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ALGEBRA TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

Presentado a: JAIME DALBERTO RIAÑO

Presentado por: OMAR O. GARAVITO JEJEN CC 1012.368.512 MAURICIO MENDOZA CC 92642706 JOAN S. ROA BERMÚDEZ CC 1033758618

Grupo: 301301_48

2 de MAYO DE 2016

1. INTRODUCCIÓN. Es de suma importancia saber desarrollar diferentes problemas matemáticos, el reconocer la forma de manejarlos; por ello se requiere la práctica de ejercicios para poder obtener los conocimientos claves para seguir avanzando en la ciencia de las matemáticas.

2. DESARROLLO DEL TALLER. Taller de ecuaciones, inecuaciones y valor absoluto

1. Determinar el valor de la variable X en la siguiente ecuación y compruebe su solución. (𝑥 + 3)(2𝑥 2 + 22𝑥 + 56) 𝑥 3 + 216 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 10𝑥 𝑥 2 + 6𝑥 − 7 ( ) + ( ) + ( ) − ( ) (𝑥 2 + 7𝑥 + 12) 𝑥 2 − 6𝑥 + 36 𝑥 2 + 5𝑥 𝑥+7 =0 

FACTORIZAMOS todas las expresiones factorizables así:

(𝑥 + 6)(−6𝑥 + 𝑥 2 + 36) 2(𝑥 + 3)(𝑥 + 7)(𝑥 + 4) 𝑥(𝑥 + 5)(𝑥 − 2) ( )+( ) + ( ) (𝑥 + 4)(𝑥 + 3) 𝑥 2 − 6𝑥 + 36 𝑥(𝑥 + 5) (𝑥 + 7)(𝑥 − 1) −( )=0 𝑥+7 

Eliminamos las expresiones que se repiten en numerador y denominador:

(𝑥 + 6) (𝑥 − 2) (𝑥 − 1) 2(𝑥 + 7) ( )+( )+( )−( )=0 1 1 1 1 

Simplificando tenemos: 3𝑥 + 19 = 0 𝑥 = −(

19 ) 3

Verificación con geogebra:

2. resuelva la siguiente ecuación y compruebe su solución: 𝟕𝒄 − 𝟏𝟓 = −𝟐 〔 𝟔 (𝒄 − 𝟑) − 𝟒 (𝟐 − 𝒄) 〕  𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝟕𝒄 + (−𝟏𝟓) = −𝟐 〔 𝟔 (𝒄 + (−𝟑)) + −𝟒 (𝟐 + −𝟏𝒄) 〕  𝑟𝑒𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠: −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 〔 𝟔 (𝒄 + −𝟑) + −𝟒 (𝟐 + −𝟏𝒄) 〕  𝑟𝑒𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 〔 𝟔 (𝒄 + −𝟑) + −𝟒 (𝟐 + −𝟏𝒄) 〕 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 〔 (−𝟑 ∗ 𝟔 + 𝒄 ∗ 𝟔) + 𝟒 (𝟐 + −𝟏𝒄) 〕 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 〔 (−𝟏𝟖 + 𝟔𝒄) + 𝟒 (𝟐 + −𝟏𝒄) 〕 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 〔 (−𝟏𝟖 + 𝟔𝒄 + (𝟐 ∗ −𝟒 ∗ + − 𝟏𝒄 − 𝟒) 〕 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 〔 (−𝟏𝟖 + 𝟔𝒄 + (𝟖 + 𝟒𝒄) 〕  𝑟𝑒𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 (−𝟏𝟖 + −𝟖 + 𝟔𝒄 + 𝟒𝒄)  𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 −18+ = −8 − 26 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 (−𝟐𝟔 + 𝟔𝒄 + 𝟒𝒄) 

𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

6𝑐 + 4𝑐 = 10𝑐 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = −𝟐 (−𝟐𝟔 + 𝟏𝟎𝒄) −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = (−𝟐𝟔 + −𝟐 + 𝟏𝟎𝒄 ∗ −𝟐) −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = (𝟓𝟐 + 𝟐𝟎𝒄) Resuelve: −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 = 𝟓𝟐 + 𝟐𝟎𝒄 

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝐶

𝐴ñ𝑎𝑑𝑖𝑟 ´20𝑐´𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 −𝟏𝟓 + 𝟕𝒄 + 𝟐𝟎 = 𝟓𝟐 + 𝟐𝟎𝒄 + 𝟐𝟎𝒄  𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: −𝟏𝟓 + 𝟐𝟕𝒄 = 𝟓𝟐 + 𝟐𝟎𝒄 + 𝟐𝟎𝒄  𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: −𝟏𝟓 + 𝟐𝟕𝒄 = 𝟓𝟐 + 𝟎 −𝟏𝟓 + 𝟐𝟕𝒄 = 𝟓𝟐  𝑎ñ𝑎𝑑𝑖𝑟 ´15´𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: −𝟏𝟓 + 𝟏𝟓 + 𝟐𝟕𝒄 = 𝟓𝟐 + 𝟏𝟓  𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝟎 + 𝟐𝟕𝒄 = 𝟓𝟐 + 𝟏𝟓 𝟐𝟕𝒄 = 𝟓𝟐 + 𝟏𝟓  𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝟐𝟕𝒄 = 𝟔𝟕 

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜´27´ 𝒄=

Comprobación con Geogebra:

𝟔𝟕 𝟐𝟕

3. Resolver el sistema de ecuaciones.

2 x  3 y  2 z  1 x  2 y  14 x  3z  5 

Despejar 1 variable de una de las ecuaciones en este caso la ecuación 3

x  3z  5 

Remplazar la variable x despejada en la ecuación 1 y resolver

2(3z  5)  3 y  2 z  1 6 z  10  3 y  2 z  1 8 z  3 y  1  10 8z  3 y  9 9  3y z 8 

Remplazar la variable z despejada en la ecuación 3 y resolver

9  3y )  5 8 27  9 y x  5 8 27 9 y x  5   8 8 9 y  13 x 8

x  3(



Remplazar x en la ecuación 2 y para hallar la variable Y

9 y  13 )  2 y  14 8 9 13 y  2 y  14  8 8 25 125 y 8 8 125 y 8 25 8 1000 y 200 y5

(



Remplazar el valor de Y hallado en la ecuación z 

9  3y 8

para hallar Z

9  3y 8 9  3(5) z 8 9  15 z 8 24 z 8 z 3

z



Reemplazar el valor de Y hallado en la ecuación x 

9 y  13 8 9(5)  13 x 8 45  13 x 8 32 x 8 x4

x

9 y  13 para hallar X 8



Comprobar los valores hallados de las variables en las ecuaciones originales

2 x  3 y  2 z  1 2(4)  3(5)  2(3)  1 8  15  6  1  1  1 x  2 y  14 4  2(5)  14 4  10  14 14  14 x  3 z  5 4  3(3)  5 4  9  5  5  5



Comprobación con GEOGEBRA

4. Un ingeniero químico desea preparar una solución resultante a partir de dos soluciones base, la primera solución denominada X, tiene una concentración al 25% de HCl, y la segunda solución denominada Y, tiene una concentración al 30% de HCl, la cantidad resultante de solución debe ser de 300 ml, con una concentración al 28% de HCl, ¿Cuántos mililitros de solución X y Y se deben mezclar?



Definir las variables del problema

X= ml de la solución 1

Y= ml de la solución 2 Z= suma de las soluciones X+Y Z=300



Definir las ecuaciones del problema

0,25 x  0,30 y  300(0,28) 0,25 x  0,30 y  84 x  y  300



Despejar una de las variables de la ecuación 2

x  300  y 

Remplazar la variable X en la ecuación 1 y hallar la variable Y

0,25(300  y )  0,30 y  84 75  0,25 y  0,30 y  84 0,5 y  84  75 9 y 0,05 y  180 

Remplazar el valor de Y en la ecuación x  300  y para hallar el valor de X

x  300  y x  300  180 x  120



Comprobar las soluciones de las variables en las ecuaciones originales

0,25 x  0,30 y  84 0,25(120)  0,30(180)  84 30  54  84 84  84

x  y  300 120  180  300 300  300



Respuesta: ¿Cuántos mililitros de solución X y Y se deben mezclar?

Se deben mezclar 120 ml de la solución X al 25% y 180 ml de la solución Y al 30% para obtener 300 ml de solución al 28%.



Comprobación con GEOGEBRA

5. Resuelva la siguiente ecuación con radicales y compruebe su solución: √4𝑥 + 1 − √2𝑥 − 3 = 8 

Aislar uno de los radicales después del igual y elevar a ambos lados al cuadrado 2

(√4𝑥 + 1) = (8 + √2𝑥 − 3) 

2

Eliminar las raíces y desarrollar la expresión del lado derecho de la ecuación

4𝑥 + 1 = 2𝑥 + 16√2𝑥 − 3 + 61 

Colocar términos semejantes al lado izquierdo y elevar nuevamente al cuadrado a ambos lados

(4𝑥 − 2𝑥 + 1 − 61)2 = (16√2𝑥 − 3) 

2

Agrupar términos semejantes y operar (2𝑥 − 60)2 = 512𝑥 − 768 4𝑥 2 − 240𝑥 + 3600 = 512𝑥 − 768



Agrupar en términos semejantes para lograr una ecuación cuadrática e igualar a cero. 4𝑥 2 − 240𝑥 − 512𝑥 + 3600 + 768 = 0 4𝑥 2 − 752𝑥 + 4368 = 0



Resolver la ecuación cuadrática de la forma x= 𝑥=

−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

−(−752) ± √−7522 − 2(4)(4368) 2(4) 𝑥=

752 ± √565504 − 69888 8 𝑥= 𝑥1 =

752 ± 704 8 1456 = 182 8

𝑥2 =

48 =6 8

Comprobar la solución correcta para la ecuación  Primer valor posible X=182 √4𝑥 + 1 − √2𝑥 − 3 = 8 √4(182) + 1 − √2(182) − 3 = 8 √729 − √361 = 8 27 − 19 = 8

8 = 8 Es una solución correcta para X.  Segundo valor posible X=6 √4𝑥 + 1 − √2𝑥 − 3 = 8 √4(6) + 1 − √2(6) − 3 = 8 √25 − √9 = 8 5−3=8 2 = 8 No es una solución correcta para X.



Entonces X=182 para satisfacer la ecuación.

Comprobación con Geogebra:

6. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución: 𝟒𝒙 + 𝟏 ≤𝟓 𝟑𝒙 − 𝟓  Quitar el denominador llevándolo al lado derecho de la inecuación 4𝑥 + 1 ≤ 5(3𝑥 − 5) 

Operar los términos para quitar paréntesis 4𝑥 + 1 ≤ 15𝑥 − 25



Organizar términos, dejando X al lado izquierdo de la inecuación 4𝑥 − 15𝑥 ≤ −25 − 1



Operar términos

−11𝑥 ≤ −26 

Despejar X 𝑥≤



−26 −11

Operar signos 𝑥≤



26 11

Comprobar la solución remplazando el valor de X en la inecuación original 26 1 + 4 (11) ≤5 26 3 (11) − 5 104 1 + 11 ≤5 78 − 5 11 115 11 ≤ 5 23 11 5≤5

Entonces, 𝑥 ∈ [−∞, 5]

Comprobación con Geogebra:

7. Resuelva la siguiente inecuación y compruebe su solución 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 ≤𝟑 𝒙+𝟑



Igualar la inecuación a cero 𝑥 2 − 3𝑥 + 9 3 − )≤0 𝑥+3 1



Operar los términos para reducir la ecuación. 𝑥 2 − 3𝑥 + 9 − 3(𝑥 + 3) ≤0 𝑥+3 𝑥 2 − 3𝑥 + 9 − 3𝑥 − 9 ≤0 𝑥+3 𝑥 2 − 6𝑥 + 0 ≤0 𝑥+3



Resolver por medio de una ecuación cuadrática

𝑥=

6 ± √36 − 0 2

𝒙𝟏 =

𝟔+𝟔 =𝟔 𝟐

𝒙𝟐 =

𝟔−𝟔 =𝟎 𝟐

Resolver el denominador despejando X 𝑥+3<0 𝑥 < −3



Establecer intervalos 𝒙 ∈ [−∞, −𝟑] ∪ [𝟎, 𝟔]



𝟐𝒂

−(−6) ± √−62 − 4(1)(0) 2(1) 𝑥=



–𝒃±√(𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄)

Comprobar soluciones

 X1=6 (6)2 − 3(6) + 9 ≤3 6+3

el término del numerador.

36 − 18 + 9 ≤3 9 27 ≤3 9 3 ≤ 3 Es una solución correcta

 X2=0 (0)2 − 3(0) + 9 ≤3 0+3 0−0+9 ≤3 3 9 ≤3 3 3 ≤ 3 Es una solución correcta

 X=-3 (−3)2 − 3(−3) + 9 ≤3 −3 + 3 9+9+9 ≤3 0 27 ≤3 0 0 ≤ 3 Es una solución correcta

Comprobación en Geogebra

8. Encuentre la solución para la siguiente ecuación con valor absoluto y compruebe su solución:

La ecuación equivale a dos ecuaciones |𝑥 2 − 6𝑥 + 5| = 4 |𝑥 2 − 6𝑥 + 5| = −4

Para resolver las ecuaciones se debe organizar para que quede de la forma cuadrática |𝑥 2 − 6𝑥 + 1| = 0 |𝑥 2 − 6𝑥 + 9| = 0

De cada ecuación se obtendrán dos soluciones aplicando la formula 𝑥 = 1 o 2 soluciones satisfará la ecuación

Ecuación 1. −(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(1) 𝑥= 2(1) 𝑥=

6 ± √36 − 4 2

𝑥=

6 ± √32 2

6 ± √42 (2) 𝑥= 2 𝑥=

6 ± 4√2 2

𝑥1 = |3 + 2√2| 𝑥2 = |3 − 2√2| Ecuación 2.

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

de las cuales

𝑥=

−(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(9) 2(1) 6 ± √36 − 36 2 6 ± √0 𝑥= 2

𝑥=

𝑥=

6±0 2

𝑥1 = |3| 𝑥2 = |3| La solución que satisface la ecuación es |3| |𝑥 2 − 6𝑥 + 5| = 4 |32 − 6(3) + 5| = 4 |9 − 18 + 5| = 4 |−4| = 4 4=4 

Comprobación con GEOGEBRA

9. Encuentre la solución para la siguiente inecuación con valor absoluto y compruebe su solución:

= 

2x−6



𝒙 ≤ 𝟏𝟒



𝟐(𝟏𝟒)−𝟏𝟐



Eliminar el denominador de la parte izquierda de la inecuación.

2

𝟐

=

2x−6 2

=

= x−6+6≤8+6

𝟐𝟖 − 𝟏𝟐 𝟐

=

𝟏𝟔 𝟐

= 𝟖

|𝟐𝒙 − 𝟏𝟐| ≤ 𝟐(𝟖) |𝟐𝒙 − 𝟏𝟐| ≤ 𝟏𝟔 

Establecer el intervalo colocando ≤ a la izquierda de la inecuación y operar a ambos lados. −𝟏𝟔 ≤ |𝟐𝒙 − 𝟏𝟐| ≤ 𝟏𝟔



Despejar x −𝟏𝟔 + 𝟏𝟐 ≤ |𝟐𝒙| ≤ 𝟏𝟔 + 𝟏𝟐 −𝟒 𝟐𝟖 ≤𝒙≤ 𝟐 𝟐 −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟒 Solución.



El valor mínimo que puede tomar X es -2 y el valor máximo es 14.



Comprobación

|

𝟐(−𝟐) − 𝟏𝟐 |≤𝟖 𝟐 |

−𝟏𝟔 |≤𝟖 𝟐

|−𝟖| ≤ 𝟖 Si es solución.

|

|𝟖| ≤ 𝟖 Si es solución



Comprobación con GEOGEBRA

𝟐(𝟏𝟒) − 𝟏𝟐 |≤𝟖 𝟐 𝟏𝟔 | |≤𝟖 𝟐