Trabajo Colaborativo 1 Grupo 100410_34.docx

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Calculo Diferencial

CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO 1 ANALISIS DE SUCESIONES Y PRO GRESIONES

DIANA CAROLINA GOMEZ CARDENAS CC - 1102840928 OLGA MARIA MURGAS MONROY CC - 1065637909 DUVIEL YAMID GARCIA CC - 1065636103 JOEGE ANTONIO VIDAL CC – 1065813411 JOHANA KARINA ANGULO CC - 1065646802

GRUPO: 100410_34

TUTOR EDUARDO GUZMAN

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS DE TECNOLOGIAS E INGENIERIA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ABRIL-2015

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INTRODUCCION

El siguiente trabajo colaborativo nos permite aplicar los conceptos establecidos en el módulo de cálculo diferencial. Identificando así las clases y generalidades de las sucesiones y progresiones aplicándolas a los diferentes ejercicios propuestos para así afianzar conocimientos que nos

formen

en

el

proceso

educativo.

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EJERCICIO PROPUESTOS

1. Hallar, paso a paso, los 6 primeros términos de las siguientes sucesiones:

U n  n 1

n1

a.

n3

Solución: Remplazamos los valores de n en la sucesión, empezando desde 3 hasta completa los 6 primeros términos:

U 3  3 1

31

 2  4 2

U 4  4  1

41

 3  27

U 5  5 1

51

 4  256

3

4

U 6  6 1

 5  3125

U 7  7 1

71

 6  46656

U 8  8 1

81

 7  823543

61

5

6

7

Luego los 6 primeros términos de la sucesión son

U n  4,27,256,3125,46656,823543,...  3n   n 1  n 1

b. Vn  

SOLUCIÓN: Remplazamos los valores de n en la sucesión, empezando desde 1 hasta completa los 6 primeros términos:

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V1 

3(1) 3  11 2

V2 

3(2) 6  2 2 1 3

V3 

3(3) 9  3 1 4

V4 

3(4) 12  4 1 5

V5 

3(5) 15 5   5 1 6 2

V6 

3(6) 18  6 1 7

Luego los 6 primeros términos de la sucesión son:

 3 9 12 5 18  Vn   ,2, , , , ,... 2 4 5 2 7  c.

U n  n  1

n 2

n 1

Solución: Remplazamos los valores de n en la sucesión, empezando desde 1 hasta completa los 6 primeros términos:

U 1  1  1

1 2

 0 1  0

U 2  2  1

2 2

 (1) 0  1

U 3  3 1

32

 (2)1  2

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U 4  4  1

4 2

 (3) 2  9

U 5  5 1

52

 (4)3  64

U 6  6 1

6 2

 (5) 4  625

Luego los 6 primeros términos de la sucesión son:

U n  0,1,2,9,64,625,...  n   es convergente o divergente.  2n  1

2. Determine si la sucesión Wn   Demuéstrelo paso a paso. Solución:

Para determinar si converge o diverge hallamos el límite de la sucesión cuando n tiende a infinito:

n n 2n  1

 lim

 lim

n n

2n 1  n n 1  lim n 1 2 n 1  20 1  2 n

Por lo tanto sabiendo que el límite existe podemos afirmar que la sucesión es convergente.

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2 Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar, con ellas, si son o no crecientes. A

𝟑𝒏𝟐 +𝟏

𝑶𝒄 = 𝟔𝒏𝟐 +𝟐𝒏+𝟏

𝑠𝑖 𝑛 = 1 ⇒ 𝑂1 =

3(1)2 + 1 6(1)2 + 2(1) + 1

4 6+2+1 4 𝑂1 = 9

𝑂1 =

𝑠𝑖 𝑛 = 2 ⇒ 𝑂2 =

3(2)2 + 1 6(2)2 + 2(2) + 1

12 + 1 24 + 4 + 1 13 𝑂2 = 29

𝑂2 =

3(3)2 + 1 𝑠𝑖 𝑛 = 3 ⇒ 𝑂3 = 6(3)2 + 2(3) + 1

27 + 1 54 + 6 + 1 28 𝑂3 = 61

𝑂3 =

𝑠𝑖 𝑛 = 10 ⇒ 𝑂10 =

3(10)2 + 1 6(10)2 + 2(10) + 1

300 + 1 600 + 20 + 1 301 𝑂10 = 621

𝑂10 =

𝑠𝑖 𝑛 = 100 ⇒ 𝑂100 =

3(100)2 + 1 6(100)2 + 2(100) + 1 30000 + 1 𝑂100 = 60000 + 200 + 1 30001 𝑂100 = 60201

𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑂𝑐 𝑠𝑜𝑛: 1 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 2 4 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 9

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𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒔𝒆 𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒚𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝑶𝒄 𝒆𝒔 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆

B

𝑶𝒄 =

𝟓𝒏+𝟏 𝒏𝟐

𝑠𝑖 𝑛 = 1 ⇒ 𝑂1 =

5(1) + 1 (1)2 5+1 1 𝑂1 = 6

𝑂1 =

𝑠𝑖 𝑛 = 2 ⇒ 𝑂2 =

5(2) + 1 (2)2 10 + 1 4 11 𝑂2 = 4

𝑂2 =

𝑠𝑖 𝑛 = 3 ⇒ 𝑂3 =

5(3) + 1 (3)2 15 + 1 9 16 𝑂3 = 9

𝑂3 =

𝑠𝑖 𝑛 = 10 ⇒ 𝑂10 =

5(10) + 1 (10)2 50 + 1 100 51 = 100

𝑂10 = 𝑂10 𝑠𝑖 𝑛 = 100 ⇒ 𝑂100 =

5(100) + 1 (100)2 500 + 1 10000 501 = 10000

𝑂100 = 𝑂100 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 6 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 0 𝑂𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

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C

𝟏

𝒀𝒏 = (𝒏) ≥ 𝟏

𝑠𝑖 𝑛 = 1 ⇒ 𝑦1 = 1 1 𝑠𝑖 𝑛 = 2 ⇒ 𝑦2 = 2 1 𝑠𝑖 𝑛 = 3 ⇒ 𝑦3 = 3 𝑠𝑖 𝑛 = 10 ⇒ 𝑦10 =

1 10

𝑠𝑖 𝑛 = 100 ⇒ 𝑦100 =

1 100

𝑠𝑖 𝑛 = 100000 ⇒ 𝑦100000 =

1 100000

𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑦𝑛 𝑠𝑜𝑛: 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 0 𝑦𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3 Halle la suma de los números múltiplos de 6 menores o iguales a 9126. Y diga ¿Cuántos términos hay?

El número determinado es igual a: 9126 = 1521 6 Por tanto según las condiciones planteadas entre 9126 y 6 hay 1521 términos Ahora para calcular la suma de los términos de esa progresión, es decir los múltiplos de 6 menores o iguales que 9126, hacemos lo siguiente (𝑎1 + 𝑎𝑛 )𝑛 2 𝑎1 = 6 𝑆𝑛 =

𝑎𝑛 = 9126 𝑛 = 1521 Nos queda que:

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(6 + 9126)(1521) 2 (9132)(1521) 𝑆𝑛 = 2 13889772 𝑆𝑛 = 2 𝑆𝑛 =

𝑺𝒏 = 𝟔𝟗𝟒𝟒𝟖𝟖𝟔 Por tanto en dicha progresión hay 1521 términos y la suma de todos esos términos es 6944886.

4 Halle la suma de los números pares de tres cifras. Y diga ¿Cuántos términos hay? Forman una progresión aritmética de razón 2 El primer término es 100 El último término es 998 Tenemos que: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑟(𝑛 − 1) Reemplazando nos queda: 998 = 100 + 2(𝑛 − 1) 998 − 100 𝑛 =1+( ) 2 898 𝑛 =1+ 2 𝑛 = 1 + 449 𝒏 = 𝟒𝟓𝟎 Ahora para calcular la suma de dicha progresión hacemos: 𝑎1 + 𝑎𝑛 )𝑛 2 100 + 998 𝑆𝑛 = ( ) 450 2 1098 𝑆𝑛 = ( ) 450 2 𝑆𝑛 = (

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𝑺𝒏 = 𝟐𝟒𝟕𝟎𝟓𝟎 Luego la suma de los números pares de tres cifras es 247050 y hay 450 términos 5. Halle la suma de los números pares de tres cifras. Y diga ¿Cuántos términos hay? Solución: Para los números pares de tres cifras tenemos que el primer término de la sucesión es 100 y el último término es 998, también sabemos que la diferencia común entre cada término es igual a 2, por lo tanto es una sucesión aritmética y la forma general de la sucesión es:

an an an an

 a1  r (n  1)  100  2(n  1)  100  2n  2  2n  98

Ahora buscamos el valor de n:

an  998 2n  98  998 2n  998  98 2n  900 900 n 2 n  450 Por lo tanto existen 450 términos en la sucesión. Para hallar la suma de todos los términos usamos la ecuación siguiente:

an  a1 n 2 a a S  450 1 (450) 2 998  100 S (450) 2 S  247050 Suma total de todos los términos de la sucesión. Sn 

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6. En una progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión. 𝒂𝟑 = 𝟐𝟒 𝒂𝟏𝟎 = 𝟔𝟔 𝒂𝟏 =? 𝒅 =? 𝑎𝑛 = 𝑎1 +(n-1)d 𝑎3 = 𝑎1 + (3 − 1)𝑑 24 = 𝑎1 + (2)𝑑 −𝑎1 = 2𝑑 − 24 𝑎10 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 66 = 𝑎1 + (10 − 1)𝑑 66 = 𝑎1 + (9)𝑑 𝑎1 = −9𝑑 + 66 Se igualan y tenemos −𝑎1 = 2𝑑 − 24Multiplicamos por 9. 𝑎1 = −9𝑑 + 66Multiplicamos por 2. −9𝑎1 = 2𝑑 − 216 2𝑎1 = −18𝑑 + 132 −7𝑎1 = −84 −84 𝑎1 = −7 𝑎1 = 12 Reemplazando se Obtiene, 𝑎1 = 2𝑑 − 24 −12 = 2𝑑 − 24 −12 + 24 = 2𝑑 12 𝑑= 2 𝑑=6

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CONCLUSIONES

Este

trabajo nos permitió abarcar un conocimiento específico de las temáticas de

sucesiones y progresiones se hace de mucha importancia tener claros estos conceptos para poder tener una buena aplicabilidad

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REFERENCIAS

Duran, J. E. (Junio de 2010). Modulo Calculo Diferencial. Bogota DC, Colombia.