Trabajo De Dinamica.docx

Principio de Conservación de la Energía Mecánica La energía mecánica de un cuerpo se mantiene constante cuando todas las fuerzas que actúan sobre él son conservativas. Es probable que en numerosas ocasiones hayas oido decir que "la energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma". En realidad, tal afirmación es uno de los principios más importantes de la Física y se denomina Principio de Conservación de la Energía. Vamos a particularizarlo para el caso de la energía mecánica. Para ententer mejor este concepto vamos a ilustrarlo con un ejemplo. Imagina una pelota colgada del techo que cae sobre un muelle. Según el principio de conservación de la energía mecánica, la energía mecánica de la bola es siempre la misma y por tanto durante todo el proceso dicha energía permanecerá constante, tan solo cambiarán las aportaciones de los distintos tipos de energía que conforman la energía mecánica.

Antes de caer, la energía mecánica de la bola está formada únicamente por energía potencial gravitatoria. Al caer y adquirir una velocidad, la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética, dejando constante la energía mecánica. Por último, al impactar contra el muelle, lo comienza a comprimir, provocando que la energía mecánica se componga de energía cinética, energía potencial gravitatoria y energia potencial elástica

1 Trabajo y energía cinética 1.1 Trabajo de una fuerza constante

Cuando una fuerza constante se aplica sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento Δx en la direccioó n de la fuerza aplicada, se dice que la fuerza realiza un trabajo Vemos que las unidades en las que se mide el trabajo son las de una fuerza por una distancia, siendo la unidad SI 1 julio = 1 newton·m. El trabajo es positivo si la fuerza se aplica en el mismo sentido que se realiza el desplazamiento y negativo si se opone a eó l. El trabajo es nulo si no hay

desplazamiento. Una persona puede ejercer toda la fuerza que quiera contra una pared, hasta agotarse. Si la pared no se mueve, no ha realizado trabajo alguno. Si la fuerza, como vector que es, posee una direccioó n diferente al desplazamiento, solo su componente en la direccioó n de este realiza trabajo

Esta cantidad de expresa de manera maó s sencilla con ayuda del producto escalar

Vemos que El trabajo es una cantidad escalar, con signo. No se realiza trabajo si se ejerce una fuerza pero no se produce desplazamiento.  Una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo alguno.  

1.2 Trabajo de una fuerza variable

Si tenemos una partíócula que realiza una trayectoria arbitraria, sometida a una fuerza variable con la posicioó n o el tiempo, podemos hallar el trabajo dividiendo el camino en diferenciales casi rectilíóneos, calculando el trabajo (diferencial) en cada uno, y sumando (integrando) el resultado. El trabajo diferencial es igual a

A partir de aquíó obtenemos el trabajo realizado sobre una partíócula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C como la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

Respecto a la notacioó n, el hecho de que el trabajo diferencial (que no diferencial de trabajo) se represente como δW en lugar de dW se debe justamente al hecho de que es una cantidad que depende del camino, como se estudia en maó s detalle en Termodinaó mica.

1.3 Trabajo de la superposición de varias fuerzas Si sobre una partíócula actuó an varias fuerzas simultaó neamente, por el principio de superposicioó n, el trabajo total seraó igual a la suma de los trabajos individuales

1.4 Potencia

A partir del trabajo, se define la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo dt, dividido por dicho intervalo

De esta definicioó n resulta que la potencia tiene dimensiones de trabajo partido por tiempo (o fuerza multiplicada por velocidad), siendo su unidad el vatio (W), igual a un 1 J/s.

1.5 Energía cinética. Teorema de la fuerzas vivas 1.5.1 Caso de una fuerza constante

En el caso de una partíócula sometida a una fuerza neta constante, el resultado es un movimiento con aceleracioó n constante. En este tipo de movimiento se cumple que la velocidad media en un intervalo es igual a la media de la velocidad inicial y final

y el incremento de la velocidad lo da la aceleracioó n constante

Multiplicando la primera ecuacioó n por la segunda y por la masa de la partíócula queda

que podemos abreviar como siendo K una cantidad que llamamos energía cinética de la partíócula

1.5.2 Caso de una fuerza variable Si tenemos una trayectoria arbitraria que va del punto A al punto B y la partíócula estaó sometida a una fuerza neta variable, simplemente dividimos el camino en pequenñ as porciones en cada una de las cuales puede suponerse la fuerza praó cticamente constante. Para cada uno de estos diferenciales de camino se cumpliraó

y sumando para todas las porciones obtenemos la relacioó n

La identidad se conoce como teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética).

1.5.3 Interpretación El teorema de las fuerzas vivas

requiere una cierta interpretacioó n ya que se presta a confusiones. Lo enunciamos primero con palabras:

El trabajo realizado entre dos puntos por la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual al incremento de la energía cinética entre dichos dos puntos Es decir, si se hace un trabajo positivo sobre la partíócula, su energíóa cineó tica aumenta, esto es, se mueve maó s raó pido. Si por contra el trabajo es negativo, oponieó ndose al movimiento, la energíóa cineó tica disminuye y la partíócula se mueve maó s despacio. Si la partíócula tiene en el punto B la misma rapidez que en el punto A, su energíóa cineó tica no ha cambiado y por tanto el trabajo neto realizado sobre ella es nulo, independientemente de que haya existido una fuerza actuando sobre ella, aceleraó ndola en los puntos intermedios. Hay que remarcar que el teorema de las fuerzas vivas habla de la fuerza neta, esto es, la resultante de las fuerzas aplicadas. Si sobre una partíócula actuó an varias fuerzas simultaó neamente, cada una de ellas realizaraó un trabajo, pero cada uno de ellos no es igual a la variacioó n de la energíóa cineó tica, solo su suma lo es.

Tambieó n hay que remarcar otro aspecto de la expresioó n del teorema. Puede aparecer extranñ o que de la relacioó n no se deduzca la igualdad entre dos incrementos. La razoó n es profunda y se relaciona con conceptos maó s generales que se estudian en Termodinaó mica. La idea es la siguiente:  La energíóa cineó tica es una función de estado: esto quiere decir que conocido el estado de la partíócula (su posicioó n y su velocidad instantaó neas), podemos hallar su energíóa cineó tica

y su valor es uno solo. Podemos imaginar que la partíócula, por moverse con la rapidez que lo hace, almacena una cierta cantidad de energíóa cineó tica. Por ello, el incremento de K es igual a su valor en B menos su valor en A.  El trabajo no es una funcioó n de estado, sino que depende del camino: no nos basta con saber queó posicioó n y que velocidad tiene la partíócula en un momento dado, sino que necesitamos saber queó curva ha descrito (por ello

se indica una C en la integral correspondiente) y queó fuerza ha actuado sobre ella en cada punto del camino. El trabajo es por síó mismo una integral. No es el incremento ni la variacioó n de nada. No podemos decir que la partíócula almacena un trabajo. Por ello, los dos diferenciales anteriores son de distinto tipo y se representan con letras diferentes, el de la energíóa con d y el del trabajo con δ. El diferencial de energíóa es un incremento muy pequenñ o de una funcioó n. El trabajo diferencial es una cantidad muy pequenñ a de trabajo realizado. Asíó, el teorema de las fuerzas vivas representa que un trabajo realizado sobre una partíócula se “almacena” en forma de energíóa cineó tica.

1.5.4 Forma diferencial del teorema A partir de la relacioó n entre los diferenciales podemos escribir el teorema de las fuerzas vivas como una relacioó n entre derivadas en lugar de integrales.

Dividiendo por el diferencial de tiempo empleado en realizar el desplazamiento

esto es, en cada instante, la derivada respecto al tiempo de la energíóa cineó tica es igual a la potencia neta realizada sobre la partíócula.

1.5.5 Aplicación a colisiones Cuando se produce una colisioó n, una partíócula experimenta una fuerza muy intensa durante un periodo de tiempo muy corto. Esta fuerza es capaz de producir un cambio neto en la cantidad de movimiento (el impulso). Tambieó n puede producir un incremento en la energíóa cineó tica

Asíó, en el caso de una colisioó n oblicua contra una pared estacionaria en z = 0 tenemos las velocidades antes y despueó s del choque y por tanto el incremento de la energíóa cineó tica en este caso es nulo

Por ello se dice que tenemos una colisioó n elaó stica. En el caso de un choque frontal contra una pared en movimiento las velocidades inicial y final valen por lo que resulta un incremento de energíóa cineó tica que no seraó nulo en general

Se anularaó si la pared estaó en reposo (caso anterior) o si la partíóc

Energía Potencial La energía potencial es, junto con la energía cinética, el otro tipo de energía mecánica que pueden tener los cuerpos. A diferencia de la energía cinética, la energía potencial está asociada a la posición que tienen los cuerpos, y no a su movimiento. Definimos laenergía potencial como aquella que poseen los cuerpos por el hecho de encontrarse en una determinada posición en un campo de fuerzas. Existen distintos tipos de energía potencial. En este apartado vamos a estudiar la energía potencial elástica. ¿Empezamos? Definimos la energía potencial elástica como aquella que adquieren los cuerpo sometidos a la acción defuerzas elásticas o recuperadoras. En el caso de un cuerpo unido a un muelle su valor viene dado por:

Ep=12⋅k⋅x2 Donde: 

Ep: Es la energía potencial del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Julio (J)



k: Constante elástica del muelle. Depende el propio muelle en sí, cuanto mayor es su valor, más trabajo cuesta estirar el muelle. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es Newton por metro (N/m)



x: Distancia hasta la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)

Observa como x es la distancia a la posición de equilibrio. Presta mucha atención en los problemas a dónde se sitúa el origen de coordenadas para distinguir claramente la posición inicial xi del muelle, la posición final xf , su posición de equilibrio x0 y la distancia a la posición de equilibrio x.

¿Cómo se obtiene la fórmula de la Energía Potencial Elástica? Para obtener el valor de la energía potencial elástica podemos razonar de la siguiente manera. 

Vamos a comprimir o estirar un muelle desde su posición de equilibrio (x1 = 0) a posición una posición x2 = x. Consideraremos que el muelle no tiene energía inicial (E1 = 0) por encontrarse en su posición de equilibrio



Para comprimir o estirar el muelle hemos de ejercer una fuerza igual en magnitud pero de sentido contrario a la ley de Hooke. F→=k⋅x→



La fuerza ejercida es variable, siendo prácticamente nula al principio y aumentando a medida que aumenta x



Para calcular el trabajo ejercido por nosotros sobre el muelle, calculamos el área del triángulo limitado por la curva.

W0→x=12⋅k⋅x⋅x=12⋅k⋅x2 

El muelle, sobre el que hemos realizado el trabajo, ha adquirido energía. Considerando que el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo es igual a su variación de energía y que el cuerpo al encontrarse en la posición de equilibrio x = 0 no tenía energía, nos queda que de modo que

W=E2−E1⇒E2=12⋅k⋅x2 En este objeto se puede almacenar energía. Si has investigado un juguete de este tipo habrás descubierto que posee un resorte capaz de deformarse y recuperar su forma original. Un resorte comprimido tiene energía potencial. Por eso al abrir la caja lo deja expandir y energía potencial en parte se transfiere a energía cinética.* La energía almacenada en el resorte estirado o comprimido o en otro material elástico se llama energía potencial elástica. Se almacena energía en el resorte si está comprimido o estirado.

La energía potencial elástica es la que almacena un objeto por el hecho de estar deformado.

*Parte de la energía se transfiere al ambiente, aumentando su temperatura. Básico

Energía potencial elástica. En los sistemas formados por un objeto que interacciona con algo elástico, como un resorte o una liga, la fuerza que actúa sobre los componentes del sistema es directamente proporcional a la distancia que el elástico se estira o se comprime. Si un peso de 10 N colgado de un resorte provoca que se estire 5 cm, un peso de 20 N causará que el resorte se estire 10 cm. La relación entre la magnitud de la fuerza (F) y el cambio en la longitud del medio elástico (x) puede expresarse como:

F=Kx

donde K es una constante que tiene un valor distinto para cada cuerpo elástico y es una medida de su rigidez. Entre más grande sea el valor de K, para un resorte por ejemplo, mayor fuerza habrá que aplicar para estirarlo o comprimirlo una distancia x. Las unidades de la constante K son kg/s2, y al multiplicarlas por las unidades del cambio de longitud x en el SI (m), se obtienen unidades de fuerza (kg × m/s2 = newton).

Fig. 1 El cambio de longitud del resorte se duplica al duplicarse el peso.

La energía potencial de un sistema formado por un medio elástico en contacto con otro cuerpo también depende de los valores de K y del cambio de longitud x. En particular, es mayor entre más rígida es la parte elástica y entre más se deforma, pues eso hace que el sistema pueda adquirir mayor energía cinética cuando se suelte. Cuando disparas una liga para golpear un objeto, ¿qué prefieres, una liga dura o una blanda?, ¿la estiras mucho o poco? Para evaluar la energía potencial elástica (Ep) del sistema es necesario tomar el siguiente producto:

Así, al comprimir 2 × 102 m (2 cm) el resorte de una pistola de dardos, con una constante elástica K = 4 × 102 kg/s2, la energía potencial elástica que adquiere es:

Este valor da una idea de la energía cinética que puede adquirir el dardo al ser disparado. Como puedes ver, la energía potencial elástica también se mide en joules en el Sistema Internacional de Unidades, lo mismo que cualquier otra forma de energía, por lo que el joule se considera la unidad de medida de la energía en el SI.

Fig. 2 Al estirar un resorte, aumenta su energía potencial en proporción a su estiramiento al cuadrado (x2).