Trabajo Colaborativo.docx

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

PROYECTO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

ALGEBRA LINEAL

PROFESOR: SERRANO VICTOR

SUBGRUPO 21: MALDONADO PINILLA MIREYA 1821981142 NOSCUE RAMIREZ DUMAR JAIR 1621982767 SANCHEZ PINEDA JOHAN ANDRES 1511025948 GERALDINO MENDOZA ERICK DAVID 1821980927 ROJAS PANQUEVA MANUEL ORLANDO 1721025867

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 2018

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

PROYECTO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Actividad 1. Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave: 1 −4 ( ) y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo 0 1 “_” representa el espacio entre las palabras).

Actividad 2. Suponga que se intercepta el mensaje HTQÑULUYXHBZPHXOTJHTQBADWIGPZH junto con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave 4 2 1 Matriz clave:(5 3 2) 2 1 1 La misión del grupo es: 1. Descifrar tal mensaje. 2. Detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje.

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Solución: 1. R/ Palabra a descifrar: DEDICACIÓN. 1 Matriz clave: ( 0

−4 ) 1

Paso 1: Se realiza transcripción numérica, teniendo en cuanta la tabla de sustitución. 3, 4, 3, 8, 2, 0, 2, 8, 15, 13. Como la transformación lineal esta ordenada de 2*2, se agrupa los números en grupos de dos ternas, sobre las que luego aplicaremos la transformación lineal. (3,4), (3, 8), (2,0), (2,8), (15,13).

Paso 2. Se transforman las ternas de números anteriores, mediante la transformación lineal dada por la clave, en nuevas ternas, que serán el mensaje numérico cifrado, es decir se multiplica la matriz clave con la terna calculada. Se debe tener en cuenta que en la transformación lineal se está trabajando con los números enteros de 29 modulo. (

1 −4 3 −13 )*( ) = ( ) 0 1 4 4

(

1 −4 3 −29 )*( ) = ( ) 0 1 8 8

(

1 −4 2 2 )*( ) = ( ) 0 1 0 0

(

1 −4 2 −30 )*( ) = ( ) 0 1 8 8

(

1 −4 15 −37 )*( ) = ( ) 0 1 13 13

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Paso 3. La transcripción numérica quedaría así: -13, 4, -29, 8, 2, 0, -30, 8, -37, 13. Se debe tener en cuenta que en la transformación lineal se está trabajando con los números enteros de 29 modulo. (

1 −4 3 −13 16 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 4 4 4

(

1 −4 3 −29 0 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 8 8 8

(

1 −4 2 2 2 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 0 0 0

(

1 −4 2 −30 28 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 8 8 8

(

1 −4 15 −37 21 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 13 13 13

Se toma los resultados de la transformación lineal de cada terna, teniendo así un mensaje numérico cifrado "16, 4, 0, 8, 2, 0, 28, 8, 21, 13", que al transformar de nuevo los números en sus correspondientes letras, se convierte en el mensaje cifrado

"PEAICA.IUN". Paso 4. Se le aplicando una inversa a la matriz clave para hacer una comprobación. A =(

1 −4 ) 0 1 1 −4 ) = (A) = (1*1) – (-4*0) = 1 0 1

Det = ( A=(

1 −4 1 ) ( 0 1 0

0 ) 1

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1 0 1 ) ( 0 1 0 1 Matriz inversa = 𝐴−1 = ( 0 R1= 4*R2 + R1 (

Paso 5.

4 ) 1 4 ) 1

Con esta matriz clave hacemos la comprobación y debemos tener en cuenta que en la transformación lineal se está trabajando con los números enteros de 29 modulo.

(

1 4 16 32 3 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 4 4 4

(

1 4 0 32 3 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 8 8 8

(

1 4 2 2 2 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 0 0 0

(

1 4 28 60 2 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 8 8 8

(

1 4 21 73 15 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 0 1 13 13 13

La cual la comprobación arroja la transcripción numérica así: (3, 4, 3, 8, 2, 0, 2, 8, 15, 13). Se hace la sustitución teniendo en cuenta la tabla y se comprueba la palabra descifrada que es:

DEDICACIÓN.

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2. R/ Palabra a descifrar: HTQÑULUYXHBZPHXOTJHTQBADWIGPZH. 4 2 1 Matriz clave: (5 3 2) 2 1 1

Paso 1. Se realiza transcripción numérica, teniendo en cuanta la tabla de sustitución. 7, 20, 17, 14, 21, 11, 21, 25, 24, 7, 1, 26, 16, 7, 24, 15, 20, 9, 7, 20, 17, 1, 0, 3, 23, 8, 6, 16, 26, 7. Como la transformación lineal esta ordenada de 3*3, se agrupa los números en grupos de dos ternas, sobre las que luego aplicaremos la transformación lineal. (7,20,17), (14,21,11), (21,25,24), (7,1,26), (16,7,24), (15,20,9), (7,20,17), (1,0,3), (23,8,6), (16,26,7)

Paso 2. Se le aplicando una inversa a la matriz clave para hacer el descifrado del mensaje. 4 2 (5 3 2 1

1 1 0 0 2) (0 1 0) 1 0 0 1

Aplicamos la siguiente formula F1=

1 *F1 4

1 2

1

1 4

0 ) ( 0 1 2 0 0 1

(5 2 2 1

1 Se aplica la siguiente formula F2= -5*F1+F2 (0 2 1 0

Se aplica la siguiente formula F3= -2*F1+F3 (

1 4

1 2 1 2

1 4 3) 4

1 4

0 0

0 0

(− 5 4

1 1 1 2 1 2

0 0) 1

1 4 3 −4 1 2 )

0 1 4 5 −4 1 −2 (

1 0) 0 1 0

0

1

0

0

1

)

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Se aplica la siguiente formula F2= 2*F2

1

1 2

0

1

0 (

0

1 4 3 2 1 2)

1 4

Se aplica la siguiente formula F1=

1 0 Se aplica la siguiente formula F3= 2*F3 (0 1 0 0 Se aplica la siguiente formula F1=

1 *F3+f1 2

0

1

1 2 3 2 1 2)

0 0 −

−2 2 − 0 ( 2

0 1 (

0

5

1 0 1 - -2*F2+F1

0

3 2

) (− 5 2 1 −1 3 2

1 1 0 0 3 5 (0 1 2 ) (− 2 0 0 1 −1

1 0 3 Se aplica la siguiente formula F2= - *F3+f2 (0 1 2 0 0

)

−1 0

5 −4 1 − ( 2 3 2

1 2

1

2

0

0

1

)

−1 0 2 0

0) 2

−1 1 2 0) 0 2

0 1 −1 1 0) (−1 2 −3) 1 −1 0 2

Como resultado tenemos la matriz inversa la cual es la clave para usar y descifrar el mensaje.

Paso 3. Se transforman las ternas de números anteriores, mediante la transformación lineal dada por la clave, en nuevas ternas, que serán el mensaje numérico cifrado, es decir se multiplica la matriz clave con la terna calculada. Se debe tener en cuenta que en la transformación lineal se está trabajando con los números enteros de 29 modulo. 1 −1 1 7 4 4 (−1 2 −3)*(20) = (−18) = (mod 29) = (11) −1 0 2 17 27 27 1 −1 1 14 4 4 (−1 2 −3)*(21) = (−5) = (mod 29) = (24) −1 0 2 11 8 8

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1 −1 1 21 20 20 (−1 2 −3)*(25) = (−43) = (mod 29) = (15) −1 0 2 24 27 27 1 −1 1 7 32 3 (−1 2 −3)*( 1 ) = (−83) = (mod 29) = (25) 26 −1 0 2 45 16 1 −1 1 16 33 4 (−1 2 −3)*( 7 ) = (−74) = (mod 29) = (13) −1 0 2 24 32 3 1 −1 1 4 4 15 (−1 2 −3)*(20) = (−2) = (mod 29) = (27) −1 0 2 3 3 9 1 −1 1 7 4 4 (−1 2 −3)*(20) = (−18) = (mod 29) = (11). −1 0 2 17 27 27 1 −1 1 1 4 4 (−1 2 −3)*(0) = (−10) = (mod 29) = (19) −1 0 2 3 5 5 1 −1 1 23 21 21 (−1 2 −3)*( 8 ) = (−25) = (mod 29) = ( 4 ) −1 0 2 6 −11 18 1 −1 1 16 −3 26 (−1 2 −3)*(26) = ( 15 ) = (mod 29) = (15) −1 0 2 7 −2 27

Paso 4. Se toma los resultados de la transformación lineal de cada terna, teniendo así un mensaje numérico cifrado “4, 11, 27, 4, 24, 8, 20, 15, 27, 3, 25, 16, 4, 13, 3, 4, 27, 3, 4, 11, 27, 4, 19, 5, 21, 4, 18, 26, 15, 27”. Que al transformar de nuevo los números en sus correspondientes letras, se convierte en el mensaje cifrado:

EL_EXITO_DEPENDE_DEL_ESFUERZO.

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Paso 5. Se realiza una comprobación con la primera matriz clave. 4 2 (5 3 2 1

1 4 7 65 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( ) 11 20 2 107 1 27 17 46

4 2 (5 3 2 1

1 4 72 14 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( 24 108 2 21) 1 8 40 11

4 2 (5 3 2 1

1 20 137 21 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( 199 2 15 25) 1 27 82 24

4 2 (5 3 2 1

1 3 78 7 ) ∗ ( ) = ( ) = (mod 29) = ( 25 1) 2 122 26 1 16 47

4 2 (5 3 2 1

1 4 16 45 )*( ) = ( ) = (mod 29) = ( 13 2 7) 65 1 3 24 24

4 2 (5 3 2 1

1 4 73 15 2)*(27) = (107) = (mod 29) = (20) 1 3 38 9

4 2 (5 3 2 1

1 4 7 65 2)*(11). = (107) = (mod 29) = (20) 1 27 17 46

4 2 (5 3 2 1

1 4 1 59 2)*(19) = (87) = (mod 29) = (0) 1 5 3 32

4 2 (5 3 2 1

1 21 110 23 2)*( 4 ) = (153) = (mod 29) = ( 8 ) 1 18 64 6

4 2 (5 3 2 1

1 26 161 16 2)*(15) = (229) = (mod 29) = (26) 1 27 94 7

La cual la comprobación arroja la transcripción numérica así: “7, 20, 17, 14, 21, 11, 21, 25, 24, 7, 1, 26, 16, 7, 24, 15, 20, 9, 7, 20, 17, 1, 0, 3, 23, 8, 6, 16, 26, 7”. Se hace la sustitución teniendo en cuenta la tabla y se comprueba la palabra descifrada que es:

HTQÑULUYXHBZPHXOTJHTQBADWIGPZH.