Trabajo D Grado. Gabriela Diaz

Colegio Colombo Americano “Trabajando juntos por un liderazgo transformador” Proyecto Media Vocacional- Matemáticas Trabajo de Grado Gabriela Díaz Galindo 11 A 14/10/09 Titulo: Las capas de un cono Resumen: Calcule el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h, usando el método de cortezas. Índice de Términos: Cono: en geometría elemental, es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice. La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base. La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base. Volumen de un cono: El volumen de un cono de radio y altura volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

La ecuación se obtiene mediante

es 1/3 del

, donde

es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la

altura h, en este caso. Solido de revolucion: Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar una superficie plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución. Metodo de Cortezas: es un metodo para hallar volúmenes de sólidos obtenidos por revolución. Se utiliza en el caso en que se quiera rotar una región limitada por una funcion y el eje, alrededor del eje. Utiliza capas, o cortezas cilindricas, que son rectángulos paralelos al eje de rotación, que al girar producen cilindros concéntricos circulares. Estas capas tienen una altura, un espesor, una longitud

(circunferencia) , un radio exterior y un radio interior. Para formar las cortezas se hace una partición regular del intervalo (entre la funcion y el eje) en varios subintervalos, como se da en las siguientes expresiones en el caso que el eje de rotacion fuese y, y el radio del cono se diera en x :

si

altura de una corteza es y(ti) ; el radio de una corteza es

la , el espesor

quedando el volumen de la iésima corteza , donde Volumen total. Si se generaliza este proceso para una función continua con

. Introducción: A lo largo de este año escolar, el espacio de Proyecto Media Vocacional de Matemáticas para grado once, ha sido redirigido por las políticas institucionales para abordar las principales asignaturas en las carreras universitarias que resultan relevantes para sus integrantes. Debido a esto, el presente año correspondió una introducción al Cálculo integral y Algebra lineal, que culmina en la aplicación de la teoría de las integrales en un problema específico de la vida real. Aunque ya contamos con las herramientas necesarias para solucionar una integral, en esta ocasión, hemos tenido que indagar por nuestros propios medios de las formas de aplicación en la vida real, como en este caso, el método de cortezas para hallar el volumen de un cono. Para esta situación, fue necesaria una investigación personal, por medio de libros de Geometría Analítica, páginas de internet relacionadas y además asesorías de parte de ingenieros y matemáticos. En este proceso, fue posible llegar a los conceptos mencionados previamente, y así reconstruir los pasos por los cuales es aplicado el método en cuestión, para facilitar posteriormente la exposición de las variables que requiere el problema, y construir en última instancia una ecuación que diera solución al objetivo principal. Contenido: •

Calcule el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h, usando el método de cortezas. Debemos encontrar una ecuación que describa el volumen de un cono de estas condiciones, integrando a partir de la del método solicitado.

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Se debe formular la integral a partir de las variables que exige el problema, y proceder a la máxima simplificación de esta, así se podrá obtener el volumen requerido.njnkjnkjnkjnkjnkjn Siguiendo estas premisas podemos resolver así:

Dado el sólido de revolución alrededor del eje y, de altura h y radio r, podemos hallar el volumen de muchas maneras. Sin embargo el método requerido es el método de las cortezas, por medio del cual se subdivide el sólido en muchas capas cilíndricas, que se suman para hallar el valor total del volumen. Para hallar el volumen de una corteza, hay diferentes valores a considerar:

Cono

Subdivisión del sólido en cortezas,

o capas cilíndricas

Corteza o capa cilíndrica

Corteza

abierta

Altura: la altura (h) de cada corteza, está delimitada por la función que genera la superficie del sólido, es decir por la función a revolucionar. Al hablar de un sólido de revolución como el cono, estamos afirmando que sus generatrices son rectas que confluyen desde una base circular a un vértice. Por lo tanto la función que delimitará la altura de cada una de las cortezas, está dada por la definición básica de una recta mx + b=y. Debemos recordar que b es el valor del "término independiente" u "ordenada al origen", o el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano; en este caso 0. Por otro lado m es el valor de la pendiente, un valor constante hallado por medio de la formula m=(y2-y1)/(x2-x1); y en este caso puede ser hallado reemplazando los siguientes valores como m=(h-0)/(r-0)= h/r. De esta forma encontramos la función que delimitará la altura de cada una de las capas cilíndricas: h= f(x)=(hx/r) Espesor: el espesor (Δx) de cada corteza, hace referencia al grosor de cada capa, es decir la distancia entre su radio interior y exterior. Al momento de dividir el cono en las cortezas, se parte de hacer subíntervalos regulares en x dentro del intervalo [0,r], por eso la suma del grosor de todas las cortezas es el radio del cono. Nota: si Δx tiende a 0, la cantidad de subintervalos tiende a infinito, por lo tanto el valor final del volumen será más exacto. Radio: el radio(r) en las cortezas, adquiere diferentes denominaciones y valores según el resultado al que se quiera llegar. Por un lado debemos considerar el

radio exterior (r ext), necesario para hallar el volumen del cilindro del cual se formara la corteza tras eliminar el cilindro en su interior, y por el otro se debe considerar en radio interior (r int), necesario para hallar el volumen de la región hueca interna de cada corteza, para hacer la posterior resta de volúmenes y encontrar el volumen de la corteza. También es necesario tener en cuenta el radio promedio (r), o punto medio, hallado con la formula (r ext+ r int)/2, necesario al momento de plantear la integral que conducirá al resultado final. Longitud: la longitud (L) de cada corteza, hace referencia a la circunferencia de la base del cilindro, y se halla por la formula 2πr Considerando los valores, su procedencia y justificación, podemos aplicarlos al problema en particular. En primer lugar debemos considerar que una capa o corteza es en pocas palabras un cilindro hueco, cuyo volumen estaría dado por la resta del volumen del cilindro grande y el volumen del cilindro que forma la parte hueca del cilindro grande, por lo tanto el volumen que buscamos es una resta de volúmenes, V= V1-V2. En segundo lugar debemos recordar que la fórmula establecida para hallar el volumen de un cilindro es πr2h, que se traduce en el producto de la base circular y la altura del sólido. Para el caso actual estas variables asumen su valor correspondiente, siendo h = h= f(x)=(hx/r), y r= r ext o r int, según el volumen a encontrar; V1=π (r ext)2 f(x) & V2= π (r int)2 f(x) . De esta manera podemos llegar a decir que V= π (r ext)2 f(x) - π (r int)2 f(x) V= π f(x) (r ext2 - r int2) Se resuelve por medio de un caso típico de factorización de resta de cuadrados, que da como resultado V= π f(x) (r ext + r int) (r ext - r int) Debemos observar que (r ext - r int) corresponde al valor del grosor de la capa cilíndrica, pero de la misma manera que este valor es favorable para nuestros cálculos, debemos llegar al valor con el que aun no contamos (longitud) sin dañar la igualdad. Para esto multiplicamos por 2/2, o 1, y así encontraremos el valor de la longitud al despejar el radio promedio (r) V= 2π f(x) (r ext + r int) (r ext - r int) 2 Es decir V= L h Δx En tercer lugar, ya con el volumen de cada una de las cortezas, pasamos a encontrar el volumen de todo el sólido. Se divide el intervalo [-r,r] (intervalo en el cual está delimitado el sólido), en n subintervalos [xi-1, xi] , El radio si ti Є [xi-1, xi] => r=ti La altura h= f(ti)= (h ti /r), El espesor Δx = xi - xi-1

Por lo tanto el volumen de la iesima corteza Vi= 2π(ti) (h ti /r) Δx, con lo cual Volumen total Vt= i=1nΔVi.

En cuarto lugar se puede proceder a plantear la integral que describa el volumen total de un cono. Sabemos que los límites de la integral son -r, y r , sin embargo al considerar que es un solido simétrico, podemos tomar el intervalo [0,r]. Se deben introducir los valores con los cuales se puede hallar el volumen de cada corteza, que son la altura h=(h x /r), la longitud L= 2πx, y el espesor Δx que corresponde al valor de la diferencial en x (dx). Vt =0r2πx(h x /r) dx Vt=(2hhhπ)/r 0rhhx2dx Vt=(2hhhπh)/r 0rhx2dx r

Vt=(2hπh)/r (x3/3)l Vt=2hhhhπhr(r3)/3 Vt=(2πhr2)/3

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Teniendo en cuenta los procedimientos pasados, podemos llegar a una respuesta final frente al problema “Calcule el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h, usando el método de cortezas.”. Sabemos que h debe ser expresado en términos de la función que revoluciona para formar el cono, y que r cumple la función de determinar 2 dimensiones de los cilindros o cortezas que completaran el volumen del cono. Sabiendo esto, asignamos los valores correspondientes a las dimensiones de cada corteza, para delimitar una sumatoria y luego plantear una integral que nos permite llegar a el volumen total, expresado en la ecuación (2πhr2)/3

Conclusiones: En sólidos de revolución completos (sin huecos), delimitados con funciones lineales o cuadráticas, es más eficiente utilizar el método de discos para hallar su volumen. Al utilizar el método de las cortezas el radio de la base es despreciable, pues en este caso son valores que deben ser hallados independientemente y sumados definidamente para hallar el volumen total. Esto se logra ubicando el sólido dentro de un plano, y asignando valores tanto a la altura como al eje principal, y a la generatriz como función de revolución. Se puede llegar al volumen de cualquier solido de revolución por medio del método de cortezas. Bibliografía: STEWART James. CAL CULUS,EARLY TRANSCENDENTALS. McMASTER UNIVERSITY. Sixth edition