Trabajo Fase 5.docx

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FASE 5: DISCUSION ECUACIONES DIFERENCIALES – 100412_165

PRESENTADO POR: LUCERO MUÑOZ: 1151945261

TUTOR: ROBEIRO BELTRAN TOVAR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA 2018 1

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Contenido

Introducción…………………………………………………………………………….……... 3 Objetivos… ……………………………………………………………………………….…... 4 Ejercicio 6………………………………………………………………………………………5 Ejercicio 9………………………………………………………………………………………9 Primera Actividad Grupal…………………………………………………………………… Segunda Actividad Grupal…………………………………………………………………. Conclusiones………………………………………………………………………….……...12 Referencias……………………………………………………………………………………13

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INTRODUCCIÓN

La finalidad de este material es estudiar temas claves para la resolución de ecuaciones diferenciales de orden dos que implican series matemáticas, teniendo en cuenta el estudio de las propiedades y convergencia de series de potencias.

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OBJETIVOS



Utilizar el Teorema de Taylor para encontrar los valores de una función en cualquier momento, considerando los valores de la función y todas sus derivadas en un momento determinado.



Resolver ecuaciones diferenciales usando series de potencias.



Modelar problemas de ingeniería que para su resolución utilicen ecuaciones diferenciales lineales de orden dos.

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Ejercicio 6

Obtenga los primeros 5 términos de la solución particular de la ecuación diferencial 𝑦´´(𝑥) − 𝑥𝑦 ′ (𝑥) + (2𝑥 − 1)𝑦(𝑥) = 𝑥, 𝑦(0) = 𝑦0 , 𝑦´(0) = 𝑦´0 a. 𝐲(𝐱) = 𝒚𝟎 + b. y(x) = 𝑦0 + c. y(x) = 𝑦0 + d. y(x) = 𝑦0 −

𝒚´𝟎 𝟏! 𝑦´0 1! 𝑦´0 1! 𝑦´0 1!

𝒙+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥+

𝒚𝟎

𝟐𝒚´𝟎 −𝟐𝒚𝟎 +𝟏

𝑦0

𝟑! 3𝑦0 −4𝑦´0

𝒙𝟑 + 𝟐!

2! 𝑦0 2! 𝑦0 2!

𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 −

𝒙𝟒 +

𝟑𝒚𝟎 −𝟒𝒚´𝟎

𝟒! 2𝑦´0 −2𝑦0 +1

𝒙𝟓 + ⋯

𝑥3 + 𝑥4 … 3! 4! 2𝑦´0 −2𝑦0 +1 3 3𝑦0 −4𝑦´0 4 𝑥 + 𝑥 + 3! 4! 2𝑦´0 −2𝑦0 +1 3 3𝑦 −4𝑦´ 𝑥 + 0 4! 0 𝑥 4 − 3!

⋯ ⋯

Resuelve 𝑦´´(𝑥) − 𝑥𝑦 ′ (𝑥) + (2𝑥 − 1)𝑦(𝑥) = 𝑥 Encontraremos una solución mediante el método de series de potencias; ∞

𝑦(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0

Derivamos y reemplazamos: ∞

𝑦′(𝑥) = ∑ 𝑛𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑛=1 ∞

𝑦′′(𝑥) = ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛−2 𝑛=2

Nos queda: ∞

∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥

𝑛−2

− 𝑥 ∑ 𝑛𝑎𝑛 𝑥

𝑛=2

𝑛=2

+ (2𝑥 − 1) ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑥

𝑛=1

∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥

∞ 𝑛−1

𝑛=0

∞ 𝑛−2

∞

− 𝑥 ∑ 𝑛𝑎𝑛 𝑥

𝑛−1

𝑛=1

∞ 𝑛

+ 2𝑥 ∑ 𝑎𝑛 𝑥 − ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛=0

𝑛=0

Como x no depende de n es posible introducirlas en la sumatoria:

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∞

∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥

𝑛−2

∞

∞

𝑛

− ∑ 𝑛𝑎𝑛 𝑥 + ∑ 2 𝑎𝑛 𝑥

𝑛=2

𝑛=1

𝑛+1

− ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑥

𝑛=0

𝑛=0

Ponemos n en términos de k con el objetivo de que x esté elevado a la misma potencia en todas las sumatorias; ∞

∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥

𝑛−2

∞

− ∑ 𝑛𝑎𝑛 𝑥 + ∑ 2 𝑎𝑛 𝑥

𝑛=2

𝑛=1

k=n-2 n=k+2

∞

𝑛

𝑛+1

− ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑥

𝑛=0

k=n

𝑛=0

k=n+1 n=k-1

k=n

Como resultado nos da: ∞

∞

∞

𝑘

∞

∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 𝑥 − ∑ 𝑘𝑎𝑘 𝑥 + ∑ 2 𝑎𝑘−1 𝑥 − ∑ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘=0

𝑘

𝑘=1

𝑘

𝑘=1

𝑘=0

Desarrollamos el primer término de las sumatorias que inician en cero y por propiedades de las sumatorias tenemos: ∞

∞

∞

∞

𝟐𝒂𝟐 + ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 𝑥 𝑘 − ∑ 𝑘𝑎𝑘 𝑥 𝑘 + ∑ 2 𝑎𝑘−1 𝑥 𝑘 − 𝒂𝟎 − ∑ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

𝑘=1

Entonces: cuando k vale cero tenemos el primer coeficiente de la sumatoria 𝟐𝒂𝟐 − 𝒂𝟎 Reacomodando: ∞

∞ 𝑘

∞

∞

2𝑎2 − 𝑎0 + ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 𝑥 − ∑ 𝑘𝑎𝑘 𝑥 + ∑ 2 𝑎𝑘−1 𝑥 − ∑ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘=1

𝑘

𝑘=1

𝑘

𝑘=1

𝑘=1

Por propiedades de la sumatoria: ∞

2𝑎2 − 𝑎0 + ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 𝑥 𝑘 − 𝑘𝑎𝑘 𝑥 𝑘 + 2 𝑎𝑘−1 𝑥 𝑘 − 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘=1

Sacamos

factor

común

∞

2𝑎2 − 𝑎0 + ∑{[(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 − 𝑘𝑎𝑘 + 2 𝑎𝑘−1 − 𝑎𝑘 ] ∗ 𝑥 𝑘 } = 𝑥 𝑘=1

Como la solución es del tipo: 6

x^k

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𝑦(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0

Y con los primeros 5 términos sería; 𝑦(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + 𝑎4 𝑥 5 … Utilizando el mismo procedimiento de los coeficientes indeterminados para ecuaciones diferenciales no homogéneas tenemos: Para k=0 2𝑎2 − 𝑎0 = 0 𝑎0 = 2𝑎2 Para k=1 (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 − 𝑘𝑎𝑘 + 2 𝑎𝑘−1 − 𝑎𝑘 = 1 (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 − 𝑎𝑘 (𝑘 + 1) + 2 𝑎𝑘−1 = 1 𝑎𝑘+2 =

1 − 2𝑎𝑘−1 + (𝑘 + 1)𝑎𝑘 (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)

Para k=2 en adelante (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 − 𝑘𝑎𝑘 + 2 𝑎𝑘−1 − 𝑎𝑘 = 0 𝑎𝑘+2 =

(𝑘 + 1)𝑎𝑘 − 2𝑎𝑘−1 (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)

Procedemos a hallar los primeros 5 términos de la solución: Para k=0 𝑎0 = 2𝑎2 𝑎2 =

𝑎 0 𝑎0 = 2 2!

Para k=1 𝑎3 =

1 − 2𝑎0 + 2𝑎1 1 − 2𝑎0 + 2𝑎1 = 3∗2 3!

Para k=2 7

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𝑎4 = Reemplazamos 𝑎2 =

𝑎0 2

3𝑎2 − 2𝑎1 4∗3

en la última expresión:

𝑎4 =

𝑎 3 ( 20 ) − 2𝑎1 4∗3

Desarrollamos 𝑎4 =

3𝑎0 − 4𝑎1 3𝑎0 − 4𝑎1 = 4∗3∗2 4!

Reemplazamos en la solución general: 𝑦(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + 𝑎4 𝑥 5 … 𝑦(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 +

𝑎0 2 1 − 2𝑎0 + 2𝑎1 3 3𝑎0 − 4𝑎1 5 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 … 2! 3! 4!

Ahora, como tenemos un problema de valor inicial PVI: 𝑦′(𝑥) = 𝑎1 + 𝑦′′(𝑥) =

𝑎0 1 − 2𝑎0 + 2𝑎1 2 3𝑎0 − 4𝑎1 3 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 … 2! 3! 4!

𝑎0 1 − 2𝑎0 + 2𝑎1 3𝑎0 − 4𝑎1 2 + 𝑥+ 𝑥 … 2! 3! 4!

Reemplazamos 𝑦(0) = 𝑦0 , 𝑦(0) = 𝑦0 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 +

𝑦´(0) = 𝑦´0

𝑎0 2 1 − 2𝑎0 + 2𝑎1 3 3𝑎0 − 4𝑎1 5 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2! 3! 4! 𝑦0 = 𝑎0

𝑦′(0) = 𝑦´0 = 𝑎1 +

𝑎0 1 − 2𝑎0 + 2𝑎1 2 3𝑎0 − 4𝑎1 3 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 … 2! 3! 4! 𝑦´0 = 𝑎1

La solución al problema es: 𝑦(𝑥) = 𝑦0 + 𝑦´0 𝑥 + 𝑦(𝑥) = 𝑦0 +

𝑦0 2 1 − 2𝑦0 + 2𝑦´0 3 3𝑦0 − 4𝑦´0 5 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 … 2! 3! 4!

𝑦´0 𝑦0 2𝑦´0 − 2𝑦0 + 1 4 3𝑦0 − 4𝑦´0 5 𝑥 + 𝑥3 + 𝑥 + 𝑥 +⋯ 1! 2! 3! 4! 8

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Ejercicio 9

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

Si el punto 𝑥0 es singular regular, la ecuación 𝑟(𝑟 − 1) + 𝑝0 𝑟 + 𝑞0 = 0, donde 𝑝0 = lim (𝑥 − 𝑥0 )𝑓(𝑥), 𝑞0 = lim (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑔(𝑥) se llama ecuación 𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

indicial. Los valores r solución de la ecuación indicial se llaman exponentes de la 1 singularidad o raíces indiciales. Los valores 𝑟 = 1, 𝑟 = 2 son exponentes de la 1

1

singularidad obtenidos de la ecuación indicial 𝑟(𝑟 − 1) − 2 𝑟 + 2 = 0 PORQUE 𝑥 = −2 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (𝑥 + 2)𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + (1 + 𝑥)𝑦 = 0

Resuelve

Pendiente.

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Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: La carga 𝑞 en el condensador de un circuito sencillo RLC queda descrita mediante la 1

ecuación 𝐿𝑞 ′′ (𝑡) + 𝑅𝑞 ′ (𝑡) + 𝐶 𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡), donde L es la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia del circuito y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se aumenta con la temperatura, supongamos que la resistencia se calienta cambiando su 𝑡

valor de modo que 𝑅 = (1 + 8) Ω. Si 𝐶 = 4 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠, 𝐿 = 0.25 𝐻𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜𝑠 y la fuente de voltaje está apagada, además teniendo en cuenta las condiciones iniciales donde la carga 𝑞(0) = 2 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠 y la corriente

𝑑𝑞 𝑑𝑡

(0) = 0 𝐴, obtenga los primeros 5 términos de

la solución en serie de potencias en torno a t=0 para la carga del condensador.

Resuelve.

Pendiente.

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Segunda actividad Grupal:

Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada: Una ecuación no lineal clásica que aparece en el estudio del comportamiento térmico de 2

una nube esférica es la ecuación de Emden 𝑦 ′′ + 𝑥 𝑦 ′ + 𝑦 𝑛 = 0, con condiciones iniciales 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0. Aunque 𝑥 = 0 no es un punto ordinario para esta ecuación (que es no lineal para 𝑥 ≠ 1), es posible mostrar que existe una solución analítica en 𝑥 = 0. Si 𝑛 = 1, determine los primeros términos de una solución en series de potencia: Se define si el punto 𝑥 = 0 2

𝑦 ′′ + 𝑥 𝑦 ′ + 𝑦 = 0

es singular regular

identificamos las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) =

2 𝑥

𝑔(𝑥) = 1

Pendiente.

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CONCLUSIONES



Comprender conceptos básicos de ecuaciones de primer orden mediante ejercicios prácticos de selección múltiple.



Analizar y resolver ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

En estos recursos digitaesl se brinda información a los estudiantes del contenido temático de la Unidad 3- Funciones especiales y series matemáticas- Convergencia y divergencia de series con el objetivo de facilitar el reconocimiento de algunos elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento de los objetivos cognitivos de la unidad. CK-12, (2015). Convergence and Divergence of Sequences. [OVA]. Recuperado dehttp://www.ck12.org/calculus/Convergence-and-Divergence-of-Sequences/ CK-12, (2015). Absolute and Conditional Convergence. [OVA]. dehttp://www.ck12.org/calculus/Absolute-and-Conditional-Convergence/

Recuperado

CK-12, (2015). Power Series and Convergence. [OVA]. dehttp://www.ck12.org/calculus/Power-Series-and-Convergence/

Recuperado

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