Trabajo De Polinomio.docx

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Liceo Nacional Ciclo Básico Michelena Michelena Estado Táchira.

Realizado por: Azael Antonio Petit C.I. V-29.580.283 Roxandra Elizabeth Parra C.I. V-20.879.130

Michelena, Noviembre de 2017

Índice

1. Introducción 2. Que son los polinomios. 3. Cuáles son los elementos de un polinomio. 4. Que son polinomios idénticos. 5. Que es coeficiente principal. 6. Que son polinomios monicos. 7. Que es función polinomica. 8. Operaciones con polinomios. a) División de polinomios. b) Algoritmo de Euclides. c) El método de los coeficientes indeterminados. d) Teorema del resto. e) Método de Ruffini, pasos para resolver. f) Método Horner. 9. Que son raíces de un polinomio. 10. Resolver las actividades del libro La matemática y el vivir bien de 5ª año. a) Actividad nº 1 pagina 59. b) Actividad nº 2 pagina 54. 11. Conclusión. 12. Bibliografía.

Introducción En nuestro día a día la enseñanza de las matemáticas tiene mucho que ver con el conocimiento, ya que es un factor de motivación, de resolución de problemas, aplicando todo los conceptos que se van aprendiendo para dar por nosotros mismos como consecuencia el uso de justificaciones y procedimientos. Por ese motivo consideramos importante saber que es un polinomio sus elementos y operaciones básicas e incluso las clases de polinomios. En esta investigación consideramos que el uso del lenguaje algebraico es la base para el entendimiento de las matemáticas es debido a eso que quisimos investigar todas las dudas que tenemos sobre el tema para tener un conocimiento mayor al que tenemos y comprender los polinomios y así mejorar nuestro aprovechamiento ya que esta investigación tiene como fin aclarar las dudas que la mayoría de nosotros tenemos y para tener una idea clara sobre lo que debemos hacer para entender todo lo más importante para resolver un polinomio y así comprender que las matemáticas no son difíciles imposibles de hacer si no que para entenderlas tenemos que hablar su lenguaje y utilizar los conceptos de las matemáticas para no tener dudas ni confusiones como en estos temas.

Polinomio Es una expresión algebraica compleja, la cual se encuentra constituida por una suma finita de monomios. Es decir, que básicamente un Polinomio es un conjunto de monomios (expresión algebraica elemental compuesta por una combinación de números y letras elevadas a exponentes enteros y positivos, entre los cuales no pueden existir operaciones de suma, resta o división) entre las cuales se establecen sumas, y en algunas ocasiones restas o multiplicaciones, estando totalmente exentas las operaciones de división. Al estar conformada por monomios, el Polinomio tiende igualmente a contar con variables que se encuentran, en todo momento, elevadas a exponentes positivos y enteros.

Elementos del polinomio 

Términos: conformados por cada uno de los monomios que establecen operaciones de suma (y en algunos casos de resta o multiplicación) entre ellos.



Coeficientes: así mismo, los coeficientes estarán constituidos por los elementos numéricos, que se encuentre estableciendo operaciones de multiplicación con cada una de las variables.



Término independiente: por su lado, el Término independiente es descrito como aquel elemento abstracto numérico que no se encuentra acompañado de ninguna variable.



Grado: finalmente, así como el monomio cuenta con un grado, el polinomio también, sólo que en el caso de esta expresión algebraica compleja, éste se encuentra constituido por el exponente de mayor valor que pueda distinguirse entre las variables de cada uno de los términos que conforman el monomio.

Polinomio Idénticos Son aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente. Si P(x)= ax3+bx2+c y Q(x)= mx3 + nx2+p son idénticos (P(x)=Q(x)), se cumplirá que: a= m; b=n y c=p.

Coeficiente principal Es el mayor número que multiplica a una variable dentro de un polinomio.

Polinomio Mónico Es aquel polinomio entero en coeficiente principal igual a la unidad.

x que se caracteriza por ser su

P(x)= x + 7x + 4; es un polinomio Mónico.

Función polinómica Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

En donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.

Operaciones con Polinomios Las operaciones con polinomios presentan, para su resolución, un algoritmo semejante a las aritméticas y la correcta aplicación de las leyes de los exponentes ayuda a encontrar el resultado más fácilmente.

a.- División de Polinomios La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos

,

se cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=– b.- Algoritmo de Euclides. El máximo común divisor de dos enteros puede obtenerse escogiendo el mayor de todos los divisores comunes. Hay un proceso más eficiente que utiliza repetidamente el algoritmo de la división. Este método se llama algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides se describe de la forma siguiente: Dados dos enteros a y b cuyo máximo común divisor se desea hallar, y asumiendo que a b > 0, (El método funciona también si a y b son negativos). Basta trabajar con los valores absolutos de estos números, debido a que M.C.D (|a|, |b|) =M.C.D (a,b) se siguen los siguientes pasos: a) Se usa el algoritmo de la división para obtener a = q 1b + r2 con 0 ≤ r1 < b. Si r1 = 0, entonces b | a y M.C.D.(a, b) = b.

b) Si r1 ≠ 0 se divide b por r1 y se producen enteros q2y r2 que satisfacen b =q2 r1 + r2 con 0 ≤r2 < r1. Si r2 = 0 el proceso termina y M.C.D.(a, b) = r1. c) Si r2 ≠ 0 se procede a dividir r2 por r1 obteniendo r1 = q3 r2 + r3 con 0 ≤ r3< r2. d) Este proceso continua hasta que algún residuo cero aparece. Esto ocurre porque en la secuencia b > r1 > r2 > ..... ≥ 0 no puede haber más de b enteros. Es decir, el proceso es finito. e) En estas circunstancias, el máximo común divisor de a y b no es más que el último residuo no cero del proceso anterior. Esto lo garantiza la aplicación reiterada del siguiente teorema. Teorema. Sí a y b son enteros positivos con a ≥ b y si a = qb + r entonces M.C.D.(a, b) = M.C.D.( b, r ). Demostración Sea d= M.C.D.(a, b). Luego d | a y d | b. De donde d | (a-qb) por teorema 2.2.3 y 2.2.4. Como a - qb = r, se tiene que d | r. Luego d es divisor común de b y r. Por otra parte, sea c un divisor común de b y r, luego c | (qb + r) por teorema 2.2.2 y 2.2.3. Como qb + r = a, entonces c | a. De lo anterior tenemos que c es un divisor común de a y b. Como d = M.C.D.(a, b) se tiene que c ≤ d. Luego d = M.C.D.(b, r). c.- Método de Coeficientes Indeterminados. El método de coeficientes indeterminados permite calcular una solución particular de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea (ecuación completa) de coeficientes constantes: y′′(x)+py′(x)+qy(x)=g(x) 

Se basa en preparar una solución inspirada en la forma de la función g(x). Sólo nos servirá para ciertos tipos de funciones g(x), así que su uso es mucho más limitado que el del método de variación de constantes; sin embargo, en los casos en que sí pueda aplicarse, facilita la resolución pues no requiere cálculo de primitivas. En la siguiente tabla se recogen las funciones g(x) y las funciones yp(x) que les corresponden:

g(x)

yp(x)

a0+a1x+…+amxm

xs(A0+A1x+…+Amxm)

a0coskx+a1senkx

xs(A0coskx+A1senkx)

a0ekx

A0xsekx

El número s se elige como el menor entero tal que ningún sumando de la solución particular sea solución de la ecuación homogénea asociada. Si la función g(x) fuera producto de varias de las que figuran en la tabla, también la solución particular se propondría como el producto de la que correspondan a cada factor de g(x). 

Una vez que se ha escrito la forma de la solución yp se deriva dos veces y se sustituye en la ecuación. Eso generará un sistema de ecuaciones algebraico en los coeficientes de yp.

d.- Teorema del resto El teorema del resto es un método por el cual podemos obtener el residuo de una división algebraica pero en el cual no es necesario efectuar división alguna. Nos permite de esta forma averiguar el resto de la división de un polinomio p(x) entre otro de la forma x-a por ejemplo. Se deduce de este teorema que un polinomio p(x) es divisible entre x-a sólo si a es una raíz del polinomio, únicamente si y sólo si p(a) =0. Si C(x) es el cociente y R(x) es el resto de la división de un polinomio cualquiera p(x) entre un binomio que sería (x-a), aplicamos el algoritmo de la división. Por ejemplo: Calcular el resto de la siguiente división: En este caso a es igual a 1: El valor numérico del polinomio para x=1 es:

Por lo tanto el resto de la división también es 3: Vamos a ver otro ejemplo: ¿Cuál será el resto de la siguiente división? El teorema del resto sólo funciona para las divisiones entre el binomio (x-a). En este caso, tenemos x+2, por lo que necesitamos ponerlo en la forma x-a, que es x-(-2). Por tanto a es igual a -2: El valor numérico del polinomio para x=-2 es:

Por tanto, el resto de la división será igual a 70: Veamos un último ejemplo: ¿Cuál es el resto de la siguiente división? Calculamos el valor numérico del polinomio para x=1:

Cuyo resultado es 0, por tanto el resto también es 0: O lo que es lo mismo, la división es exacta.

e.- Método de Ruffini El método o regla de Ruffini es un método que nos permite dividir un polinomio entre un binomio y además permite localizar las raíces de un polinomio para factor izarlo en binomios. En otras palabras esta técnica posibilita dividir o descomponer un polinomio algebraico de grado n, en un binomio algebraico, y luego en otro polinomio algebraico de grado n-1. Y para que esto sea posible se necesita saber o conocer por lo menos una de las raíces del polinomio único, con el propósito de que la separación sea exacta. Historia En 1814 un matemático, médico y filósofo italiano llamado Paolo Ruffini, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones, y su más importante logro, inventó lo que se conoce como Regla de Ruffini, que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).

División de polinomios con la Regla de Ruffini Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado ax4+bx3+cx2+dx+e, tiene cuatro raíces enteras, x1 , 'x2 , x3 y x4 se factoriza así: ax4+bx3+cx2+dx+e = a (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) Como se obtienen las raíces del polinomio Ejemplo: Factorizar x4-4x3-x2+16x-12 Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12 Primero probamos con 1. Paso 1 Se copian los coeficientes del polinomio original en línea: x4-4x3-x2+16x-12 Paso 2 Se escribe en una segunda línea el número uno

Paso 3 El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea

Paso 4 Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4 Paso 5 Se suma –4+1=-3. Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1. Paso 6 Se suma –3-1=-4. Se multiplica –4por 1=-4 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, 16. Paso 7 Se suma 16+(-4)=12. Se multiplica 12 por 1=12 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, 12. Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar. Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.

Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división. f.- Método de Horner El método de Horner sirve para evaluar un polinomio de forma anidada,, esto es un paso previo para localizar los ceros de un polinomio con métodos como el de Newton-Raphson. Este método requiere solo de n multiplicaciones y n sumas para evaluar un polinomio de grado n. El teorema de Horner es el siguiente: Sea P(x) = an xⁿ + a(n-1) x^(n-1) + … + a1 x + a₀ Si zn = an y zk = ak + z(k+1) x₀, Para k =n-1, n-2, …. , 1, 0 entonces; z₀ = P(x₀) Además, si Q(x) = zn x^(n-1) + z(n-1) x^(n-2) + … + z2 x + z1 Entonces P(x) = (x - x₀) Q(x) + z₀

Raíces de un polinomio Las raíces de un polinomio son números tales que hacen que un polinomio valga cero. Podemos decir también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igualándolo a cero obtenemos como soluciones las raíces del polinomio. Como propiedades de las raíces y factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio son por los divisores del término independiente pertenecientes al polinomio. Entonces a cada raíz por ejemplo del tipo x = a le correspondería un binomio del tipo (x-a). Se puede expresar un polinomio en factores si lo escribimos como producto de todos los binomios que tengamos del tipo (x-a) que sean correspondientes a las raíces, x=a, que obtengamos.

CONCLUSION En este trabajo hemos aprendido lo que son los polinomios, desde un monomio a un polinomio, por lo contrario el monomio es aquel que solo tiene un término más sin embargo puede contener variables, literales y exponentes, pero sin ser separados por un signo de sustracción o de adición pues si no se volvería un polinomio, de acuerdo a los términos que contenga se puede denominar. También pueden tener diferentes grados ya sea el absoluto que se determina de acuerdo al número más grande del exponente que tienen todos los términos. Otra propiedad de los polinomios es que podemos sumarlos o restarlos. Para multiplicarlos lo único que debemos de hacer es multiplicar su parte numérica y posteriormente sumar los exponentes. Para dividir polinomios podemos seguir una serie de pasos con la regla de Ruffini o bien con la regla de división sintética.

Bibliografía

Wikipedia matematica.laguia2000.com es.pdfcoke.com www.vitutor.com