Trabajo De Algebra 2.docx
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- Words: 2,356
- Pages: 12
1.- Obtener la factorización QR de la matriz:
{
{
1 U1 0 1
[
1 1 0 A= 0 −1 1 1 0 −1
]
{
1 U 2 −1 0
0 U3 1 −1
V1= U1 V1=(1,0,1) V2= U2-
(VV 1.1.
)
U 2 .V 1 VI ( 1,0,1 ) . ( 1,−1,0 ) .(1,0,1) ( 1,0,1 ) ( 1,0,1 )
V2=(1,-1,0)-
(
V2= (1,-1,0)-
( 12 ) .(1,0,1)
V2=
)
( 12 ,−1,− 12 )
V3= U3-
(VIV 1.
U3 V1
V2=(1,-1,0)-(
1 1 , 0, ) 2 2
2 V2=(1,-1,-1)
)
.V1-
(VV 2.2
)
U 3 .V 2 V2
-1 V3=(0,1,-1)-
0
(((
)
(
1,0,1 ) . ( 0,1,−1 ) ( ( 1,−1,−1 ) . ( 0,1,−1 ) . 1,0,1 ) − 1,0,1 ) ( 1,0,1 ) ( 1,−1,−1 ) ( 1,−1,−1 ) 2
V3=(0,1,-1)-
V3=
3
( −12 ) . ( 1,0,1 )
( 12 , 1,− 12 )
)
V3=(0,1,-1)-
( −12 ,0,− 12 )
2 V3=(1,1,-1)
Base ortogonal: {(1,0,1);(1,-1,-1);(1,1,-1)} q1=
1 * v1 ‖V 1‖
‖V 1‖ =
√ 12+0 2+1 2
‖V 1‖ = √ 2
.(1,-1,-1)
= 0/3= 0
1 √2
q1=
.(1,0,1)
( √12 , 0, √12 )
q1=
q2=
1 * v2 ‖V 2‖
‖V 2‖ =
q2=
1 √3
q2=
* (1,-1,-1)
1 * v3 ‖V 3‖ 1 q3= * (1,1,-1) √3 Base ortonormal: {
[
1 1 0 0 −1 1 1 0 −1
]
√ 12 +12−12
( √12 , 0, √12 ); ( √13 ,− √13 ,− √13 ); ( √13 , √13 ,− √13 )
[ ] 1 √3 −1 √3 −1 √3
0 1 √2
1 √3 1 √3 −1 √3
Q
U1=
8 U2= 7 −2
U3 =
[ ] 2 √2
*
0 0
1 √2 2 √3 0
−1 √2 0 2 √3
R
2. Obtener la factorización QR de la matriz A
2 1 −2
‖V 3‖ = √ 3
( √13 , √13 ,− √13 )
q3=
1 √2
=
‖V 2‖ = √ 3
( √13 ,− √13 ,− √13 )
‖V 3‖ =
q3=
√ 12−12−12
[
2 8 2 1 7 −1 −2 −2 1
]
2 −1 1
V1= U1 V1= (2,1,-2) V2= U2-
V1.U2 V1.V1
.
V1
V2 = (8,7,-2) – (2,1,-2).(8,7,-2) . (2,1,-2) (2, 1,-2) (2, 1,-2)
V2= (8, 2,-2) – (3). (2,1,-1)
V 2= (8, 7,-2) – (6,3,-6)
V2= (2,4,4 ) V3= U3-
V1 . U3 V1. V1
V3= (2,-1,1) -
.
V2. U3 . V2 V2. V2
(2, 1,-2). (2,-1, 1) (2, 1,-2) (2, 1,-2)
V3 = (2, -1, 1) –
1 . (2, 1,-2) – 9
V3= (2,-1,1) -
2 , 1 , -2 9 9 9
V3= 16 , -10 , 11 9
V1 -
9
-
9
. (2, 1,-2) -
4 36
-
. (2, 4,4)
2, 4, 4 9 9 9
2, 4 , 4 9
9
(2, 4,4) . (2,-1, 1) . (2, 4,4) (2, 4,4) (2, 4,4)
9 V 3 = (14, -14, 7)
9
base ortogonal: (2,1,-2); (2,4,4 ); (14, -14, 7)
ǁV3ǁ=
√ 22 + 12 + (-2)2
ǁV2ǁ=
√ 23 + 4 2 + 4 2
ǁV3ǁ= q1=
q2=
2
√ 14 1 √9 1 √ 36
.
ǁV1ǁ= ǁV 2ǁ=
+ 42 + 42 (2, 1, -2)
. (2, 4, 4)
ǁV 3ǁ= q 1= (
q 2= (
2 6
√9
√ 36 √ 441
2 1 , 3 3 ,
4 6
,
,
−2 3
4 ) 6
)
q3=
1 √ 441
. (14, -14,7)
2 1 , 3 3
Base Ortonormal:
,
q 3= (
14 21
;
2 6
−2 3
,
,
−14 21
,
4 6
4 6
,
7 21
)
;
14 21
,
−14 21
,
7 21
2 8 2 1 7 −1 −2 −2 4
2 3 1 3 −2 3
=
2 6 4 9 4 6
14 21 −14 21 7 21
Q
3 9 .
0 6 0 0
1 3 2 3 7 3
R
3.- Obtener una base ortonormal de R3 , con el producto escalar canónico, partiendo de una base formada por los vectores { x 1=( 1,−1,0 ) , x 2=( 2,0,−1 ) , x 3=( 0,1,2 ) }
1=¿ (1,-1,0) x¿
x 2=( 2,0,−1 )
x 3=( 0,1,2 )
V1= U1 V1=(1,-1,0)
(VV 1.1.
)
U 2 .V 1 VI ( 1,−1,0 ) . (2,0,−1) 1,−1,0 V2=(2,0,-1)* (1,-1,0) ¿ ¿ ((1,−1,0) ¿ ¿) ¿ ¿ ¿ V2= U2-
2
2
V2=(2,0,-1)-(1).(1,-1,0)
V2=(1,1,-1)
v2= (2,0,-1)-(1,-1,0)
(VIV 1.
V3= U3-
U3 V1
)
.V1-
(VV 2.2
)
U 3 .V 2 V2
-1
-1
((
)
1,−1,0 ) . (0,1,2) . (1,-1,0)(1,−1,0) (1,−1,0)
V3= (0,1,2)-
((
1,1−1 ) . (0,1,2) ( 1,1,−1) (1,1,−1)
2 V3=(0,1,2)—
V3=(0,1,2)-
6 V3=
(5,6
)
.(1,1,-1)
3.
( −12 ) . ( 1,−1,0) −( −13 ) .(1,1,−1) ( −12 , 12 , 0)−( −13 ,− 13 , 13 ) 5, 5 6 3
)
V3=
( 12 , 12 ,2)
-
( −13 ,− 13 , 13 )
6V3= (7,5,5)
Base ortogonal: (1,-1,0; (2,1,-1) ; ( 5,5,5 )
q1=
q1=
1 * v1 ‖V 1‖ 1 √2
‖V 1‖ =
.(1,-1,0)
q2=
1 * v2 ‖V 2‖
q2=
1 √3
1 * v3 ‖V 3‖ 1 q3= * (5,5,5) 75 Base ortonormal: {
q2=
√ 12 +12−12
‖V 2‖ = √ 3
( √13 , √13 ,− √13 )
‖V 3‖ = q3=
‖V 1‖ = √ 2
( √12 ,− √12 , 0)
‖V 2‖ =
* (1,1,-1)
q3=
q1=
√ 12−12+ 02
√ 52 +52 +52
‖V 3‖ = √ 75
( 755 , √575 , √575 )
( √12 ,− √12 , 0); ( √13 , √13 ,− √13 ); ( 755 , √575 , √575 )
4.- Obtener una base ortonormal de R4 , con el producto escalar canónico, partiendo de una base formada por los vectores { x 1=( 2,−1,1,2 ) , x 2=( 3,−1,0,4 ) } V1=(2,-1,1,2) V2=(3,-1,0,4)-
( ((
V2=(3,-1,0,4)-
( 1510 )
V2=(3,-1,0,4)-
( 32 )
V2=(3,-1,0,4)-(3,-
1 2
V2=(0,
,
)
2,−1,1,2 ) . (3,−1,0,4 ) .(2,−1,1,2) 2,−1,1,2 ) ( 2,−1,1,2 ) .(2,-1,1,2)
.(2,-1,1,2)
3 3 , ,3 ) 2 2
−3 ,1 ) 2
V2=(0,1,-3,1)
Q1=
Q1=
1 ‖2,−1,1,2‖
‖2,−1,1,2‖ =
Q1= Q1=
Base Ortogonal: V1=(2,-1,1,2 )
V2=(0,1,-3,1)
* (2,-1,1,2)
√ 22−12+ 12+22
‖2,−1,1,2‖ = √ 10
1 .(2,−1,1,2) √ 10
Q1=
Q2=
1 *V2 ‖V 2‖
Q2=
‖0,1,−3,1‖=¿
√ 02 +12−32 +12
Q2=
‖0,1,−3,1‖=¿
√ 11
Q2=
( √210 ,− √110 , √110 , √210 ,)
1 ∗( 0,1,−3,1 ) ‖0,1,−3,1‖
Q2=
1 √ 11
.(0,1,-3,1)
Q2=
(0, √111 ,− √311 , √111 ,)
Base ortonormal:
(
2 1 1 2 ,− , , , √10 √ 10 √10 √ 10
) ( ;
0,
1 3 1 ,− , , √11 √ 11 √11
5. Encuentra la matriz asociada de la transformación lineal T= P2 p2 definida por T: P(t) = P(x+2) , B= 1, x, 2, (x+2) 2 , C = T(P(X))=P(x+2 B= 1, X+2, (X+22 .,C= 1,X,X2 B= P(X) = a+bx+c+2 T(P(X)) = XP(3) T(P(X+2)) = P(X+4) T(P(X+22)) = P(X2+4X+6) α(1) + β (X) + θ (x2) = 3 α + Βx +θx2 = 3 α=3 β=0 Θ=0 α + β x +θx2 = x+4 α=4 β=1 θ=0 α + β x + θ x 2 = x2 + 4 x + 6 α=6 β=4 θ=1 A=
3 4 6
6.- Sea
0 0 1 0 4 1 4 T : R → M 22 una transformación lineal definida
1, x, x2
)
, V = P (x) = a+bx+cx2
T ( x , y , z , w )=
[
−x− y 2 z +3 w 4 x−2 z+ w 3 x− y +4 z
]
Determine: Núcleo(T) , Nulidad(T) Imagen(T), Rango(T) La matriz asociada a la transformación lineal respecto a las bases
{[ ] [
] [ ] [ ]}
1 3 , −1 3 , 8 2 , 1 0 B={ ( 0,1,1,1 ) , ( 1,0,1,1 ) , ( 1,1,0,1 ) , (1,1,1,0 ) } y C= 2 4 0 1 0 0 0 0
{
[ ]}
Ker ( T )= (x , y , z , w)∈ R4 /T ( x , y , z , w )= 0 0 0 0
{
−x – y=0 2 z+3 w=0 ⇒ 4 x−2 z +w=0 3 x− y + 4 z=0
[
[
1 1 0 0 0 0 2 3 4 0 −2 1 3 −1 4 0
][
1 1 0 0 0 1 1/2 1 /4 0 0 2 3 0 −4 4 0
][
⋮0 1 1 0 0 ⋮0 ⇒ 0 0 2 3 ⋮0 0 −4 −2 1 ⋮0 0 −4 4 0
−1 2 1 2 2 6
1 0
⋮0 ⋮0 ⇒ 0 1 ⋮0 ⋮0 0 0 0 0
1 4 −1 4 3 −1
][
][
−1 ⋮0 2 1 0 1 ⋮0 ⇒ 2 ⋮0 ⋮0
1 0
0 0
1
0 0
6
Ker ( T )= {⟨ 0 0 0 0 ⟩ } Rgo(T)=Dim(R4)-Nul(T)=4
{[ ] [ ] [ ] [ ]} 1 0 ; 0 1 ; 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
Imagen (T)=
Matriz Asociada
[
]
[
]
[
]
⋮0 1 1 0 0 ⋮0 ⋮ 0 ⇒ 0 −4 −2 1 ⋮0 ⇒ ⋮0 0 0 2 3 ⋮0 ⋮0 0 −4 4 0 ⋮0
]
T ( 0,1,1,1 )= −1 5 ; T ( 1,0,1,1 )= −1 5 ; T ( 1,1,0,1 )= −2 3 ; −1 3 −1 7 5 2
1 4 −1 4 3 2 −1
⋮0
][
1 0 0 0 1 0
1 −1 ⋮0 ⇒ 3 0 0 1 2 ⋮0 0 0 0 −10 ⋮0
⋮0 ⋮0
][
1 ⇒ 0 ⋮0 0 0 ⋮0
[
T ( 1,1,1,0)= −2 2 2 6
{
]
[ ] [
] [ ] [ ][
α 11 1 3 + β 21 −1 3 + γ 31 8 2 + δ 41 2 4 0 1 0 0
[ ] [
[ ] [
[ ] [
[
−1 2 9 −41 4 181 2
5 2 −8 39 4 −18 2
1 2 −7 2 27
]
]
α 13=
{
α 14 =1 1 0 = −2 2 ⇒ sol= β24 =2 7 0 0 2 6 γ 34= 2 δ 44 =27
] [ ] [ ][
α 14 1 3 + β 24 −1 3 + γ 34 8 2 + δ 44 2 4 0 1 0 0
−1 2 5 B M (T )C = −17 4 77 2
]
α 12 =
5 2 β 23 =−8 1 0 = −2 3 ⇒ sol= 39 0 0 5 2 γ 33= 4 −181 δ 43= 2
] [ ] [ ][
α 13 1 3 + β23 −1 3 + γ 33 8 2 + δ 43 2 4 0 1 0 0
]
−1 2 β22=9 1 0 = −1 5 ⇒ sol= −41 0 0 −1 7 γ 32= 4 181 δ 41= 2
] [ ] [ ][
α 12 1 3 + β 22 −1 3 +γ 32 8 2 + δ 42 2 4 0 1 0 0
{ { {
−1 2 β21=5 1 0 = −1 5 ⇒ sol= −17 0 0 −1 3 γ 31= 4 77 δ 41= 2 α 11 =
]
7.- Sea
T : M 22 → M 22
una transformación lineal definida por:
([ ]) [
w−z−2 x T x y = 3 w+2 y−2 x z w 6 x−2 y −3 z + 4 w 6 x−2 y +2 z −5 w
]
Determina una base para el
kernel(t) y la Imagen(t) “ESTE EJERCICIO SE REALIZO EN CLASE” .8.- Sea T: P2P2 una transformación lineal para la cual T(1+x) = 1 + x2, T(x + x2) = x – x2, T(1 + x2) = 1 + x + x2 Encuentre T(4 - x + 3x2) y T(a + bx +cx2) T(1+X) =1+ x2 T(X+X2) = X-X2 T(1+X2)= 1+X+X2 T=(4-X+3X2)=? T=(a+bx+cx2)=?
x +¿ 1+¿ x2 x2 ¿=4−x +3 x2 ∝ ( 1+ x ) + β ¿ ¿+ ϑ ¿ 1+ x+ βx+ β 2 x + ϑ + ϑ x2= 4-x+3 x2 ∝¿ ∝+ ϑ=4
∝=0
∝+ β=−1
β=−1
β+ ϑ=3
ϑ=4
0.(1+x)+(-1)(x+x2)+4(1+x2)= 4-x+3x2 (0).T(1+x)+(-1) T(x+x2)+4T(1+x2)=T(4-x+3x2) (0.(1+x2)+(-1(x-x2)+4(1+x+x2)= T(4-x+3x2) -x+x2+4+4x+4x2= T(4-x+3x2)
T(4-x+3x2)= 5x2+3x+4 T=(a+bx+cx2)=?
∝ ( 1+ x ) + β
(x+x2)+ ϑ
∝+ ∝ x+ βx+ β
x2+ ϑ
(1+x2)= a+bx+cx2 + ϑ
x2 = a+bx+cx2
∝=
∝+ ϑ=a
a+b−c 2
∝+ β=b
ϑ=
a−b+ c 2
β+ ϑ=c
β=
−a+b+ c 2
( a+b−c 2 )
(1+x)+
c ( −a+b+ ) 2
(x+x2)+
−a+b+ c T ( 1+ X )+¿ ( a+b−c ) ( ) 2 2
( a−b+c 2 )
(1+x2) +
c ( −a+b+ ) 2
( a−b+c 2 )
T(x+x2) +
= a+bx+cx2
( a−b+c 2 )
T(1+x2) = T(a+bx+cx2)
( a−b+c 2 )
(x-x2) +
(1+x+x2)= T(a+bx+cx2)
a+b−c −a+b+ c −a+b+ c + ( x + ( x- ( ( a+b−c ) ) ) ) 2 2 2 2 a−b+c a−b+c a−b+c + ( x+ ( + ( x ( a−b+c ) ) ) 2 2 2 2 )
T(a+bx+cx2)=
2
+
2
T(a+bx+cx2) = a+cx+
( a−b+c 2 )
x2
9.- Sea definida por T(X,Y,Z,W) =(X-Y+Z,Y+Z-W) Probar que es una transformación lineal U=(A,B,C,D) 1. T(U+V)= T(U)+ T()V T(A,B,C,D) + (M,N,O,P)
x y z w T=(a+m, b+n, c+o, d+p)
V=(M,N,O,P)
= ( a+m) – (b+n) + (c+o).,(b+n) + (c+o) – (d+p) = (a-b+c) + (m-n+o) , (b+c+d) + (n+p-p) =
(a-b+c, b+c-d) + (m-n +o,n +o-p)
= T (a, b, c, d) + T (m, n, o, p) T (α.U) = α T (U) T α. (a, b, c, d)
T(αa,αb,αc,αd)
= (αa –αb + αc, αb +αc -αd) = α(a-b + c, b + c-d)
α T(a, b, c, d)
= α T U… se cumple es una transformación lineal
{
{
1 U1 0 1
[
1 1 0 A= 0 −1 1 1 0 −1
]
{
1 U 2 −1 0
0 U3 1 −1
V1= U1 V1=(1,0,1) V2= U2-
(VV 1.1.
)
U 2 .V 1 VI ( 1,0,1 ) . ( 1,−1,0 ) .(1,0,1) ( 1,0,1 ) ( 1,0,1 )
V2=(1,-1,0)-
(
V2= (1,-1,0)-
( 12 ) .(1,0,1)
V2=
)
( 12 ,−1,− 12 )
V3= U3-
(VIV 1.
U3 V1
V2=(1,-1,0)-(
1 1 , 0, ) 2 2
2 V2=(1,-1,-1)
)
.V1-
(VV 2.2
)
U 3 .V 2 V2
-1 V3=(0,1,-1)-
0
(((
)
(
1,0,1 ) . ( 0,1,−1 ) ( ( 1,−1,−1 ) . ( 0,1,−1 ) . 1,0,1 ) − 1,0,1 ) ( 1,0,1 ) ( 1,−1,−1 ) ( 1,−1,−1 ) 2
V3=(0,1,-1)-
V3=
3
( −12 ) . ( 1,0,1 )
( 12 , 1,− 12 )
)
V3=(0,1,-1)-
( −12 ,0,− 12 )
2 V3=(1,1,-1)
Base ortogonal: {(1,0,1);(1,-1,-1);(1,1,-1)} q1=
1 * v1 ‖V 1‖
‖V 1‖ =
√ 12+0 2+1 2
‖V 1‖ = √ 2
.(1,-1,-1)
= 0/3= 0
1 √2
q1=
.(1,0,1)
( √12 , 0, √12 )
q1=
q2=
1 * v2 ‖V 2‖
‖V 2‖ =
q2=
1 √3
q2=
* (1,-1,-1)
1 * v3 ‖V 3‖ 1 q3= * (1,1,-1) √3 Base ortonormal: {
[
1 1 0 0 −1 1 1 0 −1
]
√ 12 +12−12
( √12 , 0, √12 ); ( √13 ,− √13 ,− √13 ); ( √13 , √13 ,− √13 )
[ ] 1 √3 −1 √3 −1 √3
0 1 √2
1 √3 1 √3 −1 √3
Q
U1=
8 U2= 7 −2
U3 =
[ ] 2 √2
*
0 0
1 √2 2 √3 0
−1 √2 0 2 √3
R
2. Obtener la factorización QR de la matriz A
2 1 −2
‖V 3‖ = √ 3
( √13 , √13 ,− √13 )
q3=
1 √2
=
‖V 2‖ = √ 3
( √13 ,− √13 ,− √13 )
‖V 3‖ =
q3=
√ 12−12−12
[
2 8 2 1 7 −1 −2 −2 1
]
2 −1 1
V1= U1 V1= (2,1,-2) V2= U2-
V1.U2 V1.V1
.
V1
V2 = (8,7,-2) – (2,1,-2).(8,7,-2) . (2,1,-2) (2, 1,-2) (2, 1,-2)
V2= (8, 2,-2) – (3). (2,1,-1)
V 2= (8, 7,-2) – (6,3,-6)
V2= (2,4,4 ) V3= U3-
V1 . U3 V1. V1
V3= (2,-1,1) -
.
V2. U3 . V2 V2. V2
(2, 1,-2). (2,-1, 1) (2, 1,-2) (2, 1,-2)
V3 = (2, -1, 1) –
1 . (2, 1,-2) – 9
V3= (2,-1,1) -
2 , 1 , -2 9 9 9
V3= 16 , -10 , 11 9
V1 -
9
-
9
. (2, 1,-2) -
4 36
-
. (2, 4,4)
2, 4, 4 9 9 9
2, 4 , 4 9
9
(2, 4,4) . (2,-1, 1) . (2, 4,4) (2, 4,4) (2, 4,4)
9 V 3 = (14, -14, 7)
9
base ortogonal: (2,1,-2); (2,4,4 ); (14, -14, 7)
ǁV3ǁ=
√ 22 + 12 + (-2)2
ǁV2ǁ=
√ 23 + 4 2 + 4 2
ǁV3ǁ= q1=
q2=
2
√ 14 1 √9 1 √ 36
.
ǁV1ǁ= ǁV 2ǁ=
+ 42 + 42 (2, 1, -2)
. (2, 4, 4)
ǁV 3ǁ= q 1= (
q 2= (
2 6
√9
√ 36 √ 441
2 1 , 3 3 ,
4 6
,
,
−2 3
4 ) 6
)
q3=
1 √ 441
. (14, -14,7)
2 1 , 3 3
Base Ortonormal:
,
q 3= (
14 21
;
2 6
−2 3
,
,
−14 21
,
4 6
4 6
,
7 21
)
;
14 21
,
−14 21
,
7 21
2 8 2 1 7 −1 −2 −2 4
2 3 1 3 −2 3
=
2 6 4 9 4 6
14 21 −14 21 7 21
Q
3 9 .
0 6 0 0
1 3 2 3 7 3
R
3.- Obtener una base ortonormal de R3 , con el producto escalar canónico, partiendo de una base formada por los vectores { x 1=( 1,−1,0 ) , x 2=( 2,0,−1 ) , x 3=( 0,1,2 ) }
1=¿ (1,-1,0) x¿
x 2=( 2,0,−1 )
x 3=( 0,1,2 )
V1= U1 V1=(1,-1,0)
(VV 1.1.
)
U 2 .V 1 VI ( 1,−1,0 ) . (2,0,−1) 1,−1,0 V2=(2,0,-1)* (1,-1,0) ¿ ¿ ((1,−1,0) ¿ ¿) ¿ ¿ ¿ V2= U2-
2
2
V2=(2,0,-1)-(1).(1,-1,0)
V2=(1,1,-1)
v2= (2,0,-1)-(1,-1,0)
(VIV 1.
V3= U3-
U3 V1
)
.V1-
(VV 2.2
)
U 3 .V 2 V2
-1
-1
((
)
1,−1,0 ) . (0,1,2) . (1,-1,0)(1,−1,0) (1,−1,0)
V3= (0,1,2)-
((
1,1−1 ) . (0,1,2) ( 1,1,−1) (1,1,−1)
2 V3=(0,1,2)—
V3=(0,1,2)-
6 V3=
(5,6
)
.(1,1,-1)
3.
( −12 ) . ( 1,−1,0) −( −13 ) .(1,1,−1) ( −12 , 12 , 0)−( −13 ,− 13 , 13 ) 5, 5 6 3
)
V3=
( 12 , 12 ,2)
-
( −13 ,− 13 , 13 )
6V3= (7,5,5)
Base ortogonal: (1,-1,0; (2,1,-1) ; ( 5,5,5 )
q1=
q1=
1 * v1 ‖V 1‖ 1 √2
‖V 1‖ =
.(1,-1,0)
q2=
1 * v2 ‖V 2‖
q2=
1 √3
1 * v3 ‖V 3‖ 1 q3= * (5,5,5) 75 Base ortonormal: {
q2=
√ 12 +12−12
‖V 2‖ = √ 3
( √13 , √13 ,− √13 )
‖V 3‖ = q3=
‖V 1‖ = √ 2
( √12 ,− √12 , 0)
‖V 2‖ =
* (1,1,-1)
q3=
q1=
√ 12−12+ 02
√ 52 +52 +52
‖V 3‖ = √ 75
( 755 , √575 , √575 )
( √12 ,− √12 , 0); ( √13 , √13 ,− √13 ); ( 755 , √575 , √575 )
4.- Obtener una base ortonormal de R4 , con el producto escalar canónico, partiendo de una base formada por los vectores { x 1=( 2,−1,1,2 ) , x 2=( 3,−1,0,4 ) } V1=(2,-1,1,2) V2=(3,-1,0,4)-
( ((
V2=(3,-1,0,4)-
( 1510 )
V2=(3,-1,0,4)-
( 32 )
V2=(3,-1,0,4)-(3,-
1 2
V2=(0,
,
)
2,−1,1,2 ) . (3,−1,0,4 ) .(2,−1,1,2) 2,−1,1,2 ) ( 2,−1,1,2 ) .(2,-1,1,2)
.(2,-1,1,2)
3 3 , ,3 ) 2 2
−3 ,1 ) 2
V2=(0,1,-3,1)
Q1=
Q1=
1 ‖2,−1,1,2‖
‖2,−1,1,2‖ =
Q1= Q1=
Base Ortogonal: V1=(2,-1,1,2 )
V2=(0,1,-3,1)
* (2,-1,1,2)
√ 22−12+ 12+22
‖2,−1,1,2‖ = √ 10
1 .(2,−1,1,2) √ 10
Q1=
Q2=
1 *V2 ‖V 2‖
Q2=
‖0,1,−3,1‖=¿
√ 02 +12−32 +12
Q2=
‖0,1,−3,1‖=¿
√ 11
Q2=
( √210 ,− √110 , √110 , √210 ,)
1 ∗( 0,1,−3,1 ) ‖0,1,−3,1‖
Q2=
1 √ 11
.(0,1,-3,1)
Q2=
(0, √111 ,− √311 , √111 ,)
Base ortonormal:
(
2 1 1 2 ,− , , , √10 √ 10 √10 √ 10
) ( ;
0,
1 3 1 ,− , , √11 √ 11 √11
5. Encuentra la matriz asociada de la transformación lineal T= P2 p2 definida por T: P(t) = P(x+2) , B= 1, x, 2, (x+2) 2 , C = T(P(X))=P(x+2 B= 1, X+2, (X+22 .,C= 1,X,X2 B= P(X) = a+bx+c+2 T(P(X)) = XP(3) T(P(X+2)) = P(X+4) T(P(X+22)) = P(X2+4X+6) α(1) + β (X) + θ (x2) = 3 α + Βx +θx2 = 3 α=3 β=0 Θ=0 α + β x +θx2 = x+4 α=4 β=1 θ=0 α + β x + θ x 2 = x2 + 4 x + 6 α=6 β=4 θ=1 A=
3 4 6
6.- Sea
0 0 1 0 4 1 4 T : R → M 22 una transformación lineal definida
1, x, x2
)
, V = P (x) = a+bx+cx2
T ( x , y , z , w )=
[
−x− y 2 z +3 w 4 x−2 z+ w 3 x− y +4 z
]
Determine: Núcleo(T) , Nulidad(T) Imagen(T), Rango(T) La matriz asociada a la transformación lineal respecto a las bases
{[ ] [
] [ ] [ ]}
1 3 , −1 3 , 8 2 , 1 0 B={ ( 0,1,1,1 ) , ( 1,0,1,1 ) , ( 1,1,0,1 ) , (1,1,1,0 ) } y C= 2 4 0 1 0 0 0 0
{
[ ]}
Ker ( T )= (x , y , z , w)∈ R4 /T ( x , y , z , w )= 0 0 0 0
{
−x – y=0 2 z+3 w=0 ⇒ 4 x−2 z +w=0 3 x− y + 4 z=0
[
[
1 1 0 0 0 0 2 3 4 0 −2 1 3 −1 4 0
][
1 1 0 0 0 1 1/2 1 /4 0 0 2 3 0 −4 4 0
][
⋮0 1 1 0 0 ⋮0 ⇒ 0 0 2 3 ⋮0 0 −4 −2 1 ⋮0 0 −4 4 0
−1 2 1 2 2 6
1 0
⋮0 ⋮0 ⇒ 0 1 ⋮0 ⋮0 0 0 0 0
1 4 −1 4 3 −1
][
][
−1 ⋮0 2 1 0 1 ⋮0 ⇒ 2 ⋮0 ⋮0
1 0
0 0
1
0 0
6
Ker ( T )= {⟨ 0 0 0 0 ⟩ } Rgo(T)=Dim(R4)-Nul(T)=4
{[ ] [ ] [ ] [ ]} 1 0 ; 0 1 ; 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
Imagen (T)=
Matriz Asociada
[
]
[
]
[
]
⋮0 1 1 0 0 ⋮0 ⋮ 0 ⇒ 0 −4 −2 1 ⋮0 ⇒ ⋮0 0 0 2 3 ⋮0 ⋮0 0 −4 4 0 ⋮0
]
T ( 0,1,1,1 )= −1 5 ; T ( 1,0,1,1 )= −1 5 ; T ( 1,1,0,1 )= −2 3 ; −1 3 −1 7 5 2
1 4 −1 4 3 2 −1
⋮0
][
1 0 0 0 1 0
1 −1 ⋮0 ⇒ 3 0 0 1 2 ⋮0 0 0 0 −10 ⋮0
⋮0 ⋮0
][
1 ⇒ 0 ⋮0 0 0 ⋮0
[
T ( 1,1,1,0)= −2 2 2 6
{
]
[ ] [
] [ ] [ ][
α 11 1 3 + β 21 −1 3 + γ 31 8 2 + δ 41 2 4 0 1 0 0
[ ] [
[ ] [
[ ] [
[
−1 2 9 −41 4 181 2
5 2 −8 39 4 −18 2
1 2 −7 2 27
]
]
α 13=
{
α 14 =1 1 0 = −2 2 ⇒ sol= β24 =2 7 0 0 2 6 γ 34= 2 δ 44 =27
] [ ] [ ][
α 14 1 3 + β 24 −1 3 + γ 34 8 2 + δ 44 2 4 0 1 0 0
−1 2 5 B M (T )C = −17 4 77 2
]
α 12 =
5 2 β 23 =−8 1 0 = −2 3 ⇒ sol= 39 0 0 5 2 γ 33= 4 −181 δ 43= 2
] [ ] [ ][
α 13 1 3 + β23 −1 3 + γ 33 8 2 + δ 43 2 4 0 1 0 0
]
−1 2 β22=9 1 0 = −1 5 ⇒ sol= −41 0 0 −1 7 γ 32= 4 181 δ 41= 2
] [ ] [ ][
α 12 1 3 + β 22 −1 3 +γ 32 8 2 + δ 42 2 4 0 1 0 0
{ { {
−1 2 β21=5 1 0 = −1 5 ⇒ sol= −17 0 0 −1 3 γ 31= 4 77 δ 41= 2 α 11 =
]
7.- Sea
T : M 22 → M 22
una transformación lineal definida por:
([ ]) [
w−z−2 x T x y = 3 w+2 y−2 x z w 6 x−2 y −3 z + 4 w 6 x−2 y +2 z −5 w
]
Determina una base para el
kernel(t) y la Imagen(t) “ESTE EJERCICIO SE REALIZO EN CLASE” .8.- Sea T: P2P2 una transformación lineal para la cual T(1+x) = 1 + x2, T(x + x2) = x – x2, T(1 + x2) = 1 + x + x2 Encuentre T(4 - x + 3x2) y T(a + bx +cx2) T(1+X) =1+ x2 T(X+X2) = X-X2 T(1+X2)= 1+X+X2 T=(4-X+3X2)=? T=(a+bx+cx2)=?
x +¿ 1+¿ x2 x2 ¿=4−x +3 x2 ∝ ( 1+ x ) + β ¿ ¿+ ϑ ¿ 1+ x+ βx+ β 2 x + ϑ + ϑ x2= 4-x+3 x2 ∝¿ ∝+ ϑ=4
∝=0
∝+ β=−1
β=−1
β+ ϑ=3
ϑ=4
0.(1+x)+(-1)(x+x2)+4(1+x2)= 4-x+3x2 (0).T(1+x)+(-1) T(x+x2)+4T(1+x2)=T(4-x+3x2) (0.(1+x2)+(-1(x-x2)+4(1+x+x2)= T(4-x+3x2) -x+x2+4+4x+4x2= T(4-x+3x2)
T(4-x+3x2)= 5x2+3x+4 T=(a+bx+cx2)=?
∝ ( 1+ x ) + β
(x+x2)+ ϑ
∝+ ∝ x+ βx+ β
x2+ ϑ
(1+x2)= a+bx+cx2 + ϑ
x2 = a+bx+cx2
∝=
∝+ ϑ=a
a+b−c 2
∝+ β=b
ϑ=
a−b+ c 2
β+ ϑ=c
β=
−a+b+ c 2
( a+b−c 2 )
(1+x)+
c ( −a+b+ ) 2
(x+x2)+
−a+b+ c T ( 1+ X )+¿ ( a+b−c ) ( ) 2 2
( a−b+c 2 )
(1+x2) +
c ( −a+b+ ) 2
( a−b+c 2 )
T(x+x2) +
= a+bx+cx2
( a−b+c 2 )
T(1+x2) = T(a+bx+cx2)
( a−b+c 2 )
(x-x2) +
(1+x+x2)= T(a+bx+cx2)
a+b−c −a+b+ c −a+b+ c + ( x + ( x- ( ( a+b−c ) ) ) ) 2 2 2 2 a−b+c a−b+c a−b+c + ( x+ ( + ( x ( a−b+c ) ) ) 2 2 2 2 )
T(a+bx+cx2)=
2
+
2
T(a+bx+cx2) = a+cx+
( a−b+c 2 )
x2
9.- Sea definida por T(X,Y,Z,W) =(X-Y+Z,Y+Z-W) Probar que es una transformación lineal U=(A,B,C,D) 1. T(U+V)= T(U)+ T()V T(A,B,C,D) + (M,N,O,P)
x y z w T=(a+m, b+n, c+o, d+p)
V=(M,N,O,P)
= ( a+m) – (b+n) + (c+o).,(b+n) + (c+o) – (d+p) = (a-b+c) + (m-n+o) , (b+c+d) + (n+p-p) =
(a-b+c, b+c-d) + (m-n +o,n +o-p)
= T (a, b, c, d) + T (m, n, o, p) T (α.U) = α T (U) T α. (a, b, c, d)
T(αa,αb,αc,αd)
= (αa –αb + αc, αb +αc -αd) = α(a-b + c, b + c-d)
α T(a, b, c, d)
= α T U… se cumple es una transformación lineal
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