Trabajo De Calculo Diferencial.docx

1

06. lim(cos 𝑥)𝑥2 =L 𝑥→0

Solución: 1

L=lim (cos 𝑥)𝑥2 𝑥→0

1

L=lim⁡((1 + (cos 𝑥 − 1))cos 𝑥−1 )

cos 𝑥⁡−1 𝑥2

𝑥→0 cos 𝑥⁡−1 lim 2

L=𝑒 𝑥→0 L=𝑒

𝑥

cos 𝑥⁡−1 − lim 𝑥→0 𝑥2 1

L=𝑒 −2 =

1

√𝑒

=𝑒

1 𝑒2

R//. 𝑏𝑥

√𝑒 𝑒

5𝑎

07. lim [cos (√ 𝑥 )] 𝑥→∞

1 5𝑎 √ cos −1 𝑥

5𝑎

lim {[1 + (cos √ 𝑥 − 1)]

𝑥→∞

𝑒

5𝑎 −1) 𝑥

𝑏𝑥(cos √

}

5𝑎 −1) 𝑥

lim 𝑏𝑥(cos √

𝑥→∞

2 5𝑎 5𝑎 −1)(√ ) 𝑥 𝑥 2 5𝑎 (√ ) 𝑥

𝑏𝑥(cos √

lim

𝑥→∞

𝑒

5𝑎 2 −1 5𝑎 𝑥 ∙𝑏𝑥√ 2 𝑥 𝑥→∞ 5𝑎 (√ ) 𝑥

lim

𝑒 𝑒

cos √

1 lim ∙5𝑎𝑏 𝑥→∞2

=𝑒

𝟓𝒂𝒃 5𝑎𝑏 lim =𝒆 𝟐 𝑥→∞ 2

R//.𝒆

08. lim [

𝑒 𝛼𝑥 −⁡𝑒 𝛽𝑥 𝑥

𝑥→0

]= L

Solución: L=lim [ 𝑥→0

L=lim [

𝑒 𝛼𝑥 −⁡𝑒 𝛽𝑥

𝑥

𝑥→0

L=lim [ L=lim [

]

(𝑒 𝛼 )𝑥 +1−1−(𝑒 𝛽 )

𝑥

𝑥

𝑥→0 𝑥→0

]

𝑥 𝑒 𝛼𝑥 +1−1−⁡𝑒 𝛽𝑥

(𝑒 𝛼 )𝑥 +1 𝑥

]

𝑥

−

(𝑒 𝛽 ) −1 𝑥

]

𝟓𝒂𝒃 𝟐

L=lim [ln 𝑒 𝛼 − ln 𝑒 𝛽 ] 𝑥→0

L=lim [𝛼 ln 𝑒 − 𝛽 ln 𝑒] 𝑥→0

L=lim ln 𝑒(𝛼 − 𝛽) =(𝛼 − 𝛽) 𝑥→0

R//.(𝛼 − 𝛽) 𝑚

09. lim(𝑒 𝑥 + 𝑥) 𝑥 =L 𝑥→0

Solución: 𝑚

L=lim (𝑒 𝑥 + 𝑥) 𝑥 𝑥→0

1 𝑒𝑥 +𝑥−1

L=lim {[1 + (𝑒 𝑥 + 𝑥 − 1)] 𝑥→0

L=𝑒

𝑚(𝑒𝑥 +𝑥−1) 𝑥

}

𝑚(𝑒𝑥 +𝑥−1) lim 𝑥 𝑥→0 𝑒𝑥−1 𝑥 + ) 𝑥 𝑥

lim 𝑚(

L=𝑒 lim 𝑚(1+1) lim 2𝑚 L=𝑒 𝑥→0 = 𝑒 𝑥→0 = 𝑒 2𝑚 𝑥→0

R//.𝑒 2𝑚 10. lim [

ln(𝑥+ℎ)−ln 𝑥 ℎ

ℎ→0

]

Solución: L=lim [

ln(𝑥+ℎ)−ln 𝑥 ℎ

ℎ→0

L=lim

ln(

]

𝑥+ℎ ) 𝑥

ℎ

ℎ→0

L=lim ( ℎ→0

ln 1+

ℎ 𝑥

ℎ

)

ℎ

Hacemos que 𝑥 = 𝑧, por lo tanto 𝑧 → 0 L=lim

ln 1+𝑧

𝑧→0

𝑧𝑥 1 1

L=lim (𝑥) (𝑧) ln(1 + 𝑧) 𝑧→0 1

1

L=𝑥 lim [(𝑧) ln(1 + 𝑧)] 𝑧→0

1

1

L=𝑥 lim ln(1 + 𝑧)𝑧 1

𝑧→0

1

1

L=𝑥 lim ln 𝑒 = 𝑥 lim(1) =𝑥 𝑧→0

𝑧→0

1

R//.𝑥

ASINTOTAS En los siguientes ejercicios, hallar las asíntotas de la gráfica de las funciones dadas: 01.𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥 2 + 2𝑥 Solución: a) Encontramos las asíntotas verticales: no existe asíntotas verticales. b) Encontramos las asíntotas horizontales: Cuando 𝑥 → ∞ 

lim √1 + 𝑥 2 + 2𝑥

𝑥→∞

lim

(√1+𝑥 2 +2𝑥)(√1+𝑥 2 −2𝑥)

√1+𝑥 2 −2𝑥 𝑥→∞ 2 1+𝑥 −4𝑥 2

⁡

lim

𝑥→∞ √1+𝑥 2 −2𝑥 1−3𝑥 2

lim

𝑥→∞ √1+𝑥 2 −2𝑥

lim

𝑥→∞

lim



1−3𝑥2 𝑥2 √1+𝑥2 −2𝑥 𝑥2

0−3

𝑥→∞ 0

=∞

Cuando 𝑥 → +∞ la asíntota es −∞ y cuando 𝑥 → −∞ es +∞

c) Encontramos las asíntotas oblicuas: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏; donde 𝑚 = lim

𝑓(𝑥)

𝑥→∞ 𝑥

y 𝑏 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 𝑥→∞

 Hallamos 𝑚 √1+𝑥 2 +2𝑥

𝑚 = lim

𝑥

𝑥→∞ 1

𝑥2

𝑚 = lim √𝑥 4 + 𝑥 2 +

2𝑥

𝑥→∞

𝑥

𝑚 = lim √1 + 2 ⇒ 𝒎 = 𝟑 𝑥→∞



Hallamos 𝑏 𝑏 = lim √1 + 𝑥 2 + 2𝑥 − 𝑚𝑥 𝑥→∞

𝑏 = lim √1 + 𝑥 2 + 2𝑥 − 3𝑥 𝑥→∞

𝑏 = lim √1 + 𝑥 2 − 𝑥 𝑥→∞

𝑏 = lim

𝑥→∞

𝑏 = lim

(√1+𝑥 2 −𝑥)(√1+𝑥 2 +𝑥) √1+𝑥 2 +𝑥 1+𝑥 2 −𝑥 2

𝑥→∞ √1+𝑥2 +𝑥

𝑏 = lim

𝑥→∞

1 𝑥2 1 1 1 √ 4+ 2+ 𝑥 𝑥 𝑥

⇒𝒃=𝟎



Hallamos la asíntota: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝑦 = 3𝑥 + 0 ⇒ 𝒚 = 𝟑𝒙 𝑥 2 +9

02. 𝑓(𝑥) = (𝑥−3)2 Solución: a) Encontramos las asíntotas verticales: De (𝑥 − 3)2 = 0 ⇒ 𝑥 → 3 

𝑥 2 +9

lim+ (𝑥−3)2 ⁡ ⇐ Tomamos un valor más cercano a 3 por la derecha.

𝑥→3

(3,0001)2 +9

lim+ (3,0001−3)2

𝑥→3

+

lim+ + = +∞

𝑥→3



𝑥 2 +9

lim− (𝑥−3)2 ⁡ ⇐ Tomamos un valor más cercano a 3 por la izquierda.

𝑥→3

(2,9999)2 +9

lim− (2,9999−3)2

𝑥→3

+

lim− + = +∞

𝑥→3



Por lo tanto 3 es una asíntota vertical de la función.

b) Encontramos las asíntotas horizontales: Cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 → −∞ 

𝑥 2 +9 𝑥→+∞ (𝑥−3)2

lim

𝑥2 9 + 𝑥2 𝑥2 2 6𝑥 9 𝑥 𝑥→+∞ − + 𝑥2 𝑥2 𝑥2

lim lim

1+0

𝑥→+∞ 1−0+0



lim

=𝟏

(−𝑥)2 +9

𝑥→−∞ (−𝑥−3)2 𝑥 2 +9

lim

𝑥→−∞ 𝑥 2 +6𝑥+9

𝑥2 9 + 𝑥2 𝑥2 2 6𝑥 9 𝑥 𝑥→−∞ + + 𝑥2 𝑥2 𝑥2

lim lim

1+0

𝑥→−∞ 1+0+0



=𝟏

Por lo tanto 1 es una asíntota horizontal de la función.

c) Encontramos las asíntotas oblicuas: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏; donde 𝑚 = lim

𝑓(𝑥)

𝑥→∞ 𝑥

𝑏 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 𝑥→∞



Hallamos 𝑚 𝑚 = lim

𝑥→∞

𝑚 = lim

𝑥→∞

𝑥2 +9 (𝑥−3)2

𝑥 𝑥 2 +9 𝑥 3 −6𝑥 2 +9𝑥

y

𝑥2 9 + 𝑥3 𝑥3 3 6𝑥2 9 𝑥 𝑥→∞ − + 𝑥3 𝑥3 𝑥3

𝑚 = lim

0+0

𝑚 = lim

𝑥→∞ 1−0+0



=0

Como tenemos que 𝑚 = 0 decimos que no existe asíntota oblicua.

3. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 𝑥 − 𝑥 a). Encontramos las asíntotas verticales: No existe asíntotas verticales. b). Encontramos las asíntotas horizontales: Cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 → −∞ 

lim √𝑥 2 + 𝑥 − 𝑥

𝑥→+∞

(√𝑥 2 +𝑥−𝑥)(√𝑥2 +𝑥+𝑥)

lim

𝑥→+∞

lim

√𝑥 2 +𝑥+𝑥 𝑥 2 +𝑥−𝑥 2

𝑥→+∞ √𝑥 2 +𝑥+𝑥 𝑥 𝑥

lim

𝑥→+∞ √𝑥2 + 𝑥 +𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥 1 𝟏

lim

𝑥→+∞ √1+1



=𝟐

lim √(−𝑥)2 + (−𝑥) − (−𝑥)

𝑥→−∞

lim √𝑥 2 − 𝑥 + 𝑥

𝑥→−∞

lim

(√𝑥 2 −𝑥+𝑥)(√𝑥2 −𝑥−𝑥)

𝑥→−∞

lim

√𝑥 2 −𝑥−𝑥 𝑥 2 −𝑥−𝑥 2

𝑥→−∞ √𝑥 2 −𝑥−𝑥

lim

−𝑥 𝑥

𝑥→−∞ √𝑥2 − 𝑥 −𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥 −1

lim

𝑥→−∞ √1−1

=𝟎 𝟏



Por lo tanto 𝟐 y 0 las asíntotas horizontales de la función.

c). Encontramos las asíntota oblicua de la función: : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏; lim

𝑓(𝑥)

𝑥→∞ 𝑥



y

𝑏 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 𝑥→∞

Hallamos 𝑚 cuando 𝑥 → +∞ 𝑚 = lim

𝑥→+∞

√𝑥 2 +𝑥−𝑥 𝑥 𝑥2

𝑥

𝑥

𝑚 = lim √𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 𝑥→+∞

𝑚 = lim √1 − 1 = lim 0 = 0 𝑥→+∞



𝑥→+∞

Hallamos 𝑏 cuando 𝑥 → +∞

donde 𝑚 =

𝑏 = lim √𝑥 2 + 𝑥 − 𝑥 − 𝑚𝑥 𝑥→+∞

𝑏 = lim √𝑥 2 + 𝑥 − 𝑥 𝑥→+∞

𝑏 = lim

𝑥→+∞

𝑏 = lim

(√𝑥 2 +𝑥−𝑥)(√𝑥 2 +𝑥+𝑥) √𝑥 2 +𝑥+𝑥 𝑥 2 +𝑥−𝑥 2

𝑥→+∞ √𝑥 2 +𝑥+𝑥 𝑥 𝑥

𝑏 = lim

𝑥→+∞ √𝑥2 + 𝑥 +𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥 1 𝟏

𝑏 = lim

𝑥→+∞ √1+1

=𝟐 1

𝟏

2

𝟐



Entonces la asíntota es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 = 0𝑥 + = ⁡



Hallamos 𝑚 cuando 𝑥 → −∞ √(−𝑥)2 +(−𝑥)−(−𝑥)

𝑚 = lim

𝑥→−∞

𝑚 = lim

−𝑥 √𝑥 2 −𝑥+𝑥⁡

𝑥→−∞

−𝑥 𝑥2

𝑥

𝑥

𝑚 = lim − √𝑥 2 − 𝑥 2 − 𝑥 𝑥→−∞

𝑚 = lim − √1 − 1 = lim − 2 = −𝟐 𝑥→−∞



𝑥→−∞

Hallamos 𝑏 cuando 𝑥 → −∞ 𝑏 = lim √𝑥 2 + 𝑥 − 𝑥 − 𝑚𝑥 𝑥→−∞

𝑏 = lim √𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥 𝑥→−∞

𝑏 = lim √(−𝑥)2 + (−𝑥) + (−𝑥) 𝑥→−∞

𝑏 = lim √𝑥 2 − 𝑥 − 𝑥 𝑥→−∞

𝑏 = lim

𝑥→−∞

𝑏 = lim

(√𝑥 2 −𝑥−𝑥)(√𝑥 2 −𝑥+𝑥) √𝑥 2 −𝑥+𝑥 𝑥 2 −𝑥−𝑥 2

𝑥→−∞ √𝑥 2 −𝑥−𝑥

𝑏 = lim

−𝑥 𝑥

𝑥→−∞ √𝑥2 − 𝑥 −𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥 −1

𝑏 = lim

𝑥→−∞ 0



=𝟎

Entonces la asíntota es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 = −2𝑥 + 0 = −𝟐𝒙 9𝑥 2 −6𝑥−8

4). 𝑓(𝑥) = √16𝑥 2 +4𝑥−6 3

a) Encontramos las asíntotas verticales: De 16𝑥 2 + 4𝑥 − 6⁡; 𝑥 = − 4 = −0,75⁡⁡⁡ ∧ 1

⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 = 2 = 0,5



lim

𝑥→−0,75

9𝑥 2 −6𝑥−8

√ +

16𝑥 2 +4𝑥−6

⁡ ← tomamos un valor más cercano a -0,75 por la

derecha. √ +

lim

√ −

lim

√ −

𝑥→−0,75



9(−0,74)2 −6(−0,74)−8

lim

𝑥→−0,75

𝑥→−0,75

16(−0,74)2 +4(−0,74)−6 9𝑥 2 −6𝑥−8 16𝑥 2 +4𝑥−6

+

= − = −∞

←tomamos un valor cercano a -0,75 por la izquierda.

9(−0,76)2 −6(−0,76)−8 16(−0,76)2 +4(−0,76)−6

+

= + = +∞

 Decimos que 0,75 no es una asíntota de la función. 

9𝑥 2 −6𝑥−8

lim + √16𝑥 2 +4𝑥−6 ← tomamos un valor más cercano a 0,5 por la derecha.

𝑥→0,5

9(0,6)2 −6(0,6)−8

−

lim +√16(0,6)2 +4(0,6)−6 = + = −∞

𝑥→0,5



9𝑥 2 −6𝑥−8

lim −√16𝑥 2 +4𝑥−6 ⁡ ← tomamos un valor más cercano a 0,5 por la izquierda.

𝑥→0,5

9(0,4)2 −6(0,4)−8

−

lim −√16(0,4)2 +4(0,4)−6 = − = +∞

𝑥→0,5

 Decimos que 0,5 no es una asíntota de la función. b) Encontramos las asíntotas horizontales: Cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 → −∞ 

9𝑥 2 −6𝑥−8

lim √16𝑥 2 +4𝑥−6

𝑥→+∞

√9𝑥2 −6𝑥−8 𝑥

lim

𝑥→+∞ √16𝑥2 +4𝑥−6 𝑥 2 8 √9𝑥2 −6𝑥 − 𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥→+∞ √16𝑥2 +4𝑥− 6 𝑥2 𝑥2 𝑥2

lim lim

√9

𝑥→+∞ √16



= lim

3

𝑥→+∞ 4

𝟑

=𝟒

9𝑥 2 −6𝑥−8

9(−𝑥)2 −6(−𝑥)−8

lim √16𝑥 2 +4𝑥−6 = lim √16(−𝑥)2 +4(−𝑥)−6

𝑥→−∞

𝑥→−∞

9𝑥 2 +6𝑥−8

lim √16𝑥 2 −4𝑥−6

𝑥→−∞

√9𝑥2 +6𝑥−8

lim

𝑥

𝑥→−∞ √16𝑥2 −4𝑥−6 𝑥

2

8 √9𝑥2 +6𝑥 2− 2 𝑥

lim

𝑥

𝑥

𝑥→−∞ √16𝑥2 −4𝑥− 6 𝑥2 𝑥2 𝑥2 √9

lim

𝑥→−∞ √16

= lim

𝑥→+∞

3

𝟑

=𝟒 4 3

 Por lo tanto 4 es una asíntota de la función. c) Encontramos las asíntotas oblicuas:⁡𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏;

donde 𝑚 = lim

𝑓(𝑥)

𝑥→∞ 𝑥

y

𝑏 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 𝑥→∞



1

lim

𝑥→±∞ 𝑥−2

 Como el exponente del denominador es mayor que la de denominador por lo tanto no existe el límite.

1−𝑥 2

5). 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4 a) Encontramos asíntotas verticales: De 𝑥 2 − 4 = 0⁡ ⇒ 𝑥 = ±2 

1−𝑥 2

lim+ 𝑥 2 −4 ⁡ ← tomamos un valor más cercano a 2 por la derecha.

𝑥→2

1−(2,0001)2

−

lim+ (2,0001)2 −4 = + = −∞

𝑥→2



lim−

1−𝑥 2

⁡ ← Tomamos un valor más cercano a 2 por la izquierda.

𝑥→2 𝑥 2 −4 1−(1,9999)2 lim− (1,9999)2 −4 𝑥→2

−

= − = +∞

 Entonces 2 no es asíntota de vertical de la función.



1−𝑥 2

lim + 𝑥 2 −4 ⁡⁡ ← tomamos un valor más cercano a -2 por la derecha.

𝑥→−2

1−(−1,9999)2

−

lim + (−1,9999)2 −4 = − = +∞

𝑥→−2



lim −

1−𝑥 2

⁡⁡ ← Tomamos un valor más cercano a -2 por la izquierda.

𝑥→−2 𝑥 2 −4 1−(−2,0001)2 lim − (−2,0001)2 −4 𝑥→−2

−

= + = −∞

 Entonces -2 no es asíntota vertical de la función.



Concluimos que el límite no existe.

b) Encontramos las asíntotas horizontales: Cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 → −∞ 

lim

1−𝑥 2

𝑥→+∞ 𝑥 2 −4

lim

𝑥→+∞

1−𝑥2 𝑥2 𝑥2 −4 𝑥2

1 𝑥2 − 𝑥2 𝑥2 2 𝑥→+∞ 𝑥 − 4 𝑥2 𝑥2

lim

lim

0−1

𝑥→+∞ 1−0



lim

= lim

−1

𝑥→+∞ 1

= −𝟏

1−𝑥 2

𝑥→−∞ 𝑥 2 −4 1−(−𝑥)2 lim (−𝑥)2 −4 𝑥→−∞ 1 𝑥2 − 𝑥2 𝑥2 2 4 𝑥 𝑥→−∞ − 𝑥2 𝑥2

lim lim

0−1

𝑥→−∞ 1−0



= lim

−1

𝑥→−∞ 1

= −𝟏

Por lo tanto -1 es una asíntota horizontal de la función.

c) Encontramos las asíntotas oblicuas:⁡𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏;

donde 𝑚 = lim

𝑓(𝑥)

𝑥→∞ 𝑥

y

𝑏 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 𝑥→∞



Hallamos m cuando 𝑥 → +∞ 𝑚 = lim

1−𝑥2 𝑥2 −4

𝑥→+∞

𝑚 = lim

𝑥 1−𝑥 2

𝑥→+∞ 𝑥 3 −4𝑥 1 𝑥2 − 𝑥3 𝑥3 3 4𝑥 𝑥 𝑥→+∞ − 𝑥3 𝑥3

𝑚 = lim 𝑚 = lim 

0−0

𝑥→+∞ 1−0

= lim 0 = 0 𝑥→+∞

Hallamos b cuando 𝑥 → +∞ 𝑏 = lim

1−𝑥 2

𝑥→−∞ 𝑥 2 −4 1−𝑥 2

𝑏 = lim

𝑥→−∞ 𝑥 2 −4

− 𝑚𝑥 ⁡ ← No altera ya que las x están elevadas al cuadrado.

1 𝑥2 − 𝑥2 𝑥2 2 4 𝑥 𝑥→−∞ − 𝑥2 𝑥2

𝑏 = lim 𝑏 = lim

0−1

𝑥→−∞ 1−0



= −𝟏

 Por lo tanto la asíntota 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 = 0𝑥 + (−1) = −𝟏 Hallamos m cuando 𝑥 → −∞: como la variable esta elevada al cuadrado no la altera y la respuesta nos sale la misma. 𝑥−5

𝑥−5

1

6. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −7𝑥+10 ⁡ ⇒ 𝑓(𝑥) = (𝑥−2)(𝑥−5) ⁡ ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 a) Encontramos las asíntotas verticales: De 𝑥 = 2 

1

lim+ 𝑥−2 ⁡ ← tomamos un valor más cercano a 2 por la derecha.

𝑥→2

1

lim

𝑥→2+ 2,0001−2



lim

1

𝑥→2− 𝑥−2

=

+ +

= +∞

⁡ ← tomamos un valor más cercano a 2 por la izquierda.

1

+

lim− 1,9999−2 = − = −∞

𝑥→2

 Por lo tanto 2 no es una asíntota de la función.

b) Encontramos las asíntotas horizontales: Cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 → −∞ 1  lim 𝑥−2 𝑥→±∞

 Como el exponente del denominador es mayor que la de denominador por lo tanto no existe el límite. 𝑓(𝑥) c) Encontramos las asíntotas oblicuas: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏; donde 𝑚 = lim 𝑥 y 𝑥→∞

𝑏 = lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 𝑥→∞



Como el exponente del denominador es mayor a la del numerador por lo tanto el límite no existe.