Trabajo Colaborativo 1.docx

TRABAJO COLABORATIVO 1 CÁLCULO INTEGRAL

EDWIN ALEJANDO CALDERÓN COD. 11205211 SEBASTIAN GÓMEZ COD. 1113638605 MARIA STEFANY MENA COD. LEIDY JOHANA MURILLO COD. MICHAEL SMITH CLAVIJO COD.

TUTOR OSCAR M. MORA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS PALMIRA MARZO DE 2019

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se presenta la aplicación de los conceptos estudiados en la primera unidad sobre las integrales y sus propiedades, para la solución de ejercicios y casos propuestos.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Comprender los principios fundamentales del cálculo integral.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS



Identificar las principales propiedades del cálculo diferencial.



Desarrollar los ejercicios propuestos.



Realizar grabación en vídeo de los temas asignados.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.

Ejercicio a. (𝑥 2 + 1)2 ∫[ + 𝑥 − 3] 𝑑𝑥 3 Aplicó linearidad (𝑥 2 + 1)2 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 3 𝑑𝑥 3 Saco la constante y Expando la expresión: 1 ∫(𝑥 2 + 1)2 𝑑𝑥 3 1 ∫(𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 3 Aplico la regla de la suma: 1 (∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 ∫ 2𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥) 3 Aplico la regla de la potencia: ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 =

𝑥 4+1 𝑥 5 = 4+1 5

Saco la constante y aplicó la regla de la potencia:

∫ 2𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2+1 𝑥3 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∗ =2∗ 2+1 3 3 2𝑥 3 2

Aplico la integral de una constante: ∫ 1𝑑𝑥 = 1 ∗ 𝑥 = 𝑥 Unimos la expresión: 1 𝑥 5 2𝑥 3 + 𝑥) ( + 3 5 3 Aplicó la regla de la potencia 𝑥 1+1 𝑥2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = = 1+1 2 Aplicó la integral de una constante: ∫ 3𝑑𝑥 = 3 ∗ 𝑥 = 3𝑥 Unimos la expresión: 1 𝑥 5 2𝑥 3 𝑥2 + 𝑥) + − 3𝑥 ( + 3 5 3 2 Expandimos la expresión, aplicando regla de productos notables y luego simplificamos:

1 𝑥 5 2𝑥 3 + 𝑥) ( + 3 5 3 1 𝑥 5 1 2𝑥 3 1 ∗ + ∗ + 𝑥 3 5 3 3 3 𝑥 5 2𝑥 3 1 + + 𝑥 15 9 3 𝑥 5 2𝑥 3 1 𝑥2 + + 𝑥 + − 3𝑥 15 9 3 2 Se agrupan términos semejantes: 𝑥 5 2𝑥 3 𝑥 2 1 + + + 𝑥 − 3𝑥 15 9 2 3 Finalmente se agrega una constante a la solución 𝒙𝟓 𝟐𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟏 + + + 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟏𝟓 𝟗 𝟐 𝟑 Ejercicio b.

∫[

17 √1 −

x2

+ √(x 2 + 1)2 ] dx

Se aplica la regla de la suma =∫

17 √1 − x 2

+ dx + ∫ √(x 2 + 1)2 dx

Se saca la constante y se aplica la regla de integración = 17 ∙ ∫

1 √1 − x 2

dx = 17arcsin(x)

∫ √(x 2 + 1)2 dx

= ∫ x 2 + 1dx Se aplica la regla de la suma ∫ x 2 dx + ∫ 1dx ∫ x 2 dx =

x3 3

∫ x 2 dx Se aplica la regla de potencia x2 + 1 2+1 Y se simplifica x3 3 ∫ 1dx Integral de una constante =1∙x Se simplifica =x =

x3 +x 3

= 17 arcsin(x) +

x3 +x+C 3

Finalmente, la solución es ∫

17 √1 − x 2

+

√(x 2

+

1)2 dx

x3 = 17 arcsin(x) + + x + C 3

Ejercicio c. Separación de términos. 5 5 3 3 ∫ ( − 2 √𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 2 √𝑥 2 𝑑𝑥5 𝑥 𝑥 Aplicación de propiedad fundamental del cálculo. 6 5 = 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 3 + 𝑐 5 Conversión de potencias a radicales. = 5𝑙𝑛𝑥 −

63 5 √𝑥 + 𝑐 5

Ejercicio d. ∫

𝐭𝐚𝐧(𝒙)𝟐 ∗ 𝐜𝐬𝐜(𝒙) 𝒅𝒙 𝐬𝐞𝐜(𝒙)𝟐

Utilizando las siguientes identidades trigonométricas: 𝐭𝐚𝐧(𝒙) =

𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

𝐜𝐬𝐜(𝒙) =

𝟏 𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝐬𝐞𝐜(𝒙) =

𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

Expresamos la función en seno y coseno: 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝟐 𝟏 ( ) 𝐭𝐚𝐧(𝒙)𝟐 ∗ 𝐜𝐬𝐜(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) ∫ 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 𝟐 𝐬𝐞𝐜(𝒙)𝟐 𝟏 ( ) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝟐 𝟏 ( ) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) ∫ 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 ( ) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝑎 𝑐

𝑎2

Aplico la ley de exponentes:(𝑏) = 𝑏2 𝟐 𝟏 𝟏 ( ) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙)

Reemplazamos valores: 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝟐 𝟏 ( ) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙) 𝑏

Multiplico fracciones: 𝑎. 𝑐 =

𝑎. 𝑏 𝑐

𝟐

𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝟏 ( ) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝟐 ) ( ) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝟏. (

𝑎 𝑐

𝑎𝑐

𝑏

𝑏𝑐

Aplicamos leyes de exponentes: ( ) =

𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝒙) ( ) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙)

𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) Usamos la propiedad de fracciones:

𝑏 𝑐

𝑎

𝑏

= 𝑐.

𝑎

𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙) . 𝐬𝐢𝐧(𝒙) Eliminamos términos semejantes: 𝐬𝐢𝐧𝟐 (𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝒙) . 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙)

𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝒙) ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝒙) Aplico división de fracciones:

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

=

𝑎. 𝑑 𝑏. 𝑐

𝐬𝐢𝐧(𝒙) . 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙) 𝐬𝐢𝐧(𝒙) . 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙) . 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙) Elimino términos comunes: 𝐬𝐢𝐧(𝒙) . 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 (𝒙) ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝒅𝒙 Aplicamos la regla de la integración: ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝒅𝒙 = (− 𝐜𝐨𝐬(𝒙)) Por último, agregamos una constante y nos queda así: = − 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝑪

Ejercicio e. ∫(𝒆−𝟐𝒙 + 𝟓𝒙 ) 𝒅𝒙

aplica la regla de la suma

∫ 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 5𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 Derivando y sustituyendo 𝑢 = −2𝑥 1

= ∫ − 2 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 sacamos la constante 1

= − ∫ 𝑒 𝑢 apliacamos regla de inregracion ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 2 = −

1 𝑢 𝑒 2

= −

1 −2𝑥 𝑒 2

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜

∫ 𝟓𝒙 𝒅𝒙 Aplicando ∫ 𝑎 𝑥 =

𝑎𝑥 ln 𝑎

5𝑥 = ln 5 ∫(𝒆−𝟐𝒙 + 𝟓𝒙 ) 𝒅𝒙 𝟏

= − 𝟐 𝒆−𝟐𝒙

𝟓𝒙 𝐥𝐧 𝟓

agregando una constante

𝟏 𝟓𝒙 = − 𝒆−𝟐𝒙 +𝑪 𝟐 𝐥𝐧 𝟓

2. Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann

Ejercicio a. i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 5 en el intervalo [-1, 2], en donde use una partición de n=6. Siga los siguientes pasos: - Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥). 𝑎 = −1

𝑏=2

∆𝒙 =

𝒃−𝒂 𝒏

∆𝑥 =

2 − (−1) 3 𝟏 = = 6 6 𝟐

𝑛=6

𝒙𝒊 = 𝒂 + 𝒊. ∆𝒙

𝒙𝟏

𝒙𝟐

𝒙𝟑

𝒙𝟒

𝒙𝟓

𝒙𝟔

(−1) 1 + 𝟏. 𝟐 𝟏 − 𝟐

(−1) 1 + 𝟐. 𝟐 0

(−1) 1 + 𝟑. 𝟐 𝟏 𝟐

(−1) 1 + 𝟒. 𝟐 𝟏

(−1) 1 + 𝟓. 𝟐 𝟑 𝟐

Ahora usamos la siguiente formula: 𝟔

∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∆𝒙 = 𝒊=𝟏

3 1 9 1 𝟗 + 𝟑( ) = ( )( ) = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒

Ahora reemplazo en la función inicial 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 5: 1 3 1 1 𝟒𝟕 𝑓(𝑥1 ) = (− ) − 2 (− ) + 5 = − + 1 + 5 = 2 2 8 𝟖 𝑓(𝑥2 ) = (0)3 − 2(0) + 5 = 𝟓 1 3 1 1 𝟑𝟑 𝑓(𝑥3 ) = ( ) − 2 ( ) + 5 = − 1 + 5 = 2 2 8 𝟖 𝑓(𝑥4 ) = (1)3 − 2(1) + 5 = 1 − 2 + 5 = 𝟒 3 3 3 27 𝟒𝟑 𝑓(𝑥5 ) = ( ) − 2 ( ) + 5 = −3+5= 2 2 8 𝟖 𝑓(𝑥6 ) = (2)3 − 2(2) + 5 = 8 − 4 + 5 = 𝟗 𝐴=(

123 1 + 18) ( ) 8 2

𝐴=(

267 1 )( ) 8 2

(−1) 1 + 𝟔. 𝟐 𝟐

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 5 en el intervalo [-1, 2], en donde use una partición de n=12 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥). 𝑎 = −1

𝑏=2

𝑛 = 12

∆𝒙 =

𝒃−𝒂 𝒏

∆𝑥 =

2 − (−1) 3 𝟏 = = 12 12 𝟒

𝒙𝒊 = 𝒂 + 𝒊. ∆𝒙 𝒙𝟏 (−1) 1 + 1. 4 𝟑 − 𝟒

𝒙𝟐 (−1) 1 + 2. 4 𝟏 − 𝟐

𝒙𝟑 (−1) 1 + 3. 4 𝟏 − 𝟒

𝒙𝟕 𝒙𝟖 𝒙𝟗 (−1) (−1) (−1) 1 1 1 + 7. + 8. + 9. 4 4 4 𝟑 𝟓 𝟏 𝟒 𝟒 Ahora usamos la siguiente formula: 𝟔

∑ 𝒇(𝒙𝒊 ) ∆𝒙 = 𝒊=𝟏

𝒙𝟒 (−1) 1 + 4. 4 𝟎

𝒙𝟏𝟎 (−1) + 10. 𝟑 𝟐

1 4

𝒙𝟓 (−1) 1 + 5. 4 𝟏 𝟒

𝒙𝟔 (−1) 1 + 6. 4 𝟏 𝟐

𝒙𝟏𝟏 (−1)

𝒙𝟏𝟐 (−1)

+ 11.

1 4

𝟕 𝟒

3 1 9 1 𝟗 + 𝟑( ) = ( )( ) = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒

Ahora reemplazamos en la función inicial 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 5: 𝟑 3 𝟑 𝟑𝟖𝟗 𝑓(𝑥1 ) = (− ) − 2 (− ) + 5 = 𝟒 𝟒 𝟔𝟒 𝟏 3 𝟏 𝟒𝟕 𝑓(𝑥2 ) = (− ) − 2 (− ) + 5 = 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏 3 𝟏 𝟑𝟓𝟏 𝑓(𝑥3 ) = (− ) − 2 (− ) + 5 = 𝟒 𝟒 𝟔𝟒 𝑓(𝑥4 ) = (𝟎)3 − 2(𝟎) + 5 = 𝟓 𝟏 3 𝟏 𝟐𝟖𝟗 𝑓(𝑥5 ) = ( ) − 2 ( ) + 5 = 𝟒 𝟒 𝟔𝟒 𝟏 3 𝟏 𝟑𝟑 𝑓(𝑥6 ) = ( ) − 2 ( ) + 5 = 𝟐 𝟐 𝟖

+ 12. 𝟐

1 4

𝟑 3 𝟑 𝟐𝟓𝟏 𝑓(𝑥7 ) = ( ) − 2 ( ) + 5 = 𝟒 𝟒 𝟔𝟒 𝑓(𝑥8 ) = (1)3 − 2(1) + 5 = 𝟒 𝟓 3 𝟓 𝟐𝟖𝟓 𝑓(𝑥9 ) = ( ) − 2 ( ) + 5 = 𝟒 𝟒 𝟔𝟒 𝟑 3 𝟑 𝟒𝟑 𝑓(𝑥10 ) = ( ) − 2 ( ) + 5 = 𝟐 𝟐 𝟖 𝟕 3 𝟕 𝟒𝟑𝟗 𝑓(𝑥11 ) = ( ) − 2 ( ) + 5 = 𝟒 𝟒 𝟔𝟒 𝑓(𝑥12 ) = (2)3 − 2(2) + 5 = 8 − 4 + 5 = 𝟗

𝐴=( 𝐴=(

747 1 + 18) ( ) 16 4

1035 1 )( ) 16 4

𝑨=(

𝟏𝟎𝟑𝟓 ) 𝟔𝟒

iii. Calcular la integral definida utilizando GeoGebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

La integral definida calculada en GeoGebra fue 15.75 y los valores obtenidos con respecto a la aproximación por la suma de Riemann con n=6 fue 16,6875 y n=12 fue 16,1719, estos valores varían con respecto a la integral definida dado que al sumar el área de cada uno de los rectángulos que son parte de un área irregular, por tanto, podemos encontrar un margen de error y eso se está evidenciando en los cálculos. Ejercicio b. i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del

área bajo la curva de la función f(x) = −2x 2 + 7x + 4 en el intervalo [0, 4], en donde use una partición de n=6. 6

A ≈ ∑ f(xi ) ∆x i=1

Con i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. 0,4 Si tenemos [0,4], entonces ∆x = = 0,06 6

Para n=6, entonces i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

x1 = 0 x2 = 0 + 1 (0.06) = 0.06 x3 = 0 + 2 (0.06) = 0.12 x4 = 0 + 3 (0.06) = 0.18 x5 = 0 + 4 (0.06) = 0.24 x6 = 0 + 5 (0.06) = 0.3 6

∑ f(xi) = ∆x = f(0)0.06 0 + f(0.06)0.06 + f(0.12)0.06 + f(0.18)0.06 i=1

+ f(0.24)0.06 + f(0.3)0.06 6

∑ f(xi) = ∆x = f(0)0.06 0 + f(−3.76)0.06 + f(−3.52)0.06 i=1

+ f(−3.28)0.06 + f(−3.04)0.06 + f(−2.8)0.06 = −16.4

Siga los siguientes pasos: - Graficar la función f(x) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del

área bajo la curva de la función f(x) = −2x 2 + 7x + 4 en el intervalo [0, 4], en donde use una partición de n=12 12

A ≈ ∑ f(xi ) ∆x i=1

Con i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. 0,4 Si tenemos [0,4], entonces ∆x = = 0,03 12

Para n=12, entonces i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. x1 = 0

x2 = 0 + 1 (0.03) = 0.03 x3 = 0 + 2 (0.03) = 0.06 x4 = 0 + 3 (0.03) = 0.09 x5 = 0 + 4 (0.03) = 0.12 x6 = 0 + 5 (0.03) = 0.15 x7 = 0 + 6 (0.03) = 0.18 x8 = 0 + 7 (0.03) = 0.21 x9 = 0 + 8 (0.03) = 0.24 x10 = 0 + 9 (0.03) = 0.27 x11 = 0 + 10 (0.03) = 0.3 x12 = 0 + 11 (0.03) = 0.33 12

∑ f(xi) = ∆x = f(0)0.03 + f(0.03)0.03 + f(0.06)0.03 + f(0.09)0.03 i=1

+ f(0.12)0.03 + f(0.15)0.03 + f(0.18)0.03 + f(0.21)0.03 + f(0.24)0.03 + f(0.27)0.03 + f(0.3)0.03 + f(0.33)0.03 6

∑ f(xi) = ∆x = f(−4)0.03 + f(−3.88)0.03 + f(−3.76)0.03 i=1

+ f(−3.64)0.03 + f(−3.52)0.03 + f(−3.4)0.03 + f(−3.28)0.03 + f(−3.16)0.03 + f(−3.04)0.03 + f(−2.92)0.03 + f(−2.8)0.03 + f(−2.7)0.03 = −40.1 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función f(x) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado

con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

Sumas de Riemman con n=6

6

A ≈ ∑ f(xi ) ∆x = −16.04 i=1

Sumas de Riemman con n=12 12

A ≈ ∑ f(xi ) ∆x = −40.1 i=1

Integral definida 4

∫ (−2𝑥 2 − 7𝑥 + 4)𝑑𝑥 = 29.33 0

Conclusión: La aproximación cuando tiene una partición en n=6 da como resultado un numero negativo y cuando la aproximación tiene una partición en n=12 dobla el resultado e igual sigue siendo un resultado negativo

Ejercicio c. i.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 1 en el intervalo [1, 5], en donde use una partición de n=6. Siga los siguientes pasos: - Graficar la función 𝑓(𝑥) en GeoGebra. - Tome un pantallazo de la gráfica.

- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

ii.

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 1 en el intervalo [1, 5], en donde use una partición de n=12 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función 𝑓(𝑥) en GeoGebra.

- Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

iii.

Calcular la integral definida utilizando GeoGebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12. Puede observarse, que, a mayor cantidad de particiones, más aproximado el valor del área bajo la curva.

Ejercicio e. i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del 𝝅

𝟐𝝅

𝟒

𝟒

área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [ ,

], en donde

use una partición de n=6. Siga los siguientes pasos: - Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 6

𝐴 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 𝑖=1

∆𝑥 = 𝑎=

𝑏−𝑎 𝑛

𝜋 4

𝑏=

2𝜋 𝜋 − 4 ∆𝑥 = 4 6

2𝜋 4

∆𝑥 = 0.1309 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥𝑖 𝑥1 =

𝜋 = 0.7854 4

𝑥2 = 0.7854 + ∆𝑥 𝑥2 = 0.7854 + 0.1309 = 0.9163 𝑥3 = 0.7854 + 2(0.1309 ) = 1.0472 𝑥4 = 0.7854 + 3(0.1309 ) = 1.1781 𝑥5 = 0.7854 + 4(0.1309 ) = 1.309 𝑥6 = 0.7854 + 5(0.1309 ) = 1.4399

𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

6

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑓(0.7854) ∗ 0.1309 + 𝑓(0.9163) ∗ 0.1309 + 𝑓(1.0472) ∗ 0.1309 𝑖=1

+ 𝑓(1.1781) ∗ 0.1309 + 𝑓(1.309) ∗ 0.1309 + 𝑓(1.4399) ∗ 0.1309

𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 6

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(0.7854) ∗ 0.1309 + 𝑠𝑒𝑛(0.9163) ∗ 0.1309 + 𝑠𝑒𝑛(1.0472) 𝑖=1

∗ 0.1309 + 𝑠𝑒𝑛(1.1781) ∗ 0.1309 + 𝑠𝑒𝑛(1.309) ∗ 0.1309 + 𝑠𝑒𝑛(1.4399) ∗ 0.1309

𝟔

∑ 𝒇(𝒙𝒊 )∆𝒙 = 𝟎. 𝟏𝟓 𝒊=𝟏

i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del 𝝅

área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [ 𝟒 ,

𝟐𝝅 𝟒

], en donde

use una partición de n=12 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 12

𝐴 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥 𝑖=1

∆𝑥 =

𝑎=

𝑏−𝑎 𝑛

𝜋 4

𝑏=

2𝜋 4

2𝜋 𝜋 − 4 ∆𝑥 = 4 12 ∆𝑥 = 0.6545 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥𝑖 𝑥1 =

𝜋 = 0.7854 4

𝑥2 = 0.7854 + ∆𝑥 𝑥2 = 0.7854 + 0.6545 = 1.4399 𝑥3 = 0.7854 + 2(0.6545) = 2.0944 𝑥4 = 0.7854 + 3(0.6545) = 2.7489 𝑥5 = 0.7854 + 4(0.6545) = 3.4034 𝑥6 = 0.7854 + 5(0.6545) = 4.0579 𝑥7 = 0.7854 + 6(0.6545) = 4.7124 𝑥8 = 0.7854 + 7(0.6545) = 5.3669 𝑥9 = 0.7854 + 8(0.6545) = 6.0214 𝑥10 = 0.7854 + 9(0.6545) = 6.6759 𝑥11 = 0.7854 + 10(0.6545) = 7.3304 𝑥12 = 0.7854 + 11(0.6545) = 7.984

𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑓(0.7854) ∗ 0.6545 + 𝑓(1.4399) ∗ 0.6545 + 𝑓(2.0944) ∗ 0.6545 𝑖=1

+ 𝑓(2.7489) ∗ 0.6545 + 𝑓(3.4034) ∗ 0.6545 + 𝑓(4.0579) ∗ 0.6545 + 𝑓(4.7124) ∗ 0.6545 + 𝑓(5.3669) ∗ 0.6545 + 𝑓(6.0214) ∗ 0.6545 + 𝑓(6.6759) ∗ 0.6545 + 𝑓(7.3304) ∗ 0.6545 + 𝑓(7.9849) ∗ 0.6545

𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(0.7854) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(1.4399) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(2.0944) ∗ 0.6545 𝑖=1

+ 𝑠𝑒𝑛(2.7489) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(3.4034) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(4.0579) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛 ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(5.3669) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(6.0214) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(6.6759) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(7.3304) ∗ 0.6545 + 𝑠𝑒𝑛(7.9849) ∗ 0.6545 12

∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥 = 0.597 𝑖=1

A=0.597

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12. Integral definida 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 2𝜋 4

𝐴 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝜋 4

2𝜋 4 𝐴 = − cos 𝑥 𝜋 4 2𝜋 𝜋 𝐴 = − cos ( ) − (−cos( ) = 0.71𝑢2 ≅ 0 4 4

3. Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.

Ejercicio a. 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ cos 𝑥

1 𝑑𝑡 1 − 𝑡2

Utilizó la siguiente fórmula: 𝑡=𝑥 𝑑 𝑢(𝑥) 1 𝑑𝑢 𝑑𝑣 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑢) ∗ − 𝑓(𝑣) ∗ 𝑑𝑥 𝑣(𝑥) 1 − 𝑡 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑 𝑑 1 [𝐹(𝑥)] = 𝑑𝑡] [∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 co s 𝑥 1 − 𝑡 2

Reemplazó x en t y hallamos la derivada de u(x) y v(x) 1 1 (𝑐𝑜𝑠 𝐹´(𝑥) = ( ∗ 𝑥) − ) ( ) ∗ (−𝑠𝑒𝑛 𝑥) 1 − (𝑠𝑒𝑛 𝑥)2 1 − (𝑐𝑜𝑠 𝑥)2 Elimino los paréntesis de la expresión 𝐹´(𝑥) =

1 1 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 1 − (𝑠𝑒𝑛 𝑥)2 1 − (𝑐𝑜𝑠 𝑥)2

Realizó las multiplicaciones: 𝐹´(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

Uso la siguiente identidad para simplificar la expresión: 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) + 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙) = 𝟏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙)

𝐹´(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)

Uso la siguiente identidad para simplificar la expresión: 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) + 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙) = 𝟏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) 𝐹´(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)

Elimino los términos comunes 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) y 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝐹´(𝑥) =

1 1 + 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

Uso la siguiente identidad para simplificar la expresión 𝐹´(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 (𝑥) +

1 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

1 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

= 𝑠𝑒𝑐 (𝑥)

Uso la siguiente identidad para simplificar la expresión

1 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

= 𝑐𝑠𝑐 (𝑥)

𝑭´(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) + 𝒄𝒔𝒄 (𝒙) Ejercicio b. Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando F′(x) de las siguientes funciones Ejercicio b. x3

F(x) = ∫ t(3 + t)dt x

𝐹´(𝑥) = 𝑥 2 (3 + 𝑥 2 )

𝑑 (𝐹(𝑥)) = 3𝑥 8 + 9𝑥 5 − 𝑥 2 − 3𝑥 𝑑𝑥

Ejercicio c. Se aplican las propiedades básicas de la integral.

𝑥2

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥

𝑑𝑡 1 + √1 − 𝑡 = −𝑙𝑛|1 + √1 − 𝑡| 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = −𝑙𝑛 |1 + √1 − 𝑥 2 | + 𝑙𝑛|1 + √1 − 𝑥| = 𝑙𝑛

|1 + √1 − 𝑥| |1 + √1 − 𝑥 2 |

Ejercicio d. 𝒙

𝒇(𝒙) = ∫ (𝒂 + 𝒕)𝒅𝒕 𝟏/𝒙

Primero que todo calculo la integral definida: ∫ 𝒂 + 𝒕 𝒅𝒕 Aplico la regla de la suma: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

= ∫ 𝒂𝒅𝒕 + ∫ 𝒕𝒅𝒕 Empleo la integral de una constante:∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 = ∫ 𝒂𝒅𝒕 = 𝒂𝒕 Aplico la regla de la potencia para “∫ 𝑡𝑑𝑡” con esta fórmula: ∫ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 = 𝒕𝟏+𝟏 𝒕𝟐 ∫ 𝒕𝒅𝒕 = = 𝒚 𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂: 𝟏+𝟏 𝟐 Quedando de la siguiente manera agregándole una constante: ∫ 𝒂𝒕 +

𝒕𝟐 +𝑪 𝟐

𝑥 𝑎+1 𝑥+1

, 𝑎 ≠ −1

𝑎

Procedemos a calcular los límites con esta fórmula: ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = lim𝑥→𝑏− (𝐹(𝑥)) − lim𝑥→𝑎+ (𝐹(𝑥))

𝐥𝐢𝐦

𝟏 𝒕→ + 𝒙

(𝒂𝒕 +

𝒕𝟐 )= 𝟐

1

Sustituyo la variable 𝑡 → 𝑥 : 𝟏 𝟐 (𝒙 )

𝟏 = 𝒂( ) + 𝒙 𝟐 Quito parentesis:

1 𝑎 𝑥2 1 1 = + 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 2 = 2 𝑥 2 𝑥 ∗ 2 2𝑥

Quedando así: (𝒂𝒕 +

𝒕𝟐 𝒂 𝟏 )= + 𝟐 𝟐 𝒙 𝟐𝒙

𝐥𝐢𝐦𝒕→𝒙− (𝒂𝒕 +

𝒕𝟐 𝒙𝟐 ) = 𝒂𝒙 + 𝟐 𝟐

𝐥𝐢𝐦

𝟏 𝒕→ + 𝒙

Ahora reemplazamos la variable:

Uno los dos resultados: 𝒂𝒙 +

𝒙𝟐 𝒂 𝟏 − ( + 𝟐) 𝟐 𝒙 𝟐𝒙

Elimino parentesis: 𝒙𝟐 𝒂 𝟏 = 𝒙𝒂 + − − 𝟐 𝟐 𝒙 𝟐𝒙

El resultado final es: 𝒙

𝒙𝟐 𝒂 𝟏 𝒇(𝒙) = ∫ (𝒂 + 𝒕)𝒅𝒕 = 𝒙𝒂 + − − 𝟐 𝟐 𝒙 𝟐𝒙 𝟏/𝒙

4. Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.

Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida: 3

𝑥3 + 8 ∫ 𝑑𝑥 −1 𝑥 + 2 Siga los siguientes pasos: - Graficar la función que acaba de integrar en GeoGebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida. Comienzo la solución del ejercicio simplificando: 𝑥 3 + 8 = 𝑥 3 + 23 Aplicó la regla de productos notables (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 22 ) Ahora simplifico la expresión eliminando términos comunes: 𝒙 + 𝟐 (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 22 ) 𝑥+2 = ∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 4) Aplicó la regla de la suma: = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2𝑥 𝑑𝑥 + 4 𝑑𝑥

Aplicó la regla de la potencia y saco la constante: 𝑥3 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 3 2

= ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 = ∫ 4 𝑑𝑥 = 4𝑥 Unimos nuevamente la expresión y agregó una constante: =

𝑥3 − 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝐶 3

Para resolver el ejercicio utilizó la siguiente fórmula: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑏) − 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑎) 𝑥→𝑏−

𝑥→𝑎+

𝑎

Inicio evaluando la expresión hallando el límite cuando x tiende a -1: 𝑥3 (−1)3 −1 16 2 𝑙𝑖𝑚 ( − 𝑥 + 4𝑥) = − (−1)2 + 4(−1) = +1−4=− 𝑥→−1 3 3 3 3

Continuamos evaluando la expresión hallando el límite cuando x tiende a 3: 𝑥3 33 2 𝑙𝑖𝑚 ( − 𝑥 + 4𝑥) = − 32 + 4(3) = 32 − 32 + 12 = 12 𝑥→3 3 3 Ahora reemplazó en la siguiente expresión 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎): 12 − (−

16 𝟓𝟐 )= 3 𝟑

Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Ejercicio b. Calcular la siguiente integral definida: 6

∫ |x − 5|dx 3

1 − 𝑥 2 + 5𝑥 𝑥≤5 6 5 [ 2 ] = 1 2 3 2 𝑥 − 5𝑥 + 25 𝑥 > 5 2

Siga los siguientes pasos: - Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Ejercicio c.

Calcular la siguiente integral definida: Se realiza la separación de términos: 𝜋

𝜋

𝜋

∫ [𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) + 1]𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋)𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥 0

0

0

𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠: = − cos(𝑥 + 𝜋) + 𝑥 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜. = −1 + 𝜋 − 0 + 0 = 𝜋 − 1

Siga los siguientes pasos:

- Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Ejercicio d. Calcular la siguiente integral definida:

−

∫

𝟏 𝟐 (𝟏 −

−𝟐

𝟖𝒙𝟑 ) 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑

Busco la integral indefinida, (𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 ) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 Factorizo el termino común: (-1) = −(𝟖𝒙𝟑 − 𝟏) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏 Reescribo 8𝑥 3 𝑐𝑜𝑚𝑜 23 = 𝟐𝟑 𝒙 𝟑 − 𝟏 Reescribo 1 como 13 = 𝟐𝟑 𝒙 𝟑 − 𝟏𝟑

Aplico las leyes de los componentes: 𝑎𝑚 𝑏 𝑚 = (𝑎𝑏)𝑚 𝟐𝟑 𝒙𝟑 = (𝟐𝒙)𝟑 = (𝟐𝒙)𝟑 −𝟏𝟑 Regla de los productos notables (diferencia de cubos)

𝑥 3 − 𝑦 3 = (𝑥 −

𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = (𝟐𝒙)𝟑 − 𝟏𝟑 = −(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) Simplifico: = −(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏)

=

−(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 −𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐

Aplico ley de exponentes: 𝑎𝑏+𝑐 = 𝑎𝑏 𝑎𝑐

𝑥 3 = 𝑥𝑥 2

−𝟐𝒙𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 Factorizo el termino común: (−𝑥 2 ) = 𝒙𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏) (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝒙𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏) Elimino términos semejantes: (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = =∫ 𝑑𝑥 = 𝒙𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏) 𝒙𝟐 Aplico la propiedad de fracciones: =

𝑎±𝑏 𝑐

𝑎

𝑏

=𝑐±𝑐

𝟒𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟏 + 𝟐+ 𝟐 𝒙𝟐 𝒙 𝒙

Elimino términos comunes: = ∫𝟒+

𝟐 𝟏 + 𝒅𝒙 𝒙 𝒙𝟐

Aplico regla de la suma: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝟐 𝟏 ∫ 𝟒𝒅𝒙 + ∫ 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 Procedo a sacar la integral de cada constante: ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 ∫ 𝟒𝒅𝒙 = 𝟒𝒙 𝟐 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = 𝒔𝒂𝒄𝒐 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆: ∫ 𝒂 . 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 . ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 . ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 1

Regla de integración: ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln(|𝑥|) = 𝟐𝐥𝐧|𝒙| 1

1

Saco la integral de: ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑛 = 𝑎−𝑛

∫

𝟏 𝑥 𝑎+1 −𝟐 𝑎 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒐 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂: ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = , 𝑎 𝒙𝟐 𝑥+1 𝒙𝟐+𝟏 𝟏 ≠ −1 = 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒚 𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂 = − −𝟐 − 𝟏 𝒙

Quedando de esta forma y agregando la constante:

𝟒𝒙 + 𝟐 𝒍𝒏|𝒙| −

𝟏 +𝑪 𝒙

Procedo a hallar los límites de la integración aplicando el segundo teorema fundamental de cálculo: 𝟏 lim (𝟒𝒙 + 𝟐 𝒍𝒏|𝒙| − ) = 𝑥→−2 𝒙 Teniendo en cuenta que |𝑥| = −𝑥

𝟏 lim (𝟒𝒙 + 𝟐 𝒍𝒏(−𝒙) − ) = 𝑥→−2 𝒙 Sustituyo la variable: = 𝟒(−𝟐) + 𝟐 𝐥𝐧(−(−𝟐)) −

𝟏 −𝟐

Quitamos parentesis: 𝟏 = −𝟒 . 𝟐 + 𝟐 𝐥𝐧 𝟐 − (− ) 𝟐 𝟏 −𝟖 + 𝟐 𝐥𝐧(𝟐) + 𝟐 Convertimos a fracción: =−

𝟖 . 𝟐 𝟏 −𝟖 . 𝟐 + 𝟏 𝟏𝟓 + = =− 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

= 𝟐 𝐥𝐧(𝟐) −

𝟏𝟓 𝟐

𝟏 𝟏 lim1 (𝟒𝒙 + 𝟐 𝒍𝒏|𝒙| − ) = lim1 (𝟒𝒙 + 𝟐 𝒍𝒏(−𝒙) − ) = 𝒙 𝒙 𝑥→− 𝑥→− 2

2

Sustituyo variable: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟒 (− ) + 𝟐 𝒍𝒏(− (− ) − = 𝟏 𝟐 𝟐 −𝟐

𝟏 𝟏 𝟏 𝟒 (− ) + 𝟐 𝒍𝒏 ( ) − = 𝟏 𝟐 𝟐 −𝟐

Elimino parentesis: 𝟏 −𝟐 + 𝟐 𝐥𝐧 − (−𝟐) 𝟐 𝟏 𝟏 −𝟐 + 𝟐 𝐥𝐧 + 𝟐 = 𝟐 𝐥𝐧 ( ) = 𝟐(−𝐥𝐧(𝟐)) = − 𝟐𝐥𝐧(𝟐) 𝟐 𝟐

−𝟐 𝐥𝐧(𝟐) − (𝟐 𝐥𝐧(𝟐) −

𝟏𝟓 ) 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒚 𝒒𝒖𝒆𝒅𝒂: 𝟐

= −𝟒 𝐥𝐧(𝟐) +

𝟏𝟓 𝟐

Siga los siguientes pasos:

- Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica.

- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Ejercicio e. Calcular la siguiente integral definida 𝝅

∫

𝝅 𝟐

𝒕𝒈(𝒙) 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙)𝒔𝒆𝒄(𝒙) + 𝒄𝒐𝒔 (𝒙)

Aplicando identidades trigonométricas 𝒕𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄(𝒙) =

𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) ∫ 𝝅 𝟏 𝟐 ) + 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 𝟐 (𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝝅

multiplicando 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) ∫ 𝟐 𝝅 (𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) )+ 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝝅

Sumamos los productos

𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) ∫ 𝟐 𝝅 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝝅

Aplicamos identidad

𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝ = 𝟏

𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) ∫ 𝝅 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝝅

Multiplicamos 𝝅

∫

𝝅 𝟐

𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒄𝒐𝒔 (𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

Sustituyendo 𝝅

∫ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝝅 𝟐

Aplicamos teorema 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝜋

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝜋 2

𝜋] = − cos 𝑥 𝜋 ] 2 𝜋 = − cos(𝜋) − (−cos ) = 1 2

Tabal de links videos explicativos. Nombre del estudiante Leidi Murillo Edwin Alejandro Calderón

Ejercicios sustentados

Link video explicativo.

Ejercicio 4

Link. https://youtu.be/Kiid4RSAULo

Ejercicio tipo 4, ejercicio e

https://www.useloom.com/share/8044e99df11d420c8eb15b e9ad59b04a

CONCLUSIÓN

Las diferentes técnicas del cálculo integral permiten entre otras cosas hallar el área bajo la curva de cualquier función.

BIBLIOGRAFÍA 

Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. Recuperado de.

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/lo gin.aspx?direct=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=edslive

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Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. Recuperado de.

https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&d ocID=3227578&tm=1536935311791

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Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia J.C. Sáez Editor. Recuperado de. http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/lo

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