Trabajo De Karla
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAÑ DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NUCLEO MIRANDA – SEDE LOS TEQUES SECCION 102
SISTEMA LINEAL (TEMA 3 Y 4)
INTEGRADO POR:
KARLA TOVAR
LOS TEQUES, JULIO 2009.
C.I.: 18.235.268
3.- ANALISIS TEMPORAL DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.
3.1.- Función respuesta impulsiva:
La respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que se presenta en la salida frente a una señal muy breve, o impulso, en la entrada. Mientras que un impulso es un concepto difícil de imaginar, y es imposible en la realidad, éste representa el caso límite de un pulso infinítamente corto en el tiempo pero que mantiene su área o integral (por lo cual tiene un pico de amplitud infinitamente alto). Aunque es imposible en cualquier sistema real, es un concepto útil como idealización. Bases matemáticas Matemáticamente, un impulso puede ser representado por una función Delta de Dirac. Supongamos que T es un sistema discreto, es decir, que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]: Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a través de los números enteros), produciendo nuevas sucesiones. Tener en cuenta que T no es el sistema, sino una representación matemática del sistema. T puede ser no lineal, por ejemplo:
o lineal, como: . Supongamos que T es lineal. Entonces y Supongamos también que T es invariante en el entorno, es decir que si entonces . En tal sistema cualquier salida puede calcularse en términos de la entrada y en una sucesión muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo. Esto puede verse de la siguiente manera: Tomando la identidad
y aplicando T en ambos lados
Por supuesto, esto tiene sentido sólo si
cae en el dominio de T. Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] está dada por podemos escribir
Reemplazando obtenemos finalmente
La sucesión
es la respuesta a impulso del sistema representado por T. Como
se observa arriba, es la salida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto. Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo continuo. Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto, ubicado en un punto p. El globo explota y hace un sonido similar a un "pum". Aquí el recinto es un sistema T que toma el sonido "pum" y lo dispersa a través de múltiples reflexiones. La entrada δp[n] es el "pum", similar (debido en parte a su corta duración) a un delta de Dirac, y la salida es la sucesión del sonido afectado por el sistema, y depende de la ubicación (punto p) del globo. Si conocemos para cada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del salón, y es posible predecir la respuesta del mismo a cualquier sonido producido en él.
3.2.- Respuesta temporal de los sistemas de 1er y 2do orden ante entrada de prueba tipo escalón y tipo rampa:
.- Respuesta del sistema a una entrada del tipo escalón Una señal de entrada del tipo escalón permite conocer la respuesta del sistema frente a cambios abruptos en su entrada. Así mismo, nos da una idea del tiempo de establecimiento de la señal, es decir, cuanto se tarda el sistema en alcanzar su estado estacionario. Otra de las características de esta señal es que producto de la discontinuidad del salto, contiene un espectro de frecuencia en una amplia banda lo cual hace que sea equivalente a aplicar al sistema una gran cantidad de señales senoidales con un intervalo de frecuencias grande. Matemáticamente, esta señal se expresa como: Donde u(t):escalón unitario; A: constante
.
En la figura que se muestra a continuación A = 3 y .- Respuesta del sistema a una entrada del tipo rampa Esta señal permite conocer cual es la respuesta del sistema a señales de entrada que
cambian linealmente con el tiempo. Matemáticamente se representa como: Donde t:tiempo; A: constante
.
.- Respuesta temporal .- Sistema de primer orden .- Sistema de primer orden sin retardo Un sistema de primer orden se puede modelar por la siguiente ecuación diferencial ordinaria.
Para calcular su función de transferencia aplicamos transformada de laplace y consideramos la condición inicial nula
Una vez aplicada la transformada a cada uno de los términos de la ecuación diferencial tenemos. sY(s) − y(0) + a0Y(s) = b0U(s) Factorizando y escribiendo en forma de función de transferencia. Y(s)[s + a0] = b0U(s)
La función de transferencia también puede ser escrita de la siguiente forma
, La constante k es la ganancia de estado estacionario, la cual nos entre a el valor que toma la respuesta del sistema para un tiempo tendiendo a infinito. La constante τ es la constante de tiempo, la cual nos indicara el tiempo en el cual el sistema tiene un 63,21% del valor en estado estado estacionario. Se puede observar que este tipo de
sistemas tiene un polo que es .- Sistema de primer orden con retardo .- Sistema de segundo orden Un sistema de segundo orden tiene como función de transferencia a la siguiente ecuación:
Donde: ωn: frecuencia natural de oscilación,ξ:Coeficiente de amortiguamiento y k: la ganancia de estado estacionario. La ganancia de estado estacionario corresponde al valor constante que toma el sistema para un tiempo muy grande. Puede ser calculada a través del teorema final del límite de la función de transferencia F(s).
La respuesta del sistema depende de las raíces del denominador (polos del sistema). Para un sistema de segundo orden los polos se expresan como:
Dependiendo del valor ξ, los sistemas de segundo orden presentan distintos
comportamientos. Tal como se observa en la figura cuando ξ = 0 (curva de color azul) las oscilaciones continuarán indefinidamente. Para valores mayores de ξ se obtiene un decaimiento más rápido de las oscilaciones, pero con un ascenso más lento de la respuesta (La curva en verde tiene un valor ξ = 0.1, mientras que para la roja ξ = 0.5. En el caso en el que ξ = 1, el sistema se torna críticamente amortiguado a tal punto que desaparecen las oscilaciones (Ver curva rosada).
3.3.- Respuesta temporal basada en la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia.
Es muy difícil analizar cualitativamente la transformada de Laplace y la transformada Z, ya que al graficar su magnitud y ángulo a su parte real e imaginaria da como resultado varias graficas de superficies de dos dimensiones en espacios de tres dimensiones. Por esta razón, es común el examinar la grafica de la función de transferencia con sus polos y ceros y tratar una vez más una idea cualitativa de lo que hace el sistema. Dada a una función de transformación continua, en el dominio de Laplace, H(s), o en el dominio discreto de Z, H(z), un cero es cualquier valor de s o z para los cuales la función de transferencia es cero, un polo es cualquier valor de s o z para la cual la función de trasferencia es infinita. Lo siguiente da a una definición precisa: Ceros 1. El valor(es) para z donde el numerador de la función de trasferencia es iguala cero 2. Las frecuencias complejas que hacen que la ganancia de la función de transferencia del filtro sea cero.
Polos 1. El valor(es) para z donde el denominador de la función de transferencia es igual a cero 2. Las frecuencias complejas que hacen de la ganancia de la función de transferencia del filtro se infinita.
.- Graficas de los Polos y Ceros Cuando graficamos estos en su plano s o z, representamos los ceros con “o” y los polos con “x”. Vea este modulo para observa detalladamente como graficar los ceros y polos en la transformada-z en el plano-z. Repeticiones de Polos y Ceros Es posible obtener mas de un polo lo cero en el mismo punto. Por ejemplo, la función de transferencia discreta H(z) =z2 tendrá dos ceros en el origen y la función H(s) = 1 s25 Tender 25 polos en el origen.
La Cancelación de Polos y Ceros Un error común es el pensar que la función (s+3) (s−1) s−1
Es la misma que s+3. En teoría son equivalentes, ya que el polo y el cero que se encuentra en s=1 se cancelan mutuamente lo que es conocido como la cancelación de polos y ceros. Sin embargo, piense lo que pasaría si esto fuera una función de transferencia de un sistema que fue creado físicamente con un circuito. En este caso, no es común que el polo y el cero permanezca en un mismo lugar. Un cambio de temperatura, podría causar que ellos se movieran. Si esto pasara se crearía volatilidad en esa área, ya que ocurrió un cambio de infinito en un polo a cero en el cero en una región de señales. Generalmente es una mala manera de eliminar un polo. Una mejor manera de mover el polo a otro lugar es usando la teoría de control 3.4.- Criterio de estabilidad de Routh – Hurwitz.
El teorema de Routh–Hürwitz sirve para comprobar la estabilidad de los sistemas dinámicos. Tal criterio busca las raíces del denominador de la función de transferencia del sistema y las coloca en el semiplano izquierdo o derecho, determinando así la estabilidad del mismo. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable. Este criterio solo vale si la función de transferencia del sistema está en lazo cerrado, si no lo esta, hay que realimentarlo haciendo:
Procedimiento Dado el sistema:
donde G (s) es la ecuación característica de un sistema.
El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1, …, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio de Routh – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismo signo, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será asintóticamente inestable. Como está indicado arriba, tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.
Ejemplo: G(s) = s4 + 5s3 + 3s2 + s + 2
Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.
3.5.- Análisis de error en estado estacionario.
El error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y la salida de un sistema en el límite cuando el tiempo tiende a infinito (e.d. cuando la respuesta ha alcanzado el estado estacionario). El error de estado estacionario dependerá del tipo de entrada (escalón, rampa, etc.) y de (tipo del sistema) que el sistema sea del tipo 0, I, II,... .
Nota: el análisis del error de estado estacionario sólo es útil para sistemas estables. Es responsabilidad suya verificar que el sistema sea estable antes de desarrollar un análisis del error de estado estacionario. Muchas de las técnicas que se presentan devolverán una respuesta aún cuando el sistema es inestable; obviamente esta respuesta carece de sentido para un sistema inestable Cálculo de errores de estado estacionario Antes de exponer acerca de las relaciones entre error de estado estacionario y tipo del sistema, se mostrará cómo calcular el error sin importar el tipo del sistema o la entrada empleada. Entonces, derivaremos las fórmulas a aplicar en el análisis de error de estado estacionario. El error de estado estacionario puede calcularse de la función de transferencia a lazo cerrado o abierto para sistemas con realimentación unitaria. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente sistema:
el cual es equivalente al siguiente sistema:
Podemos calcular el error de estado estacionario para este sistema ya sea de la función de transferencia a lazo cerrado o abierto mediante el teorema del valor final (recuerde que este teorema solo puede aplicarse sí el denominador no tiene polos en el semiplano derecho):
Ahora, introduzcamos las transformadas de Laplace de las diferentes entradas para hallar las ecuaciones que nos permitan calcular los errores de estado estacionario a partir de las funciones de transferencia a lazo abierto frente a diferentes entradas: •
Entrada Escalón (R(s) = 1/s):
•
Entrada Rampa (R(s) = 1/s^2):
•
Entrada Parabólica (R(s) = 1/s^3):
Cuando se diseña un controlador, normalmente se quiere compensar el sistema frente a perturbaciones. Digamos que tenemos el siguiente sistema con una perturbación:
podemos encontrar el error de estado estacionario para una entrada perturbación de un escalón con la siguiente ecuación:
Finalmente, podemos calcular el error de estado estacionario para sistemas con realimentación no unitaria:
Manipulando los bloques, podemos modelar el sistema como sigue:
Ahora, simplemente aplique las ecuaciones que mencionáramos arriba. Tipo del sistema y error de estado estacionario Si se refiere de nuevo a las ecuaciones para el cálculo de errores de estado estacionario para sistemas con realimentación unitaria, hallará que tenemos definidas ciertas constantes ( conocidas como las constantes estáticas de error). Estas constantes son la constante de posición (Kp), la constante de velocidad (Kv), y la constante de aceleración (Ka). Sabiendo el valor de estas constantes además del tipo del sistema, podemos predecir si el sistema va a tener un error de estado estacionario finito. Primero, hablemos de el tipo sistema. el tipo del sistema se define como la cantidad de integradores puros en un sistema. Esto es, el tipo del sistema es igual al valor de n cuando el sistema se representa de la siguiente forma:
Por lo tanto, un sistema puede ser de tipo 0, de tipo 1, etc. Ahora, observemos cómo se relaciona un error de estado estacionario con el tipo de los sistemas:
Formula de error de estacionario Constante Estática del Error Error
estado
sistemas de tipo 1 Formula de estacionario
error
de
estado
Entrada Escalón
Entrada Rampa
Entrada Parabólica
1/(1+Kp)
1/Kv
1/Ka
Kp = constante Kv = 0 1/(1+Kp) infinito
Ka = 0 infinito
Entrada Escalón
Entrada Rampa
Entrada Parabólica
1/(1+Kp)
1/Kv
1/Ka
Constante Estática del Error Error
Kp = infinito 0
Kv = constante Ka = 0 1/Kv infinito
sistemas de tipo 2
Entrada Escalón
Entrada Rampa
Entrada Parabólica
1/(1+Kp)
1/Kv
1/Ka
Kp = infinito 0
Kv = infinito 0
Ka = constante 1/Ka
Formula de error de estacionario Constante Estática del Error Error
estado
Encontrar los requerimientos de error de estado estacionario Dado el siguiente sistema,
donde G(s) es: K*(s + 3)(s + 5) -------------------------s (s + 7)(s + 8) encontrar el valor de K de modo que hay un error de estado estacionario a lazo abierto del 10%. Ya que este sistema es de tipo 1, no habrá error de estado estacionario frente a entrada escalón y un error infinito frente a entrada parabólica. La única entrada que arrojará un error de estado estacionario finito en este sistema es un entrada rampa. Observemos la respuesta frente a entrada rampa para una ganancia de 1: num = conv( [1 5], [1 3]); den = conv([1,7],[1 8]); den = conv(den, [1 0]); [clnum,clden] = cloop(num,den); t = 0:0.1:50; u = t; [y,x] = lsim(clnum,clden,u,t);
plot(t,y,t,u) xlabel('Tiempo(seg)') ylabel('Amplitud') title('entrada-magenta, salida-amarillo')
El error de estado estacionario para este sistema es muy largo, ya que podemos ver que la entrada en el tiempo = 20 proporciona una salida con amplitud de aproximadamente 16. Hablaremos de esto con mayores detalles en seguida. Sabemos por lo que establece nuestro problema que el error de estado estacionario debe ser 0.1. Por lo tanto, podemos resolver el problema siguiendo estos pasos:
Veamos la respuesta frente una entrada rampa para K = 37.33: k =37.33 ; num =k*conv( [1 5], [1 3]); den =conv([1,7],[1 8]); den = conv(den,[1 0]); [clnum,clden] = cloop(num,den);
t = 0:0.1:50; u = t; [y,x] = lsim(clnum,clden,u,t); plot(t,y,'y',t,u,'m') xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Amplitud') title('entrada-magenta, salida-amarillo')
Para obtener una mejor visión, debemos agrandar la respuesta. Elegimos para acercar entre 40 y 41 seg. porque seguramente que para entonces el sistema habrá alcanzado su estado estacionario y además podremos obtener una buena apreciación de la entrada y la salida. axis([40,41,40,41])
La amplitud es 40 en t = 40 para nuestro entrada, y para nuestra salida en t = 40.1. Sin embargo, como estas son líneas paralelas en estado estacionario, podemos decir también que cuando t = 40 la salida tiene una amplitud de 39.9, dándonos un error de estado estacionario de 10%. Magnifiquemos más esta figura y confirmemos esa aseveración: axis([39.9,40.1,39.9,40.1])
Ahora modifiquemos el problema un poco más y digamos que nuestro sistema se ve como sigue:
Nuestro G(s) es el mismo, pero ahora queremos error de estado estacionario cero frente a entrada rampa. De las tablas, sabemos que un sistema de tipo 2 nos da error de estado estacionario cero frente a entrada rampa. Por lo tanto, podemos tener error de estado estacionario cero simplemente agregando un integrador (un polo en el origen). Veamos la respuesta frente a entrada rampa unitaria si agregamos un integrador y usamos una ganancia unitaria: num =conv( [1 5], [1 3]); den =conv([1,7],[1 8]); den = conv(den,[1 0]); %un integrador... den = conv(den,[1,0]); % más el otro %(pudiera haber puesto conv(den,[1 0 0]) una sola vez...) [clnum,clden] = cloop(num,den); t = 0:0.1:250; u = t; [y,x] = lsim(clnum,clden,u,t); plot(t,y,t,u) xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Amplitud') title('entrada-purple, salida-yellow') % N. del T.:colores válidos para la versión 4.2
como puede ver, la respuesta no es de las más deseables (podemos ver oscilaciones a los 100 seg. , pero debería hacer zoom in para verlo). Sin embargo, en estado estacionario tenemos error cero. Magnifiquemos en la zona de los 240 seg. (confíe, no se había llegado al estado estacionario hasta entonces):
axis([239.9,240.1,239.9,240.1])
como puede ver, el error de estado estacionario es cero. Siéntase libre para acercar en diferentes áreas del diagrama y observe cómo la respuesta se aproxima al estado estacionario. 4.- MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES.
4.1.- Introducción
El lugar de las raíces es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo. El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto. El lugar de raíces se puede decir que es también una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad. (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).) El método del L.G.R. es una técnica gráfica para determinar los polos de la F. de T. en L.C. h(s) a partir de la F. de T. en L.D. l(s) conforme varía uno de los parámetros del sistema. Este método proporciona un gráfico que permite estudiar,
- estabilidad
------ polos en el S.P.I./S.P.D..
- dinámica
------ ubicación de polos en el diagrama (complejos: oscilaciones).
- estado estacionario ------ error en estado estacionario en el diagrama (polos en el origen). - sensibilidad
------- variación del L.G.R. en función de algún parámetro.
- diseño
------- ubicación de los polos.
4.2.- Diagrama de lugar de las raíces. Sea un sistema para el que se conoce su función de transferencia de lazo abierto (G·H), habiendo sido obtenida, por ejemplo, mediante el diagrama de Bode de forma experimental. Se añade al sistema un término proporcional (Kc) como parámetro variable para determinar el diagrama del lugar de las raíces, siendo entonces la función de transferencia de lazo cerrado la que se indica en la siguiente figura. El denominador de la función de transferencia de lazo cerrado, igualado a 0, recibe el nombre de "ecuación característica", y, como pronto veremos, es la referencia para determinar el lugar de las raíces. La función de lazo abierto puede estar compuesta por factores y retardos de primero y segundo orden, factores integrales y derivativos, un factor proporcional o ganancia (Kg), y, si existe y se quiere tener en cuenta, un tiempo muerto. Excepto el término proporcional (Kg) y el tiempo muerto, todos los demás pueden expresarse en función de sus raíces como se indica en la tabla de la figura, aunque en los casos de factores integrales y derivativos sus raíces son 0. Los factores y retardos de primero y segundo orden añaden un factor de conversión para que su ganancia se mantenga igual a 1 cuando se expresan en función de sus raíces. Estos factores de conversión coinciden con sus correspondientes frecuencias de cruce si son de primer orden, o con el cuadrado de sus frecuencias naturales si son de segundo orden. Los factores de conversión se multiplican o dividen (según corresponda) para determinar una sola constante, llamada C en la figura. Las raíces del numerador de la función de lazo abierto reciben el nombre de "ceros" y han sido identificadas como z1, z2, etc. Las raíces del denominador reciben el nombre de "polos" y han sido identificadas como p1, p2, etc.
Con los conceptos que acaban de ser definidos, ya podemos decir que el lugar de las raíces se forma con las trayectorias que siguen los polos de lazo cerrado, a medida que la ganancia Kc varía desde 0 hasta infinito. Nótese que los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica, ya que por ser el denominador de la función de lazo cerrado, sus raíces se consideran polos. La ecuación característica, expresada en función del numerador y denominador de la función de lazo abierto y haciendo común denominador, resulta un cociente de polinomios, que, al ser igual a 0, puede quitarse el denominador y quedar en la forma recuadrada según la figura anterior, es decir: den+Kc·num = 0. El lugar de las raíces comienza en las raíces de la ecuación característica cuando Kc es igual a 0, de lo que resultará: den+0·num = 0 y por lo tanto: den = 0. Como den es el denominador de la función de lazo abierto, se concluye que el lugar de las raíces comienza
en los polos de la función de lazo abierto (p1, p2...), ya conocidos. El lugar de las raíces finalizará cuando Kc sea infinito, de lo que resultará: den+infinito·num = 0. Cualquier valor de "s" que no coincida con una raíz del polinomio num, hará a num distinto de 0 y por lo tanto, infinito·num será infinito o -infinito. Este resultado, sumado a den, no puede ser cero y no cumplirá la ecuación característica. Por lo tanto, las raíces cuando Kc llegue a infinito solo pueden ser las del polinomio num, es decir, los ceros de la función de lazo abierto (z1, z2...), ya conocidos. El primer paso para construir el lugar de las raíces será dibujar los polos y ceros de la función de lazo abierto, puesto que, como se ha dicho, comenzará en los polos y terminará en los ceros. Cada valor intermedio de Kc entre 0 e infinito hace que la ecuación característica cambie y será muy costoso resolver una cantidad suficiente de "ecuaciones características" como para definir con claridad los recorridos que siguen sus raíces. Además, si el grado de la ecuación característica es elevado, se añade otra dificultad porque es difícil resolver ecuaciones con grado superior a 3. Estas dificultades pueden superarse si los cálculos los hace un ordenador, de modo que se añade un programa que hará el trabajo pesado por nosotros: Análisis de una función de transferencia Supongamos que se desea interpretar la función de transferencia que se muestra en la siguiente figura, obtenida experimentalmente con diagrama de Bode o bien por otro procedimiento, como un modelo matemático, un diagrama de bloques, etc. Los factores que la forman se describen en la columna izquierda: Un integrador, al que corresponderá un polo (p1) en el origen. Un retardo de segundo orden del que se conoce su frecuencia natural y su relación de amortiguamiento, resultando los polos p2 y p3. Un retardo de primer orden del que se conoce su frecuencia de cruce, resultando el polo p4. Un factor de segundo orden del que se conoce su frecuencia natural y su relación de amortiguamiento, resultando los ceros z1 y z2. Una ganancia del sistema igual a 1, por lo que no tiene efecto en la función de transferencia. Por último, un parámetro Kc variable, con el que construir el lugar de las raíces.
Aunque el factor Kc quedará multiplicado por la ganancia del sistema, resultando un solo factor, se ha preferido distinguirlos porque Kc no forma parte del sistema sino del controlador. El programa de cálculo que se ha utilizado también los diferencia, de modo que el valor de Kc, que se calcula cuando se pulsa con el ratón en un punto del diagrama, ya es igual a la ganancia que se debe añadir con el controlador, a fin de que el sistema se comporte con las características del punto pulsado. Con el programa abierto, ya solo falta introducir los ceros y polos que se han determinado y pulsar "Ejecutar trazado", resultando el diagrama que se ha mostrado en la
figura anterior. Pulsando con el ratón en cualquier punto de las trayectorias, el programa indica las coordenadas (sigma y omega) del punto pulsado y la ganancia Kc que corresponde al punto. Así se ha comprobado los puntos marcados en rojo en la figura, y con los valores de Kc resultantes se han sacado las conclusiones que muestra la figura en la columna derecha. Hay que tener claro que para cada valor de Kc habrá 4 polos de lazo cerrado que se corresponden con ese valor, ya que existen 4 trayectorias que comienzan en los polos de lazo abierto que se han introducido. Recordar igualmente que cada trayectoria comienza en un polo de lazo abierto con Kc igual a 0, que los polos de lazo cerrado van recorriendo las trayectorias a medida que aumenta Kc, y que llegarán al final de las trayectorias cuando Kc se haga infinito, siempre en los ceros introducidos, o bien en el infinito si no existían suficientes ceros. En el ejemplo hay dos trayectorias que se dirigen al infinito porque había 4 polos pero solo dos ceros, de modo que los otros dos ceros están en el infinito. Las posiciones de los polos de lazo cerrado (4 en el ejemplo) para un valor de Kc, tienen las propiedades que ya conocemos sobre estabilidad, frecuencia natural y relación de amortiguamiento. Sin embargo, habrá un solo polo, o dos en caso de ser conjugados, los que dominan el comportamiento del sistema, y serán los que más cerca se encuentren del eje imaginario. En el ejemplo, se han marcado en rojo los 4 polos de lazo cerrado que corresponden con Kc = 27.52, resultando dominantes los dos conjugados que coinciden en el eje imaginario, por lo tanto, un valor de Kc igual a 27.52 llevará al sistema al límite de la estabilidad. La conclusión final solo puede ser que este sistema necesita una compensación o cambio que mejore su comportamiento. El controlador que se aplique necesitará algo más que una ganancia (Kc) para conseguir resultados en un sistema que demuestra ser "desastroso" a efectos de regulación. Naturalmente, el lugar de las raíces puede ser ampliado con nuevas acciones en el controlador que modifiquen las trayectorias y den como resultado un mejor comportamiento. Otra posibilidad, en lugar de modificar las trayectorias, es que el controlador anule o "cancele" ciertas características negativas del sistema y añada otras mejores. Correcciones en el sistema: La primera parte de la siguiente figura muestra el efecto de añadir dos ceros próximos al origen. Demuestra un cambio radical en la estabilidad del sistema, ya que las trayectorias que antes pasaban a la derecha del eje imaginario, ahora se distancian por la izquierda y el sistema será estable para cualquier valor de Kc. Se consigue un desplazamiento a la izquierda añadiendo uno o más ceros y el efecto es mayor cuanto más se acerquen hacia la derecha los ceros añadidos. Este tipo de compensación es en adelanto y se consigue con factores que añaden ceros como es el caso de los factores derivativos y los factores de primero y segundo orden. El desplazamiento a la izquierda aumenta (generalmente) la distancia al origen y con ello la velocidad de respuesta también aumenta. El caso contrario de añadir polos es una compensación en atraso y tiene el efecto de desplazar las trayectorias hacia la derecha.
La compensación en atraso acerca a la inestabilidad y disminuye la velocidad de respuesta, pero mejora la precisión estática. La compensación en adelanto aumenta la velocidad y estabilidad, pero disminuye la precisión estática. Por lo tanto, no es posible mejorar a la vez la velocidad y la precisión, sino que debemos buscar el mejor equilibrio posible entre ambas. Un controlador puede diseñarse para que trabaje como compensador en atraso o en adelanto de forma configurable, por ejemplo con un cero y un polo cuyas posiciones dependan de algún parámetro, se puede hacer que el cero quede a la derecha o a la izquierda del polo y, lógicamente, compensará en adelanto si el cero queda a la derecha del polo y compensará en atraso en caso contrario. Así mismo, la distancia al origen del cero y del polo determinará la intensidad en el atraso o adelanto.
La compensación en adelanto que ha sido añadida en el ejemplo, a pesar de haber hecho al sistema estable, no es la más adecuada porque todavía está limitada la relación de amortiguamiento, ya que el ángulo beta no puede ser menor que el dibujado en la figura. Además, la proximidad al origen de uno de los ceros, prácticamente cancela el polo en el origen y por ello quedará muy resentida la precisión estática. Un cero y un polo muy cercanos o coincidentes hace que sus acciones se contrarresten y que apenas tengan efecto en la respuesta. Esto puede ser otra forma de corregir un sistema (cancelando polos perjudiciales) y demuestra ser más acertado en el ejemplo que seguimos, ya que como vemos en la segunda parte de la figura anterior, al añadir dos ceros coincidentes con los dos polos conjugados, se consigue un cambio radical del comportamiento: Aumenta la distancia al origen y, por lo tanto, también aumenta la velocidad. Se mantiene estable para cualquier valor de Kc, y la relación de amortiguamiento será perfectamente ajustable porque el ángulo beta mínimo puede llegar a cero grados. En la figura se ha marcado un punto que corresponde a una relación de amortiguamiento igual a 0.7 aproximadamente (coseno de beta igual a 0.7), siendo beta igual al arco cuya tangente es el cociente entre las coordenadas del punto (omega y sigma). 4.3.- Reglas generales para el método del lugar de las raíces.
Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin resolver la ecuación característica, permitiendo que el método sea aplicable a sistemas complejos. Se basan en el desarrollo de R. Evans, publicado en 1948, y por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans.
Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de raíces para valores de k positivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas similar. En lo que sigue, nos referimos a la función de transferencia a lazo abierto. 1. Número de ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la función de transferencia a lazo abierto. 2. Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de raíces es simétrico respecto al eje real. 3. Polos de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a k = 0. 4. Ceros de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto
pertenecen al lugar de raíces y corresponden a . Si hay t polos más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida que k se aproxime a infinito. 5. Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando entre
ellas un ángulo de , donde aproxima a estas asíntotas a medida que k tiene a infinito.
. El lugar de raíces se
6. Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se intersecan se suele llamar el centroide de las asíntotas, se denota mediante σ0, y se calcula
mediante cantidad de ceros.
, donde t = n − m, siendo n la cantidad de polos y m la
7. Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces. 8. Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación característica, y se dan en los
valores de s para los cuales se verifica
.
9. Intersección con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuación característica para s = jω. 10. Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos. La pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos de la función de transferencia a lazo abierto se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relación
. 11. Cálculo de k en un punto del lugar de raíces. El valor absoluto de k que corresponde a un punto dado del lugar de raíces puede determinarse midiendo el módulo de cada segmento que une cada polo y cero de la función de transferencia a
lazo abierto y el punto en cuestión, y evaluando así
.
EJERCICIO 1 TEMA 3. Respuesta escalón unitario con MATLAB
Tenemos dos sistemas con las siguientes funciones de transferencia:
sys1:
y sys2:
.
Realizar con MATLAB una gráfica donde veamos la respuesta de los dos sistemas ante un escalón unitario con un tiempo de simulación de 30s. También representar en la misma gráfica, la función escalón unitario. %---------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB %En este ejemplo veremos el uso del comando step %---------------------------------------------------------------------%Definición de los sistemas: sys1=tf([1],[1 0.5 1]); sys2=tf([1],[1 0.5 4]); %Representación de la respuesta: t=0:0.01:30; %Respuesta hasta los 30 s. step(sys1,'r', sys2,'g',t);%Representación en la misma grafica %Aplicaremos rejilla y pondremos un titulo con text: grid text(5, 1.4,'Respuesta de dos sistemas','FontSize',13); %Representación de la entrada t0 = -2.0:0.01:-0.01; % definición u(t)=0, -2<=t<=-.01 u0 = zeros(size(t0)); t1 = 0:0.01:30; % definición u(t)=1, 0<=t<=25 u1 = ones(size(t1)); t = [t0 t1]; % creamos t and u(t) u = [u0 u1]; hold on plot(t,u); legend('Sistema 1','Sistema 2','Escalón unitario');
EJERCICIO 2 TEMA 3 Polos y Ceros. Encuentre los polos y ceros de la función de trasferencia H(s) = s2+6s+8 s2+2 y grafique los resultados en el plano-s. Lo primero que tenemos que reconocer que la función de transferencia será igual a cero cuando lo de arriba, s2+6s+8, sea igual a cero. Para encantar que esto iguala a cero factorizamos esto para obtener, (s+2) (s+4. Esto da a ceros en s=-2 y s=-4. Si esta función hubiera sido mas complicada, talvez tendríamos que usar la formula cuadrática. Para los polos, tenemos que reconocer que la función de transferencia será infinita cuando la parte de abajo es cero. Esto sucede cuando s2+2 es cerro para encontrar esto,
tenemos que factorizar la función esto nos da (s+ⅈ
Lo que significa que tenemos raíces imaginarias de +ⅈ
2. Al graficar esto nos da:
Figura 1: Muestra de la Grafica
2) (s−ⅈ
2.
2 y − ( ⅈ
Ya que hemos encontrado y graficado los polos y cero, tenemos que preguntarnos que es lo que nos dice esta grafica. Lo que podemos deducir es que magnitud de la función de trasferencia será mayor cuando se encuentre cerca de los polos y menos cuando se encuentre cerca de los ceros. Esto nos da un entendimiento cualitativo de lo que el sistema hace en varias frecuencias y es crucial para la función de estabilidad.
EJERCICIO 3 TEMA 4. Error Estacionario Sea el sistema de realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:
Calcular : a) los tres primeros coeficientes estáticos de error. b) Los tres primeros coeficientes dinámicos de error. c) El error estacionario del sistema al ser excitado por la señal x(t) = e-3t. Respuesta Puesto que el sistema tiene realimentación unitaria tendremos H(s) = 1, y según las definiciones podremos escribir:
Coeficiente estático de error de posición
Coeficiente estático de error de velocidad:
Coeficiente estático de error de aceleración
Para obtener los coeficientes dinámicos de error consideramos la función:
y a partir de ahí tenemos:
El error estacionario del sistema vendrá dado por:
donde representan los valores estacionarios de la excitación y de sus derivadas. En nuestro caso, el valor estacionario de la excitación y sus derivadas es nulo por tenerse:
Así pues, el error estacionario será nulo.
EJERCICIO 4 TEMA 4: Lugar de las raíces.
Según el diagrama de la figura, a)Obtener el lugar de las raíces b) Determinar el valor de K, a partir del cual: –
el sistema es inestable
–
el sistema presenta sobre oscilación para una entrada escalón unitario
a) El primer paso es definir las funciones de transferencia G(s), H(s) y G(s)·H(s). Llamaremos a estas funciones sis_g, sis_h y sis_gh, respectivamente. A continuación utilizaremos el sistema sis_gh recién creado como argumento para la instrucción rlocus. Matlab generará un gráfico como el siguiente:
Interpretar el gráfico resultante es sencillo: Muestra la situación en el plano complejo de los polos del sistema realimentado o en cadena cerrada W(s). Cada rama representa la situación de uno de los polos; en este caso aparecen tres ramas dibujadas con tres colores distintos para mayor claridad. Los puntos de comienzo (K=0) de cada rama coinciden con los polos en cadena abierta (cruces sobre el gráfico) y puntos de finalización (K=inf ) de cada rama tienden a infinito en este caso.
Si no se añade ningún parámetro extra, MATLAB elegirá automáticamente los valores de K entre 0 e infinito para los cuales calculará el lugar de las raíces. En determinadas ocasiones interesa elegir manualmente el rango de valores deseado para K. Para ello basta con introducir un nuevo parámetro en rlocus: » rlocus(sis_gh, [0:.1:100]) %K de 0 a 100 a intervalos de 0.1 El resultado:
Si no se desea un resultado gráfico, sino que se desea conocer los valores numéricos de los polos en cadena cerrada para cada valor de K la instrucción a teclear será: [r, k] = rlocus(sis_gh); La variable k contendrá los valores del parámetro K utilizados para el cálculo del lugar de las raíces; la variable r contendrá los polos del sistema para cada valor de K. También es posible comprobar sobre el propio gráfico los valores del parámetro K correspondientes a cada punto del lugar de las raíces. Para ello se emplea la instrucción rlocfind. Esta instrucción, ejecutada a continuación de rlocus, permite pinchar con el ratón sobre un punto cualquiera del lugar de las raíces y obtener el valor del polo más cercano al punto donde se ha pinchado, el valor de K correspondiente a ese polo y la situación del resto de polos para ese valor de K (aparecen marcados en rojo sobre el diagrama): » rlocus(sis_gh) » rlocfind(sis_gh) Select a point in the graphics window A continuación se debe pinchar con el ratón sobre un punto cualquiera del lugar de las raíces:
La repuesta que aparece en la ventana de comandos indica el valor de s en el punto del lugar de las raíces donde se ha pinchado (selected point) y el valor de K correspondiente (ans): selected_point = -1.2558 + 2.3509i ans =
30.6040 Tal y como indica MATLAB, en este caso el punto donde se ha pinchado es s = 1.2558+2.3509j y el valor de K para el cual el sistema presenta ese polo es K = 30.604.
SISTEMA LINEAL (TEMA 3 Y 4)
INTEGRADO POR:
KARLA TOVAR
LOS TEQUES, JULIO 2009.
C.I.: 18.235.268
3.- ANALISIS TEMPORAL DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.
3.1.- Función respuesta impulsiva:
La respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que se presenta en la salida frente a una señal muy breve, o impulso, en la entrada. Mientras que un impulso es un concepto difícil de imaginar, y es imposible en la realidad, éste representa el caso límite de un pulso infinítamente corto en el tiempo pero que mantiene su área o integral (por lo cual tiene un pico de amplitud infinitamente alto). Aunque es imposible en cualquier sistema real, es un concepto útil como idealización. Bases matemáticas Matemáticamente, un impulso puede ser representado por una función Delta de Dirac. Supongamos que T es un sistema discreto, es decir, que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]: Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a través de los números enteros), produciendo nuevas sucesiones. Tener en cuenta que T no es el sistema, sino una representación matemática del sistema. T puede ser no lineal, por ejemplo:
o lineal, como: . Supongamos que T es lineal. Entonces y Supongamos también que T es invariante en el entorno, es decir que si entonces . En tal sistema cualquier salida puede calcularse en términos de la entrada y en una sucesión muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo. Esto puede verse de la siguiente manera: Tomando la identidad
y aplicando T en ambos lados
Por supuesto, esto tiene sentido sólo si
cae en el dominio de T. Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] está dada por podemos escribir
Reemplazando obtenemos finalmente
La sucesión
es la respuesta a impulso del sistema representado por T. Como
se observa arriba, es la salida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto. Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo continuo. Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto, ubicado en un punto p. El globo explota y hace un sonido similar a un "pum". Aquí el recinto es un sistema T que toma el sonido "pum" y lo dispersa a través de múltiples reflexiones. La entrada δp[n] es el "pum", similar (debido en parte a su corta duración) a un delta de Dirac, y la salida es la sucesión del sonido afectado por el sistema, y depende de la ubicación (punto p) del globo. Si conocemos para cada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del salón, y es posible predecir la respuesta del mismo a cualquier sonido producido en él.
3.2.- Respuesta temporal de los sistemas de 1er y 2do orden ante entrada de prueba tipo escalón y tipo rampa:
.- Respuesta del sistema a una entrada del tipo escalón Una señal de entrada del tipo escalón permite conocer la respuesta del sistema frente a cambios abruptos en su entrada. Así mismo, nos da una idea del tiempo de establecimiento de la señal, es decir, cuanto se tarda el sistema en alcanzar su estado estacionario. Otra de las características de esta señal es que producto de la discontinuidad del salto, contiene un espectro de frecuencia en una amplia banda lo cual hace que sea equivalente a aplicar al sistema una gran cantidad de señales senoidales con un intervalo de frecuencias grande. Matemáticamente, esta señal se expresa como: Donde u(t):escalón unitario; A: constante
.
En la figura que se muestra a continuación A = 3 y .- Respuesta del sistema a una entrada del tipo rampa Esta señal permite conocer cual es la respuesta del sistema a señales de entrada que
cambian linealmente con el tiempo. Matemáticamente se representa como: Donde t:tiempo; A: constante
.
.- Respuesta temporal .- Sistema de primer orden .- Sistema de primer orden sin retardo Un sistema de primer orden se puede modelar por la siguiente ecuación diferencial ordinaria.
Para calcular su función de transferencia aplicamos transformada de laplace y consideramos la condición inicial nula
Una vez aplicada la transformada a cada uno de los términos de la ecuación diferencial tenemos. sY(s) − y(0) + a0Y(s) = b0U(s) Factorizando y escribiendo en forma de función de transferencia. Y(s)[s + a0] = b0U(s)
La función de transferencia también puede ser escrita de la siguiente forma
, La constante k es la ganancia de estado estacionario, la cual nos entre a el valor que toma la respuesta del sistema para un tiempo tendiendo a infinito. La constante τ es la constante de tiempo, la cual nos indicara el tiempo en el cual el sistema tiene un 63,21% del valor en estado estado estacionario. Se puede observar que este tipo de
sistemas tiene un polo que es .- Sistema de primer orden con retardo .- Sistema de segundo orden Un sistema de segundo orden tiene como función de transferencia a la siguiente ecuación:
Donde: ωn: frecuencia natural de oscilación,ξ:Coeficiente de amortiguamiento y k: la ganancia de estado estacionario. La ganancia de estado estacionario corresponde al valor constante que toma el sistema para un tiempo muy grande. Puede ser calculada a través del teorema final del límite de la función de transferencia F(s).
La respuesta del sistema depende de las raíces del denominador (polos del sistema). Para un sistema de segundo orden los polos se expresan como:
Dependiendo del valor ξ, los sistemas de segundo orden presentan distintos
comportamientos. Tal como se observa en la figura cuando ξ = 0 (curva de color azul) las oscilaciones continuarán indefinidamente. Para valores mayores de ξ se obtiene un decaimiento más rápido de las oscilaciones, pero con un ascenso más lento de la respuesta (La curva en verde tiene un valor ξ = 0.1, mientras que para la roja ξ = 0.5. En el caso en el que ξ = 1, el sistema se torna críticamente amortiguado a tal punto que desaparecen las oscilaciones (Ver curva rosada).
3.3.- Respuesta temporal basada en la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia.
Es muy difícil analizar cualitativamente la transformada de Laplace y la transformada Z, ya que al graficar su magnitud y ángulo a su parte real e imaginaria da como resultado varias graficas de superficies de dos dimensiones en espacios de tres dimensiones. Por esta razón, es común el examinar la grafica de la función de transferencia con sus polos y ceros y tratar una vez más una idea cualitativa de lo que hace el sistema. Dada a una función de transformación continua, en el dominio de Laplace, H(s), o en el dominio discreto de Z, H(z), un cero es cualquier valor de s o z para los cuales la función de transferencia es cero, un polo es cualquier valor de s o z para la cual la función de trasferencia es infinita. Lo siguiente da a una definición precisa: Ceros 1. El valor(es) para z donde el numerador de la función de trasferencia es iguala cero 2. Las frecuencias complejas que hacen que la ganancia de la función de transferencia del filtro sea cero.
Polos 1. El valor(es) para z donde el denominador de la función de transferencia es igual a cero 2. Las frecuencias complejas que hacen de la ganancia de la función de transferencia del filtro se infinita.
.- Graficas de los Polos y Ceros Cuando graficamos estos en su plano s o z, representamos los ceros con “o” y los polos con “x”. Vea este modulo para observa detalladamente como graficar los ceros y polos en la transformada-z en el plano-z. Repeticiones de Polos y Ceros Es posible obtener mas de un polo lo cero en el mismo punto. Por ejemplo, la función de transferencia discreta H(z) =z2 tendrá dos ceros en el origen y la función H(s) = 1 s25 Tender 25 polos en el origen.
La Cancelación de Polos y Ceros Un error común es el pensar que la función (s+3) (s−1) s−1
Es la misma que s+3. En teoría son equivalentes, ya que el polo y el cero que se encuentra en s=1 se cancelan mutuamente lo que es conocido como la cancelación de polos y ceros. Sin embargo, piense lo que pasaría si esto fuera una función de transferencia de un sistema que fue creado físicamente con un circuito. En este caso, no es común que el polo y el cero permanezca en un mismo lugar. Un cambio de temperatura, podría causar que ellos se movieran. Si esto pasara se crearía volatilidad en esa área, ya que ocurrió un cambio de infinito en un polo a cero en el cero en una región de señales. Generalmente es una mala manera de eliminar un polo. Una mejor manera de mover el polo a otro lugar es usando la teoría de control 3.4.- Criterio de estabilidad de Routh – Hurwitz.
El teorema de Routh–Hürwitz sirve para comprobar la estabilidad de los sistemas dinámicos. Tal criterio busca las raíces del denominador de la función de transferencia del sistema y las coloca en el semiplano izquierdo o derecho, determinando así la estabilidad del mismo. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable. Este criterio solo vale si la función de transferencia del sistema está en lazo cerrado, si no lo esta, hay que realimentarlo haciendo:
Procedimiento Dado el sistema:
donde G (s) es la ecuación característica de un sistema.
El número de cambios de signo de: an, an-1, α1, β1, …, γ1, δ1 (primera columna resultante del criterio de Routh – Hürwitz), nos da la cantidad de elementos que están en el semiplano derecho. Si todos los elementos tienen el mismo signo, el sistema será asintóticamente estable, en cambio, si encontramos cambios de signo, el sistema será asintóticamente inestable. Como está indicado arriba, tendremos tantos polos en el semiplano positivo como variaciones de signo en la primera columna.
Ejemplo: G(s) = s4 + 5s3 + 3s2 + s + 2
Esto nos da como resultado en la primera columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, con lo que por haber dos cambios de signo, el sistema es inestable por poseer dos elementos en el semiplano derecho.
3.5.- Análisis de error en estado estacionario.
El error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y la salida de un sistema en el límite cuando el tiempo tiende a infinito (e.d. cuando la respuesta ha alcanzado el estado estacionario). El error de estado estacionario dependerá del tipo de entrada (escalón, rampa, etc.) y de (tipo del sistema) que el sistema sea del tipo 0, I, II,... .
Nota: el análisis del error de estado estacionario sólo es útil para sistemas estables. Es responsabilidad suya verificar que el sistema sea estable antes de desarrollar un análisis del error de estado estacionario. Muchas de las técnicas que se presentan devolverán una respuesta aún cuando el sistema es inestable; obviamente esta respuesta carece de sentido para un sistema inestable Cálculo de errores de estado estacionario Antes de exponer acerca de las relaciones entre error de estado estacionario y tipo del sistema, se mostrará cómo calcular el error sin importar el tipo del sistema o la entrada empleada. Entonces, derivaremos las fórmulas a aplicar en el análisis de error de estado estacionario. El error de estado estacionario puede calcularse de la función de transferencia a lazo cerrado o abierto para sistemas con realimentación unitaria. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente sistema:
el cual es equivalente al siguiente sistema:
Podemos calcular el error de estado estacionario para este sistema ya sea de la función de transferencia a lazo cerrado o abierto mediante el teorema del valor final (recuerde que este teorema solo puede aplicarse sí el denominador no tiene polos en el semiplano derecho):
Ahora, introduzcamos las transformadas de Laplace de las diferentes entradas para hallar las ecuaciones que nos permitan calcular los errores de estado estacionario a partir de las funciones de transferencia a lazo abierto frente a diferentes entradas: •
Entrada Escalón (R(s) = 1/s):
•
Entrada Rampa (R(s) = 1/s^2):
•
Entrada Parabólica (R(s) = 1/s^3):
Cuando se diseña un controlador, normalmente se quiere compensar el sistema frente a perturbaciones. Digamos que tenemos el siguiente sistema con una perturbación:
podemos encontrar el error de estado estacionario para una entrada perturbación de un escalón con la siguiente ecuación:
Finalmente, podemos calcular el error de estado estacionario para sistemas con realimentación no unitaria:
Manipulando los bloques, podemos modelar el sistema como sigue:
Ahora, simplemente aplique las ecuaciones que mencionáramos arriba. Tipo del sistema y error de estado estacionario Si se refiere de nuevo a las ecuaciones para el cálculo de errores de estado estacionario para sistemas con realimentación unitaria, hallará que tenemos definidas ciertas constantes ( conocidas como las constantes estáticas de error). Estas constantes son la constante de posición (Kp), la constante de velocidad (Kv), y la constante de aceleración (Ka). Sabiendo el valor de estas constantes además del tipo del sistema, podemos predecir si el sistema va a tener un error de estado estacionario finito. Primero, hablemos de el tipo sistema. el tipo del sistema se define como la cantidad de integradores puros en un sistema. Esto es, el tipo del sistema es igual al valor de n cuando el sistema se representa de la siguiente forma:
Por lo tanto, un sistema puede ser de tipo 0, de tipo 1, etc. Ahora, observemos cómo se relaciona un error de estado estacionario con el tipo de los sistemas:
Formula de error de estacionario Constante Estática del Error Error
estado
sistemas de tipo 1 Formula de estacionario
error
de
estado
Entrada Escalón
Entrada Rampa
Entrada Parabólica
1/(1+Kp)
1/Kv
1/Ka
Kp = constante Kv = 0 1/(1+Kp) infinito
Ka = 0 infinito
Entrada Escalón
Entrada Rampa
Entrada Parabólica
1/(1+Kp)
1/Kv
1/Ka
Constante Estática del Error Error
Kp = infinito 0
Kv = constante Ka = 0 1/Kv infinito
sistemas de tipo 2
Entrada Escalón
Entrada Rampa
Entrada Parabólica
1/(1+Kp)
1/Kv
1/Ka
Kp = infinito 0
Kv = infinito 0
Ka = constante 1/Ka
Formula de error de estacionario Constante Estática del Error Error
estado
Encontrar los requerimientos de error de estado estacionario Dado el siguiente sistema,
donde G(s) es: K*(s + 3)(s + 5) -------------------------s (s + 7)(s + 8) encontrar el valor de K de modo que hay un error de estado estacionario a lazo abierto del 10%. Ya que este sistema es de tipo 1, no habrá error de estado estacionario frente a entrada escalón y un error infinito frente a entrada parabólica. La única entrada que arrojará un error de estado estacionario finito en este sistema es un entrada rampa. Observemos la respuesta frente a entrada rampa para una ganancia de 1: num = conv( [1 5], [1 3]); den = conv([1,7],[1 8]); den = conv(den, [1 0]); [clnum,clden] = cloop(num,den); t = 0:0.1:50; u = t; [y,x] = lsim(clnum,clden,u,t);
plot(t,y,t,u) xlabel('Tiempo(seg)') ylabel('Amplitud') title('entrada-magenta, salida-amarillo')
El error de estado estacionario para este sistema es muy largo, ya que podemos ver que la entrada en el tiempo = 20 proporciona una salida con amplitud de aproximadamente 16. Hablaremos de esto con mayores detalles en seguida. Sabemos por lo que establece nuestro problema que el error de estado estacionario debe ser 0.1. Por lo tanto, podemos resolver el problema siguiendo estos pasos:
Veamos la respuesta frente una entrada rampa para K = 37.33: k =37.33 ; num =k*conv( [1 5], [1 3]); den =conv([1,7],[1 8]); den = conv(den,[1 0]); [clnum,clden] = cloop(num,den);
t = 0:0.1:50; u = t; [y,x] = lsim(clnum,clden,u,t); plot(t,y,'y',t,u,'m') xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Amplitud') title('entrada-magenta, salida-amarillo')
Para obtener una mejor visión, debemos agrandar la respuesta. Elegimos para acercar entre 40 y 41 seg. porque seguramente que para entonces el sistema habrá alcanzado su estado estacionario y además podremos obtener una buena apreciación de la entrada y la salida. axis([40,41,40,41])
La amplitud es 40 en t = 40 para nuestro entrada, y para nuestra salida en t = 40.1. Sin embargo, como estas son líneas paralelas en estado estacionario, podemos decir también que cuando t = 40 la salida tiene una amplitud de 39.9, dándonos un error de estado estacionario de 10%. Magnifiquemos más esta figura y confirmemos esa aseveración: axis([39.9,40.1,39.9,40.1])
Ahora modifiquemos el problema un poco más y digamos que nuestro sistema se ve como sigue:
Nuestro G(s) es el mismo, pero ahora queremos error de estado estacionario cero frente a entrada rampa. De las tablas, sabemos que un sistema de tipo 2 nos da error de estado estacionario cero frente a entrada rampa. Por lo tanto, podemos tener error de estado estacionario cero simplemente agregando un integrador (un polo en el origen). Veamos la respuesta frente a entrada rampa unitaria si agregamos un integrador y usamos una ganancia unitaria: num =conv( [1 5], [1 3]); den =conv([1,7],[1 8]); den = conv(den,[1 0]); %un integrador... den = conv(den,[1,0]); % más el otro %(pudiera haber puesto conv(den,[1 0 0]) una sola vez...) [clnum,clden] = cloop(num,den); t = 0:0.1:250; u = t; [y,x] = lsim(clnum,clden,u,t); plot(t,y,t,u) xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Amplitud') title('entrada-purple, salida-yellow') % N. del T.:colores válidos para la versión 4.2
como puede ver, la respuesta no es de las más deseables (podemos ver oscilaciones a los 100 seg. , pero debería hacer zoom in para verlo). Sin embargo, en estado estacionario tenemos error cero. Magnifiquemos en la zona de los 240 seg. (confíe, no se había llegado al estado estacionario hasta entonces):
axis([239.9,240.1,239.9,240.1])
como puede ver, el error de estado estacionario es cero. Siéntase libre para acercar en diferentes áreas del diagrama y observe cómo la respuesta se aproxima al estado estacionario. 4.- MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES.
4.1.- Introducción
El lugar de las raíces es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo. El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto. El lugar de raíces se puede decir que es también una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad. (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario del plano z (para sistemas discretos).) El método del L.G.R. es una técnica gráfica para determinar los polos de la F. de T. en L.C. h(s) a partir de la F. de T. en L.D. l(s) conforme varía uno de los parámetros del sistema. Este método proporciona un gráfico que permite estudiar,
- estabilidad
------ polos en el S.P.I./S.P.D..
- dinámica
------ ubicación de polos en el diagrama (complejos: oscilaciones).
- estado estacionario ------ error en estado estacionario en el diagrama (polos en el origen). - sensibilidad
------- variación del L.G.R. en función de algún parámetro.
- diseño
------- ubicación de los polos.
4.2.- Diagrama de lugar de las raíces. Sea un sistema para el que se conoce su función de transferencia de lazo abierto (G·H), habiendo sido obtenida, por ejemplo, mediante el diagrama de Bode de forma experimental. Se añade al sistema un término proporcional (Kc) como parámetro variable para determinar el diagrama del lugar de las raíces, siendo entonces la función de transferencia de lazo cerrado la que se indica en la siguiente figura. El denominador de la función de transferencia de lazo cerrado, igualado a 0, recibe el nombre de "ecuación característica", y, como pronto veremos, es la referencia para determinar el lugar de las raíces. La función de lazo abierto puede estar compuesta por factores y retardos de primero y segundo orden, factores integrales y derivativos, un factor proporcional o ganancia (Kg), y, si existe y se quiere tener en cuenta, un tiempo muerto. Excepto el término proporcional (Kg) y el tiempo muerto, todos los demás pueden expresarse en función de sus raíces como se indica en la tabla de la figura, aunque en los casos de factores integrales y derivativos sus raíces son 0. Los factores y retardos de primero y segundo orden añaden un factor de conversión para que su ganancia se mantenga igual a 1 cuando se expresan en función de sus raíces. Estos factores de conversión coinciden con sus correspondientes frecuencias de cruce si son de primer orden, o con el cuadrado de sus frecuencias naturales si son de segundo orden. Los factores de conversión se multiplican o dividen (según corresponda) para determinar una sola constante, llamada C en la figura. Las raíces del numerador de la función de lazo abierto reciben el nombre de "ceros" y han sido identificadas como z1, z2, etc. Las raíces del denominador reciben el nombre de "polos" y han sido identificadas como p1, p2, etc.
Con los conceptos que acaban de ser definidos, ya podemos decir que el lugar de las raíces se forma con las trayectorias que siguen los polos de lazo cerrado, a medida que la ganancia Kc varía desde 0 hasta infinito. Nótese que los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica, ya que por ser el denominador de la función de lazo cerrado, sus raíces se consideran polos. La ecuación característica, expresada en función del numerador y denominador de la función de lazo abierto y haciendo común denominador, resulta un cociente de polinomios, que, al ser igual a 0, puede quitarse el denominador y quedar en la forma recuadrada según la figura anterior, es decir: den+Kc·num = 0. El lugar de las raíces comienza en las raíces de la ecuación característica cuando Kc es igual a 0, de lo que resultará: den+0·num = 0 y por lo tanto: den = 0. Como den es el denominador de la función de lazo abierto, se concluye que el lugar de las raíces comienza
en los polos de la función de lazo abierto (p1, p2...), ya conocidos. El lugar de las raíces finalizará cuando Kc sea infinito, de lo que resultará: den+infinito·num = 0. Cualquier valor de "s" que no coincida con una raíz del polinomio num, hará a num distinto de 0 y por lo tanto, infinito·num será infinito o -infinito. Este resultado, sumado a den, no puede ser cero y no cumplirá la ecuación característica. Por lo tanto, las raíces cuando Kc llegue a infinito solo pueden ser las del polinomio num, es decir, los ceros de la función de lazo abierto (z1, z2...), ya conocidos. El primer paso para construir el lugar de las raíces será dibujar los polos y ceros de la función de lazo abierto, puesto que, como se ha dicho, comenzará en los polos y terminará en los ceros. Cada valor intermedio de Kc entre 0 e infinito hace que la ecuación característica cambie y será muy costoso resolver una cantidad suficiente de "ecuaciones características" como para definir con claridad los recorridos que siguen sus raíces. Además, si el grado de la ecuación característica es elevado, se añade otra dificultad porque es difícil resolver ecuaciones con grado superior a 3. Estas dificultades pueden superarse si los cálculos los hace un ordenador, de modo que se añade un programa que hará el trabajo pesado por nosotros: Análisis de una función de transferencia Supongamos que se desea interpretar la función de transferencia que se muestra en la siguiente figura, obtenida experimentalmente con diagrama de Bode o bien por otro procedimiento, como un modelo matemático, un diagrama de bloques, etc. Los factores que la forman se describen en la columna izquierda: Un integrador, al que corresponderá un polo (p1) en el origen. Un retardo de segundo orden del que se conoce su frecuencia natural y su relación de amortiguamiento, resultando los polos p2 y p3. Un retardo de primer orden del que se conoce su frecuencia de cruce, resultando el polo p4. Un factor de segundo orden del que se conoce su frecuencia natural y su relación de amortiguamiento, resultando los ceros z1 y z2. Una ganancia del sistema igual a 1, por lo que no tiene efecto en la función de transferencia. Por último, un parámetro Kc variable, con el que construir el lugar de las raíces.
Aunque el factor Kc quedará multiplicado por la ganancia del sistema, resultando un solo factor, se ha preferido distinguirlos porque Kc no forma parte del sistema sino del controlador. El programa de cálculo que se ha utilizado también los diferencia, de modo que el valor de Kc, que se calcula cuando se pulsa con el ratón en un punto del diagrama, ya es igual a la ganancia que se debe añadir con el controlador, a fin de que el sistema se comporte con las características del punto pulsado. Con el programa abierto, ya solo falta introducir los ceros y polos que se han determinado y pulsar "Ejecutar trazado", resultando el diagrama que se ha mostrado en la
figura anterior. Pulsando con el ratón en cualquier punto de las trayectorias, el programa indica las coordenadas (sigma y omega) del punto pulsado y la ganancia Kc que corresponde al punto. Así se ha comprobado los puntos marcados en rojo en la figura, y con los valores de Kc resultantes se han sacado las conclusiones que muestra la figura en la columna derecha. Hay que tener claro que para cada valor de Kc habrá 4 polos de lazo cerrado que se corresponden con ese valor, ya que existen 4 trayectorias que comienzan en los polos de lazo abierto que se han introducido. Recordar igualmente que cada trayectoria comienza en un polo de lazo abierto con Kc igual a 0, que los polos de lazo cerrado van recorriendo las trayectorias a medida que aumenta Kc, y que llegarán al final de las trayectorias cuando Kc se haga infinito, siempre en los ceros introducidos, o bien en el infinito si no existían suficientes ceros. En el ejemplo hay dos trayectorias que se dirigen al infinito porque había 4 polos pero solo dos ceros, de modo que los otros dos ceros están en el infinito. Las posiciones de los polos de lazo cerrado (4 en el ejemplo) para un valor de Kc, tienen las propiedades que ya conocemos sobre estabilidad, frecuencia natural y relación de amortiguamiento. Sin embargo, habrá un solo polo, o dos en caso de ser conjugados, los que dominan el comportamiento del sistema, y serán los que más cerca se encuentren del eje imaginario. En el ejemplo, se han marcado en rojo los 4 polos de lazo cerrado que corresponden con Kc = 27.52, resultando dominantes los dos conjugados que coinciden en el eje imaginario, por lo tanto, un valor de Kc igual a 27.52 llevará al sistema al límite de la estabilidad. La conclusión final solo puede ser que este sistema necesita una compensación o cambio que mejore su comportamiento. El controlador que se aplique necesitará algo más que una ganancia (Kc) para conseguir resultados en un sistema que demuestra ser "desastroso" a efectos de regulación. Naturalmente, el lugar de las raíces puede ser ampliado con nuevas acciones en el controlador que modifiquen las trayectorias y den como resultado un mejor comportamiento. Otra posibilidad, en lugar de modificar las trayectorias, es que el controlador anule o "cancele" ciertas características negativas del sistema y añada otras mejores. Correcciones en el sistema: La primera parte de la siguiente figura muestra el efecto de añadir dos ceros próximos al origen. Demuestra un cambio radical en la estabilidad del sistema, ya que las trayectorias que antes pasaban a la derecha del eje imaginario, ahora se distancian por la izquierda y el sistema será estable para cualquier valor de Kc. Se consigue un desplazamiento a la izquierda añadiendo uno o más ceros y el efecto es mayor cuanto más se acerquen hacia la derecha los ceros añadidos. Este tipo de compensación es en adelanto y se consigue con factores que añaden ceros como es el caso de los factores derivativos y los factores de primero y segundo orden. El desplazamiento a la izquierda aumenta (generalmente) la distancia al origen y con ello la velocidad de respuesta también aumenta. El caso contrario de añadir polos es una compensación en atraso y tiene el efecto de desplazar las trayectorias hacia la derecha.
La compensación en atraso acerca a la inestabilidad y disminuye la velocidad de respuesta, pero mejora la precisión estática. La compensación en adelanto aumenta la velocidad y estabilidad, pero disminuye la precisión estática. Por lo tanto, no es posible mejorar a la vez la velocidad y la precisión, sino que debemos buscar el mejor equilibrio posible entre ambas. Un controlador puede diseñarse para que trabaje como compensador en atraso o en adelanto de forma configurable, por ejemplo con un cero y un polo cuyas posiciones dependan de algún parámetro, se puede hacer que el cero quede a la derecha o a la izquierda del polo y, lógicamente, compensará en adelanto si el cero queda a la derecha del polo y compensará en atraso en caso contrario. Así mismo, la distancia al origen del cero y del polo determinará la intensidad en el atraso o adelanto.
La compensación en adelanto que ha sido añadida en el ejemplo, a pesar de haber hecho al sistema estable, no es la más adecuada porque todavía está limitada la relación de amortiguamiento, ya que el ángulo beta no puede ser menor que el dibujado en la figura. Además, la proximidad al origen de uno de los ceros, prácticamente cancela el polo en el origen y por ello quedará muy resentida la precisión estática. Un cero y un polo muy cercanos o coincidentes hace que sus acciones se contrarresten y que apenas tengan efecto en la respuesta. Esto puede ser otra forma de corregir un sistema (cancelando polos perjudiciales) y demuestra ser más acertado en el ejemplo que seguimos, ya que como vemos en la segunda parte de la figura anterior, al añadir dos ceros coincidentes con los dos polos conjugados, se consigue un cambio radical del comportamiento: Aumenta la distancia al origen y, por lo tanto, también aumenta la velocidad. Se mantiene estable para cualquier valor de Kc, y la relación de amortiguamiento será perfectamente ajustable porque el ángulo beta mínimo puede llegar a cero grados. En la figura se ha marcado un punto que corresponde a una relación de amortiguamiento igual a 0.7 aproximadamente (coseno de beta igual a 0.7), siendo beta igual al arco cuya tangente es el cociente entre las coordenadas del punto (omega y sigma). 4.3.- Reglas generales para el método del lugar de las raíces.
Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin resolver la ecuación característica, permitiendo que el método sea aplicable a sistemas complejos. Se basan en el desarrollo de R. Evans, publicado en 1948, y por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans.
Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de raíces para valores de k positivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas similar. En lo que sigue, nos referimos a la función de transferencia a lazo abierto. 1. Número de ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la función de transferencia a lazo abierto. 2. Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de raíces es simétrico respecto al eje real. 3. Polos de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a k = 0. 4. Ceros de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto
pertenecen al lugar de raíces y corresponden a . Si hay t polos más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida que k se aproxime a infinito. 5. Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando entre
ellas un ángulo de , donde aproxima a estas asíntotas a medida que k tiene a infinito.
. El lugar de raíces se
6. Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se intersecan se suele llamar el centroide de las asíntotas, se denota mediante σ0, y se calcula
mediante cantidad de ceros.
, donde t = n − m, siendo n la cantidad de polos y m la
7. Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces. 8. Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación característica, y se dan en los
valores de s para los cuales se verifica
.
9. Intersección con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuación característica para s = jω. 10. Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos. La pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos de la función de transferencia a lazo abierto se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relación
. 11. Cálculo de k en un punto del lugar de raíces. El valor absoluto de k que corresponde a un punto dado del lugar de raíces puede determinarse midiendo el módulo de cada segmento que une cada polo y cero de la función de transferencia a
lazo abierto y el punto en cuestión, y evaluando así
.
EJERCICIO 1 TEMA 3. Respuesta escalón unitario con MATLAB
Tenemos dos sistemas con las siguientes funciones de transferencia:
sys1:
y sys2:
.
Realizar con MATLAB una gráfica donde veamos la respuesta de los dos sistemas ante un escalón unitario con un tiempo de simulación de 30s. También representar en la misma gráfica, la función escalón unitario. %---------------------------------------------------------------------%REG.AUTOMATICA Y MATLAB %En este ejemplo veremos el uso del comando step %---------------------------------------------------------------------%Definición de los sistemas: sys1=tf([1],[1 0.5 1]); sys2=tf([1],[1 0.5 4]); %Representación de la respuesta: t=0:0.01:30; %Respuesta hasta los 30 s. step(sys1,'r', sys2,'g',t);%Representación en la misma grafica %Aplicaremos rejilla y pondremos un titulo con text: grid text(5, 1.4,'Respuesta de dos sistemas','FontSize',13); %Representación de la entrada t0 = -2.0:0.01:-0.01; % definición u(t)=0, -2<=t<=-.01 u0 = zeros(size(t0)); t1 = 0:0.01:30; % definición u(t)=1, 0<=t<=25 u1 = ones(size(t1)); t = [t0 t1]; % creamos t and u(t) u = [u0 u1]; hold on plot(t,u); legend('Sistema 1','Sistema 2','Escalón unitario');
EJERCICIO 2 TEMA 3 Polos y Ceros. Encuentre los polos y ceros de la función de trasferencia H(s) = s2+6s+8 s2+2 y grafique los resultados en el plano-s. Lo primero que tenemos que reconocer que la función de transferencia será igual a cero cuando lo de arriba, s2+6s+8, sea igual a cero. Para encantar que esto iguala a cero factorizamos esto para obtener, (s+2) (s+4. Esto da a ceros en s=-2 y s=-4. Si esta función hubiera sido mas complicada, talvez tendríamos que usar la formula cuadrática. Para los polos, tenemos que reconocer que la función de transferencia será infinita cuando la parte de abajo es cero. Esto sucede cuando s2+2 es cerro para encontrar esto,
tenemos que factorizar la función esto nos da (s+ⅈ
Lo que significa que tenemos raíces imaginarias de +ⅈ
2. Al graficar esto nos da:
Figura 1: Muestra de la Grafica
2) (s−ⅈ
2.
2 y − ( ⅈ
Ya que hemos encontrado y graficado los polos y cero, tenemos que preguntarnos que es lo que nos dice esta grafica. Lo que podemos deducir es que magnitud de la función de trasferencia será mayor cuando se encuentre cerca de los polos y menos cuando se encuentre cerca de los ceros. Esto nos da un entendimiento cualitativo de lo que el sistema hace en varias frecuencias y es crucial para la función de estabilidad.
EJERCICIO 3 TEMA 4. Error Estacionario Sea el sistema de realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:
Calcular : a) los tres primeros coeficientes estáticos de error. b) Los tres primeros coeficientes dinámicos de error. c) El error estacionario del sistema al ser excitado por la señal x(t) = e-3t. Respuesta Puesto que el sistema tiene realimentación unitaria tendremos H(s) = 1, y según las definiciones podremos escribir:
Coeficiente estático de error de posición
Coeficiente estático de error de velocidad:
Coeficiente estático de error de aceleración
Para obtener los coeficientes dinámicos de error consideramos la función:
y a partir de ahí tenemos:
El error estacionario del sistema vendrá dado por:
donde representan los valores estacionarios de la excitación y de sus derivadas. En nuestro caso, el valor estacionario de la excitación y sus derivadas es nulo por tenerse:
Así pues, el error estacionario será nulo.
EJERCICIO 4 TEMA 4: Lugar de las raíces.
Según el diagrama de la figura, a)Obtener el lugar de las raíces b) Determinar el valor de K, a partir del cual: –
el sistema es inestable
–
el sistema presenta sobre oscilación para una entrada escalón unitario
a) El primer paso es definir las funciones de transferencia G(s), H(s) y G(s)·H(s). Llamaremos a estas funciones sis_g, sis_h y sis_gh, respectivamente. A continuación utilizaremos el sistema sis_gh recién creado como argumento para la instrucción rlocus. Matlab generará un gráfico como el siguiente:
Interpretar el gráfico resultante es sencillo: Muestra la situación en el plano complejo de los polos del sistema realimentado o en cadena cerrada W(s). Cada rama representa la situación de uno de los polos; en este caso aparecen tres ramas dibujadas con tres colores distintos para mayor claridad. Los puntos de comienzo (K=0) de cada rama coinciden con los polos en cadena abierta (cruces sobre el gráfico) y puntos de finalización (K=inf ) de cada rama tienden a infinito en este caso.
Si no se añade ningún parámetro extra, MATLAB elegirá automáticamente los valores de K entre 0 e infinito para los cuales calculará el lugar de las raíces. En determinadas ocasiones interesa elegir manualmente el rango de valores deseado para K. Para ello basta con introducir un nuevo parámetro en rlocus: » rlocus(sis_gh, [0:.1:100]) %K de 0 a 100 a intervalos de 0.1 El resultado:
Si no se desea un resultado gráfico, sino que se desea conocer los valores numéricos de los polos en cadena cerrada para cada valor de K la instrucción a teclear será: [r, k] = rlocus(sis_gh); La variable k contendrá los valores del parámetro K utilizados para el cálculo del lugar de las raíces; la variable r contendrá los polos del sistema para cada valor de K. También es posible comprobar sobre el propio gráfico los valores del parámetro K correspondientes a cada punto del lugar de las raíces. Para ello se emplea la instrucción rlocfind. Esta instrucción, ejecutada a continuación de rlocus, permite pinchar con el ratón sobre un punto cualquiera del lugar de las raíces y obtener el valor del polo más cercano al punto donde se ha pinchado, el valor de K correspondiente a ese polo y la situación del resto de polos para ese valor de K (aparecen marcados en rojo sobre el diagrama): » rlocus(sis_gh) » rlocfind(sis_gh) Select a point in the graphics window A continuación se debe pinchar con el ratón sobre un punto cualquiera del lugar de las raíces:
La repuesta que aparece en la ventana de comandos indica el valor de s en el punto del lugar de las raíces donde se ha pinchado (selected point) y el valor de K correspondiente (ans): selected_point = -1.2558 + 2.3509i ans =
30.6040 Tal y como indica MATLAB, en este caso el punto donde se ha pinchado es s = 1.2558+2.3509j y el valor de K para el cual el sistema presenta ese polo es K = 30.604.
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