Trabajo-de-varios-grados-de-libertad.docx
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- Words: 5,702
- Pages: 31
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
ESTUDIANTE: BRYAN ALEXANDER MATTA VALDIVIEZO
DOCENTE: ING. IVÁN LEÓN MALO ASIGNATURA: INGENIERÍA ANTISÍSMICA TEMA: TRABAJO: ANALISIS MODAL CON CARGA DINAMICA FACULTAD: INGENIERÍA CIVIL CICLO: IX
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
ELEMENTO Columna 2,8m Colunma 3,0m Viga 3,5m Viga 4,0m Ec
ELEMENTO COLUMNA 2,8 m COLUMNA 3,0 m VIGA 3,5 m VIGA 4,0 m
b(m) h(m) 0.3 0.4 0.3 0.4 0.3 0.4 0.3 0.4 2188197.9 Tn/m2
AE/L EI 93779.91 87527.92 75023.93 65645.94
longitud (m) 2.8 3 3.5 4
Area (m2) 0.12 0.12 0.12 0.12
2EI/L 3501.12 2500.80 3501.12 2334.08 3501.12 2000.64 3501.12 1750.56
4EI/L
5001.60 4668.16 4001.28 3501.12
Inercia (m4) 0.0016 0.0016 0.0016 0.0016
φ
6EI/L^2
12EI/L^3
2679.43 2334.08 1714.83 1312.92
90 90 0 0
1913.88 1556.05 979.90 656.46
44g 45g
43g
36
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO Matriz Local AE/L 0
0
0
12EI/L3
6EI/L2
-AE/L 0
0
0
-12EI/L3
6EI/L2
87527.92 0 0 -87527.92 0 2 87527.92 -87527.92 0 4EI/L 0 2EI/L 6EI/L2 0 0 0 1556.05 2334.08 -6EI/L 0 -1556.05 1556.05 2334.08 0 -AE/L 00 0 AE/L 0 0 -1556.05 KL columna L=3.0m = 03 2334.08 4668.16 0 -2334.08 2 3 0 = 04668.16 12EI/L 0 -6EI/L2-2334.08 KL columna L=3.0m 0 2334.08 -12EI/L -6EI/L -87527.92 0 0 87527.92 0 2 0 2EI/L 0 0 0 4EI/L 6EI/L2 -6EI/L -87527.92 87527.92 0 0 -1556.05 -2334.08 0 1556.05 0 -1556.05 -2334.08 0 1556.05 Reemplazando valores 0 2334.08 2334.08 0 -2334.08 0 2334.08 2334.08 0 -2334.08
KL =
0
K columna L=2.8m = KL Lcolumna L=2.8m =
KLKcolumna L=3.0m= = L viga L=4.0m = = KKLL columna viga L=4.0m L=3.0m
KLKcolumna L=2.8m= = L viga L=3.5m = = KKLL columna viga L=3.5m L=2.8m
KL viga L=4.0m = KL viga L=4.0m =
KL viga L=3.5m = KL viga L=3.5m =
0 0 2334.08 2334.08 2334.08 2334.08 0 0 -2334.08 -2334.08 4668.16 4668.16
93779.91 93779.91 0 0 0 0 -93779.91 -93779.91 0 0 0 0
0 0 1913.88 1913.88 2679.43 2679.43 0 0 -1913.88 -1913.88 2679.43 2679.43
0 0 2679.43 2679.43 5001.60 5001.60 0 0 -2679.43 -2679.43 2500.80 2500.80
-93779.91 -93779.91 0 0 0 0 93779.91 93779.91 0 0 0 0
0 0 -1913.88 -1913.88 -2679.43 -2679.43 0 0 1913.88 1913.88 -2679.43 -2679.43
0 0 2679.43 2679.43 2500.80 2500.80 0 0 -2679.43 -2679.43 5001.60 5001.60
87527.92 65645.94 65645.94 87527.92 0 0 00 0 0 0 0 -87527.92 -65645.94 -65645.94 -87527.92 0 0 00 0 0 00
0 0 00 1556.05 656.46 656.46 1556.05 2334.08 1312.92 1312.92 2334.08 0 0 0 0 -1556.05 -656.46 -656.46 -1556.05 2334.08 1312.92 1312.92 2334.08
0 0 00 2334.08 1312.92 1312.92 2334.08 4668.16 3501.12 3501.12 4668.16 0 0 0 0 -2334.08 -1312.92 -1312.92 -2334.08 2334.08 1750.56 1750.56 2334.08
-87527.92 -65645.94 -65645.94 -87527.92 0 0 00 0 0 0 0 87527.92 65645.94 65645.94 87527.92 0 0 00 0 0 00
0 0 00 -1556.05 -656.46 -656.46 -1556.05 -2334.08 -1312.92 -1312.92 -2334.08 0 0 0 0 1556.05 656.46 656.46 1556.05 -2334.08 -1312.92 -1312.92 -2334.08
0 0 0 2334.08 1312.92 1312.92 2334.08 2334.08 1750.56 1750.56 2334.08 0 0 0 -2334.08 -1312.92 -1312.92 -2334.08 4668.16 3501.12 3501.12 4668.16
93779.91 75023.93 75023.93 93779.91 0 0 00 0 0 0 0 -93779.91 -75023.93 -75023.93 -93779.91 0 0 00 0 0 00
0 0 0 0 1913.88 979.90 979.90 1913.88 2679.43 1714.83 1714.83 2679.43 0 0 0 0 -1913.88 -979.90 -979.90 -1913.88 2679.43 1714.83 1714.83 2679.43
0 0 0 0 2679.43 1714.83 1714.83 2679.43 5001.60 4001.28 4001.28 5001.60 0 0 0 0 -2679.43 -1714.83 -1714.83 -2679.43 2500.80 2000.64 2000.64 2500.80
-93779.91 -75023.93 -75023.93 -93779.91 0 0 00 0 0 0 0 93779.91 75023.93 75023.93 93779.91 0 0 00 0 0 00
0 0 0 0 -1913.88 -979.90 -979.90 -1913.88 -2679.43 -1714.83 -1714.83 -2679.43 0 0 0 0 1913.88 979.90 979.90 1913.88 -2679.43 -1714.83 -1714.83 -2679.43
0 0 0 2679.43 1714.83 1714.83 2679.43 2500.80 2000.64 2000.64 2500.80 0 0 0 -2679.43 -1714.83 -1714.83 -2679.43 5001.60 4001.28 4001.28 5001.60
65645.94 65645.94 0 0 0
0 0 656.46 656.46 1312.92
0 0 1312.92 1312.92 3501.12
-65645.94 -65645.94 0 0 0
0 0 -656.46 -656.46 -1312.92
0 0 1312.92 1312.92 1750.56
0 -65645.94 -65645.94 0 0 0 0
1312.92 0 0 -656.46 -656.46 1312.92 1312.92
3501.12 0 0 -1312.92 -1312.92 1750.56 1750.56
0 65645.94 65645.94 0 0 0 0
-1312.92 0 0 656.46 656.46 -1312.92 -1312.92
1750.56 0 0 -1312.92 -1312.92 3501.12 3501.12
75023.93 75023.93 0 0 0
0 0 979.90 979.90 1714.83
0 0 1714.83 1714.83 4001.28
-75023.93 -75023.93 0 0 0
0 0 -979.90 -979.90 -1714.83
0 0 1714.83 1714.83 2000.64
0 -75023.93 -75023.93 0 0 0 0
1714.83 0 0 -979.90 -979.90 1714.83 1714.83
4001.28 0 0 -1714.83 -1714.83 2000.64 2000.64
0 75023.93 75023.93 0 0 0 0
-1714.83 0 0 979.90 979.90 -1714.83 -1714.83
2000.64 0 0 -1714.83 -1714.83 4001.28 4001.28
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO Columna(2,8m) , elementos 2,3,5,6,8,9,111,12,14,15 Ф=
Tg =
1 0
cosφ
senφ
0
0
0
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-senφ
cosφ
0
0
0
0
-1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0
0
1
0
0
0
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0
0
0
cosφ
senφ
0
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0
0
0
-senφ
cosφ
0
0.00
0.00
0.00
-1.00
0.00
0.00
0
0
0
0
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
AE/L 0 KL =
senФ = cosФ =
90
0
0
Kg = columna L=2.8m 12EI/L^3 6EI/L^2
0
6EI/L^2
4EI/L
-AE/L
0
0
0
-12EI/L^3 -6EI/L^2
0
6EI/L^2
2EI/L
1913.88 0.00 0 -AE/L
=
0.00 93779.91 0
-2679.43 0.00 93779.91
0.00 0-2679.43 -12EI/L^3 6EI/L^2 0-1913.88 -6EI/L^2
0.00 2EI/L
=
AE/L 0.00 0 0 -93779.91 0-2679.43 12EI/L^3 -6EI/L^2 0.00 0
-6EI/L^2
4EI/L
5001.60 0 2679.43 0 -93779.91 0.00 2500.80 0 0
-1913.88 0.00 0
0.00 -2679.43 -93779.91 0 -93779.91 0.00 0 0 2679.43 1913.88 2679.43 0.00 0 2500.80 -1913.88 2679.43 1913.88 5001.60 0.00 2679.43 0 2679.43 -2679.43 2500.80 0 0 93779.91 0.00 0 0 0.00 93779.91 -1913.88 -2679.43 0 1913.88 -2679.43 2679.43 0.00 5001.60 2679.43 2500.80 0 -2679.43 5001.60
Columna (3,0m) , elementos 1, 4,7,10,13 Ф=
Tg =
senφ
0
0
0
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-senφ
cosφ
0
0
0
0
-1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0
0
1
0
0
0
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0
0
0
cosφ
senφ
0
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0
0
0
-senφ
cosφ
0
0.00
0.00
0.00
-1.00
0.00
0.00
0
0
0
0
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
AE/L
Kg columna 0 L=3.0m0=
0
12EI/L^3
6EI/L^2
0
6EI/L^2
4EI/L
-AE/L
0
0
0.00 87527.92
-2334.08 0.00
-2334.080 -AE/L
00.00 0 -12EI/L^3 6EI/L^2 -1556.05 0.00 0 0.00 -6EI/L^2 -87527.92 2EI/L = AE/L 0 0 -2334.08 0.00
0
-12EI/L^3 -6EI/L^2
0
0
6EI/L^2
0
2EI/L
=
12EI/L^3 -6EI/L^2
Viga (3,5m), elementos 16, 20, -6EI/L^2 19, 23, 4EI/L 24, 27 Ф=
Tg =
0
-1556.05 0.00
0.00 -87527.92
-2334.08 0.00
4668.16 87527.92 2334.08 0 00.00 -87527.92 2334.080 0 2334.08 -1556.05 2334.08 0 1556.05 1556.05 2334.080.00 0.00 0 2334.08 0.00 4668.16 87527.92 0 -2334.08 0.00 -87527.92 0 0 87527.92 2334.08 2334.08 0.00 4668.160 0 -1556.05 -2334.08 0 1556.05 0 2334.08 2334.08 0 -2334.08
senФ = cosФ =
0 2334.08 2334.08 0 -2334.08 4668.16
0 1
cosφ
senφ
0
0
0
0
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-senφ
cosφ
0
0
0
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0
0
1
0
0
0
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0
0
0
cosφ
senφ
0
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0
0
0
-senφ
cosφ
0
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0
0
0
0
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
AE/L
0
0
75023.93 0-AE/L
0 Kg
KL =
1 0
cosφ
1556.05 0.00
KL =
senФ = cosФ =
90
0 0 979.900 -12EI/L^3 6EI/L^2 1714.83
12EI/L^3 6EI/L^2 0 0 viga L=3.5m = 0 6EI/L^2 4EI/L 0 -6EI/L^2 0 2EI/L -75023.93 -AE/L 0 0 AE/L 0 0 0
-12EI/L^3 -6EI/L^2
0
6EI/L^2
2EI/L
0 0 0
0
-979.90 -6EI/L^2 1714.83
12EI/L^3
-6EI/L^2
4EI/L
=
0 -75023.93 75023.93 1714.83 0 0
0 0 0 -75023.93 1714.83 0 -979.90
0 979.90 4001.28 0 = 0 075023.93 1714.83 -75023.93 -1714.83 0 0 0 -979.90 2000.64 0 0 1714.83
1714.83 -979.90 -1714.83 0 2000.64 4001.28 0 0 -1714.83 0 0 75023.93 0 979.90 -1714.83 -1714.83 0 979.90 -1714.83 4001.28 2000.64 0 -1714.83
0 1714.83 2000.64 0 -1714.83 4001.28
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO Viga(4,0m) , elementos 17,18,21,22,25,26 Ф=
Tg =
senФ = cosФ =
0 1
cosφ
senφ
0
0
0
0
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-senφ
cosφ
0
0
0
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0
0
1
0
0
0
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0
0
0
cosφ
senφ
0
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0
0
0
-senφ
cosφ
0
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0
0
0
0
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
AE/L
0
0
0
0.00 656.460
0 KL =
0
0 -AE/L 0 0
65645.94 -AE/L 0.00
=
0.00 -65645.94 65645.94 1312.92 0.000
0.00 0.00 0 -65645.94 -656.46 1312.92 0
656.46 1312.92 0 -656.46 3501.12 0 0.00 -1312.92 1750.56 0 -6EI/L^2 2EI/L = 0 1312.92 3501.12 0 0.00 -1312.92 -65645.94 0.00 0.00 65645.94 0.00 0 0 AE/L 0 0 -65645.94 0 0 65645.94 0 0.00 -656.46 -1312.92 0.00 656.46 -1312.92 -12EI/L^3 -6EI/L^2 0 12EI/L^3 -6EI/L^2 0 -656.46 -1312.92 0 656.46 0.00 1312.92 1750.56 0.00 -1312.92 3501.12 6EI/L^2 2EI/L 0 -6EI/L^2 4EI/L 0 1312.92 1750.56 0 -1312.92
6EI/L^2 Kg12EI/L^3 viga L=4.0m = 6EI/L^2 4EI/L
0 -12EI/L^3 6EI/L^2 0.00 1312.92
MATRIZ DE RIGIDEZ CONDENSADA
Para este caso, se considerarán 3GDL o lo que es 1 por nivel
K lateral = condensada
11777.50
-6239.06
685.24
-6239.06
10714.55
-5209.42
685.24
-5209.42
4527.59
Tn/m
0 1312.92 1750.56 0 -1312.92 3501.12
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE MASA Y DE LOS VALORES PROPIOS
Peso Muerto Primer piso: Segundo piso: Tercer piso:
= = =
3.408 x 3.288 x 2.568 x
2.4 2.4 2.4
= = =
8.1792 7.8912 6.1632
+ + +
1.4 1.4 1.4
x x x
13.4 13.4 13.4
= = =
Peso Vivo Primer piso: Segundo piso: Tercer piso:
= = =
0.5 x 0.5 x 0.5 x
Peso total: 100%PM + 50%PV
13.4 13.4 13.4
= = =
6.7 6.7 6.7
Tn Tn Tn
Masa total:
Primer piso:
30.29
Tn
Primer piso:
3.088
Tn.seg 2/m
Segundo piso:
30.00
Tn
Segundo piso:
3.058
Tn.seg 2/m
Tercer piso:
28.27
Tn
Tercer piso:
2.882
Tn.seg 2/m
Sabemos que matricialmente:
Haciendo: Artificio para poder reemplazar en la matriz "M"
26.9392 26.6512 24.9232
Tn Tn Tn
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO 1) Ensamblamos la matriz de rigidez "K" (matriz de rigidez lateral condensada)
KL =
KL =
11777.50
-6239.06
685.24
-6239.06
10714.55
-5209.42
685.24
-5209.42
4527.59
1K
-0.5297K
0.0582K
-0.5297K
0.9097K
-0.4423K
0.0582K
-0.4423K
0.3844K
Tn/m
Haciendo K = 11777.50 para trabajar todo en funciòn de "K"
Tn/m
2) Ensamblando la matriz de masas "M" m1
0
0
0
m2
0
0
0
m3
M=
1.139m 0 0
0 1.128m 0
0 0 1m
0
M=
kλ/w2 0 0
0 0
M=
kλ/w 0
2
3.088
0
0
0 0
3.058 0
0 2.711
=
Tn.seg2/m
Hacemos m = 2.711 para trabajar todo en función de "m"
kλ/w2
Ahora reemplazando la matriz de rigidez y de masa en la ecuaciòn (1)
det |
1K -0.5297K 0.0582K
-0.5297K 0.9097K -0.4423K
0.0582K -0.4423K 0.3844K
ω^2*(kλ/ω^2)
-
1.139 0 0
0 1.128 0
0 0 1
|=
0
Simplificando "w2" y factorizando "K", tenemos:
det |
det =
1.0000 -0.5297 0.0582
-0.5297 0.9097 -0.4423
0.0582 -0.4423 0.3844
1 - 1.139λ -0.5297 0.0582 -0.5297 0.9097 - 1.128λ -0.4423 0.0582 -0.4423 0.3844 - 1λ
1.139λ 0 0
-
=
0 1.128λ 0
0 0 1λ
|=
0
3) Hallando la determinante de la matriz encontramos las 4 raíces (Eigenvalores). Ordenando de menos a más:
λ1 = λ2 = λ3 = Del artificio:
0.06613 0.58374 1.41897
0
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
K=
11777.50
m=
2.711
Tn/m Tn.seg2/m
Reemplazando estos valores en la ecuación (2), se tiene las frecuencias y periodos: w1 = w2 = w3 =
16.95 50.36 78.51
rad/seg rad/seg rad/seg
T1 = T2 = T3 =
0.3707 0.1248 0.0800
rad/seg rad/seg rad/seg
4) Para calcular las formas de modo, reemplazamos cada valor de λi en la siguiente ecuación:
1 - 1.139λ -0.5297 0.0582
-0.5297 0.9097 - 1.128λ -0.4423
0.0582 -0.4423 0.3844 - 1λ
Ф1 Ф2 Ф3
x
=
0
Columna Ф1, considerando Ф1=1 0.9247 -0.5297 0.0582
-0.5297 0.8351 -0.4423
0.0582 -0.4423 0.3183
1 Ф2 Ф3
x
=
Ф1 Ф2 Ф3
0
1 2.03662 2.6477
=
Columna Ф2, considerando Ф1=1 0.3353 -0.5297 0.0582
-0.5297 0.2513 -0.4423
0.0582 -0.4423 -0.1993
x
1 Ф2 Ф3
=
Ф1 Ф2 Ф3
=
1 Ф2 Ф3
=
Ф1 Ф2 Ф3
=
0
1 0.53124 -0.89577
Columna Ф3, considerando Ф1=1 -0.6159 -0.5297 0.0582
-0.5297 -0.6908 -0.4423
0.0582 -0.4423 -1.0346
x
0
1 -1.10474 0.52782
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO En forma modal tenemos la matriz de Eigenvectores: Ф1 1 2.03662 2.6477
Ф=
Ф2 1 0.53124 -0.89577
Ф3 1 -1.10474 0.52782
5) Cálculo del periodo fundamental por el método de Rayleigh:
M1 = M2 = M3 =
3.088 3.058 2.882
Tn.seg2/m Tn.seg2/m Tn.seg2/m
P1 = P2 = P3 =
1 2 3
Tn Tn Tn
μ1 = μ2 = μ3 =
0.0012715 0.0026230 0.0034881
m m m
T= 0.38 seg Periodo fundamental Por tanto, uno puede concluir que el metodo de Rayleigh es independiente de las fuerzas supuestas y uno lo peude demostrar que el periodo no cambia al variar las fuerzas.
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO POR CAUGHEY 1) La serie de Caughey para un sistema de 3 grados de libertad es:
2) Determinando a0, a1 y a2 a partir de la siguiente ecuación:
Matricialmente: 0.06083 0.02047 0.01313
16.44 48.84 76.15
4442.410 116506.467 441550.796
0.06083 0.02047 0.01313
16.43890 48.84086 76.14830
4442.410 116506.467 441550.796
x
a0 a1 a2
x
=
2*
a0 a1 a2
=
0.10 0.10 0.10
a0 a1 a2
=
1.144590401 0.001883406 -0.000000132
0.05 0.05 0.05
3) Calculando la matriz de amortiguamiento reemplazando los valores de a0, a1 y a2 en la serie:
a0m =
3.534 0.000 0.000
0.000 3.500 0.000
0.000 0.000 3.299
a1k =
22.182 -11.751 1.291
-11.751 20.180 -9.811
1.291 -9.811 8.527
-7.6533
6.2077
-1.8953
6.2077 -1.8953
-7.8844 3.6826
3.6826 -2.1363
C=
18.0626 -5.5429 -0.6047
-5.5429 15.7959 -6.1289
-1
a2k(m )k =
-0.6047 -6.1289 9.6898
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
RESPUESTA DINÁMICA - ANÁLISIS MODAL Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puese utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad (1GDL). En el gráfico se muestra lo siguiente:
SISTEMA 3GDL
DEFORMADA FINAL
La solución o respuesta final se determinará mediante la contribución modal de cada oscilador:
La solución o respuesta final se determinará mediante la contribución modal de cada oscilador:
La matriz modal es:
Ф=
Modo 1 1 2.0366 2.6477
Modo 2 1 0.5312 -0.8958
Modo 3 1 -1.1047 0.5278
u1(t) = q1 + q1 + q3 u2(t) = 2.03662q1 + 0.5312q2 +(-1.1047)q3 u3(t) = 2.6477q1 + (-0.8958)q2 + 0.5278q3
Este procedimiento se conoce como el análisis modal clásico o el método de superposición de modos clásico porque las ecuaciones modales individuales (desacopladas) se resuelven a fin de determinar las coordenadas modales qn(t) y las respuestas modales un(t) para después combinarlas y obtener la respuesta total u(t). CÁLCULO DE Kn, Mn, Cn y Pn 1) Para hallar el "Kn" (Matriz de rigidez generalizada) debemos aplicar la siguiente fórmula:
La transpuesta de la matriz modal quedará:
T
Ф n=
1
2.03662
2.6477
1 1
0.53124 -1.10474
-0.89577 0.52782
La matriz de rigidez ya hallada es:
K lateral =
11777.50 -6239.06 685.24
-6239.06 10714.55 -5209.42
685.24 -5209.42 4527.59
T n/m
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO La matriz de rigidez ya hallada es:
K lateral =
11777.50 -6239.06 685.24
-6239.06 10714.55 -5209.42
685.24 -5209.42 4527.59
T n/m
-12.42 15535.76 58.70
-2.56 58.70 46699.16
T n/m
Por lo tanto la "Kn" quedará:
Kn =
9992.74 -12.42 -2.56
2) Para hallar el "Mn" debemos aplicar la siguiente fórmula:
La matriz de masa ya hallada es:
M=
3.088 0.000 0.000
0.000 3.058 0.000
0.000 0.000 2.882
35.98
-0.44
0.23
-0.44
6.26
-0.07
0.23
-0.07
7.62
Por lo tanto la "Mn" quedará:
Mn =
T n.seg2 /m
3) Para hallar el "Cn" debemos aplicar la siguiente fórmula:
La matriz de amortiguamiento ya hallada es:
C=
18.06 -5.54 -0.60
-5.54 15.80 -6.13
-0.60 -6.13 9.69
-0.56 31.32 -0.17
0.32 -0.17 58.80
Por lo tanto la "Cn" quedará:
Cn =
59.63 -0.56 0.32
T n.seg/m
4) Para hallar el "Pn(t)" debemos aplicar la siguiente fórmula:
Como dato del problema, nos dice que la fuerza se aplica en todos los niveles
Cn =
59.63 -0.56 0.32
-0.56 31.32 -0.17
0.32 -0.17 58.80
Tn.seg/m
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
4) Para hallar el "Pn(t)" debemos aplicar la siguiente fórmula:
Como dato del problema, nos dice que la fuerza se aplica en todos los niveles
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
I. Datos del sistema (ingresar): Condiciones
m=
35.977
T n*s2 / m
Δt =
Pésimo Óptimo
0.1 0.05
s s
u(0) = u'(0) =
0 0
0.001
s
Po =
0
ξ= T=
Ideal 0.05 0.38
II. Datos calculados : K= Wn = c=
9992.737 16.666 59.631
s
T n/m rad/s T n*s / m
III. Método de la aceleración lineal: β= 1/4 γ= 1/2 IV. Cálculos iniciales:
Pésimo Óptimo Ideal
a1
a2
a3
15583.37 59948.21 144026644.80
1498.71 2937.78 143967.01
35.977 35.977 35.977
Umax pésimo Umáx óptimo Umáx ideal
0.0042602 m 0.0042616 m 0.0042610 m
25576.103 69940.946 144036637.536
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO PÉSIMO
ÓPTIMO Desplazamiento
IDEAL Desplazamiento
Desplazamiento
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0 0.853 1.705 2.558 3.411 4.263 5.116 5.969 6.821 7.674 8.526 9.379 10.232 11.084 11.937 12.790
0 0.853 3.704 7.322 9.391 10.233 12.057 15.331 18.214 19.648 20.937 23.491 26.611 28.779 30.106 32.007
0 0.0000333 0.0001448 0.0002863 0.0003672 0.0004001 0.0004714 0.0005994 0.0007122 0.0007682 0.0008186 0.0009185 0.0010405 0.0011252 0.0011771 0.0012514
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75
0 0.426 0.853 1.279 1.705 2.132 2.558 2.984 3.411 3.837 4.263 4.690 5.116 5.542 5.969 6.395
0 0.426 2.285 6.122 11.314 16.507 20.439 22.653 23.708 24.783 26.970 30.647 35.317 39.949 43.603 45.963
0 0.0000061 0.0000327 0.0000875 0.0001618 0.0002360 0.0002922 0.0003239 0.0003390 0.0003543 0.0003856 0.0004382 0.0005050 0.0005712 0.0006234 0.0006572
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015
0 0.0085 0.0171 0.0256 0.0341 0.0426 0.0512 0.0597 0.0682 0.0767 0.0853 0.0938 0.1023 0.1108 0.1194 0.1279
0 0.009 0.051 0.162 0.375 0.724 1.242 1.964 2.923 4.152 5.686 7.556 9.796 12.439 15.517 19.064
0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001
1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
13.642 14.495 15.348 16.200 17.053 17.906 18.758 19.611 20.464 21.316 22.169 23.021 23.874 24.727 25.579
34.869
0.0013633
6.821 7.248 7.674 8.100 8.526 8.953 9.379 9.805 10.232 10.658 11.084 11.511 11.937 12.363 12.790
0.0006788 0.0007011 0.0007357 0.0007864 0.0008474 0.0009077 0.0009571 0.0009925 0.0010192 0.0010467 0.0010837 0.0011328 0.0011895 0.0012452 0.0012926
0.1364 0.1450 0.1535 0.1620 0.1705 0.1791 0.1876 0.1961 0.2046 0.2132 0.2217 0.2302 0.2387 0.2473 0.2558
0.0000002
49.036 51.457 55.001 59.271 63.483 66.938 69.419 71.280 73.205 75.795 79.229 83.193 87.090 90.404
0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03
23.111
0.0014677 0.0015356 0.0015976 0.0016907 0.0017999 0.0018863 0.0019504 0.0020274 0.0021292 0.0022277 0.0023026 0.0023725 0.0024619 0.0025626
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
47.474
37.539 39.274 40.859 43.242 46.035 48.245 49.883 51.854 54.456 56.975 58.892 60.678 62.965 65.542
27.691 32.835 38.575 44.943 51.971 59.688 68.126 77.316 87.288 98.072 109.698 122.194 135.591 149.917
0.0000002 0.0000002 0.0000003 0.0000003 0.0000004 0.0000004 0.0000005 0.0000005 0.0000006 0.0000007 0.0000008 0.0000008 0.0000009 0.0000010
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
GRÁFICA DESPLAZAMIENTO - TIEMPO 0.005 0.004
Desplazamiento (m)
0.003 0.002 0.001 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.001 -0.002
-0.003 -0.004 -0.005
Tiempo (seg) PÉSIMO
ÓPTIMO
IDEAL
4.5
5
5.5
6
6.5
7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
I. Datos del sistema (ingresar): m=
6.263
Tn*s2 / m
Pésimo Δt = ξ= T=
Óptimo Ideal 0.05 0.13
II. Datos calculados : K= 15535.757 Wn = 49.804 c= 31.323
Condiciones
0.05 0.005
s s
u(0) = u'(0) =
0 0
0.001
s
Po =
0
s
Tn/m rad/s Tn*s / m
III. Método de la aceleración lineal: β= 1/4 γ= 1/2 IV. Cálculos iniciales:
Pésimo Óptimo Ideal
a1
a2
a3
11274.12 1014650.08 25115670.00
532.38 5041.93 25084.35
6.263 6.263 6.263
Umax pésimo Umáx óptimo Umáx ideal
0.0003067 m 0.0003067 m 0.0003067 m
26809.877 1030185.839 25131205.752
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO PÉSIMO
ÓPTIMO Desplazamiento
IDEAL Desplazamiento
Desplazamiento
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75
0 0.0477 0.0953 0.1430 0.1906 0.2383 0.2860 0.3336 0.3813 0.4289 0.4766 0.5243 0.5719 0.6196 0.6672 0.7149
0 0.048 0.171 0.268 0.307 0.394 0.513 0.576 0.632 0.743 0.837 0.889 0.973 1.082 1.151 1.215
0 0.0000018 0.0000064 0.0000100 0.0000114 0.0000147 0.0000191 0.0000215 0.0000236 0.0000277 0.0000312 0.0000331 0.0000363 0.0000404 0.0000429 0.0000453
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075
0 0.0048 0.0095 0.0143 0.0191 0.0238 0.0286 0.0334 0.0381 0.0429 0.0477 0.0524 0.0572 0.0620 0.0667 0.0715
0 0.005 0.028 0.087 0.197 0.369 0.609 0.921 1.304 1.751 2.253 2.797 3.370 3.954 4.533 5.091
0 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000002 0.0000004 0.0000006 0.0000009 0.0000013 0.0000017 0.0000022 0.0000027 0.0000033 0.0000038 0.0000044 0.0000049
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015
0 0.0010 0.0019 0.0029 0.0038 0.0048 0.0057 0.0067 0.0076 0.0086 0.0095 0.0105 0.0114 0.0124 0.0133 0.0143
0 0.001 0.006 0.018 0.042 0.080 0.138 0.217 0.323 0.457 0.624 0.827 1.069 1.353 1.681 2.057
0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000001 0.0000001
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
0.7626 0.8102 0.8579 0.9055 0.9532 1.0009 1.0485 1.0962 1.1438 1.1915 1.2392 1.2868 1.3345 1.3821 1.4298
1.316
0.0000491
0.0763 0.0810 0.0858 0.0906 0.0953 0.1001 0.1049 0.1096 0.1144 0.1192 0.1239 0.1287 0.1334 0.1382 0.1430
0.0000055 0.0000059 0.0000063 0.0000067 0.0000070 0.0000072 0.0000074 0.0000075 0.0000076 0.0000077 0.0000078 0.0000079 0.0000080 0.0000082 0.0000083
0.0153 0.0162 0.0172 0.0181 0.0191 0.0200 0.0210 0.0219 0.0229 0.0238 0.0248 0.0257 0.0267 0.0276 0.0286
0.0000001
6.092 6.515 6.877 7.178 7.419 7.608 7.753 7.864 7.957 8.043 8.139 8.255 8.405 8.596
0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03
2.483
0.0000525 0.0000548 0.0000579 0.0000616 0.0000644 0.0000669 0.0000705 0.0000739 0.0000764 0.0000794 0.0000830 0.0000859 0.0000885 0.0000920
0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15
5.615
1.408 1.469 1.551 1.653 1.727 1.795 1.890 1.980 2.047 2.129 2.225 2.302 2.374 2.465
2.962 3.496 4.088 4.739 5.451 6.226 7.066 7.971 8.944 9.986 11.097 12.277 13.528 14.850
0.0000001 0.0000001 0.0000002 0.0000002 0.0000002 0.0000002 0.0000003 0.0000003 0.0000004 0.0000004 0.0000004 0.0000005 0.0000005 0.0000006
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
FUERZA
6
5 Carga (Tn)
4 3 2 1 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3 3.5 4 Tiempo (seg)
4.5
5
5.5
6
6.5
7
GRÁFICA DESPLAZAMIENTO - TIEMPO 0.0004
Desplazamiento (m)
0.0003 0.0002 0.0001 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.0001
-0.0002 -0.0003
Tiempo (seg) PÉSIMO
ÓPTIMO
IDEAL
4.5
5
5.5
6
6.5
7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
I. Datos del sistema (ingresar): m= Δt = ξ= T=
7.623
Tn*s2 / m
Pésimo
0.025 0.005
s s
u(0) = u'(0) =
0 0
0.001
s
Po =
0
Óptimo Ideal 0.05 0.08
II. Datos calculados : K= 46699.155 Wn = 78.270 c= 58.796
Condiciones
s
Tn/m rad/s Tn*s / m
III. Método de la aceleración lineal: β= 1/4 γ= 1/2 IV. Cálculos iniciales:
a1 Pésimo Óptimo Ideal
a2
53490.45 1278.46 1243186.99 6157.14 30609303.73 30550.51
Umax pésimo Umáx óptimo Umáx ideal
0.0000679 m 0.0000679 m 0.0000679 m
a3 7.623 7.623 7.623
100189.604 1289886.150 30656002.890
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
PÉSIMO
ÓPTIMO Desplazamiento
IDEAL Desplazamiento
Desplazamiento
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3 0.325 0.35 0.375
0 0.0159 0.0317 0.0476 0.0635 0.0793 0.0952 0.1111 0.1269 0.1428 0.1587 0.1745 0.1904 0.2063 0.2221 0.2380
0 0.016 0.064 0.115 0.137 0.155 0.200 0.248 0.274 0.294 0.335 0.382 0.410 0.432 0.471 0.516
0 0.0000002 0.0000006 0.0000012 0.0000014 0.0000015 0.0000020 0.0000025 0.0000027 0.0000029 0.0000033 0.0000038 0.0000041 0.0000043 0.0000047 0.0000052
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075
0 0.0032 0.0063 0.0095 0.0127 0.0159 0.0190 0.0222 0.0254 0.0286 0.0317 0.0349 0.0381 0.0413 0.0444 0.0476
0 0.003 0.018 0.056 0.122 0.219 0.344 0.491 0.650 0.811 0.963 1.096 1.206 1.290 1.348 1.387
0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000002 0.0000003 0.0000004 0.0000005 0.0000006 0.0000007 0.0000009 0.0000009 0.0000010 0.0000010 0.0000011
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015
0 0.00063 0.00127 0.00190 0.00254 0.00317 0.00381 0.00444 0.00508 0.00571 0.00635 0.00698 0.00762 0.00825 0.00888 0.00952
0 0.001 0.004 0.012 0.028 0.053 0.091 0.143 0.212 0.299 0.406 0.536 0.689 0.867 1.072 1.304
0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
0.4 0.425 0.45 0.475 0.5 0.525 0.55 0.575
0.2538 0.2697 0.2856 0.3014 0.3173 0.3332 0.3490 0.3649
0.546
0.0000055
0.0000011 0.0000011 0.0000011 0.0000012 0.0000012 0.0000013 0.0000014 0.0000015
0.01015 0.01079 0.01142 0.01206 0.01269 0.01333 0.01396 0.01460
0.0000001
1.438 1.469 1.515 1.580 1.668 1.778 1.906
0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023
1.564
0.0000057 0.0000061 0.0000065 0.0000068 0.0000071 0.0000074 0.0000078
0.0508 0.0539 0.0571 0.0603 0.0635 0.0666 0.0698 0.0730
1.414
0.570 0.608 0.651 0.682 0.708 0.744 0.786
0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115
1.854 2.173 2.522 2.901 3.311 3.750 4.220
0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
FUERZA 3.5 3
Carga (Tn)
2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo (seg)
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
GRÁFICA DESPLAZAMIENTO - TIEMPO 0.00008
0.00006
Desplazamiento (m)
0.00004
0.00002
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.00002
-0.00004
-0.00006
-0.00008
Tiempo (seg) PÉSIMO
ÓPTIMO
IDEAL
4.5
5
5.5
6
6.5
7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS
Para hallar los desplazamientos debemos aplicar los métodos de superposición modal (contribución modal): La matriz modal ha quedado así:
Ф=
Modo 1 1 2.03662 2.6477
Modo 2 1 0.53124 -0.89577
Modo 3 1 -1.10474 0.52782
La respuesta esperada corresponde al efecto conjunto de los diferentes modos de vibración empleados:
Respuesta de oscilador de frecuencia w y amortiguamiento ξ ante carga externa de excitación
Desplazamiento en un sistema con 3GDL
t
q1
q2
q3
u1
u2
u3
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022
0.000E+00 5.920E-11 3.551E-10 1.124E-09 2.602E-09 5.023E-09 8.623E-09 1.364E-08 2.029E-08 2.883E-08 3.947E-08 5.246E-08 6.801E-08 8.636E-08 1.077E-07 1.324E-07 1.605E-07 1.922E-07 2.280E-07 2.678E-07 3.120E-07 3.608E-07 4.144E-07
0.000E+00 3.793E-11 2.273E-10 7.186E-10 1.661E-09 3.201E-09 5.484E-09 8.653E-09 1.285E-08 1.820E-08 2.485E-08 3.292E-08 4.254E-08 5.382E-08 6.689E-08 8.185E-08 9.881E-08 1.179E-07 1.391E-07 1.627E-07 1.886E-07 2.169E-07 2.477E-07
0.000E+00 2.070E-11 1.239E-10 3.912E-10 9.025E-10 1.736E-09 2.966E-09 4.665E-09 6.903E-09 9.744E-09 1.325E-08 1.747E-08 2.247E-08 2.829E-08 3.496E-08 4.253E-08 5.103E-08 6.047E-08 7.088E-08 8.227E-08 9.465E-08 1.080E-07 1.223E-07
0.000E+00 1.178E-10 7.063E-10 2.234E-09 5.165E-09 9.960E-09 1.707E-08 2.695E-08 4.004E-08 5.677E-08 7.757E-08 1.029E-07 1.330E-07 1.685E-07 2.096E-07 2.567E-07 3.103E-07 3.706E-07 4.380E-07 5.127E-07 5.952E-07 6.857E-07 7.845E-07
0.000E+00 1.178E-10 7.070E-10 2.239E-09 5.184E-09 1.001E-08 1.720E-08 2.721E-08 4.053E-08 5.762E-08 7.896E-08 1.050E-07 1.363E-07 1.732E-07 2.163E-07 2.661E-07 3.229E-07 3.873E-07 4.599E-07 5.410E-07 6.311E-07 7.307E-07 8.404E-07
0.000E+00 1.337E-10 8.019E-10 2.539E-09 5.877E-09 1.135E-08 1.948E-08 3.081E-08 4.587E-08 6.517E-08 8.925E-08 1.186E-07 1.538E-07 1.954E-07 2.438E-07 2.996E-07 3.632E-07 4.353E-07 5.164E-07 6.068E-07 7.072E-07 8.181E-07 9.399E-07
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03 0.031 0.032 0.033 0.034 0.035 0.036 0.037 0.038 0.039 0.04 0.041 0.042 0.043 0.044 0.045 0.046 0.047 0.048 0.049 0.05 0.051 0.052 0.053 0.054 0.055 0.056 0.057 0.058 0.059 0.06 0.061 0.062 0.063
4.730E-07 5.368E-07 6.060E-07 6.809E-07 7.616E-07 8.484E-07 9.414E-07 1.041E-06 1.147E-06 1.260E-06 1.380E-06 1.507E-06 1.642E-06 1.784E-06 1.934E-06 2.092E-06 2.258E-06 2.433E-06 2.616E-06 2.808E-06 3.008E-06 3.218E-06 3.436E-06 3.665E-06 3.902E-06 4.149E-06 4.406E-06 4.673E-06 4.951E-06 5.238E-06 5.536E-06 5.844E-06 6.163E-06 6.492E-06 6.833E-06 7.185E-06 7.547E-06 7.921E-06 8.307E-06 8.704E-06 9.112E-06
2.811E-07 3.172E-07 3.559E-07 3.973E-07 4.415E-07 4.885E-07 5.383E-07 5.909E-07 6.463E-07 7.046E-07 7.657E-07 8.296E-07 8.963E-07 9.657E-07 1.038E-06 1.113E-06 1.190E-06 1.270E-06 1.353E-06 1.438E-06 1.525E-06 1.615E-06 1.707E-06 1.801E-06 1.898E-06 1.996E-06 2.096E-06 2.198E-06 2.301E-06 2.406E-06 2.512E-06 2.620E-06 2.729E-06 2.839E-06 2.950E-06 3.061E-06 3.174E-06 3.287E-06 3.400E-06 3.513E-06 3.627E-06
1.376E-07 1.539E-07 1.711E-07 1.891E-07 2.081E-07 2.278E-07 2.484E-07 2.696E-07 2.916E-07 3.141E-07 3.373E-07 3.609E-07 3.850E-07 4.094E-07 4.341E-07 4.591E-07 4.842E-07 5.094E-07 5.346E-07 5.598E-07 5.848E-07 6.097E-07 6.342E-07 6.585E-07 6.824E-07 7.058E-07 7.287E-07 7.510E-07 7.728E-07 7.939E-07 8.143E-07 8.339E-07 8.528E-07 8.709E-07 8.883E-07 9.047E-07 9.204E-07 9.352E-07 9.492E-07 9.623E-07 9.746E-07
8.918E-07 1.008E-06 1.133E-06 1.267E-06 1.411E-06 1.565E-06 1.728E-06 1.901E-06 2.085E-06 2.279E-06 2.483E-06 2.698E-06 2.923E-06 3.159E-06 3.406E-06 3.664E-06 3.933E-06 4.213E-06 4.503E-06 4.805E-06 5.118E-06 5.443E-06 5.778E-06 6.124E-06 6.482E-06 6.851E-06 7.231E-06 7.622E-06 8.024E-06 8.438E-06 8.862E-06 9.298E-06 9.745E-06 1.020E-05 1.067E-05 1.115E-05 1.164E-05 1.214E-05 1.266E-05 1.318E-05 1.371E-05
9.606E-07 1.092E-06 1.234E-06 1.389E-06 1.556E-06 1.736E-06 1.929E-06 2.136E-06 2.357E-06 2.593E-06 2.844E-06 3.111E-06 3.395E-06 3.694E-06 4.011E-06 4.345E-06 4.697E-06 5.067E-06 5.456E-06 5.863E-06 6.291E-06 6.738E-06 7.205E-06 7.693E-06 8.201E-06 8.731E-06 9.283E-06 9.856E-06 1.045E-05 1.107E-05 1.171E-05 1.237E-05 1.306E-05 1.377E-05 1.450E-05 1.526E-05 1.604E-05 1.685E-05 1.768E-05 1.853E-05 1.941E-05
1.073E-06 1.218E-06 1.376E-06 1.547E-06 1.731E-06 1.929E-06 2.141E-06 2.369E-06 2.612E-06 2.870E-06 3.146E-06 3.438E-06 3.747E-06 4.075E-06 4.420E-06 4.785E-06 5.169E-06 5.572E-06 5.996E-06 6.441E-06 6.907E-06 7.394E-06 7.904E-06 8.436E-06 8.992E-06 9.571E-06 1.017E-05 1.080E-05 1.145E-05 1.213E-05 1.284E-05 1.357E-05 1.432E-05 1.511E-05 1.592E-05 1.676E-05 1.763E-05 1.852E-05 1.945E-05 2.041E-05 2.139E-05
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO u1 máx = u2 máx = u3 máx = u1 min = u2 min = u3 min =
0.00463536 0.00876592 0.01104307 -0.00385519 -0.00750325 -0.00948739
m m m m m m
Los máximos desplazamientos se dan en: t = 5.00seg Los mínimoos desplazamientos se dan en: t = 5.186 seg
HISTORIA DEL DESPLAZAMIENTO U1 (m) Desplazamiento (m)
6.000E-03 4.000E-03 2.000E-03 0.000E+00 -2.000E-03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
-4.000E-03 -6.000E-03
Tiempo (seg)
HISTORIA DEL DESPLAZAMIENTO U2 (m) Desplazamiento (m)
1.000E-02 5.000E-03 0.000E+00 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
6
6.5
7
-5.000E-03 -1.000E-02
Tiempo (seg)
HISTORIA DEL DESPLAZAMIENTO U3 (m) Desplazamiento (m)
1.500E-02 1.000E-02 5.000E-03 0.000E+00 -5.000E-03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-1.000E-02 -1.500E-02
Tiempo (seg)
4.5
5
5.5
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO CÁLCULO DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES, CORTANTE BASAL Y MOMENTO BASAL Las fuerzas estáticas equivalentes asociadas con la respuesta del n-ésimo modo, están definidas por la ecuación:
La matriz modal quedó así: Modo 1 1 Ф= 2.03662 2.6477
Modo 2 1 0.53124 -0.89577
Modo 3 1 -1.10474 0.52782
La matriz de masa quedó así: 3.088 M= 0.000 0.000
0.000 3.058 0.000
0.000 0.000 2.882
Las frecuencias naturales son: w1 = w2 = w3 =
16.44 48.84 76.15
rad/seg rad/seg rad/seg
T n.seg2/m
h1 = h2 = h3 =
3 5.8 8.6
m m m
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO Respuesta de oscilador de frecuencia w y amortiguamiento ξ ante carga externa de excitación
Fuerzas elásticas equivalentes para cada instante de tiempo
t
q1
q2
q3
f1
f2
f3
Cortante Basal Total V = ∑f
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022
0 5.9197E-11 3.5507E-10 1.1239E-09 2.6015E-09 5.0231E-09 8.6233E-09 1.3636E-08 2.0294E-08 2.8829E-08 3.9474E-08 5.2458E-08 6.801E-08 8.6359E-08 1.0773E-07 1.3235E-07 1.6045E-07 1.9225E-07 2.2796E-07 2.6781E-07 3.1203E-07 3.6081E-07 4.1439E-07
0 3.7929E-11 2.2729E-10 7.1858E-10 1.6608E-09 3.2011E-09 5.4843E-09 8.653E-09 1.2846E-08 1.8201E-08 2.4849E-08 3.292E-08 4.2538E-08 5.3824E-08 6.6892E-08 8.1854E-08 9.8815E-08 1.1787E-07 1.3913E-07 1.6266E-07 1.8855E-07 2.1689E-07 2.4773E-07
0 2.0701E-11 1.2392E-10 3.9121E-10 9.0248E-10 1.7355E-09 2.9657E-09 4.6651E-09 6.9027E-09 9.7436E-09 1.3249E-08 1.7474E-08 2.2471E-08 2.8287E-08 3.4962E-08 4.2532E-08 5.1027E-08 6.0471E-08 7.0882E-08 8.2271E-08 9.4645E-08 1.08E-07 1.2234E-07
0 6.9938E-07 4.189E-06 1.3234E-05 3.056E-05 5.884E-05 0.00010068 0.00015863 0.00023513 0.00033255 0.00045315 0.00059908 0.00077236 0.00097492 0.00120851 0.00147479 0.00177524 0.00211123 0.00248394 0.00289443 0.00334358 0.00383215 0.0043607
0 -1.5892E-07 -9.4924E-07 -2.9875E-06 -6.8649E-06 -1.314E-05 -2.2331E-05 -3.4907E-05 -5.1286E-05 -7.1822E-05 -9.6804E-05 -0.00012645 -0.0001609 -0.00020021 -0.00024436 -0.00029324 -0.00034664 -0.00040428 -0.00046575 -0.0005306 -0.00059824 -0.00066801 -0.00073916
0 7.1093E-08 4.2555E-07 1.3432E-06 3.0975E-06 5.954E-06 1.0168E-05 1.5981E-05 2.3624E-05 3.3309E-05 4.5233E-05 5.9575E-05 7.6496E-05 9.6133E-05 0.00011861 0.00014402 0.00017244 0.00020393 0.00023854 0.00027626 0.0003171 0.00036105 0.00040805
0 0.0000006 0.0000037 0.0000116 0.0000268 0.0000517 0.0000885 0.0001397 0.0002075 0.0002940 0.0004016 0.0005322 0.0006880 0.0008708 0.0010828 0.0013256 0.0016010 0.0019109 0.0022567 0.0026401 0.0030625 0.0035252 0.0040296
Momentos en la base para cada instante de tiempo M1
M2
M3
Momento Basal Total M = ∑M
0 2.0981E-06 1.2567E-05 3.9703E-05 9.1681E-05 0.00017652 0.00030205 0.00047589 0.0007054 0.00099766 0.00135945 0.00179723 0.00231709 0.00292475 0.00362553 0.00442436 0.00532573 0.00633368 0.00745182 0.00868328 0.01003075 0.01149645 0.01308211
0 -9.2175E-07 -5.5056E-06 -1.7327E-05 -3.9816E-05 -7.6212E-05 -0.00012952 -0.00020246 -0.00029746 -0.00041657 -0.00056147 -0.00073341 -0.00093322 -0.00116123 -0.00141731 -0.0017008 -0.00201053 -0.0023448 -0.00270137 -0.00307746 -0.00346977 -0.00387444 -0.00428712
0 6.114E-07 3.6597E-06 1.1551E-05 2.6639E-05 5.1204E-05 8.7441E-05 0.00013744 0.00020316 0.00028645 0.000389 0.00051235 0.00065786 0.00082675 0.00102003 0.00123855 0.001483 0.00175384 0.0020514 0.00237582 0.00272708 0.003105 0.00350925
0 0.0000018 0.0000107 0.0000339 0.0000785 0.0001515 0.0002600 0.0004109 0.0006111 0.0008675 0.0011870 0.0015762 0.0020417 0.0025903 0.0032283 0.0039621 0.0047982 0.0057427 0.0068019 0.0079816 0.0092881 0.0107270 0.0123042
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
La cortante basal máxima es de 22.451 Tn y se da en el tiempo: t = 5.00 seg La cortante basal mínima es de -18.481 Tn y se da en el tiempo: t = 5.186 seg El momento basal máximo es de 130.299 Tn.m y se da en el tiempo: t = 5.00 seg El momento basal mínimo es de -111.195 Tn.m y se da en el tiempo: t = 5.186 seg
HISTORIA DE CORTANTE EN LA BASE 25 20
Cortante basal (Tn)
15 10 5 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
6
6.5
7
-5 -10 -15 -20
Tiempo (seg)
HISTORIA DE MOMENTO EN LA BASE 150
Momento basal (Tn.m)
100 50 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-50 -100 -150
Tiempo (seg)
4.5
5
5.5
ESTUDIANTE: BRYAN ALEXANDER MATTA VALDIVIEZO
DOCENTE: ING. IVÁN LEÓN MALO ASIGNATURA: INGENIERÍA ANTISÍSMICA TEMA: TRABAJO: ANALISIS MODAL CON CARGA DINAMICA FACULTAD: INGENIERÍA CIVIL CICLO: IX
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
ELEMENTO Columna 2,8m Colunma 3,0m Viga 3,5m Viga 4,0m Ec
ELEMENTO COLUMNA 2,8 m COLUMNA 3,0 m VIGA 3,5 m VIGA 4,0 m
b(m) h(m) 0.3 0.4 0.3 0.4 0.3 0.4 0.3 0.4 2188197.9 Tn/m2
AE/L EI 93779.91 87527.92 75023.93 65645.94
longitud (m) 2.8 3 3.5 4
Area (m2) 0.12 0.12 0.12 0.12
2EI/L 3501.12 2500.80 3501.12 2334.08 3501.12 2000.64 3501.12 1750.56
4EI/L
5001.60 4668.16 4001.28 3501.12
Inercia (m4) 0.0016 0.0016 0.0016 0.0016
φ
6EI/L^2
12EI/L^3
2679.43 2334.08 1714.83 1312.92
90 90 0 0
1913.88 1556.05 979.90 656.46
44g 45g
43g
36
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO Matriz Local AE/L 0
0
0
12EI/L3
6EI/L2
-AE/L 0
0
0
-12EI/L3
6EI/L2
87527.92 0 0 -87527.92 0 2 87527.92 -87527.92 0 4EI/L 0 2EI/L 6EI/L2 0 0 0 1556.05 2334.08 -6EI/L 0 -1556.05 1556.05 2334.08 0 -AE/L 00 0 AE/L 0 0 -1556.05 KL columna L=3.0m = 03 2334.08 4668.16 0 -2334.08 2 3 0 = 04668.16 12EI/L 0 -6EI/L2-2334.08 KL columna L=3.0m 0 2334.08 -12EI/L -6EI/L -87527.92 0 0 87527.92 0 2 0 2EI/L 0 0 0 4EI/L 6EI/L2 -6EI/L -87527.92 87527.92 0 0 -1556.05 -2334.08 0 1556.05 0 -1556.05 -2334.08 0 1556.05 Reemplazando valores 0 2334.08 2334.08 0 -2334.08 0 2334.08 2334.08 0 -2334.08
KL =
0
K columna L=2.8m = KL Lcolumna L=2.8m =
KLKcolumna L=3.0m= = L viga L=4.0m = = KKLL columna viga L=4.0m L=3.0m
KLKcolumna L=2.8m= = L viga L=3.5m = = KKLL columna viga L=3.5m L=2.8m
KL viga L=4.0m = KL viga L=4.0m =
KL viga L=3.5m = KL viga L=3.5m =
0 0 2334.08 2334.08 2334.08 2334.08 0 0 -2334.08 -2334.08 4668.16 4668.16
93779.91 93779.91 0 0 0 0 -93779.91 -93779.91 0 0 0 0
0 0 1913.88 1913.88 2679.43 2679.43 0 0 -1913.88 -1913.88 2679.43 2679.43
0 0 2679.43 2679.43 5001.60 5001.60 0 0 -2679.43 -2679.43 2500.80 2500.80
-93779.91 -93779.91 0 0 0 0 93779.91 93779.91 0 0 0 0
0 0 -1913.88 -1913.88 -2679.43 -2679.43 0 0 1913.88 1913.88 -2679.43 -2679.43
0 0 2679.43 2679.43 2500.80 2500.80 0 0 -2679.43 -2679.43 5001.60 5001.60
87527.92 65645.94 65645.94 87527.92 0 0 00 0 0 0 0 -87527.92 -65645.94 -65645.94 -87527.92 0 0 00 0 0 00
0 0 00 1556.05 656.46 656.46 1556.05 2334.08 1312.92 1312.92 2334.08 0 0 0 0 -1556.05 -656.46 -656.46 -1556.05 2334.08 1312.92 1312.92 2334.08
0 0 00 2334.08 1312.92 1312.92 2334.08 4668.16 3501.12 3501.12 4668.16 0 0 0 0 -2334.08 -1312.92 -1312.92 -2334.08 2334.08 1750.56 1750.56 2334.08
-87527.92 -65645.94 -65645.94 -87527.92 0 0 00 0 0 0 0 87527.92 65645.94 65645.94 87527.92 0 0 00 0 0 00
0 0 00 -1556.05 -656.46 -656.46 -1556.05 -2334.08 -1312.92 -1312.92 -2334.08 0 0 0 0 1556.05 656.46 656.46 1556.05 -2334.08 -1312.92 -1312.92 -2334.08
0 0 0 2334.08 1312.92 1312.92 2334.08 2334.08 1750.56 1750.56 2334.08 0 0 0 -2334.08 -1312.92 -1312.92 -2334.08 4668.16 3501.12 3501.12 4668.16
93779.91 75023.93 75023.93 93779.91 0 0 00 0 0 0 0 -93779.91 -75023.93 -75023.93 -93779.91 0 0 00 0 0 00
0 0 0 0 1913.88 979.90 979.90 1913.88 2679.43 1714.83 1714.83 2679.43 0 0 0 0 -1913.88 -979.90 -979.90 -1913.88 2679.43 1714.83 1714.83 2679.43
0 0 0 0 2679.43 1714.83 1714.83 2679.43 5001.60 4001.28 4001.28 5001.60 0 0 0 0 -2679.43 -1714.83 -1714.83 -2679.43 2500.80 2000.64 2000.64 2500.80
-93779.91 -75023.93 -75023.93 -93779.91 0 0 00 0 0 0 0 93779.91 75023.93 75023.93 93779.91 0 0 00 0 0 00
0 0 0 0 -1913.88 -979.90 -979.90 -1913.88 -2679.43 -1714.83 -1714.83 -2679.43 0 0 0 0 1913.88 979.90 979.90 1913.88 -2679.43 -1714.83 -1714.83 -2679.43
0 0 0 2679.43 1714.83 1714.83 2679.43 2500.80 2000.64 2000.64 2500.80 0 0 0 -2679.43 -1714.83 -1714.83 -2679.43 5001.60 4001.28 4001.28 5001.60
65645.94 65645.94 0 0 0
0 0 656.46 656.46 1312.92
0 0 1312.92 1312.92 3501.12
-65645.94 -65645.94 0 0 0
0 0 -656.46 -656.46 -1312.92
0 0 1312.92 1312.92 1750.56
0 -65645.94 -65645.94 0 0 0 0
1312.92 0 0 -656.46 -656.46 1312.92 1312.92
3501.12 0 0 -1312.92 -1312.92 1750.56 1750.56
0 65645.94 65645.94 0 0 0 0
-1312.92 0 0 656.46 656.46 -1312.92 -1312.92
1750.56 0 0 -1312.92 -1312.92 3501.12 3501.12
75023.93 75023.93 0 0 0
0 0 979.90 979.90 1714.83
0 0 1714.83 1714.83 4001.28
-75023.93 -75023.93 0 0 0
0 0 -979.90 -979.90 -1714.83
0 0 1714.83 1714.83 2000.64
0 -75023.93 -75023.93 0 0 0 0
1714.83 0 0 -979.90 -979.90 1714.83 1714.83
4001.28 0 0 -1714.83 -1714.83 2000.64 2000.64
0 75023.93 75023.93 0 0 0 0
-1714.83 0 0 979.90 979.90 -1714.83 -1714.83
2000.64 0 0 -1714.83 -1714.83 4001.28 4001.28
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO Columna(2,8m) , elementos 2,3,5,6,8,9,111,12,14,15 Ф=
Tg =
1 0
cosφ
senφ
0
0
0
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-senφ
cosφ
0
0
0
0
-1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0
0
1
0
0
0
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0
0
0
cosφ
senφ
0
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0
0
0
-senφ
cosφ
0
0.00
0.00
0.00
-1.00
0.00
0.00
0
0
0
0
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
AE/L 0 KL =
senФ = cosФ =
90
0
0
Kg = columna L=2.8m 12EI/L^3 6EI/L^2
0
6EI/L^2
4EI/L
-AE/L
0
0
0
-12EI/L^3 -6EI/L^2
0
6EI/L^2
2EI/L
1913.88 0.00 0 -AE/L
=
0.00 93779.91 0
-2679.43 0.00 93779.91
0.00 0-2679.43 -12EI/L^3 6EI/L^2 0-1913.88 -6EI/L^2
0.00 2EI/L
=
AE/L 0.00 0 0 -93779.91 0-2679.43 12EI/L^3 -6EI/L^2 0.00 0
-6EI/L^2
4EI/L
5001.60 0 2679.43 0 -93779.91 0.00 2500.80 0 0
-1913.88 0.00 0
0.00 -2679.43 -93779.91 0 -93779.91 0.00 0 0 2679.43 1913.88 2679.43 0.00 0 2500.80 -1913.88 2679.43 1913.88 5001.60 0.00 2679.43 0 2679.43 -2679.43 2500.80 0 0 93779.91 0.00 0 0 0.00 93779.91 -1913.88 -2679.43 0 1913.88 -2679.43 2679.43 0.00 5001.60 2679.43 2500.80 0 -2679.43 5001.60
Columna (3,0m) , elementos 1, 4,7,10,13 Ф=
Tg =
senφ
0
0
0
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-senφ
cosφ
0
0
0
0
-1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0
0
1
0
0
0
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0
0
0
cosφ
senφ
0
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0
0
0
-senφ
cosφ
0
0.00
0.00
0.00
-1.00
0.00
0.00
0
0
0
0
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
AE/L
Kg columna 0 L=3.0m0=
0
12EI/L^3
6EI/L^2
0
6EI/L^2
4EI/L
-AE/L
0
0
0.00 87527.92
-2334.08 0.00
-2334.080 -AE/L
00.00 0 -12EI/L^3 6EI/L^2 -1556.05 0.00 0 0.00 -6EI/L^2 -87527.92 2EI/L = AE/L 0 0 -2334.08 0.00
0
-12EI/L^3 -6EI/L^2
0
0
6EI/L^2
0
2EI/L
=
12EI/L^3 -6EI/L^2
Viga (3,5m), elementos 16, 20, -6EI/L^2 19, 23, 4EI/L 24, 27 Ф=
Tg =
0
-1556.05 0.00
0.00 -87527.92
-2334.08 0.00
4668.16 87527.92 2334.08 0 00.00 -87527.92 2334.080 0 2334.08 -1556.05 2334.08 0 1556.05 1556.05 2334.080.00 0.00 0 2334.08 0.00 4668.16 87527.92 0 -2334.08 0.00 -87527.92 0 0 87527.92 2334.08 2334.08 0.00 4668.160 0 -1556.05 -2334.08 0 1556.05 0 2334.08 2334.08 0 -2334.08
senФ = cosФ =
0 2334.08 2334.08 0 -2334.08 4668.16
0 1
cosφ
senφ
0
0
0
0
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-senφ
cosφ
0
0
0
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0
0
1
0
0
0
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0
0
0
cosφ
senφ
0
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0
0
0
-senφ
cosφ
0
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0
0
0
0
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
AE/L
0
0
75023.93 0-AE/L
0 Kg
KL =
1 0
cosφ
1556.05 0.00
KL =
senФ = cosФ =
90
0 0 979.900 -12EI/L^3 6EI/L^2 1714.83
12EI/L^3 6EI/L^2 0 0 viga L=3.5m = 0 6EI/L^2 4EI/L 0 -6EI/L^2 0 2EI/L -75023.93 -AE/L 0 0 AE/L 0 0 0
-12EI/L^3 -6EI/L^2
0
6EI/L^2
2EI/L
0 0 0
0
-979.90 -6EI/L^2 1714.83
12EI/L^3
-6EI/L^2
4EI/L
=
0 -75023.93 75023.93 1714.83 0 0
0 0 0 -75023.93 1714.83 0 -979.90
0 979.90 4001.28 0 = 0 075023.93 1714.83 -75023.93 -1714.83 0 0 0 -979.90 2000.64 0 0 1714.83
1714.83 -979.90 -1714.83 0 2000.64 4001.28 0 0 -1714.83 0 0 75023.93 0 979.90 -1714.83 -1714.83 0 979.90 -1714.83 4001.28 2000.64 0 -1714.83
0 1714.83 2000.64 0 -1714.83 4001.28
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO Viga(4,0m) , elementos 17,18,21,22,25,26 Ф=
Tg =
senФ = cosФ =
0 1
cosφ
senφ
0
0
0
0
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-senφ
cosφ
0
0
0
0
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0
0
1
0
0
0
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0
0
0
cosφ
senφ
0
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0
0
0
-senφ
cosφ
0
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.00
0
0
0
0
0
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
AE/L
0
0
0
0.00 656.460
0 KL =
0
0 -AE/L 0 0
65645.94 -AE/L 0.00
=
0.00 -65645.94 65645.94 1312.92 0.000
0.00 0.00 0 -65645.94 -656.46 1312.92 0
656.46 1312.92 0 -656.46 3501.12 0 0.00 -1312.92 1750.56 0 -6EI/L^2 2EI/L = 0 1312.92 3501.12 0 0.00 -1312.92 -65645.94 0.00 0.00 65645.94 0.00 0 0 AE/L 0 0 -65645.94 0 0 65645.94 0 0.00 -656.46 -1312.92 0.00 656.46 -1312.92 -12EI/L^3 -6EI/L^2 0 12EI/L^3 -6EI/L^2 0 -656.46 -1312.92 0 656.46 0.00 1312.92 1750.56 0.00 -1312.92 3501.12 6EI/L^2 2EI/L 0 -6EI/L^2 4EI/L 0 1312.92 1750.56 0 -1312.92
6EI/L^2 Kg12EI/L^3 viga L=4.0m = 6EI/L^2 4EI/L
0 -12EI/L^3 6EI/L^2 0.00 1312.92
MATRIZ DE RIGIDEZ CONDENSADA
Para este caso, se considerarán 3GDL o lo que es 1 por nivel
K lateral = condensada
11777.50
-6239.06
685.24
-6239.06
10714.55
-5209.42
685.24
-5209.42
4527.59
Tn/m
0 1312.92 1750.56 0 -1312.92 3501.12
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE MASA Y DE LOS VALORES PROPIOS
Peso Muerto Primer piso: Segundo piso: Tercer piso:
= = =
3.408 x 3.288 x 2.568 x
2.4 2.4 2.4
= = =
8.1792 7.8912 6.1632
+ + +
1.4 1.4 1.4
x x x
13.4 13.4 13.4
= = =
Peso Vivo Primer piso: Segundo piso: Tercer piso:
= = =
0.5 x 0.5 x 0.5 x
Peso total: 100%PM + 50%PV
13.4 13.4 13.4
= = =
6.7 6.7 6.7
Tn Tn Tn
Masa total:
Primer piso:
30.29
Tn
Primer piso:
3.088
Tn.seg 2/m
Segundo piso:
30.00
Tn
Segundo piso:
3.058
Tn.seg 2/m
Tercer piso:
28.27
Tn
Tercer piso:
2.882
Tn.seg 2/m
Sabemos que matricialmente:
Haciendo: Artificio para poder reemplazar en la matriz "M"
26.9392 26.6512 24.9232
Tn Tn Tn
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO 1) Ensamblamos la matriz de rigidez "K" (matriz de rigidez lateral condensada)
KL =
KL =
11777.50
-6239.06
685.24
-6239.06
10714.55
-5209.42
685.24
-5209.42
4527.59
1K
-0.5297K
0.0582K
-0.5297K
0.9097K
-0.4423K
0.0582K
-0.4423K
0.3844K
Tn/m
Haciendo K = 11777.50 para trabajar todo en funciòn de "K"
Tn/m
2) Ensamblando la matriz de masas "M" m1
0
0
0
m2
0
0
0
m3
M=
1.139m 0 0
0 1.128m 0
0 0 1m
0
M=
kλ/w2 0 0
0 0
M=
kλ/w 0
2
3.088
0
0
0 0
3.058 0
0 2.711
=
Tn.seg2/m
Hacemos m = 2.711 para trabajar todo en función de "m"
kλ/w2
Ahora reemplazando la matriz de rigidez y de masa en la ecuaciòn (1)
det |
1K -0.5297K 0.0582K
-0.5297K 0.9097K -0.4423K
0.0582K -0.4423K 0.3844K
ω^2*(kλ/ω^2)
-
1.139 0 0
0 1.128 0
0 0 1
|=
0
Simplificando "w2" y factorizando "K", tenemos:
det |
det =
1.0000 -0.5297 0.0582
-0.5297 0.9097 -0.4423
0.0582 -0.4423 0.3844
1 - 1.139λ -0.5297 0.0582 -0.5297 0.9097 - 1.128λ -0.4423 0.0582 -0.4423 0.3844 - 1λ
1.139λ 0 0
-
=
0 1.128λ 0
0 0 1λ
|=
0
3) Hallando la determinante de la matriz encontramos las 4 raíces (Eigenvalores). Ordenando de menos a más:
λ1 = λ2 = λ3 = Del artificio:
0.06613 0.58374 1.41897
0
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
K=
11777.50
m=
2.711
Tn/m Tn.seg2/m
Reemplazando estos valores en la ecuación (2), se tiene las frecuencias y periodos: w1 = w2 = w3 =
16.95 50.36 78.51
rad/seg rad/seg rad/seg
T1 = T2 = T3 =
0.3707 0.1248 0.0800
rad/seg rad/seg rad/seg
4) Para calcular las formas de modo, reemplazamos cada valor de λi en la siguiente ecuación:
1 - 1.139λ -0.5297 0.0582
-0.5297 0.9097 - 1.128λ -0.4423
0.0582 -0.4423 0.3844 - 1λ
Ф1 Ф2 Ф3
x
=
0
Columna Ф1, considerando Ф1=1 0.9247 -0.5297 0.0582
-0.5297 0.8351 -0.4423
0.0582 -0.4423 0.3183
1 Ф2 Ф3
x
=
Ф1 Ф2 Ф3
0
1 2.03662 2.6477
=
Columna Ф2, considerando Ф1=1 0.3353 -0.5297 0.0582
-0.5297 0.2513 -0.4423
0.0582 -0.4423 -0.1993
x
1 Ф2 Ф3
=
Ф1 Ф2 Ф3
=
1 Ф2 Ф3
=
Ф1 Ф2 Ф3
=
0
1 0.53124 -0.89577
Columna Ф3, considerando Ф1=1 -0.6159 -0.5297 0.0582
-0.5297 -0.6908 -0.4423
0.0582 -0.4423 -1.0346
x
0
1 -1.10474 0.52782
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO En forma modal tenemos la matriz de Eigenvectores: Ф1 1 2.03662 2.6477
Ф=
Ф2 1 0.53124 -0.89577
Ф3 1 -1.10474 0.52782
5) Cálculo del periodo fundamental por el método de Rayleigh:
M1 = M2 = M3 =
3.088 3.058 2.882
Tn.seg2/m Tn.seg2/m Tn.seg2/m
P1 = P2 = P3 =
1 2 3
Tn Tn Tn
μ1 = μ2 = μ3 =
0.0012715 0.0026230 0.0034881
m m m
T= 0.38 seg Periodo fundamental Por tanto, uno puede concluir que el metodo de Rayleigh es independiente de las fuerzas supuestas y uno lo peude demostrar que el periodo no cambia al variar las fuerzas.
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO POR CAUGHEY 1) La serie de Caughey para un sistema de 3 grados de libertad es:
2) Determinando a0, a1 y a2 a partir de la siguiente ecuación:
Matricialmente: 0.06083 0.02047 0.01313
16.44 48.84 76.15
4442.410 116506.467 441550.796
0.06083 0.02047 0.01313
16.43890 48.84086 76.14830
4442.410 116506.467 441550.796
x
a0 a1 a2
x
=
2*
a0 a1 a2
=
0.10 0.10 0.10
a0 a1 a2
=
1.144590401 0.001883406 -0.000000132
0.05 0.05 0.05
3) Calculando la matriz de amortiguamiento reemplazando los valores de a0, a1 y a2 en la serie:
a0m =
3.534 0.000 0.000
0.000 3.500 0.000
0.000 0.000 3.299
a1k =
22.182 -11.751 1.291
-11.751 20.180 -9.811
1.291 -9.811 8.527
-7.6533
6.2077
-1.8953
6.2077 -1.8953
-7.8844 3.6826
3.6826 -2.1363
C=
18.0626 -5.5429 -0.6047
-5.5429 15.7959 -6.1289
-1
a2k(m )k =
-0.6047 -6.1289 9.6898
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
RESPUESTA DINÁMICA - ANÁLISIS MODAL Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puese utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad (1GDL). En el gráfico se muestra lo siguiente:
SISTEMA 3GDL
DEFORMADA FINAL
La solución o respuesta final se determinará mediante la contribución modal de cada oscilador:
La solución o respuesta final se determinará mediante la contribución modal de cada oscilador:
La matriz modal es:
Ф=
Modo 1 1 2.0366 2.6477
Modo 2 1 0.5312 -0.8958
Modo 3 1 -1.1047 0.5278
u1(t) = q1 + q1 + q3 u2(t) = 2.03662q1 + 0.5312q2 +(-1.1047)q3 u3(t) = 2.6477q1 + (-0.8958)q2 + 0.5278q3
Este procedimiento se conoce como el análisis modal clásico o el método de superposición de modos clásico porque las ecuaciones modales individuales (desacopladas) se resuelven a fin de determinar las coordenadas modales qn(t) y las respuestas modales un(t) para después combinarlas y obtener la respuesta total u(t). CÁLCULO DE Kn, Mn, Cn y Pn 1) Para hallar el "Kn" (Matriz de rigidez generalizada) debemos aplicar la siguiente fórmula:
La transpuesta de la matriz modal quedará:
T
Ф n=
1
2.03662
2.6477
1 1
0.53124 -1.10474
-0.89577 0.52782
La matriz de rigidez ya hallada es:
K lateral =
11777.50 -6239.06 685.24
-6239.06 10714.55 -5209.42
685.24 -5209.42 4527.59
T n/m
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO La matriz de rigidez ya hallada es:
K lateral =
11777.50 -6239.06 685.24
-6239.06 10714.55 -5209.42
685.24 -5209.42 4527.59
T n/m
-12.42 15535.76 58.70
-2.56 58.70 46699.16
T n/m
Por lo tanto la "Kn" quedará:
Kn =
9992.74 -12.42 -2.56
2) Para hallar el "Mn" debemos aplicar la siguiente fórmula:
La matriz de masa ya hallada es:
M=
3.088 0.000 0.000
0.000 3.058 0.000
0.000 0.000 2.882
35.98
-0.44
0.23
-0.44
6.26
-0.07
0.23
-0.07
7.62
Por lo tanto la "Mn" quedará:
Mn =
T n.seg2 /m
3) Para hallar el "Cn" debemos aplicar la siguiente fórmula:
La matriz de amortiguamiento ya hallada es:
C=
18.06 -5.54 -0.60
-5.54 15.80 -6.13
-0.60 -6.13 9.69
-0.56 31.32 -0.17
0.32 -0.17 58.80
Por lo tanto la "Cn" quedará:
Cn =
59.63 -0.56 0.32
T n.seg/m
4) Para hallar el "Pn(t)" debemos aplicar la siguiente fórmula:
Como dato del problema, nos dice que la fuerza se aplica en todos los niveles
Cn =
59.63 -0.56 0.32
-0.56 31.32 -0.17
0.32 -0.17 58.80
Tn.seg/m
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
4) Para hallar el "Pn(t)" debemos aplicar la siguiente fórmula:
Como dato del problema, nos dice que la fuerza se aplica en todos los niveles
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
I. Datos del sistema (ingresar): Condiciones
m=
35.977
T n*s2 / m
Δt =
Pésimo Óptimo
0.1 0.05
s s
u(0) = u'(0) =
0 0
0.001
s
Po =
0
ξ= T=
Ideal 0.05 0.38
II. Datos calculados : K= Wn = c=
9992.737 16.666 59.631
s
T n/m rad/s T n*s / m
III. Método de la aceleración lineal: β= 1/4 γ= 1/2 IV. Cálculos iniciales:
Pésimo Óptimo Ideal
a1
a2
a3
15583.37 59948.21 144026644.80
1498.71 2937.78 143967.01
35.977 35.977 35.977
Umax pésimo Umáx óptimo Umáx ideal
0.0042602 m 0.0042616 m 0.0042610 m
25576.103 69940.946 144036637.536
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO PÉSIMO
ÓPTIMO Desplazamiento
IDEAL Desplazamiento
Desplazamiento
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0 0.853 1.705 2.558 3.411 4.263 5.116 5.969 6.821 7.674 8.526 9.379 10.232 11.084 11.937 12.790
0 0.853 3.704 7.322 9.391 10.233 12.057 15.331 18.214 19.648 20.937 23.491 26.611 28.779 30.106 32.007
0 0.0000333 0.0001448 0.0002863 0.0003672 0.0004001 0.0004714 0.0005994 0.0007122 0.0007682 0.0008186 0.0009185 0.0010405 0.0011252 0.0011771 0.0012514
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75
0 0.426 0.853 1.279 1.705 2.132 2.558 2.984 3.411 3.837 4.263 4.690 5.116 5.542 5.969 6.395
0 0.426 2.285 6.122 11.314 16.507 20.439 22.653 23.708 24.783 26.970 30.647 35.317 39.949 43.603 45.963
0 0.0000061 0.0000327 0.0000875 0.0001618 0.0002360 0.0002922 0.0003239 0.0003390 0.0003543 0.0003856 0.0004382 0.0005050 0.0005712 0.0006234 0.0006572
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015
0 0.0085 0.0171 0.0256 0.0341 0.0426 0.0512 0.0597 0.0682 0.0767 0.0853 0.0938 0.1023 0.1108 0.1194 0.1279
0 0.009 0.051 0.162 0.375 0.724 1.242 1.964 2.923 4.152 5.686 7.556 9.796 12.439 15.517 19.064
0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001
1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
13.642 14.495 15.348 16.200 17.053 17.906 18.758 19.611 20.464 21.316 22.169 23.021 23.874 24.727 25.579
34.869
0.0013633
6.821 7.248 7.674 8.100 8.526 8.953 9.379 9.805 10.232 10.658 11.084 11.511 11.937 12.363 12.790
0.0006788 0.0007011 0.0007357 0.0007864 0.0008474 0.0009077 0.0009571 0.0009925 0.0010192 0.0010467 0.0010837 0.0011328 0.0011895 0.0012452 0.0012926
0.1364 0.1450 0.1535 0.1620 0.1705 0.1791 0.1876 0.1961 0.2046 0.2132 0.2217 0.2302 0.2387 0.2473 0.2558
0.0000002
49.036 51.457 55.001 59.271 63.483 66.938 69.419 71.280 73.205 75.795 79.229 83.193 87.090 90.404
0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03
23.111
0.0014677 0.0015356 0.0015976 0.0016907 0.0017999 0.0018863 0.0019504 0.0020274 0.0021292 0.0022277 0.0023026 0.0023725 0.0024619 0.0025626
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
47.474
37.539 39.274 40.859 43.242 46.035 48.245 49.883 51.854 54.456 56.975 58.892 60.678 62.965 65.542
27.691 32.835 38.575 44.943 51.971 59.688 68.126 77.316 87.288 98.072 109.698 122.194 135.591 149.917
0.0000002 0.0000002 0.0000003 0.0000003 0.0000004 0.0000004 0.0000005 0.0000005 0.0000006 0.0000007 0.0000008 0.0000008 0.0000009 0.0000010
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
GRÁFICA DESPLAZAMIENTO - TIEMPO 0.005 0.004
Desplazamiento (m)
0.003 0.002 0.001 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.001 -0.002
-0.003 -0.004 -0.005
Tiempo (seg) PÉSIMO
ÓPTIMO
IDEAL
4.5
5
5.5
6
6.5
7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
I. Datos del sistema (ingresar): m=
6.263
Tn*s2 / m
Pésimo Δt = ξ= T=
Óptimo Ideal 0.05 0.13
II. Datos calculados : K= 15535.757 Wn = 49.804 c= 31.323
Condiciones
0.05 0.005
s s
u(0) = u'(0) =
0 0
0.001
s
Po =
0
s
Tn/m rad/s Tn*s / m
III. Método de la aceleración lineal: β= 1/4 γ= 1/2 IV. Cálculos iniciales:
Pésimo Óptimo Ideal
a1
a2
a3
11274.12 1014650.08 25115670.00
532.38 5041.93 25084.35
6.263 6.263 6.263
Umax pésimo Umáx óptimo Umáx ideal
0.0003067 m 0.0003067 m 0.0003067 m
26809.877 1030185.839 25131205.752
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO PÉSIMO
ÓPTIMO Desplazamiento
IDEAL Desplazamiento
Desplazamiento
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75
0 0.0477 0.0953 0.1430 0.1906 0.2383 0.2860 0.3336 0.3813 0.4289 0.4766 0.5243 0.5719 0.6196 0.6672 0.7149
0 0.048 0.171 0.268 0.307 0.394 0.513 0.576 0.632 0.743 0.837 0.889 0.973 1.082 1.151 1.215
0 0.0000018 0.0000064 0.0000100 0.0000114 0.0000147 0.0000191 0.0000215 0.0000236 0.0000277 0.0000312 0.0000331 0.0000363 0.0000404 0.0000429 0.0000453
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075
0 0.0048 0.0095 0.0143 0.0191 0.0238 0.0286 0.0334 0.0381 0.0429 0.0477 0.0524 0.0572 0.0620 0.0667 0.0715
0 0.005 0.028 0.087 0.197 0.369 0.609 0.921 1.304 1.751 2.253 2.797 3.370 3.954 4.533 5.091
0 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000002 0.0000004 0.0000006 0.0000009 0.0000013 0.0000017 0.0000022 0.0000027 0.0000033 0.0000038 0.0000044 0.0000049
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015
0 0.0010 0.0019 0.0029 0.0038 0.0048 0.0057 0.0067 0.0076 0.0086 0.0095 0.0105 0.0114 0.0124 0.0133 0.0143
0 0.001 0.006 0.018 0.042 0.080 0.138 0.217 0.323 0.457 0.624 0.827 1.069 1.353 1.681 2.057
0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000001 0.0000001
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5
0.7626 0.8102 0.8579 0.9055 0.9532 1.0009 1.0485 1.0962 1.1438 1.1915 1.2392 1.2868 1.3345 1.3821 1.4298
1.316
0.0000491
0.0763 0.0810 0.0858 0.0906 0.0953 0.1001 0.1049 0.1096 0.1144 0.1192 0.1239 0.1287 0.1334 0.1382 0.1430
0.0000055 0.0000059 0.0000063 0.0000067 0.0000070 0.0000072 0.0000074 0.0000075 0.0000076 0.0000077 0.0000078 0.0000079 0.0000080 0.0000082 0.0000083
0.0153 0.0162 0.0172 0.0181 0.0191 0.0200 0.0210 0.0219 0.0229 0.0238 0.0248 0.0257 0.0267 0.0276 0.0286
0.0000001
6.092 6.515 6.877 7.178 7.419 7.608 7.753 7.864 7.957 8.043 8.139 8.255 8.405 8.596
0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03
2.483
0.0000525 0.0000548 0.0000579 0.0000616 0.0000644 0.0000669 0.0000705 0.0000739 0.0000764 0.0000794 0.0000830 0.0000859 0.0000885 0.0000920
0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 0.145 0.15
5.615
1.408 1.469 1.551 1.653 1.727 1.795 1.890 1.980 2.047 2.129 2.225 2.302 2.374 2.465
2.962 3.496 4.088 4.739 5.451 6.226 7.066 7.971 8.944 9.986 11.097 12.277 13.528 14.850
0.0000001 0.0000001 0.0000002 0.0000002 0.0000002 0.0000002 0.0000003 0.0000003 0.0000004 0.0000004 0.0000004 0.0000005 0.0000005 0.0000006
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
FUERZA
6
5 Carga (Tn)
4 3 2 1 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3 3.5 4 Tiempo (seg)
4.5
5
5.5
6
6.5
7
GRÁFICA DESPLAZAMIENTO - TIEMPO 0.0004
Desplazamiento (m)
0.0003 0.0002 0.0001 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.0001
-0.0002 -0.0003
Tiempo (seg) PÉSIMO
ÓPTIMO
IDEAL
4.5
5
5.5
6
6.5
7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
I. Datos del sistema (ingresar): m= Δt = ξ= T=
7.623
Tn*s2 / m
Pésimo
0.025 0.005
s s
u(0) = u'(0) =
0 0
0.001
s
Po =
0
Óptimo Ideal 0.05 0.08
II. Datos calculados : K= 46699.155 Wn = 78.270 c= 58.796
Condiciones
s
Tn/m rad/s Tn*s / m
III. Método de la aceleración lineal: β= 1/4 γ= 1/2 IV. Cálculos iniciales:
a1 Pésimo Óptimo Ideal
a2
53490.45 1278.46 1243186.99 6157.14 30609303.73 30550.51
Umax pésimo Umáx óptimo Umáx ideal
0.0000679 m 0.0000679 m 0.0000679 m
a3 7.623 7.623 7.623
100189.604 1289886.150 30656002.890
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
PÉSIMO
ÓPTIMO Desplazamiento
IDEAL Desplazamiento
Desplazamiento
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3 0.325 0.35 0.375
0 0.0159 0.0317 0.0476 0.0635 0.0793 0.0952 0.1111 0.1269 0.1428 0.1587 0.1745 0.1904 0.2063 0.2221 0.2380
0 0.016 0.064 0.115 0.137 0.155 0.200 0.248 0.274 0.294 0.335 0.382 0.410 0.432 0.471 0.516
0 0.0000002 0.0000006 0.0000012 0.0000014 0.0000015 0.0000020 0.0000025 0.0000027 0.0000029 0.0000033 0.0000038 0.0000041 0.0000043 0.0000047 0.0000052
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075
0 0.0032 0.0063 0.0095 0.0127 0.0159 0.0190 0.0222 0.0254 0.0286 0.0317 0.0349 0.0381 0.0413 0.0444 0.0476
0 0.003 0.018 0.056 0.122 0.219 0.344 0.491 0.650 0.811 0.963 1.096 1.206 1.290 1.348 1.387
0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000002 0.0000003 0.0000004 0.0000005 0.0000006 0.0000007 0.0000009 0.0000009 0.0000010 0.0000010 0.0000011
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015
0 0.00063 0.00127 0.00190 0.00254 0.00317 0.00381 0.00444 0.00508 0.00571 0.00635 0.00698 0.00762 0.00825 0.00888 0.00952
0 0.001 0.004 0.012 0.028 0.053 0.091 0.143 0.212 0.299 0.406 0.536 0.689 0.867 1.072 1.304
0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000
0.4 0.425 0.45 0.475 0.5 0.525 0.55 0.575
0.2538 0.2697 0.2856 0.3014 0.3173 0.3332 0.3490 0.3649
0.546
0.0000055
0.0000011 0.0000011 0.0000011 0.0000012 0.0000012 0.0000013 0.0000014 0.0000015
0.01015 0.01079 0.01142 0.01206 0.01269 0.01333 0.01396 0.01460
0.0000001
1.438 1.469 1.515 1.580 1.668 1.778 1.906
0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022 0.023
1.564
0.0000057 0.0000061 0.0000065 0.0000068 0.0000071 0.0000074 0.0000078
0.0508 0.0539 0.0571 0.0603 0.0635 0.0666 0.0698 0.0730
1.414
0.570 0.608 0.651 0.682 0.708 0.744 0.786
0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115
1.854 2.173 2.522 2.901 3.311 3.750 4.220
0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
FUERZA 3.5 3
Carga (Tn)
2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo (seg)
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
GRÁFICA DESPLAZAMIENTO - TIEMPO 0.00008
0.00006
Desplazamiento (m)
0.00004
0.00002
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.00002
-0.00004
-0.00006
-0.00008
Tiempo (seg) PÉSIMO
ÓPTIMO
IDEAL
4.5
5
5.5
6
6.5
7
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS
Para hallar los desplazamientos debemos aplicar los métodos de superposición modal (contribución modal): La matriz modal ha quedado así:
Ф=
Modo 1 1 2.03662 2.6477
Modo 2 1 0.53124 -0.89577
Modo 3 1 -1.10474 0.52782
La respuesta esperada corresponde al efecto conjunto de los diferentes modos de vibración empleados:
Respuesta de oscilador de frecuencia w y amortiguamiento ξ ante carga externa de excitación
Desplazamiento en un sistema con 3GDL
t
q1
q2
q3
u1
u2
u3
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022
0.000E+00 5.920E-11 3.551E-10 1.124E-09 2.602E-09 5.023E-09 8.623E-09 1.364E-08 2.029E-08 2.883E-08 3.947E-08 5.246E-08 6.801E-08 8.636E-08 1.077E-07 1.324E-07 1.605E-07 1.922E-07 2.280E-07 2.678E-07 3.120E-07 3.608E-07 4.144E-07
0.000E+00 3.793E-11 2.273E-10 7.186E-10 1.661E-09 3.201E-09 5.484E-09 8.653E-09 1.285E-08 1.820E-08 2.485E-08 3.292E-08 4.254E-08 5.382E-08 6.689E-08 8.185E-08 9.881E-08 1.179E-07 1.391E-07 1.627E-07 1.886E-07 2.169E-07 2.477E-07
0.000E+00 2.070E-11 1.239E-10 3.912E-10 9.025E-10 1.736E-09 2.966E-09 4.665E-09 6.903E-09 9.744E-09 1.325E-08 1.747E-08 2.247E-08 2.829E-08 3.496E-08 4.253E-08 5.103E-08 6.047E-08 7.088E-08 8.227E-08 9.465E-08 1.080E-07 1.223E-07
0.000E+00 1.178E-10 7.063E-10 2.234E-09 5.165E-09 9.960E-09 1.707E-08 2.695E-08 4.004E-08 5.677E-08 7.757E-08 1.029E-07 1.330E-07 1.685E-07 2.096E-07 2.567E-07 3.103E-07 3.706E-07 4.380E-07 5.127E-07 5.952E-07 6.857E-07 7.845E-07
0.000E+00 1.178E-10 7.070E-10 2.239E-09 5.184E-09 1.001E-08 1.720E-08 2.721E-08 4.053E-08 5.762E-08 7.896E-08 1.050E-07 1.363E-07 1.732E-07 2.163E-07 2.661E-07 3.229E-07 3.873E-07 4.599E-07 5.410E-07 6.311E-07 7.307E-07 8.404E-07
0.000E+00 1.337E-10 8.019E-10 2.539E-09 5.877E-09 1.135E-08 1.948E-08 3.081E-08 4.587E-08 6.517E-08 8.925E-08 1.186E-07 1.538E-07 1.954E-07 2.438E-07 2.996E-07 3.632E-07 4.353E-07 5.164E-07 6.068E-07 7.072E-07 8.181E-07 9.399E-07
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
0.023 0.024 0.025 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03 0.031 0.032 0.033 0.034 0.035 0.036 0.037 0.038 0.039 0.04 0.041 0.042 0.043 0.044 0.045 0.046 0.047 0.048 0.049 0.05 0.051 0.052 0.053 0.054 0.055 0.056 0.057 0.058 0.059 0.06 0.061 0.062 0.063
4.730E-07 5.368E-07 6.060E-07 6.809E-07 7.616E-07 8.484E-07 9.414E-07 1.041E-06 1.147E-06 1.260E-06 1.380E-06 1.507E-06 1.642E-06 1.784E-06 1.934E-06 2.092E-06 2.258E-06 2.433E-06 2.616E-06 2.808E-06 3.008E-06 3.218E-06 3.436E-06 3.665E-06 3.902E-06 4.149E-06 4.406E-06 4.673E-06 4.951E-06 5.238E-06 5.536E-06 5.844E-06 6.163E-06 6.492E-06 6.833E-06 7.185E-06 7.547E-06 7.921E-06 8.307E-06 8.704E-06 9.112E-06
2.811E-07 3.172E-07 3.559E-07 3.973E-07 4.415E-07 4.885E-07 5.383E-07 5.909E-07 6.463E-07 7.046E-07 7.657E-07 8.296E-07 8.963E-07 9.657E-07 1.038E-06 1.113E-06 1.190E-06 1.270E-06 1.353E-06 1.438E-06 1.525E-06 1.615E-06 1.707E-06 1.801E-06 1.898E-06 1.996E-06 2.096E-06 2.198E-06 2.301E-06 2.406E-06 2.512E-06 2.620E-06 2.729E-06 2.839E-06 2.950E-06 3.061E-06 3.174E-06 3.287E-06 3.400E-06 3.513E-06 3.627E-06
1.376E-07 1.539E-07 1.711E-07 1.891E-07 2.081E-07 2.278E-07 2.484E-07 2.696E-07 2.916E-07 3.141E-07 3.373E-07 3.609E-07 3.850E-07 4.094E-07 4.341E-07 4.591E-07 4.842E-07 5.094E-07 5.346E-07 5.598E-07 5.848E-07 6.097E-07 6.342E-07 6.585E-07 6.824E-07 7.058E-07 7.287E-07 7.510E-07 7.728E-07 7.939E-07 8.143E-07 8.339E-07 8.528E-07 8.709E-07 8.883E-07 9.047E-07 9.204E-07 9.352E-07 9.492E-07 9.623E-07 9.746E-07
8.918E-07 1.008E-06 1.133E-06 1.267E-06 1.411E-06 1.565E-06 1.728E-06 1.901E-06 2.085E-06 2.279E-06 2.483E-06 2.698E-06 2.923E-06 3.159E-06 3.406E-06 3.664E-06 3.933E-06 4.213E-06 4.503E-06 4.805E-06 5.118E-06 5.443E-06 5.778E-06 6.124E-06 6.482E-06 6.851E-06 7.231E-06 7.622E-06 8.024E-06 8.438E-06 8.862E-06 9.298E-06 9.745E-06 1.020E-05 1.067E-05 1.115E-05 1.164E-05 1.214E-05 1.266E-05 1.318E-05 1.371E-05
9.606E-07 1.092E-06 1.234E-06 1.389E-06 1.556E-06 1.736E-06 1.929E-06 2.136E-06 2.357E-06 2.593E-06 2.844E-06 3.111E-06 3.395E-06 3.694E-06 4.011E-06 4.345E-06 4.697E-06 5.067E-06 5.456E-06 5.863E-06 6.291E-06 6.738E-06 7.205E-06 7.693E-06 8.201E-06 8.731E-06 9.283E-06 9.856E-06 1.045E-05 1.107E-05 1.171E-05 1.237E-05 1.306E-05 1.377E-05 1.450E-05 1.526E-05 1.604E-05 1.685E-05 1.768E-05 1.853E-05 1.941E-05
1.073E-06 1.218E-06 1.376E-06 1.547E-06 1.731E-06 1.929E-06 2.141E-06 2.369E-06 2.612E-06 2.870E-06 3.146E-06 3.438E-06 3.747E-06 4.075E-06 4.420E-06 4.785E-06 5.169E-06 5.572E-06 5.996E-06 6.441E-06 6.907E-06 7.394E-06 7.904E-06 8.436E-06 8.992E-06 9.571E-06 1.017E-05 1.080E-05 1.145E-05 1.213E-05 1.284E-05 1.357E-05 1.432E-05 1.511E-05 1.592E-05 1.676E-05 1.763E-05 1.852E-05 1.945E-05 2.041E-05 2.139E-05
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO u1 máx = u2 máx = u3 máx = u1 min = u2 min = u3 min =
0.00463536 0.00876592 0.01104307 -0.00385519 -0.00750325 -0.00948739
m m m m m m
Los máximos desplazamientos se dan en: t = 5.00seg Los mínimoos desplazamientos se dan en: t = 5.186 seg
HISTORIA DEL DESPLAZAMIENTO U1 (m) Desplazamiento (m)
6.000E-03 4.000E-03 2.000E-03 0.000E+00 -2.000E-03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
-4.000E-03 -6.000E-03
Tiempo (seg)
HISTORIA DEL DESPLAZAMIENTO U2 (m) Desplazamiento (m)
1.000E-02 5.000E-03 0.000E+00 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
6
6.5
7
-5.000E-03 -1.000E-02
Tiempo (seg)
HISTORIA DEL DESPLAZAMIENTO U3 (m) Desplazamiento (m)
1.500E-02 1.000E-02 5.000E-03 0.000E+00 -5.000E-03
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-1.000E-02 -1.500E-02
Tiempo (seg)
4.5
5
5.5
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO CÁLCULO DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES, CORTANTE BASAL Y MOMENTO BASAL Las fuerzas estáticas equivalentes asociadas con la respuesta del n-ésimo modo, están definidas por la ecuación:
La matriz modal quedó así: Modo 1 1 Ф= 2.03662 2.6477
Modo 2 1 0.53124 -0.89577
Modo 3 1 -1.10474 0.52782
La matriz de masa quedó así: 3.088 M= 0.000 0.000
0.000 3.058 0.000
0.000 0.000 2.882
Las frecuencias naturales son: w1 = w2 = w3 =
16.44 48.84 76.15
rad/seg rad/seg rad/seg
T n.seg2/m
h1 = h2 = h3 =
3 5.8 8.6
m m m
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO Respuesta de oscilador de frecuencia w y amortiguamiento ξ ante carga externa de excitación
Fuerzas elásticas equivalentes para cada instante de tiempo
t
q1
q2
q3
f1
f2
f3
Cortante Basal Total V = ∑f
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019 0.02 0.021 0.022
0 5.9197E-11 3.5507E-10 1.1239E-09 2.6015E-09 5.0231E-09 8.6233E-09 1.3636E-08 2.0294E-08 2.8829E-08 3.9474E-08 5.2458E-08 6.801E-08 8.6359E-08 1.0773E-07 1.3235E-07 1.6045E-07 1.9225E-07 2.2796E-07 2.6781E-07 3.1203E-07 3.6081E-07 4.1439E-07
0 3.7929E-11 2.2729E-10 7.1858E-10 1.6608E-09 3.2011E-09 5.4843E-09 8.653E-09 1.2846E-08 1.8201E-08 2.4849E-08 3.292E-08 4.2538E-08 5.3824E-08 6.6892E-08 8.1854E-08 9.8815E-08 1.1787E-07 1.3913E-07 1.6266E-07 1.8855E-07 2.1689E-07 2.4773E-07
0 2.0701E-11 1.2392E-10 3.9121E-10 9.0248E-10 1.7355E-09 2.9657E-09 4.6651E-09 6.9027E-09 9.7436E-09 1.3249E-08 1.7474E-08 2.2471E-08 2.8287E-08 3.4962E-08 4.2532E-08 5.1027E-08 6.0471E-08 7.0882E-08 8.2271E-08 9.4645E-08 1.08E-07 1.2234E-07
0 6.9938E-07 4.189E-06 1.3234E-05 3.056E-05 5.884E-05 0.00010068 0.00015863 0.00023513 0.00033255 0.00045315 0.00059908 0.00077236 0.00097492 0.00120851 0.00147479 0.00177524 0.00211123 0.00248394 0.00289443 0.00334358 0.00383215 0.0043607
0 -1.5892E-07 -9.4924E-07 -2.9875E-06 -6.8649E-06 -1.314E-05 -2.2331E-05 -3.4907E-05 -5.1286E-05 -7.1822E-05 -9.6804E-05 -0.00012645 -0.0001609 -0.00020021 -0.00024436 -0.00029324 -0.00034664 -0.00040428 -0.00046575 -0.0005306 -0.00059824 -0.00066801 -0.00073916
0 7.1093E-08 4.2555E-07 1.3432E-06 3.0975E-06 5.954E-06 1.0168E-05 1.5981E-05 2.3624E-05 3.3309E-05 4.5233E-05 5.9575E-05 7.6496E-05 9.6133E-05 0.00011861 0.00014402 0.00017244 0.00020393 0.00023854 0.00027626 0.0003171 0.00036105 0.00040805
0 0.0000006 0.0000037 0.0000116 0.0000268 0.0000517 0.0000885 0.0001397 0.0002075 0.0002940 0.0004016 0.0005322 0.0006880 0.0008708 0.0010828 0.0013256 0.0016010 0.0019109 0.0022567 0.0026401 0.0030625 0.0035252 0.0040296
Momentos en la base para cada instante de tiempo M1
M2
M3
Momento Basal Total M = ∑M
0 2.0981E-06 1.2567E-05 3.9703E-05 9.1681E-05 0.00017652 0.00030205 0.00047589 0.0007054 0.00099766 0.00135945 0.00179723 0.00231709 0.00292475 0.00362553 0.00442436 0.00532573 0.00633368 0.00745182 0.00868328 0.01003075 0.01149645 0.01308211
0 -9.2175E-07 -5.5056E-06 -1.7327E-05 -3.9816E-05 -7.6212E-05 -0.00012952 -0.00020246 -0.00029746 -0.00041657 -0.00056147 -0.00073341 -0.00093322 -0.00116123 -0.00141731 -0.0017008 -0.00201053 -0.0023448 -0.00270137 -0.00307746 -0.00346977 -0.00387444 -0.00428712
0 6.114E-07 3.6597E-06 1.1551E-05 2.6639E-05 5.1204E-05 8.7441E-05 0.00013744 0.00020316 0.00028645 0.000389 0.00051235 0.00065786 0.00082675 0.00102003 0.00123855 0.001483 0.00175384 0.0020514 0.00237582 0.00272708 0.003105 0.00350925
0 0.0000018 0.0000107 0.0000339 0.0000785 0.0001515 0.0002600 0.0004109 0.0006111 0.0008675 0.0011870 0.0015762 0.0020417 0.0025903 0.0032283 0.0039621 0.0047982 0.0057427 0.0068019 0.0079816 0.0092881 0.0107270 0.0123042
INGENIERÍA ANTISÍSMICA ING. IVÁN LEÓN MALO
La cortante basal máxima es de 22.451 Tn y se da en el tiempo: t = 5.00 seg La cortante basal mínima es de -18.481 Tn y se da en el tiempo: t = 5.186 seg El momento basal máximo es de 130.299 Tn.m y se da en el tiempo: t = 5.00 seg El momento basal mínimo es de -111.195 Tn.m y se da en el tiempo: t = 5.186 seg
HISTORIA DE CORTANTE EN LA BASE 25 20
Cortante basal (Tn)
15 10 5 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
6
6.5
7
-5 -10 -15 -20
Tiempo (seg)
HISTORIA DE MOMENTO EN LA BASE 150
Momento basal (Tn.m)
100 50 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-50 -100 -150
Tiempo (seg)
4.5
5
5.5
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