Trabajo Colaborativo Grupo 100408_244.pdf

ALGEBRA LINEAL

PRESENTADO POR: LUZ ANGELA ESTEPA VERDUGO cod 102406619 ANA MERCEDES SOMERSON MART INEZ cod : HECTOR ADOLFO ALVARADO cod : RAUL VICENTE TAMAYO cod :

GRUPO: 100408_244

PRESENTADO A: EDWIN BLASNILO RUA TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) CEAD: DUITAMA MARZO 2019

1

INTRUDUCCION

Con el desarrollo del presente trabajo colaborativo se busca, que el estudiante conceptualice los conceptos que definen el álgebra lineal; con el fin de comprender las aplicaciones y utilidades que tiene este campo. El Algebra Lineal, aborda temáticas y herramientas, que aplicadas correctamente, permitirán una solución a una problemática planteada. El contenido del Curso de Algebra Lineal. Permite el aprendizaje de conceptos que ayudaran a comprender el uso de las derivadas y las distintas técnicas, que hacen parte de esta área. Para el desarrollo de este trabajo denominado Tarea 1; Se propone el desarrollo de unos ejercicios relacionados con los conceptos y definiciones de las matrices; su solución se realizara, teniendo en cuenta los componentes y cálculos, necesarios para obtener los valores requeridos.

2

OBJETIVOS 

Conocer, el contenido expuesto en el curso de Algebra Lineal para poder , desarrollar los puntos propuestos.



Hacer, un análisis, referente a los conceptos previos e investigación. Para poder aplicar lo relacionado a este materia, familiarizándose con el concepto de vectores y matrices.



Generar en el estudiante una manera más fácil de practicar y entender lo aprendido, desarrollando y comprendiendo lo que se estudiara en el curso de Algebra Lineal

3

Descripción del ejercicio 1:

REALIZAR MAPA CONCEPTUAL

Matrices: algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial.

Figura 1. Mapa Conceptual del contenido de la unidad 1.

Ejercicio 2. a.Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector: 4

h2 = a2 + b2 ⃗ | = √122 + 92 |A ⃗ | = √144 + 81 |A ⃗ | = √225 |A ⃗ | = 15 |A Dirección 𝛂 = tan−1 (

9 ) 12

𝛂 = 36,8698 𝐚 = 𝟑𝟔°

Sentido Positivo, positivo ++

Figura 1. Representación gráfica de un vector.

a) Dados los siguientes vectores en forma polar  |u| = 2 ; θ = 120° 5



|v| = 3 ; θ = 60°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes: ● v̅ − u̅ ● 5v̅ − 2 u̅

v̅ − u̅ = 3∠60° − 2 ∠120° Lo primero es presentar u y v en forma rectangular u̅ = (2cos120°)i + (2sen120°)j

v̅ = (3cos60°)i + (3sen60°)j

1 √3 u̅ = 2 (− ) i + 2 ( ) j 2 2

1 √3 v̅ = 3 ( ) i + 3 ( ) j 2 2

u̅ = −1i + √3j

3 3√3 v̅ = i + j 2 2

u̅ = (−1i, √3j) = −1 , 1.73

3 3√3 v̅ = ( i, j) = 1.5 , 2.60 2 2

Ahora se procede a realizar la diferencia de vectores u̅ − v̅ = (−1 − 1.5 , √3 −

3√3 ) 2

Ahora se procede con el otro ejercicio ̅̅̅̅ − 2u ̅̅̅̅ = 5(3∠60°) − 2(2 ∠120°) 5v

Lo primero es presentar u y v en forma rectangular u̅ = 2(2cos120°)i + 2(2sen120°)j 4 4√3 u̅ = 4 (− ) i + 4 ( )j 2 2 u̅ = −8i + 8√3j

v̅ = 5(3cos60°)i + 5(3sen60°)j 5 5√3 v̅ = 15 ( ) i + 15 ( )j 2 2 v̅ =

6

75 75√3 i+ j 2 2

75 75√3 v̅ = ( i, j) = 37.5 , 30.31 2 2

u̅ = (−8i, 8√3j) = −8 , 13.85

Ahora se procede a realizar la diferencia de vectores v̅ − u̅ = (−8 −

75 75√3 , 8√3 − ) 2 2

b) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores

u̅= 2i + 9j y v̅= -6i – 4j ⃗U ∗ ⃗V = −12 − 36 = −48 ⃗ ∗V ⃗ = |U ⃗ ||V ⃗ | COSθ U −48 = √4 + 81 ∗ √36 + 16 ∗ COSθ −48 = √85 ∗ √52 ∗ COSθ

COSθ =

θ = sin−1

−48 √85 ∗ √52 −48 √85 ∗ √52

= 136.21° c) Encuentre la distancia entre los puntos: ● (3,-4, 7) ; (3,-4,9) d = √(xb − xa )2 (yb − ya )2 + (zb − za )2 = = √(3 − 3)2 (−4 − (−4))2 + (9 − 7)2 = 7

= √02 + 02 + 22 = √0 + 0 + 4 = √4 = 2

d) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k Ahora se procede a buscar el producto vectorial o producto cruz

u = (−7i + 9j − 8k), v = (9i + 3j − 8k) u ∗ v = (9(−8) − (−8 ∗ 3))i − (−7 ∗ 8 − (9(−8))j + (−7 ∗ 3 − (9 ∗ 9))k = −48i − 16j − 102k)

Ahora se procede a buscar el producto escalar o punto ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k u ∗ v = −63i + 27j + 64k

⃗ = 𝟑𝒊 − 𝟒𝒋 + 𝟐𝒌 b) Dados los vectores 𝒗     

⃗⃗⃗ = 𝟐𝒊 + 𝟓𝒋 + 𝟒𝒌 calcular: 𝒘

−3𝑣 + 2𝑤 ⃗⃗ 6(𝑣. 𝑤 ⃗⃗ ) Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores. Calcular el producto cruz y el producto punto. Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

3v+2w=13i-2j+14k 6(v.W)= -36 El producto cruz es: -26i-8j+23k y el producto punto = -6. Los cosenos directores son: V= 3i-4j+2k Cosα= 3/√3²+4²+2² = 0.557 Cosβ = -4//√3²+4²+2² = -0.743 Cosγ = 2//√3²+4²+2² = 0.37 8

w= 2i+5j+4k Cosα= 2/√2²+5²+4² = 0.3 Cosβ = 5//√2²+5²+4² = 0.74 Cosγ = 4//√2²+5²+4² = 0.6 Explicación paso a paso: Vectores: V= 3i-4j+2k w= 2i+5j+4k • 3v +2w 3(3i-4j+2k ) +2(2i+5j+4k) = (9i-12j+6k)+(4i+10j+8k) = 13i-2j+14k •

6(v . w )

6(3i-4j+2k).(2i+5j+4k) = 6(6-20+8)= -36u •

Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores.

V= 3i-4j+2k Cosα= 3/√3²+4²+2² = 0.557 Cosβ = -4//√3²+4²+2² = -0.743 Cosγ = 2//√3²+4²+2² = 0.37 w= 2i+5j+4k Cosα= 2/√2²+5²+4² = 0.3 Cosβ = 5//√2²+5²+4² = 0.74 Cosγ = 4//√2²+5²+4² = 0.6 •

Calcular el producto cruz y el producto punto.

Producto punto: v.w = ( 3i-4j+2k ) .(2i+5j+4k) = 6-20+8 = -6 Producto Cruz: i

j k

9

3 -4 2 2 5 4 ---> Δ = (-16i) +4j+15k-(-8k)-10i-12j = -26i-8j+23k •

Comprobar y/o graficar.

Descripción del ejercicio 3

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3

La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1 = (5,-3) m/s, al instante t1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V 2 = (4,8) m/s. 

¿Cuánto vale el cambio de velocidad ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 . ?

10

v  v f  vi v   4,8  5,3 v   9,11



m s

m s

¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?

v t  9,11 m a 4 s2  9 11  m a   ,  2  4 4 s

a



Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector.

* Modulo 

 92  112

Modulo  145,6

* Dirección  11    50,7  309,3  9

  tan 1  

11

Sur Oriente

Dados:   5,12  b  1, k 

Donde K es un escalar, encuantre (k) tal que la medida en radianes del angulo b y   sea 3



Ángulo entre vectores:

A  5,12  B  1, k  A.B  ab cos    A.B  13 1  k 2 cos  3

Pero el producto punto también se puede calcular de la forma:

A  5,12 A.B  5  12k 13 1  k 2  5  12k 2 13 1  k 2  10  24k

13 1  k   10  24k  2

2

2

1691  k 2   100  480k  576k 2 169  169k 2  100  480k  576k 2 0  69  480k  407k 2

12

k k

 b  b 2  4ac 2a  480 

4802  4407  69 2407 

 480  342732  0,13 814  480  342732 k2   1,31 814 k1 

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

1 0 2 -2 5 6 A 1 0 3 5 2 -3 9 5 6 1 3 6 B 0 1 3 5 7 -5

3 3 8 0

0 C 4 1

2 3 0

0

3x 2

2

2

3

D 3 1

y

0

3 5 -9

5 4 8

x  y 

Realizar las siguientes operaciones, si es posible:

13

a ) A.B.C

A.B 

1

0

2

3 9

5

6

24

14

3

-2 1

5 0

6 3

3 1 . 8 0

3 1

6 2  3 49

40 48

21 33

5

2

-3

0 5

7

-5

47

 16 33

5 6 24 3 6 2   1 3 49 7 -5 47

14  3 40 21 48  25  16 33

C11  9  15  24 C12  5  2  21  14 C13  6  6  15  3 C21  18  5  15  2 C22  10  15  6  21  40 C23  12  30  18  15  21

C31  9  40  49 C32  5  3  56  48 C33  30  12  9  33 C41  45  2  47

C42  25  6  3  16 C43  30  12  9  33 1 -2 A.B  1 5

0 2 3 9 5 6 3 1 . 0 3 8 0 2 -3 0 5 24 14  3 0 2 40 21  A.B .C  . 4 49 48  25 1 47  16 33 C11  56  3  59

2 3 0

3 5 -9

5 4 8

C12  48  42  6 C13  72  60  27  159 C14  120  56  24  152 C21  160  21  139 C22  4  120  116 C23  6  200  189  17 C23  6  200  189  17 C24  10  160  168  338

14

C31  192  25  217 C32  98  144  46 C33  147  240  225  612 C34  245  192  200  237 C41  64  33  97 C42  94  48  142 C43  141  80  297  236 C44  235  64  264  435

24 2  A.B .C  49 47

14  3 0 40 21 . 4 48  25 1  16 33

2 3 0

3 5 -9

59 5 139 4 217 8  97

15

6 169 152 116 17 338 46 612 237  142  236 435

b) 4 B * 2 A 9

5

1 0 5

3 1 7

6 4 12 24  3 0  4 12 -5 20 28  20

1 -2 2 1

0 5 0

2 6 3

3 2 3 -4  8 2

5

2

-3

0

4

6

36  20

36  20 4 12 4B * 2 A  0 4 20

10

24

0 10 0

4 12 6

6 6 24

4 6

0

24 2 24 -4 * 12 2

28  20

10

0 10 0

4 12 6

4 6

6 6  No tiene solución 24 0

16

c) 3C *  7 B  0

2

3

5

0

6

3C  3 4

3

5

4  12

1

0

-9

3

8

9

5

6

1

3

6

0

1

3

5

7

-5

0 3C *  7 B   12 3

6 9 0

 7 B  7



9

15

9

15

12

0

-27

 63

35

7

 21

24

 42  42

0

7

 21

35

 49

35

 63 35 9 15  7  21 15 12 * 0 7 -27 24 35  49

C11  42  525  567 C12  126  63  735  546 C13  252  189  525  588 C21  756  63  420  399 C22  420  189  105  588  252 C23  420  189  105  588  252 C23  504  378  315  420  777 C31  189  840  1029 C32  105  189  1176  1470 C33  126  567  840  1533

17

 42  42  21 35

d) D2  D * D 0

2

3x 2

D2  3 1

y2 0

0

3 * 3 x  y  1

3x 2

2

y2 0

3 x  y 

C11  9 x 2  2 C12  3x 2 y 2

C13  9 x 2  2 x  y  C21  3 y 2  3 C22  9 x 2  y 4

C23  6  3 y 2  3x  y  C31  x  y C32  3x 2 C33  2   x  y 

2

9x2  2 D2  3y 2  3 x y

3x 2 y 2 9x2  y 4 3x 2

9 x 2  2x  y   6  3 y 2  3x  y   2  x  y 

2

18

e) 2

3x 2

0 D *C  3 1

0 3 * 4 x  y   1

y2 0

2 3 0

3 5 -9

5 4 8

C11  12 x 2  2 C12  9 x 2 C13  15 x 2  18 C14  12 x 2  32 C21  4 y 2  3 C22  6  3 y 2 C23  9  5 y 2  27  5 y 2  18 C24  15  4 y 2  24  4 y 2  39

C31   x  y  C32  2

C33  3  9 x  y 

C34  5  8 x  y  0 D *C  3 1

3x 2

2

y2

3

0

x  y 

0

2

3

5

* 4

3

5

4  4 y2  3

1

0

-9

8

12 x 2  x  y 

19

9x2  6  3y2 -2

15 x 2  18

12 x 2  32

5 y 2  18

4 y 2  39

3  9x  y 

5  8x  y 

f) C T .D 0 C 4 1

2 3 0

0

3x 2

2

y2 0

3 x  y 

D 3 1 0 2 CT  3 5

0 2 C T .D  3 5

3 5 -9

5 4 8

1 0 -9 8

4 3 5 4 4 3 5 4

1 0 -9 8

0 * 3 1

3x 2 2

y 0

2 3 x  y 

C11  12  1  11 C12  4 y 2

C13  12   x  y  C21  9 C22  6 x 2  3 y 2 C23  4  9  13 C31  15  9  6 C32  9 x 2  5 y 2

C33  6  15  9x  y   9  9x  y  C41  12  8  20 C42  15 x 2  4 y 2

C43  10  12  8x  y   2  x  y 

0 2 C T .D  3 5

4 3 5 4

1 0 -9 8

11 0

3x

* 3 1

2

y 0

2

2

9

3 6 x  y  20

20

12   x  y 

4 y2  6x  3y 2

2

13

9x  5 y

2

9  9x  y 

5x  4 y

2

2  x  y 

2

2

g) Det B   No es valido 9 1 Det 0 5

5 3 1 7

6 6  No es valido 3 -5

h) Det D  0 Det 3 1 0 3

3x 2

2

y2

3

0

x  y 

3x 2

2

y

2

3

Det 1

0

x  y 

0

3x 2

2

y2

3

3





 9 x 2   2 y 2  9 x 2 x  y   9 x 2  2 y 2  9 x 3  9 x 2 y

21



i) B T  C

B



T

9

5

6

1

3

6

0 5

1 7

3 -5

0

2

3

5

C 4

3

5

4

1

0

-9

8

9

1

0

5

BT   5

3

1

7

6

6

3

B B

T

T

3

9

3

C  9 7

0 6



C



T



5 0

6 3 12  13

9

-9

7

3

0

6

3 0

-6 3

12 - 13

22

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 5 Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores. Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación 𝑂𝑋, Rotación en 𝑂𝑌, Rotación en 𝑂𝑍.

Haciendo la rotación, tomando al eje 𝑦 como eje de giro, la matriz de rotación 𝑅(𝑦, 𝜑) que se obtiene es:

Teniendo en cuenta que: 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜙) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 1 a) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [1], con 𝜙 = 90°, con 2 respecto al eje 𝑂𝑌. 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [

cos 90 0 − sin 90

0 1 0

sin 90 1 2 0 ] [1] = [ 1 ] cos 90 2 −1

1 b) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [2] , con 𝜙 = 45°, con 3 respecto a eje 𝑂𝑌. 23

𝑃𝑥𝑦𝑧 = [

3√2 0 sin 45 1 2 1 0 ] [1 ] = 1 0 cos 45 2 √2 [ 2 ]

cos 45 0 − sin 45

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6 Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones. ELIMINACION GAUSSIANA: Es un procedimiento sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales; se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente simple como para que el sistema de ecuaciones se pueda resolver por observación. Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a continuación: Materia Prima A B C -

Costo $/Kg 2,35 2 1,7

% Azúcares 12 10 8

% Grasas 10 10 6

% Proteínas 60 50 44

% Inertes 18 30 42

Cuánto deberán mezclar de cada una de las tres (3) materias primas si se desea minimizar el costo de preparar un (1) kg de alimento cuyo contenido de azúcar no sea menor al 10%, su contenido de grasa no se mayor del 95% y su contenido de proteínas no sea menor al 52%. 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴𝑧ú𝑐𝑎𝑟 → 12𝑥 + 10𝑦 + 8𝑧 ≥ 10% 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐺𝑟𝑎𝑠𝑎𝑠 → 10𝑥 + 10𝑦 + 6𝑧 ≤ 95% 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑡é𝑖𝑛𝑎𝑠 → 60𝑥 + 50𝑦 + 44𝑧 ≥ 52% -

Calcular la inversa de la matriz aumentada por el método de la Adjunta 12 10 8 10 Matriz aumentada→ (10 10 6 95) 60 50 44 52 12 𝐴 = (10 60

10 10 50 24

8 6) 44

𝐴−1 =

1 𝑎𝑑𝑗(𝐴) det(𝐴) 140 −80 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = (−40 48 −20 8

−100 𝑇 70 0 ) = 2 (−40 10 −50

−20 −10 48 4 ) 0 5

det(𝐴) = 12 ∗ (140) − 10(80) + 8(−100) = 80

−1

𝐴

1 70 −20 = (−40 48 40 −50 0

−10 4 )= 5

7 4

1 1 − 2 4 3 1 5 10 1 0 4 )

−

−1 5 (4

- Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original) es igual a la matriz identidad de la matriz identidad. 7 4 −1 5 (4 -

− 3 5

1 2

0

1 4 12 1 (10 10 60 1 4 )

−

Compruebe

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10 8 1 10 6 ) = (0 50 44 0

0 0 1 0) 0 1

Ejercicio 7:Usos del algebra lineal Descripción del ejercicio 7 El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de espacios vectoriales, sin embargo, es un enfoque de estudio que aplica a casi cualquier cosa de nuestra vida cotidiana, tales como en la solución de problemas de nuestra vida, en la salud, en los sistemas que a diario manejamos, en la administración, ingenierías. Entrega final De acuerdo a lo anterior, el grupo debe preparar una presentación en PREZI, en el cual deben definir lo siguiente: a) Usos del álgebra lineal en los modelos de transporte en cadenas de suministro. b) Usos del álgebra lineal en los modelos para minimizar costos. c) Usos del álgebra lineal en la asignación de recursos. d) Cada integrante del grupo debe aportar en el foro un ejemplo del uso del álgebra lineal en la vida diaria y la influencia de ésta ciencia en el programa académico que cursa, no deben repetir información que su compañero ya haya aportado en el foro. e) Debe incluir: Introducción, contenido de la presentación, conclusiones y bibliografía según normas APA. f) En el trabajo final el grupo debe incluir el link de la presentación en Prezi realizada. g)

Link…

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CONCLUSIONES

 Con lo estudiado de esta guía se practicó lo aprendido por medio de la realización de cada punto.  Los ejercicios se comprobaron con los geogebras.  Por medio de un problema, de los cuales se presentan en la vida diaria se aplica los conceptos de Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos, y se comprueban por medio de geogebra.  Al conocer las características y leyes que trabajan el Algebra Lineal, proporciona mayor asimilación, de conocimientos que posteriormente serán de gran utilidad para poder entender diferentes comportamientos donde se aplican las matrices.  Al realizar la investigación de este trabajo se puede tener un concepto sobre los temas tratados en la materia, conocer sus parámetros, magnitudes y tener presente las técnicas de solución de una matriz, para construir bases para un desarrollo futuro.

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Referencias Bibliográficas

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