Trabajo De Medidas De Centralización Y Posición.docx

Ejercicio número 20 de la página 34

20. Los puntajes de una prueba de actitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud. Si se tienen marcas de clase 𝑚2 = 40 y 𝑚4 = 80 frecuencias ℎ1=6 , ℎ3 = ℎ5 , ℎ4 = 0.25 , ℎ2 = , ℎ4 − ℎ1 , 𝐹6 = 60 completar la distribución de frecuencias absolutas

ℎ1=6

X: puntaje de la prueba de actitud

ℎ3=ℎ5

K: 6

ℎ4 = 𝑜. 25

𝑚2 = 40

,

𝑚4 = 80

ℎ2= , ℎ4 −ℎ1 𝑅

ℎ3= ℎ1 + 0.10

A= 𝐾

𝐹6 = 60

A=

puntajes [10 – 30) [30 – 50) [50 – 70) [70 – 90) [90 – 110) [110 – 130)

𝑥𝑖 20 40 60 80 100 120

TOTAL

120 6

𝑓𝑖 6 9 12 15 12 6 60

2ℎ1 + ℎ2 + 2ℎ3 + ℎ4 = 1 2ℎ1 + 0.25 − ℎ1 + 2(ℎ1 + 0.10) + 0.25 = 1 2ℎ1 + 0.25 − ℎ1 + 2ℎ1 + 0.20 + 0.25 = 1 3ℎ1 + 0.25 + 0.20 + 0.25 = 1 3ℎ1 + 0.70 = 1 3ℎ1 = 1 − 0.70 3ℎ1 = 0.30 ℎ1 = 0.10

RPTA: 6. 15, 27, 42, 54, 60

=

A= 20

𝑓𝑖 6 15 27 42 54 60

ℎ𝑖 ℎ1= 0.10 ℎ2= 0.15 ℎ3= 0.20 ℎ4= 0.25 ℎ5=0.20 ℎ6= 0.10

Ejercicio 22 de la página 35

22 .El tiempo. (En horas) de 120 familias que utilizan su computadora se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales a 4, siendo; el tiempo mínimo de uso 2 horas, la primera y segunda frecuencias iguales a 10% y 15% del total de casos respectivamente. Si el 73.75% de las familias lo usaron menos de 17 horas y el 85% menos de 19 horas, determine Infrecuencias.

Solución:

𝑥𝑖 165 195 225 255 285

[2 – 6) [6 – 10) [10 –14) [14 – 18) [18 – 22)

𝑓𝑖 12 18 36 30 24 120

14−10

73.75% = 10% + 15% ( 73.75% = 25% +ℎ3+ 48.75% = ℎ3+

3 4

3 4

4

) ℎ3+ (

𝐹𝑖 12 30 66 96 120

ℎ𝑖 12% 15% ℎ3 = 30% ℎ4 =25% ℎ5 = 20% 100%

17−14 4

) ℎ4

ℎ4

ℎ4 ……. (I)

85% = 10% + 15% + (

14−10

18−14

4

4

) ℎ3 + (

19−18

) ℎ4 + (

) ℎ4 4 19−18

(

1

60% = ℎ3+ ℎ4 + ℎ5 …….. (III) 4 75% = ℎ3+ ℎ4+ ℎ5 ℎ3+ ℎ4 = 75%− ℎ5 ……(III)

4

+

) ℎ5

1

60% = 75% - ℎ5 + ℎ5 4

20% = 𝒉𝟓 ℎ3+ ℎ4=55% ℎ3=55− ℎ4 ………. * Reemplazando:

3

48.75% = 55% - ℎ4 + ℎ4 4

1

-6.25% = − 4 ℎ4 𝒉𝟒= 25%

𝒉𝟑= 𝟑𝟎%

Ejercicio número 6 de la página 57

El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es S/400. Se proponen dos alternativas de aumento: a) S/. 75 a cada uno b) 15% de su sueldo más 10 soles a cada uno. Si la empresa dispone a lo más de S/. 94,000 para pagar sueldos, ¿cuál alternativa es más conveniente?

∑𝑥 𝑥̅ = 400 = 200 a) $75 𝑐⁄𝑢

𝑥̅ =

∑(𝑥+75) 200

=

∑ 𝑥+200(75) 200

𝑥̅𝐴 = 400 + 75

b) 𝑥̅𝐴 =

∑(1.15𝑥+10) 200

=

1.15 ∑ 𝑥 + 200(10) 200

𝑥̅𝐴 = 470 Se tiene $94000

¿Qué es más conveniente para la empresa?

a) 200(475) = 95 000 b) 200(475) = 94 000

Es más conveniente la alternativa b.

Ejercicio 11 de la página 58

11. En un informe (que se supone que es correcto) sobre sueldos de empleados del estado en todo el país, una empresa de estudios de mercado publica la siguiente tabla: EMPLEADOS (%) SUELDOS ($)

CLASE A 10% 2500

CLASE B 25% 1500

CLASE C 35% 500

CLASE E 30% 200

Y concluye diciendo que la “la media de los sueldos en todo el país es $1175” ¿Qué comentario merece el informe? Si no está de acuerdo con el informe ¿Cuál sería la corrección? No estoy de acuerdo con la conclusión del informe, el dato es erróneo, dado que el correcto es el siguiente: (10%x$2500 + 25%x$1500 + 35%x$500 + 30%x$200) 100% x̅ = $860 x̅ =

La media correcta del informe es $860

¿Es la media en este caso el promedio representativo?, si no está de acuerdo, ¿Cuánto es el promedio correcto?

Ejercicio 14 de la página 58

14. El sueldo medio de los obreros de una fábrica es de 286 dólares. a- ¿Qué porcentaje de hombres y de mujeres trabajan en la fábrica si sus sueldos medios respectivos son 300 y 260 dólares respectivamente?

Solución: Sea H: hombres y M: mujeres H+M = 100%….(I)

𝑥̅ =

∑ 𝑥𝑖 = 286 𝑛

Reemplazando:

300H + 260M = 286(H+M) 13M = 7H → H = 13K y M = 7K… (II)

Reemplazando (II) en (I) 20K = 100% K = 5% Por lo tanto el 65% son hombres y el 35% son mujeres.

b) Si el 60% de los obreros tienen menos de 30 años y perciben el 20% del total de los sueldos ¿Cuánto es el sueldo medio de los obreros de al menos 30 años?

Solución:

𝑥̅ =

286𝑛 80% = 572 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 40

El sueldo medio de los obreros que al menos tiene 30 años será de 572 dólares.

Ejercicio 20 de la página 59

20. En un estudio comparativo del porcentaje de rendimiento de ciertos bonos se elabora una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales, siendo las marcas de clases primera y quinta 15 y 55 respectivamente. si el 65% de los bonos rinden menos del 40%, el 25% menos del 30%, el 90% menos del 50% y el 95% al menos 20% A) calcule los promedios de rendimiento B) si el 50% de los bonos de mayor rendimiento deben pagar un impuesto, ¿a partir de que rendimiento corresponde pagar el impuesto? c) ¿Es la mediana, el punto entre los cuarteles 1 y 3?

Xi: marcas de clase fi : frecuencias absolutas Si X1 = 15 y X5 = 55 entonces la longitud de los intervalos c=10, de tal manera que las marcas de las clases son: 1 Xi: 15, 25, 35, 45, 55 Con ellos se obtienen los intervalos de clase reales Para obtener las frecuencias absolutas calculemos primero las frecuencias absolutas acumuladas porcentuales menor o igual que (H i %) que son: Si el 65% de los bonos rinden menos del 40%, H%3=65 El 25% menos del 30%, H%2 = 25 El 90% menos del 50%, H%4=90 El 95% al menos 20%, H%1= 5 Obviamente H%5=100 Con ello tenemos que las porcentuales absolutas serán: Hi %: 5, 20, 40, 25, 10

X X+A X+2A X+3A X+4A

X+A X+2A X+3A X+4A X+5A

intervalo [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [40,50)

Xi 15 25 35 45 55

hi ℎ1 ℎ2 ℎ3 ℎ4 ℎ5

Dado que no indican cantidades sino solo porcentajes, puedes asumir que son 100 bonos y las frecuencias absolutas numéricamente coincidirían con las porcentuales ahora ya podemos contestar a las preguntas

A) calcule los promedios de rendimiento Promedio = ∑(Xi . fi) / ni = ∑( Xi .(

𝑓𝑖

) ) = ∑(Xi . hi) = 𝑛

∑(𝑥𝑖 𝐻𝑖%) 100

= 3650 = 36,5 100

Promedio de rendimientos 36,5 %

B) si el 50% de los bonos de mayor rendimiento deben pagar un impuesto, ¿a partir de que rendimiento corresponde pagar el impuesto? Esto correspondería a calcular el límite inferior del 25% superior que es el Cuartil 3 (Q3) si prefieres usar las absolutas con n=100 usa la formula Qk = Lk + { [k(n/4) - Fk-1] / fk } . c Usando la fórmula de cuartiles para series agrupadas usando frecuencias porcentuales Qk = Lk + { [k(25) - H%k-1] / h k % } . c k(25): indicador del cuartil = 3 * 25 = 75 % acumulada se sitúa en la clase 4 Lk : límite inferior real clase del cuartil, en este caso clase 4 = 40

H%k-1: frecuencia porcentual acumulada de la clase anterior a la del cuartil, en este caso de la clase 3 = 65 h k %: frecuencia porcentual de la clase del cuartil, en este caso de la clase 4 = 25 c: longitud del intervalo de la clase del cuartil, clase 4 = 10 Entonces: Q3 = 40 + { [75 - 65]/25 } * 10 Q3 = 44 Corresponde pagar entonces a partir de un rendimiento del bono del 44%

c) ¿Es la mediana, el punto entre los cuartiles 1 y 3? Efectivamente la mediana ES el cuartil 2, corresponde al valor que divide al 50% del total de frecuencias, el 50% se encuentra por encima de ella y el otro 50 por debajo de ella.

Ejercicio 18 de la página 59

18. Los sueldos de una empresa varían de 300 a 800 pesos distribuidos en forma simétrica en 5 intervalos de igual amplitud, con el 15% 20% y 30% de cass en el primer, segundo y tercer intervalo respectivamente. Calcule los diferentes a) indicadores de tendencia central b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior ¿a partir de que sueldo se paga impuestos?

intervalos [300- 400) [400 – 500) [500 – 600) [600 – 700) [700 – 800)

A=

800−300 5

= 100

𝑥𝑖 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5

ℎ𝑖 0.15 0.20 0.30 0.20 0.15

𝐻𝑖 0.15 0.35 0.65 0.85 1

350 (0,15) + 450 (0,20) + 550 (0,3) + 650 (0,20) + 750 (0,15) = 52,5 + 90 + 165 + 130 + 112,5 = 550

𝑎) 𝑥̅ = 𝑥̂ = 𝑀0 = 550 porque es simétrica

𝑏) Impuestos del cuarto superior.

𝑄1

𝑄2

𝑄3

𝑄3 = 𝐿

𝑛 + 𝐻𝑘−1 𝑖 + ( 4 𝐻𝑘 + 𝐻𝑘−1 )𝐴

𝑄3 = 𝐿𝑖 + (

0.75 + 0.65 ) 100 0.85 + 0.65

→

𝑄3=650

Ejercicio 5 de la página 82

5. La media y la desviación estándar de los sueldo de N empleados de una fábrica con 500 y 30 respectivamente. A cada uno de los empleados se les dará un aumento de A % de su sueldo más una bonificación de B soles. Halle A y B de tal manera que la media de los nuevos sueldos modificados sea 600 y su desviación estándar sea 33.

𝑥 = 500

y

𝑆𝑥 = 30

El aumento es representado por:

𝑦 = (0.01𝐴)𝑥 + B POR ENDE:

ADEMÁS:

𝑦 = (0.01𝐴)𝑥 + B

𝑆𝑦2 = (0.01𝐴)2 𝑆

600 = (0.01𝐴)500 + B

332 = (0.01𝐴)2 (30)2

100 = 5A + B

1.1 = 1+0.01A

100 = 5(10) + B

0.1 = 0.01A

B = 50

10 = A

𝑥2

Ejercicio 8 de la página 82

8. los sueldos de 100empleados de una empresa tienen un media de 300 dólares y una desviación estándar de 50. Se proponen dos alternativas de aumento: a) 75 a cada uno ii) 15% del sueldo más 20$ a cada uno. ¿Cuál alternativa es más conveniente, a) Si la empresa dispone solo de $37,000 para pagar sueldos? b) Si la empresa quiere homogeneizar los sueldos? PARA EL PRIMER CASO:

PARA EL SEGUNDO CASO:

𝑥 = 300

𝑥 = 300

𝑆𝑥 = 50

∧

∧

𝑆𝑥 = 50

𝑌 = 𝑋 + 75

z = 1.15X + 20

𝑦̅ = 𝑥̅ + 75

𝑧̅ =1.15𝑥 + 20

= 300+75

𝑦̅ = 375

∧

𝑆2𝑦 = 𝑆2𝑥 𝑆𝑦 = 𝑆𝑥

=1.15 (300) + 20 𝑧̅ = 365

∧

𝑆2 𝑧 (1.15)2 𝑆 2 𝑥 𝑆 2 𝑧 = 1.3225(50)2

𝑆𝑦 = 50

𝑆𝑧 = √3306.25 𝑆𝑧 = 57.5

∑ 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜𝑠 = 𝑛𝑦̅ = 100(375) ∑ 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜𝑠 = $37500

∑ 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜𝑠 = 𝑛𝑧̅ = 100(365)

∑ 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜𝑠 = $36500

Si la empresa solo dispone de $ 37000 para pagar los sueldos es más conveniente la segunda alternativa ya que esta no supera dicho monto.

Si la empresa desea homogeneizar los sueldos es preferible elegir b primero ya que la desviación estándar es menor que la segunda. (𝐒𝐲 >S𝐳 )

𝑆𝑦 𝑌̅

𝐶𝑉𝑦 = =

50 375

𝐶𝑉𝑦=𝑜.133

𝐶𝑉𝑧 = =

𝑆𝑧 𝑍̅ 57.5 365

𝐶𝑉𝑧=0.157

También se demuestra con el coeficiente de variabilidad que los sueldos del primer caso serían más homogéneos que los del segundo (𝐂𝐕𝐲
Ejercicio 14 de la página 83 14. El costo de producción X de una muestra de cierto tipo de objeto tiene una desviación estándar de $30. El costo medio de producción es de $250 para el 60% de la muestra y de $200 para el resto. Si su precio de venta en dólares está dado por la relación Y=1.1X+10. Calcule la media y la varianza de la venta de la Muestra.

Solución:

Var (𝑃𝑣 ) = 𝑆 2 𝑃𝑣

Tenemos:

Entonces:

𝑃̅𝐶 = 0.6 (250) + 0.4 (200)

𝑃𝑣 = 1.10 𝑃𝑐 + 10

= (1.105𝑃𝑣 )2

𝑃̅𝑣 = 1.10𝑃̅𝑐 + 10

= 150 + 80 𝑃̅𝐶 = $230

= (1.10𝑥30)2 = 332

= 1.10 (230) + 10

Var (𝑃𝑣 ) = 1089$2

𝑃̅𝑣 = $263

Ejercicio 20 de la página 84

5. Los sueldos en dólares de 50 empleados de una empresa se dan en la siguiente tabla: Sueldos empleados

[60 – 100) 8

[100 – 140) 10

[140 – 180) 20

[180 – 220) 7

[220 – 260) 5

Se plantean dos alternativas de aumento: La primera consiste en un aumento general de $50. La segunda consiste en un aumento general del 30% del sueldo además Una bonificación de $10. a) ¿Cuál de las dos propuestas conviene a los trabajadores si el interés a1) subir la media de los sueldos?, a2) bajar la dispersión de los sueldos b) ¿Es la mitad inferior de los sueldos más homogénea que la mitad superior?

Solución: sueldos [60 – 100) [100 – 140) [140 – 180) [180 – 220) [180 – 220) [220 – 260)

𝑚𝑖 80 120 160 200 240

Empleados 8 10 20 7 5 50

𝑓𝑖 640 1200 3200 1400 1200 7640

𝑓𝑖 (𝑚2 𝑖 ) 51200 144000 512000 280000 288000 1275200

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO’’ Facultad de Ciencias Económicas Administrativas y Contables Escuela Académico Profesional de Comercio y Negocios Internacionales

ASIGNATURA:

ESTADÍSTICA GENERAL

AUTOR:

CORDÓVA VÁSQUEZ BRIAN MANUEL

DOCENTE:

RODAS CABANILLAS JOSÉ LUIS

TÓPICO:

EJERCICIOS RESUELTOS DE MEDIDAS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN

Curso de verano

2019