Trabajo Ecuaciones Diferenciales Yo Newwww Ultimo Mejorado.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA SANITARIA

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA: VARIACIÓN POBLACIONAL -CAMBIO DE TEMPERATURA-DESINTEGRACION RADIACTIVA-MEZCLASCIRCUITOS Y HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: PRESENTADO POR:

 Huaman Quispe, Joel Alberto  Oliva Sagua, Yoshelyn  Paucar Suca, Wilson  Valencia Talavera, Emilia GRUPO: “A”

SEMESTRE: III

AREQUIPA - PERÚ

2018

INDICE CAPITULO 1: VARIACIÓN POBLACIONAL -CAMBIO DE TEMPERATURADESINTEGRACION RADIACTIVA-MEZCLAS-CIRCUITOS 1.

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 4

2.

OBJETIVOS ............................................................................................................................. 5 2.1.

OBJETIVO GENERAL.................................................................................................... 5

3.

IMPORTANCIA EN LA INGENIERIA SANITARIA ............................................................ 6

4.

DESARROLLO ........................................................................................................................ 7 4.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL ...................................................................................... 7 4.1.1. EJEMPLO 1 ................................................................................................................... 8 4.2. TEOREMA DE TORRICELLI ........................................................................................... 13

Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques ...................................................................... 14 Algunos Tipos De Tanques ....................................................................................................... 17 Tiempo De Descarga En Tanques Y Recipientes ................................................................ 19 

Influencia De La Geometría Del Recipiente ................................................................... 19

EJERCICIOS RESUELTOS ......................................................................................................... 21 4.3. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON ......................................................................... 1 4.3.1. EJEMPLO1: ................................................................................................................... 3 4.3.2. EJEMPLO 2 ................................................................................................................... 6 4.3.3. APLICACIONES DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO ................................................. 7 4.4. DESINTEGRACION RADIACTIVA ................................................................................... 8 4.4.1. EJEMPLO 1 ................................................................................................................... 8 4.5. MEZCLAS ........................................................................................................................... 10 4.5.1. EJEMPLO 1 ..................................................................................................................... 11 5.

CONCLUSIONES .................................................................................................................. 12

6.

COMENTARIO ....................................................................................................................... 13

1. INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales son una herramienta indispensable para el conocimiento y desarrollo de las tecnologías. En la ciencia y en la ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender los fenómenos físicos. En base a las ecuaciones diferenciales se puede modelar un problema científico haciendo uso de las ecuaciones diferenciales ordinarias además de interpretar y aplicar modelos que involucren funciones especiales.

Las ecuaciones diferenciales marcan la pauta para el razonamiento de problemas de otros ámbitos, no solo en la ingeniería, sino que nos permiten comprender mejor para poder dar soluciones integrales, además de desarrollar la destreza y pensamiento ingenieril al practicarlas.

En la vida diaria vemos muchos fenómenos como el crecimiento de la población, cambios de temperatura entre otros fenómenos. Parece increíble pero las ecuaciones diferenciales deben su importancia por la infinidad de aplicaciones en la vida diaria, porque hay varios problemas que no tienen solución a simple vista, encuentran un método de solución en este curso.

2. OBJETIVOS 2.1.

2.2.

OBJETIVO GENERAL

Conocer la importancia del uso y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la solución de problemas de la vida diaria en relación con la carrera profesional de Ingeniería Sanitaria.

2.3.



OBJETIVOS ESPECIFICOS

Conocer la aplicación de las ecuaciones diferenciales en el desarrollo de plantas de tratamiento de agua residual (PTAR).



Comprender

la importancia del vaciado de tanques con el modelo

matemático de la ley de Torricelli. 

Aplicar el método de separación de variables en la resolución de problemas con ecuaciones diferenciales.

3. IMPORTANCIA EN LA INGENIERIA SANITARIA Las Ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, valida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan

y una misma ecuación puede describir procesos

correspondientes a diversas disciplinas.

Un ingeniero Sanitario debe conocer y aplicar conceptos numéricos para la realización de proyectos Ambientales, debe interpretar los fenómenos de la naturaleza por medio de expresiones o modelos matemáticos, aquí las ecuaciones diferenciales son importantes ya que intervienen en el tratamiento de aguas residuales, en las ecuaciones de la Hidráulica, para sistemas de recolección y tratamiento de residuos, para hacer estudios de contaminación, diagnósticos, evaluación y monitoreo de ecosistemas, entre muchas otras aplicaciones.

Las ecuaciones diferenciales son muy importantes en los diferentes campos de aplicación de las ingenierías, en especial en nuestra carrera de ingeniería sanitaria es muy útil. Nosotros lo usamos en varios campos como en microbiología al momento de determinar los modelos matemáticos del crecimiento de bacterias y en el crecimiento demográfico al momento de planificar, diseñar y construir las obras de agua, desagüe y redes de alcantarillado es

necesario conocer la cantidad de población que van a usar

los servicios y habitar en un determinado territorio.

Al momento de desalojar agua que puede estar contaminada con un metal pesado u otras sustancias en las mezclas y vaciados de tanques que pueden ser represas en nuestro campo de trabajo, así mismo para conocer el tiempo de vida media de una sustancia y si es dañina para el hombre en especial si afecta la salud humana es necesario utilizar dichas ecuaciones en particular los modelos matemáticos que es la descripción matemática de un sistema o fenómeno.

4. DESARROLLO

4.1. CRECIMIENTO POBLACIONAL

Definición: El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en un cierto periodo de tiempo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población por unidad de tiempo para su medición.  Ecuación de primer orden la cual se puede escribir como el producto de dos funciones f (x) y g (y). De la cual pueden resultar dos integrales, una respecto a P y la otra respecto a t. Por lo tanto, se llega a una solución particular de la cual, para nuestros ejercicios de crecimiento de población, se nos darán valores de tales funciones para llegar a un resultado exacto y definido.

NOTA: 

Todo problema de crecimiento poblacional está definido por una función P (de población) derivada respecto de t (el tiempo) igualado al producto de una constante k y la función P.

SOLUCION DE LA ECUACION: 

Separamos funciones.



Recordemos que al tener un logaritmo natural, puede ser cancelado con un Euler.

PASOS – DESARROLLO 

Por lo tanto, se llega a una solución particular de la cual, para nuestros ejercicios de crecimiento de población, se nos darán valores de tales funciones para llegar a un resultado exacto y definido.



Recordemos leyes de los exponentes que, al tener:



Por lo tanto podemos indicar:



Sabemos que como c es constante, podemos quitar el exponencial para finalmente representar nuestra solución en función implícita así:



Lo que cambiará en los problemas de crecimiento es que, nos darán siempre una referencia con valores iniciales.

4.1.1. EJEMPLO 1

Tenemos

datos

de la ciudad de Arequipa sobre el crecimiento

o

decrecimiento poblacional,

los

cuales son:

 Primero tenemos que sacar los datos que nos presentan, primero, se tomara una población inicial Po (P sub cero), es decir P (0) de la cual parte el estudio, de un tiempo cero, consideraremos el año 2013 como el año 0 (cero) lo cual sería: P (0) = 80453; P (0) = P0

 Pues, una vez que hemos aprendido la ecuación, sólo es cuestión de reemplazar los valores de la ecuación.  Sabemos que tenemos 2 constantes, C y K, las cuales vamos a despejar para encontrar su valor específico en el problema, primero encontraremos el valor de C usando la función P(0)

Ahora sabemos que Po es igual a C, por lo cual la reemplazamos en la siguiente función con el valor que se nos pide.

Ahora que sabemos la constante C, podemos calcular la siguiente constante K con el segundo valor P (1)= 81445 (esto corresponde al año 2014). Podemos calcular K, dado a que se conoce los valores de P0 y P1 =81445, entones reemplazamos esos valores para calcular K. X= P = 80453 P(T) = Ce^(kt) t=1 81445 = 80453 e^(k)(1) (81445/80453)= e^(k)(1) ln (81445/80453) = k

0.01225478282 = k Y ahora podemos reemplazar el valor de K en la función.

K = ln (81445/ 80453) P= x? en t = 10 años P(t) = Poe^(ln81445/ 80453)*t P(t) = Poe^(0.01225478282)*t P(t) = 80453 e^( 0.01225478282)*(10) P(t) = (80453)e^(0.1225478282)

Ahora que conocemos el valor de las constantes, podemos calcular la población en el año 2023, lo cual sería un P (2)

P(t) = 80453)e^(0.1225478282) P (10) = 90941, 91365 personas.

Crecimiento poblacional del distrito de Alto Selva Alegre 92000 y = 2E-06e0.0123x R² = 1

90000 88000 86000 84000 82000 80000 78000 2010

2012

2014

2016

2018

2020

2022

2024

En el siguiente grafico se puede observar cómo es que actúa el crecimiento poblacional del distrito de Alto Selva Alegre

INTERPRETACIÓN:  Entonces, ahora se tiene claro que las ecuaciones diferenciales tienen usos prácticos para cada caso, ésta vez enfocado al crecimiento de población, también se refuerza el uso de solución por separación de funciones para una ecuación lineal de primer orden.  El poder encontrar la cantidad de población existente dentro de un periodo de años nos permite conocer las necesidades que esta podría tener ,podemos considerar también esta información para cálculos matemáticos ya sea para el abastecimiento de agua potable, desarrollo de proyectos de mayor envergadura como , las plantas de tratamiento de agua residuales, PTAR. CRECIMIENTO DE UNA POBLACION DE BACTERIAS: Consideremos una población de bacterias que se encuentran confinada en un medio ambiente finito de tal manera que no pueden coexistir más de N individuos. Supongamos que al inicio del estudio (t=0) el número de bacterias es y0<
La ecuación diferencial que rige este sistema es la siguiente:

ECUACIÓNES DIFERENCIALES DE BERNOULLI: Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden e de Bernoulli cuando su expresión normal es como sigue:

y’+ f (t).y=g(t). yn , n≠0.1 RESOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA (EDO) Para resolver de manera exacta una EDO de Bernoulli se procede como sigue:

En nuestro caso:

RESOLUCIÓN APROXIMADA DE LA EDO: MÉTODO DE EULER Consideremos el Problema de Valor Inicial siguiente:

El método de Euler nos proporciona la siguiente solución aproximada:

El método de Euler Mejorado nos da la siguiente aproximación:

4.2. TEOREMA DE TORRICELLI El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio": Donde:

Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio. V0 es la velocidad de aproximación. h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio. g es la aceleración de la gravedad. Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

Donde: Vr es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio. Cv es el coeficiente de velocidad. Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.

VACIADO DE TANQUES El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistema de la siguiente forma:

Esta ecuación es conocida en hidrodinámica, la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad v de el flujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es,

Donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, ½ (mv2), con la energía potencial, mgh, despejando v.

Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques

Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el área de la sección transversal constante, y a es el área de un orificio de sección transversal por el que fluye el agua, el cual está ubicado en la base del tanque. Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en un tiempo t + At (nivel 2). Se desea establecer la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de agua que se escapa por el orificio. Sea h(t) la altura del liquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua a través del orificio es

Donde g es la gravedad. La ecuación anterior representa la velocidad que una gota de agua adquirirá al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se obtendrá

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunos problemas, cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que c=1. Según el Teorema de Torricelli, la razón con la que el agua sale pro el agujero (variación dl volumen de liquido en el tanque respecto al tiempo) se puede expresar como el área del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto es

Sustituyendo en la ecuación

Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene

Derivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del cálculo

Comparando las ecuaciones

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolver sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t=0, permite obtener la variación de la altura del liquido en el tanque en función del tiempo. Las medidas o dimensiones de los tanques se pueden expresar de la siguiente forma: Elemento Altura Volumen Tiempo Gravedad Área del orificio de salida Área de la sección transversal Coeficiente de descarga

Notación h(t)

cm

B(t)

Cm3

Mt3

t

seg

seg

981cm/seg2

g a A(h)

Unidades mt

pies Pies3

seg 32pies/ 9,81mt/ seg2 seg2

Cm2

Cm2

Pies2

Cm2

Cm2

Pies2

c

Sin Unidades

La constante C depende de la forma del orificio: Si el orificio es de forma rectangular, la constante C = 0,8. Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ C ≤ 0,75. Si el orificio es de forma circular, la constante C = 0,6. Y en algunos casos viene especificada.

Algunos Tipos De Tanques Caso 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de diámetro d.

y separando variables,

Integrando

Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la constante C, así:

Entonces de la ecuación se despeja el tiempo

Esto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque cilíndrico vertical. Caso 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo.

Entonces Reemplazando en (*)

Con las condiciones iniciales, t0=0 y h=2r, se halla la constante de integración. El tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0 Caso 3: Un cono circular recto de altura h0 y radio R dispuesto verticalmente con orificio circular en el fondo de diámetro d.

Por semejanza de triángulos se conoce que

Condiciones iniciales cuando t=0 y h= h0, el tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0 Tiempo De Descarga En Tanques Y Recipientes El diseño de tanque más difundido es sin dudas, el tanque cilíndrico de eje vertical con fondo plano. Considerando este y otros diseños, ya detallados, como base se puede calcular el tiempo de descarga de los mismos, que se pueden obtener simplemente utilizando la ecuación diferencial, hallada anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se dan encada caso.  Influencia De La Geometría Del Recipiente Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. A medida que se produce la descarga del líquido y según la forma geométrica del tanque, pueden presentarse dos situaciones: 1. Que el área transversal del recipiente sea constante en toda su altura, o 2. Que el área transversal varíe en distintos niveles. En efecto, el planteo e integración de las ecuaciones anteriores se simplifica dado que en el caso analizado la sección transversal del tanque cilíndrico se mantiene constante en toda su altura. Si el área transversal varía, el tema es más complicado y para obtener los tiempos de descarga se tiene que conocer la función que relaciona el área con la altura de líquido, esto es, encontrar la relación: Esta cuestión es importante dado que es otro de los casos frecuentes que se presentan en la práctica industrial en los tanques y recipientes tales como • Recipientes esféricos • Recipientes cilíndricos horizontales de: o Cabezales Semielípticos. o Cabezales Semiesféricos. o Cabezales Toriesféricos. o Cabezales Planos.

• Recipientes cilíndricos verticales de: o Fondo Semielíptico. o Fondo Semiesférico. o Fondo Toriesférico. La siguiente imagen muestra el tiempo de descarga de los recipientes según su forma geométrica.

EJERCICIOS DE APLICACION  Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de 1 pulgada de diámetro, ¿Cuándo se vaciara el tanque?

Primero se debe convertir la unidad de área del orificio a pies, el diámetro de este es de 1 pulgada, por lo tanto su radio es de ½ pulgada; 1 pulgada es igual a 1/12 pies. Dado que el orificio es una circunferencia, su área es igual a (π(radio)2), entonces el área del orificio de salida es:

Así mismo, el área de la sección transversal, A(h)= π(10)2= 100 π 2 El coeficiente de descarga no está dado, por lo tanto se asume que c= 1, la gravedad g= 32pies/ seg2 Sustituyendo todos los valores en la ecuación asociada a los problemas de vaciado de tanque, se obtiene:

* (1/ π)

Esta ecuación debe resolverse sujeta a la condición que para t=0, h0=20pies. 

Luego se integra 



      

y Se sustituyen los resultados en la ecuación

Para hallar el valor de la constante de integración, se sustituyen los valores iniciales del problema. 

*

Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, se debe sustituir h=0 en la anterior ecuación Así, el tanque logra vaciarse en un tiempo de 64398.75 segundos, es decir, 17horas 53 min 19seg.  Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeño orificio situado en el tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un escape. Si el tanque esta inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine: a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad? b) ¿Cuándo estará vacio?

Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, y puesto que 1 pulg=1/12 pies, entonces haciendo la conversión, el área del orificio de salida será

El coeficiente de descarga es c=1 y la gravedad es g=32pies/seg2. Como puede observarse en la figura las secciones transversales del tanque van a ser cuadrados de lados constantes iguales a 12pies, independientemente de la altura a la cual se efectúa el corte, por lo tanto, el área de la sección transversal será A(h)=144pies2 Ya que las secciones transversales son de área constante y puesto que el tanque está inicialmente lleno ¾ de su capacidad, resulta que la altura inicial será h=3/4 de la altura total. Así, como la altura inicial del tanque es h1= 12pies, entonces la altura inicial h0= ¾ ht = 9pies

Sustituyendo estos valores en la ecuación inicial se obtiene Se simplifica, y se obtiene

La anterior es una ecuación diferencial de variables separables, para separar las variables se multiplica la ecuación por el factor

Y se obtiene 

Luego se integra toda la ecuación

Ambas integrales son inmediatas

y Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación se obtiene Para determinar el valor de la constante de integración se reemplaza la condición inicial h= 9pies y t=0 resultando C= -7776, este valor se sustituye en la ecuación Multiplicando por

Y elevando al cuadrado

La anterior, es la ecuación que define la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t. Se requiere determinar el tiempo para el cual el volumen del liquido del tanque es igual a la mitad de su capacidad, es decir, cuando h=6pies, este valor se sustituye en la ecuación,

Elevando a la ½ Multiplicando por -1

Sumando 3 y multiplicando por 2592

Así se conoce que debe transcurrir un tiempo t=1425,6seg es decir 23 min 45 seg. 4.3. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Definición: Está relacionada con los cuerpos calientes y fríos, llevando a cabo procesos como: vaporización, cristalización, reacciones químicas, entre otras. En donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus propias peculiaridades. Importancia: Es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encentra en tránsito, debido a una diferencia de temperaturas y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc.  Ecuación de primer orden la cual se puede escribir como el producto de dos funciones f (x) y g (y). De la cual pueden resultar dos integrales, una respecto a T y la otra respecto a t. Por lo tanto, se llega a una solución particular de la cual, para nuestros ejercicios de crecimiento de población, se nos darán valores de tales funciones para llegar a un resultado exacto y definido. NOTA: 

Todo problema de Ley de enfriamiento de temperatura está definido por una función T (de temperatura) derivada respecto de t (el tiempo) igualado al

producto de una constante k y la diferencia delas funciones T (temperatura) y Tm o Ta (temperatura ambiente). SOLUCION DE LA ECUACION:

PASOS – DESARROLLO 

Utilizando como datos muestras de temperaturas emitidas por el servicio nacional de meteorología e hidrología “SENAMHI”, se va a plantear UN PROBLEMA al cual se dará solución mediante un análisis matemático, utilizando ECUACIONES DIFERENCIALES, que nos permitirá conocer las temperaturas posteriores y/o anteriores a los datos poseídos y obtener el resultado requerido.

Dentro del modelo matemático tenemos las siguientes variables y constantes a determinar: •

K: Constante de Proporcionalidad

•

T: Temperatura del objeto

•

Ta: Temperatura del Medio en que se encuentra el objeto 2

•

t: Tiempo en que se enfría o calienta el objeto

•

C: Contantes de integración para las soluciones

Tenemos que tomar en cuenta que la constante de proporcionalidad puede ser positiva o negativa, pero esto no afectara en el resultado dependiendo de la forma de resolución de este problema. 4.3.1. EJEMPLO1: RECOLECCION DE DATOS: Lunes, 22 de noviembre del 2010 en la tarde.

FORMULACIO MATEMATICA:

3

4

En

el

grafico

siguiente se

puede

observar cómo es que actúa el cambio de temperatura en el ambiente.

INTERPRETACIÓN: • Los resultados obtenidos son satisfactorios, y se asemejan a la realidad y se los puede comprobar.

5

4.3.2. EJEMPLO 2

Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura constante de 1° F. Si después de 20 minutos a la temperatura del cuerpo es de 40 ° F y después de 40 minutos la temperatura del cuerpo es de 20 °F, hallar la temperatura inicial de éste.

Solución: 𝑇(𝑡). 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑜. 𝑇(20) = 40°𝐹 𝑇(40) = 20°𝐹 𝑑𝑇 ∶ 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑓𝑟í𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑡 La temperatura constante del medio ambiente es 𝑇𝐴 = 1°𝐹 Por la ley de enfriamiento de Newton, tenemos lo siguiente 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 1) 𝑑𝑡 𝑇(20) = 40 𝑇(40) = 20

El modelo matemático es: 𝑇(𝑡) = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 + 1 (I) Para obtener 𝑐 y 𝑘 usamos las condiciones dadas reemplazamos: 𝑇(20) = 𝑐𝑒 20𝑘 + 1 = 40

𝑇(40) = 𝑐𝑒 40𝑘 + 1 = 20 6

De donde 𝑐𝑒 20𝑘 = 39

(II)

𝑐𝑒 40𝑘 = 19 Aplicando logaritmo natural en lo anterior 𝑙𝑛𝑐 + 20𝑘 = 𝑙𝑛39 𝑙𝑛𝑐 + 40𝑘 = ln 19 De aquí que 20𝑘 = ln 19 − ln 39 O bien 20𝑘 =

1

19

𝑙𝑛 39 20

(III)

Sustituyendo (III) en (II) resulta 392 𝑐= 19 Usando os valores de 𝑐 y 𝑡 en (I), obtenemos que: 𝑇(𝑡) =

392 (1/20 𝑙𝑛 19/39)𝑡 𝑒 +1 19

𝑇(𝑡) =

392 19

19

𝑡

( 39)20 +1

392 𝑇(0) = + 1 = 81.05 19 Respuesta: La temperatura inicial del cuerpo era de 81 ° F

4.3.3. APLICACIONES DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO 

En la actualidad el enfriamiento newtoniano es utilizado especialmente en modelos climáticos como una forma rápida y menos cara

7

computacionalmente de calcular la evolución de temperatura de la atmósfera. 

Estos cálculos son muy útiles para determinar las temperaturas, así como para predecir los acontecimientos de los fenómenos naturales.

4.4. DESINTEGRACION RADIACTIVA

En la ley de desintegración radiactiva nos haba de la velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva en un instante dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese instante. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos de una cantidad inicial de dicha sustancia. 4.4.1. EJEMPLO 1 Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 50 miligramos de material y después de 2 horas se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original, encuentre a) Una expresión para la masa de material restante en un momento t b) ¿Cuántos miligramos del material quedan después de 4 horas? c) ¿Cuál es la vida media de este material? Solución Sea: X (t): masa del material restante después de cierto tiempo t. Como al cabo de 2 horas el material se ha desintegrado el 10% de su masa original, es decir el 10% de 50 mg son 5 mg que x(2) =45 mg. 𝑑𝑥

Igual que antes 𝑑𝑦 es la velocidad con que se desintegra el material radioactivo.

8

El modelo matemático es: 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 𝑑𝑦 K: constante de proporcionalidad y las condiciones 𝑥(0) = 50 𝑥(2) = 45

(I)

La solución general es 𝑥(𝑡) = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 Usando la condición inicial, tenemos 𝑐𝑒 0 = 50 Por lo tanto 𝑐 = 50 𝑥(𝑡) = 50 𝑒 𝑘𝑡

y Por otra parte de (I) tenemos que

50 𝑒 2𝑘 = 45 2 𝑘 = 𝑙𝑛

𝑘=

45 50

1 45 𝑙𝑛 2 50

𝑘 = −0.053 a) Con esto podemos afirmar que una expresión para la masa del material restante después de t horas es 𝑥(𝑡) = 50 𝑒 −0.053 𝑡

b) El número de miligramos del material después de 4 horas es 9

𝑥(4) = 50 𝑒 (−0.53 )(4) = 40.5 𝑚𝑔

c) Para calcular la vida media , determinamos el valor de t para el cual

𝑥(𝑡) =

𝑥0 = 25 2

Es decir 50 𝑒 −0.053 𝑡 = 25 −0.053 𝑡 = ln

1 2

𝑡 = 13 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Respuesta: La vida media de este material es de 13 horas 4.5. MEZCLAS

En estos ejercicios se supone que una sustancia fluye hacia una mezcla en un recipiente, con una cierta rapidez y l mezcla se mantiene uniforme mediante agitación. Además, la mezcla uniforma sale del recipiente y pasa a otro. Nos interesa determinar la cantidad de sustancia S presente en la mezcla para el tiempo t. Si denotamos por 𝐴(𝑡) la cantidad de 𝑆 al tiempo 𝑡 , entonces la derivada

𝑑𝐴 𝑑𝑡

es la

razón de cambio de A con respecto a 𝑡. Si 𝑅1 indica la razón o tasa con la que S entra a la mezcla y 𝑅2 representa la razón con la que sale, tenemos la ecuación diferencial lineal básica. 𝑑𝐴 = 𝑅1 − 𝑅2 𝑑𝑡 10

De la cual determinamos la cantidad 𝐴(𝑡) de 𝑆 en el tiempo 𝑡 . 4.5.1. EJEMPLO 1 Una cierta presa, en su máxima capacidad, contiene en su máxima capacidad 1,000 millones de 𝑚3 de agua. En un instante dado, estando llena la presa, tiene una masa de 2 toneladas de contaminantes, distribuida en forma homogénea. Suponga que en una temporada de lluvias entra agua a la pres a razón de 10 millones de 𝑚3 por día, con una masa de contaminantes de 0.09% toneladas por millón de 𝑚3 de agua y sale con la misma rapidez. Determine la cantidad de contaminantes en la presa en cualquier instante. ¿En cuánto tiempo se reducirá la contaminación total de la presa a 1.2 toneladas? Solución: Datos: 𝐴(𝑡) ∶ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑛𝑎𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑑í𝑎𝑠 El modelo matemático es: 𝑑𝐴 𝐴(𝑡) = (10)(0.0009) − (10) 𝑑𝑡 1000 Tenemos la condición inicial 𝐴(𝑡) = 2, entonces la solución está dado por 𝑡

𝐴(𝑡) = 0.9 + 1.1 𝑒 −100 Buscamos ahora el valor de 𝑡 para el cual 𝐴(𝑡) = 1.2 , es decir 𝑡

0.9 + 1.1𝑒 −100 = 1.2 𝑡 = 129.9 𝑑í𝑎𝑠 Respuesta: Se reducirá la contaminación en 129.9 días

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5. CONCLUSIONES

 El uso de los diversos métodos para la resolución de las ecuaciones diferenciales en la desintegración radiactiva, nos muestra como una sustancia contaminante no desaparece del medio ambiente sino que permanece ahí dañando su entorno en especial los seres vivos (genes) que lo habitan, razón por la cual al hacerse este problema de aplicación se recomendaría a las personas no exponerse a metales o sustancias que puedan degenerar el sistema inmunológico silenciosamente.  Al momento de analizar la aplicación en la electricidad, nos viene a la mente las leyes de Kirchoff donde nos habla de la suma de las caídas de potencial a través del inductor L di/dt

y de la resistencia Ri , es igual a la fuerza

electromotriz (fem) E(t)aplicada al circuito, esto es aplicable al momento de generar electricidad a partir de desechos orgánicos como biogeneradores de electricidad que nos serviría para electrificar zona sin luz.

 Como futuros ingenieros sanitarios estamos estudiando diversos cursos donde hablamos de las mezclas de fluidos ya sean contaminantes o no, es ahí donde se nota la utilidad de las mezclas de las ecuaciones diferenciales como por ejemplo para conocer la cantidad de la sustancia contaminante o

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el tiempo que demora en trasladarse de un recipiente a otro o de mezclarse con el todo o sea el cuerpo entero. Con tal fin es útil determinar el modelo matemático que nos ayudara a determinar la solución.  Para concluir las Ecuaciones Diferenciales son necesarias para la vida , para el desarrollo de proyectos importantes como la construcción o los cálculos que son necesarios para el desarrollo de un planta de tratamiento de agua residual (PTAR) , plantas de reserva de agua potable para la población , para prevenir necesidades de saneamiento , alcantarillado en las poblaciones futuras de acuerdo al crecimiento demográfico.  Conocer la importancia de la aplicación de ecuaciones diferenciales como es el caso de la Ley de Tornicelli nos ayudar a resolver problemas de fuga de liquidos, para evitar perdidas del recurso hídrico ya sea en estanques , almacenes ,represas, en este ultimo caso nos ayudara a saber el tiempo de vida de la represa mientras este en constate desalojo de agua abasteciendo a la población y en cualquier otra situación donde se requiera este modelo matematico.

6. COMENTARIO

 Nos parece que el uso de las ecuaciones diferenciales nos facilita la resolución de problemas de la vida real, haciendo uso de las derivadas e integrales que nos trae a la mente cálculo en una y varias variables y mediante el empleo de diversos métodos

de resolución de ecuaciones

diferenciales es imprescindible para acelerar el proceso de desarrollo de los ejercicios y problemas.  Si bien es cierto sus campos de aplicación son muchos los más elementales que hemos trabajado nos dan a entender la gran relación que hay en el uso 13

y aplicación de la matemática en relación con otras áreas del conocimiento con quienes parecía que no había relación, es así como se demuestra la utilidad de las ecuaciones diferenciales en la resolución de problemas, pero también el uso del software Matlab es muy importante al momento de graficar funciones donde todavía tenemos que trabajar.

BIBLIOGRAFIA

 Becerril & Elizarraraz, 2004. Ecuaciones diferenciales. Técnicas de solución y aplicaciones. Universidad Autónoma metropolitana. Editorial Nopase. México.  Zill D., 2015. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Décima Edición. México.  paopedroza/aplicaciones-de-las-ecuaciones-diferenciales-a-problemasvaciado-de-tanques-autoguardado

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