 0,1017 0,1356 0,2204 0,2373 0,1525 1,0000

25 20 15 10 5 0 2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58

Figura 1 Histograma de niños recién nacidos según peso

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58

Figura 2 Porcentaje de niños recién nacidos según peso 3. Calculamos la Media:

Pesos

fj

yi

yi f j

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58 Total

9 6 8 13 14 9 59

2,44 2,83 3,22 3,61 4,00 4,39

21,96 16,98 25,76 46,93 56 39,51 207,14

y=

Σy i f n

j

=

207. 14 =3,5108 59

Interpretación: El promedio de peso de los niños recién nacidos en el Hospital es de 3,5108Kg.

4. Calculamos la Mediana: Pesos

fj

Fi

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58 Total

9 6 8 13 14 9 59

9 15 23 36 50 59

Orden=

n+ 1 59 1 = =30 2 2

Me=a+x

x=

x=

 orden− F ia  h f

j

 30−23  0,38 15

=0,2046

Me= 3,420,2046 =3,6246

Interpretación: El promedio de peso de los niños recién nacidos en el Hospital es de 3,6246 Kg. 5. Calculamos la Moda: Pesos

fj

Fi

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58 Total

9 6 8 13 14 9 59

9 15 23 36 50 59

 

Mo=L i 

d1 ∗A d 1 +d 2

A=Amplituddelintervalo

L i =Limiteinferiordelaclase d 1 =f j delintervalodelamoda − f j delintervaloanterior d 2 =f j delintervalodelamoda− f j delintervalosiguiente



Mo= 3 . 81



14−13 ∗0,38=3,8733  14−13   14 −9 

Interpretación: El promedio de peso de los niños recién nacidos en el Hospital es de 3,8733 Kg. 6. Calculamos los Cuartiles: Pesos

fj

Fi

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58 Total

9 6 8 13 14 9 59

9 15 23 36 50 59

Cuartil 1: n 59 RangoQ 1 = = =14,75 4 4

Q 1 =x  1− j  +h



n / 4−F  1− j  F i− F  1− j 



Q 1 =2,640,38

 



14,75  − 9  =3,0041 15  − 9 

Interpretación: El 25% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 3,0041 Kg, mientras que el 75% pesan más de 3,0041 Kg. Cuartil 2: RangoQ 2 =

2n  2  59 = =2 9,5 4 4

Q 2 =x  1− j  +h



Q 2=3 . 420 .38

2n/4− F  1− j  F i −F  1− j 



 

 29 . 5 − 23  =3,61  36  − 23 

Interpretación: El 50% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 3,61 Kg, mientras que el 50% pesan más de 3,61 Kg. Cuartil 3: RangoQ 3 =

3n  3  59 = =44,25 4 4

Q 3 =x  1− j  +h



Q 3 =3 .810 .38

3n /4 −F  1− j  F i −F  1− j 



 

 44 . 25  − 36  =4 . 0339  50  − 36 

Interpretación: El 75% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 4,0339 Kg, mientras que el 25% pesan más de 4,0339 Kg.

7. Calculamos los Deciles: Pesos

fj

Fi

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58 Total

9 6 8 13 14 9 59

9 15 23 36 50 59

Decil 2: 2  n  2  59  RangoD 2 = = =11,8 10 10

D 2 =L i





P −F ia ∗A fj

D 2=2,64





11,8−9 ∗0,38=2,8173 6

Interpretación: El 20% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 2,8173 Kg, mientras que el 80% pesan más de 2,8173 Kg. Decil 5: RangoD 5 =



D 5 =L i 

5  n  5  59  = =29,5 10 10

P −F ia

D 5 =3,42

f



j



∗A



29,5−23 ∗0,38=3,61 13

Interpretación: El 50% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 3,61 Kg, mientras que el 50% pesan más de 3,61 Kg. Decil 7: RangoD 7 =



D 7 =L i 

7  n  7  59  = =41,3 10 10

P −F ia f



D 7 =3,81

j



∗A



41,3−36 ∗0,38=3,9538 14

Interpretación: El 70% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 3,9538 Kg, mientras que el 30% pesan más de 3,9538 Kg. 8. Calculamos los Percentiles: Pesos

fj

Fi

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58 Total

9 6 8 13 14 9 59

9 15 23 36 50 59

Percentil 25: 25  n  25  59  RangoP 25 = = =14,75 100 100



P 25 =L i 

P −F ia f

j



∗A



P 25 =2,64



14,75−9 ∗0,38=3,0041 6

Interpretación: El 25% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 3,0041 Kg, mientras que el 75% pesan más de 3,0041 Kg. Percentil 50: 50  n  50  59  RangoP 50 = = =29,5 100 100



P 50 =L i 



P −F ia ∗A f j



P 50 =3,42 



29,5−23 ∗0,38=3,61 13

Interpretación: El 50% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 3,61 Kg, mientras que el 50% pesan más de 3,61 Kg. Percentil 75: 75  n  75  59  RangoP 75 = = =44,25 100 100



P 75 =L i 

P −F ia

P 75 =3,81

f



j



∗A



44,25−36 ∗0,38=4,0339 14

Interpretación: El 75% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 4,0339 Kg, mientras que el 25% pesan más de 4,0339 Kg.

Percentil 90: 90  n  90  59  RangoP 90 = = =53,1 100 100



P 90 =L i 

P −F ia f



P 90 =4,20

j



∗A



53,1−50 ∗0,38=4,3308 9

Interpretación: El 90% de los niños recién nacidos del Hospital tiene un peso igual o inferior a 4,3308 Kg, mientras que el 10% pesan más de 4,3308 Kg. 9. Calculamos la Varianza: Pesos

fj

yi

2,25-2,63 2,64-3,02 3,03-3,41 3,42-3,80 3,81-4,19 4,20-4,58 Total

9 6 8 13 14 9 59

2,44 2,83 3,22 3,61 4,00 4,39

2



Σyi2 f n



751 . 4492 2 − 3,5108  =0 . 4107 59

S =

S 2=

j



−x .

yi f j 21,96 16,98 25,76 46,93 56 39,51 207,14

y i 2f j 53,5824 48,0534 82,9472 169,4173 224,0000 173,4489 751,4492

2



Interpretación: La varianza de los pesos de los niños recién nacidos del Hospital es de 0,4107.

10. Calculamos la Desviación Típica: Sx=  S 2

Sx=  0,4107=0. 6408

Interpretación: La desviacion tipica de los pesos de los niños recién nacidos del Hospital es de 0,6408. 11. Calculamos el Coeficiente de Variación: CV=

Sx x

CV=

0 . 4107 =0,1169 3 . 5108

Interpretación: El coeficiente de variacion de los pesos de los niños recién nacidos del Hospital es de 0,1169 12. Teorema de Bayes: Si sabemos que en el Hospital existen 2 salas de partos, en la primera nacieron 125 niños de los que el 10% tuvieron problemas al nacer con peso muy bajo y en la segunda 175 niños de los que el 7% tuvieron problemas al nacer. Determinaremos: a) La probabilidad de que un niño elegido al azar haya tenido problemas de peso al nacer.

P (Uno  E ) = PUno(Uno / E ) ⇒ P (Uno  E ) = 0.5833 * 0.10 = 0.05833 P ( Dos  E ) = PDos( Dos / E ) ⇒ P ( Dos  E ) = 0.4166 * 0.10 = 0.02916 P ( E ) = P (Uno / E ) + P ( Dos / E ) ⇒ P ( E ) = 0.05833 + 0.02916 = 0.08749 La probabilidad de que un niño elegido al azar haya tenido problemas de peso al nacer es del 8,732% b) Si el niño seleccionado tuvo problemas de peso al nacer, que probabilidad hay de que proceda de la sala uno? Y de la sala dos? P (Uno  E ) 0.05833 = = 0.6667 P( E ) 0.08749 P ( Dos  E ) 0.02916 = = 0.3333 P( E ) 0.08749

La probabilidad de que el niño con problemas de peso haya nacido en la sala uno es del 66,67%, mientras que existe un 33,33% de probabilidad de que haya sido de la sala dos. 13. Probabilidad para variables discretas: Se han registrado los días en los que nacieron los 300 bebes agrupados en los 2 meses que se realizó el estudio en una distribución de frecuencias, considerando intervalos de 10 días , como se muestra en la tabla. Intervalo de 10 días Dias de nacimiento

# de niños nacidos

Frecuencia relativa

0-9,99 10-19,99 20-29,99 30-39,99 40-49,99 50-59,99 Total

78 62 53 43 36 28 300

0,26 0,21 0,18 0,14 0,12 0,09 1

Dias de nacimiento

# de niños nacidos

Frecuencia relativa

0-4,99 5-9,99 10-14,99 15-19,99 20-24,99 25-29,99 30-34,99 35-39,99 40-44,99 45-49,99 50-54,99 55-55,99 Total

40 38 35 27 27 26 23 20 19 17 15 13 300

0,1333 0,1267 0,1167 0,0900 0,0900 0,0867 0,0767 0,0667 0,0633 0,0566 0,0500 0,0433 1,0000

Intervalo de 5 días

Intervalo de 3 días

Dias de nacimiento

# de niños nacidos

Frecuencia relativa

0-2,99 3-5,99 6-8,99 9-11,99 12-14,99 15-17,99 18-20,99 21-23,99 24-26,99 27-29,99 30-32,99 33-35,99 36-38,99 39-41,99 42-44,99 45-47,99 48-50,99 51-53,99 54-56,99 57-59,99 Total

26 24 22 21 20 18 17 17 15 14 13 12 12 12 12 11 10 9 8 7 300

0,0867 0,0800 0,0733 0,0700 0,0667 0,0600 0,0567 0,0567 0,0500 0,0467 0,0433 0,0400 0,0400 0,0400 0,0400 0,0367 0,0333 0,0300 0,0266 0,0233 1,0000

Figura 3 Histograma de los intervalos por días vs. frecuencia relativa

14. Calculamos la densidad Densidad =

fr Amplitud

Intervalo de 10 días Dias de nacimiento 0-9,99 10-19,99 20-29,99 30-39,99 40-49,99 50-59,99 Total

# de niños nacidos 78 62 53 43 36 28 300

Frecuencia relativa 0,26 0,21 0,18 0,14 0,12 0,09 1

Densidad del Intervalo 0,0260 0,0210 0,0180 0,0140 0,0120 0,0090

Frecuencia relativa 0,1333 0,1267 0,1167 0,0900 0,0900 0,0867 0,0767 0,0667 0,0633 0,0566 0,0500 0,0433 1,0000

Densidad del Intervalo 0,0266 0,0253 0,0233 0,0180 0,0180 0,0173 0,0153 0,0133 0,0126 0,0113 0,0100 0,0086

Intervalo de 5 días Dias de nacimiento 0-4,99 5-9,99 10-14,99 15-19,99 20-24,99 25-29,99 30-34,99 35-39,99 40-44,99 45-49,99 50-54,99 55-55,99 Total

# de niños nacidos 40 38 35 27 27 26 23 20 19 17 15 13 300

Intervalo de 3 días Dias de nacimiento 0-2,99 3-5,99 6-8,99 9-11,99 12-14,99 15-17,99 18-20,99 21-23,99 24-26,99 27-29,99 30-32,99 33-35,99 36-38,99 39-41,99 42-44,99 45-47,99 48-50,99 51-53,99 54-56,99 57-59,99 Total

# de niños nacidos 26 24 22 21 20 18 17 17 15 14 13 12 12 12 12 11 10 9 8 7 300

Frecuencia relativa 0,0867 0,0800 0,0733 0,0700 0,0667 0,0600 0,0567 0,0567 0,0500 0,0467 0,0433 0,0400 0,0400 0,0400 0,0400 0,0367 0,0333 0,0300 0,0266 0,0233 1,0000

Densidad del Intervalo 0,0289 0,0266 0,0244 0,0233 0,0222 0,0200 0,0189 0,0189 0,0166 0,0155 0,0144 0,0133 0,0133 0,0133 0,0133 0,0122 0,0111 0,0100 0,0086 0,0077

Figura 4 Histograma de los intervalos por días vs. densidad del intervalo

3. CONCLUSIONES El presente trabajo se realizo con conciencia y poniendo en practica todo lo aprendido de manera tal que fuera un trabajo que diera valor a la materia y nos permitiera avanzar un poco mas en nuestro objetivo final.