Trabajo Extra Estadistica Seguir Uniendo.docx

ESTADÍSTICA I

1.

Objetivos Objetivo General Aplicar los conocimientos adquiridos sobre el intervalo de confianza para la proporción. Objetivos específicos 

Realizar ejercicios enfocados al cálculo de intervalos de confianza para la proporción.



Utilizar el software Minitab que permitirá la realización de un ejercicio para la obtención del intervalo de confianza de la proporción de una población.



Utilizar el software SPSS, R que permitir realizar intervalos de confianza para la proporción.

Marco Teórico Intervalo de confianza para la proporción Dada una variable aleatoria con distribución binomial B(n,p), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro p, basada en una observación de la variable que ha dado como valor x. el mismo caso se aplica si estudiamos el Binomial B(1,p) y consideramos el número de veces que ocurre el suceso que define la variable al repetir el experimento n veces en condiciones de independencia. Existen dos alternativas a la hora de construir un intervalo de confianza p. Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal. Utilizar un método exacto. Aproximación asintótica

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Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, siendo esta la más referenciada en la mayoría de textos de estadística. Se basa en la aproximación. 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) → 𝑁(𝑛𝑝, √𝑛𝑝𝑞) Que, traslada a la frecuencia relativa, resulta 𝑋 𝑛

𝑝̂ =

𝑝𝑞 ) 𝑛

𝑁(𝑝, √ Tomando como estadístico pivote 𝑧=

𝑝̂ − 𝑝 √𝑝̂ 𝑞̂ 𝑛

Que sigue una distribución N(0,1) y añadiendo una corrección por continuidad al pasar de la variable discreta una continua, se obtiene el intervalo de confianza asintótico. Intervalo exacto Aun cuando las condiciones anteriores no se verifiquen, es posible la construcción de un intervalo exacto, valido siempre, pero algo más complicado en los cálculos. Es posibles demostrar que un intervalo exacto para el parámetro p viene dado por los valores siguientes: 𝑝1 =

𝑋 (𝑛 𝑋 ]1)𝐹∝]2,2(𝑛−𝑋+1) ]𝑋

; 𝑝2 =

(𝑋 + 1)𝐹𝑎}2,2(𝑋+1),2(𝑛−𝑋) (𝑛 𝑋)](𝑋]1)𝐹 ∝

,2(𝑛−𝑋) 2,2(𝑋+1)

Donde 𝐹𝑎/2,2(𝑛−𝑋+1),2𝑋 es el valor de una distribución F de Fisher-Snedecor con a y b grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de ∝/2 para un intervalo de confianza de (1−∝) *100%.

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Resolución de un ejercicio usando el software Minitab. Se toma una muestra de 500 estudiantes de la carrera de ingeniería automotriz de la universidad de las Fuerzas Armadas ESPE y se encuentra que 156 estudiantes han reprobado por lo menos una materia. Encuentre el límite de confianza del 95% para la proporción de estudiantes reprobados. Pasos a seguir para la realización del cálculo del intervalo de confianza de la proporción de una población: 1. Para el desarrollo de este ejercicio se utilizó el software Minitab. 2. Obtenemos los valores de la muestra, el número de éxitos y el nivel de confianza entregados en el enunciado del problema. 𝑛 = 500 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 ∝= 95% 𝑥 = 156 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑍 = 1.96 3. Una vez identificados estos valores, diríjase a la pestaña “Estadísticas” ubicada en la parte superior izquierda de la barra de herramientas, de clic sobre esta.

4. Seleccione la opción Estadísticas básicas.

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5. Aparecerá varias opciones a elegir en este caso estamos realizando un ejercicio de intervalo de confianza de la proporción de una población, por ello seleccionar 1Proporción.

6. Aparecerá un cuadro de dialogo, en el cual debe seleccionar la opción datos resumidos.

7. Llene los datos en el cuadro de dialogo, el número de eventos son los éxitos 𝑥 = 156 y el número de ensayos es la muestra 𝑛 = 500.

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8. Luego de clic en Opciones.

9. Aparecerá un cuadro de dialogo el cual permite elegir el nivel de confianza y elegir el método de trabajo.

10. En este cuadro de dialogo, introduzca el valor del nivel de confianza en este ejercicio será 95%.

11. Escoja en la opción Metodo, para trabajar en Aproximación Normal.

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12. De clic en el botón Aceptar.

13. Luego aparecerá el primer cuadro de dialogo mostrado en el caso 6, también de clic sobrr el icono Aceptar.

14. Finalmente se mostrara los resultados esperados en la ventana de Sesión.

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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION EN SPSS Se debe aclarar que las herramientas que tiene SPSS están integralmente dedicadas a parámetros como por ejemplo la media y que en este caso no pudiéramos tener una herramienta de manera concreta especializada en hacer los cálculos para una variable dicotómica cuando tratemos de hacer un intervalo de confianza para la proporción entonces vamos a utilizar una herramienta que no es explícitamente la que se debiera usar para el tema de intervalo pero el cálculo que se hace es completamente exacto aunque la herramienta tenga como finalidad trabajar con la media. Para explicar el procedimiento a segur utilizaremos dos ejercicios: EJERCICIO 1 Una empresa de lavadoras quiere saber la proporción de amas de casa que prefieren su marca. El Gerente general afirma que el 33%de las amas de casa prefieren dicho producto. Una muestra de 100amas de casa indico que 22 usarían dicha marca. Calcular un intervalo de confianza de 90% indicar si el gerente tiene razón. 1. Crear una variable que nos permita reflejar la decisión de usar esta marca de lavadoras.

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Al ser un intervalo de proporción necesitamos una variable dicotómica, la cual tomara valores de 0 a 1 para amas de casa prefieren la marca y amas de casa que no prefieren la marca respectivamente.

Una vez creada la variable ingresamos los datos, para lo cual nos dirigimos a vista de variables.

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2. Para crear nuestro intervalo de confianza nos dirigimos a la barra de tareas damos clic en “ analizar “→”estadísticos descriptivos “→” Explorar.

Al dar clic en explorar se despliega una ventana en donde seleccionaremos la variable que creamos y la colocaremos en la “lista de dependientes”.

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En la parte superior derecha de la ventana Explorar podemos observar que hay “estadísticos”, damos clic y se desplegara una nueva ventana.

En esta ventana tenemos que activar la opción “descriptivos”al hacer esto podemos marcar el intervalo de confianza con el cual queremos trabajar.

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Nuestro ejercicio nos permite trabajar con I.C de 90% modificamos este valor y damos clic en continuar.

3. Como último paso, en la ventana explorar damos clic en aceptar.

4. Como podemos observar se desplego una ventana con varios datos entre los cuales se encuentran el intervalo de confianza que requerimos para nuestro ejercicio.

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EJERCICIO 2 Se desea la intervención de voto por el candidato A la presidencia de un país. Se toma una muestra aleatoria de 70 votantes y45 de ellos responden a tener intenciones de votar por A . construir un intervalo de confianza del 97% para la proporción de votantes con intención de voto por el candidato A. Para este ejercicio seguiremos procedimiento, pero solo se agregaran los pasos de creación de variable y el resultado final. 1. Crear una variable que nos permita reflejar la decisión de votar por el candidato A.

Para este ejercicio los valores de 0 y 1 nos indicaran si el voto es por otros candidatos o por el candidato representante.

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Una vez creada la variable ingresamos los datos para lo cual nos dirigimos a vista de variables.

2. Para crea nuestro I.C seguimos los pasos del ejercicio anterior. “EstaditicaEstadisticos descriptivos-Explorar”.

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Nuestro ejercicio nos pide trabajar con un I.C de 97%, modificamos este valor y damos clic en continuar.

3. Como último paso, en la ventana explorar damos clic en aceptar. Como podemos observar se desplego una ventana con varios datos entre los cuales se muestra el intervalo de confianza que requerimos para nuestro ejercicio.

INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCION USANDO SOFWARE “R”

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Enunciado.- Si x=36 de n=100 personas entrevistadas están familiarizados con los incentivos fiscales para instalar ciertos dispositivos de ahorro de energía, construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción verdadera correspondiente. a) Abrimos el programa R, que es un software libre, y nos dirigimos en archivos y seleccionamos nuevo script. Se nos abrirá una nueva ventana, ahora nos colocamos en la opción ventana y seleccionamos en dividir verticalmente.

b) Nos colocamos en la ventana de la izquierda “Editor” y colocamos el enunciado con un # antes de cada frase, porque estamos porque estamos colocando como un comentario. Ahora bien observado los datos que nos da el ejercicio, vamos a utilizar dos datos y un comando que nos servirá para obtener el intervalo de confianza de una proporción. Los datos que debemos anotar en la ventana es la x=36 (número de éxitos), y n=100 (número de elementos de la muestra).

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c) Una vez conocida los datos de “x” y “n”, tenemos que ingresar un comando que nos mostrara el intervalo de confianza de esa proporción, ingresando los datos mencionados anteriormente, el intervalo de confianza y en la proporción de correct (FALSE), lo ingresamos falso ya que los datos no son consecutivos, tal como se muestra a continuación.

d) Como paso final presionados “ctrl+R” desde el inicio ya que el programa ejecuta línea por línea, y si lo ejecutamos en desorden, no nos va a leer los datos ingresados. La ejecución se mostrara en la ventana de la derecha y cómo podemos observar nos muestra algunos datos, pero lo que a nosotros nos interesa es el intervalo de confianza de la proporción que se encuentra señalado.

Conclusiones 

El programa Minitab permite trabajar directamente insertando datos lo cual ahorra mucho tiempo al momento de hacer el análisis.

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

Al utilizar el software R se puede concluir que es una herramienta muy eficaz ya que solo hay que reconocer el número de éxitos y el total de los elementos.



A pesar de que SPSS no cuenta con una herramienta concreta el calculo nos permite realizar un aproximado a los cálculos.

Bibliografía 

aedo, s. Intervalos de confianza para proporciones.

2. INFORME DE DISTRIBUCION EXPONENCIAL Y T- STUDENT Objetivos Objetivo General Dar a conocer el proceso de aplicación del programa estadístico para la resolución de problemas de la prueba de hipótesis sobre la media. Objetivos específicos 

Desarrollar un ejemplo práctico mediante la introducción de datos.

Marco Teórico Hipotesis Afirmación relativa a un parámetro de la población sujeta a verificación. Hipotesis nula Enunciado relativo al valor de un parámetro poblacional formulado con el fin de porbar evidencia numérica. Hipótesis alternativa Afirmación que se acepta si los datos de la muestra ofertan suficiente evidencia para rechazar hipótesis nula.

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PROGRAMA R COMMANDER a) Ingresamos en el programa

b) Asignamos la opción cargar paquetes y abrirá una tabla de opciones.

c) Elegimos la opción Rcmdr y oprimimos “ok”

d) Nos dirigimos a la segunda ventana y damos click en la opción “datos” desde un archivo de Excel.

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e) Se nos abrirá una pequeña ventana y colocamos el nombre de nuestro archivo para ingresar al programa, nos ubicamos en la ventana de console y ubicamos el nombre y damos clic.

f) Aquí se nos abrirá todos los datos que hemos asignado previamente.

g) Nos dirigimos hacia nuestra segunda ventana y damos clic en la opción “estadísticos” nos ubicamos en la opción medias y nos dirigimos en la primera opción. Se nos abrirá la siguiente pantalla ubicamos nuestra media y demás datos que nos da el ejercicio.

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h) Por último paso nos dará los datos ya calculados del ejercicio.

Componente MegaStat-Extension de Excel a) Ejecutar el programa Excel y dirigirse a la parte de complementos

b) Escoger el comando MegaAtat

c) Escogemos la opción Hypothesis_Tests y después la opción Mean vs. Hypothesized Value.

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d) En la pantalla que aparece se llena con los datos: o Señalamos la casilla de “summary imput” o En el cuadro de texto, ingresamos la media, la desviación y el tamaño de la muestra. o En el siguiente cuadro de texto, ingresamos el valor de la hipótesis alternativa y escogemos si es menor, amor o igual. o Marcamos la casilla de z-test o t-test dependiendo del caso. o Y por último escogemos el intervalo de confianza.

e) Por ultimo damos clic en OK y nos generara una nueva hoja en Excel con los cálculos realizados y el valor de z.

APLICACIÓN EN SPSS Un centro policial se determinó que la estatura media de los kdts es de 1.70 m. Un censo de salud proporcionó información en la cual se propone que la estatura media realmente

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es diferente a 1.70. El director del centro policial selecciono una muestra aleatoria de 10 kdts para corroborar el dato del censo de salud, con un I.C del 99%. 1.73

1.68

1.67

1.79

1.71

1.69

1.69

1.65

1.75

1.76

a) Creamos la variable “estatura” en la ventana de “vista de variables” con los daros indicados en la grafica

b) Ingresamos los datos de la muestra en la variable ‘estatura”

c) Damos clic en “analizar” posteriormente en la opción “comparar medias” y finalmente en la opción “prueba T para una muestra”.

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d) En una nueva ventana seleccionamos la variable analizar y damos clic en “opciones” y en “valor de prueba” ingresamos el valor a analizar.

e) En la nueva ventana desplegada seleccionamos nuestro intervalo de confianza y presionamos “continuar” y “aceptar”.

f) En la ventana de resultados podemos observar los valores obtenidos:

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Nota: Al ser una prueba de dos colas, en el ejercicio mostrado se plantearía: 𝐻𝑜; 𝜇 = 1.70 𝐻1; 𝜇 ≠ 1.70 ∝= 0.414 Para el ejercicio tenemos que 𝑝 > 0.05 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑 = 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑜𝑡𝑎𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎

APLICACIÓN CON T-STUDENT Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es de 4.35 lb. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos en libras. 4.41

4.37

4.33

4.35

4.30

4.39

a) Plantemos la hipótesis 𝐻𝑜 ≤ 4.35 𝐻1 > 4.35

b) Colocamos la opción Rcmdr

4.36

4.38

4.40

4.39

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c) Nos vamos a ventana y elegimos la opción datos.

d) Generamos la tabla y colocamos el nuevo nombre asignado

e) Generamos la tabla de datos y vamos a la siguiente ventana donde buscaremos las opciones estadísticos.

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f) Se genera los datos y como conclusión tenemos que:

Como 𝑡 < 4.35 se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa. Conclusión: el producto no aumenta el peso medio de pollos. La talla media de los hombres entre 18 o más años de un país es igual o mayor a 175. Suponiendo que la desviación estándar de la población es de 14. Se toma una muestra de 50 hombres seleccionamos al azar, cuya altura promedio es de 173.47. El nivel de significancia es del 5%. ¿Se acepta Ho? a) Planteamos hipótesis 𝐻𝑜 ≥ 175 𝐻1 < 175 b) Ingresamos los datos del enunciado en una hoja de Excel.

c) Nos dirigimos a componentes y seleccionamos MegaStat.

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d) Escogemos la opción de Hypothesis_Test y después la opción Mean vs. Hypothesized Value.

e) Seleccionamos los datos a utilizar en la pestaña que se genera.

f) Dar clic en OK y aparece una nueva hoja de resultado.

g) Como la 𝑝 >∝, se concluye que la Ho no se rechaza

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PRUEBA DE UNA MEDIA CONOCIENDO LA DESVIACION ESTANDAR DE LA POBLACION CON MINITAB De acuerdo con el presidente del sindicato, el ingreso bruto medio de los ingenieros en el área de California sigue la distribución de probabilidad normal con una media de %45000 y una desviación estándar de $3000. Un reportaje de investigación reciente revelo que el ingreso medio de una muestra de 120 ingenieros era de $4500. ¿Es razonable concluir que el ingreso medio no es igual a $4500 en el nivel de significancia de 0.10? 𝐻𝑜 = 45000 𝐻1 ≠ 45000 La hipótesis alternativa no señala una dirección, así que se trata de una prueba de dos colas. a) Clic en “estadísticas”- “estadísticas básicas”, clic en la opción “ z de 1 muestra”

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b) Seleccionamos la opción datos resumidos.

c) Ingresamos los datos

d) Clic en “opciones”, se despliega una ventana en donde escribimos el intervalo de confianza y el nivel de significancia. En hipótesis alternativa elegimos la opción “no es igual a”.

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e) Clic en aceptar 𝑝 <∝ 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜 0.068 < 0.1 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜

Se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que el salario medio es diferente de $45000.

PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA MEDIA SIN CONOCER LA DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL MODEPSA S.A, fabrica encargada de la elaboración de pernos industriales, tiene un estudio que revela un peso promedio por perno de 25 gramos. El supervisor general de áreas mecánicas desea estimar que no existan problemas en las maquinas que se encargan de la producción de las mismas. Se realiza una investigación al departamento de producción, el mismo que selecciona una muestra aleatoria de 20 pernos. 24 26 27 29 23 22 25 26 21 29 28 22 25 24 23 22 21 24 25 21 Se desea estimar si es o no razonable mencionar como conclusión que el peso medio de los pernos ha variado para y nivel de significancia 0.05. 𝐻𝑜 = 25 𝐻1 ≠ 25 a) Abrir minitab

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b) Ingresar los datos dependiendo del ejercicio

c) Se escoge la estaña asistente

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d) Se desplaza la ventana

e) Se dirige hacia ayudarme a elegir

f) Se escoge dependiendo del caso ‘media vs. Objetivo”

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g) Procedemos a ingresar los datos, escogemos la columna de datos donde fueron registrados.

h) Se analiza los resultados que el sistema arroja.

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𝑝 >∝ 0.270 > 0.05 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜

La hipótesis nula que afirma que el peso medio de los pernos es de 25 gramos, se acepta la hipótesis nula y se concluye que la media poblacional no es significativamente diferente de 25 gramos. No existen problemas de producción

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3 Prueba de hipótesis media sin desviación La longitud media de una pequeña barra de contrapeso es de 43 milímetros .al supervisor de producción le preocupa que hayan cambiado los ajustes de la máquina de producción de barras. Solicita una investigación al departamento de ingeniería, que selecciona una muestra aleatoria de 12 barras y las mide .Los resultados aparecen en seguida, expresados en milímetros. 42

39

42

45

43

40

39

41

40

42

43

42

¿Es razonable concluir que cambio la longitud media de las barras? Utilice el nivel de a Paso 1: Se establece la hipótesis nula y alternativa. 𝑯𝟎: 𝝁 = 𝟒𝟑 𝑯𝟏: 𝝁 = 𝟒𝟑 Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia. 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟐 Paso 3: Se selecciona el estadístico de prueba. El estadístico de prueba es t, para una desviación estándar de la población desconocida. 𝑡=

𝑋̅ − 𝜇 𝑠⁄√𝑛

Paso 4: Se formula la regla de decisión La hipótesis alternativa no señala una dirección, así que se trata de una prueba de dos colas. Hay 11 grados de libertad, que se calculan por medio de n- 1=12-1=11. El valor t es de 2.718, en el caso de una prueba de dos colas con un nivel de significancia de 0.02 y 11 grados de libertad. La regla de decisión es: se rechaza la hipótesis nula si el valor calculado de t se localiza a la izquierda de 2.718 o a la derecha de 2.718. Paso 5: Se toma una decisión y se interpreta el resultado.

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La desviación estándar de la población es desconocida la media de la población de 43. La cantidad media de la muestra de n-12.

𝑋̅ =

498 = 41.5 𝑚𝑚 12

∑(𝑥 − 𝑋̅)2 35 √ 𝑠= =√ = 1.784 𝑁−1 12 − 1

𝑡=

𝑋̅ − 𝜇 𝑠/√𝑛

=

41.5 − 43 1.784/√12

= −2.913

La hipótesis nula que afirma que la media poblacional es de 43 milímetros se rechaza porque el valor calculado de t de -2.913 se encuentra en el área a la izquierda de -2.718. Se acepta la hipótesis alternativa y se concluye que la media poblacional no es de 43 milímetros.

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CALCULO EN SPSS Para realizar el cálculo en SPSS primero se asigna las variables que da el ejercicio en este caso pondremos X para el vamos a calcular y Z para el valor de la respuesta de igual forma asignamos la cantidad de decimales con los que vamos a trabajar seria en X con cero decimales y en Z con cuatro decimales para ser más exactos con las respuestas de la tabla, en medida designamos escala para X y nominal para Z.

En vista de datos ingresamos el valor que nos da el ejercicio para calcular en este caso 42 39 42

45

43 40 39 41 40 42 43

42, después de ingresar la variable nos

dirigimos a Analizar, seleccionamos Comparar media y damos clic en Prueba T para una muestra de forma inmediata nos aparecerá una ventana, arrastramos LONGUITUD a Variables para contrastar en Valor de prueba colocamos la muestra en este caso 43; ponemos aceptar y nos saldrá las respuestas requeridas.

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Realizamos la gráfica en geómetra en donde calcularemos el valor para demostrar si se rechaza. Para graficar en varias sesión de la gráfica se selecciona en geogebra Vista, seleccionamos Calculadora de probabilidad por default nos da Normal debemos cambiar a Student, escogemos el intervalo por la izquierda y en el intervalo se coloca -1 ya que es con signo negativo por su dirección, escojamos la opción Exportar opción Copiar en Vista Grafica. Y obtendremos una gráfica con intervalo por la izquierda. Creamos un intervalo a la derecha siguiendo el proceso anterior, obtendremos una gráfica con varias secciones, como es una representación en el punto b se coloca -2.7 y en el punto A se coloca 2.7

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4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

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14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26